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Agitation 1

  1. 1. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés J 3 800 − 1 Agitation. Mélange Concepts théoriques de base par Michel ROUSTAN Ingénieur INSA (Institut national des sciences appliquées deToulouse) Professeur de génie chimique − INSAToulouse Jean-Claude PHARAMOND Ingénieur INSA Dosapro Milton Roy et Alain LINE Ingénieur INPT (Institut national polytechnique deToulouse) Professeur de mécanique des fluides − INSAToulouse es techniques d’agitation, qui ont longtemps été considérées comme un art, s’appuient maintenant sur des considérations tant théoriques qu’expéri- mentales, qui permettent une approche scientifique des problèmes posés. Des progrès énormes ont en effet pu être réalisés grâce, d’une part, à l’accumulation de données sur le fonctionnement d’unités industrielles et, d’autre part, à l’effort de recherche important accompli par quelques sociétés et laboratoires universi- taires spécialisés dans le domaine de l’agitation et du mélange. D’une façon très générale, la détermination d’une unité d’agitation consiste soit à sélectionner l’appareil adapté à un nouveau procédé, soit à extrapoler (ou interpoler) les résultats obtenus avec un appareil donné dans le cadre d’une fabrication existante. Les potentialités des nouveaux moyens expérimentaux et numériques permet- tent de développer une approche locale qui complète l’approche globale classi- que du fonctionnement des cuves agitées. L’analyse locale du fonctionnement d’une cuve agitée (figure A) donne accès aux distributions spatiale et temporelle de la vitesse et de la turbulence. Cette information peut aider à comprendre et à contrôler le mélange dans la cuve agi- tée et peut conduire à optimiser son fonctionnement dans différentes condi- tions. Dans tous les cas, une bonne connaissance du procédé est indispensable pour permettre le choix le plus favorable à l’accomplissement de ce procédé, notam- ment sur le plan économique. 1. Opérations de mélange .......................................................................... J 3 800 - 3 2. Définition d’un système d’agitation................................................... — 6 3. Paramètres globaux d’un système d’agitation................................ — 9 4. Paramètres locaux d’un système d’agitation................................... — 13 5. Exemples de calculs pour des systèmes d’agitation .................. — 16 6. Choix du matériel d’agitation..................................................... — 18 7. Extrapolation du pilote à l’échelle industrielle ............................... — 20 Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. J 3 803 L
  2. 2. AGITATION. MÉLANGE __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. J 3 800 − 2 ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés Notations et symboles Symbole Unité Définition a, a’ ............................ coefficients ai m2/m3 de liquide aire interfaciale volumique d’échange A ............................ facteur définissant le degré de mélange b m largeur des chicanes b’ m distance d’une chicane décollée de la paroi à la paroi C1-C2 mol/m3 gradient de concentration (ou facteur de potentialité) d m diamètre du mobile d’agitation D m diamètre de la cuve agitée Fr ............................ nombre de Froude g m/s2 accélération de la pesanteur s−1 gradient de vitesse (ou taux de cisaillement) moyen H m hauteur de la solution dans la cuve H∗ m hauteur théorique créée par le mobile d’agitation k ............................ constante k’ ............................ constante km ............................ constante ............................ constante kL m/s coefficient de transfert de matière côté film liquide K ............................ constante m longueur des pales L m dimension caractéristique nc ............................ nombre de chicanes collées contre la paroi ............................ nombre de chicanes décollées de la paroi np ............................ nombre de pales du mobile d’agitation N s−1 fréquence de rotation du mobile d’agitation N° mol/(m3 · s) débit de matière transférée par unité de volume (ou taux de transfert de masse) NP ............................ nombre de puissance NP0 ............................ nombre de puissance en régime turbulent NQc ............................ nombre de circulation NQp ............................ nombre de pompage p m pas de l’hélice P W puissance d’agitation Qc m3/ s débit de circulation Qe m3/ s débit d’entraînement Qp m3/s débit de pompage du mobile d’agitation Re ............................ nombre de Reynolds tc s temps de circulation : tc = V/Qc tM s temps de mélange tp s temps de pompage : tp = V/Qp U m/s vitesse d’écoulement Ux m/s vitesse instantanée du liquide dans une direction Ox m/s vitesse moyenne du liquide dans une direction Ox Gm, Gm ′ km ′ œ nc * Ux H Yᐉ d w b' bb D Figure A - Cuve agitée
  3. 3. _________________________________________________________________________________________________________________ AGITATION. MÉLANGE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés J 3 800 − 3 .............................. vitesse adimensionnelle ux m/s fluctuation de vitesse dans une direction Ox m/s valeur quadratique moyenne de la fluctuation de vitesse dans une direction Ox V m3 volume de liquide contenu dans la cuve Vp m/s vitesse périphérique du mobile d’agitation w m largeur (ou hauteur) des pales We ............................ nombre de Weber Y m élévation du centre du mobile d’agitation par rapport au fond de la cuve γ kg/s2 ou N/m tension superficielle ε W / kg puissance dissipée par unité de masse η Pa · s viscosité dynamique de la solution agitée (η = ρν) λ m dimension caractéristique d’un petit tourbillon ν m2/s viscosité cinématique de la solution agitée ρ kg/m3 masse volumique de la phase liquide agitée τ Pa contrainte de cisaillement Φ ............................ Notations et symboles Symbole Unité Définition Uz * ux ′ Φ NP Fry --------= 1. Opérations de mélange En mettant à part les mélanges gaz-gaz, solide-solide et solide-gaz (lits fluidisés), on peut regrouper les opérations de mélange en qua- tre grandes classes d’application. Chacune peut se caractériser par son aspect physique ou chimique. Il est bien évident qu’un pro- blème donné se rapportera rarement à une caractéristique unique, mais plutôt à un ensemble de caractéristiques et il conviendra donc d’identifier clairement les étapes limitantes du procédé (tableau 1). 1.1 Mélanges liquide-solide Il s’agit là de l’une des applications les plus courantes de l’agita- tion : lixiviations, polymérisations, fermentations, réactions en pré- sence de catalyseur, dissolutions, stockages de pulpes ou de pâtes, etc. Le rôle de l’agitateur consiste à créer une vitesse ascendante du fluide porteur supérieure à la vitesse de chute des particules, dans certains cas le problème peut être inversé et l’on doit alors intro- duire dans le liquide des solides qui tendent à flotter. 1.1.1 Aspect physique Les paramètres importants à prendre en compte sont de deux types : les données initiales et la définition du résultat à obtenir. 1.1.1.1 Données initiales Ce sont celles qui permettent d’évaluer les caractéristiques de sédimentation des solides dans le liquide. À défaut de mesure en laboratoire de la vitesse de sédimentation, pour déterminer la vitesse de chute des particules, il est donc nécessaire de connaître : — la masse volumique du liquide ; — la masse volumique du solide ; — le diamètre équivalent des particules et la répartition granulo- métrique ; — le pourcentage total des solides (en masse). 1.1.1.2 Définition du résultat à obtenir Le rôle de l’agitation varie dans de grandes proportions suivant le procédé que l’on met en œuvre. Dans certains cas (dissolution, par exemple), il suffit de maintenir les plus gros solides en mouvement sur le fond tandis que les particules plus fines sont effectivement mises en suspension plus ou moins haut dans la cuve (figure 1 a). Le plus souvent, pour éviter une accumulation de solides dans la cuve, il est nécessaire de maintenir en suspension toutes les particu- les présentes (figure 1 b). Il est très rarement indispensable de Tableau 1 – Différentes opérations de mélange Type d’application Caractéristique physique Caractéristique chimique liquide-solide suspension dissolution liquide-gaz dispersion absorption liquide-liquide non miscibles ou miscibles émulsion dispersion mélange extraction réaction circulation pompage transfert de chaleur
  4. 4. AGITATION. MÉLANGE __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. J 3 800 − 4 ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés maintenir une suspension uniforme de toutes les particules quelle que soit leur taille (figure 1 c). Il faut savoir que, pour une popula- tion donnée de solides, une suspension uniforme peut nécessiter jusqu’à 25 fois plus de puissance qu’une suspension partielle. Un autre aspect important de la définition de l’opération à accom- plir présente des incidences sur le plan mécanique. Il s’agit de la possibilité ou non de démarrer l’agitateur dans les solides sédi- mentés. Suivant la quantité totale de solides, l’élévation au-dessus du fond de la turbine inférieure et suivant surtout la nécessité d’une telle possibilité, la conception mécanique de l’appareillage devra être revue. 1.1.2 Aspect chimique Il doit être considéré dans le cas des dissolutions, des lixiviations ou des cristallisations et il faut faire appel aux notions de transfert de matière. D’une façon générale, la quantité transférée s’exprime par : N° = kL ai (C1 − C2) (1) avec N° [mol/(m3 · s)] débit de matière transférée, kL (m/s) coefficient de transfert de matière côté film liquide, ai (m2/m3 de liquide) aire interfaciale volumique d’échange, C1 − C2 (mol/m3) gradient de concentration ou facteur de potentialité. (On peut tout aussi bien donner cette formule en unité de masse.) Lorsque tous les solides sont suspendus, l’aire volumique d’échange n’est pas affectée par l’intensité de l’agitation. Le gradient de concentration moyen est lui aussi indépendant de l’agitation mais, par contre, le coefficient de transfert kL est dans certains cas fortement influencé par l’agitateur. C’est notamment le cas lorsque la concentration saturante est très élevée par rapport à la concentra- tion moyenne dans la cuve et qu’il se crée autour de chaque parti- cule solide en cours de dissolution une sorte de couche saturée ou sursaturée. On doit alors avoir recours à des essais pilotes pour déterminer les variations de kL (exprimé, par exemple, sous forme du nombre de Sherwood) en fonction des conditions de l’agitation. L’extrapolation ne pourra cependant pas être géométrique, la taille des particules n’étant généralement pas multipliée par le facteur d’extrapolation (§ 7). 1.2 Mélanges liquide-gaz Ce type d’application se rencontre par exemple dans les procédés de fermentation, d’aération d’eaux résiduaires, d’oxydation, d’hydrogénation, d’ozonisation, etc. Le rôle de l’agitateur est, du point de vue physique, de créer une dispersion et, du point de vue chimique, de créer une absorption. 1.2.1 Dispersion du gaz Deux sources d’énergie participent à la dispersion du gaz dans le liquide : la première est l’énergie propre du gaz traversant le liquide, la seconde est l’énergie fournie par la turbine. Suivant la balance entre ces deux énergies, on obtiendra un type de dispersion ou un autre et le régime hydrodynamique dans la cuve sera gouverné par l’expansion du gaz (figure 2 a) ou par la décharge de la turbine (figure 2 b). 1.2.2 Absorption du gaz Selon la théorie du double film de Whitman (cf. article Distillation. Absorption : 4. Colonnes garnies [J 2 626], le transfert de masse d’un gaz à un liquide se heurte à plusieurs résistances : diffusion à travers le film gazeux, à travers le film liquide entourant la bulle de gaz, transfert dans le liquide et, suivant les cas, résistance de réaction ou d’absorption de la molécule d’origine gazeuse par le liquide ou un solide. De ces différentes résistances dépend la cinétique globale du système. Le plus souvent l’étape limitante est constituée par le Figure 1 – Suspension solide-liquide a partielle b complète c uniforme Figure 2 – Dispersion gaz-liquide : influence de l’agitation Exemple : si on maintient dans une cuve donnée un débit d’injec- tion de gaz constant et si on augmente progressivement la puissance d’agitation (par exemple en augmentant la vitesse de rotation de la tur- bine), on obtient les résultats résumés dans le tableau 2. Tableau 2 – Dispersion du gaz à débit de gaz constant et puissance d’agitation croissante Puissance d’agitation Aspect de la surface Dispersion Résultats Faible Bouillonnement Libre montée du gaz Mauvaise dispersion Moyenne Surface uniforme Dispersion du gaz vers les parois Dispersion moyenne Régime hydraulique de la turbine dominant Dispersion améliorée Forte Surface uniforme Teneur en gaz maximale Très bonne dispersion uniforme a sans influence b avec influence
