Meqaniquedupointmateriel

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cour de mecanique du point pour les etudiant 1er année sma smi smpc

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  1. 1. UNIVERSITE MOHAMED V Année Universitaire 2004/2005FACULTE DES SCIENCESRABAT-AGDALDEPARTEMENT DE PHYSIQUE COURS DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL. POUR LE PREMIER SEMESTRE DES FILIERES SM ET SMI.Par : MHIRECH Abdelaziz Professeur à L’Université Mohamed V Faculté des Sciences – Rabat – Agdal.
  2. 2. SOMMAIRECHAPITRE 1 :- Système de coordonnées.- Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel).CHAPITRE 2 : Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel.CHAPITRE 3 : Travail et énergie.CHAPITRE 4 : Les mouvements à force centrale.CHAPITRE 5 : Vibrations simples : Systèmes à un degré de liberté.CHAPITRE 6 : Chocs de deux particules.
  3. 3. CHAPITRE 1 : A) SYSTEMES DE COORDONNEES Selon la nature de la trajectoire d’une particule, sa position sera repérée par l’un dessystèmes de coordonnées : cartésiennes, cylindriques ou sphériques. Soient R0 (O,x0 y0 z0 ) un repère direct orthonormé de base (i , j , k ) et M la particule àrepérer.I ] Système de coordonnées cartésiennes. Dans R0, la position de la particule M est donnée par ses trois coordonnées cartésiennes (x,y,z) telles que : x = abscisse de M ; y = ordonnée de M ; z = côte de M. x = Pr oj Ox OM ; y = Pr ojOy OM ; z = Pr oj Oz OM . 0 0 0 z M k O j y i y0 x m x0Dans R0 , le vecteur position s’écrit : OM = Om + mM = x i + y j + z k . Déplacement élémentaire. Le vecteur déplacement élémentaire MM (M’ est rès voisin de M) s’écrit: MM = d OM = d M = dx i + dy j + dz k (Dans R0 , d i = d j = d k = 0 ) ] II] Systèmes de coordonnées cylindriques. Si la trajectoire du point M possède une symétrie axiale de révolution, il est intéressant d’utiliser les coordonnées cylindriques de ce point (ρ,ϕ,z) définies comme suit : ρ = Om ( m est la projection de M sur le plan ( x0 Oy 0 ) ), ϕ = angle (Ox 0 , Om) et z est la projection du vecteur position OM sur l’axe Oz 0 .
  4. 4. z0 k z eϕ M eρ k O j eϕ y0 ρ i ϕ m x0Une nouvelle base orthonormée directe ( e ρ , e ϕ , k ) est associée à ce système decoordonnées telle que : e ρ = cos ϕi + sin ϕ j. e ϕ = − sin ϕi + cos ϕ j . de ρavec = eϕ dϕ d eϕ et = −e ρ . dϕ eϕ ϕ O j ϕ i eρQuand le point M décrit tout l’espace, les intervalles de variation de ρ, ϕ et z sont :0 ρ < +∞ ; 0 ϕ 2π ; -∞ < z < +∞.Dans la base ( e ρ , e ϕ , k ) , le vecteur position Om s’écrit : OM = Om + mM = ρe ρ + z k .Déplacement élémentaire:Le vecteur déplacement élémentaire MM (M’ très voisin de M) est: MM = d OM = d M = dρe ρ + ρdϕe ϕ + z k .Cas particulier:Si la trajectoire de M est plane, ce point peut être repéré par ses coordonnées polairesρ et ϕ.
  5. 5. ] III] Système de coordonnées sphériques. Lorsque le problème présente une symétrie sphérique autour d’un point O que l’on prend pour origine du repère d’espace, il est pratique d’utiliser les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) de la particule à étudier telles que : r = OM ; θ = angle (Oz 0 , OM ) ; ϕ = angle (Ox 0 , Om) . z0 z er M eϕ θ k eθ O j y0 ρ eϕ i ϕ m x0Quand M décrit tout l’espace, 0 r < +∞ ; 0 ϕ 2π ; 0 θ π.Une nouvelle base s’introduit alors : ( e r , eθ , e ϕ ) . Où e r = sin θe ρ + cos θ k = sin θ cos ϕi + sin θ sin ϕ j + cos θk   e θ = cos θe ρ − sin θ k = cos θ cos ϕi + cos θ sin ϕ j − sin θ k  e ϕ = − sin ϕi + cos ϕ j .  k θ eϕ er ϕ O j ⊗ eρ eϕ O θ ϕ eρ i eθDans la base ( e r , eθ , e ϕ ) , le vecteur position s’écrit : OM = r e r .Déplacement élémentaire : Le déplacement élémentaire de la particule M en coordonnées sphériques est donnépar: d OM = dr e r + rdθ eθ + r (sin θ) dϕeϕ .
  6. 6. B) CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL. - L’objet de la cinématique est de décrire les mouvements d’une particule sans tenir compte des causes qui les produisent. - La description du mouvement d’une particule met en œuvre trois vecteurs : i) Le vecteur position. ii) Le vecteur vitesse. iii) Le vecteur accélération. - Le corps mobile sera appelé point matériel. On parle de point matériel lorsque les dimensions du mobile sont considérées négligeables dans les conditions du problème. - En mécanique classique, la vitesse V du point M est négligeable par rapport à la vitesse de la lumière dans le vide. - I) Vecteur vitesse : a) Vitesse moyenne. Le vecteur vitesse moyenne d’une particule M qui se trouve à l’instant t1 en M1 et à l’instant t2 en M2 est donnée par: OM (t 2 ) − OM ( t1 ) OM 2 − OM 1 V m (M ) = = t 2 − t1 t 2 − t1 b) Vitesse instantanée. Le vecteur vitesse instantanée de la particule en M par rapport à un repère orthonormé R(O,xyz) est : OM (t + ∆t ) − OM (t ) V ( M / R) = lim V m ( M ) = lim , ∆t→ 0 ∆t→ 0 ∆t d OM donc V (M / R ) = dt R b) Vitesse algébrique: Dans ce cas, c’est la trajectoire elle même qui sert à repérer le mobile à l’aide de l’abscisse curviligne s (ou coordonnée intrinsèque) du point M. ∆s = arc (M(t)M(t+∆t)). z T M(t+dt) M(t) dθ k y O j x iLe vecteur vitesse est porté par le vecteur unitaire T tangent à la trajectoire.
