awdaw

1. 126
Capítulo VIII
MOMENTOS DE INERCIA
8.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo desarrollaremos un método para determinar el momento de inercia de un
área y de un cuerpo que tenga una masa específica. El momento de inercia de un área es una
propiedad importante en ingeniería, puesto que ésta debe determinarse o especificarse si uno va
a analizar o diseñar un miembro de una estructura o parte mecánica. Por otro lado, se debe
conocer el momento de inercia del cuerpo si se estudia el movimiento del mismo cuerpo.
8.2 MOMENTOS DE INERCIA PARA ÁREAS
Cuando se determina el centroide de un área se considera el primer momento de área con
respecto a un eje, es decir, para el cálculo se evalúa una integral de la forma:
xdA
Las integrales del segundo momento de un área tal como: 2
x dA son llamadas momentos
de inercia del área.
El momento de inercia de un área se origina siempre al tener que calcular el momento de
una carga distribuida, variable en forma lineal, del eje de momentos.
Asimismo podemos formular el segundo momento del área con respecto al polo O, o eje z.
Esto se conoce como momento polar de inercia J0 y se define por:
2
o x y
A
J r dA I I   ; Donde: 2 2 2
r x y 
r
x
y
x
y
dA
A
O
Si consideramos un área A, en el plano xy, los
momentos de inercia de esta área con respecto a
los ejes x e y se define por:
2 2
x xA
I y dA K A 
2 2
y yA
I x dA K A 
Dónde:
xK = radio de giro con respecto al eje x
yK = radio de giro con respecto al eje y

2. 127
Notas:
- ,x y oI I y J son siempre positivos.
- Las unidades del momento de inercia son: m4
, cm4
, mm4
, pulg4
.
8.3 TEOREMA DEL EJE PARALELO PARA UN ÁREA (TEOREMA DE STEINER)
“El momento de inercia de un área con respecto a un eje es igual al momento de inercia
del área con respecto a un eje paralelo que atraviesa su centroide, más el producto del área y el
cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes”
Donde: dx y dy son distancias perpendiculares entre los ejes.
8.4 RADIO DE GIRO DE UN ÁREA
El radio de giro de un área plana se utiliza en el diseño de columnas en mecánica de
estructuras. Siempre y cuando se conozcan las áreas y los momentos de inercia, el radio de giro
se determina con las fórmulas:
0
0
yx
x y
II J
K K K
A A A
  
8.5 MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS
El momento de inercia de un área compuesta es igual a la suma algebraica de los
momentos de inercia de todas sus partes componentes.
Método de cálculo:
- Divide el área compuesta en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular
existente desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia.
!
2
x yx
I I Ad 
!
2
y xy
I I Ad 
2
o cJ J Ad 
dx
dy
x
y
o
!
x
!
x
!
y
dA
c
d
dx
dy
x
y
O
!
x
!
y
!
x
!
y
dA
c
d

3. 128
- Determine el momento de inercia de cada parte con respecto a su eje centroidal, paralelo al eje
de referencia, utilizando el Teorema de Steiner.
- Calcule el momento de inercia del área total, con respecto al eje de referencia, sumando los
resultados de sus partes componentes. Si una parte componente tiene un “agujero”, su
momento de inercia se obtiene restando el momento de inercia del agujero al momento de
inercia de la parte completa, incluyendo al agujero.
8.6 PRODUCTO DE INERCIA DE UN ÁREA
Para algunas aplicaciones de diseño mecánico o estructural es necesario primero calcular
el producto de inercia del área así como también sus momentos de inercia para los ejes x y y
dados.
TEOREMA DE STEINER PARA EL PRODUCTO DE INERCIA DE UN ÁREA
x
y
x
y
dA
A
Para un área A, el producto de inercia
viene dado por:
xy
A
I xy dA
Las unidades del producto de inercia
son: m4
, mm4
, pie4
, pulg4
.
dx
dy
x
y
o
!
x
!
y
!
x
!
y
dA
c
Para el área sombreada que se
muestra en la figura, se cumple que:
yxXY ddAII YX  ''
Dónde: ''YXI representa el producto
de inercia del área con respecto al
eje centroidal.