  5. 5. _________________________________________________________________________________________________________________ AGITATION. MÉLANGE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés J 3 800 − 5 transfert au travers du film liquide entourant la bulle de gaz. Comme dans le cas du transfert liquide-solide (§ 1.1.2) le paramètre impor- tant est le facteur kL ai de la formule (1). Contrairement aux applications liquide-solide, l’agitateur est généralement sans effet sur kL ; par contre, son influence sur la sur- face d’échange ai est extrêmement importante. Pour un procédé donné, on peut tracer des courbes comme celle de la figure 3 qui représente les variations relatives de kL ai en fonction du niveau de puissance appliqué sur l’agitateur. Là encore, lors de l’extrapolation il faudra prendre garde aux effets d’échelle [par exemple, taille relative des bulles et des pales de turbine ou taille des bulles comparée au degré de turbulence (§ 2.5)]. 1.3 Mélanges liquide-liquide Il s’agit d’une des applications les plus fréquentes, et on doit envi- sager séparément les mélanges de liquides miscibles et de liquides non miscibles. 1.3.1 Liquides miscibles La caractéristique principale de l’agitateur destiné à une telle application sera de posséder une capacité de pompage importante (§ 3.2.1). Pour une même puissance installée, on obtiendra une capacité de pompage plus importante avec une grande turbine tour- nant lentement qu’avec une petite turbine tournant rapidement. Toutefois, à vitesse plus faible, la turbine de grand diamètre nécessite un couple d’entraînement plus important, ce qui influe sur la taille du réducteur de vitesse et du dispositif de guidage de l’arbre. Sur la figure 4 sont représentées les variations de la puis- sance et du couple en fonction du rapport diamètre de turbine/dia- mètre de cuve pour un résultat identique (même temps et même qualité de mélange, par exemple). L’élément déterminant du choix sera donc souvent une balance économique entre frais d’investissement et frais de fonctionnement de l’unité. Pour ce qui concerne l’effet de la viscosité on peut se reporter au paragraphe 3.1.2. 1.3.2 Liquides non miscibles Par certains aspects, ce type d’application peut se rapprocher du mélange liquide-gaz (§ 1.2). En effet, le rôle de l’agitateur consiste à disperser l’une des phases dans l’autre pour, le plus souvent, provo- quer un transfert de masse. La dimension des gouttelettes et leur distribution dépendent aussi bien des caractéristiques physiques et chimiques des produits que du type d’agitation et du régime hydraulique. Si l’augmentation de l’aire superficielle d’échange est un paramètre important d’un mélange liquide-liquide, il ne faut pas en conclure que la création d’un cisaillement important est la seule fonction de l’agitateur. En effet, il faut également faire circuler les gouttelettes une fois brisées, et cela requiert une capacité de pom- page parfois élevée. Enfin, il faut éviter que l’énergie fournie par agi- tation forme des particules de taille inférieure à la taille stable (émulsion). Une fois encore, si l’on a recours à des essais pilotes, les notions de taux de cisaillement moyen et maximal, ainsi que la taille relative des différents éléments en présence, prennent toute leur importance lors de l’extrapolation (§ 7). 1.4 Circulation Le principal et vaste domaine de cette application concerne le transfert de chaleur. Les cuves destinées à ce genre d’opération sont généralement équipées soit d’un réseau de serpentins intérieurs, soit de tubes verticaux intérieurs, soit d’une double enveloppe exté- rieure. La figure 5 reproduit les dispositifs le plus couramment utili- sés. Le rôle que l’on attend de l’agitateur consiste à provoquer une tur- bulence importante le long des surfaces d’échange. Il faut cepen- dant noter qu’il n’est pas toujours possible d’utiliser l’agitateur optimal du point de vue du transfert de chaleur dans la mesure où d’autres applications peuvent être prépondérantes dans la cuve. Un bon transfert de chaleur sera favorisé par une grande capacité de pompage, autrement dit par une turbine de grand diamètre. Afin d’améliorer le régime hydraulique et les turbulences au voisinage des surfaces d’échange, le nombre, la position et les dimensions des chicanes doivent être étudiés avec précision, de même que le dia- mètre et l’espacement des tubes dans le cas de serpentins ou de tubes verticaux. Figure 3 – Produit kL ai en fonction du niveau de puissance appliqué à l’agitateur 10–1 aire interfaciale volumique d'échange 10–1 1 10 102 1 10 2 4 6 8 2 2 4 6 8 2 24 6 8 4 6 8 4 6 8 kLai ai coefficient de transfert de matière côté film liquide Unités arbitraires sur les deux axes kL Niveau de puissance Figure 4 – Puissance consommée et couple d’agitation en fonction du rapport d/D pour un résultat identique (même temps et même qualité de mélange) 10–1 12 3 5 7 94 6 8 1 9 1,5 2 8 7 6 5 1 9 1,5 2 8 7 6 5 44 d/D d Couple (unité arbitraire) Puissance (unité arbitraire) Puissance diamètre de la turbine D diamètre de la cuve agitée
  6. 6. AGITATION. MÉLANGE __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. J 3 800 − 6 ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés 2. Définition d’un système d’agitation 2.1 Description des mobiles Il existe deux grandes classes de mobiles d’agitation suivant le mouvement des fluides engendré dans la cuve par rapport à l’axe de rotation du mobile : — les mobiles à débit axial ; — les mobiles à débit radial. 2.1.1 Mobiles à débit axial Ces mobiles créent un mouvement des fluides dans une direction axiale (vers le haut ou vers le bas). Ils assurent une circulation du fluide importante (figure 6 a). Cependant, certains mobiles présen- tent, en plus de la composante axiale prépondérante, une compo- sante radiale. 2.1.2 Mobiles à débit radial Ces mobiles fournissent un débit perpendiculaire à l’arbre d’agita- tion. Ils créent des effets de cisaillement relativement importants. Ce sont des mobiles de turbulence (figure 6 b). Certains mobiles utili- sés pour des produits visqueux ont une composante tangentielle. 2.2 Régimes hydrodynamiques Le régime hydraulique créé dépend non seulement du type de mobile d’agitation (§ 2.1) mais aussi de facteurs géométriques concernant la cuve : — présence ou non de chicanes ; — excentration de l’arbre ; — inclinaison de l’arbre ; — dimension de la cuve. Pour chaque mobile d’agitation, il existe donc une infinité de configurations possibles. Sur la figure 7 sont indiquées les formes de courant créées dans plusieurs cas par un mobile à débit axial. Il est bien évident que, quel que soit le type de turbine, si la cuve n’est pas munie de chicanes et si l’axe de l’agitateur est confondu avec l’axe de la cuve (figure 7 a), le liquide est mis en rotation et les composantes verticales de vitesse seront extrêmement faibles. Il y a par ailleurs formation d’un vortex qui présente, comme on le verra au paragraphe 3.1, l’inconvénient de limiter la puissance dissipée et de ne pas favoriser l’homogénéisation des fluides. La présence de chicanes fixées sur les parois de la cuve empêche la formation d’un vortex (figure 7 b). En général, on dispose 3 ou 4 chicanes de lar- geur b = 10−1 D (avec D diamètre de la cuve agitée), collées ou décollées de la paroi (distance de la chicane à la paroi : b’ = 2 x 10−2 D). On peut aussi, pour éviter la formation d’un vortex dans une cuve exempte de chicanes, monter l’arbre d’agitation excentré mais vertical (figure 7 c) ou bien incliné sur la verticale (figure 7 d). Il est important de noter que ces deux dernières dispositions induisent des contraintes mécaniques importantes et donc qu’elles ne sont pas utilisables pour de fortes puissances (≈ 3 kW) ou de grandes lon- gueurs d’arbre (≈ 1 à 2 m). Pour des grands réservoirs, ayant jusqu’à 150 000 à 200 000 m3 de volume, contenant des liquides de faible viscosité (< 0,1 Pa · s), on place l’arbre d’agitation horizontalement et un peu incliné par rapport au rayon (angle α). On voit, figure 8, quelle est la position correcte à choisir ; si l’on place l’agitateur dans l’une des positions des figures 8 b ou 8 c, il se forme un vortex. Cette technique peut également être utilisée dans des petits réservoirs ou dans des appli- cations particulières (par exemple, stockage de pâte de haute den- sité en papeterie, α peut alors être nul). 2.3 Turbulence et pompage En général, on peut dire que deux actions bien distinctes sont demandées à un mobile d’agitation : — une action de pompage ; — une action de turbulence. Suivant la forme et le type du mobile, les proportions relatives de turbulence et de débit de pompage peuvent varier considérable- ment. On verra paragraphe 3 comment évaluer ces deux actions. Mais à titre de comparaison, on a représenté (figure 9) la proportion entre débit de pompage et turbulence pour différents types d’agita- teurs consommant une puissance donnée. Chaque mobile crée dans sa zone d’action des formes de cisaille- ment plus ou moins grandes (§ 3.4), qui peuvent être déterminantes pour certaines applications spécifiques (dispersion, agitation de produits non newtoniens). Ces forces sont faibles dans le cas de Figure 5 – Cuves munies d’échangeurs de chaleur Figure 6 – Mobiles à débit axial et à débit radial Les caractéristiques des principaux types de mobiles à débit axial ont été rassemblées dans l’article [Form. J 3 802], rédigé avec des données techniques fournies par la littérature ou par les fabricants eux-mêmes. a cuve avec serpentin b cuve avec double enveloppe c cuve avec tubes verticaux a débit axial b débit radial Les caractéristiques des principaux types de mobiles à débits radial et tangentiel ont été rassemblées dans l’article [Form. J 3 802].
