Reguladores de mínima varianza para procesos sin retardo

CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS
4º INGENIERÍA INDUSTRIAL
PRÁCTICA 1
REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN
RETARDO
Curso 2001-2002

1. Objetivos
•
•
•
•
•

Poner de manifiesto la problemática del control cuando la salida del proceso a
controlar se ve afectada por una perturbación de naturaleza estocástica.
Aplicar al caso anterior reguladores de mínima varianza cuando los procesos a
controlar no presentan retardos adicionales
Analizar las acciones de control generadas mediante este tipo de reguladores
Analizar la estabilidad de los sistemas controlados en virtud de algunos
parámetros del regulador
Eliminar el error en régimen permanente mediante la adición de un término
integral

2. Realización de la práctica
Se desea realizar el control de un sistema continuo cuya discretización a T = 0.1 seg.
genera la función de transferencia discreta siguiente:

B( z −1 )
0. 137z −1 + 0.09z −2
G( z ) =
=
A(z −1 ) 1 − 0.95z −1 + 0. 225z −2
−1

La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo
comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la
perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro
siguiente:
D( z −1 ) D( z −1 )
1 + 0.5 z −1 + 0.25 z −2
=
=
C ( z −1 ) A( z −1 ) 1 − 0.95 z −1 + 0.225z −2

Se pide:
a) Realizar el esquema Simulink correspondiente al sistema ARMAX en bucle
cerrado. Simular tomando como entrada al sistema un escalón unitario y
visualizar el ruido introducido así como la salida obtenida. El bloque Simulink
que proporciona un ruido blanco encuentra en la categoría Sources y se
denomina Band – Limited white noise. El esquema, por tanto, que se debe
realizar es el siguiente:

b) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un
factor de ponderación de la acción de control, r = 0. Simular el sistema y
visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada
c) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y
comprobar que realmente es la obtenida en la simulación.
d) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la
acción de control r = 0.02. Simular el sistema y obtener las señales de ruido,
salida y acción de control. Calcular la primera acción de control generada y
comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué diferencias
se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0?
e) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control obtenida
sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los resultados obtenidos.
f) Para cada uno de los reguladores calculados (distintos valores de r), obtener la
ecuación característica del sistema y sus polos. Comentar a partir de los
resultados obtenidos la estabilidad de dichos sistemas.
g) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que
elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α = 0, 0.5, 0.8 y
1. Comentar las respuestas obtenidas.

NOTA: Se debe presentar un informe de la práctica realizada que incluya las respuestas
obtenidas así como los comentarios detallados pertinentes a cada uno de los apartados.

PRÁCTICA 1 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS SIN RETARDO

CAV

El sistema físico.
El proceso físico para el cual se desea realizar el control es un sistema continuo por
lo que se precisa discretizarlo. Un sistema muestreado o discretizado es aquel que, partiendo
de una señal o magnitud analógica (o continua) es capaz de generar una secuencia de valores
discretos, separados a intervalos de tiempo. Para el sistema que nos atañe se ha utilizado una
discretización de período de muestreo T = 0.1 segundos generando la función de transferencia
siguiente:
0.137 z

1

G( z ) 

1

 0.090 z
1

1.000  0.950 z

2

 0.225 z

(1)

2

En clase de teoría, Rafael Puerto nos explicó que la forma general de una función de
transferencia para procesos sin retardo que tendremos en cuenta tenía la siguiente forma:
b z 1  b z 2    b z  m

1

G( z ) 

B( z 1 ) 

b z
i

i 1

2

   an z

n

i

 b1 z 1  b2 z 2    bm z m

i

 1  a1 z  a 2 z

i

a z

(2)

m

1  a1 z  a2 z

n

A( z )  1 

2

1

m

i 1

1

1

1

2

   an z

n

de donde el numerador es un polinomio B(z-1) que presenta un grado m mientras que
el numerador es un polinomio A(z-1) de grado n. De la comparación entre la expresión (1) y
(2), obtenemos el siguiente resultado:
G( z 1 ) 

0.137 z 1  0.090 z 2
1.000  0.950 z 1  0.225 z 2





1

m  grad B ( z )  2
1

1

B ( z )  0.137 z  0.090 z

2

b1  0.137; b2  0.090;



1



n  grad A( z )  2
1

A( z )  1.000  0.950 z
a1  0.950; a 2  0.225;

1-1
Jaime Martínez Verdú

1

 0.225 z

2


CAV

La perturbación.
Sabemos, según enuncia la práctica, que la salida de dicho sistema se ve afectada
por una perturbación de carácter estocástico cuyo comportamiento se puede modelar
mediante un proceso de tipo ARMAX. Por tanto, el modelo de la perturbación corresponde
a un ruido blanco transformado por el filtro siguiente:
1

P( z ) 

1.000  0.500 z

1

 0.250 z

2

1.000  0.950 z

1

 0.225 z

2

(3)

De forma análoga al caso anterior, Rafael nos propuso como modelo general del
filtro del ruido blanco una función de transferencia discreta cuya expresión matemática
viene dada de la siguiente manera:
1 d z

1

P( z ) 

1

1 c z
m

d z
i 1

n

1

C(z )  1 

c z
i 1

i

i

i

i

2

c z

2

2

1

1

D( z 1 )  1 

d z

1

 d z

m

(4)

m

2

 c z

n

n

 d1 z 1  d 2 z 2    d m z m

1

 1  c1 z  c2 z

2

   cn z

n

De esta expresión, al igual que anteriormente, podemos obtener los respectivos
grados de sus polinomios y los cocientes de capa potencia negativa de z. De hecho,
comparando las ecuaciones (3) y (4) tenemos el siguiente resultado:
1

P( z ) 

1.000  0.500 z

1

 0.250 z

2

1.000  0.950 z

1

 0.225 z

2

1

 0.250 z

2

1

 0.225 z

2



1



m  grad D( z )  2
1

D( z )  1.000  0.500 z
d 1  0.500; d 2  0.250;



1



m  grad C ( z )  2
1

C ( z )  1.000  0.950 z
c1  0.950; c 2  0.225;

1-2


CAV

b) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un
visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada.
De clases teóricas conocemos que la forma general de un regulador de mínima
varianza (recuerde que la siguiente expresión fue deducida para procesos sin retardo)
responde a la siguiente expresión:
1

GRMV ( z ) 

1

1

1

A( z )  [ D( z )  C ( z )]  z
r
1
1
1
1
z  B( z )  C ( z )  A( z )  D( z )
b

(5)

1

de donde es posible una simplificación debido a que la perturbación estocástica
viene determinada por un comportamiento modelado mediante un proceso ARMAX
C(z-1) = A(z-1) y, también, debido a que en este apartado se nos exige calcular el regulador
para un factor de ponderación de la acción de control nulo. De estas premisas, podemos
obtener que el regulador buscado es del tipo GRMV4 (z-1) que se muestra a continuación.
1

GRMV 4 ( z ) 



1

1

[ D( z )  A( z )]  z

(6)

1

z  B( z )

ESTABILIDAD EN BULCE ABIERTO: Cancelación de polos y/o de ceros.