  7. 7. dsLa vitesse algébrique de M est v = . Le vecteur vitesse instantanée peut donc sécrire: dt ds V ( M / R) = T . dt II) Vecteur accélération. La dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse ci-dessus donne le vecteur accélération, qui sécrit comme suit : d2s ds d T γ(M / R ) = 2 T+ . dt dt dt d T d T dθ Or = . et dt dθ dt dT = N désigne le vecteur normal dirigé vers le centre de courbure de la dθ trajectoire du point M. Par ailleurs, nous avons, ∆s=Rcθ ou ds=Rcdθ dθ 1 ds v Donc = = . dt Rc dt Rc M(t+dt) dT v Par conséquent, = N. Rc dt Rc dθ M(t) Le vecteur accélération instantanée du point M s’écrit alors : dv v2 γ ( M / R) = T + N = γt T + γn N = γ t + γ n . dt Rc - La direction définie par le vecteur N est la normale principale en M à la trajectoire. - Le vecteur unitaire B = T ∧ N est appelé vecteur de la binormale. - Le repère ( M ; T , N , B) est le repère de Frenet-Serret. Hodographe du mouvement. Définition : L’hodographe d’un mouvement (noté (H)) est l’ensemble des point P tels que : A tout instant, OP = V ( M / R) ; où O désigne le pôle de (H). P’ (H) V P V
  8. 8. III) Composantes des vecteurs vitesse et accélération. a) Coordonnées cartésiennes (x,y,z) Soit un référentiel R(O,xyz) fixe muni d’une base (i , j , k ) . Le vecteur position est : OM = xi + y j + z k . Le vecteur vitesse s’écrit alors : dx dy dz . . . V ( M / R) = i+ j + k = xi + y j + z k dt dt dt Les vecteurs unitaires i , j et k sont fixes dans le repère R, donc : di dj dk = = = 0. dt dt dt R R R Et l’accélération instantanée du point M s’écrit : d2x d2y d2z .. .. .. γ ( M / R) = 2 i + 2 j + 2 k = x i + y j + z k . dt dt dt ρϕ b) Coordonnées cylindriques (ρ ,ϕ ,z) : Le vecteur position est OM = ρe ρ + z k . Le vecteur déplacement élémentaire s’écrit : d OM = dρe ρ + ρdϕeϕ + dz k . Le vecteur vitesse est alors : d OM dρ dϕ dz V ( M / R) = = eρ + ρ eϕ + k . dt dt dt dt R . . . Ou bien V ( M / R) = ρ e ρ + ρϕ eϕ + z k . Le vecteur accélération est: .. . . . .. . .. d V ( M / R) d eρ d eϕ γ ( M / R) = = ρeρ + ρ + ρϕe ϕ + ρϕe ϕ + ρϕ + zk , dt dt dt R R R Qui peut encore sécrire:  .. .  ρ− ρϕ2  ..  . . γ ( M / R) = ρϕ+ 2 ρϕ  .. z  e ρ ,eϕ , k Remarque:Dans le cas dun mouvement plan, nous avons z = 0 et le vecteur accélération sécrit alors:
  9. 9.  .. . ρ− ρϕ2 composante radiale .γ ( M / R) =  .. ρϕ+ 2 ρϕ . . e ρ ,eϕ  composante orthoradiale. c) Coordonnées sphériques (r,è,ö) La base associée à ce système de coordonnées est ( e r , eθ , e ϕ ) . Nous rappelons que, le vecteur position est OM = r e r et le vecteur déplacementélémentaire sécrit d OM = dr e r + rdθ eθ + r (sin θ) dϕeϕ . d OM dr dθ dϕ - Le vecteur vitesse est alors: V ( M / R) = = er + r eθ + r (sin θ ) eϕ . dt dt dt dt R . . . Ou V ( M / R) = r e r + r θ eθ + r (sin θ) ϕ e ϕ - Le vecteur accélération est: .. . 2 . 2 . . .. . 2 . . γ ( M / R) = (r − r θ − r ϕ sin 2 θ )e r + ( 2 r θ + r θ− r ϕ cos θ sin θ )e θ + ( 2 r ϕsin θ + . . .. 2r θ ϕ cos θ + r ϕ sin θ) eϕ IV) Exemple de mouvement particuliers. 1) Mouvement circulaire. Dans ce cas, le mobile se déplace sur un cercle (C) de rayon R et de centre O. Ce cercle est situé dans le plan (xOy). Pou étudier le mouvement de M, il préférable dutiliser les coordonnées ses polaires (ñ,ö). y eϕ = T eρ M i ϕ O x j M0En coordonnées polaires, le vecteur position sécrit: OM = ρe ρ = Re ρ .
  10. 10. .Le vecteur vitesse du point M est: V ( M / R ) = R ϕe ϕ ,et le vecteur accélération est donné par: .. . 2 . . .. . 2 .. γ ( M / R) = ( ρ− ρϕ )e ρ + ( 2 ρϕ+ ρϕ) e ϕ = − R ϕ e ρ + R ϕe ϕ .Dans le cas où le mouvement circulaire est uniforme, nous avons: .ö = ùt et ϕ = ω = Cte . Le vecteur vitesse de M devient: V ( M / R) = Rωeϕ , et le vecteuraccélération se réduit à: γ ( M / R) = −Rω2 e ρ .Laccélération du point M est alors normale à sa trajectoire (laccélération tangentielle estnulle, car le module du vecteur vitesse est constant).En coordonnées intrinsèques, larc M 0 M = ∆s = Rϕ( t ) , ds .doù V ( M / R) = T = R ϕT , dt . 2 d 2s v2 ..et laccélération est γ ( M / R) = 2 T + N = R ϕT + R ϕ eϕ . dt RcEt γ ( M / R ) = γ t e ϕ − γ n e ρ , donc e ϕ = T et e ρ = −N .Remarque: Le vecteur vitesse peut aussi sécrire: V ( M / R) = ω ∧ OM = ωk ∧ Re ρ = Rωeϕ = RωT . 2) Mouvement à accélération centrale. Un mouvement à accélération centrale est un mouvement dont laccélération de la particule M, γ ( M / R) , est parallèle au vecteur position OM à tout instant t. Il en découle OM ∧ γ ( M / R) = 0 . Par ailleurs: d [OM ∧ V ( M / R)] OM ∧ γ ( M / R) = = 0. dt Doù OM ∧ V ( M / R ) = C . C est un vecteur constant en module, en sens et en direction. C est alors perpendiculaire au plan formé par OM et V ( M / R) . Le vecteur position OM et le vecteur vitesse V ( M / R) appartiennent donc au même plan quelque soit linstant t considéré. Par conséquent, tout mouvement à accélération centrale est un mouvement plan. Pour étudier le mouvement du point M, il est alors préférable dutiliser ses coordonnées polaires.
  11. 11. Nous rappelons que dans le cas général dun mouvement plan les vecteurs position, vitesse et accélération sécrivent, respectivement, comme suit: OM = ρe ρ . . . V ( M / R) = ρ e ρ + ρϕ eϕ . .. . . . .. γ ( M / R) = ( ρ− ρϕ2 )e ρ + ( 2 ρϕ+ ρϕ)e ϕ . Puisque laccélération du point M est centrale (parallèle au vecteur position), elle doit sécrire dans ce cas: .. . γ ( M / R) = ( ρ− ρϕ2 ) e ρ , et donc sa composante orthoradiale est nulle: . . . .. 1 d ( ρ 2 ϕ) . 2 ρϕ+ ρϕ = 0 qui peut sécrire = 0 doù ρ2 ϕ = Cte . ρ dt . Finalement, ρ2 ϕ = C = OM ∧ V ( M / R) , appelée constante des aires.Loi des aires:Calculons laire balayée, par unité de temps, par le rayon vecteur OM = ρe ρ . C M’ dϕ eρ M ds C = O M ∧ V ( M / R) 1ds = OM ∧ MM , M est très voisin de M. 2 1Donc ds = ρe ρ ∧ (dρe ρ + ρdϕe ϕ ) = ρ 2 dϕ , et 2ds C C C t doù ds = dt et ∫ ds = ∫ dt . s =dt 2 2 0 2 0 C CDonc s = t où est la vitesse aréolaire (Cm²/s). 2 2Ce résultat est appelé 2ème loi de Kepler.
