Lorenzlikningene, Et Kurs På Sivilingeniør Nivå

1. Lorenzlikningene, et kurs på
sivilingeniør nivå
Forfatter av sivilingeniør hovedoppgave:
Sigve Hamilton Aspelund
http://sigvehamiltonaspelund.wordpress.com/about/
sigve.aspelund@lyse.net

2. Abstract:
Objective of this thesis was to give an introduction to the chaotic dynamic system that Lorenz-
equations represent. First I gave an introduction to strange attractors followed by historical
overview and how Lorenz discovered sensitivity to initial values. Details to strange attractors
are studied before butterfly-effect is explained. Chapter 2: Important characteristics to the
differential equations, where stability to the critical points are a central theme. Global theory is
introduced and the Poincare-Bendixon theorem is involved to show the limitations to a
continuing dynamic system in two dimensions. Bifurcations are described at the end of the
chapter. Chapter 3: The characteristics sensitivity to initial values to a chaotic dynamical system
is described. Lyapunov exponents that are used to measure dynamical systems sensitivity and
the fractal dimension are involved. The definition of a continuous dynamic dissipative system is
studied and a chaotic path and a chaotic attractor are defined. Chapter 4: First a short
introduction then important characteristics to Lorenz-equations. Stability analysis of the critical
points is a central theme. The critical points are unstable for some values of the r-parameter.
This lead to a system show extreme sensitivity to initial values. These characteristics are the
definitions of a chaotic dynamic system and the reason for discarding a longtime forecast of the
weather. The differential equations system as this thesis is impossible to solve analytical, but it is
possible to solve the system numerically. This solution is not exact, but the general appearance
of the solution will not change significantly. At the end of the chapter an overview over Lorenz
equation are from conventions in the atmosphere followed by questions regarding the thesis.
Chapter 5: Conclusion: In this thesis I have given an introduction to the chaotical dynamical
system that the Lorenz equations represent. I have studied stability to the critical points with
variable r parameter with constant parameters σ and b. For some of the values of the r
parameter the critical points are stable. I have shown that bifurcation implies unstable critical
points and is the most known property of this system. Instability to the critical points leads to
sensitivity regarding to perturbations in the initial values. This is the most important property
for the system and is the reason for being called chaotic. Lorenz concluded that a long term
weather forecast was impossible.

3. Sære attraktorer
 Introduksjon
 Dynamiske systemer
◦ Dissipative
 Energien minker pga. friksjon
◦ Konservative
 Energien er bevart

4. Planetbevegelse
Det er vanlig å betrakte solsystemet vårt
med planetbevegelse rundt sola som et
konservativt system. Planetenes bane forblir
praktisk talt de samme over millioner av år.
Men dette er ikke helt korrekt, i og med at
vi har gravitasjonsstråling og sola trekker til
seg planetene som en spiral. Dette er
imidlertidig en prosess som tar milliarder av
år. Før dette skjer, blir sola etter noen
milliarder år en rød kjempe og sluker de
fleste planetene i vårt system

5. Dynamiske systemer
 Kaos finnes i både dissipative og
konservative systemer
 Konservative systemer har ingen attraktorer
 Den kaotiske bevegelsen, ulik den assosiert
med dissipative systemer er ikke selv-similær.
Et system som er selv-similært blir kalt en
fraktal.
 Eksempel: Kystlinje
 Den kaotiske banen til et konservativt er
ikke en fraktal.

6. Edvard Lorenz-Meteorologen
 Interessert i vær og drømte om å bli
matematiker
 Det var ikke bruk for matematikere og han
ble isteden meterolog da det var bruk for
meteorologer
 Værmelding kunne spås noen dager, mer var
håpløst
◦ Var det noen grunn til dette?
◦ Hvorfor er været så forusigbart?
◦ Laget en matematisk modell av været
 Likninger som representerte forandringer i
temperaturen, trykk, vindhastighet osv.

7. Hvordan Lorenz oppdaget
sensistivitet i initialbetingelsene
 Edvard programerte sin datamaskin og
undersøkte mønsteret som kom fra
maskinen.
 Han endret litt i initialbetingelsene og
oppdaget at banene etter hvert begynte å
divergere fra hverandre:
◦ Det Lorenz hadde oppdaget var den første sære
attraktoren.
 Været er bare en av mange steder hvor kaos
oppstår.
◦ Eksempel: Turbulens

8. Detaljer til de sære attraktorene
 En sær attraktor har følgende egenskaper
1. Den består av et enkelt sett av
differensiallikninger
2. Den er en attraktor og derfor
konvergerer alle banene mot den
3. Den er en fraktal

9.  Lorenzattraktorene er dissipative systemer
◦ Hvilket som helst område av initialbetingelser
tiltrekkes med tiden
 Dimensjonen til Lorenzattraktorene er
mellom to og tre
 Fraktaler har ikke heltallig dimensjon
 En sær attraktor er en attrakterende
mengde med fraktal dimensjon
 Lorenzattraktorene har fraktal dimensjon
◦ Attraktoren kalles derfor sær attraktor

