EXEMPLE 1

Étudier la fonction f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3]
EXEMPLE 1

On étudie f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3]

Première étape :     L'intervalle d'étude est [-2; 3]

Deuxième ...
EXEMPLE 1

Quatième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-2 ; 4) , 0 ; 0) et (3 ; 9)
et p...
EXEMPLE 2



 Étudier la fonction f (x) = 2x² + 5x +1

         sur l'intervalle [-3 ; 1]
EXEMPLE 2

On étudie f (x) = 2x² + 5x +1 sur l'intervalle [-2; 3]

Première étape :     L'intervalle d'étude est [-3; 1]

...
EXEMPLE 2

Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 4) , (-1,25 ;-2,125)
et (1...
EXEMPLE 3



                                3     2
                               xx
 Étudier la fonction f (x) =    −2...
EXEMPLE 3
                      x3 x2
On étudie f (x) =        −2x1 sur l'intervalle [-3; 3]
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EXEMPLE 3

Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 2,5) , (-2 ;4,33) ,
 (1 ;-...
EXEMPLE 4



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 Étudier la fonction f (x) =    x

      sur l'intervalle [-4 ; -0,5]
EXEMPLE 4

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On étudie f (x) =        sur l'intervalle [-4; -0,5]
                    x

Première étap...
EXEMPLE 4

Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-4 ; -0,5) , (-0,5 ;-4) ,
et pu...
EXEMPLE 5



                               900
 Étudier la fonction f (x) = x x

     sur l'intervalle [10 ; 90]
EXEMPLE 5

                     2
On étudie f (x) =         sur l'intervalle [10; 90]
                     x

Première éta...
Quatrième étape :

A partir du tableau de variation, on peut placer les points (10 ; 100) , (30,40) et
(90,100)
 et puis t...
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Etude De Fonctions,2

  1. 1. EXEMPLE 1 Étudier la fonction f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3]
  2. 2. EXEMPLE 1 On étudie f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3] Première étape : L'intervalle d'étude est [-2; 3] Deuxième étape : f '(x) = 2x Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0 f '(x) = 0 est équivalent à 2x = 0 soit x = 0 ( résultat placé en première ligne) x -2 0 3 Signe de f ' - 0 + Variation de f 4 0 9 Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-2) , f (0) et f (3) f (-2) = (-2)² = 4 f (0) = 0² = 0 f (3) = 3² = 9
  3. 3. EXEMPLE 1 Quatième étape : A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-2 ; 4) , 0 ; 0) et (3 ; 9) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 0 1 2 x -1
  4. 4. EXEMPLE 2 Étudier la fonction f (x) = 2x² + 5x +1 sur l'intervalle [-3 ; 1]
  5. 5. EXEMPLE 2 On étudie f (x) = 2x² + 5x +1 sur l'intervalle [-2; 3] Première étape : L'intervalle d'étude est [-3; 1] Deuxième étape : f '(x) = 2×2x+ 5 = 4x + 5 Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0 f '(x) = 0 est équivalent à 4x+5 = 0 soit 4x = -5 d'où x = -5/4 = -1,25 x -3 -1,25 1 Signe de f ' - 0 + Variation de f 4 -2,125 8 Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-3) , f (-1,25) et f (1) f (-3) = 2×(-3)² + 5×(-3) +1 = 4 f (-1,25) = 2×(-1,25)² + 5×(-1,253) +1 = -2,125 f (1) = 2×1² + 5×1 +1 = 8
  6. 6. EXEMPLE 2 Quatrième étape : A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 4) , (-1,25 ;-2,125) et (1 ; 8) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -1 0 1 x -1 -2
  7. 7. EXEMPLE 3 3 2 xx Étudier la fonction f (x) =  −2x1 32 sur l'intervalle [-3 ; 2]
  8. 8. EXEMPLE 3 x3 x2 On étudie f (x) =  −2x1 sur l'intervalle [-3; 3] 32 Première étape : L'intervalle d'étude est [-3; 3] 3x 2 2x Deuxième étape : f '(x) =  −2 = x²+x-2 3 2 Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0 f '(x) = 0 est équivalent à x²+x-2 = 0 ∆ = b² – 4ac = 1² - 4×1×(−2) = 9 a=1 b= 1 c = -2 d'où Comme le résultat ∆ > 0 , il y a deux solutions x1 et x2. x1 = -2 et x2 = 1 x -3 -2 1 3 Signe de f ' + 0 - 0 + Variation de f 2,5 4,33 -0,17 8,5 Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-3) , f (-2) , f (1) et f(3) f (-3) = 2,5 f (-2) = 4,33 f (1) = -0,17 f (3) = 8,5
  9. 9. EXEMPLE 3 Quatrième étape : A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 2,5) , (-2 ;4,33) , (1 ;-0,17) et (3 ; 8,5) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -1 0 1 2 x -1
  10. 10. EXEMPLE 4 2 Étudier la fonction f (x) = x sur l'intervalle [-4 ; -0,5]
  11. 11. EXEMPLE 4 2 On étudie f (x) = sur l'intervalle [-4; -0,5] x Première étape : L'intervalle d'étude est [-4; -0,5] 2 Deuxième étape : f '(x) = − x² Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) =0 2 f '(x) = 0 est équivalent à − = 0 . Il n'y a pas de solution x² Comme x² est positif (quelque soit la valeur de x ), la division de (-2) par x² est négatif x -4 -0,5 Signe de f ' - Variation de f -0,5 -4 Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-4) , f (-0,5)
  12. 12. EXEMPLE 4 Quatrième étape : A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-4 ; -0,5) , (-0,5 ;-4) , et puis tracer à main levée l'allure de la courbe y 1 -4 -3 -2 -1 0 1 x -1 -2 -3 -4 -5
  13. 13. EXEMPLE 5 900 Étudier la fonction f (x) = x x sur l'intervalle [10 ; 90]
  14. 14. EXEMPLE 5 2 On étudie f (x) = sur l'intervalle [10; 90] x Première étape : L'intervalle d'étude est [10; 90] 900 Deuxième étape : f '(x) = 1− x² Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0 900 f '(x) = 0 est équivalent à 1− = 0 soit x² = 900 x² Les solutions à cette équation sont x1 = -30 et x2 = 30 x 10 30 90 Signe de f ' - 0 + Variation de f 100 40 100 Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (10) , f (30) et f (90)
  15. 15. Quatrième étape : A partir du tableau de variation, on peut placer les points (10 ; 100) , (30,40) et (90,100) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe y 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x -10 -20

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