4. 129
8.7 MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS
El momento de inercia de masa es una propiedad que mide la resistencia del cuerpo a una
aceleración angular. Se define como la integral del “segundo momento” con respecto a un eje de
todos los elementos de masa dm que componen el cuerpo.
OBSERVACIONES:
a) Si el cuerpo se compone de un material cuya densidad  es variable, entonces el momento
de inercia de masa “ I ” está dado por:
2
V
I r dV
b) Si  es constante, entonces “ I ” se halla por:
2
V
I r dV 
Nota:
El teorema de Steiner (o del eje paralelo) para el momento de inercia de masa, viene dado por la
siguiente expresión:
2
GI I md 
dónde:
GI = momento de inercia con respecto al eje z´ que atraviesa el centro de masa G.
m = masa del cuerpo
d = distancia perpendicular entre los ejes paralelos.
r
z
dm
Para el cuerpo rígido mostrado en la figura, su momento de
inercia de masa con respecto al eje z, viene dado por:
2
m
I r dm
r = distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento
diferencial “ dm ”.
* El eje que generalmente se elige para el análisis atraviesa el
centro de masa del cuerpo.

5. 130
8.7.1 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN DISCO CIRCULAR
DELGADO DE MASA “m” Y RADIO “r”
Cálculo de zI (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z)
Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje z que
atraviesa su centro de masa, viene dado por:
dmrI
m
z
2
)'( , 'r = distancia perpendicular del eje z al elemento “dm”
Se cumple: )''( dzddrrdVdm  
Reemplazando “ dm ”, la ecuación de zI queda:
Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “  ” del disco circular:
zr
m
V
m

 2

 ,
obtenemos que:
2
2
1
rmIz 
Cálculo de xI (momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x)
Por definición, el momento de inercia del disco circular delgado, respecto al eje x que
atraviesa su centro de masa, viene dado por:
dmrI
m
x
2
)''( , ''r = distancia perpendicular del eje x al elemento “dm”
Para calcular los momentos de inercia del
disco circular delgado se debe recordar
que en coordenadas cilíndricas, el
volumen para el elemento diferencial de
masa “dm”, mostrado en la figura, viene
dado por:
dzddrrdV  ''
y
z
x
r’ dm
ϕ
r z

6. 131
Al trazar la distancia perpendicular ''r , desde el eje x hasta el elemento diferencial “dm”,
se obtiene que:
senrr ''' 
Si esta distancia ''r y el diferencial de masa “dm” se reemplazan en la ecuación del
momento de inercia xI , tenemos:
)''()'( 2
0
2
0 0
dzddrrsenrI
z r
X    

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “  ” del disco circular:
zr
m
V
m

 2

 ,
obtenemos que:
2
4
1
rmIX 
NOTA.- debido a la simetría de la figura, el momento de inercia del disco circular delgado,
respecto al eje y que atraviesa su centro de masa, es igual al momento de inercia respecto
al eje x. Es decir:
2
4
1
rmII XY 

7. 132
8.7.2 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN CILINDRO DE MASA “m”,
ALTURA “h” Y SECCIÓN TRANSVERSAL DE RADIO “r”
Cálculo de zI (momento de inercia del cilindro, respecto al eje z)
El momento de inercia para el cilindro, respecto al eje z que atraviesa su centro de masa,
se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado.
Se cumple:
2
)( )(
2
1
rdmdI CILINDROz 
Dónde: )( 2
dzrdVdm  
* Como el elemento diferencial (disco circular delgado) y el cilindro son del mismo material,
entonces su densidad  es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa del
cilindro entre su respectivo volumen, es decir:
)( 2
hr
m
V
m




Reemplazando “ dm ” en la ecuación del momento de inercia “ )(CILINDROzdI ” e
integrando, obtenemos:
2
)(
2
1
rmI CILINDROz 
Para calcular los momentos de
inercia del cilindro se
recomienda elegir como
elemento diferencial un disco
circular delgado de masa “dm”,
radio “r” y espesor “dz”, tal
como se observa en la figura.
z
z
dz
y
x
y ’
r
r
h/2
h/2

