Initiation à la logique Bayésienne - Conférence de la 5e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - Frédérick GAY - CHU Pitie-Salpetriere, Paris - fredogay@yahoo.fr

1. Initiation à la logique Bayésienne
Département des Maladies Infectieuses et Tropicales
GHU Pierre et Marie Curie
Site Pitié-Salpêtrière
Mercredi 28 mars 2007
Dr. Frédérick Gay
Université Pierre et Marie Curie – Paris 6

2. Au quotidien…
• Film photographique
• Détecteur de sécurité
• Filet de pêche
• Arme à feu
• Profil de poste
• Définition d’un cas

3. 5- Comprendre le lien entre le théorème de Bayes et
la signification statistique
Objectifs :
1- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité intrinsèque
2- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité prédictive
3- Savoir ce que sont les probabilités a priori et a
posteriori et les rapports de vraisemblance
4- Savoir discuter et choisir les meilleures stratégies
en fonction des objectifs recherchés

4. Vocabulaire et applications
• Validité = Performance = Valeur diagnostique =
Evaluation
• Test / Signe / Symptôme / Examen complémentaire /
Combinaison de signes / Système d’alerte…

6. Validité intrinsèque
• Un test réagit-il correctement
à la présence ou à l’absence
d’une maladie ?

7. Validité “a priori”
• Paramètres intrinsèques :
– Référence / procédé conventionnel /
Test standard (“Gold Standard”)
– Sensibilité
– Spécificité
– Rapport de vraisemblance positif
– Rapport de vraisemblance négatif

8. Sensibilité :

9. Définitions de la Sensibilité :
Capacité du test de donner un résultat positif
quand la maladie est présente
Probabilité conditionnelle que le test soit positif
lorsque la maladie est présente
Estimée par la proportion de résultats positifs
lorsque le test est appliqué à des malades
Estimée par la proportion de malades dont le
résultat du test est positif
La sensibilité mesure à quel point le test est
capable d’identifier les malades

10. Spécificité :

11. Définitions de la Spécificité :
Capacité du test de donner un résultat négatif
quand la maladie est absente
Probabilité conditionnelle que le test soit négatif
lorsque la maladie est absente
Estimée par la proportion de résultats négatifs
lorsque le test est appliqué à des non-malades
Estimée par la proportion de non malades dont le
résultat du test est négatif
La spécificité mesure à quel point le test est
capable d’exclure les non malades

12. Sensibilité : Spécificité :

13. Fusion artificielle de 2 tableaux indépendants :

14. Double diffusion
Pas d’arc
Absence d’argument
Immunologique en faveur
de maladie du poumon de
fermier
Présence d’arcs
Maladie du poumon
de fermier
SEROLOGIE DE LA MALADIE
DU POUMON DE FERMIER

15. Choix du seuil :

16. Choix du seuil :

17. 0 50 100
100
50
0
Sensibilité(%)
%age de faux positifs
Courbe ROC :

18. SEROLOGIE DE LA TRICHINOSE
IF
Absence d’argument
immunologique en
faveur d’une
trichinose
Code 0
1er examen
2eme examen
Trichinose
immunologique
Code 1
Code 200
Code 401
- 200 400 ≥400
Si 1er 400 : Code 402
Si 1er <400: Code 403
Si 1er >400: Code 404

19. Indices de synthèse
J = Se + Sp – 1
Varie de -1 à +1
J= 0 signifie que le test n’appporte aucune orientation diagnostique
Indice peu utilisé
Indice de Youden (J) :

20. Objectifs :
1- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité intrinsèque
2- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité prédictive

22. Validité prédictive

23. Validité prédictive
• Un test est-il un bon indicateur de
la présence ou non de la maladie ?
• Aptitude d’un test à reconnaître les
malades et les non-malades
• Le résultat positif (ou négatif) d’un test
correspond-il à une probabilité élevée
d’être affecté (ou non) par la maladie ?