  12. 12. Formules de BINET: a) cas de la vitesse: Dans le cas dun mouvement à accélération centrale, le carré du . 2 . module du vecteur vitesse est: V 2 = ρ + ρ 2 ϕ2 . . dρ dρ dϕ ρ= = . dt dϕ dt 1 dρ du 1 dρ On pose u = , donc du = − 2 et =− 2 , ρ ρ dϕ ρ dϕ dρ 1 du Ce qui donne =− 2 . dϕ u dϕ Dautre part, . . C = ρ 2 ϕ peut sécrire ϕ = Cu 2 . 1 du 2 2 4 1 2 4 Et V 2 = [ −( 2 )] .C u + 2 .C u , u dϕ u La première formule de BINET sécrit: du 2 V 2 = C 2 [( ) .+ u2] dϕ Cette formule permet de déterminer léquation polaire ñ = ñ(ö) ou bien u = u(ö) connaissant la vitesse du point M et inversement. b) cas de laccélération La deuxième formule de BINET permet de déterminer laccélération de la particule étudiée si lon connaît léquation polaire et inversement. Le mouvement du point M étant à accélération centrale, on a: .. . .. . γ ( M / R) = ( ρ− ρϕ2 ) e ρ dont la valeur algébrique est γ = ρ− ρϕ2 . . .. d ρ dϕ d du d 2u ρ= = ( −C ).Cu 2 = −C 2 u 2 . dϕ dt dϕ dϕ dϕ 2 1 2 4 Et ρϕ2 = C u = C 2 u3 . u La deuxième formule de BINET sécrit alors d 2u γ = −C 2 u 2 [ + u] dϕ2
  13. 13. CHANGEMENTS DE REFERENTIELSSoit à étudier le mouvement d’une particule M par rapport à un repère fixe R, appelé repèreabsolu. Il est parfois intéressant d’introduire un second repère R’, dit repère relatif, par rapportau quel le mouvement de M soit simple à étudier.Soient, - R(O,xyz) un repère absolu (repère fixe). - R’(O’,x’y’z’) un repère relatif (repère mobile par rapport à R). z M y’ z’ R’ k O’ R j i k j x’ y x i O R’ peut être animé d’un mouvement de translation et/ou de rotation par rapport à R. La rotation de R’ par rapport à R se fait avec une vitesse angulaire ω(R’/R) telle que : Dans le repère R,  d i  = ω( R / R) ∧ i  dt R   d j  = ω( R / R) ∧ j  dt R   d k = ω( R / R) ∧ k  dt  R Dans R’, d i d j d k = = = 0. dt dt R dt R R 1) Dérivation en repère mobile. Soit A un vecteur quelconque. Dans le repère R, ce vecteur s’écrit A = xi + y j + z k . Dans le repère R’ le vecteur A s’écrit, A = x i + y j + z k. . . . . . . dA d i d j d k = x i + y j + z k = x i + x + y j + y + z k + z , dt R dt R dt R dt R
  14. 14. qui peut s’écrire aussi, . . . dA = x i + y j + z k + x ω( R / R) ∧ x i + y ω( R / R) ∧ y j + z ω( R / R) ∧ z k , dt R Ou dA dA = + ω( R / R) ∧ A dt R dt R 2) Composition des vitesses Soient R(O,xyz) un repère absolu et R’(O’,x’y’z’) un repère relatif. z M y’ z’ r R’ k R O’ k r i j x’ y x i O j Les vecteurs position de la particule M dans les repères R et R’ sont, respectivement : OM = r et O M = r . On peut écrire, OM = OO + O M .Donc la vitesse absolu du point M est, d OM d OO d O M d OO d O MV a ( M ) = V ( M / R) = = + = + + ω( R / R) ∧ O M .. dt dt dt dt dt R R R R ROù d O M V ( M / R ) = V r ( M ) = désigne la vitesse relative du point M. Et , dt R d OO Ve ( M ) = + ω( R / R) ∧ O M , dt Rest la vitesse d’entraînement de M. La vitesse d’entraînement de M est la vitesse absolu dupoint (imaginaire) qui coïncide avec M à l’instant t et supposé fixe dans le repère R’.
  15. 15. On peut aussi noter la vitesse d’entraînement de M comme suit, d OM Ve ( M ) = ( M fixe dans R ). dt RNous avons donc, Va ( M ) = Vr ( M ) + Ve ( M ). 3) Composition des accélérations. L’accélération absolue du point M est, d 2 OM dV a γ a ( M ) = γ ( M / R) = = . dt 2 dt R R d (Vr ( M ) + Ve ( M )) γ a (M ) = dt R d Vr ( M ) d  d OO  = +  + ω( R / R) ∧ O M  dt R dt  dt R   R d Vr ( M ) dVr ( M ) ∗ = + ω( R / R) ∧ Vr = γ r ( M ) + ω( R / R ) ∧ Vr dt dt R R d d ω( R / R ) d O M ∗ (ω( R / R) ∧ O M ) = ∧ O M + ω( R / R) ∧ dt R dt dt RPar conséquent l’accélération absolue peut s’écrire, γ a ( M ) = γ r ( M ) + 2ω( R / R) ∧ V r ( M ) + d 2 OO d ω( R / R ) 2 + ∧ O M + dt dt R ω( R / R) ∧ (ω( R / R) ∧ O M ).Dont d 2 OO d ω( R / R ) 2 + ∧ O M + ω( R / R ) ∧ (ω( R / R) ∧ O M ) = γ e ( M ) , dt dt Rdésigne l’accélération d’entraînement, et 2ω( R / R) ∧ V r ( M ) = γ c ( M )est l’accélération de Coriolis ou complémentaire.Nous écrivons alors γ a ( M ) = γ r ( M ) + γ e ( M ) + γ c ( M ).Cas particulier :Quand le repère R’ est en translation par rapport à R, ω( R / R) = 0 .
  16. 16. Par conséquent V a ( M ) = V r ( M ) + V a ( O )  et  γ a ( M ) = γ r ( M ) + γ a ( O ).Si en plus, R’ est en translation uniforme par rapport à R, V a (O ) = cte et γ a ( M ) = γ r ( M ).
  17. 17. CHAPITRE 2DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL :LOI FONDAMENTALE ET THEOREMES GENERAUX. La dynamique est l’étude des mouvements en fonction des causes qui les produisent. Cescauses sont les interactions entre particules et sont représentées par les forces. I) Loi fondamentale de la dynamique. 1) Principe d’inertie. Lorsqu’un point matériel en mouvement n’est soumis à aucune force, son mouvement est rectiligne uniforme. C’est la première loi de Newton. 2) Loi fondamentale de la dynamique. L’accélération d’un point matériel M en mouvement est proportionnelle à la résultante des forces qui s’exercent sur lui et inversement proportionnelle à sa masse : ∑ F ext = mγ (M ) C’est la deuxième loi de Newton. 3) Axes de la mécanique. Nous avons vu au chapitre précédent, γ a ( M ) = γ r ( M ) + γ e ( M ) + γ c ( M ). Par conséquent, le principe fondamental de la dynamique ne s’écrira pas de la même manière dans R et dans R’. Nous nous basons alors sur un résultat de mécanique céleste qui suppose que le principe fondamental de la dynamique est valable dans un système de référence appelé référentiel de Copernic. Ce référentiel est noté Rc(S,XcYcZc). Le repère Rc(S,XcYcZc) a pour origine le centre du soleil. Ses trois axes sont dirigés suivant trois étoiles supposées fixes. Zc Etoile 3 Yc S (soleil) Etoile 2 Xc Etoile 1Remarque :Si l’on étudie le mouvement du point M par rapport au repère R’, avec R’ en translationuniforme par rapport au repère de Copernic, la loi fondamentale de la dynamique sera aussivalable dans R’.En effet, γ ( M / Rc ) = γ ( M / Rc ) ,car γ e ( M ) = γ c ( M ) = 0.