8. 133
Cálculo de YI (momento de inercia del cilindro, respecto al eje y)
El momento de inercia para el cilindro, respecto al eje y que atraviesa su centro de masa,
se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado y
aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo.
Por lo tanto, se cumple:
22
)( )()(
4
1
zdmrdmdI CILINDROY 
Reemplazando “ dm ” e integrando, obtenemos:
)3(
12
1 22
)( hrmI CILINDROY 
NOTA.- debido a la simetría de la figura, el momento de inercia del cilindro, respecto al eje
x que atraviesa su centro de masa, es igual al momento de inercia respecto al eje y. Es
decir:
)3(
12
1 22
)()( hrmII CILINDROYCILINDROX 
8.7.3 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UNA ESFERA DE MASA “m”
Y RADIO “r”
y
x
z
r ’
r
z
dz
Al igual que en el caso del
cilindro, para calcular los
momentos de inercia de la
esfera se recomienda elegir
como elemento diferencial
un disco circular delgado de
masa “dm”, radio “r ‘ ” y
espesor “dz”, tal como se
observa en la figura.

9. 134
Debido a la simetría de la figura, los momentos de inercia para la esfera, respecto a los
tres ejes coordenados que atraviesan su centro de masa, son iguales. En consecuencia es
suficiente calcular sólo uno de ellos.
Cálculo de XI (momento de inercia de la esfera, respecto al eje x)
El momento de inercia para la esfera, respecto al eje x que atraviesa su centro de masa,
se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para un disco delgado y
aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo.
Por lo tanto, se cumple:
22
)( )()'()(
4
1
zdmrdmdI ESFERAX 
De la figura se observa que:
222222
)'()'( zrrrrz 
dzzrdmdzrdVdm  )()'( 222

* Como el elemento diferencial (disco circular delgado) y la esfera son del mismo material,
entonces su densidad  es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa de la
esfera entre su respectivo volumen. Es decir:
3
3
4
r
m
V
m

 
Reemplazando “ dm ” y “
2
)'(r ” en la ecuación del momento de inercia “ )(ESFERAXdI ” e
integrando, obtenemos:
2
)(
5
2
rmI ESFERAX 
Nota.- se cumple que:
2
)()()(
5
2
rmIII ESFERAZESFERAYESFERAX 

10. 135
8.7.4 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UNA PLACA DELGADA DE
MASA “m” Y LADOS “a” Y “b”
Para calcular los momentos de inercia de la placa delgada elegimos un elemento
diferencial de masa “dm”, ubicado a una distancia perpendicular “r”, respecto al eje z, tal
como se aprecia en la figura. De ella también se concluye que las componentes de r : “x” e
“y”, son distancias perpendiculares del elemento diferencial a los ejes coordenados.
Además, asumiremos que la placa delgada tiene espesor “z”.
Cálculo de zI (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje z)
Por definición, el momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje z que atraviesa
su centro de masa, viene dado por:
dmrI
m
z  2
, r = distancia perpendicular del eje z al elemento “dm”
Se cumple: )( dzdydxdVdm  
De la figura se observa que:
222
yxr 
Reemplazando “
2
r ” y “ dm ”, la ecuación de zI queda:
)()( 22
2/
2/
2/
2/
2/
2/
dzdydxyxI
z
z
b
b
a
a
z      

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “  ” de la placa delgada:
zba
m
V
m

 ,
obtenemos que:
)(
12
1 22
bamIz 
x
y
z
dm
rx
y
b
a

11. 136
Cálculo de XI (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje x)
Por definición, el momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje x que atraviesa
su centro de masa, viene dado por:
dmrI
m
x
2
)'( , 'r = distancia perpendicular del eje x al elemento “dm”
Al trazar la distancia perpendicular 'r , desde el eje x hasta el elemento diferencial “dm”,
se observa que esta distancia es igual a la distancia “y”. Es decir:
yr '
Si esta distancia “ 'r ” y el diferencial de masa “dm” se reemplazan en la ecuación del
momento de inercia xI , tenemos:
)()( 2
2/
2/
2/
2/
2/
2/
dzdydxyI
z
z
b
b
a
a
X      

Resolviendo la integral y reemplazando la densidad “  ” de la placa delgada:
zba
m
V
m