24. Validité “a posteriori”
• Paramètres extrinsèques :
– Valeur prédictive positive
– Valeur prédictive négative
– Rôle du taux de prévalence
– Effet de la sensibilité
– Effet de la spécificité

25. Définitions de la valeur prédictive positive
d’un test positif (VPP) :
La VPP d’un test positif mesure la probabilité
conditionnelle que la maladie soit présente si le
test est positif
La VPP est estimée par la proportion de malades
chez les positifs au test

26. Définitions de la valeur prédictive négative
d’un test négatif (VPN) :
La VPN d’un test négatif mesure la probabilité
conditionnelle que la maladie soit absente si
le test est négatif
La VPN est estimée par la proportion de
sujets sains chez les négatifs au test

27. Etude transversale en population :

28. Etude transversale en population :

29. Calcul empirique par simulation :

30. Formule de Bayes :
Théorème de Bayes :
P(B/A)=
P(B) x P(A/B)
P(A)
P(B/A)=
P(B) x P(A/B)
[P(B) x P(A/B)] + [P(B)x P(A/B)]

31. VPP d’un test positif :
VPN d’un test négatif :
VPN =
VPP =

32. VPP d’un test positif :
VPN d’un test négatif :
VPN =
Sp x (1 - Pr)
[Sp x (1 - Pr)] + [(1 - Se)x Pr]
VPP =
Se x Pr
(Se x Pr) + [(1 - Sp) x (1 – Pr)]

33. Exercice :
Vos conclusions ?
Santé publique 10%
Soins généraux 50%
Service spécialisé 90%
Tx de Pr VPP VPN
Sensibilité = 90%
Spécificité = 80%
33,3% 98,6%
81,2% 88,9%
97,6% 47,1%

34. 0 50 100
100
50
0
Taux de prévalence (%)
%
Valeursprédictives

35. Exactitude / Efficience (E) :
VP FP
VNFN
M+ M-
+
-
Test
% de bien classés =
Indices de synthèse

36. Objectifs :
1- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité intrinsèque
2- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité prédictive
3- Savoir ce que sont les probabilités a priori et a
posteriori et les rapports de vraisemblance

37. Probabilité a priori :
Probabilité d’existence de la maladie avant le
résultat du test
Fonction du contexte clinique et
épidémiologique du sujet
Probabilité pré-test

38. Probabilité a posteriori :
Représente la situation après le test
Un test positif augmente la probabilité
d’existence de la maladie, un test négatif la
diminue
Probabilité post-test

39. Vraisemblance exprimée en termes de
probabilité ou de cote :
La probabilité qu’un évènement se réalise est la
proportion de fois où l’on s’attend à voir cet
évènement se réaliser au cours de plusieurs
essais [ 0 ; 1 ]
La cote est définie comme la probabilité que
l’évènement se produise divisée par la probabilité
que l’évènement ne se produise pas [ 0 ; ∞ ]

40. Conversions :
Cote =
Probabilité
1- Probabilité
Probabilité =
Cote
1+ Cote

41. Rapport de vraisemblance positif
(positive likelihood ratio: LR+)
Quantité par laquelle il faut multiplier la cote
pré-test pour obtenir la cote post-test
Concernant les sujets pour lesquels le
résultat du test est positif
LR+ =
Cote post-test
Cote pré-test

42. Rapport de vraisemblance positif :

43. Rapport de vraisemblance positif :
VP FP
VNFN
M+ M-
+
-
Test
Rapport de vraisemblance
positif =
Se
1 - Sp

44. Rapport de vraisemblance positif
(positive likelihood ratio: LR+)
Quantité par laquelle il faut multiplier la cote
pré-test pour obtenir la cote post-test
Concernant les sujets pour lesquels le
résultat du test est positif
LR+ =
Cote post-test
Cote pré-test
=
Sensibilité
1 - Spécificité

45. Rapport de vraisemblance négatif
(negative likelihood ratio: LR-)
Quantité par laquelle il faut multiplier la cote
pré-test pour obtenir la cote post-test
Lorsque le résultat du test est négatif
LR- =
Cote post-test
Cote pré-test

46. Rapport de vraisemblance négatif :

47. Rapport de vraisemblance négatif :
VP FP
VNFN
M+ M-
+
-
Test
Rapport de vraisemblance
négatif =
1 - Se
Sp

48. Rapport de vraisemblance négatif
(negative likelihood ratio: LR-)
Quantité par laquelle il faut multiplier la cote
pré-test pour obtenir la cote post-test
Lorsque le résultat du test est négatif
LR- =
Cote post-test
Cote pré-test
=
1 - Sensibilité
Spécificité

49. Objectifs :
1- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité intrinsèque
2- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité prédictive
3- Savoir ce que sont les probabilités a priori et a
posteriori et les rapports de vraisemblance
4- Savoir discuter et choisir les meilleures stratégies
en fonction des objectifs recherchés

50. Test BTest A
A – & B –
A + & B –
A - & B +
A + & B +
ou
- +- +
Tests en parallèle :

51. Exercice (2 tests en parallèle) :
Condition d’indépendance entre les tests !
TA
TB
TATB
VPP VPN
Test A (TA) : Se = 90% ; Sp = 80%
Test B (TB) : Se = 70% ; Sp = 60%
Taux de Prévalence (Pr) = 10%