Con el fin de que este tipo de regulador nos sirva para el control del sistema debe
verificar que, en caso de error por apertura del lazo cerrado, no se inestabilice. Lo que
pretendemos es evitar que cuando se cancelen polos o ceros de la planta con los
correspondientes al regulador, por motivos de mala identificación del sistema, se produzcan
malas cancelaciones de los polos o ceros que se encuentran fuera del círculo unidad. Para
investigar esta posibilidad debemos analizar la ecuación característica del sistema:
G

1

RMV 4

1

(z )  G (z ) 
*

P

1

1

1

[ D( z )  A( z )]  z B ( z )
 * 1
1
z  B( z )
A (z )
*

(7)

Es totalmente válida la utilización de este regulador pues nuestro sistema no
constituye un proceso de fase no mínima ya que todos sus ceros se encuentran dentro del
círculo unidad:
Gz  

B( z )
0.137 z  0.090
0.090

 0.137 z  0.090  0  z  
 0.657
2
A( z ) 1.000 z  0.950 z  0.225
0.137
 0.657  1  El cero se encuentra en el interior del círculo unidad

Por lo tanto, la cancelación de polos o ceros no va a darnos problemas y, a pesar de
que nuestro sistema se deteriore y rompa el lazo, no se convertirá a priori en inestable.
1-3




CAV

ESTABILIDAD EN BULCE CERRADO: Ecuación Característica.

Con respecto a la estabilidad del sistema vista desde el bucle cerrado, el regulador
será totalmente válido si las raíces de los polinomios B(z-1) y D(z-1) se encuentran en el
interior del círculo unidad tal como podemos demostrar a continuación:
1

1

1  G RMV 4 ( z )  G P ( z )  0  1 
1

1

1

*

1

1

z  A( z )  B( z )  [ D( z )  A( z )]  B( z )  z
1

1

z  A( z )  B( z )

[ D( z 1 )  A( z 1 )]  z B( z 1 )

0
1
1
z  B( z )
A( z )

(8)

 0  z  A( z 1 )  B( z 1 )  [ D( z 1 )  A( z 1 )]  B( z 1 )  z  0

1

z  A( z )  B( z 1 )  D( z 1 )  B( z 1 )  z  A( z 1 )  B( z 1 )  z  0 

D( z 1 )  B( z 1 )  z  0

Veamos donde se encuentran las raíces de los polinomios B(z-1) y D(z-1):
G z  

1

P( z ) 

B( z )
0.137 z  0.090
0.090

 0.137 z  0.090  0  z  
 0.657
2
A( z ) 1.000 z  0.950 z  0.225
0.137
 0.657  0.675  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad

1.000  0.500 z

1

1.000  0.950 z

1

 0.250 z

2

 0.225 z

2

1
3
i
 0.657
4
4
z  0.250  i 0.433

 1.000 z  0.500 z  0.250  0  z 
2

 0.250  i 0.433  0.500  1  Las raices se encuentran en el interior del círculo unidad



OBTENCIÓN DEL REGULADOR: Obtención de la expresión analítica.

Una vez verificada la viabilidad de la utilización de este regulador, podemos realizar
las operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador:
B( z 1 )  0.137 z 1  0.090 z 2

A( z 1 )  1.000  0.950 z 1  0.225z 2

G

G

G

G

RMV 4

RMV 4

RMV 4

1

RMV 4

(z ) 

1

D( z 1 )  1.000  0.500 z 1  0.250 z 2

1

[ D( z )  A( z )]  z
1
zB z

 

( z 1 ) 

[1.000  0.500 z 1  0.250 z 2  (1.000  0.950 z 1  0.225 z 2 )]  z
1
2
z  (0.137 z  0.090 z )

( z 1 ) 

[1.000  0.500 z 1  0.250 z  2  1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 ]  z
0.137  0.090 z 1

( z 1 ) 

(1.450 z 1  0.025 z  2 )  z
1.450  0.025 z 1
G
z 1 
RMV 4
0.137  0.090 z 1
0.137  0.090 z 1

 

1-4


CAV

Por tanto, el regulador de mínima varianza buscado para un factor de ponderación
nulo es:
G

RMV 4

( z 1 ) 

1.450  0.025 z 1
0.137  0.090 z 1

(9)

Simulando el sistema y visualizando la señal de ruido la salida, tenemos las gráficas
que se muestran en páginas posteriores. A continuación analizaremos cada una de las
gráficas:
FIGURA 1.
Comportamiento antes del escalón.
Tal y como podemos observar en la gráfica, la salida no es nula antes de aplicar el
escalón y esto es debido a que el ruido si perturba la salida cuando la entrada aún no está
activa. De este modo, la salida es justo el resultado de minimizar la varianza de la señal
estocástica:
y (k ) 

1

1

B( z )
D( z )
u (k ) 
v(k )
1
1
A( z )
A( z )
1

1

1

1

[ D( z )  A( z )]  z
z
w(k )  y(k ) w( k ) u (k )   [ D( z )  A( 1 )]  z y(k )
u (k ) 
 0 k 0
1

z  B( z )
z  B( z )

Si sustituimos el valor de la señal que hace referencia a la acción de control en la
expresión de la salida tenemos el siguiente resultado:
y (k ) 

1
1
1
 D( z 1 )
B( z )  [ D( z )  A( z )]  z
y (k ) 
v(k )

1
1
1
A( z ) 
z  B( z )
 A( z )

Si operamos con dichas expresiones podremos encontrar una relación entre el ruido
y la salida:
1

1

1

1

1

1

[ D( z )  A( z )]  z
D( z )
[ D( z )  A( z )]  z
D( z )
y (k )  
y (k ) 
v(k )  y (k ) 
y (k ) 
v(k )
1
1
1
z  A( z )
A( z )
z  A( z )
A( z 1 )
 [ D( z 1 )  A( z 1 )]  z  D( z 1 )
z  A( z 1 )  [ D( z 1 )  A( z 1 )]  z D( z 1 )
y (k ) 1 
v( k )  y (k )

v(k )

1
z  A( z 1 )
z  A( z 1 )
A( z 1 )

 A( z )
y (k )

z  A( z 1 )  [ D( z 1 )  A( z 1 )]  z
z  [ A( z 1 )  D( z 1 )  A( z 1 )]
 D( z 1 )v(k )  y (k )
 D( z 1 )v(k )
z
z

y (k )  v(k )

1-5


CAV

Tal y como podemos observar en la Figura 1, tenemos que el regulador de mínima
varianza calculado "intenta" minimizar la varianza de la señal estocástica sin lograrlo y
obtenemos a la salida directamente el ruido blanco. De aquí se puede observar que cuando
no aplicamos entrada, el sistema no minimiza el ruido sino que lo que hace es "desfiltrar" el
ruido blanco lo cual parece bastante lógico pues si no aplicamos ninguna entrada, a la salida
obtendremos ruido y sólo ruido. En el siguiente gráfico se puede observar un solapamiento
entre salida y ruido blando antes del instante de activación del escalón:

Comportamiento en régimen permanente.
Con respecto al error en régimen permanente, podemos decir que el sistema
presenta un error de régimen permanente puesto que sigue a la señal pero siempre con un
error de aproximación. El error se puede calcular de dos maneras distintas: gráficamente y
analíticamente.
Gráficamente: Si sumamos las amplitudes de la salida desde, por ejemplo, la
muestra 20 hasta la 100 y dividimos dicho resultado por la cantidad de muestras entre
ambos puntos (es decir, 80 muestras) obtenemos que el valor medio de la señal de salida en
régimen permanente es de aproximadamente 0.841 y, por lo tanto, el del error en régimen
permanente es de 1 – 0.841 = 0.159.
Analíticamente: Para calcularlo analíticamente, necesitamos aplicar por un lado el
teorema del valor final a la señal de error ante una entrada escalón, es decir:
1
1
lim e(k )  lim(1  z )  e( z )

k 

z 1

de donde necesitamos encontrar una expresión que relacione la señal de error con la
entrada.
1-6


CAV

A continuación, realizaremos una serie de operaciones que nos llevará a una
expresión que defina tal necesidad:

E v ( k )  0

1

1

1

e( z )  w( z )  y( z )
1

u( z ) 

1

1

[ D( z )  A( z )]  z
1
e( z )
1
z  B( z )

y( z 1 ) 

1

B( z )
1

u( z 1 ) 

A( z )

1

D( z )
1

v( z 1 )

A( z )

Tal y como podemos pensar, el término de la señal de ruido blanco v(z-1) tiene
media nula por lo que en régimen permanente podemos eliminar este término ya que no
influye en el valor medio. Por tanto tenemos que, a efectos de régimen permanente, la
salida es:
1

y( z ) 

1

B( z )
1

u ( z 1 )

A( z )
1

1

1

1

1

y( z ) 

B ( z ) [ D( z )  A( z )]  z
[ D( z )  A( z )]  z
1
1
1
e( z )  y ( z ) 
e( z )
1
1
1
A( z )
z  B( z )
z  A( z )

1

1

1

e( z )  w( z ) 

1

e( z )

1
1
1
1
[ D( z )  A( z )]  z
[ D( z )  A( z )]  z 
1
1 
1
e( z )  e( z ) 1 
  w( z )
z  A( z 1 )
z  A( z 1 )



1

1

1

1

z  A( z )  z  D( z )  z  A( z )
z  A( z )
1
1
1
 w( z )  e( z ) 
w( z )
1
z  A( z )
z  D( z 1 )

Llegados a este punto, ya estamos en condiciones de calcular el error en régimen
permanente:

lim 1  z e( z
1

1

z 1



)  lim 1  z
z 1

 lim
z 1



1

A
 zz  D((zz

1





1

)
1
1
1 z  A( z )
w( z )  lim 1  z

1
1
1
z 1
)
z  D( z ) 1  z

1

1

2

z  A( z )
z  (1.000  0.950 z  0.225 z )
 lim

1
1
2
z  D( z ) z 1 z  (1.000  0.500 z  0.250 z )

1.000  0.950  0.225
 0.157
1.000  0.500  0.250

De donde podemos observar que el valor teórico de 0.157 se acerca al calculado
gráficamente de 0.159.
Esta diferencia en las milésimas entre el teórico y el gráfico se debe principalmente
a que al calcularlo gráficamente no escogimos un número suficiente de muestras. De hecho,
si sumamos las amplitudes de la salida desde, por ejemplo, la muestra 20 hasta la 1.020 y
dividimos dicho resultado por la cantidad de muestras entre ambos puntos (es decir, 1.000
muestras) obtenemos que el valor medio de la señal de salida en régimen permanente es de
0.843 y, por lo tanto, el del error en régimen permanente es de 1 – 0.843 = 0.157.
1-7


CAV

FIGURA 2.
Con respecto a esta figura, sólo podemos decir que se trata de una acción de control
caracterizada por no ser nula para muestras negativas, lo cual es lógico, ya que para valores
negativos no está activa la señal de entrada escalón pero si la del ruido, por lo que el
regulador intentará minimizar dicha señal y por ello existen acciones de control.

1-8

Figura 1. Referencia w(k ), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)>.

Figura 2. Acción de control u(k).

Figura 3. Representación de cada una de las señales requeridas por el enunciado.


CAV

c) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y
u 0  G RMV 4 0 

1.450  0.025  0
1.450
 u 0 
 10.5839
0.137  0.090  0
0.137

En la ampliación del gráfico de la señal de la acción de control u(k), se puede
observar que la primera muestra obtenida corresponde a un valor de 10,9351 cercano a
10,5839, que era el obtenido teóricamente. A pesar de que no se active la entrada el
regulador responde ante el ruido y por eso existe esta diferencia.
1 - 12


CAV

Del apartado anterior conocemos que la acción de control se relacionaba con la
salida de la siguiente manera:
u (k )  

1

1

[ D( z )  A( z )]  z
1

z  B( z )

y (k )

De donde conocemos que la salida antes de activar la entrada escalón es juste la
señal de ruido blanco. Por tanto, tenemos que la acción de control y el ruido blanco se
relacionan de la siguiente manera:
u (k )  

1

1

[ D( z )  A( z )]  z
1

z  B( z )

v( k )

→

u (k ) 

 1.450  0.025 z
0.137  0.090 z

1

1

v(k )

Si modificamos nuestro sistema en simulink añadiendo una salida j(k) de la
siguiente manera:

Una vez simulado, buscamos entre los valores de la señal j(k) el que se da cuando
aplicamos el escalón de modo que si este valor se los restamos al que presenta la señal de
control tendremos justo el calculado teóricamente. En la gráfica de la siguiente página
podemos comprobar que para antes del escalón se verifica que el comportamiento de la
acción de control es justo el deducido en la expresión:
u (k ) 

1 - 13

 1.450  0.025 z
0.137  0.090 z

1

1

v(k )


u=
-0.1193
-0.7225
0.7478
-0.9165
0.5290
-0.2188
0.4538
-0.3390
0.0287
-0.1066
-0.1025
-0.1018
0.1104
-0.4912
0.4885
0.3925
0.2720
-0.7763
0.6434
-0.0989
10.9351
-11.5093
10.2907
-3.7691
3.4583
-0.9688
2.4366
-0.4353
1.7264
0.4586
1.5726
0.8177
1.2382
1.2999

CAV

j=
-0.1193
-0.7225
0.7478
-0.9165
0.5290
-0.2188
0.4538
-0.3390
0.0287
-0.1066
-0.1025
-0.1018
0.1104
-0.4912
0.4885
0.3925
0.2720
-0.7763
0.6434
-0.0989
0.3512
0.0239
0.1502
0.0686
0.0293
-0.5171
0.3064
-0.6298
0.1487
-0.2145
0.3352
-0.0630
0.1227
0.3424

Estos valores corresponden justo al
momento en el cual actúa la entrada
escalón de modo que si restamos
ambos valores obtenemos como
resultado
el
valor
calculado
teóricamente:
10.9351 – 0.3512 = 10.5839

1 - 14


CAV

d) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la
comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué
diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0?
G

1

RMV

(z ) 

1

1

1

A( z )  [ D( z )  C ( z )]  z
r
1
1
1
1
z  B( z )  C ( z )  A( z )  D( z )
b
1

C(z-1) = A(z-1). La simplificación nos da la siguiente expresión que corresponde al regulador
de mínima varianza GRMV3 (z-1), es decir,
1

1

[ D( z )  C ( z )]  z
r
1
1
z  B( z )  D( z )
b

1

G RMV 3 ( z ) 

(8)

1

En este caso, no sería necesario calcular nada más para verificar si podemos usar
este tipo de regulador puesto que de clases de teoría obtuvimos como resultado que este
tipo de regulador era válido para cualquier sistema. A continuación, realizaremos las
operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador:
B( z 1 )  0.137 z 1  0.090 z 2

G

RMV 3

( z 1 ) 

A( z 1 )  1.000  0.950 z 1  0.225z 2
1

D( z 1 )  1.000  0.500 z 1  0.250 z 2

1

[ D ( z )  A( z )]  z
r
1
1
z  B( z )  D( z )
b
1

G

1

RMV 3

(z ) 

1

GRMV 3 ( z ) 

G

G

RMV 3

2

1

2

2

1

2

(1.000  0.500 z  0.250 z  1.000  0.950 z  0.225 z )  z
1
1
2
0.137  0.090 z  0.146  0.073 z  0.036 z
(1.450 z 1  0.025 z  2 )  z
0.283  0.163 z 1  0.036 z  2

( z 1 ) 

1.450  0.025 z
1
2
0.283  0.163 z  0.036 z

1

1 - 15

1

 (1.000  0.950 z  0.225 z )]  z
0.02
1
2
1
2
z  (0.137 z  0.090 z ) 
(1.000  0.500 z  0.250 z )
0.137

(z ) 

1

RMV 3

1

[1.000  0.500 z  0.250 z


CAV

Por tanto, el regulador de mínima varianza buscado es:
G

RMV 3

( z 1 ) 

1.450  0.025 z 1
0.283  0.163z 1  0.036 z  2

(9)

La acción de control para el instante inicial corresponde al siguiente valor:
u (0)  G

RMV 3

(0) 

1.450  0.025  0
1.450
 u (0) 
 5.124
0.283  0.163  0  0.036  0
0.283

gráficas:
FIGURA 4.
estocástica:
y (k ) 

1

B( z )
1

u (k ) 

A( z )
u (k ) 

1

D( z )
1

v(k )

A( z )

1

1

1

1

[ D( z )  A( z )]  z
w(k )  y(k ) w( k  u (k )   [ D( z )  A( z )]  z y (k )
 ) 0 k 0
r
r
1
1
z  B( z )  D( z )
z  B( z 1 )  D( z 1 )
b1
b1





1
1
1
B ( z )  [ D( z )  A( z )]  z
D( z )
y (k ) 

y (k ) 
v(k )
1
 A( z 1 )
A( z )  z  B( z 1 )  r D( z 1 )


b


1


1

y la salida:
1

A( z ) y (k )  

1

1

1

[ D( z )  A( z )]  B( z )  z
1
y ( k )  D ( z )v ( k )
r
1
1
z  B( z )  D( z )
b
1

1 - 16


1

A( z ) y (k ) 

1

1

CAV

1

[ D( z )  A( z )]  B( z )  z
1
y ( k )  D ( z )v ( k )
r
1
1
z  B( z )  D( z )
b
1





1
1
1
 A( z 1 )  [ D( z )  A( z )]  B ( z )  z   D( z 1 )v(k )
y (k )


r
z  B( z 1 )  D( z 1 ) 

b1




1

[ z  B( z ) 

r
1
1
1
1
1
D( z )]  A( z )  [ D( z )  A( z )]  B ( z )  z
b
1

y (k )

r
1
z  B( z )  D( z )
b
1

1

 D ( z )v ( k )

1

1

1

z  B( z )  A( z ) 

r
1
1
1
1
1
1
D( z )  A( z )  D( z )  B( z )  z  A( z )  B ( z )  z
b
1

y (k )

r
1
z  B( z )  D( z )
b
1

1

1

y (k ) 

1

r B( z )

z
b
A( z 1 )
1

z

1

1

B( z )

 y (k ) 

r D( z )
z

1
b A( z 1 )
A( z )
1
1

z  G (z ) 
P

y (k ) 

B( z )
A( z 1 )

1



1

r B( z )

z
1
b
A( z )
1

r
1
G (z )
b P
1

V

r
1
 GP (z )  z
b

v(k )

1

1 - 17

r D( z )
b A( z 1 )
1

v(k )

1

 D ( z )v ( k )


CAV

Tal y como podemos observar en la figura, tenemos que el regulador de mínima
varianza calculado presenta una salida con un ruido blanco que no es el que introducimos
puesto que éste se ve modificado por existir ahora un factor de ponderación no nulo. De
aquí se puede observar que cuando no aplicamos entrada, el regulador modifica el valor del
ruido blanco. En el anterior gráfico se puede observar una diferencia entre salida y ruido
blando antes del instante de activación del escalón. Esa diferencia se debe a que, a
diferencia del caso anterior, la salida no es justo el ruido blanco, sino que en la salida
obtenemos un ruido blanco modificado.
analíticamente.
permanente es de 1 – 0.711 = 0.289.
1
1
lim e(k )  lim(1  z )  e( z )

k 

z 1

entrada.

E v ( k )  0

1

1

1

e( z )  w( z )  y( z )
1

u( z ) 

1

1

[ D( z )  A( z )]  z
1
e( z )
r
1
1
z  B( z )  D( z )
b

y( z 1 ) 

1

B( z )
1

A( z )

u( z 1 ) 

1

D( z )
1

v( z 1 )

A( z )

1

media nula por lo que en régimen permanente podemos eliminar este término. Por tanto
tenemos que, a efectos de régimen permanente, la salida es:
y( z 1 ) 

1

B( z )
1

A( z )

1 - 18

u ( z 1 )


1

y( z ) 

1

1

1

1

1

CAV

1

B( z ) [ D( z )  A( z )]  z
[ D( z )  A( z )]  B( z )  z
1
1
1
e( z )  y ( z ) 
e( z )
1
r
r
1
1
1
1
1
1
A( z ) z  B( z )  D( z )
z  A( z )  B( z )  A( z )  D( z )
b
b
1

1

1

e( z )  w( z ) 

1

1

1

1

[ D( z )  A( z )]  B ( z )  z
1
e( z )
r
1
1
1
1
z  A( z )  B ( z )  A( z )  D( z )
b1





1
1
1
[ D( z )  A( z )]  B( z )  z
1 
  w( z 1 )
e( z ) 1 

r
1
1
1
1 
 z  A( z )  B ( z )  A( z )  D( z ) 
b


1


1

1

z  A( z )  B ( z ) 
e( z 1 )

r
1
1
1
1
1
A( z )  D( z )  [ D( z )  A( z )]  B ( z )  z
b1

r
z  A( z )  B ( z )  A( z 1 )  D( z 1 )
b
1

1

 w( z 1 )

1

z  A( z 1 )  B ( z 1 ) 
1

1

e( z )

e( z 1 )

r
A( z 1 )  D( z 1 )  D( z 1 )  B ( z 1 )  z  A( z 1 )  B( z 1 )  z
b
r
1
1
z  A( z )  B ( z )  A( z )  D( z )
b1
1

1

r
1
1
1
1
A( z )  D( z )  D( z )  B( z )  z
b1
1

1

z  A( z )  B ( z ) 

r
1
1
A( z )  D( z )
b

 w( z 1 )

1

e( z 1 )

D( z 1 )  B ( z 1 )  z
1
r
A( z 1 )  D( z 1 )
b
1

1

1

r
A( z 1 )  D( z 1 )
b

 w( z 1 )

z  A( z )  B ( z )
 1
r
r
1
1
1
1
A( z )  D( z )
A( z )  D( z )
b1
b1
1

b G (z )
b B ( z 1 )
1  1 P 1  z
1
1
z
r G (z )
r A( z 1 )
P
1
1
1
e( z )
 w( z )  e( z ) 
w( z 1 )
b1 B ( z 1 )
b1
1
z
1  G ( z 1 )  z
r D( z 1 )
r P
V

1 - 19

1

 w( z )


CAV

permanente:
1
1
1
1
lim 1  z e( z )  lim 1  z 
z 1

z 1

b G ( z 1 )
1

P

1

r G (z )

z

PV

1

b1
r

1
1



w( z )  lim 1  z
z 1

1

G (z )  z

1

1

1

r G ( z 1 )

 lim

V

1

b1
r

1

z

P

 lim
z 1

b1 G P ( z )

1



GP ( z )  z

z 1

1

1

1

P

r G ( z 1 )

z
1

PV

1

P

0.137 z

b G ( z 1 )

b1
r

1

G (z )  z

1 z

1



P

 0.090 z

2

0.137 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2
z
0.02 1.000  0.500 z 1  0.250 z  2
1

2

1.000  0.950 z  0.225 z

1
2
0.137
0.137 z  0.090 z
1
z
0.02 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2
2

0.137
0.137 z  0.090 z
z
0.02 1.000  0.500 z 1  0.250 z  2
 lim

1
2
z 1
0.137
0.137 z  0.090 z
1
z
0.02 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2
1

0.137
0.137  0.090
0.02 1.000  0.500  0.250  0.284

0.137
0.137  0.090
1
0.02 1.000  0.950  0.225
1

FIGURA 5.
regulador intentará minimizar dicha señal y por ello existen acciones de control. De esta
podemos observar que el valor 5.297 se aproxima a los 5.127 teóricos. Esta diferencia se
debe al ruido que hay en el momento de aplicar el escalón (análogo al caso anterior).
1 - 20


CAV

FIGURA 7.
Para poder analizar la diferencia de rizado entre ambas salidas creamos una función
que nos ayudará a este cometido. Con el siguiente programa analizaremos el rizado de cada
señal:
function mifuncion(x,a,b)
max=0;
min=200;
i=a;
while i<=b
if x(i)>max
max=x(i);
end
if x(i)<min
min=x(i);
end
i=i+1;
end
max
min
riz=max-min
return
mifuncion(y,25,120)

mifuncion(yy,25,120)

max =

max =

0.9406
min =
0.7671
Riz =
0.1735

0.8256
min =
0.6070
Riz =
0.2186

Tal y como podemos observar la segunda señal (que es justo la señal con factor de
ponderación no nulo) presenta un mayor rizado que la primera (con r = 0).
FIGURA 8.
En esta figura observamos una diferencia apreciable entre ambas acciones de
control puesto que al aumentar el factor de ponderación se disminuye el esfuerzo de control
y las acciones de control con r = 0.02 son menores.
1 - 21

Figura 4. Referencia w(k ), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)>.

Figura 5. Acción de control u(k).

Figura 6. Representación de cada una de las señales requeridas por el enunciado.

Figura 7. Representación gráfica de la señal de referencia, la de salida y la señal estocástica.

Figura 8. Representación gráfica donde se compara la salida con un factor r = 0 y con r = 0.02.


CAV

e) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control
obtenida sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los
resultados obtenidos.
Para que se verifique esta condición tenemos que:
d 1  a1 
r 
b1  
b1   u e 0   1 u b 0   d 1  a1  1 d 1  a1  3b1  b1  r  r  2b12

r 3 b1
3
b1

b1 
d 1  a1 
b1
u b 0  
b1 


u e 0  

r  2b12  20.137  0.037538
2

  Dz   Az  z
2b
z  B z  
D z 
b

G RMV 3 z 1 

1

1

2
1

1

1

1

  1.000  0.500 z  0.250 z  1.000  0.950 z  0.225 z  z
z  0.137 z  0.090 z   2  0.1371.000  0.500 z  0.250 z 
z   1.000  0.500 z  0.250 z  1.000  0.950 z  0.225 z  z
1

G RMV 3 z 1 

G RMV 3

1

2

2

1

1

1

2

1

2

1

2

2

0.137  0.090 z 1  0.274  0.137 z 1  0.069 z  2

1.450 z



 

 0.025 z  2  z
0.411  0.227 z 1  0.069 z  2

 

1.450  0.025 z 1
0.411  0.227 z 1  0.069 z  2

G RMV 3 z 1 
G RMV 3 z 1 

1


 

G RMV3 z 1 
u 0  G RMV3 0 

1.450  0.025 z 1
0.411  0.227 z 1  0.069 z 2

1.450  0.025  0
1.450
 u 0 
 3.528
0.411  0.227  0  0.069  0
0.411

Tal y como podemos observar en las gráficas que se muestran a continuación, el
valor de la amplitud de las acciones de control va disminuyendo a medida que aumentamos
el factor de ponderación del esfuerzo de control.

1 - 27

Figura e.1. Zoom de la representación gráfica de las tres señales de control para r = 0, 0.02 y 0.037.

1 - 28


CAV

f) Para cada uno de los reguladores calculados (distintos valores de r), obtener la
Regulador 1: r = 0.
1

G RMV ( z ) 

1

1.450  0.025 z

1

0.137  0.090 z

1

1.450  0.025 z 1

0.137 z 1  0.090 z 2

0.137  0.090 z 1 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2
1

(0.137  0.090 z )(1.000  0.950 z

1

0

2

1

1

(0.137  0.090 z )(1.000  0.950 z
1

(0.137  0.090 z )(1.000  0.950 z

1.000  0.950 z

1

(1.000  0.500 z

1

1

1

 0.090 z )

1

 0.090 z )  0

 0.225 z )  (1.450  0.025 z )(0.137 z
1

2

2

 0.225 z )

2

1

 0.225 z )  (1.450  0.025 z )(0.137 z



0

2

 0.225 z  2  1.450 z 1  0.025 z  2 (0.137 z 1  0.090 z  2 )  0
2

 0.250 z )(0.137 z

1

2

 0.090 z )  0
1
3
i
 0.657
4
4
z  0.250  i 0.433

 1.000  0.500 z 1  0.250 z  2  0  z 2  0.500 z  0.250  0  z 

 0.250  i 0.433  0.500  1  Las raices se encuentran en el interior del círculo unidad
0.090
 0.657
0.137
 0.657  0.675  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad

 0.137 z

1

 0.090 z

2

 0  0.137 z  0.090  0  z  

Regulador 2: r = 0.02.
1.450  0.025 z

1

G RMV ( z ) 

1

0.283  0.163z

1.450  0.025 z

1

1

1

 0.036 z

0.137 z

1

2

 0.090 z

2

0

0.283  0.163 z 1  0.036 z  2 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2

(0.283  0.163 z

1

 0.036 z

2

)(1.000  0.950 z

(0.283  0.163 z

1

1

 0.225 z

 0.036 z

2

2

1

)  (1.450  0.025 z )(0.137 z

)(1.000  0.950 z

1

 0.225 z

2

1

 0.090 z

2

)

0

)

(0.283  0.163 z 1  0.036 z  2 )(1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 )  (1.450  0.025 z 1 )(0.137 z 1  0.090 z  2 )  0
(0.283  0.26885 z 1  0.063675 z  2  0.163 z 1  0.15485 z  2  0.036675 z 3  0.036 z  2  0.0342 z 3  0.0081z  4 ) 
 (0.19865 z

1

 0.1305 z

(0.283  0.10585 z
0.283  0.0928 z

1

1

2

 0.003425 z

 0.055175 z

 0.07875 z

2

2

2

3

 0.00225 z )  0

 0.002475 z

 0.004725 z

3

3

 0.0081z

 0.0081z

4

4

)  (0.19865 z

1

 0.133925 z

2

3

 0.00225 z )  0

0

z  0.08421  i 0.33121   0.08421  i 0.33121  0.34175  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad
z = - 0.24816  i 0.42834  - 0.24816  i 0.42834  0.49503  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad

1 - 29


CAV

Regulador 3: r = 0.03.

 

G RMV z

1

1.450  0.025 z

1

0.411  0.227 z

1.450  0.025 z

1

1

 0.069 z

1

2

0.137 z

1

 0.090 z

2

0.411  0.227 z 1  0.069 z  2 1.000  0.950 z 1  0.225 z  2

(0.411  0.227 z

1

 0.069 z

2

)(1.000  0.950 z

(0.411  0.227 z

1

1

 0.225 z

 0.069 z

2

2

0
1

)  (1.450  0.025 z )(0.137 z

)(1.000  0.950 z

1

 0.225 z

2

1

 0.090 z

2

)

0

)

(0.411  0.227 z 1  0.069 z  2 )(1.000  0.950 z 1  0.225 z  2 )  (1.450  0.025 z 1 )(0.137 z 1  0.090 z  2 )  0
(0.411  0.39045 z 1  0.092475 z  2  0.227 z 1  0.21565 z  2  0.051075 z 3  0.069 z  2  0.06555 z 3  0.015525 z  4 ) 
 (0.19865 z

1

 0.1305 z

(0.411  0.16345z
0.411  0.0352 z

1

1

2

 0.003425 z

 0.054175z

 0.07975 z

2

2

2

3

 0.00225 z )  0

 0.014475z

 0.0012225 z

3

3

 0.015525z

 0.015525 z

4

4

)  (0.19865 z

1

 0.133925 z

2

3

 0.00225 z )  0

0

z  0.20761  i 0.32656   0.08421  i 0.33121  0.38696  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad
z = - 0.25043  i 0.43537  - 0.25043  i 0.43537  0.50226  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad

Todos son estables pues presentan todos sus polos dentro del círculo unidad.

1 - 30


CAV

g) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que
elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α
y 1. Comentar las respuestas obtenidas.
Caso 1: α = 0. y1(k)

Caso 2: α = 0,5. y2(k)

1 - 31


Caso 3: α = 0,8. y3(k)

Caso 4: α = 1. y4(k)

1 - 32

CAV


CAV

Tal y como podemos observar, a medida que vamos dando valores de α mayores, el
sistema deja de tener error en régimen permanente pero posee un mayor rizado debido a
que el efecto de acercarse a ser un integrador puro es desestabilizador:
mifuncion(y1,40,100)


max =

max =

0.7506
min =

1.1354
min =

0.5127
Riz =

0.8679
Riz =

0.2378

0.2675

valorfinal =

valorfinal =

0.6468

1.10167



max =

max =

1.1694
min =

1.1986
min =

0.8094
Riz =

0. 7437
Riz =

0.3600

0.4549

valorfinal =

valorfinal =

1.0178

1.0163

En la siguiente tabla podemos observar como a medida que aumenta el valor de α
disminuye el error hacia cero y como aumenta el rizado de la señal de salida:
 0
  0.5
  0.8
 1

Error en régimen permanente
|1-0.6468| = 0.3532
|1-1.1017 | = 0.1017
|1-1.0178| = 0.0178
|1-1.0163| = 0.0163

1 - 33

Rizado o varianza de la señal
0.2378
0.2675
0.3600
0. 4549

PRÁCTICA 2
REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS
CON RETARDO
Curso 2001-2002

1. Objetivos
•
•
•
•
•

Poner de manifiesto la problemática del control cuando la salida del proceso a
controlar se ve afectada por una perturbación de naturaleza estocástica.
Aplicar al caso anterior reguladores de mínima varianza cuando los procesos a
controlar presentan retardos adicionales
Analizar las acciones de control generadas mediante este tipo de reguladores
Analizar la estabilidad de los sistemas controlados en virtud de algunos
parámetros del regulador
Eliminar el error en régimen permanente mediante la adición de un término
integral

2. Realización de la práctica
Se desea realizar el control de un sistema continuo cuya discretización a T = 0.1 seg.
genera la función de transferencia discreta siguiente:

B( z −1 )
z −2 (1 − 0.995 z −1 )
G(z ) =
=
A( z −1 ) 1 − 1.81z −1 + 0.819 z −2
−1

La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo
comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la
perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro
siguiente:

D( z −1 ) D ( z − 1 ) 1 − 1 .81z −1 + 0.85 z − 2
=
=
C ( z −1 ) A( z −1 ) 1 − 1.81z −1 + 0.819 z − 2

Se pide:
a) Realizar el esquema Simulink correspondiente al sistema ARMAX en bucle
cerrado. Simular tomando como entrada al sistema un escalón unitario y
visualizar el ruido introducido así como la salida obtenida. El bloque Simulink
que proporciona un ruido blanco encuentra en la categoría Sources y se
denomina Band – Limited white noise. El esquema, por tanto, que se debe
realizar es el siguiente:

b) Realizar la misma simulación sustituyendo el filtro del ruido por la
descomposición equivalente a fin de comprobar si se obtienen idénticos
resultados.
c) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un
visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada. Repetir la
simulación para una entrada de la forma u(t) = sen (0.2t). ¿Qué efecto se puede
constatar en la representación de las señales obtenidas en esta última
simulación?
d) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y
e) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la
comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué diferencias
se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0?
f) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control obtenida
sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los resultados obtenidos.
g) Para cada uno de los reguladores calculados (distintos valores de r), obtener la

h) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que
elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α = 0, 0.5, 0.8 y
1. Comentar las respuestas obtenidas.

NOTA: Se debe presentar un informe de la práctica realizada que i cluya las respuestas
n
obtenidas así como los comentarios detallados pertinentes a cada uno de los apartados.

PRÁCTICA 2 – REGULADORES DE MÍNIMA VARIANZA PARA PROCESOS CON RETARDO

  Bz   z 1  0.995z 
Az
1.000  1.810 z  0.819 z

G z 1 

1

2

1

1

1

2

1

1

 0.850 z 2

1

1

 0.819 z

  Dz   1.000  1.800z
Az
1.000  1.810 z

P z 1 

CAV

2

A continuación, mostramos el diagrama de bloques del sistema donde vienen
representadas las siguientes señales:

vk   Señal de Ruido Blanco.
nk   Señal Estocástic a.

r k   Señal de Entrada o de Referencia .
u k   Señal de Control.

yu k   Señal de Salida del Sistema Físico.
y k   Señal de Salida.

v k 

Dz 
Az 

nk 

Filtro de Ruido
ARMAX

u k 
+

Pz 
Qz 

u k 

Regulador de
Mínima Varianza

Planta o
Proceso Físico

2-1

Bz 
A z 

y u k  +

+

y k 


CAV

b) Realizar la misma simulación sustituyendo el filtro del ruido por la
descomposición equivalente a fin de comprobar si se obtienen idénticos
resultados.
De clases teóricas, se propuso una descomposición del filtro del ruido blanco de
modo que cambiábamos de un diagrama de bloques a otro distinto:


Diagrama de bloques del filtro sin descomponer.

v k 

nk 

1

D( z )
1

C( z )



Diagrama de bloques del filtro sin descomponer.

v k 

1

F (z )
1

C(z )

2-2

nk 

1

E( z )





z  d 1

+


 1.000  1.800 z 1  0.850 z 2
 1.000  1.810 z

1

 0.819 z

 0.010 z

 0.031z

2

 0.010 z

1

 0.0181z

 1.000  1.810 z 1  0.819 z 2

2

1

CAV

 1.000  0.010 z

2

 8.19  10 z

2

1

 8.19  10 z

 0.0491z

3 3
3 3

F ( z 1 )  0.0491  8.19· 3 z 1
10

E ( z 1 )  1.000  0.010 z 1

A continuación mostramos las salidas obtenidas en los diagramas de simulink
anteriores:

Tal como podemos observar, tanto para un caso como para el otro, tenemos que
coinciden ambas salidas, obviamente.

2-3


CAV

c) Calcular el regulador que minimice la varianza de la señal de salida para un
visualizar la señal de ruido, la salida y la acción de control generada. Repetir la
simulación para una entrada de la forma u(t) = sen (0.2t). ¿Qué efecto se puede
constatar en la representación de las señales obtenidas en esta última
simulación?
varianza (recuerde que la siguiente expresión fue deducida para procesos con retardo)
1

G RMVd ( z ) 

1

1

A( z )  F ( z )
r
z  B( z 1 )  C ( z 1 )  E ( z 1 )  A( z 1 )  D( z 1 )
b1

C(z-1) = A(z-1) y, también, debido a que en este apartado
1
F (z )
se nos exige calcular el regulador para una factor de G
1
z 
RMVd4
1
1
ponderación de la acción de control nulo. De estas
z  B( z )  E ( z )
premisas, podemos obtener que el regulador buscado es
del tipo GRMVd4 (z-1) que se muestra a la derecha.

 



ESTABILIDAD EN BULCE ABIERTO: Cancelación de polos y/o de ceros.

Con el fin de que este tipo de regulador nos sirva para el control del sistema debe
verificar que, en caso de error por apertura del lazo cerrado, no se inestabilice. Lo que
pretendemos es evitar que cuando se cancelen polos o ceros de la planta con los
correspondientes al regulador, por motivos de mala identificación del sistema, se produzcan
malas cancelaciones de los polos o ceros que se encuentran fuera del círculo unidad. Para
investigar esta posibilidad debemos analizar la ecuación característica del sistema:
1

*

1

*

F (z )

1

GRMV 4 ( z )  GP ( z ) 

1

1



1

B (z )
1

z  B( z )  E ( z ) A ( z )
*

Es totalmente válida la utilización de este regulador pues nuestro sistema no
constituye un proceso de fase no mínima ya que todos sus ceros se encuentran dentro del
círculo unidad:
Bz 
z  0.995 z
G z  

z 1  z  0.995  0  z  0.995
1
2
Az  1.000  1.810 z  0.819 z
1

2

0.995  1  El cero se encuentra en el interior del círculo unidad

Por lo tanto, la cancelación de polos o ceros no va a darnos problemas y, a pesar de
que nuestro sistema se deteriore y rompa el lazo, no se convertirá en inestable a priori.
2-4




CAV

ESTABILIDAD EN BULCE CERRADO: Estabilidad propiamente dicha.

Con respecto a la estabilidad del sistema vista desde el bucle cerrado, el regulador
será totalmente válido si las raíces de los polinomios B(z-1) y D(z-1) se encuentran en el
interior del círculo unidad tal como podemos demostrar a continuación:
F ( z 1 )

*
1  G RMVd4 ( z 1 )  G P ( z 1 )  0  1 

z  A( z 1 )  B( z 1 )  E ( z 1 )  B( z 1 )  F ( z 1 )
1

1

z  A( z )  B( z )

z  A( z

1

1

1



B( z 1 )
1

z  B( z )  E ( z ) A( z )

0

 0  z  A( z 1 )  B( z 1 )  E ( z 1 )  B( z 1 )  F ( z 1 )  0



)  E ( z 1 )  F ( z 1 )  B( z 1 )  0

Veamos donde se encuentran las raíces de B(z-1) y z·A(z-1)·E(z-1) + F(z-1):
G ( z 1 ) 

1

B( z )
1

z d 

A( z )

z 1  0.995 z 2
1.000  1.810 z

1

 0.819 z

2

z 1  z  0.995  0  z  0.995

 0.995  0.995  1  La raiz se encuentra en el interior del círculo unidad
z  A( z 1 )  E ( z 1 )  F ( z 1 )  0
z  (1.000  1.810 z 1  0.819 z  2 )  (1.000  0.010 z 1 )  0.0491  8.19  10 3 z 1  0
(1.000  1.810 z 1  0.819 z  2 )  (1.000  0.010 z 1 )  z 1 (0.0491  8.19  10 3 z 1 )  0
1.000  1.800 z

1

 0.8009 z

2

3

 8.19  10 z

3

 0.0491z

1

3

 8.19  10 z

2

0

1.000  1.7509 z 1  0.79271z  2  8.19  10 3 z 3  0
z 3  1.7509 z 2  0.79271z  8.19  10 3  0
z  0.8805  i 0.1876 z  0.0101
0.8805  i 0.1876  0.9003  1  Las raices se encuentran en el interior del círculo unidad
 0.0101  0.0101  1  Las raices se encuentran en el interior del círculo unidad

Una vez verificada la viabilidad de la utilización de este regulador, podemos realizar
las operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador:

 

B z 1  z 1  0.995z 2

 

1

3 1

   z  B( z

E ( z )  1.000  0.010 z 1

 

1

F (z )

1

GRMVd4 z 1 

1

)  E ( z 1 )
 3 1

0.0491  8.19·
10 z
z  (z

1

2

1

 0.995 z )·( .000  0.010 z )
1

.19 10
   (1.000 00.0491z 8)·(1.·000 z 0.010 z
.995

GRMVd4 z

D z 1  1.000  1.800 z 1  0.850 z 2
1

F ( z )  0.049  8.19·
10 z
GRMVd4 z

 

A z 1  1.000  1.810 z 1  0.819 z 2

 3 1

1

1

1

)

2-5

8
z
   1.0000.0491  z .19·10.00995z
0.985
0

 GRMVd4 z

 3 1

1

1

2


CAV


 

G RMVd4 z

3

0.049  8.19·
10 z

1

1.000  0.985 z

1

1

 0.00995 z

2

gráficas:

FIGURA 1.
estocástica:
y (k ) 
u (k ) 

B ( z 1 )
A( z 1 )

z d u (k ) 
1

F (z )
1

1

z  B( z )  E ( z )

D( z 1 )
A( z 1 )

v(k )

w(k )  y (k )  w( k   u (k )  
 ) 0 k 0

1

F (z )
1

1

z  B( z )  E ( z )

y (k )

y (k ) 


 D( z 1 )
F ( z 1 )
z  d 
y (k ) 
v( k )
1
1
1
1
A( z )
 z  B( z )  E ( z )
 A( z )



B( z 1 )

y la salida:
1

y (k )  

F (z )z

  d 1

1

1

A( z )  E ( z )

1

y (k ) 

D( z )
1

A( z )

1

v(k )  y (k ) 

F (z )z

  d 1

1

1

A( z )  E ( z )

1

y (k ) 

D( z )
1

v(k )

A( z )

1
  d 1
1
1
1
  d 1
1

 D( z 1 )
F (z )z
A( z )  E ( z )  F ( z ) z
D( z )
y (k ) 1 
v(k )  y (k )

v(k )

1
1
1
1
1
1
A( z )  E ( z )  A( z )
z  A( z )  E ( z )
A( z )






y (k )



A( z 1 )  E ( z 1 )  F ( z 1 ) z  d 1
1

E(z )

 D( z 1 )v(k )  y (k )

D( z 1 )
1

 D( z 1 )v(k )

E(z )

1

y ( k )  E ( z )v ( k )

Tal y como podemos observar en la Figura 1, tenemos que el regulador de mínima
2-6


CAV

varianza calculado "intenta" minimizar la varianza de la señal estocástica sin lograrlo y
obtenemos a la salida casi directamente el ruido blanco.. En el siguiente gráfico se puede
observar un solapamiento entre salida y ruido blando multiplicado por el polinomio E(z-1)
antes del instante de activación del escalón:

analíticamente.
permanente es de 1 – 0.8586 = 0.14014.
1
1
lim e(k )  lim(1  z )  e( z )

k 

z 1

entrada.
2-7

E v ( k )  0


CAV

e( z 1 )  w( z 1 )  y( z 1 )

u( z 1 ) 

1

F (z )
1

1

z  B( z )  E ( z )

y( z 1 ) 

e( z 1 )

1

B( z )
1

1

D( z )

z d u( z 1 ) 

1

A( z )

v( z 1 )

A( z )

media nula por lo que en régimen permanente podemos eliminar este término ya que no
influye en el valor medio. Por tanto tenemos que, a efectos de régimen permanente, la
salida es:
1

B( z )

y( z 1 ) 

1

z d u( z 1 )

A( z )
y( z 1 ) 

1

B( z )
1

z d

A( z )
e( z 1 )  w( z 1 ) 
1

e( z )

1

F (z )
1

1

z  B( z )  E ( z )

e( z 1 )  y( z 1 ) 

  d 1

1

F (z )z

 d 1

1

1

A( z )  E ( z )

e( z 1 )

  d 1


F (z )z
e( z 1 )  e( z 1 ) 1 
 w( z 1 )
1
1
1
1 
A( z )  E ( z )
A( z )  E ( z ) 



1

F (z )z

1





A( z 1 )  E ( z 1 )  F ( z 1 ) z  d 1
1

1

A( z )  E ( z )

1

1

 w( z )  e( z ) 

A( z 1 )  E ( z 1 )
1

1

w( z )

D( z )

permanente:

lim 1  z e( z
1

z 1

1



)  lim 1  z
z 1

 lim

1

 A( z

1

1

1

1

1

 lim



w( z )  lim 1  z
z 1

D( z )

A( z )  E ( z )
1

1

)  E(z )

(0.137 z

1

1

1

1

)  E(z )
1

D( z )

2

1
1 z

1

 0.090 z )(1.000  0.010 z )

z 1
D( z )
1.000  0.500 z
(0.137  0.090)(1.000  0.010)

 0.1313
1.000  0.500  0.250
z 1

 A( z

1

 0.250 z

2

1






2-8


CAV

FIGURA 2.
regulador intentará minimizar dicha señal y por ello existen acciones de control.

FIGURA 3 y 4.
Tanto la señal de salida como la acción de control adquieren formas senoidales. Se
puede ver como la salida trata de seguir a la entrada, pero no llega a igualarla debido al
retardo que sufre de por si ya la planta. