semoga bermanfaat.. :)

1. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /1
OBJEKTI
F
Objektif Am
: Mengenalpasti penggunaan kaedah Londar Punca dalam
menganalisa dan merekabentuk sistem.
Objektif Khusus
: Di akhir unit ini anda sepatutnya dapat:
 Menjelaskan kepentingan analisis londar punca
 Menerangkan analisis Londar Punca ke atas sistem suap balik
 Melakarkan Londar Punca dari sistem yang diberi

2. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /2
INPUT
9.0
PENGENALAN
Dalam unit yang lalu kita telah didedahkan dengan penggunaan Kriteria Routh Hurwitz.
Walau bagaimanapun kriteria Routh-Hurwitz mempunyai limitasi memandangkan ia hanya
menentukan kedudukan punca persamaan ciri sistem pada satah-s. Tambahan pula proses
untuk mendapatkan punca persamaan ciri yang mempunyai darjah lebih tinggi adalah sukar.
Justeru itu, penggunaan kaedah Londar Punca dapat mengatasi masalah ini.
9.1
Sifat Umum Londar Punca
Setelah kita membincangkan konsep asas tentang penggunaan londar punca, kini kita
tumpukan perhatian kepada sifat umum londar punca. Adalah lebih mudah sekiranya
perbincangan kita merujuk kepada sistem gelung tertutup dengan mengandaikan
parameternya ialah gandaan rangkap pindah gelung buka, sebagaimana Rajah 9-2
R(s)
+
-
KG(s)
C(s)
H(s)
Rajah 9-2
Pertimbangkan sistem yang ditunjukkan di dalam Rajah 9.1-2. Rangkap pindah gelung
tertutup diberi oleh
C (s)
KG ( s )
=
R ( s ) 1 + KG ( s ) H ( s )
...(9.1)
Seperti yang telah kita ketahui di dalam unit yang lalu persamaan ciri sistem adalah
1 + KG ( s ) H ( s ) = 0
...(9.2)

3. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /3
Persamaan (9.2) boleh dipisahkan kepada dua persamaan dengan menyamakan sudutsudut dan magnitud-magnitud masing-masing di kedua-dua belah persamaan. Ini akan
memberikan kita dua syarat yang perlu dipenuhi dalam lakaran londar punca.
Syarat magnitud:
K G ( s) H ( s) =
1
Syarat sudut:
/ G ( s ) H ( s ) = ±180°( 2k +1)
...(9.3)
(k = 0, 1, 2, ...) ...
(9.4)
Perlu diingatkan, di dalam banyak kes persamaan ciri boleh ditulis sebagai
Aha..mmm..
z – zeroes (sifar)
p – poles (kutub)
1+
K ( s + z1 )( s + z2 )...( s + zm )
=0
( s + p1 )( s + p2 )...( s + pn )
...(9.5)
Oleh yang demikian kita boleh katakan bahawa londar punca untuk sistem merupakan londar
kutub-kutub gelung tertutup apabila gandaan K diubah-ubah dari sifar ke tak terhingga.
Contoh 9-1
Pertimbangkan sistem di dalam Rajah 9.2. Dapatkan rangkap pindah
gelung tertutup dan persamaan ciri sistem jika diberi
G( s) =
K
, H ( s) =1
s ( s +1)
Penyelesaian
C ( s)
G (s)
=
R( s) 1 + G ( s) H ( s)
=
K
s +s+K
2
Persamaan ciri sistem ialah s 2 + s + K = 0

4. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /4
AKTIVITI
9a
Uji kefahaman anda sebelum meneruskan ke input selanjutnya. Sila semak jawapan anda pada
maklumbalas yang disediakan.
SOALAN 1
Nyatakan limitasi yang terdapat di dalam kriteria Routh-Hurwitz.
_________________________________________________________
_________________________________________________________
SOALAN 2
Nyatakan DUA syarat yang perlu dipenuhi di dalam londar punca dan tuliskan
syarat-syarat tersebut.
i) _________________ _____________________
ii) _________________ _____________________
SOALAN 3
Londar punca untuk sistem merupakan londar kutub-kutub gelung ________ apabila _________ K
diubah-ubah dari _______ ke __________.

5. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /5
MAKLUMBALAS
9a
1.
Kriteria Routh-Hurwitz hanya menjelaskan di mana kedudukan punca-punca persamaan ciri
di atas satah-s.
2.
i)
Syarat magnitud;
K G ( s) H ( s) =
1
ii)
Syarat sudut;
/ G ( s ) H ( s ) = ±180°( 2k +1)
2, ...)
3.
...tertutup...gandaan...sifar...tak terhingga
(k = 0, 1,

6. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /6
INPUT
9.2
Lakaran Londar Punca
Setelah menyelesaikan input sebelumnya, barangkali kita telahpun mempunyai sedikit
gambaran berkenaan londar punca. Pengetahuan dalam mendapatkan rangkap pindah serta
persamaan ciri sistem merupakan langkah awal dalam usaha kita untuk melakar londar
punca. Input ini pula akan memperkenalkan kita kepada beberapa lakaran dengan
menggunakan contoh-contoh bergambar. Untuk memulakan langkah melakar londar punca,
kedudukan kutub-kutub dan sifar-sifar G ( s ) H ( s ) perlu diketahui. Sudut-sudut dari kutubkutub dan sifar-sifar gelung terbuka ke titik ujian s mestilah diukur melawan arah jam.
Misalnya, jika G ( s ) H ( s ) diberikan oleh
G (s) H (s) =
K ( s + z1 )
( s + p1 )( s + p2 )( s + p3 )( s + p4 )
dengan –p2 dan –p3 adalah kutub-kutub kompleks. Maka, sudut untuk G ( s ) H ( s )
∠ ( S ) H ( s ) = Φ1 −θ1 −θ2 −θ3 −θ4
G
Manakala Magnitud G ( s ) H ( s ) diberi oleh
K G ( s) H ( s) =
KB1
A1 A2 A3 A4
dengan A1, A2, A3, A4 dan B1 merupakan magnitud-magnitud kuantiti kompleks masing-masing
untuk s+p1, s+p2, s+p3, s+p4 dan s+z1 sebagaimana yang ditunjukkan dalam Rajah 9.3-1

7. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /7
jω
Titik ujian
s
A2
A4
θ4
-p4
A3
Φ1
jω
θ2
-p
A1 2
-z1
Titik ujian
s
θ1
-p1
θ4
σ
-p4
θ2
-p2
θ1
Φ1
-z1
-p1
θ3
θ3
-p3
-p3
Rajah 9.2-1: Gambarajah (a) dan (b) yang menunjukkan ukuran -ukuran
(a)
(b)
sudut dari kutub-kutub dan sifar-sifar gelung terbuka
kepada titik ujian s
Sekarang kita akan mendapatkan lakaran londar punca bagi rangkap-rangkap yang mudah.
Contoh 9-2
Lakarkan londar punca bagi persamaan di bawah.
G ( s) H ( s) =
( s +1)( s + 2)
( s −1)( s + 3)( s + 4)
...sifar di tandakan
dengan O .... kutub
diwakili oleh X
Penyelesaian
Dapatkan sifar-sifar dan kutub-kutub dari
rangkap pindah gelung buka G ( s ) H ( s )
Sifar-sifar
: s = −1 , s = −2
Kutub-kutub
: s = 1 , s = −3 , s = −4
σ

8. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /8
jω
Londar punca
k=0
-5
k=0 k=∞
-4
-3
k=∞
k=0
σ
1
-1
-2
Rajah 9.2-2: Lakaran londar punca bagi sistem yang
mempunyai dua sifar dan tiga kutub dalam
contoh 9-2
Contoh 9-3
Lakarkan londar punca yang diwakili oleh rangkap pindah gelung
terbuka di bawah.
G ( s) H ( s) =
( s +1)( s + 2)
s ( s + 3)
Penyelesaian
Sifar-sifar
: s = −1 , s = −2
Kutub-kutub
: s = 0 , s = −3
jω
k=0
-5
-4
-3
k=∞
k=∞
-2
-1
k=0
1
σ
Rajah 9.2-3: Lakaran Londar Punca Bagi Sistem Yang
mempunyai dua sifar dan dua kutub dalam
contoh 9-3
Dari contoh-contoh di atas kita dapati bahawa londar punca bermula di kutub dan tamat di
sifar gelung terbuka. Bagaimana pun sekiranya bilangan kutub melebihi bilangan sifar maka
akan ada kutub yang akan tamat di infiniti. Jadual 9-1 menunjukkan beberapa contoh
tatarajah kutub-sifar dan londar punca yang sepadan yang mungkin boleh dijadikan panduan
untuk bahagian yang seterusnya.

9. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /9
Jadual 9-1: Hubungan kutub-sifar gelung terbuka
dan londar punca yang berkaitan
9.3.1
Aturan Am Dalam Melakar Londar Punca
Untuk mendapatkan lakaran londar punca bagi sistem yang lebih kompleks
aturan-aturan am berikut boleh digunakan bagi mempercepatkan proses
melakar. Anda dinasihatkan untuk membiasakan dengan aturan am ini bagi
menyelesaikan masalah berkaitan dalam sistem-sistem dengan tertib yang
lebih tinggi.
9.2.1.1 Tentukan kutub-kutub dan sifar-sifar G ( s ) H ( s )

10. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /10
Londar punca bermula (iaitu k = 0 ) di kutub-kutub rangkap
gelung terbuka dan berakhir (iaitu k = ∞ ) di sifar-sifarnya.
Sekiranya bilangan kutub melebihi bilangan sifar, terdapat londar
)
yang akan berakhir di sifar yang terletak di infiniti (∞ . Misalan
G ( s) H ( s) =
( s +1)( s + 2)
( s −1)( s + 3)( s + 5)
jω
...londar tamat di ∞
k=0
-5
...londar tamat
di
disifar
k = 0k = ∞ k = ∞
-4
-3
Rajah 9.2-4:
-2
k=0
σ
1
-1
Kedudukan Kutub-Kutub Yang
Tamat di Sifar dan Infiniti
9.2.1.2 Londar punca di paksi nyata
Suatu titik di paksi nyata (σ-axis) adalah sebahagian dari londar
sekiranya bilangan kutub dan sifar di sebelah kanan titik ini adalah
ganjil.
londar tamat
di infiniti
-5
-4
-3
jω
londar
-2
-1
σ
bukan londar
Rajah 9.2-5: Kedudukan Londar Dipaksi Nyata
9.2.1.3 Sudut asimptot

11. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /11
Asimptot adalah garisan-garisan lurus yang menunjukkan arah tuju
kutub menuju ke infiniti. Sudut asimptot ini diberikan oleh
α=
360
n −m
di mana
n = bilangan kutub G ( s ) H ( s )
m = bilangan sifar G ( s ) H ( s )
Bilangan asimptot diberi oleh perbezaan di antara kutub dan sifar.
Oleh kerana asimptot adalah simetri di paksi nyata maka
konfigurasi asimptot adalah salah satu daripada lakaran dalam
Rajah 9.2-6 untuk n-m = 1, 2, 3, 4, 5
Rajah 9.2-6: Tatarajah-tatarajah asimptot
yang memandu londar ke infiniti
9.2.1.4 Titik persilangan asimptot (centroid)
Titik persilangan asimptot hanya terdapat dipaksi nyata dan
diberi oleh:
di mana p i dan z j adalah nyata kutub dan nyata sifar masingmasing.
Contoh 9-4

12. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /12
Dapatkan sudut asimtot dan titik pertemuan asimptot bagi
rangkap pindah gelung buka di bawah.
K ( s + 3)
s ( s + 5)( s 2 + 2 s + 2)( s + 6)
G (s) H (s) =
Penyelesaian
sifar
: s = −3 (m=1)
kutub
:
s =0,
s = −5 ,
s = −6 ,
s = −1 + j ,
s =− − j
1
(n=5)
i. Sudut asimptot
jω
centroid
α=
-6
-5
-4
-3
-2
360
360
=
= 90°
n − m 5 −1
σ
-1
ii. Titik pertemuan asimptot
(centroid)
σ=
Rajah 9.3-7: Sudut Asimptot dan Titik Pertemuan
Asimptot bagi contoh 9-4
(0 − 5 − 6 − 1 − 1) − ( −3)
5 −1
= − .5
2
9.2.1.5 Titik pecah keluar dan titik pecah masuk
Titik pecah wujud apabila dua atau lebih londar bertemu dan
kemudiannya berpecah. Walau pun pada kebiasaannya titik-titik
ini terletak di paksi nyata tetapi ia boleh juga terletak dalam
pasangan tasrif kompleks.
Katakan persamaan ciri diberikan oleh
B ( s ) + KA( s ) = 0
Maka titik-titik pecah keluar / masuk diperolehi dari punca-punca
untuk
titik
pecah
masuk
jω
titik
pecah
keluar
-6
-5
-4
-3
-2
-1
σ
Rajah 9.2-8: Titik Pecah Keluar dan Titik Pecah Masuk

13. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /13
9.2.1.6 Sudut berlepas dari kutub kompleks atau sudut tuju ke sifar
kompleks
Syarat sudut akan menentukan arah londar bergerak apabila
gandaan, K berubah dari sifar ( sudut berlepas dari kutub ) ke
infiniti ( sudut tuju ke sifar ).
Sudut berlepas, Φ = 180o – [(jumlah sudut dari kutubkutub yang lain ke kutub
berkenaan) - (jumlah sudut dari
sifar-sifar ke kutub berkenaan)]
Sudut tiba, θ = 180o – [(jumlah sudut dari sifar-sifar yang
lain ke sifar berkenaan) + (jumlah
sudut dari kutub-kutub ke sifar
berkenaan)]
jω
Φ
Φ = 180° − [(γ 1 + γ 2 ) + ( β 1 )]
γ1
β1
γ2
σ
Walau bagaimanapun, peraturan di atas hanya sebagai panduan sahaja dan bergantung
kepada keperluan rangkap pindah G ( s ) H ( s ) . Maksudnya, tidak semua lakaran londar
punca akan melalui proses seperti yang dibincangkan di atas.
Contoh 9-5

14. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /14
Lakarkan londar punca bagi sistem yang mempunyai rangkap
G(s) =
K ( s + 9)
s ( s 2 + 4 s + 11)
, H ( s) =1
Tentukan nilai minima dan maksima bagi K dan titik di mana londar akan memotong
pada paksi- jω .
Penyelesaian
Rangkap pindah gelung buka, G ( s ) H ( s ) =
s1 = −9 ,
Sifar:
Kutub:
K ( s + 9)
s ( s 2 + 4 s + 11)
(m=1)
s1 = 0
s 2, 3 =
=
− b ± b 2 − 4ac
2a
− 4 ± 4 2 − 4(1)(11)
2
− 4 ± j 28
=
2
= −2 ± j 2.65
n=3
1. Londar punca di paksi nyata
360
360
=
= 180°
n −m
2
(−2 − 2) − (−9)
= 2.5
3. Titik pertemuan asimptot, σ =
2
dK
= 0 (tiada titik pecah keluar/masuk)
4. Titik pecah keluar/masuk,
ds
5. Sudut berlepas, Φ = 180° − [(90 + 128) + ( 20)] = 15°
2. Sudut asimptot, α =
6. Nilai minima dan maksima bagi K memerlukan penggunaan Kriteria RouthHurwitz(KRH)
Persamaan ciri sistem:
1 + G( s) H (s) = 0
K ( s + 9)
1+
=0
s ( s 2 + 4 s + 11)
s 3 + 4 s 2 + (11 + K ) s + 9 K = 0

15. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /15
Tatasusunan kriteria Routh-Hurwitz
s3
1
11+K
s2
4
9K
s1
b1=11-1.25K
0
s0
9K
b1 =
Persamaan
pembantu, A(s)
4(11 + K ) − 9 K
= 11 −1.25 K
4
Untuk sistem sentiasa stabil keadaan berikut perlu dipenuhi:
11 −1.25 K > 0
Unsur s
1
:
1.25 K <11
K <8.8
Unsur s0
:
9K > 0
K >0
0 < K < 8 .8
Maka nilai K mestilah berada di antara:
7. Titik pemotongan pada paksi- jω
jw
londar bermula
Dari tatasusunan KRH, bentukan persamaan pembantu
pemotongan
di paksi-jw, s = ± j 4.45
A( s ) = 4 s 2 + 9 K = 0
di kutub dan
tamat di
sifar
2.65
Gantikan nilai maksimum K ke dalam persamaan A(s )
-9
4s 2 +
londar bermula 9(8.8) = 0 = 15°
Φ
di kutub dan −79.2
2
tamat di s =
4
sifar
s = j 19.8
-2
s = ± j 4.45
ltitik pertemuan
asimptot
0
2.
5
Oleh kerana itu titik persilangan adalah s = ± j 4.45
2.65
ula
londar
di kutub
berm dan
tamat di
sifar
nyata

16. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /16
Rajah 9.2-9 : Lakaran Londar Punca
AKTIVITI
9b

17. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /17
SOALAN 1
Nyatakan di mana londar punca bermula dan berakhir.
SOALAN 2
Apakah yang akan berlaku kepada londar punca sekiranya bilangan kutub melebihi dari bilangan
sifar?
SOALAN 3
Berikan takrifan titik pecah keluar dan nyatakan di mana kedudukannya?
SOALAN 4
Rangkap pindah sebuah sistem kawalan mempunyai empat kutub dan dua sifar. Tentukan sudut
asimptot yang akan memandu londar punca ke infiniti. Lakarkan kedudukan asimptot ini sekiranya
titik pertemuan asimptot adalah 2.5.
SOALAN 5
Diberi rangkap pindah gelung buka
G (s) H (s) =
i.
ii.
iii.
K
s ( s +1)( s + 3)
Tandakan kutub-kutub dan dan sifar-sifar di atas satah-s.
Tandakan semua ruas paksi nyata yang menjadi ruas londar punca.
Lakarkan londar punca yang tamat di sifar-sifar yang terletak di infiniti dengan
mengambilkira sudut dan titik pertemuan asimptot serta titik pecah keluar.
MAKLUMBALAS
9b

18. LONDAR PUNCA
1.
2.
3.
4.
E4141 / UNIT 9 /18
Semua londar punca bermula di kutub-kutub dan tamat di sifar-sifar rangkap
pindah gelung buka.
Kutub-kutub selebihnya akan tamat di sifar-sifar yang terletak di infiniti.
Titik pecah keluar adalah titik di atas paksi nyata apabila londar punca bercerai
daripada paksi nyata.
α=
360
= 180°
2
jω
Titik pertemuan
asimptot
-5
5.
-4
-3
-2
-1
-1
σ
Perlu dihantar sebelum kelas berakhir sebagai kuiz.
PENILAIAN
KENDIRI

19. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /19
ANDA telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak
jawapan anda pada maklumbalas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang
dengan pensyarah anda. Selamat mencuba semoga BERJAYA!!!.
1.
2.
3.
Berikan takrifan londar punca.
Nyatakan kebaikan londar punca kepada seorang jurutera kawalan.
Sebuah sistem mempunyai rangkap pindah gelung terbuka
K ( s +1.6)
s ( s + 2)( s + 4)
G(s) H (s) =
Dapatkan
i.
ii.
iii.
4.
Lakaran londar-londar punca bagi sistem tersebut
Tentukan julat bagi K yang akan menstabilkan sistem
Tentukan sekiranya ada titik pemotongan pada paksi- jω
Diberi
G ( s) H ( s) =
K ( s −1)( s +3)
s ( s +1)( s + 2)
Lakarkan londar punca bagi G ( s ) H ( s ) dan tentukan syarat bagi K agar sistem sentiasa
stabil.
5.
Sebuah sistem mempunyai rangkap pindah gelung buka berikut.
G (s) H ( s) =
K ( s −1)
( s +1)( s + 2)( s + 3)
Tentukan
i.
ii.
iii.
iv.
v.
6.
Sudut asimptot,
α
Titik pertemuan asimptot, σ
Titik pecah keluar
Nilai K yang akan menstabilkan sistem
Lakaran londar punca tersebut
Lakarkan londar punca untuk sistem di mana
G(s)=
K
; H(s)=1 , a=1, b=5
s ( s + a )( s + b )

20. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /20
Tentukan nilai K dan titik pemotongan londar di paksi- jω
7.
Berdasarkan gambarajah 9-1, dapatkan rangkap pindah gelung tutup bagi sistem tersebut.
Tentukan juga julat K yang akan menstabilkan sistem ini.
[skala: 2cm : 1 unit]
R(s)
K ( s − 1)
+
-
C(s)
s 2 + 5s + 6
Gambarajah 9-1
MAKLUMBALAS
KENDIRI

21. LONDAR PUNCA
E4141 / UNIT 9 /21
1.
Londar punca adalah laluan pergerakan kutub-kutub rangkap pindah
gelung buka apabila nilai gandaan berubah dari sifar ke infiniti.
2.
Boleh meramalkan keadaan kestabilan sistem tanpa melakukan
pengiraan berulang-ulang.
3.
Soalan tugasan.
4.
K <2 3
jω
k=∞
-5
-4
-3
k=0
-2
k=∞
-1
k=0
1
5.
Soalan tugasan.
6.
K=30, s=+ j /5
Soalan tugasan.
σ