52. VPP de 2 tests positifs effectués en parallèle :
VPP =
Pr x (SeTA) x (SeTB)
[Pr x (SeTA) x (SeTB)] + [(1-Pr) x (1-SpTA) x (1-SpTB)]

53. VPN de 2 tests négatifs effectués en parallèle :
VPN =
(1-Pr) x (SpTA) x (SpTB)
[(1-Pr) x (SpTA) x (SpTB)] + [Pr x (1-SeTA) x (1-SeTB)]

54. Exercice (2 tests en parallèle) :
Condition d’indépendance entre les tests !
TA 33,3 98,6
TB 16,3 94,7
TATB 46,7 99,3
VPP (%) VPN (%)
Test A (TA) : Se = 90% ; Sp = 80%
Test B (TB) : Se = 70% ; Sp = 60%
Taux de Prévalence (Pr) = 10%

55. Deux tests en parallèle :
Lorsque les 2 tests sont positifs :
VPP améliorée
Lorsque les 2 tests sont négatifs :
VPN améliorée
Applicable à n tests…

56. Test B
Test A
Tests en série :
ou
Test B
- +
- +
- +
A +
puis
B +
A –
puis
B –
A –
puis
B +
A +
puis
B -

57. Exercice (2 tests en série) :
TA
TB siTA+
TB siTA-
VPP (%) VPN (%)
Test A (TA) : Se = 90% ; Sp = 80%
Test B (TB) : Se = 70% ; Sp = 60%
Taux de Prévalence (Pr) = 10%

58. Exercice (2 tests en série) :
Le test A modifie la probabilité pré-test B
TA 33,3 98,6
TB siTA+ 47
TB siTA- 99,3
VPP (%) VPN (%)
Test A (TA) : Se = 90% ; Sp = 80%
Test B (TB) : Se = 70% ; Sp = 60%
Taux de Prévalence (Pr) = 10%

59. Absence d’argument
immunologique en faveur
d’une cysticercose
Taux limite d’anticorps ne
permettant pas d’affirmer
une cysticercose
0-10 u > ou = 35 u10 u < Titre < 35 u
Western Blot
Présence d’anticorps en
ELISA dont la spécificité
n’est pas confirmée
CYSTICERCOSE
IMMUNOLOGIQUE
Négatif Positif
ELISA
SEROLOGIE DE LA CYSTICERCOSE
INTERPRETATION

60. SEROLOGIE DISTOMATOSE
HG ES
IEP
≤320 >320
- +
Absence d’argument
immunologique en
faveur d’une
distomatose
Code 0
Taux moyen
d’anticorps en
hémagglutination
non confirmés en ES
Code dh
+ -
Absence d’argument
immunologique en
faveur d’une
distomatose
Code 0
Distomatose
immunologique
Code 1

61. Absence d’argument
Immunologique en
Faveur de
Larva migrans
SEROLOGIE DE TOXOCAROSE
Résultats sérologiques
en faveur d'une
Larva migrans
viscérale
Anticorps en ELISA
non confirmés en ES et en
WB. Possibilité de Larva migrans
viscérale ancienne ou d'une réaction
croisée avec une autre nématodose.
ELISA ES
>50 ≤50 +-
WB
+ -
IEP
- +
Résultats sérologiques
en faveur d'une
Larva migrans
viscérale
Code wb+
Code 0
Code wb-

62. SEROLOGIE HYDATIDOSE
ELISA ES
+ (arc 5)-
Hydatidose
immunologique
<50
HG
≥75
≥640
Absence d’argument
immunologique en
faveur d’une
hydatidose
Code 0
Hydatidose
immunologique
Code 1
50≤ <75
HG
≤320 ≥640
Taux d’Ac en ELISA
dont la spécificité
hydatique ne peut
Être affirmée.
Code 1
Code de
WBDemande du
biologiste si
forte suspicion

64. Diagnostic versus Dépistage
Diagnostic Dépistage
Milieu clinique : Pr forte
Nbre de FP faible
Pb des FP ++
↑ Sp ↓ FP
Pr faible
Nbre de FP ++
donc ↑ spécificité
Groupes à risque
Second test

65. Analyse décisionnelle
1. Validité intrinsèque
2. Validité pédictive
3. “Fréquence” de la maladie
4. Gravité de la maladie
5. Efficacité du traitement
6. Risques du traitement
7. Coûts (humain et financier) du test
8. “Coûts” (humain et financier) du traitement
9. Objectif du test : dépistage ou diagnostic ?