  18. 18. Définition :Tout repère en translation rectiligne uniforme par rapport au repère de Copernic portera lenom de repère galiléen. 4) Dynamique terrestre.Repère géocentrique.Soient: Rc(S,XcYcZc) le repère de Copernic et RT (T,XT YT ZT ) le repère géocentrique.RT (T,XT YT ZT ) est un repère orthonormé dont lorigine T est le centre de la terre et les axesTX T , TY T et TZ T sont respectivement parallèles aux axes SX c , SY c et SZ c du repère deCopernic. ZT Zc YT T (terre) XT Yc S (soleil) XcLa terre tourne autour du soleil en une année. Cest le mouvement orbital elliptique.La durée ô des expériences sur terre est très faible devant la période du mouvement orbitalelliptique (ô << 365 jours).Par conséquent, on suppose que le mouvement de la terre autour du soleil est rectiligneuniforme au cours dune expérience donnée.Le référentiel RT est donc considéré comme référentiel galiléen. On peut alors écrire: γ ( M / RT ) = γ ( M / Rc ) .On définit aussi le repère R appelé référentiel du Laboratoire dont lorigine est un point L à la Lsurface de la terre, de latitude ë et dont laxe LZ L est perpendiculaire à la surface du solterrestre. RL est en mouvement de rotation par rapport au repère R . Cest le mouvement de Trotation de la terre sur elle-même. RL est un repère non galiléen.5) Loi fondamentale de la dynamique dans un référentiel non galiléen.Soient R un référentiel galiléen et R un référentiel non galiléen. R est mobile par rapport à R.R est le référentiel absolu. R est le référentiel relatif.On désigne par γ a (M ) laccélération du point M dans le repère R et par γ r (M ) laccélérationdu même point dans le repère R.La loi de composition des accélérations donne: γ a (M ) = γ r (M ) + γ e (M ) + γ c (M ) .Le principe fondamental de la dynamique dans R sécrit: ∑F ext =mγ a ( M ) = mγ r ( M ) + mγ e ( M ) + mγ c ( M ) ,
  19. 19. où m est la masse du point m et ∑F ext désigne la résultante de toutes les forces extérieuresappliquées à M.Dans le repère R, le principe fondamental de la dynamique est, mγ r ( M ) = mγ a ( M ) − mγ e ( M ) − mγ c ( M ) = ∑ F ext + F e + F c .Où F e est la force dinertie dentraînement, F e est la force dinertie de Coriolis ou complémentaire.Dans le référentiel non galiléen, la loi fondamentale de la dynamique sécrit de la même façonque dans le repère galiléen à condition de tenir compte des forces dinertie F e et F c . 6) Classification des forces. a) Forces réelles (ou extérieures): Les forces réelles sont de deux types, - Forces à distance: Exemple : - Force dattraction universelle. - Force électrostatique. - Forces de contact: Exemple: - Force de frottement. - Force élastique ( cas dun ressort). b) Forces dinertie (ou intérieure): Cest la résistance que manifestent les corps au mouvement. Cette résistance est due à leur masse. Se sont, - La force dinertie dentraînement: F e = −mγ e . - La force dinertie de Coriolis: F c = −mγ c .Les forces F e et F c napparaissent que dans les repères galiléen. 7) Quantité de mouvement et moment cinétique. 1) Définition: Soit un point matériel M de masse m et de vecteur vitesse V (M ) dans un repère R(O,xyz) quelconque. - La quantité de mouvement de M dans le repère R est P( M ) = mV ( M ) . - Le moment cinétique de M par rapport au point fixe O est: σ O ( M ) = OM ∧ P( M ) = OM ∧ mV ( M ) . - Le moment cinétique du point M par rapport à une droite (D), passant par O et de vecteur unitaire u , est donnée par le scalaire, M D( P) = σ O ( M ).u .
  20. 20. 2) Théorème. d P( M ) d ( mV ( M )) dV ( M ) = =m = mγ ( M / R) dt dt dt R RDonc d P (M ) = mγ ( M / R) = ∑ F ext . dt RLa dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement nest autre que la résultante desforces extérieures appliquées à la particule M ( le repère R est supposé galiléen).Dans le cas où R nest pas galiléen: d P( M ) = mγ ( M / R) = ∑ F ext + Fe + F c . dt R 2) Quantité daccélération, moment dynamique, théorème du moment cinétique. a. Définition du vecteur quantité daccélération. On appel quantité daccélération, Γ(M ) , du point M par rapport à un repère R, le produit de sa masse m par son vecteur accélération γ ( M / R) : d P( M / R) Γ( M / R) = mγ ( M / R ) = . dt R b. Moment dynamique du point M par rapport au point fixe O. Le moment dynamique, δ O ( M / R) , dune particule M par rapport à un fixe O, dans un repère R, est par définition: δ O ( M / R) = OM ∧ Γ( M / R) . c. Théorème du moment cinétique. d σ O (M ) d (OM ∧ mV ( M )) = = V ( M ) ∧ mV ( M ) + OM ∧ mγ ( M / R) . dt dt R R d σ O (M / R )Donc: δ O ( M / R) = = OM ∧ mΓ( M / R) = OM ∧ ∑ F ext . dt RLe moment dynamique dune particule M, en un point fixe O, dans un repère galiléen R estégal au moment, en ce point, de la résultante de toutes les forces appliquées à M.
  21. 21. CHAPITRE IIITRAVAIL ET ENERGIEI) Puissance et travail dune force. - La puissance instantanée dun point matériel M est le produit scalaire de la résultante des forces qui agissent sur M par la vitesse de ce point: Ρ = ∑ F .V ( M ) [Watts]. - Le travail élémentaire fourni par un point matériel se déplaçant dune quantité finie d OM , est donné par, dW = ∑ F .d OM . , nous écrivons dW = ∑ F.V ( M ).dt = Ρ.dt . d OMComme V ( M ) = dtII) Forces conservatives: Energie potentielle. - Si une force F est conservative, alors elle dérive dune énergie potentielle Ep . Donc cette force peut sécrire: F = − grad E p .Lénergie potentielle nest définie quà une constante additive près ( grad (Cte) = 0 ). - Pour quune force F soit conservative, il faut que : rot F = 0 .Travail dune force conservativeSoit F une force conservative. Son travail étant: dW = F.d OM .Cette force est conservative, elle peut donc sécrire  ∂E p −  ∂x dx  ∂E p  F = − grad E p = − et d OM = dy  ∂y dz  ∂E p i , j ,k  − i, j , k  ∂z ∂E p ∂E p ∂E pdW = − dx − dy −dz = −dE p . ∂x ∂y ∂zLe travail dune force conservative pour déplacer un point matériel est égal à la diminution deson énergie potentielle. II) Energie cinétique. 1) Définition: Lénergie cinétique dune particule M de masse m et de vecteur vitesse V (M ) est le scalaire Ec défini par: 1 Ec = mV 2 ( M ) . 2
  22. 22. 2) Théorème: Le travail de la résultante, ∑ F , de toutes les forces (conservatives et non conservatives) appliquées à un point matériel M, dans un référentiel quelconque R0 , entre la position initiale A et la position finale B, est égale à la variation de son énergie cinétique entre A et BDémonstration:Le travail de la résultante des forces, ∑ F , quand la particule se déplace de la position A à laposition B, est dV ( M / R0 ) W A→ B R0 =∫ AB ∑ F .d M =∫ m dt dM = ∫ mV (M / R 0 ).dV ( M / R0 ) AB Car dM = V ( M / R0 )dt Donc V ( M ≡ B) 1 W A→ B R0 =∫ d ( mV 2 ( M / R0 )) , V ( M ≡ A) 2et 1 1 W A→ B R0 = mV 2 ( M ≡ B) − mV 2 ( M ≡ A) . 2 2D’où W A → B = Ec ( B / R0 ) − Ec ( A / R0 ) ,et dW = dEc . III) Enérgie mécanique. 1) Définition. On appel énergie mécanique (ou énergie totale) Em(M/R0 ) d’une particule M, la somme de ses énergies cinétique Ec(M/R0 ) et potentielle Ep (M/R0 ) : Em(M/R0 ) = Ec(M/R0 ) + Ep (M/R0 ) 2) Cas d’un système conservatif. Définition. Une particule M constitue un système conservatif si les seules forces, appliquées à cette particule, qui travaillent au cours du mouvement, dérivent d’un potentiel. Dans ce cas, nous avons : dW = -dEp . D’autre part , dW = dEc. Donc dEc = -dEp ou d(Ec +Ep ) = dEm = 0. Par conséquent : Em = Cte.