 ,
obtenemos que:
2
12
1
bmIX 
Cálculo de YI (momento de inercia de la placa delgada, respecto al eje y)
Para calcular el momento de inercia YI se procede de manera similar al cálculo de XI .
En este caso, la distancia perpendicular del eje y que atraviesa su centro de masa, al
elemento diferencial, es “x”.
Al evaluar la ecuación del momento de inercia YI se obtiene que:
2
12
1
amIY 

12. 137
8.7.5 MOMENTOS DE INERCIA DE MASA PARA UN PRISMA RECTANGULAR
DE MASA “m” Y LADOS “a”, “b” y “c”
Cálculo de XI (momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje x)
El momento de inercia para el prisma rectangular, respecto al eje x que atraviesa su centro
de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para una placa
delgada, y además aplicando el teorema de Steiner o teorema del eje paralelo.
Por lo tanto, se cumple:
22
)( )()()(
12
1
ydmcdmdI PRISMAX 
El elemento diferencial tiene masa:
)( dycadVdm  
* Como el elemento diferencial (placa delgada) y el prisma rectangular son del mismo
material, entonces su densidad  es la misma. Esta densidad la hallo dividiendo la masa
del prisma entre su respectivo volumen. Es decir:
cba
m
V
m


Reemplazando “ dm ” en la ecuación del momento de inercia “ )(PRISMAXdI ” e integrando,
obtenemos:
)(
12
1 22
)( bcmI PRISMAX 
x
y
z
c
a
b
y
dy

13. 138
Cálculo de YI (momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje y)
El momento de inercia para el prisma rectangular, respecto al eje y que atraviesa su centro
de masa, se halla a partir del valor conocido del momento de inercia para una placa
delgada.
Por lo tanto, se cumple que:
)()(
2
1 22
)( cadmdI PRISMAY 
donde: )( dycadVdm   ; siendo:
cba
m
V
m


Reemplazando “ dm ” en la ecuación del momento de inercia “ )(PRISMAYdI ” e integrando,
obtenemos:
)(
12
1 22
)( camI PRISMAY 
NOTA.- para calcular el momento de inercia del prisma rectangular, respecto al eje z que
atraviesa su centro de masa, se procede de manera similar al cálculo del momento de
inercia con respecto al eje x. Procediendo de esta forma, se obtiene que:
)(
12
1 22
)( bamI PRISMAz 

14. 139
8.8 TABLA 8.1 – Momentos de inercia de formas corrientes

15. 140
TABLA 8.1 – Momentos de inercia de formas corrientes (Continuación)
Fuente: RILEY W. y STURGES L. Estática. Editorial Reverté. 2005

16. 141
8.9 PROBLEMAS RESUELTOS DE MOMENTOS DE INERCIA
PROBLEMA Nº 1
Determine el momento de inercia de masa Iz del sólido que se forma al girar el área sombreada
alrededor del eje z. La densidad del material es 7,85 Mg/m
3
.
Resolución
Al girar el área sombreada alrededor del eje z, se obtiene el sólido mostrado a continuación. Para
calcular el momento de inercia de dicho sólido elijo como elemento diferencial un disco circular
delgado porque se conoce sus momentos de inercia de masa, respecto a los ejes x, y, z.
Se sabe que:
2
4
1
rmII yx 
2
2
1
rmIz 
y
z
x
r
Disco circular
delgado de masa “m”
yz 82

4 m
y
x
z

17. 142
Para el problema dado, el momento de inercia del disco será un diferencial del momento de
inercia del sólido, es decir:
2
)( )(
2
1
rdmdI SOLIDOZ  . . . (1)
Dónde:
8
2
z
ryr  ; dz
z
dmdzrdVdm 
64
)(
4
2

Reemplazamos en (1):
64642
1 44
)(
z
dz
z
dI SOLIDOZ  
Integrando tenemos:
dzzI SOLIDOZ 
4
0
8
)(
)64)(64(2
1