66. 5- Comprendre le lien entre le théorème de Bayes et
la signification statistique
Objectifs :
1- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité intrinsèque
2- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité prédictive
3- Savoir ce que sont les probabilités a priori et a
posteriori et les rapports de vraisemblance
4- Savoir discuter et choisir les meilleures stratégies
en fonction des objectifs recherchés

67. Choix du seuil d’un test diagnostique :
VP FP
VNFN
M+ M-
+
-
Test
Trouver un compromis entre les FP et les FN
Bayes et p-value

68. Choix du seuil α d’un test statistique :
Pas d’erreur
Erreur
de type I
≠
S
NS
Test
Trouver un compromis entre α et β
Bayes et p-value
Populations
=
Pas d’erreur
Erreur de
type II

69. Bayes et p-value
Si le test de laboratoire mesure la concentration
d’une substance, celle-ci doit être considérée telle
quelle sans se préoccuper des FP et des FN
(il n’y pas de résultat négatif ou positif)
Si la p-value est un moyen de décrire ou de
résumer les données, nul besoin de se
préoccuper des erreurs de type I et II
(le résultat n’est ni significatif ni non-significatif)

70. Spécificité et risque α
Test diagnostique : Si le patient n’est pas malade,
la probabilité que le test donne un résultat positif
= 1- Sp
Test statistique : Si les 2 populations ont les
mêmes moyennes (ou %ions), la probabilité que
l’étude mette en évidence une différence
statistiquement significative
= α

71. Sensibilité et risque β
Test diagnostique : Si le patient est malade, la
probabilité que le test donne un résultat positif
= Se
Test statistique : S’il existe une différence entre
les moyennes (ou %ions) des 2 populations, la
probabilité que l’étude mette en évidence une
différence statistiquement significative
= 1- β

72. Question posée :
Dans quelle proportion de l’ensemble des études
qui donnent de p-values significatives
l’hypothèse nulle est-elle vraie ?
Si un résultat est statistiquement significatif,
quelle est la probabilité que l’hypothèse nulle
soit vraie ?

73. Exemple :
Quelle est la probabilité de chacune de ces possibilités ?
Un nouveau médicament génère une baisse significative
de la moyenne de la PA : 2 possibilités
Ce médicament est réellement anti-HTA
Ce médicament n’est pas anti-HTA, le résultat est le fait du hasard
Etude de médicaments potentiellement anti-HTA
= 10 mmHg
Effectifs offrant une puissance = 80%
Risque α = 0,05

74. Médicament A :
64% de chance qu’il soit réellement efficace
≠ significative 80 45 125
≠ non significative 20 855 875
Total 100 900 1000
efficace inefficace Total
Appartient à une famille instable, faible affinité, etc.
Probabilité a priori = 10%

75. Médicament B :
98,5% de chance qu’il soit réellement efficace
≠ significative 640 10 650
≠ non significative 160 190 350
Total 800 200 1000
efficace inefficace Total
Bonne affinité, stable, bloque les bons récepteurs
Probabilité a priori = 80%

76. Médicament C :
14% de chance qu’il soit réellement efficace
≠ significative 8 50 58
≠ non significative 2 940 942
Total 10 990 1000
efficace inefficace Total
Sélectionné au hasard dans une banque de produits
Probabilité a priori = 1%

77. Résultat
Objectif
Erreurs
Seuil
Précision
Interprétation
Comparaisons
multiples
Test diagnostique Test statistique
+ / - S / NS
M ou M H0 ou H1
FN & FP α & β
Compromis entre Compromis entre
% de bien classés Puissance
VPP ou VPN Probabilité
Tests Correction
FN et FP α et β
en série de Bonferoni
que la ≠ soit vraie

78. Objectifs atteints ? :
1- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité intrinsèque
1- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité intrinsèque
2- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité prédictive
2- Comprendre et savoir estimer les paramètres
de validité prédictive
3- Savoir ce que sont les probabilités a priori et a
posteriori et les rapports de vraisemblance
3- Savoir ce que sont les probabilités a priori et a
posteriori et les rapports de vraisemblance
4- Savoir discuter et choisir les meilleures stratégies
en fonction des objectifs recherchés
4- Savoir discuter et choisir les meilleures stratégies
en fonction des objectifs recherchés
5- Comprendre le lien entre le théorème de Bayes et
la signification statistique
5- Comprendre le lien entre le théorème de Bayes et
la signification statistique