10. Sommerfugl-effekten
Sommerfugl effekten er ideen der veldig små
årsaker kunne forårsake dramatiske effekter.
Begrepet der et slag av en sommerfugls
vinger i Brasil kunne starte en tornado i
Texas var presentert i en forelesning av
Edvard Lorenz for å illustrere umuligheten av
perfekt værvarsel selv om alle kjente årsaker
og effekter kunne blir målt. Sommerfugl-
effekten er en illustrasjon av sensitivitet av
initialverdiene

11. Differensiallikninger
Dynamiske systemer kan
Settes opp som et sett av
differensiallikninger

12. Kritiske punkter
 x er et kritisk
0
punkt dersom:
f(t, x )=0
0

13. Egenverdier
Egenverdiene, λ,
til en nxn matrise A
finner vi ved å skrive
Ax= λx

14. Attraktorer
En attraktor er en
delmengde av
faserommet som
er invariant under
det dynamiske
systemet og som
tiltrekker seg alle
baner rundt seg

15. Kaos
 Royal Society London 1986
◦ Kaos er stokastisk oppførsel i et
deterministisk system
 Fysikere bruker ofte lyapunoveksponenter
for å måle sensitiviteten til et system;
dette for å karakterisere kaotiske
systemer

16. Sensitivitet
Et av de mest karakteristiske
aspektene ved kaotiske systemer
er sensitiv avhengighet av
initialverdiene. Med dette menes
at et systems oppførsel kan endre
seg sterkt, selv om man bare
endrer initialverdien litt.

17. Nødvendige krav for kaos
 Viktigste krav for et system skal kunne ha
kaotisk oppførsel er at systemet er
ulineært.
 Det finnes ikke kaos i lineære systemer av
differensiallikninger fordi disse kan løses
eksplisitt og har en relativ enkel
oppførsel.

18. Lorenzlikningene
Lorenz søkte etter et sett av
differensiallikninger som kunne modellere
det uforutsigbare været. Likningene han
fant var utledet fra en modell for
fluidkonveksjon. Dette systemet er
dissipativt:

19. Parametere
σ=
hvor
ν : kinematic viscosity, ν = μ / ρ, (SI units : m2/s)
α : thermal diffusivity, α = k / (ρcp), (SI units : m2/s)
μ : dynamic viscosity, (SI units : Pa s = (N s)/m2)
k: thermal conductivity, (SI units : W/(m K) )
cp : specific heat, (SI units : J/(kg K) )
ρ : density, (SI units : kg/m3 ).

20. Parametere
Parameterene r og b er proporsjonale til Raleightallet
 hvor
 x = Characteristic length (in this case, the distance from the leading edge)
 Rax = Rayleigh number at position x
 Grx = Grashof number at position x
 Pr = Prandtl number
 g = acceleration due to gravity
 Ts = Surface temperature (temperature of the wall)
 T∞ = Quiescent temperature (fluid temperature far from the surface of the
object)
 ν = Kinematic viscosity
 α = Thermal diffusivity
 β = Thermal expansion coefficient

21. Parametere
Variablene x, y og z måler henholdsvis
raten av konveksjon, horisontal og vertikal
temperaturvariasjon.

22. Løsninger
Projeksjoner i xz, xy og yz
planet av løsning av Lorenz-
likningene. Initialverdien er
(1,0,27) σ=10, b=8/3 og r=28

23. Kritiske punkter
De kritiske punktene
Finner vi ved å sette
x=y=z=0

24. Analyse
For å bestemme stabiliteten
til de kritiske punktene ser vi
på Jakobimatrisen A.
Vi finner egenverdiene til ved
å løse følgende likning:

25. Egenverdiene
De tre egenverdiene er:
Alle egenverdiene er
negative for r<1.
origo er asymptotisk
stabil for disse verdiene
av r.

26. Stabilitetsanalyse
Origo er ustabilt for r›1.
Alle baner som starter
nær origo vokser
unntatt de som ligger i
planet bestemt av
egenvektorene
assosiert med
egenverdiene λ og λ
1 3

27. For 0<r<1, er P det 1
Eneste kritiske punkt.
◦ Assymptotisk stabilt
◦ Alle løsninger går mot
dette punktet når t ∞.
For 1<r<r er P og P
1 2 3
Assymtptotisk stabile,
Og P er ustabilt
1

28. For r <r<r er P og P
1 H 2 3
assymptotisk stabile,
og P er ustabilt.
1
For r›r , er alle de
H
kritiske punktene
ustabile.
Løsninger nær P og P2 3
Spiraliser bort fra det
kritiske punktet.

29. Sensitivitet i
initialverdiene
Løsningene av likningene til
Lorenz er også ekstremt
sensitive til pertubasjoner i
initialverdiene. Det var denne
egenskapen som
spesielt tiltrakk
oppmerksomheten til Lorenz i
hans opprinnelige studie av
disse likningene, og som fikk
ham til å konkludere med at
langtidsvarsel av været var
umulig.
Den tiltrekkende mengden blir
kalt en sær attraktor