2
)( 546,68587 mkgI SOLIDOZ 
yz 82

4 m
R = 2 m
y
x
z
z
dz
y
r

18. 143
PROBLEMA Nº 2
El cilindro circular mostrado está hecho de aluminio con densidad de 2 700 kg/m3
y hierro con
densidad de 7 860 kg/m3
. Determine sus momentos de inercia con respecto a los ejes x´ e y´.
Resolver el problema tomando como referencia los valores conocidos de los momentos de inercia
de un disco circular delgado.
Resolución
Primero hallo masa del aluminio Alm , masa del hierro Fem y la coordenada “x” del centro
de masa del cilindro compuesto ( x ).
Las masas Alm y Fem se determinan utilizando la ecuación Vm   , dado que la densidad del
cuerpo (  ) es dato del problema y el volumen V se halla multiplicando el área de la sección
transversal y la altura. Es decir:
323
)6,0)(1,0(/2700 mmkgVm AlAlAl   kgmAl 8938,50
323
)6,0)(1,0(/7860 mmkgVm FeFeFe   kgmFe 1575,148
Para calcular x (coordenada “x” del centro de masa) aplico la ecuación siguiente:
FEAl
FeFeAlAl
mm
mxmx
m
mx
x






 mx 7466,0
* De la figura dada se obtiene que: mxymx FeAl 9,03,0 
Cálculo de )(' TOTALxI (momento de inercia para el cilindro compuesto, respecto al eje 'x )
Por tratarse de un cilindro compuesto se cumple el principio de superposición, es decir que el
momento de inercia total, respecto al eje 'x , es igual a la suma de los momentos de inercia del
cilindro de aluminio y del cilindro de hierro, con respecto al mismo eje 'x .
y
z
y’
z’ x, x’
60 cm
60 cm
10 cm
C.M.
Al
Fe

19. 144
)(')(')(' FexAlxTOTALx III  . . . (1)
Hallo )(' AlxI (momento de inercia del cilindro de aluminio, respecto al eje 'x ):
Si consideramos como elemento diferencial un disco circular delgado de radio r, masa dm y
espesor dx, se sabe que su momento de inercia, respecto al eje 'x , está dado por:
2
)(' )(
2
1
rdmdI Alx  ; donde: dxrdm Al )( 2
 
Reemplazamos “ dm ”:
22
)(' )(
2
1
rdxrdI AlAlx  
Integrando, tenemos:



6,0
0
4
)('
2
dx
r
I Al
Alx
 2
)(' 25497,0 mkgI Alx 
Hallo )(' FexI (momento de inercia del cilindro de hierro, respecto al eje 'x ):
En este caso, se cumple:
2
)(' )(
2
1
rdmdI Fex  ; donde: dxrdm Fe )( 2
 
Reemplazamos “ dm ” :
22
)(' )(
2
1
rdxrdI FeFex  
Integrando, tenemos:



2,1
6,0
4
)('
2
dx
r
I Fe
Fex
 2
)(' 740789,0 mkgI Fex 
Reemplazando en la ecuación (1), tenemos:
2
)(' 94526,0 mkgI TOTALx 
Cálculo de )(' TOTALyI (momento de inercia para el cilindro compuesto, respecto al eje 'y )
En este caso debemos recordar que el momento de inercia para un cilindro de masa “m”, altura “h”
y sección transversal de radio “r”, respecto al eje centroidal “y”, el cual es perpendicular al eje del
cilindro, viene dado por la ecuación siguiente:
)3(
12
1 22
)( hrmI Cilindroy 
h
y
Eje centroidal
r

20. 145
Aplicando esta ecuación y el principio del eje paralelo, tenemos que el momento de inercia del
cilindro de aluminio, respecto al eje 'y , está dado por:
2
1
22
)(' )3(
12
1
dmhrmI AlAlAly 
222
)(' )3,07466,0()3(
12
1
 AlAlAly mhrmI 2
)(' 804896,11 mkgI Aly 
Para comprender mejor la ecuación anterior, ver la figura siguiente:
Para el cilindro de hierro, tenemos:
2
2
22
)(' )3(
12
1
dmhrmI FeFeFey 
222
)(' )7466,09,0(1575,148)6,01,03()1575,148(
12
1
FeyI
2
)(' 307495,8 mkgI Fey 
Para calcular )(' TOTALyI aplicamos principio de superposición. Es decir:
)(')(')(' FeyAlyTOTALy III 
2
)(' 106391,20 mkgI TOTALy 
y
z
y’
z’
x, x’
0,3 m
Eje centroidal
para el aluminio
10 cm
C.M.
Al
Fe
0,9 m
d1
mx 7466,0
Eje centroidal
para el hierro
d2