  7. 7. _________________________________________________________________________________________________________________ AGITATION. MÉLANGE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés J 3 800 − 7 mobiles à débit axial mais peuvent être très importantes pour des mobiles à débit radial. Les deux notions, pompage et turbulence, vont conditionner la sélection d’un mobile d’agitation en fonction de l’opération de mélange à réaliser (§ 6). 2.4 Géométrie d’un système d’agitation Lors de ses travaux sur l’agitation, Rushton [1] a défini une cuve dite standard. Figure 7 – Formes des courants créés par un mobile à débit axial Figure 8 – Agitation de grands réservoirs Vortex a sans chicane b avec chicanes c arbre excentré vertical d arbre excentré incliné a b position incorrecte (car la valeur de n'est pas respectée), formation de vortex c position incorrecte Ordre de grandeur des grands réservoirs : ≈ 100 m3 jusqu'à 150 000 à 200 000 m3 suivant l'opération de mélange α α α position correcte 7 < < 12°α Figure 9 – Proportion entre débit de pompage et turbulence suivant le mobile d’agitation Agitateur à ancre Turbine hélicoïdale Hélice Débit de pompage Turbulence Turbine à pales inclinées Turbine à pales droites ou incurvées Mobile de dispersion Les dimensions de cette cuve standard sont : — diamètre de la cuve = hauteur du liquide, soit D = H ; — diamètre du mobile d’agitation d = D/3 ; — hauteur du mobile par rapport au fond de la cuve Y = d = D/3 ; — chicanes de largeur b = 10−1 D collées ou décollées de la paroi avec b‘ = 2 x 10−2 D. (Se reporter à la figure du tableau des notations en début d’article.)
  8. 8. AGITATION. MÉLANGE __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. J 3 800 − 8 ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés En réalité toutes les cuves ne sont pas standard ; en particulier les rapports d/D s’écartent plus ou moins de la valeur 1/3 et les rapports H/D peuvent être supérieurs à 1. Si H/D > 1, plusieurs mobiles d’agi- tation peuvent être placés sur l’arbre (figure 10). 2.5 Régimes d’écoulement Se reporter aux articles de Mécanique des fluides, dans le traité Sciences fondamentales. En mécanique des fluides, l’écoulement d’un fluide de vitesse U (m/s), de masse volumique ρ (kg/m3), de viscosité dynamique η (Pa · s), dans un tube de diamètre d, est caractérisé par le nombre de Reynolds défini par : (2) avec U vitesse d’écoulement, ν viscosité cinématique : ν = η / ρ, d diamètre de la conduite. Pour un mobile d’agitation de diamètre donné d, tournant à une vitesse N, la vitesse périphérique est proportionnelle à Nd. Le nombre de Reynolds de l’agitateur se définira par : (3) Selon la valeur de Re, on pourra distinguer trois régimes hydro- dynamiques : laminaire, intermédiaire, turbulent. Le nombre de Reynolds correspondant au début du régime turbu- lent dépend du type de mobile d’agitation et de la configuration du système d’agitation. Pour les mobiles à débit radial : Re ≈ 104. Pour les mobiles à débit axial : Re ≈ 105. Le régime laminaire se traduit par l’absence de mouvement du fluide dans une direction différente de celle imposée par le mobile d’agitation. Le seul mélange qui puisse se faire entre les couches parallèles au courant est dû uniquement à la diffusion moléculaire et est indépendant de la puissance fournie qui, d’ailleurs, est dissi- pée sous forme de chaleur. Le régime turbulent se caractérise par des mouvements dans tou- tes les directions et donc par un bon mélange des filets fluides. Pour caractériser le niveau de turbulence, il faut analyser en un point donné M de la cuve le vecteur vitesse instantanée. Celui-ci subit des variations incessantes et désordonnées, mais sa valeur moyenne reste en général constante si le régime d’écoulement est permanent. La figure 11 représente un enregistrement type de la vitesse en un point M en considérant une seule direction : Ox, par exemple. À un instant donné, on peut poser : (4) avec vitesse moyenne du liquide, ux fluctuation de vitesse du fluide en M. Les valeurs moyennes de ux dans le temps sont nulles. On utilise souvent , la valeur quadratique moyenne de la fluctuation de vitesse : (5) On appelle intensité de turbulence en un point donné M, dans une direction donnée Ox, le rapport . Les définitions précédentes permettent de définir un mouvement moyen et un mouvement de turbulence . Le mouvement moyen est constitué de gros tourbillons, de bouffées de fluide, de dimension caractéristique L, tandis que le mouvement de turbu- lence ou tourbillonnaire est constitué de tourbillons énergétiques de dimension caractéristique λ auxquels on associe un nombre de Rey- nolds : (6) Les bouffées de fluide sont renouvelées en permanence par le mobile d’agitation et évoluent vers des structures fines dont l’éner- gie cinétique se dissipe. La puissance ε dissipée par unité de masse de solution dans les petits tourbillons est : (7) Figure 10 – Cuves et mobiles : configurations possibles H=D D d 1d 0,5d 0,5d0,5d2d 3d1d 2d0,5d2d1,5d 2d 2,5d 2d H=2D Exemple : une turbine disque à 6 pales droites tourne dans une cuve donnée (d/D = 0,33 ; nc = 4, nc étant le nombre de chicanes col- lées contre la paroi). On distingue les trois régimes [3, 4, 5] : Re < 10 régime laminaire, 10 < Re < 104 régime intermédiaire, 104 < Re régime turbulent. (Cette turbine porte le repère R1 dans l’article [Form. J 3 802]). Re Udρ η ----------- Ud ν --------= = Re Nd2 ν ----------= Ux U x ux+= U x ux ′ ux ′ ux 2= ux ′ U x⁄ U x ux ′ Reλ ux ′ λ ν ---------= ε u′3 λ --------∼
  9. 9. _________________________________________________________________________________________________________________ AGITATION. MÉLANGE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés J 3 800 − 9 Elle est proportionnelle à la viscosité cinématique du fluide, au carré de la valeur quadratique moyenne de la fluctuation de vitesse u’, et inversement proportionnelle à la taille des petits tourbillons. Kolgomoroff [6] considère que : — la taille des petits tourbillons est indépendante de celle des bouffées primaires renouvelées par le mobile d’agitation ; — la taille des petits tourbillons ne dépend que de la puissance dissipée localement ; — la turbulence est isotrope : . Dans un système d’agitation donné, on peut considérer que l’éne- rgie dissipée localement ε est proportionnelle à la puissance d’agita- tion volumique P/V (avec P puissance d’agitation et V volume du liquide agité), le coefficient de proportionnalité étant fonction de la nature du mobile et du point considéré. Par conséquent, les valeurs de la fluctuation de vitesse u’ dépendent de la puissance fournie par le mobile d’agitation. Mais certains mobiles dissipent une part importante de l’énergie sous forme de turbulence (mobile radial), d’autres sous forme de circulation (mobile axial). Schwartzberg [2] a montré que, dans des systèmes d’agitation géométriquement semblables, quel que soit le type du mobile d’agi- tation, à vitesse périphérique du mobile d’agitation donnée π Nd, en des points homologues, on a des vitesses moyennes et des valeurs quadratiques moyennes des fluctuations de vitesses égales. 3. Paramètres globaux d’un système d’agitation 3.1 Puissance dissipée Lorsque, pour une opération de mélange à effectuer, un type de mobile d’agitation a été choisi, il reste à déterminer la puissance nécessaire à son entraînement. La suite montrera que la puissance ne peut être considérée comme le seul critère de définition d’un agi- tateur (§ 3.2, § 3.3, § 5.4, § 5.6). C’est cependant un élément impor- tant puisqu’elle permet de choisir le type de moteur à installer et de comparer, sur le plan consommation d’énergie, les performances de plusieurs mobiles. 3.1.1 Application de la similitude et de l’analyse dimensionnelle au calcul de la puissance Un problème d’agitation fait intervenir un certain nombre de variables dont : — 3 caractéristiques des fluides à agiter : la masse volumique ρ (kg/m3), la viscosité dynamique η (Pa · s) et la tension superficielle γ (N/m) ; — 3 caractéristiques cinématiques et dynamiques : la vitesse de l’agitateur N (tr/s), l’accélération de la pesanteur g = 9,81 m/s2 et la puissance absorbée pour vaincre les forces de résistance P (W) ; — (au moins) 10 caractéristiques aussi bien de l’agitateur lui- même que de l’appareil dans lequel il fonctionne et des accessoires qui y sont fixés, tels que : serpentins, chicanes, etc. ; ce qui peut s’écrire : f (ρ, η, γ, N, g, P, d, D, H, Y, w, b, , p, np, nc) = 0 (8) (La signification des symboles est donnée en début d’article.) Ces 16 variables peuvent s’exprimer à partir des trois unités fon- damentales : masse, longueur et temps. L’application du théorème de Vaschy-Buckingham permet de transformer la relation précé- dente en une relation comportant 16 − 3 = 13 nombres sans dimen- sion. Ce sont les nombres suivants : qui caractérise le rapport entre les forces d’inertie et les forces de viscosité est le nombre de Reynolds de l’agitateur ; (9) qui caractérise le rapport entre les forces d’inertie et les forces de gravité est le nombre de Froude ; (10) est appelé nombre de puissance. C’est le coefficient de traînée de l’agitateur dans le fluide ; (11) qui caractérise l’action des forces de tension superficielle. C’est le nombre de Weber ; — les rapports géométriques (12) L’équation générale peut alors s’écrire, soit : soit encore en adoptant un développement en puissance : NP = k Rex Fry Wez (13) Figure 11 – Vitesse en un point donné : évolution en fonction du temps. 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Ux (m/s) Ux ux Temps (s) ux ′ uy ′ uz ′= = œ Re N d 2ρ η ----------------- Nd 2 ν -----------= = Fr N2 d g -------------= NP P ρN3d 5 -------------------= We ρN2d 3 γ ------------------= d D ----, d H ----, d Y ---, d p ---, d œ ----, d w -----, d b ---, nc, np f d D ----, d H ----, d Y --- , d p ---, d œ ---, d w -----, d b ---, nc, np,   Nd2 ν ----------, N2d g ----------, P ρN3d 5 ------------------, ρN2d 3 γ ------------------   0= d D ----     x1 d H ----     x2 d Y ---     x3 d œ ---     x4 d w -----     x5 d p ---     x6 d b ---     x7 nc x8 np x9
