Buku Siswa Barisan dan Deret

1. Buku Siswa
Barisan dan Deret
Mathematics

2. Pola adalah bentuk atau model (lebih abstrak, suatu set peraturan) yang bisa dipakai
untuk membuat atau untuk menghasilkan suatu atau bagian dari sesuatu, khususnya jika
sesuatu yang ditimbulkan cukup mempunyai suatu yang sejenis untuk pola dasar yang dapat
ditunjukkan atau terlihat
.
Dalam gambar 1.1 terbentuk pola barisan 3x6
Barisan
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tentu antara satu
bilangan dengan bilangan berikutnya
U1, U2, U3, …, Un.
Keterangan
:
U1 = suku pertama
U2 = suku kedua
U3 = suku ketiga
Un = suku ke-n
Contoh
Barisan bilangan ganjil
1, 3, 5, 7, 9, …., 2n-1
Jawab :
suku pertaman (U1)=1 , (U2) = 3, dan suku ke-n = 2n-1

3. Barisan Aritmatika
Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu
konstan. Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus
Un-Un-1 = konstan, dengan n = 2,3,4,...
Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika
(dilambangkan b)
Un-Un-1 = b
Contoh
23, 30, 37, 44, 51, … merupakan barisan aritmatika dengan beda 7
2, 7/4, 3/2, 5/4, 1, … adalah barisan aritmatika dengan beda -1/4
Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan
aritmatika adalah
Un = a + (n-1)b [rumus barisan aritmatika]
Contoh soal
1. Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....
Jawab:
–3, 2, 7, 12, …
Suku pertama adalah a = –3 dan
bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :
Un = –3 + (n – 1)5.
Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.

4. 2. Suatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144.
Berapa suku ke seratus dari barisan tersebut?
Jawab :
U3 = 36 ⇔ a + (3-1) b = 36 ⇔ a + 2b = 36 …….
U5 + U7⇔ a + 4b + a + 6 b = 144 ⇔ 2a + 10 b = 144 ⇔ a + 5b =72 ……
(1)
(2)
eliminasi persamaan (1) dengan persamaan (2)
a + 2b = 36
a + 5b = 72
————– -3b = – 36 ⇔ b = 12
a + 2b = 36
a + 2(12) = 36 ⇔ a + 24 = 36 ⇔ a = 12
suku ke 100, U100 = a + (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200
Suku Tengah Barisan Aritmatika
Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada
suku tengahnya. Lalu bagaimana cara menentukan nilai dari suku tengah tersebut?
Rumus mencari nilai suku tengah
Contoh soal
Jika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1.200 Tentukan suku tengahnya!
Jawab :
Ut = 1/2 (U1+Un) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601
Sisipan dalam Barisan Aritmatika
Jika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian sobat sisipkan diantara dua bilangan
tersebut bilangan sebanyak k buah, maka akan diperoleh bentuk
m, m+b, m+2b, m+3b, m+4b, …, n

5. Contoh
Kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya
hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada
6 suku.
10, 10+b, 10+2b, 10+3b, 10+4b, 20 pertanyaanya berapa nilai beda (b)?
Un = a+(n-1)b ⇔ 20 = 10+(6-1)b ⇔20 = 10 + 5b ⇔ b = 2

6. DERET ARITMATIKA
Deret adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan aritmetika. Jadi suku-suku
yang membentuk deret aritmatika adalah barisan aritmatika.
Misal, deret aritmatika adalah :
maka
dan
Jumlah
suku pertama deret aritmatika adalah :
Sekarang kita jabarkan rumus jumlah
suku pertama dari deret aritmatika.
atau
Jadi rumus jumlah
suku pertama deret aritmatika adalah :
atau
Suku ke-n dari barisan aritmatika juga bias dicari menggunakan rumus berikut:

7. Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika
Suatu barisan aritmatika dengan banyaknya suku
dimana
maka untuk mencari suku tengahnya dapat digunakan rumus:
Keterangan:
jumlah
suku pertama
suku pertama
beda
suku ke-n
banyak suku
suku tengah
suku terakhir
Contoh soal
1. Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +....
Jawab:
Diketahui bahwa a= 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.
S100
=
x 100 {2(2) + (100 – 1)2}
= 50 {4 + 198}
= 50 (202)
= 10.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.

8. 2. Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.
Jawab:
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99
sehingga diperoleh
a = 3, b = 3, danUn= 99.
Terlebih dahulu kita cari-n sebagai berikut ;
Un=a + (n – 1)b
99 = 3 + (n – 1)3
3n = 99
n = 33
Jumlah dari deret tersebut adalah :
Sn=
n (a + U )
S33 =
x 33(3 + 99)
= 1.683
Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683
Sisipan
Diantara dua bilangan yang diketahui dapat disisipkan sejumlah bilangan sehingga
bilangan-bilangan tersebut membentuk deret aritmatika atau barisan aritmatika.
Misal diantara bilangan
dan
disisipkan
bilangan sehingga terbentuk deret
aritmatika dengan beda bilangan . Deret aritmatika yang terbentuk adalah :
Dari deret yang terbentuk ini dapat dituliskan suku ke- adalah

9. BARISAN GEOMETRI
Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan setiap suku dengan
suku sebelumnya selalu sama.
Perbandingan setiap dua suku berurutannya disebut rasio (r).
u1 = a
u2 = u1. r = a. r
u3 = u2. r = ar.r = ar2
u4 = u3. r = ar2.r=ar3
dan seterusnya
u1 u2 u3 u4 u5
a ar ar2 ar3 ar4
r r r r
r=
=
=
=
=
Ket :
a =u1 = suku pertama
u2 = suku kedua
un = suku ke- n
r = rasio
Bentuk umum suku ke–n barisan geometri dituliskan sebagai berikut:
Un= arn-1
,

10. Contoh :
1. Tentukan rasio dari 1,2,4,8,16,32....
Jawab :
1, 2, 4, 8, 16, ...
u1 u2 u3 u4 u5 u6
r=
=
=2
r=
r=
r=
= =2
=
=2
2. Tentukan suku pertama ,rasio, suku ke 6 dan rumus suku ke-n pada barisan-barisan
geometri berikut ini 27,9,3,1,...,....
Jawab :
27, 9, 3,1
u1 u2 u3 u4
 suku pertama (u1) = 27
 rasio =
=
=
 suku ke-6 (u6)
Un= arn-1
u6 = ar5
= 27.
)5
= 27 .
=

Un = arn-1
= 27.
)n-1

11. Deret geometri
Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + ... + Un adalah deret
geometri dengan Un = arn–1. Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari
deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut.
Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.
Sn = U1 + U2 + ... + Un
Sn = a + ar + ... + arn–2 + arn–1 .............................................. (1)
Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh :
rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn ................................... (2)
Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh;
ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn
rSn =
Sn =
a+ ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1
rSn -
–a + arn
-
Sn =
↔( r-1)Sn =a(rn–1)
↔ Sn =
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.
Sn =
, untuk r > 1
Sn =
, untuk r < 1
Keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama

12. a = suku pertama
r = rasio
n = banyak suku
Apa yang terjadi jika r bernilai 1?
Contoh Soal Deret Geometri :
Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... (8 suku)
b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... (6 suku)
Pembahasan :
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ...
Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1).
Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.
Sn =
↔ S8 =
= 2(256 – 1) = 510
Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.
b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r =
Jumlah
deret
Sn =
sampai
↔ S6 =
6
suku
= 24(1-
pertama,
)=
Contoh Soal :
Diketahui deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363. Tentukan :
a. suku pertama;
(r < 1).
berarti
n
=
6.

13. b.rasio;
c. banyak suku.
Penyelesaian :
Deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363
a. Suku pertama: a = 3
b. Rasio: r = ... = .... = 3
c. Untuk Sn = 363
Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus :
Sn =
↔ 363 =
↔ 726 = 3n+1 – 3
↔ 3n+1 = 729
↔ 3n+1 = 36
Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut adalah
5.
Contoh Soal :
Carilah n terkecil sehingga Sn > 1.000 pada deret geometri 1 + 4 + 16 + 64 + ...
Jawaban :
Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah n suku pertamanya
dapat ditentukan sebagai berikut.

14. Sn =
Nilai n yang mengakibatkan Sn > 1.000 adalah :
> 1.000 ↔ 4n > 3.001
Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh :
log 4n > log 3.001
↔ n log 4 > log 3.001
↔n>
↔ n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma)
Jadi, nilai n terkecil agar Sn > 1.000 adalah 6.
3. Deret Geometri Tak Berhingga
Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak
berhingga.
Perhatikan deret geometri berikut.
a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...
c. 1 +
+
+ ....
d. 9 – 3 + 1 –
+ .....
Deret-deret di atas merupakan contoh deret geometri tak berhingga.
Dari contoh a dan b, rasionya berturut-turut adalah 2 dan –2.
Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tidak terbatas. Deret yang
demikian disebut deret divergen, dengan | r | > 1. Sebaliknya, dari contoh c dan d, rasio

15. masing-masing deret 1/2 dan –1/3. Dari contoh c dan d, dapat kita hitung pendekatan
jumlahnya. Deret tersebut dinamakan deret konvergen dengan | r | < 1. Pada deret konvergen,
jumlah suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekati harga
tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan S∞ .
Nilai S∞ merupakan nilai pendekatan (limit) jumlah seluruh suku (Sn) dengan n mendekati tak
berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapat diturunkan dari deret geometri
dengan suku pertama a, rasio r dan n → ∞ .
Karena
deret
konvergen
(|
r
|
<
1),
untuk
n → ∞ maka rn → 0 sehingga :
Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah :
, dengan | r | < 1
Contoh Soal Deret Geometri Tak Terhingga 17 :
Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.
a. 1 +
+
+
+ ...
b.
Pembahasan :
a.1+
+
+
+
...
Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = ½ sehingga :
b.
Perhatikan deret 2 + 1 +
+
Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = ½.
+
+ ....

16. Jadi,
= 24 = 16.
Contoh dalam kehidupan;
Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali
tinggi sebelumnya. Pemantulan berlangsung terus-menerus sehingga bola berhenti. Tentukan
jumlah seluruh lintasan bola. (UMPTN 1995)
Jawaban :
U0 = 10 m; r = 3/4.
U1 = 3/4 x 10 m = 3/40 m
Sn = 10 + 2 S∞ = = 10 + (2 ×
) = 10 + (2 ×
) = 10 + (2 × 30) = 70