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  1. 1. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/20131Derivative markets: Forwards, Futures and SwapsAssignment 3Exercise 1:Question 1: Determine the risk parameters of the portfolio (modified duration and convexity.Au 23 Janvier, on a le portefeuille obligataire suivant:L’objectif de cette question est donc de déterminer la modified duration et la convexité du portefeuille en déterminant celles de chacune des 4obligations qui constituent le portefeuille. On va procéder comme dans la question 5 de l’assignment 2.Tout d’abord il faut calculer le Yield-To-Maturity YTM de chacune des obligations, que l’on retrouve en utilisant le solveur, et la formulegénéralisée ci-dessous :
  2. 2. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/20132CP + AI= (R + R* (1- (1+ YTM)^(-n))/YTM +100* (1+ YTM)^ (-n))*(1+YTM) ^ (-d/365)Avec :CP : Clean PriceAI : Accrued Interests.R : Coupon Raten : Coupon restantsd : Jours entre aujourd’hui et le prochain couponLes valeurs obtenues sont résumées dans le tableau ci-dessous :ISIN YTMFR0000188989 0,002976834FR0010011130 0,003504633FR0010216481 0,004245756FR0000187361 0,006431409FR0010415331 0,007345024FR0010776161 0,013579589FR0010854182 0,014595916FR0010192997 0,017933058FR0010466938 0,022812816Ensuite pour chaque obligation, on crée une table de flux, et on calcule:La modified duration MDi=
  3. 3. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/20133Et la convexité Convi = ).En plus des MDi, il faut aussi calculer les αi pour chaque obligation qui est le poids de cette obligation dans la valeur de marché du portefeuille :αi= =Cf. Excel feuille1, pour les tables de fluxISIN Mdi convi αiFR0000188989 -0,245843507 0,305553179 0,157826249FR0000187361 -3,472252201 16,02775636 0,399415678FR0010192997 -7,024319795 61,14948203 0,071864042FR0010466938 -8,750237591 94,29144387 0,370894031On trouve ensuite, la modified duration du portefeuille MDpofolio=∑ = -5.175Et la convexité du portefeuille Convp = =∑ = 45.816Question 2: Using Appendix 1, derive the continuously compounded zero-coupon yield curve and represent graphically.Dans cette question, on va utiliser la méthode de Nielson and Siegel (1987) pour déterminer la courbe zéro-coupon. Le modèle proposé est donnépar la formule suivante :
  4. 4. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/20134L’objectif final de cette question est donc de déterminer les coefficients β0, β1, β2 et τ, que l’on utilisera donc pour les questions suivantes.Explication de la méthode :Tout d’abord on va donner aux paramètres β0, β1, β2 et τ des valeurs fixes afin de pouvoir utiliser les formules en annexe (l’objectif étant dedéterminer les bonnes valeurs). Bien entendu ces valeurs ne sont pas les bonnes valeurs des paramètres, mais doivent être à peu près du mêmeordre (par exemple 3% pour β0, -3% pour β1 et β2, et 1 pour τ).Pour chacune des neufs obligations, on va tout d’abord calculer les R(0,t) grâce à la formule précédente et les valeurs des paramètres choisis.Comme il s’agit de zéro coupons on a R(0,t)=YTM.Ensuite, toujours pour les neufs obligations, on va calculer le prix théorique ̂ = ( )Après avoir obtenu les prix théoriques, on calcule wi ( ̂ –pi) avec wi= avec Di la duration (Di = -MDi × (1+YTM)) et pi le prix actuel(clean price + acccrued interests).Puis finalement la somme quadratique des wi ( ̂ –pi).Ensuite, on va utiliser le solveur de manière à minimiser ̂ – 2, c’est-à-dire à minimiser les erreurs de mesures entre prix théorique etprix actuel.Pour cela certaine conditions doivent être vérifiées :On crée une nouvelle table avec les valeurs de t évoluant avec un pas de 0.2, et on calcule les