  23. 23. L’énergie mécanique Em(M/R0 ), d’un système conservatif, reste constante au cours du mouvement et conserve sa valeur initiale. V) Stabilité dun équilibre. Soit un référentiel R(O,xyz), et soit un point matériel M soumis à des forces conservatives dont la résultante F : Nous avons, F = − grad E p . ∂E p ∂E p ∂E p Donc, Fx = − , Fy = − et Fz = − . ∂x ∂y ∂z Si le point M est à léquilibre, F = 0 et par conséquent: ∂E p ∂E p ∂E p = = = 0 . Lénergie potentielle est donc extrémale (Ep est minimale ∂x ∂y ∂z ou maximale). On dit que léquilibre est stable quand le point M est soumis à une force de rappel qui le ramène à sa position déquilibre. Dans le cas contraire, léquilibre est dit instable. a) Ep minimale (équilibre stable). Soit M la position déquilibre et M est très voisin de M. On a: lénergie potentielle en M, Ep (M), est supérieure à celle en M, Ep (M). Hors équilibre, la force exercée pour déplacer la particule de M vers M est non nulle. Son travail de M vers M est donné par: dW = F.d M = −dE p < 0 . La force F est alors une force de rappel. Elle ramène la particule M à sa positiondéquilibre. dM M’ Fb) Energie potentielle maximale (équilibre instable).Dans ce cas, lénergie potentielle de la particule en M est inférieur à celle en M. DoncdE p < 0 .Le travail élémentaire effectuer par la force F pour déplacer la particule de la position M à laposition M est: dW = F.d M = −dE p > 0 .Par conséquent la force F tend à éloigner le point M de sa position déquilibre. M M’ dM F
  24. 24. CHAPITRE IVMOUVEMENTS A FORCE CENTRALEI) DéfinitionUne force F est centrale si sa ligne daction passe constamment par un point O appelé pôle.Le vecteur position et la force appliquée à la particule sont alors dirigés suivant le mêmevecteur unitaire e r relatif aux coordonnées polaires de M.Nous avons alors, M OM = r e r , Fet F F = F.e r (force radiale). er M’ ODonc le moment de la force F par rapport au point O est: OM ∧ F = 0 .Exemples de forces centrales: - Force dinteraction gravitationnelle entre deux masses m et M distantes de r: GmM F = − 2 er . r Où G désigne la constante dattraction universelle. - Force dinteraction électrostatique entre deux particules de charges électrostatiques q1 et q2 distantes de r: 1 q1 q1 F= er . 4πε0 r 2 ε0 est la permittivité du vide.II) Propriétés des mouvements à force centrale. - Le moment cinétique de la particule M par rapport à un point fixe O, dans un repère R, est constant. d (σ O ( M / R) = OM ∧ F = 0 . dt R Donc le moment cinétique de M sécrit: σ O ( M / R ) = OM ∧ mV ( m / R ) = mC = OM 0 ∧ mV0 ( m / R) ,où M0 et V 0 ( M / R) sont la position et la vitesse initiales de M dans R. • Si le vecteur C est nul, alors le vecteur vitesse V ( M / R) et le vecteur position OM sont parallèles. Le mouvement est alors rectiligne. • Si le vecteur C est non nul, les vecteurs position OM et vitesse V ( M / R) appartiennent à un plan perpendiculaire à C . La trajectoire du point M est alors plane. - les mouvements à force centrale vérifient la loi des aires: En effet, supposons que la trajectoire de la particule M est situé dans le plan (xOy) dun repère R(O,xyz), nous aurons,
  25. 25. . . le vecteur position OM = r e r , le vecteur vitesse V ( M / R ) = r e r + r ϕe ϕ et le . vecteur moment cinétique σ O ( M / R) = mr 2 ϕ k . La constante des aires sécrit alors, . C = r 2 ϕ. - Lénergie cinétique dune particule M soumise à une force centrale est 1 1  du  Ec ( M ) = mV 2 = mC 2 ( ) 2 + u 2  . Cest la première formule de Binet. 2 2  dϕ  Avec u=1/r. - La force sexerçant sur une particule est: 2 2d u  2 F = mγ ( M / R) = −mC u  2 + u  e r . Cest la deuxième formule de Binet.  dϕ III Champ Newtonien.On considère un axe polaire de référence Ox pris dans le plan de la trajectoire, et repérons laposition du point matériel M par ses coordonnées polaires (r,ö). M F Axe focal er ϕ ϕ0 xUn champ Newtonien est un champ de forces dont lexpression est de la forme: k r F=− 2 e r = −k 3 . K est une constante. r rSi la constante k est positive, la force est attractive.Si k est est négative la force est répulsive.La force F étant centrale. Donc,  2 2d u 2   F = − mC u  2 + u  e r   dϕ    k  F = − r 2 e r = −ku e r 2 Par conséquent,  d 2u  − mC 2 u 2  2 + u  = −ku 2 .  dϕ La solution u = 0 correspond à r infini et ne présente donc aucun intérêt. d 2u kIl reste alors: +u= . dϕ 2 mC 2Cest une équation différentielle du second ordre à coefficients et second membre constants.La solution générale de cette équation est la suivante: k u (ϕ) = u 0 cos(ϕ − ϕ0 ) + , mC 2
  26. 26. koù u 0 cos(ϕ − ϕ0 ) est al solution de léquation sans membre et est la solution mC 2particulière de léquation différentielle ci-dessus.Les constantes u0 et ö0 sont déterminées à partir des conditions initiales. mC 2 σO ε 2 k mkOn pose P = = ou bien = = 2 et e = Pu0 , k mk P mC 2 σOavec å = +1 si k > 0, et å = - 1 si k < 0.Léquation de la trajectoire de la particule M sécrit donc, e ε P u (ϕ) = cos(ϕ − ϕ0 ) + ou bien r (ϕ) = . P P ε + e cos(ϕ − ϕ0 )Cest léquation en coordonnées polaires dune conique de paramètre P et dexcentricité e, dontlaxe focal fait un angle ö0 avec laxe polaire et dont lun des foyers coïncide avec le point O.N.B.Dans la suite de ce chapitre, nous prendrons ö0 = 0 et å = +1 (cas des forces attractivescorrespondant au mouvement des planètes et des satellites du système solaire). Léquation dela trajectoire se réduit donc à: P r (ϕ) = . 1 + e cos ϕ 1) Recherche de léquation de la conique par la méthode géométrique. M1 K1 M K r P ϕ F h (D) = directrice de la conique (C) MFLexcentricité de la conique est donnée par: e = . MK MF rDonc MK = = = h − r cos ϕ . e e P POr = e et donc h = . h e r P PDoù = − r cos ϕ ou bien r = . e e 1 + e cos ϕ
  27. 27. 2) Classification de la trajectoire de M en fonction de son excentricité e.a) e = 0. r(ö) = P = R, la trajectoire de la particule est un cercle de centre O et de rayon mC 2 R=P= . k M F Ob) 0 < e < 1. La trajectoire de M est une ellipse. • Dans le cas dune orbite autour de la terre:- Le périgée est le point le plus rapproché de la terre. Il correspond à ö = 0 et donc P rp = = rmin . 1+ e- Lapogée est le point le plus éloigné de la terre. Il est donné pour ö = ð et P rA = = rmax . 1−e • Dans le cas dune orbite autour du soleil:- le périhélie est le point le plus proche du soleil.- Laphélie est le point le plus éloigné du soleil. M F Apogée F(foyer) Périgée M1 K1c) e = 1. La trajectoire du point M est une parabole. M Pr= K 1 + cos ϕ P ϕ PLangle ö = 0 correspond à r p = , 2 F FMet e = = 1. MK h (D) =Pour ö = ð/2, P = r = FM1 .
  28. 28. d) e> 1. La trajectoire de M est une hyperbole. MDans un tel cas, seule une branche de lhyperbole F pourrait être parcourue puisque le mobile ne Périgéepourrait pas passer dune branche à lautre. O3) Classification de la nature de la trajectoire du point M en fonction de son énergie mécanique.Soit une particule M, de masse m, soumise de la part de lorigine O dun référentielgaliléen R0 à une force attractive: k F = − 2 er . rLa force F est conservative, elle peut donc sécrire: F = − grad E p (M ) .Dans la base ( e r , e ϕ ) , nous avons:  k ∂E p ( r ) − r 2 = − ∂r (1)   0 = − 1 ∂E p (r ) ⇒ E p ( r ) = indépendan t de ϕ.   r ∂ϕL’équation (1) montre que l’énergie potentielle peut s’écrire : k E p ( r ) = − + cte. rLa constante est nulle si l’énergie potentielle est nulle à l’infini.L’énergie cinétique est déduite de la première formule de Binet : 1 1  du  Ec ( M ) = mV 2 = mC 2 ( ) 2 + u 2  2 2  dϕ Avec 1 1 + e cos ϕ u= = . r PL’énergie cinétique est alors, 1  e2 (1 + e cos ϕ) 2  k 2 Ec ( M ) = mC 2  2 sin 2 ϕ +  = 2 P ( e + 1 + 2e cos ϕ). 2 P P2 Car mC 2 = k. PL’énergie potentielle, k k EP = − = −ku = − (1 + e cos ϕ). r PFinalement, l’énergie mécanique du point M est,
  29. 29. k Em = − (1 − e 2 ). 2P Cette expression montre que Em est constante et égale à 1 k Em = mV02 − = Cte. 2 r0 Les conditions initiales r 0 et V 0 déterminent Em et le moment cinétique σ 0 (σ 0 = r 0 ∧ mV 0 ). La nature de la trajectoire de la particule M dépendra donc de la valeur de son énergie mécanique Em(M/R0 ) :- e = 0, Em=-k/2P < 0, la trajectoire de M est un cercle.- 0 < e < 1, -k/2P < Em < 0, la trajectoire de M est une ellipse.- e = 1, Em = 0, la trajectoire est une parabole.- e > 1, Em > 0 la trajectoire de M est une hyperbole. 4) caractéristiques de la trajectoire elliptique. B ϕB M α A’ ϕ Soient : a = CA = C’A’. O’ C O A b = CB = CB’. c = OC =O’C. L’équation de la conique est: B’ P r= . 1 + e cos ϕ P ϕ = 0 ⇒ rmin = . 1+ e P ϕ = π ⇒ rmax = . 1− e P P rmin + rmax = 2a = + ⇒ P = a (1 − e 2 ). 1+ e 1 − e P P c rmin − rmax = 2c = − ⇒ P = (1 − e 2 ). 1− e 1+ e e D’où c e= . a Pour, P P P ϕ = ϕB ⇒ rB = = = . 1 + e cos ϕB 1 − e cos α 1 − c c a rB Donc,
  30. 30. c2 P = rB − ⇒ rB = a(1 − e 2 ) + ae 2 = a ⇒ rB = a. a et a 2 = b2 + c2 . On en déduit encore que b2 c2 c2 = a − = a (1 − 2 ) = a (1 − e 2 ) = P. a a a Par conséquent, b2 P= . aIV) Troisième loi de Kepler.On considère une particule M soumise à une force attractive et dont lénergie mécanique esttelle que: k − < Em < 0 . 2PLa trajectoire du point M est alors elliptique.Avant détablir la troisième loi de Kepler, nous rappelons ses deux premières lois: - 1ère loi de Kepler: Le mouvement dun point matériel M est périodique de période T. - 2ère loi de Kepler: Le rayon vecteur dans le cas dun mouvement à force centrale balaye des aires égales pendant des intervalles de temps égaux: C S = t + S0 . 2 La vitesse aréolaire du point M est: dS 1 ∆S πab A= = C= = . (avec ÄS = S – S0 ) dt 2 T T Donc πab 2 C 2 A2 = ( ) = . T 4 a et b sont respectivement le demi-petit et le demi-grand axe de lellipse. En tenant compte de mC 2 P= , k nous écrivons, P k  πab  2 A= =  . 4m  T  Sachant que, b2 P= , a nous aurons,
  31. 31.  4 mπ 2  3 T2 =  k a .    Cest la troisième loi de Kepler. Donc le carré de la période, T 2 , est proportionnelle au cube de demi-grand axe de lellipse. V) Satellites artificiels. 1) Vitesse de libération Vl . Soit un engin spatial de masse m tel que son énergie mécanique Em est: 1 GM T m Em = mV02 + ( − ), 2 r0 où MT désigne la masse de la terre et r0 est la distance de la terre à lengin. Dautre part , lénergie mécanique sécrit, k Em = − (1 − e 2 ). Avec k = GMT m. 2P Nous rappelons que, - si Em < 0, la trajectoire de lengin est circulaire ou elliptique (0 < e < 1). - si Em > 0, la trajectoire du satellite est hyperbolique (e > 1). - si Em = 0 (e = 1), la trajectoire du satellite est parabolique. Ce qui correspond à une vitesse initiale V0 telle que: 2GM T V0 = = Vl . r0 Vl est appelé vitesse de libération du satellite. Cette vitesse dépend de laltitude dusatellite et du rayon de la terre.Par conséquent, - si la vitesse initiale de lengin est supérieure ou égale à sa vitesse de libération, sa trajectoire est parabolique ou hyperbolique et donc celui-ci séloigne indéfiniment de la terre. - si 0 < V0 < Vl , la trajectoire du satellite est fermée. Celle-ci est circulaire ou elliptique.Exemples: a) Au niveau du sol terrestre: r0 ≈ 6400km , donc Vl ≈ 11.2km / s . b) Au niveau du sol lunaire: r0 ≈ 1700km , ce qui correspond à Vl ≈ 2.4 km / s .Cette dernière vitesse est comparable à la vitesse de lagitation thermique des moléculesgazeuses, ce qui explique labsence de latmosphère au niveau de la lune.2) Mise sur orbite dun satellite.Cest une opération qui se déroule en deux étapes: i) Lancement à partir dune station terrestre A. En A, le lancement se fait avec une vitesse 0 < V0 < Vl ( cest la phase balistique). B Terre A