  10. 10. AGITATION. MÉLANGE __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. J 3 800 − 10 ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés 3.1.2 Courbes caractéristiques Pour des systèmes cuves-agitateurs géométriquement sembla- bles, quelle que soit la nature des fluides, l’équation (13) se réduit à : NP = k Rex Fry (14) ou encore à la fonction (15) Cette relation se traduit par une courbe appelée courbe caractéris- tique d’un mobile d’agitation, donnant les variations de Φ en fonc- tion du nombre de Reynolds. Les deux cas suivants peuvent se présenter : — en présence d’un vortex (sans chicane) : (16) (17) (18) avec a et a’ coefficients donnés dans le tableau 3 ; — en l’absence d’un vortex (avec chicanes) : (19) La figure 12 représente, en l’absence et en présence d’un vortex, l’allure générale de la courbe caractéristique d’un mobile d’agita- tion. Elle met en évidence les 3 zones de fonctionnement définies au paragraphe 2.5. 3.1.2.1 Régime laminaire Dans le cas où Re < 10 (zone AB, figure 12). Dans l’équation (14) : x = − 1 et y = 0, (20) D’après la définition (10) de NP : (21) La puissance est indépendante de la masse volumique du fluide et de la présence ou non de vortex, mais proportionnelle à la visco- sité. 3.1.2.2 Régime intermédiaire Dans le cas où 10 < Re < 104 à 105 (selon le type de mobile) (zones BC ou BE, figure 12). L’expression mathématique de la courbe Φ = f (Re) n’est pas sim- ple. On détermine la puissance en utilisant directement la courbe Φ. 3.1.2.3 Régime turbulent Dans le cas où 104 à 105 < Re (zones CD ou EF, figure 12). Ce régime se caractérise par un Φ constant et donc indépendant du nombre de Reynolds pour des valeurs de Re > 104 à 105 : — avec vortex, d’après (17) : (22) — sans vortex, d’après (19) : (23) et, d’après (10) : P = NP0 ρN3d5. Dans une cuve munie de chicanes (sans vortex) fonctionnant en régime turbulent, la puissance dissipée est indépendante de la vis- cosité du fluide. Le lecteur trouvera, dans l’article [J 3 802], les courbes NP = f (Re) caractéristiques de différents mobiles d’agitation disponibles dans le commerce et les valeurs du nombre de puissance NP0 en régime turbulent. Tableau 3 – Coefficients a et a’ de la formule (18) Mobile d’agitation np ou p a a’ Turbine à np pales droites (repères R 1 et R 2, article [J 3 802]) np = 4 np = 6 3,3 3 2,7 à 3,9 2,7 à 3,9 0,75 à 1,3 0,75 à 1,3 1 1 40 40 Hélice marine de pas p (repère A1, article [J 3 802]) p = d 3 2,7 à 3,9 0,75 à 1,3 2,1 18 La signification des symboles est donnée en début d’article. Φ NP Fry -------- k Rex= = si Re 300 : Φ NP=< si Re 300 : Φ NP Fry --------=> et y a lg Re– a′ ------------------------= Re : Φ NP et NP f Re( )==∀ D d ---- H d ---- Y d ---- d′où : Φ NP k Re ------- kν Nd2 ----------= = = Figure 12 – Courbes caractéristiques de puissance : allure générale Exemple : on considère une turbine disque à six pales droites (repère R1, article [J 3 802]) de diamètre de mobile d = 1 m qui tourne à une vitesse N = 1,5 s−1 dans de l’eau (ν = 10−6 m2/s). Son nombre de Reynolds est donc d’après (3) : Re = 1,5 x 106. Pour être en régime intermédiaire il faudrait que la viscosité du produit soit environ 150 à 200 fois plus forte que celle de l’eau. 10–1 1 10 102 103 104 105 1 10 102 2 2 25 5 2 5 2 5 2 5 5 2 5 2 5 Φ A AB régime laminaire < 10 BC, BE régime intermédiaire CD, EF régime turbulent B C D E F Avec chicane Sans chicane Re Re (§ 3.1.2.1) 10 < Re < 104 à 105 104 à 105 < Re (§ 3.1.2.2) (§ 3.1.2.3) P NP ρN3 d 5 kν Nd 2 ----------- ρN3d 5 k η N2d 3=== Φ NP Fry -------- Cte= = Φ NP Cte NP0== =
  11. 11. _________________________________________________________________________________________________________________ AGITATION. MÉLANGE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés J 3 800 − 11 3.1.2.4 Influence des éléments géométriques Rushton [1] avait établi des courbes caractéristiques pour des rap- ports géométriques bien définis : L’expérience montre que, en régime turbulent, en l’absence de vortex, les courbes caractéristiques restent valables, du moins sur certaines plages de variation des rapports géométriques tels que : Cependant, pour des configurations géométriques différentes de celles correspondant aux normes fournies, il est préférable de s’adresser au constructeur qui donnera les valeurs numériques des coefficients de correction à appliquer. 3.1.2.5 Influence du nombre de mobiles d’agitation Dans le cas d’un arbre comportant plusieurs mobiles d’agitation (figure 10), la puissance absorbée dépend de la position des mobi- les les uns par rapport aux autres et aussi du rapport H/D. En pre- mière approximation, on peut cependant dire que la puissance totale absorbée est égale à la somme des puissances absorbées par chaque mobile. 3.2 Débits de pompage et de circulation 3.2.1 Débit de pompage Le débit de pompage Qp est le débit de liquide qui passe effective- ment dans le mobile d’agitation. Il est proportionnel à la vitesse de rotation N, et au cube du diamètre du mobile d, soit : Qp = NQp N d3 (24) Le coefficient de proportionnalité NQp est appelé nombre de pom- page. Il est fonction du type de mobile d’agitation et du régime hydrodynamique. Dans le cas du régime turbulent NQp peut être considéré comme constant. L’article [J 3 802] donne des valeurs de NQp pour différents mobi- les d’agitation. 3.2.2 Débit de circulation Le débit de pompage induit dans le volume de la cuve, par trans- fert de quantité de mouvement, un débit d’entraînement Qe. Le débit de circulation Qc est la somme du débit d’entraînement Qe et du débit de pompage Qp, soit : Qc = Qe + Qp (25) D’après les travaux de plusieurs auteurs [4], on admet que, quel que soit le type de mobile d’agitation, le rapport Qc /Qp est à peu près constant et vaut environ 1,8. On pourra définir un nombre de circulation NQc par : (26) 3.2.3 Application à l’estimation du temps de mélange 3.2.3.1 Définition et équation On définit le temps de mélange tM comme le temps nécessaire à l’obtention d’un mélange d’une qualité fixée dans des conditions d’agitation bien déterminées. C’est donc l’intervalle de temps entre le début de l’agitation et le moment où une composition uniforme est obtenue dans la masse fluide. Cependant il existe une ambiguïté quant à la définition d’une composition uniforme. Tout dépend de l’échelle à laquelle on se situe : à l’échelle du litre, du millilitre ou des molécules. Il est bien évident dans ces conditions que le temps de mélange ne sera pas le même. Comme pour le calcul de la puissance d’agitation (§ 3.1), le temps de mélange est fonction : — des caractéristiques physico-chimiques des fluides à mélanger ; — des conditions d’agitation ; — du système cuve-agitation. Pour un système d’agitation donné, ou des systèmes géomé- triquement semblables, munis de chicanes et travaillant en régime turbulent, l’analyse dimensionnelle permet d’écrire : NtM = k’ Rex (27) avec k’ constante dépendant du type de mobile. 3.2.3.2 Mesure des temps de mélange Il existe diverses méthodes permettant de mesurer les temps de mélange [11, 12] mais elles conduisent bien souvent à des conclu- sions assez différentes. La technique de base est l’observation de l’évolution d’une propriété du fluide après avoir introduit dans le système une perturbation. Les principales techniques de mesure uti- lisées sont les suivantes. s Méthodes colorimétriques avec réaction chimique On observe par exemple le changement de coloration après avoir introduit un indicateur coloré dans une cuve contenant un mélange acide-base. Il s’agit alors d’une observation visuelle. s Méthodes thermiques Une impulsion thermique de quantité connue est produite dans la masse du fluide. Des thermocouples placés dans la cuve suivent l’évolution de la température en fonction du temps. s Méthode des traceurs radioactifs On suit l’homogénéisation de la concentration d’un traceur placé dans la masse fluide agitée. s Méthode conductimétrique Elle est fondée sur la variation de la conductivité électrique de la masse fluide après avoir introduit une petite quantité d’un électro- lyte fort (acide sulfurique, soude) ou d’un sel (chlorure de sodium). Une ou plusieurs sondes conductimétriques placées dans la cuve indiquent la variation de la conductivité en fonction du temps. En général, on considère un temps de mélange tM99 tel que les varia- tions de la conductivité ne constituent plus que 1 % de la variation échelon. C’est la méthode le plus couramment utilisée. Khang et Levenspiel [13] ont défini un critère utilisant la vitesse de décroissance des fluctuations de concentration à l’intérieur de la cuve. Il suffit de se fixer le pourcentage de déviation par rapport à l’uniformité pour en déduire un temps de mélange. Toutes ces méthodes peuvent être utilisées pour tester un mobile d’agitation. Le tableau 4 permet d’en voir les avantages et les incon- vénients. Le choix de la technique dépend des conditions opératoi- res, du système étudié et des caractéristiques des fluides [11]. Pour plus de détails sur ces méthodes, se reporter au traité Ana- lyse chimique et Caractérisation. d D ---- 1 3 ---; H D ---- 1; b D ---- 1 10 ------; Y D ---- 1 3 ---==== 0,2 d D ---- 0,5 ; 2 H d ---- 4 ; 0,7 Y d --- 1,6< << << < NQc Qc Nd 3 ----------- 1,8 NQp= =
  12. 12. AGITATION. MÉLANGE __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. J 3 800 − 12 ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés 3.2.3.3 Corrélation pour calculer le temps de mélange Les divergences existant entre les corrélations proposées en utili- sant la formule (27) : NtM = k’ Rex proviennent, d’une part, des diver- ses méthodes utilisées et, d’autre part, des conditions d’expérience (placement des capteurs, endroit d’injection du traceur, degré de mélange différents ou non précisés). En régime turbulent, on peut considérer x = 0, soit NtM = k’. Cependant, pour des agitateurs classiques, il existe quelques cor- rélations pratiques permettant de calculer un temps de mélange (tableau 5). Le temps de mélange tM peut être relié au débit de pompage du mobile d’agitation : NtM = k’ d’où tM = k’/N Qp = NQp Nd3 Le temps de pompage tp = V /Qp est donc : (28) Pour un système d’agitation donné, ce rapport est donc constant. Pour des systèmes géométriquement semblables d3/V est constant, il en est de même pour tM/tp et donc pour tM/tc (avec tc : temps de circulation défini par tc = V /Qc). Ce rapport indique le nombre de cir- culations que doit effectuer le liquide pour être mélangé (exemple § 5.3). 3.3 Analogie avec une pompe centrifuge. Hauteur théorique créée Il est possible de faire une analogie entre un agitateur et une pompe centrifuge. La puissance P dissipée par l’agitateur et la hau- teur théorique H• sont liées par la relation : P = Qp ρ gH∗ (29) avec H∗ hauteur théorique créée par le mobile d’agitation. L’expression de la puissance peut également s’écrire s’il n’y a pas de vortex et si on est en régime turbulent : P = Np ρ N3d5 d’où : Qp ρ g H∗ = NP ρ N3d5. En remplaçant Qp par NQp Nd3, d’après (24), il vient : (30) La vitesse périphérique Vp est : Vp = π Nd (31) d’où (32) H• est donc proportionnel au carré de la vitesse périphérique du mobile d’agitation. L’utilité principale de la hauteur théorique H∗ est sa relation avec la turbulence créée au sein de la solution agitée. Il est intéressant de calculer le rapport Qp/ H∗, qui permet de comparer les performances des divers mobiles d’agitation et de dire si un mobile a une action de pompage ou de turbulence plus ou moins grande (§ 5.4, § 5.6). 3.4 Gradient de vitesse Le liquide quittant le pale de l’agitateur crée des effets de cisaille- ment dans le liquide. La figure 13 représente un profil de vitesse autour d’une turbine à six pales droites (repère R1, [Form. J 3 802]) tournant à trois vitesses différentes. Tableau 4 – Méthodes de mesure du temps de mélange Méthodes Avantages Inconvénients colorimétriques avec réaction chimique Pas de capteur de mesure. La décoloration d’un fluide est facile à déterminer. Demandant une bonne observation visuelle. Ne s’appliquent pas pour fluides opaques. Consommation de fluides. thermiques Pas de modification de la nature des fluides. Ne consomment pas de produits. La cuve doit être isolée thermiquement. Appareillage important et coûteux. des traceurs radioactifs Valables quel que soit le système agité. Utilisation de la radioactivité (implication pratique et financière). conductimétriques Utilisent des capteurs très simples et des produits bon marché. Mise en œuvre rapide. Résultats corrects. Nécessité de renouveler les flui- des au bout d’un certain nombre d’essais. Tableau 5 – Calcul du temps de mélange par deux formulations (1) Mobile Formulation 1 (2) Formulation 2 (3) Hélice marine (repère A1, [J 3 802]) p = d NtM = 6 (D/d)2 nc = 3 ou 4 Re > 104 (N/K) (d/D)2 = 0,90 Y = D/2 ; nc = 4 ; b = (1/10)D 0,10 < d/D < 0,45 ; Re > 104 Turbine disque à six pales droites (repère R1, [J 3 802]) W/d = 0,20 /d = 0,25 NtM = 4 (D/d)2 nc = 3 ou 4 Re > 104 (N/K) (d/D)2,3 = 0,5 Y = D/2 ; nc = 4 ; b = (1/10)D 0,23 < d/D < 0,43 ; Re > 2 x 103 (1) Un exemple numérique est donné § 5.3. (2) Les corrélations proposées correspondent en général à un degré de mélange supérieur à 99 %. (3) A représente l’amplitude admissible des variations de la concentration par rapport à la concentration échelon. A peut être calculé par : La signification des symboles est donnée en début d’article. K In A /2( ) tM– -----------------------= œ K In A /2( ) tM– -----------------------= A 100 degré mélange souhaité en %( )– 100 -------------------------------------------------------------------------------------------------------= tp V NQp Nd 3 ------------------------= d′où : tM tp ------ k′ NQp d3 V ---------------------------= H* NP ρ N3 d 5 NQp N d3 ρ g -------------------------------------- NP NQp g ---------------- N2 d2= = H∗ NP NQp g π2 -------------------------Vp 2=
  13. 13. _________________________________________________________________________________________________________________ AGITATION. MÉLANGE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés J 3 800 − 13 Le gradient de vitesse (appelé encore taux de cisaillement) se mesure à partir de la pente de l’enveloppe des vecteurs vitesse (figure 13) : (33) La contrainte de cisaillement se définit par la loi de Newton : (34) Oldshue [14] a montré qu’il fallait distinguer deux gradients de vitesse : un gradient moyen et un gradient maximal. La figure 14 a donne la variation de ces gradients de vitesse moyen et maximal pour une turbine disque à 6 pales droites (repère R 1, [Form. J 3 802]), en fonction de la vitesse de rotation. Le gradient maximal est environ égal à 2 fois le gradient moyen. La figure 14 b donne la variation des gradients de vitesse moyen et maximal en fonction du diamètre de la turbine pour une vitesse d’agitation N constante. Le gradient moyen reste constant tandis que le gradient maximal aug- mente avec le diamètre de la turbine. Il s’agit d’un élément impor- tant pour l’extrapolation d’un système d’agitation (§ 7). Le gradient de vitesse moyen (Gm) autour du mobile d’agitation est proportionnel à la vitesse de rotation du mobile : Gm = km N (35) Il est possible de définir un gradient de vitesse moyen dans toute la cuve proportionnel à N : (36) Voici quelques valeurs de km et pour plusieurs turbines Moritz. 4. Paramètres locaux d’un système d’agitation L’analyse locale du comportement de la cuve agitée présente plu- sieurs intérêts. La connaissance du champ de vitesse en tout point de la cuve donne accès à la circulation globale, à la localisation des zones d’eaux mortes et des zones à fort gradient de vitesse. La connaissance du champ de vitesse induit par un mobile d’agitation permet de choisir la position et le type d’agitateur le mieux adapté à un procédé : mise en suspension, dispersion de particules solides ou dispersion de bulles ou de gouttes. La connaissance du champ turbulent permet de quantifier le mélange en estimant les échelles caractéristiques des tourbillons énergétiques, le niveau d’énergie associé et le taux de dissipation d’énergie. Pour accéder aux grandeurs locales, l’analyse expérimentale est indispensable (§ 4.1). En parallèle à l’expérience, les outils de simu- lation numérique des écoulements dans les cuves agitées peuvent aider l’ingénieur à mieux maîtriser les performances d’un procédé de mélange (§ 4.2). Figure 13 – Profil de vitesse autour d’un mobile à débit radial 40 30 20 10 0 – 10 – 20 – 30 – 40 0 50 100 150 200 y (mm) Disque w 66 131 250 min–1 Ux (cm/s) d = 150 mm y position du point de mesure par rapport au disque de la turbine (Oy : axe vertical) Ux vitesse moyenne du liquide dans la direction horizontale Ox w largeur (ou hauteur) de la pale gradient de vitesse = dUx dy ---------- τ η dUx dy ----------= Gm ′( ) Gm ′ km ′ N= km ′ Figure 14 – Gradients de vitesse moyen et maximal pour une turbine disque à 6 pales droites Turbine Repère (article [Form. J 3 802]) km Hélice marine ........... A 1 35 10 Turbine HAP ............. A 2,3 42 13 Turbine DEL .............. A 6 80 13 Turbine TPR .............. R 1 60 13 200 4 3 2 1 0,75 100 60 40 30 20 10 20 40 60 100 200 400 600 100 150 200 dUx dy (s–1) dUx dy (unité arbitraire) M axim al M axim al M oyen Moyen N(min–1) (d = 150 mm) d (mm) a en fonction de la vitesse de la turbine (N = Cte) Turbine : repère R1, [Form. J 3802] b en fonction du diamètre de la turbine km ′
  14. 14. AGITATION. MÉLANGE __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. J 3 800 − 14 ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés 4.1 Moyens de mesure du champ de vitesse 4.1.1 Acquisition des données de vitesse On peut mesurer la vitesse de l’écoulement dans une cuve agitée par différentes techniques (figure 15). Un premier groupe de moyens techniques correspond à une mesure locale et ponctuelle de la vitesse instantanée par anémométrie à film chaud (hot film anemometry : HFA), anémométrie à fil chaud (hot wire anemometry : HWA) ou anémométrie laser à effet Doppler (laser Doppler anemometry : LDA). On doit mentionner une nouvelle technique de vélocimétrie par image de particules (particle image velocimetry : PIV) qui donne accès directement à la distribution spatiale du champ instantané de vitesse dans un plan. Cette nouvelle technique permet un gain de temps considérable dans l’analyse expérimentale d’une cuve puis- que l’on mesure le champ de vitesse sur tout un plan et non point par point. 4.1.2 Traitement des données de vitesse En régime laminaire, le champ instantané mesuré ne nécessite aucun traitement. Par contre, en écoulement turbulent, l’analyse locale est basée sur un traitement statistique à partir d’un grand nombre de mesures locales. À partir de la distinction entre champ moyen (organisé et reproductible) et champ fluctuant (aléatoire), on peut déterminer expérimentalement les caractéristiques du mouve- ment moyen et les caractéristiques de la turbulence (niveau d’éner- gie cinétique turbulente notée k, échelles caractéristiques des tourbillons par analyse spectrale ou corrélatoire). En ce qui concerne le champ moyen, un exemple de résultat expérimental est donné sur la figure 16. La vitesse axiale Uz est normalisée par πNd où N est la vitesse de rotation de l’agitateur et d son diamètre. En abscisse, la position radiale est normée par le rayon R de l’agitateur. À partir du profil de vitesse présenté figure 16, on peut déte- rminer le débit de pompage de l’agitateur, par intégration radiale : On trouve un débit de pompage de l’ordre de 0,006 m3 · s−1. On en déduit un nombre de pompage de 0,54 alors que Weetman et Oldshue [16] proposaient une valeur de 0,56 par mesure LDA. 4.2 Techniques numériques Compte tenu des performances des outils et des moyens de cal- cul, il est désormais tout à fait réaliste de simuler numériquement un grand nombre de géométries ou de conditions de fonctionne- ment en cuve agitée, en régime laminaire ou turbulent, en milieu monophasique ou diphasique, pour les cuves aérées. Compte tenu de la complexité de la géométrie des cuves agitées, il n’y a pas de solution analytique au problème et la seule voie de résolution locale est numérique. Pour un fluide newtonien, les écou- lements sont régis par les équations de Navier-Stokes. Ces équa- tions peuvent être directement résolues en régime laminaire. En régime turbulent dans ces géométries complexes, on résout les équations de Reynolds. Si l’ingénieur dispose d’un code de calcul d’écoulement en régi- mes laminaire ou turbulent en géométrie complexe, il lui incombe, dans chaque traitement de cas, la responsabilité de discrétiser le domaine d’écoulement et de déterminer les conditions aux limites sur les contours, aux entrée(s) et sortie(s) de la cuve. Ces deux opé- rations sont déterminantes quant à la qualité du résultat de la simu- lation. Pour la discrétisation du domaine de calcul, il est clair que le maillage doit être raffiné dans les zones où les grandeurs varient, c’est-à-dire à proximité des parois, des obstacles (baffles), de l’agita- teur, voire de l’injecteur pour les cuves aérées. Pour déterminer les conditions à la limite, la connaissance d’informations expérimen- tales locales s’avère encore incontournable. Qp 2π Uz r( ) r rd 0 R ∫= Figure 15 – Champ de vitesse en régime laminaire mesuré par la technique PIV (Particule Image Velocimetry) Figure 16 – Profil radial de vitesse axiale sous l’agitateur en régime turbulent mesuré par la PIV (S. Bugay, [15]) Agitateur de type Rushton, de diamètre d = 0,11 m situé à 0,11 m du fond d'une cuve de diamètre D = 0,295 m. La vitesse d'agitation est de N = 2 s–1. La viscosité du fluide est de 0,25 Pa.S s–1. 0,2 0,15 0,1 0,05 0 – 0,05 – 0,1 – 0,15 – 0,2 – 0,25 – 0,3 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 r/R Cuve cylindrique de diamètre 0,45 m, pour un agitateur axial A310 de 0,15 m de diamètre, pour une vitesse N = 3,3 s–1, dans un plan situé 5 x 10–3 m sous l'agitateur. U *z
  15. 15. _________________________________________________________________________________________________________________ AGITATION. MÉLANGE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés J 3 800 − 15 4.2.1 Régime laminaire En régime d’écoulement laminaire pour un fluide newtonien, les équations de Navier-Stokes permettent de calculer les distributions spatio-temporelles de la vitesse et de la pression dans le fluide.Tous les codes de calcul industriels actuels permettent de résoudre ce type d’écoulement. En général, on calcule des champs de vitesse et de pression stationnaires en filtrant l’instationnarité réelle de l’écou- lement induite par le mobile d’agitation. Il suffit alors de résoudre l’écoulement dans la cuve, en dehors de la région occupée par le mobile, en imposant aux limites géométriques de cette région des profils de vitesse stationnaires équivalents à la moyenne temporelle de la vitesse induite par l’agitateur, moyenne obtenue sur un grand nombre de périodes de rotation de l’agitateur. Cette approche est largement utilisée. Elle présente l’avantage de nécessiter des moyens de calcul raisonnables. Elle présente l’inconvénient d’intro- duire une information empirique relative au profil de vitesse moyenne sous l’agitateur. On a reporté sur la figure 17 un champ de vitesse moyenne simulé en écoulement axisymétrique avec le code Fluent. Dans ces simulations, il est possible de calculer la puissance consommée par le système d’agitation soit par intégration spatiale de la dissipation visqueuse d’énergie dans tout le domaine, soit par intégration de la distribution des puissances des contraintes de cisaillement sur le contour de l’agitateur.Tatterson [17] recommande la première méthode qui donne, en laminaire, de très bons résultats. Pour des fluides non newtoniens, la simulation numérique est envisageable à condition de connaître la loi rhéologique du fluide. 4.2.2 Régime turbulent En régime turbulent, c’est le comportement moyen de l’écoule- ment qui intéresse l’ingénieur. Pour calculer ce comportement moyen, il est indispensable de prendre en compte le transport tur- bulent généré par les fluctuations turbulentes de pression et de vitesse. Ce transport s’interprète comme la capacité de l’écoulement turbulent à diffuser la quantité de mouvement, la température, la concentration. Sans entrer dans le détail des théories de la turbulence, on dis- pose de plusieurs modèles pour représenter la diffusion turbulente de quantité de mouvement, de matière et de chaleur. Une hypothèse admise dans les codes de calcul actuellement disponibles consiste à exprimer la diffusion turbulente de quantité de mouvement, de matière ou de chaleur en terme de diffusivités turbulentes de quan- tité de mouvement (viscosité turbulente), de température (diffusi- vité turbulente thermique), de matière (diffusion turbulente d’espèce) qui sont des propriétés locales de l’écoulement considéré. Dans les modèles de turbulence les plus utilisés, appelés modèles (k, ε) et basés sur les deux équations de transport de l’énergie ciné- tique turbulente k et de son taux de dissipation ε, la diffusion turbu- lente est calculée en chaque point en fonction de k et de ε. Dans les codes de calcul actuellement utilisés en régime turbulent en cuve agitée, on ne résout pas l’écoulement dans la zone occupée par le mobile d’agitation. Par conséquent, le choix des conditions à la limite autour de l’agitateur est important. On peut accéder expéri- mentalement aux profils de vitesse moyenne et de l’énergie cinéti- que turbulente. En revanche, on ne peut pas mesurer directement le profil de taux de dissipation d’énergie cinétique turbulente que l’on doit pourtant imposer. Cependant, surestimer ou sous-estimer ce taux de dissipation aura d’importantes conséquences sur la distri- bution de la turbulence dans toute la cuve. Pour accéder au taux de dissipation de l’énergie cinétique turbu- lente, on l’exprime en fonction de l’énergie cinétique turbulente et d’une macroéchelle de longueur, caractéristique des tourbillons contenant l’énergie : Jusqu’à maintenant, la macroéchelle de turbulence Λ est reliée arbitrairement, voire empiriquement, à la géométrie de l’agitateur (diamètre d ou hauteur des pales w). Dans le cas des turbines Rush- ton, Λ/w est compris entre 10 % et 80 %. Dans le cas de la turbine à pales inclinées, Λ/w est compris entre 25 % et 200 %, ce qui corres- pond à d/Λ entre 2,5 et 20. Dans le cas d’un agitateur axial A310 (A.4.6.), les auteurs proposent d/Λ entre 10 et 15. Les codes actuels permettent de reproduire raisonnablement les caractéristiques du mouvement dans une cuve. Cependant, contrai- rement au régime laminaire, on ne retrouve pas la puissance fournie quand on fait le bilan de la puissance dissipée sous forme des taux de dissipation visqueuse de l’énergie cinétique turbulente. C’est une des insuffisances actuelles des codes de simulation liée à une méconnaissance partielle des mécanismes locaux à modéliser. L’objectif de l’ingénieur est d’utiliser le code de calcul pour optimi- ser le fonctionnement d’une cuve, en modifiant tel ou tel paramètre géométrique. Les outils de calcul permettent d’avoir une solution approchée du problème, compte tenu des approximations portant sur différentes simplifications : — la définition de la géométrie de la cuve ; — la définition des conditions aux limites ; — l’hypothèse de fonctionnement stationnaire de la cuve ; — la modélisation de la turbulence. Malgré ces simplifications, l’outil de simulation peut être précieux pour comprendre des dysfonctionnements éventuels et rechercher des modes de fonctionnement plus efficaces. Avant de simuler toute nouvelle géométrie, il faut insister sur la nécessaire étape de valida- tion des résultats par des données acquises avec un pilote existant. Figure 17 – Champ de vitesse simulé par le code Fluent en régime laminaire Agitateur de type Rushton, de diamètre d = 0,11 m situé à 0,11 m du fond d'une cuve de diamètre D = 0,295 m. La vitesse d'agitation est de 2 s–1. La viscosité du fluide est de 0,25 Pa. s–1. ε C k3 2⁄ Λ -----------=
  16. 16. AGITATION. MÉLANGE __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. J 3 800 − 16 ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés 5. Exemples de calculs pour des systèmes d’agitation 5.1 Calcul de la puissance dissipée s Le nombre de Reynolds de l’hélice marine est, d’après la formule (3) : On est donc en régime turbulent. NP = NP0 = 0,37 (cf. [J 3 802]), d’où d’après la formule (10) : P = NP ρ N3d5 = 0,37 x 1 200 x 63 x 0,35 = 233 W La puissance nécessaire à l’entraînement de l’hélice est de 233 W soit 0,23 kW. s Le diamètre de la cuve est D = 0,9 m, d’où le volume : La puissance dissipée par unité de volume est : P/V = 233 / 0,572 = 410 W/m3 s La vitesse périphérique du mobile d’agitation est, d’après la for- mule (31) : Vp = π Nd = π x 6 x 0,3 m/s = 5,6 m/s 5.2 Calcul des débits de pompage et de circulation s D’après la formule (24) : Qp = NQp Nd3 Re > 104, on est en régime turbulent et d’après [J 3 802] : NQp = 0,55 D’où Qp = 0,55 x 6 x 0,33 = 89 x 10−3 m3/s. s Le temps de pompage se définit par : s Le débit de circulation Qc dans la cuve est (§ 3.2.2) : Qc = 1,8 Qp = 1,8 x 89 x 10−3 = 160 x 10−3 m3/s s Le temps de circulation est : 5.3 Détermination du temps de mélange s Formulation 1 NtM = 6 (D/d)2 ; Re > 104 et D/d = 3 d’où : NtM = 54 ; N = 6 s−1 donc tM = 9 s s Formulation 2 (N/K) (d/D)2 = 0,90 ; Re > 104 D/d = 3 d’où N/K = 8,1 Si le degré de mélange est 99 % : NtM = 43 ; comme N = 6 s−1, tM = 7,2 s Si le degré de mélange est 99,9 % : A = 0,001. NtM = 62 et tM = 10,3 s Les deux formulations conduisent à des résultats du même ordre de grandeur. Cependant l’intérêt de la formulation 2 est de permet- tre de calculer un temps de mélange en fonction du degré de mélange souhaité dans la cuve. Pour le système d’agitation étudié tc = 3,6 s et tM/tc ≈ 3. On calcule la puissance nécessaire à l’entraînement d’un mobile d’agitation, type hélice marine, repère A1 [J 3 802] (p = d, np = 3, d = 0,3 m, N = 6 s−1), monté dans une cuve stan- dard (H = D, d/D = 1/3, Y/d = 1, ) contenant un liquide de masse volumique ρ = 1 200 kg/m3 et de viscosité η = 3,6 x 10−3 Pa · s. On en déduit la puissance dissipée par unité de volume de liquide P/V, ainsi que la vitesse périphérique du mobile d’agitation. On reprend les données du paragraphe 5.1 pour calculer le débit de pompage, le temps de pompage, le débit de circulation et le temps de circulation. nc * 3= Re Nd2ρ η -------------- 6 0,3( )2 1 200×× 3,6 10−3× ----------------------------------------------- 1,8 105×= = = V π D2 4 ----------- H π 4 --- 0,9( )2 0,9 0,572 m3=×== On reprend les données du paragraphe 5.1 pour déterminer le temps de mélange en utilisant les deux formulations du tableau 5 applicables à l’hélice marine. tp V Qp ------- 0,572 89 10−3× ------------------------- 6,4 s= = = tc V Qc ------- 0,572 160 10−3× ---------------------------- 3,6 s= = = tM tp ------ 9 6,4 --------- 1,4 et tM tc ------ 9 3,6 -------- 2,5= == = K In A 2⁄( ) tM– -----------------------= A 100 99– 100 ---------------------- 0,01= =
  17. 17. _________________________________________________________________________________________________________________ AGITATION. MÉLANGE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés J 3 800 − 17 5.4 Comparaison d’une hélice marine et d’une turbine disque à six pales droites On notera que : — le débit de pompage Qp est supérieur pour l’hélice marine ; — le niveau de turbulence (caractérisée par ) est plus grand avec la turbine disque à six pales droites ; — l’hélice marine conduit à des valeurs de plus impor- tantes ; — à puissance dissipée identique, l’hélice marine favorise le pompage et donc la circulation, tandis que la turbine disque à six pales droites favorise la turbulence. La puissance dissipée n’est donc pas un critère suffisant pour caractériser un mobile d’agita- tion. Les résultats sont regroupés dans le tableau 7. 5.5 Effet du changement du rapport d/D sur les grandeurs caractéristiques Lors d’un changement du rapport d/D d’un système d’agitation, il est intéressant de voir l’évolution des grandeurs caractéristiques en prenant comme critères la vitesse périphérique, la puissance dissi- pée par unité de volume, le temps de pompage. En régime turbulent, dans une cuve d’agitation donnée, le diamè- tre du mobile d’agitation est changé dans le rapport R. Le tableau 6 montre l’évolution de ces différentes grandeurs caractéristiques. Un exemple pratique sera traité au paragraphe 5.6. Le rapport d/D sera donc choisi en fonction de l’action (pompage ou turbulence) à privilégier, c’est-à-dire en fonction de l’opération à réaliser dans la cuve agitée. 5.6 Comparaison de deux turbines à débit radial de rapports d/D différents Les résultats sont regroupés tableau 7. Tableau 6 – Changement du diamètre du mobile dans une cuve donnée : conséquences sur les autres caractéristiques Dans une cuve d’agitation donnée, d (et donc d/D) est multiplié par R. Voici les valeurs par lesquelles sont multipliées les autres carac- téristiques dans 3 cas différents, en régime turbulent : — 1er cas : P = Cte et P/V = Cte. Si le diamètre d augmente, le débit de pompage Qp aug- mente, la hauteur théorique diminue et donc aug- mente. Cela veut dire qu’en augmentant le diamètre, la circulation du liquide est augmentée. — 2e cas : la vitesse périphérique π Nd = Cte. Si le diamètre d augmente, le débit de pompage Qp, la puis- sance dissipée augmentent. Comme dans le 1er cas, la circulation du fluide est meilleure. — 3e cas : Qp (ou tp) = Cte. Si le diamètre d augmente, pour avoir le même débit de pom- page, il faut une vitesse de rotation et une puissance dissipée net- tement inférieures, ce qui peut être intéressant. Caractéristiques 1er cas 2e cas 3e cas d R R R d/D R R R P 1 R2 R−4 P/V 1 R2 R−4 N R−1,67 R−1 R−3 Vp = π Nd R−0,67 1 R−2 Re R−0,33 R R−1 Fr R−2,33 R−1 R−5 We R−0,33 R R−3 Qp R1,33 R2 1 tp R−1,33 R−2 1 R −1,33 1 R−4 R2,66 R2 R4 H* Qp H*⁄ P V⁄ et Qp H*⁄ H* Qp H*⁄ On considère deux mobiles d’agitation, hélice marine (repère A1, [Form. J 3 802]) et turbine disque à six pales droites (repère R1, [Form. J 3 802]), dissipant la même puissance P = 50 W dans une cuve (D = 0,3 m ; d/D = 1/3 ; nc = 4 ; H = D ; b/D = 1/10) contenant de l’eau (ρ = 1 000 kg/m3, ν = 10−6 m2/s). On calcule les grandeurs suivantes : N, Re, Vp, Qp, H*,Qp H*.⁄ H* Qp H*⁄ Tableau 7 – Résultats obtenus avec différents mobiles dissipant même puissance Paramètre Hélice marine Turbine disque à 6 pales d = 0,10 m d = 0,10 m d = 0,15 m P ................ (W) 50 50 50 Np (1)................ 0,37 5,5 5,5 N .............. (s−1) 24 9,7 4,9 Re .................... 2,4 x 105 0,97 x 105 1,1 x 105 Vp ............(m/s) 7,5 3 2,3 NQp (1)............. 0,55 0,80 0,80 Qp ......... (m3/s) 13,2 x 10−3 7,8 x 10−3 13,2 x 10−3 ............. (m) 0,39 0,65 0,38 ..(m2/s) 0,034 0,012 0,035 Hélice marine : repère A1, [Form. J 3 802]. Turbine disque à 6 pales : repère R1, [Form. J 3 802]. La signification des symboles est donnée en début d’article. (1) Les valeurs de NP et NQp sont dans [Form. J 3 802] ; NP = 5,5 est une valeur moyenne. On considère deux turbines disques à six pales droites de dia- mètres différents (d = 0,10 et 0,15 m), tournant dans une cuve (D = 0,3 m, nc = 4, H = D, Y/d = 1) dissipant la même puissance P = 50 W. On calcule les grandeurs N, Re, Vp, Qp, dans le cas où la cuve contient de l’eau (ρ = 1 000 kg/m3, ν = 10−6 m2/s). H* Qp H*⁄ H*, Qp H*⁄
  18. 18. AGITATION. MÉLANGE __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. J 3 800 − 18 ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés On notera que : — en augmentant le diamètre du mobile d’agitation (à P = Cte), la vitesse de rotation diminue mais le débit de pompage augmente ; — par contre, le degré de turbulence lié à diminue ; — à même puissance dissipée, la circulation sera beaucoup plus favorisée avec un mobile de rapport d/D plus grand ; — en jouant sur le rapport d/D, il est donc possible d’augmenter ou de diminuer les actions de pompage ou de turbulence du mobile. Cela démontre une fois encore que la puissance dissipée n’est pas un critère suffisant pour caractériser l’action d’un mobile d’agita- tion. 6. Choix du matériel d’agitation Le choix du type de mobile d’agitation est déterminant pour l’éco- nomie d’une opération d’agitation à réaliser. Il est évident que le type de mobile doit être adapté à l’opération d’agitation à réaliser. Pour cela il faut bien définir ce que l’on veut réaliser dans la cuve. Pour orienter le choix du matériel nous vous proposons la démarche suivante. 6.1 Types d’opérations à réaliser Il s’agit des opérations suivantes : — mise et/ou maintien en suspension ; — dissolution, cristallisation ; — extraction liquide-solide ; — dispersion ; — émulsion ; — mélange ; — homogénéisation, circulation ; — transfert thermique ; — dilution ; — neutralisation ; — réaction chimique ; — extraction liquide-liquide ; — absorption, désorption ; — fermentation, etc. 6.2 Grandeurs nécessaires pour définir le procédé Examen détaillé des produits mis en présence. s Liquides : — masse volumique ; — viscosité ; — pourcentage ; — température initiale et finale ; — type de fluide. s Solides : — nature ; — pourcentage ; — masse volumique ; — dimension et répartition granulométrique ; — vitesse de décantation ; — mouillabilité ; — solubilité. s Gaz : — nature ; — débit ; — pression ; — solubilité. 6.3 Caractéristiques générales du mobile d’agitation Il s’agit des caractéristiques suivantes : — cisaillement fort, moyen, faible ; — turbulence forte, moyenne, faible ; — pompage fort, moyen, faible. 6.4 Sélection des mobiles Le tableau 8 donne une liste de mobiles susceptibles d’être utili- sés en fonction du type d’opération de mélange à réaliser. 6.5 Choix définitif Pour chaque problème plusieurs agitateurs répondront aux condi- tions à satisfaire (étapes 1, 2, 3 et 4, figure 18). Une sélection plus fine doit tenir compte : — des conditions opératoires ; — de considérations économiques. 6.5.1 Conditions opératoires s Mode opératoire : — fonctionnement en continu, discontinu ; — débits à traiter ; — temps de mélange limité ou non ; — mode d’évacuation du mélange. H* Figure 18 – Choix définitif du mobile d’agitation Étape 1 Type d'opération de mélange à réaliser Étape 2 Grandeurs nécessaires pour définir le procédé Étape 3 Caractéristiques générales du mobile d'agitation Étape 4 Sélection des mobiles Étape 5 Choix définitif du système d'agitation Conditions opératoires Conditions économiques
  19. 19. _________________________________________________________________________________________________________________ AGITATION. MÉLANGE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés J 3 800 − 19 s Mode de montage du mobile : — agitateur amovible avec fixation sur le bord d’une cuve ouverte ; — agitateur vertical monté sur cuve ouverte ; — agitateur vertical monté sur cuve fermée (sous pression ou sous vide) ; — agitateur à entrée latérale avec cuve fermée ou ouverte ; — agitateur à entrée par le fond. s Type de cuve : — forme, hauteur, diamètre ; — cuve ouverte, fermée ; — cuve sous pression, sous vide ; — équipement de la cuve : serpentin, chicanes, trou d’homme, étanchéité ; — position des piquages (alimentation, vidange, recirculation). Tableau 8 – Choix du mobile d’agitation Opération à réaliser Principales grandeurs nécessaires pour définir le procédé Caractéristiques générales des mobiles d’agitation Type de mobile d’agitation (1) Mélange liquide-solide Mise et maintien en suspension — concentration — granulométrie — masse volumique — vitesse de décantation des solides — mouillabilité — sensibilité au cisaillement — degré d’homogénéité — viscosité — faible cisaillement — faible turbulence — très bon pompage A1 A2 A4 A6 A7 R3 R8 Dissolution Cristallisation — concentration — granulométrie — masse volumique — vitesse de décantation des solides — mouillabilité et solubilité — sensibilité au cisaillement — viscosité — cisaillement moyen — turbulence moyenne — bon pompage A1 A2 A3 A4 A6 R3 Dispersion de solides ou poudres dans des liquides — concentration — granulométrie — masse volumique — vitesse de décantation des solides ou poudres — nature des fluides — variation de la viscosité — mouillabilité — cisaillement important — faible capacité de mélange R3 R6 Mélange liquide-liquide a) liquides miscibles Homogénéisation-mélange Dilution Transfert thermique Réaction chimique — viscosité des fluides — évolution de la viscosité dans le temps — nature des fluides — temps de mélange — faible cisaillement — faible turbulence — très bon pompage mobile à flux axial avec ou sans composante radiale A1 A2 A3 A4 A5 A6 R7 R8 b) liquides non miscibles Extraction liquide-liquide Dispersion Réaction chimique Émulsions — pourcentage des différents liquides — taille des gouttes dispersées — degré de stabilité de l’émulsion — fort cisaillement — forte turbulence — circulation moyenne mobile à flux radial A4,3 A4,4 R1 R2 R3 R4 R5 R6 Mélange liquide-gaz Dispersion d’un gaz dans un liquide Réaction chimique Absorption Désorption Fermentation — débit gazeux — viscosité — variation de la viscosité dans le temps — sensibilité des micro-organismes au cisaillement — forte turbulence — fort cisaillement — bonne circulation A2 A3,3 A4,14 R1 R2 (1) Les repères A1, A2, ..., R7, R8 correspondent aux mobiles décrits dans l’article [Form. J 3 802]. Les essais menés sur pilote ou les données expérimentales de la littérature doivent alors permettre de déterminer le diamètre et la vitesse de rotation du mobile d’agitation sélectionné.
  20. 20. AGITATION. MÉLANGE __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. J 3 800 − 20 ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés 6.5.2 Considérations économiques Le lecteur se reportera à l’article sur les considérations écono- miques en agitation et mélange de phase. La géométrie du système d’agitation (type de mobile, diamètre du mobile) et les conditions de fonctionnement (vitesse de rotation, puissance dissipée) sont donc déterminées à partir des étapes pré- cédentes (1 à 4 figure 18). Le choix définitif de l’ensemble d’agitation ne peut se faire qu’après une étude portant sur les considérations économiques (coût d’investissement, coût d’entretien), après consultations de plusieurs fabricants. Encore faut-il être capable de dialoguer avec ces derniers. Cela ne peut se faire qu’après avoir bien défini le pro- blème d’agitation et les conditions opératoires. 7. Extrapolation du pilote à l’échelle industrielle 7.1 Principe de l’extrapolation Le but de l’extrapolation est de permettre de reproduire à l’échelle industrielle les résultats obtenus à l’échelle pilote ou laboratoire. Il s’agit, à partir de résultats obtenus à l’échelle du 1/10 de m3, de dimensionner un système d’agitation à l’échelle de plusieurs m3, voire d’une centaine de m3. L’extrapolation est fondée sur le principe de similitude selon lequel les rapports d’un ou plusieurs paramètres sont les mêmes aux deux échelles. Dans le domaine de l’agitation, les paramètres géométriques et opératoires sont nombreux (§ 3). On peut considé- rer cinq similitudes : — similitude géométrique : les rapports des dimensions géomé- triques sont les mêmes aux deux échelles (exemple : d/D, w/d, etc.) ; — similitude dynamique : les rapports des forces sont identiques (exemple : Re = force d’inertie / force de viscosité, Fr = force d’inertie / force de pesanteur, etc.) ; — similitude cinématique : les rapports des vitesses en des points homologues sont identiques ; — similitude chimique : les concentrations sont les mêmes en des points homologues ; — similitude thermique : les températures sont les mêmes en des points homologues. Le tableau 9 montre l’influence d’un changement d’échelle de fac- teur F, en conservant la similitude géométrique, sur les grandeurs caractéristiques d’un système d’agitation. Selon la grandeur conser- vée invariante d’une échelle à l’autre, le principe de similitude n’est pas respecté pour les autres grandeurs caractéristiques. L’examen de ce tableau montre bien que, dans tout problème d’agitation-mélange, il y a incompatibilité entre critères et qu’il est nécessaire de déterminer quelles sont la ou les grandeurs dont l’influence est prépondérante sur le phénomène étudié et que l’on garde constantes. Cela démontre, une fois de plus, l’utilité de bien définir le problème d’agitation (§ 6). L’extrapolation revient toujours à déterminer la vitesse du mobile d’agitation. Si la similitude géométrique est conservée, le diamètre du mobile d’agitation, la géométrie de la cuve sont définis. Il sera alors possible de déterminer les autres grandeurs caractéristiques. Il faut vérifier que les valeurs obtenues sont compatibles avec un bon fonctionnement du procédé [18]. Lors de certaines extrapolations, si on veut conserver plusieurs grandeurs constantes, il est nécessaire de procéder à une extrapola- tion non géométrique ; on peut en particulier utiliser des rapports d/D supérieurs. 7.2 Exemples d’extrapolation 7.2.1 Exemples d’extrapolation entre un pilote et une cuve industrielle Plusieurs grandeurs ont été conservées invariantes dans l’extra- polation et l’évolution des autres grandeurs est donnée dans les dif- férentes colonnes. s Similitude géométrique d/D = 0,33 La 1re colonne conserve N = Cte, c’est-à-dire le même temps de mélange aux 2 échelles. Cela conduit à des valeurs très importantes de la puissance consommée. La 2e colonne conserve π Nd = Cte. La puissance par unité de volume diminue à l’échelle industrielle. La 3e colonne conserve P/V = Cte. La vitesse périphérique aug- mente. Le gradient de vitesse moyen diminue, par contre le gradient de vitesse maximal augmente beaucoup. Exemple : si la vitesse périphérique Vp = π Nd est conservée inva- riante, toutes les autres grandeurs sont fonction de F, sauf la hauteur théorique qui reste constante.H* Tableau 9 – Effet d’un changement d’échelle sur les grandeurs caractéristiques (régime turbulent) Toutes les grandeurs géométriques sont multipliées par un facteur F donc le volume V est multiplié par F3 Grandeur caractéristique Grandeur invariante N π Nd P/V tp Re Fr We N 1 F −1 F−0,66 1 F−2 F−0,50 F−1,50 Vp = π Nd F 1 F 0,33 F F−1 F 0,50 F−0,50 P/V F2 F−1 1 F2 F−4 F 0,50 F−2,50 Qp F3 F2 F 2,33 F3 F F2,50 F1,50 tp 1 F F 0,66 1 F+2 F+0,50 F+1,50 F2 1 F 0,66 F2 F−2 F F−1 F F 2 F 1,66 F F−1 F1,50 F2,50 Re F2 F F1,33 F2 1 F1,50 F0,50 Fr F F−1 F−0,33 F F−3 1 F−2 We F3 F F1,66 F3 F−1 F2 1 Gradient de vitesse moyen (1) 1 F−1 F−0,66 1 F−2 F−0,50 F−1,50 Gradient de vitesse maximal (1) F 1 F 0,33 F F−1 F0,50 F−0,50 (1) Gradient de vitesse = taux de cisaillement. La signification des symobles est donnée en début d’article. Un exemple d’extrapolation entre un pilote de 0,785 m3 et une cuve industrielle de 50 m3 est donné tableau 10. H* Qp /H*
  21. 21. _________________________________________________________________________________________________________________ AGITATION. MÉLANGE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés J 3 800 − 21 La 4e colonne indique un même nombre de Reynolds, ce qui a pour effet de diminuer fortement la vitesse de rotation N et donc la puissance dissipée. La 5e colonne montre que, pour conserver le nombre de Froude constant, il faut une vitesse de rotation relativement importante. s Similitude non géométrique d/D = 0,50 Dans le cas où le procédé est sensible au cisaillement (catalyseur, solide, micro-organisme, bactéries, etc.), il n’est plus possible d’extrapoler avec une similitude géométrique. Afin de diminuer le gradient de vitesse maximal au voisinage de la turbine, on est amené à prévoir un mobile d’agitation de rapport d/D supérieur. Si, de plus, on veut conserver la puissance dissipée par unité de volume (7e colonne, P/ V = Cte), il faudra prendre un rapport d/D = 0,50 pour obtenir un gradient de vitesse maximal (1,2) voisin de celui obtenu sur le pilote. Avec ce même rapport d/D = 0,50, si la vitesse périphérique doit être gardée constante (6e colonne, Vp = Cte), l’extrapolation conduit à une puissance plus grande qu’en utilisant un rapport d/D = 0,33 (2e colonne, Vp = Cte) (donc à un cou- ple supérieur au niveau du réducteur), mais un gradient de vitesse pratiquement identique à celui obtenu sur le pilote. 7.2.2 Exemple d’un procédé d’absorption en continu L’exemple d’un procédé d’absorption en continu est donné dans le tableau 11 [19]. On veut extrapoler un procédé sous pression mis au point dans un pilote de 75 L environ. L’unité industrielle doit avoir une capacité de l’ordre de 70 m3. Le tableau 11 résume tous les résultats numéri- ques, tous calculs faits, de ce problème. La première extrapolation utilise un débit de gaz par unité de volume de liquide constant. La puissance requise pour satisfaire l’absorption gaz-liquide seule est trop faible pour donner une bonne dispersion physique du gaz, en raison de la vitesse de passage du gaz qui est trop élevée dans la cuve en vraie grandeur. La concentration du gaz à la sortie de la cuve montre que la quantité de gaz introduite par unité de volume (VVM) peut être réduite lors de l’extrapolation tout en permettant à l’absorption du gaz actif de rester dans des limites raisonnables. On est alors conduit à une seconde extrapolation, dont le niveau de puissance est plus élevé et la vitesse de passage du gaz plus faible, de façon à améliorer la dispersion physique du gaz. Il est bon de noter que cette extrapolation a été conduite suivant des règles de similitude géométrique, et que le gradient de vitesse maximal au voisinage de la turbine s’est trouvé ainsi environ 70 % plus impor- tant à l’échelle industrielle qu’à l’échelle pilote. En fait, dans ce cas précis, d’autres essais pilotes avaient montré que le procédé n’était que peu sensible à la contrainte de cisaillement, et que l’on pouvait très bien s’accomoder d’un gradient de vitesse (taux de cisaille- ment) élevé à l’échelle industrielle. Tableau 10 – Exemple d’extrapolation entre un pilote et une cuve industrielle Pilote : cuve standard (d = 0,33 m), H = D = 1 m , V = 0,785 m3. Turbines disques à 6 pales droites (repère R1, [Form. J 3 802]). Cuves chicanées nc = 4. Fluide peu visqueux η = 10−3 Pa · s, ρ = 1 000 kg/m3, γ = 72 x 10−3 N . m. Régime turbulent. Facteur d’échelle : F = 4. Grandeur caractéristique Pilote Échelle industrielle Grandeur invariante N Vp = π Nd P / V Re Fr Vp = π Nd P / V Similitude géométrique Similitude non géométrique N ............................... (min−1) 180 180 45 72 11,25 90 30 36 Vp = π Nd ...................... (m/s) 3,14 12,6 3,14 5 0,78 6,3 3,14 3,8 P .................................... (kW) 0,61 627,5 9,8 39,2 0,15 78,3 22 39,2 P/V .......................... (kW/m3) 0,78 12,5 0,195 0,78 0,003 1,56 0,44 0,78 Re ........................................... 3,3 x 105 52,8 x 105 13 x 105 21 x 105 3,3 x 105 26,4 x 105 19,5 x 105 24 x 105 We .......................................... 4,6 x 103 29,5 x 104 18,4 x 103 46 x 103 1,1 x 103 73,6 x 103 27,8 x 103 40 x 103 Fr ............................................ 0,30 1,2 0,075 0,19 0,0047 0,30 0,05 0,073 d/D ......................................... 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33 0,33 0,50 0,50 Gradient de vitesse moyen ...... (unité arbitraire) 1 1 0,25 0,4 0,06 0,5 0,17 0,2 Gradient de vitesse maximal .... (unité arbitraire) 1 4 1 1,6 0,25 2 1 1,2 La signification des symboles est donnée en début d’article. On passe de la colonne pilote aux colonnes similitude géométrique en utilisant le tableau 9 avec F = 4. On passe des colonnes similitude géométrique aux colonnes similitude non géométrique en utilisant le tableau 6 avec R = 0,50/0,33.
  22. 22. AGITATION. MÉLANGE __________________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. J 3 800 − 22 ©Techniques de l’Ingénieur, traité Génie des procédés 7.2.3 Procédure d’extrapolation Les deux exemples choisis (relativement simples) montrent que l’extrapolation des agitateurs est extrêment complexe, compte tenu de tous les paramètres opératoires. Nous proposons une procédure d’extrapolation qui peut servir de base de travail : — définir de façon précise les buts de l’opération de mélange et spécifier les actions demandées au mélangeur ; — déterminer les grandeurs caractéristiques importantes, celles qui auront un effet déterminant sur le résultat souhaité ; — rechercher le ou les critères d’extrapolation à utiliser ; — vérifier que le régime hydrodynamique de la cuve est similaire et que les valeurs des autres paramètres conduisent à un fonction- nement correct ; — tenir compte des contraintes de fonctionnement pour définir le système d’agitation, sans oublier les contraintes mécaniques et éco- nomiques. 7.3 Conclusion L’extrapolation des cuves agitées mécaniquement n’est pas un problème simple. Les exemples traités montrent que, si le facteur d’échelle est important, les divergences concernant, par exemple, la puissance dissipée augmentent très vite, selon la grandeur caracté- ristique conservée invariante dans l’extrapolation. L’expérimentation pilote est donc une étape importante et doit permettre : — de bien définir la géométrie du système d’agitation adaptée au problème posé ; — de décider du ou des phénomènes prépondérants du proces- sus sur lequel doit être fondée l’extrapolation. Tableau 11 – Exemple : résultats de l’extrapolation d’un procédé d’absorption en continu, d’après [19] Grandeurs caractéristiques Pilote Échelle industrielle 1re extrapolation VVM (1) = Cte 2e extrapolation VVM (1) est réduit Pression ................................................................................ (bar) 0,3 1 1 Diamètres de cuve D ............................................................... (m) 0,46 3,6 3,6 Puissance (milieu gazeux) .................................................... (kW) 0,0145 38 66 Diamètre de turbine d ......................................................... (mm) 150 1 220 1 220 Nombre de turbines ..................................................................... 1 2 2 Hauteur de liquide (milieu gazeux) ........................................ (m) 0,46 6,7 6,7 Volume (milieu gazeux) ............................................................(L) 75 70 000 70 000 Volume (milieu non gazeux) .................................................... (L) 68 57 000 57 000 Débit de gaz par unité de volume ..................................[VVM (1)] 1,6 1,6 0,7 Débit de gaz ......................................................................... (m3/ h) 7,1 6 000 2 700 Vitesse du gaz .................................................................. (m/min) 0,55 4 1,8 Taux de transfert de masse (2) .................................................... 1 1 1 Coefficient de transfert kL ai (2) .................................................... 1 0,6 0,8 Gradient de concentration (2) ....................................................... 1 1,6 1,2 Gradient de vitesse maximal (2) .................................................. 1 1,4 1,7 (1) VVM : volume de gaz/(volume de liquide x temps en min). (2) Unité arbitraire : 1 pour le pilote.

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