R(0,t) pour chacune de ces maturités.a) Pour vérifier R(tmin)>0, on ajoute la valeur t = 0,00001 dans la table, et on calcule son R(0,t), puis rajoute comme condition dans lesolveur R(0;0.00001)>0.b) Pour vérifier R(tmax)>0, on ajoute la valeur t = 10000 dans la table, et on calcule son R(0,t), puis rajoute comme condition dans le solveurR(0;10000)>0.c) Pour vérifier exp(-R(tk)tk)-exp(-R(tk+1)tk+1)>0 quel que soit tk<tmax, on calcule cette mesure pour les différents t de la table, et ajoutedans le solveur comme condition exp(-R(tk)tk)-exp(-R(tk+1)tk+1)>0 pour tous les td) Ensuite on a le taux EONIA, qui est le taux des Swaps jour pour jour, R(0, ) = 0.074%e) Les taux Euribor 3mois et un an, R(0 ; 0.25)=0.120% et R(0 ;1)=0.586%.f) Quand t => 0 R(0,t) => β0 + β1 et quand t=>infini R(0,t) => β0
  5. 5. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/20135g) Enfin, on fixe les limites des différents paramètres dans le solveurAprès utilisation du solveur avec comme cellule cible ̂ – 2que l’on doit minimiser, et les cellules variables celles correspondant au 4paramètres, on obtient les valeurs suivantes :β0 1,32025513%β1 -1,24535207%β2 -1,45056195%τ 0,303604652Ensuite, on crée une nouvelle feuille, dans laquelle on recopie les valeurs des coefficients trouvés précédemment. Désormais, ces valeurs sontconnues, et grâce à la formule proposée par Nielson & Siegel, on trace la courbe zéro coupon dérivée, avec des maturités allant de 0.5 à 11 ansavec un pas de 0.5.D’autre part, on reporte dans un tableau les valeurs de R(0,t), ainsi que les facteurs d’actualisation (1+R(0,t))^(-t), que l’on utilisera pour laquestion 3.t R(0,t)facteur dactualisation(1 +R(0,t))^(-t)0,5 0,002780878 0,9986114921 0,005859771 0,9941743661,5 0,007888669 0,9882826162 0,009135709 0,981975952,5 0,009933301 0,9755920853 0,010475126 0,9692216773,5 0,010864168 0,9628867064 0,011156353 0,9565919934,5 0,011383686 0,950338343
  6. 6. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/201365 0,011565568 0,9441256745,5 0,011714384 0,9379537296 0,011838398 0,931822226,5 0,011943333 0,9257308637 0,012033277 0,9196793817,5 0,012111229 0,9136675018 0,012179436 0,9076949558,5 0,012239619 0,901761489 0,012293116 0,8958668169,5 0,012340981 0,89001070410 0,012384059 0,88419288910,5 0,012423035 0,87841311811 0,012458468 0,872671141La courbe finale obtenue est la suivante :00,0020,0040,0060,0080,010,0120,0140 2 4 6 8 10 12R(0,t)R(0,t)
  7. 7. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/20137Question 3: Using the continuously compounded zero-coupon yield curve, determine the fixed rate of each swap (so that its value is zero), itsmodified duration and convexity.On cherche tout d’abord le taux Swap qui permet de ramener le prix du Swap à zéro, grâce à la courbe des zéro-coupon. Ces taux représentent les jambesfixes qui seront livrées à l’échéance des contrats.Pour ce faire, on va utiliser un solveur permettant de déterminer ce taux sous la contrainte d’un prix de Swap égal à zéro. On procède ainsi pour les deuxSwaps.On reporte ainsi le taux zéro-coupon R(0,t) que l’on prend du tableau précédent, la jambe fixe dont le taux est égal au taux fixe que l’on cherche, le facteurd’actualisation (1 +R(0,t))^(-t), la jambe variable dont la valeur est supposée de 100%, et les différents fixed cash flows actualisés (distribution de valeur)dont la somme doit être égale à 100%, afin d’obtenir des swaps de valeur nulle. Les tables obtenues sont reportées ci-dessous.SWAP 5 ans 0Nominal 1000000Fixed rate% 1,153%tTaux zéro-coupon %Fixed CFFacteuractualisationValeur actuelleDistributionde la valeur0,5 0,002780878 0,999 100%1 0,005859771 1,15297754% 0,994 1,14626072%2 0,009135709 1,15297754% 0,982 1,13219622%3 0,010475126 1,15297754% 0,969 1,11749083%4 0,011156353 1,15297754% 0,957 1,10292909%5 0,011565568 101,15297754% 0,944 95,50112315%Sum 100,00000%