  32. 32. ii) La satellisation (mise sur orbite) se fait en B grâce à une deuxième accélération qui fournira laccroissement nécessaire de la vitesse. B est généralement le périgée de lellipse.VI) Satellite géostationnaire. Un satellite géostationnaire est un satellite qui paraît fixe pour un observateur terrestre. Cest donc un engin qui a la même vitesse de rotation que celle de la terre. Le principe fondamental de la dynamique donne: F = M ã(M) Y’ Qui se traduit par, ZT Z’ GM T V02 m 2 mγ = m (la force de r0 r0 gravitation équilibre la force centrifuge). Satellite X’ Donc, O’ GM T Vl T V= = , ce qui r0 2 YT Terre correspond bien à V0 < Vl . XT VI) Atome dhydrogène. Modèle de BOHR. Electron Latome dhydrogène est formé dun électron -q qui tourne autour dun proton. Classiquement, cet électron doit perdre de lénergie + +q Proton Sous forme de rayonnement électromagnétique et "tombe" sur le proton. Or cette situation ne se Produit pas. Modèle de Bohr (modèle semi-classique). Bohr a supposé que lélectron tourne autour du proton sur des orbites circulaires ayant des rayons bien définis, et il postule: Le moment cinétique de lélectron par rapport au centre du cercle sécrit. h σO = n = nh . 2π Où n est un entier naturel non nul et h ≈ 6.62 × 10 −34 J .s est la constante de Planck. Calcul des rayons des cercles de Bohr: Nous avons, h nh 1 σO = n = mVr ⇒ r= . , V 2π 2π mV dune part. Fe -q Dautre part, Le principe fondamental de la dynamique appliqué à lélectron est: +q
  33. 33. q2 1 V2 . =m . 4πε0 r 2 rFinalement, le rayon de lorbite de lélectron est: h 2 ε0 2 rn = .n . πq 2 m o oPour 1ère orbite de Bohr: n = 1, r1 ≈ 0.53 A . ( 1 A = 10 −10 m ).Pour n = 2, r2 = 4 × r1 .Calcul de lénergie E de lélectron sur les orbites de Bohr: kOn a: E=− . 2 P(1 − e 2 ) k σ0 2Dans le cas du cercle (e = 0): E=− , avec P = , 2P mk mk 2Donc E=− 2 . 2σ0Lélectron est soumis de la part du proton à une force électrostatique: ( −q)( + q) 1 Fe = . 2 er . 4πε0 r q2 F e une force newtonienne avec k = . 4πε0Doù, lénergie de lélectron sécrit, mq 4 1 4π 2 mq 4 1E=− . =− 2 2 2 . 16ε0 π 2 2 n 2 h 2 2 8ε0 π nDonc lénergie de la particule dépend de lentier n et sécrit, 1 E = E(n) ⇒ E n = −Cte. 2 . nOn pose hRc En = − 2 . nConstantes numériques: mq 4R= = 1.0973 × 10 7 m −1 . (constante de Rhydberg). 8ε0 h 3 c 2c = 3 ×10 +8 m / s . (célérité de la lumière.)ε0 = 8.86 × 10 −12 F / m . (permittivité du vide).m = 0.9 × 10 −30 kg . (masse de lélectron).Pour n = 1: E1 = - 13.6 eV. E 13.6Pou n = 2: E2 = 1 = − eV … 2 2
  34. 34. CHAPITRE 5:OSCILLATEURS HARMONIQUES. A) Oscillateurs libres.I) Définition: Un oscillateur harmonique est tout système mécanique dont la position q(t), la vitesse dq( t ) d 2 q (t ) et laccélération sont des fonctions sinusoïdales du temps. dt dt 2 La variable q(t) obeit à la relation: d 2 q(t ) 2 + ω0 q (t ) = 0 . 2 dt Cest une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et sans second membre. Son équation caractéristique est: r 2 + ω0 = 0. 2La solution de cette équation est de la forme:q (t ) = A sin( ω0 t + ϕ) ou q (t ) = A cos(ω0 t + ϕ) ,où A, ω0 et ö sont, respectivement, lamplitude, la pulsation et la phase de loscillation.A et ö sont déterminées à partir des conditions initiales. 2π 1La période de loscillation est définie par: T = , et la fréquence par: f = . ω0 TII) Système masse-ressort.a) masse au repos.Soit un ressort de masse supposée négligeable devant la masse m qui lui est accrochée. O l0 T z0 m z PA léquilibre, le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse m sécrit: P +T = 0.P est le poids de la masse m.T est la force de rappel du ressort.La projection de léquation vectorielle ci-dessus sur laxe Oz donne: mg + T = 0.T = -K(z0 – l0 ) (loi de Hooke). l0 est la longueur du ressort à vide est z0 est la longueur decelui-ci à léquilibre. K est la constante de raideur (ou délasticité) du ressort.Doù mg = K(z0 -l0 ).
  35. 35. b) Masse en mouvement.Dans ce cas, la masse m sera repérée par rapport à laxe Oz par z(t). Léquation dumouvement de la masse m est: .. mg − K ( z (t ) − l 0 ) = m z (t ) , qui peut encore sécrie: .. mg − K ( z (t ) − z 0 + z 0 − l 0 ) = mg − K ( z 0 − l 0 ) − K ( z (t ) − z 0 ) = m z (t ) .Il reste : .. K z + ( z − z 0 ) = 0. (1) mPosons Z = z – z0 .Léquation (1) devient: .. K Z+ Z = 0. (2) mZ désigne lécart par rapport à la position déquilibre.c) Energie mécanique.Les deux forces P et T mises eu jeu sont conservatives:P et T sont portées par laxe Oz : rot P = rot T = 0 .Doù P = −∇E P1 et T = −∇E P2 .Les énergies potentielles E P1 et EP2 dont dérivent les forces P et T sont respectivement: z2 K E P1 = −mgz + A1 et E P2 = K ( − l 0 z + A2 ) = ( z − l 0 ) 2 + A3 . 2 2A1 , A2 et A3 sont des constantes dintégration.Lénergie potentielle du système est: K E P = EP1 + E P2 = −mgz + ( z − l 0 ) 2 + A4 . Avec A4 = A1 +A3 . 2Pour déterminer la constante A4 , on prendra l’énergie potentielle Ep nulle à l’équilibre :Ep (z0 ) = 0 donne : K A4 = mgz 0 − ( z 0 − l 0 ) 2 . 2D’où, 1 1 E p = K ( z − z 0 ) 2 = KZ 2 . 2 2L’énergie cinétique du système est : . 1 1 Ec = mV 2 = m Z 2 . 2 2Le système masse-ressort est un système conservatif. Son énergie mécanique reste constante.Donc : . 1 1 Em = Ec + E p = m Z 2 + KZ 2 = Cte. 2 2D’où
  36. 36. dEm . .. . = m Z Z + KZ Z = 0 , dtet .. K Z+ Z =0, mqui peut s’écrire aussi, .. Z + ω02 Z = 0 . (2)La pulsation de loscillateur libre est: K ω0 = . 2 mLa solution de l’équation (2) est de la forme : Z(t) = Asin(ω0 t + ϕ).Par conséquent, l’énergie mécanique du système masse-ressort s’écrit : 1 Em = KA2 . 2Cette énergie est proportionnelle au carré de l’amplitude des oscillations.La période des oscillations est indépendante de l’amplitude A et s’écrit : m T = 2π . KIII) Pendule simple.On considère un fil inextensible de masse négligeable par rapport à m. La masse est accrochéeà l’une des extrémités du fil, l’autre extrémité est fixée en un point O. a) Pendule à l’équilibre. OA l’équilibre, la somme vectorielle du poids P Tde la masse m et de la tension T du fil est nulle : m P + T = 0. P b) Pendule hors équilibre. O Le principe fondamental de la dynamique T S’écrit : θ P + T = mγ . n τ La projection de cette équation vectorielle sur les axes du trièdre de Serret-Frenet donne P les deux équations scalaires suivantes.