  8. 8. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/20138Swap en %nominal 0,00000%Pour le Swaps 5 ans, on retrouve ainsi un taux fixe de 1,153%Pour le Swaps 7 ans, on retrouve ainsi un taux fixe de 1,199%.L’étape suivante est de calculer les Modified duration et les convexités des deux Swaps. On procède comme dans la question 1, avec Ft les fixed CF (trouvésjuste avant).SWAP 7ansNominal 1000000Fixed rate% 1,199%tTaux zéro-coupon %Fixed CF %FacteuractualisationValeur actuelle(en %)Distribution dela valeur0,5 0,002780878 0,9986 100%1 0,005859771 1,199246% 0,9942 1,19225998%2 0,009135709 1,199246% 0,982 1,17763108%3 0,010475126 1,199246% 0,9692 1,16233556%4 0,011156353 1,199246% 0,9566 1,14718946%5 0,011565568 1,199246% 0,9441 1,13223927%6 0,011838398 1,199246% 0,9318 1,11748440%7 0,012033277 101,199246% 0,9197 93,07086024%Sum 100,00000000%Swap en %nominal 0,0000%
  9. 9. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/20139Swap 5ansM.Duration Convexitytt.Ft.(1+r)^(-t-1) Ft.(1+r)^-t t(t+1).Ft(1+r)^(-t-2) Ft(1+r)^-t1 0,011268432 0,011398355 0,022279982 0,0113983552 0,022279982 0,011268432 0,06607808 0,0112684323 0,03303904 0,011139991 0,130649797 0,0111399914 0,043549932 0,011013013 0,215267673 0,0110130135 4,721463627 0,955180208 28,00588025 0,955180208sum 4,831601013 1 28,44015578 1Mdi 4,831601013 Convi 28,44015578Swap 7ansM.Duration Convexityt t.Ft.(1+r)^(-t-1) Ft.(1+r)^-t t(t+1).Ft(1+r)^(-t-2) Ft(1+r)^-t1 0,011709918 0,011850349 0,023142303 0,01185032 0,023142303 0,011709918 0,068604175 0,01170993 0,034302087 0,011571151 0,135582383 0,01157124 0,045194128 0,011434029 0,223292807 0,0114345 0,055823202 0,011298532 0,330970064 0,01129856 0,066194013 0,01116464 0,457867135 0,01116467 6,439573317 0,930971381 50,90609702 0,9309714Sum 6,675938967 1 52,14555589 1Mdi 6,675938967 Convi 52,145556Question 4 : Duration hedging is performed using the 7-year swap. What is the quantity of this swap to be bought or sold so as to hedge thebond portfolio?
  10. 10. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/201310Dans les questions qui suivent, on va établir deux types de couverture d’un portefeuille obligataire avec des SwapsOn va d’abord étudier le cas d’une couverture avec un seul Swap.On calcule tout d’abord pour le portefeuille, la modified duration MDp et la $Durationp (per bps)Pour cela on utilise les données reportées dans le tableau de la fin de question 2 (valeurs de R(0,t) et facteurs d’actualisation), et on utilise lesdonnées pour les maturités correspondant à celles des obligations de mon portefeuille.Le prix de ces obligations, étant des obligations zéro-coupon, correspond à la valeur actuelle de la valeur de remboursement de ces obligations. A noter quepour les maturités inférieure à un an, on utilise la formule : ( 1 + R(0,t) x t )^-1. Ainsi, P0 = 100 x facteur d’actualisation de maturité correspondante. On endéduit la MVi de chaque obligation qui est égale au produit P0×Par value, et les αi.Etant donné que les obligations sont des obligations zéro-coupon, les YTM de ces obligations est égal au taux zéro-coupon R(0,t) de la maturitécorrespondante. Les MDi et les convi de chaque obligation sont calculés avec les mêmes formules que précédemment, sauf que cette fois-ci on aura qu’unseul flux Ft de 100 qui sera versé à la maturité.Ci-dessous les valeurs obtenues. Pour plus de détails se reporter au fichier excel.ISIN Mdi conviFR0000188989 0,2462842 0,306649321FR0000187361 3,7098015 17,43199109FR0010192997 8,1525071 74,51753202FR0010466938 10,621281 123,3023711On obtient alors la modified duration du portefeuille MDp=∑ = 5.67 etLa $Durationp (per bps)= MDp×MVp× (0.01%)= 37033,90
  11. 11. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/201311De plus, la $DurationSwap7ans (per bps)= = = 667,5938967Le hedge ratio est donné par la formule :Hedge ratio = - = - = -55,47.Il faut donc vendre 56 Swaps de maturité 7 ans pour couvrir efficacement le portefeuille obligataire.Question 5 : Duration/Convexity hedging is performed using both swaps. What are the quantities of each swap to be bought or sold so as tohedge the bond portfolio?Dans cette question il s’agit de réaliser une couverture efficace en utilisant 2 swaps.On a d’après le cours la formule suivante :Il faut aussi donc calculer les convexités dans ce cas.La convexité du portefeuille est donnée par : Convp=∑ = 53,59528924La $Convp (per bps)= Convp×MVp× (0.01%)= 349975,9465Et la $Durationp (per bps) a déjà été calculée précédemment= 37033,90On a également déjà calculé précedemment, les modified duration et convexités des swaps qu’il suffit de multiplier par 1000000×(0.01%) pour obtenir lesvaleurs en dollars per bps.P2S21S1P2S21S1Conv$Conv$hConv$hDur$Dur$hDur$h
  12. 12. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/201312Ce problème peut être schématisé de la façon suivante :CDswaps × H = - CDpAvec : CDswaps la matrice ( )H le vecteur ( )Et CDp le vecteur ( )Alors H=- (CDswaps)-1CDpOn obtient H= ( )Pour se couvrir efficacement, dans le cas de l’utilisation des deux Swaps, il faut acheter 65 swaps de maturité 5 ans et vendre 102 Swaps de maturité 7 ans.Question 6: To measure the performance of each hedging method, assume 10 different movements of the yield curve. These ten scenarios areobtained by assuming the following changes in the beta parameters in the NS-model:a/ small parallel shifts with b0 = +0.1% and -0.1%b/ large parallel shifts with b0= +1.0% and -1.0%c/ decrease and increase in the long-to-short spread with b1= +1.0% and -1.0%d/ curvature moves with b2 = +0.6% and -0.6%e/ flattening and steepening move of the yield curve with (b0=-0.4%; b1=+1.2%) and (b0=+0.4%; b1=-1.2%).In each scenario, calculate the variation in value of the bond portfolio and the hedging error in the two different methods. Conclude.Dans cette question il s’agit d’étudier l’impact de variations des paramètres β0, β1 et β2, sur la valeur de marché du portefeuille, ainsi que sur leshedging ratios trouvés précédemment, pour les deux précédentes méthodes, afin de déterminer laquelle est la plus efficace.
  13. 13. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/201313Afin d’automatiser le processus de variation des paramètres β0, β1 et β2, on a utilisé des boutons que l’on affecte aux cellules correspondant auxvaleurs de ces paramètres. Il faut également affecter chacun de ces 3 boutons à une macro qui permettra en fait de ramener les valeurs des swaps5 ans et 7 ans à 0 en fixant leur fixed rate, grâce à l’utilisation de deux solveurs (1 pour fixer le fixed rate du Swap 5 ans, et un autre pour fixer lefixed rate du Swap 7ans, comme dans la question 3). La macro réalisée se présente comme ci-dessous :Sub solvvf()Range("J23").SelectSolverOk SetCell:="$J$23", MaxMinVal:=3, ValueOf:=1, ByChange:="$F$13", Engine _:=1, EngineDesc:="GRG Nonlinear"SolverOptions MaxTime:=0, Iterations:=0, Precision:=0.00000001, Convergence:= _0.000000001, StepThru:=False, Scaling:=False, AssumeNonNeg:=True, Derivatives:= _2SolverOptions PopulationSize:=100, RandomSeed:=0, MutationRate:=0.075, Multistart _:=False, RequireBounds:=False, MaxSubproblems:=0, MaxIntegerSols:=0, _IntTolerance:=0.1, SolveWithout:=False, MaxTimeNoImp:=30SolverOk SetCell:="$J$23", MaxMinVal:=3, ValueOf:=1, ByChange:="$F$13", Engine _:=1, EngineDesc:="GRG Nonlinear"SolverOk SetCell:="$J$23", MaxMinVal:=3, ValueOf:=1, ByChange:="$F$13", Engine _:=1, EngineDesc:="GRG Nonlinear"SolverSolveRange("Q25").SelectSolverOk SetCell:="$Q$25", MaxMinVal:=3, ValueOf:=1, ByChange:="$M$13", Engine _:=1, EngineDesc:="GRG Nonlinear"SolverOptions MaxTime:=0, Iterations:=0, Precision:=0.00000001, Convergence:= _0.000000001, StepThru:=False, Scaling:=False, AssumeNonNeg:=True, Derivatives:= _2SolverOptions PopulationSize:=100, RandomSeed:=0, MutationRate:=0.075, Multistart _:=False, RequireBounds:=False, MaxSubproblems:=0, MaxIntegerSols:=0, _IntTolerance:=0.1, SolveWithout:=False, MaxTimeNoImp:=30SolverOk SetCell:="$Q$25", MaxMinVal:=3, ValueOf:=1, ByChange:="$M$13", Engine _:=1, EngineDesc:="GRG Nonlinear"SolverOk SetCell:="$Q$25", MaxMinVal:=3, ValueOf:=1, ByChange:="$M$13", Engine _
  14. 14. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/201314:=1, EngineDesc:="GRG Nonlinear"SolverSolveEnd SubLes boutons avec la macro ont été utilisés dans les dix situations. On a bien vérifié que la valeur des Swaps était à chaque fois ramenée à zéro.Les résultats obtenus sont reportés dans le tableau ci-dessous :ScénariosValue of the bondportfolioVariation valueportfolioDuration Hedging Duration/Convexity HedgingSwap 7years Hedging error Swap 5years Hedging error Swap 7years Hedging errorInitial situationInitial values of β0,β1 & β2 65 299 758,89 € -55,46401463 65,23650126 -102,678206Small parallel shifts β0β0= +0,1% 64 931 159,20 € -368 599,69 € -55,16653974 0,297474888 64,91829543 -0,318205832 -102,1950598 0,483146204β0= -0,1% 65 671 856,08 € 372 097,18 € -55,78318609 -0,319171465 65,64198326 0,405481996 -103,2449254 -0,56671939Large parallel shiftsβ0β0= +1,0% 61 764 751,80 € -3 535 007,10 € -52,50368541 2,960329215 61,75715753 -3,479343731 -97,62327829 5,054927695β0= -1,0% 69 184 941,94 € 3 885 183,05 € -58,67669218 -3,212677554 68,99729136 3,760790101 -108,1289701 -5,45076415Decrease & Increaselong-to-short spreadβ1β1= +1,0% 65 120 525,52 € -179 233,38 € -55,3785033 0,085511324 65,38441787 0,147916609 -102,6959374 -0,0177314β1=-1,0% 65 479 625,68 € 179 866,78 € -55,56933515 -0,105320524 65,17427761 -0,062223646 -102,7416192 -0,06341324Curvature moves β2
  15. 15. AMMOUR Badr/SECK Babacar FIN2/EFA 2012/201315β2= +0,6% 65 200 338,64 € -99 420,26 € -55,41795844 0,046056189 65,33576237 0,099261109 -102,7015635 -0,02335756β2= -0,6% 65 399 384,70 € 99 625,81 € -55,52957922 -0,065564595 65,22272274 -0,013778514 -102,7355353 -0,05732927Flatening &steepening moves{β0=-0,4%;β1=+1,2%} 66 588 331,50 € 1 288 572,61 € -56,60796931 -1,143954681 66,86531697 1,628815706 -104,8099263 -2,13172035{β0=+0,4%; β1=-1,2%} 64 055 884,79 € -1 243 874,10 € -54,37010478 1,093909846 63,71833514 -1,518166114 -100,6650725 2,01313346On remarque que les variations qui affectent le plus les valeurs du portefeuille et les hedging ratios sont celles liés aux larges variations (+/- 1%)de β0, alors que pour les petites variations de β0 (+/-0.1%) et celles de β1 et β2, les variations sont légères, voire inexistantes au niveau des hedgings ratios.Ensuite, dans un degré moindre les variations combinées « Flatening & steepening moves », affectent moins que pour les β0= +/-1,0% (environ lamoitié) les valeurs de marché du portefeuille, ainsi que les hedging ratios. Ensuite, concernant les différentes méthodes utilisées, l’impact sur le Durationhedging est inférieur à celui de la Duration/Convexity Hedging pour les 10 scénarios, le Duration hedging avec un seul swap 7 ans est donc plus efficace quele Duration/Convexity Hedging avec deux Swaps de maturité 5 et 7ans

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