  37. 37.  dV d 2s − mg sin θ = mγ t = m dt = m dt 2  (1)  2 T − mg cos θ = mγ = m V ( 2)   n lOù S est l’abscisse curviligne du mouvement. L est la longueur du fil = rayon de courbure dela trajectoire de la particule.Dans le cas des faibles oscillations, sinθ voisin de θ, l’équation (1) donne : .. g θ + θ = 0. lCette équation différentielle a pour solution : θ(t) = sin(ω0 t + ϕ).Où g 2π g ω0 = , et T = = 2π . l ω0 lT0 désigne la période des oscillations. B) Oscillateurs amortis par un frottement fluide. Dans cette partie, nous tenons compte des forces de frottement de la masse avec le fluide. Il existe deux types de frottements : - Frottements solides où la force de frottement est une constante. - Frottements fluides (ou visqueux) où la force de frottement est proportionnelle au vecteur vitesse de la masse m. F f = − K V .K’ est le coefficient de frottement. K’ est positif.Le signe (-) qui apparaît dans l’expression de la force de frottement traduit le fait que cetteforce s’oppose au mouvement.Dans le cas unidimensionnel, nous avons . V = z k.Le principe fondamental de la dynamique appliqué au système masse-ressort amorti par unfrottement fluide est : .. .. K . K m z = − KZ − K Z ⇒ z + Z + Z = 0. m m C’est une équation différentielle du second ordre, linéaire, à coefficients constants et sanssecond membre.On pose: K = ω0 , 2 avec ω0 = pulsation propre de loscillateur, m K et = 2λω0 , où ë est le coefficient damortissement. mLéquation différentielle du mouvement du point M devient alors: .. . Z + 2λω0 Z + ω0 Z = 0 , 2dont léquation caractéristique est: r 2 + 2λω0 r + ω0 = 0 . 2Le discriminant de cette équation est: ∆ = ω0 ( λ2 − 1) . 2
  38. 38. Nous avons donc trois cas à distinguer: a) Ä > 0 ( ou ë > 1): Les deux racines de léquation caractéristique ci-dessus sont: r1 = −λω0 + ω0 λ2 − 1 .   r2 = −λω0 − ω0 λ2 − 1 .  La solution de léquation du mouvement du point M est donc, Z(t) [ Z ( t ) = e −λω 0 t Aeω 0 λ −1t 2 + Be −ω 0 λ −1t 2 ], A+BA et B sont des constantes à déterminerà partir des conditions initiales.Quand t → ∞, Z (t ) → 0 . O tDans ce cas, il n y a pas doscillations autourde la position déquilibre. Il y a retour à léquilibre après un temps suffisamment grand.Le régime est apériodique. b) Ä = 0 (ou ë = 1): Z(t) r1 = r2 = r = −ω0 . La solution de léquation différentielle du mouvement est: D Z ( t ) = e −ω 0t (Ct + D) . Dans ce cas, le retour à léquilibre se fait De manière plus rapide que dans le régime apériodique. O t Cest le régime apériodique-critique. c) Ä < 0 ( ou 0 < ë < 1): Les racines de léquation caractéristique sont: r1 = −λω0 + i ω0 1 − λ2 = − λω0 + iω.   r2 = −λω0 − iω0 1 − λ2 = −λω0 − i ω.  Où i est le nombre complexe ( i 2 = −1 ) et ω = ω0 1 − λ2 désigne la pseudo-période de loscillateur étudié. La solution Z(t) sécrit alors: Z ( t ) = e −λω 0 t ( C1 e i ωt + C 2 e −i ω t ) . C1 et C2 sont des constantes quon déterminera à partir des conditions initiales. Cette solution peut encore sécrire sous la forme, Z ( t ) = e − λω 0t A1 sin( ωt + ϕ) .A1 e − λω 0t et ö sont respectivement lamplitude et la phase de loscillation.Le régime est pseudo-périodique.
  39. 39. La pseudo-période des oscillations est: 2π 2π 1 T= = . . ω ω0 1 − λ2 T0Ou bien, T= , 1 − λ2 2πavec T0 = . (T0 est la pulsation ω0 Z(t)propre de loscillateur). A1La pseudo-période est doncsupérieure à la période propre A1 sinö de loscillateur (T > T0 ). O t -A1Décrément logarithmique.Nous avons: Z ( t ) = e − λω 0t A1 sin( ωt + ϕ) ,et Z ( t + T ) = e − λω 0 ( t +T ) A1 sin( ωt + ϕ) .On défini le décrément logarithmique ä par le rapport suivant: Z (t + T ) e −δ = = e − λω 0t . Z (t )Donc, Z (t) δ = λω0 T = ln( ). Z (t + T )Le décrément logarithmique caractérise la décroissance des élongations à chaque période.Remarque:Le décrément logarithmique peut aussi sécrire, 2π 1 2πλ δ = λω0 T = λω0 . = . ω0 1 − λ2 1 − λ2
  40. 40. CHAPITRE 6.CHOCS DE DEUX PARTICULES. I) Définition. On appelle choc ou collision entre deux particules, toute interaction qui entraîne unevariation brusque et finie des vecteurs vitesses des deux particules pendant un temps trèscourt. II) Conservation de la quantité de mouvement. Soient m et m les masses respectives des particules M et M2 dans un référentiel galiléen 1 2 1R0 . et soient: - V 1 et V 2 les vitesses respectives de M1 et M2 dans le repère R0 avant le choc. - V 1 et V 2 les vitesses respectives de M1 et M2 dans le repère R0 après le choc. - F 21 et F 12 les forces transitoires appliquées respectivement à M1 et à M2 uniquement pendant le choc.Les forces de réaction F 21 et F 12 qui apparaissent pendant le choc sont très importantes,comparées aux forces extérieures appliquée à M1 et M2 .Hypothèse fondamentale:On admettra que les forces F 21 et F 12 vérifient le principe daction et de la réaction:F 21 + F 21 = 0 . d P1 d P 2 d ( P1 + P 2 )Doù F 21 + F 21 = + = = 0. dt dt dtDonc P1 + P 2 = P1 + P 2 = Cte , (1)avec P1 = m1 V 1 , P 2 = m2 V 2 , P1 = m1 V 1 et P 2 = m2 V 2 .Léquation (1) montre que la quantité de mouvement du système (S), formé de M1 et de M2 , seconserve (quantité de mouvement du système est la même avant et après le choc).Remarque: Au moment de la collision entre les particules M et M2 , les forces extérieures au système 1(S) sont généralement négligeables devant les forces intérieures à ce système que sont lesforces de contact. (S) peut alors être considéré comme système isolé.Dans le cas dun système isolé, le principe fondamental de la dynamique appliqué à celui-cidans le repère R0 est comme suit: dP∑F ext = mγ ( S ) = ( m1 + m2 )γ ( S ) = dt = 0.Donc, P = P1 + P 2 = P1 + P 2 = Cte .
  41. 41. I) Collisions élastiques et inélastiques: a) Collisions élastiques: Par définition, la collision entre deux particules M1 et de M2 est dite parfaitement élastique si lénergie cinétique du système(S) des deux particules avant le chocs est égale à lénergie cinétique totale de ce système après le choc. Nous avons alors: 1 1 1 1 m1V1 2 + m2V22 = m1V 1 + m2V 2 . 2 2 2 2 2 2 b) Collision inélastique: Dans ce cas, il ny a pas de conservation de lénergie cinétique du système durant la collision. Le bilan énergétique sécrit: 1 1 1 1 m1V12 + m2 V22 = m1V 1 + m2 V 2 + U , 2 2 2 2 2 2 où U est la variation de lénergie cinétique du système(S) avant et après le choc. Si U < 0, le système absorbe de lénergie (le choc est endoénergétique ). Si U > 0, le système cède de lénergie (le choc est exoénergétique). c) Choc mou. - Avant le choc, la particule M a la masse m et la v 1 1 itesse V 1 et la particule M a la 2 masse m2 et la vitesse V 2 . - Après le choc, les deux masses M1 et M2 constituent un seul corps de masse (m1 + m2 ) et de vitesse V . La conservation de la quantité de mouvement sécrit dans ce cas, m1 V 1 + m2 V 2 = (m1 + m2 ) V . Au cours de la collision lénergie cinétique nest pas conservée. Les pertes apparaissent sous forme de chaleur, de déformation, … d) Coefficient de restitution. Le coefficient de restitution (ou délasticité) e est le nombre, compris entre 0 et 1, défini parle rapport des vitesses relatives de la particule M2 par rapport à la particule M1 (ou de M1 parrapport à M2 ) après le choc, soit: V 1 − V 2 e= V 1 −V 2 - Si e = 0, le choc est mou. - Si e = 1, le choc est élastique. - Si 0 < e < 1, le choc est inélastique (ou intermédiaire). II) Exemples de choc élastiques.On considère un système (S) de deux particules M1 et M2 de masses respectives m et m , 1 2dont les vitesses V 1 et V 2 avant le choc deviennent V 1 et V 2 après le choc.

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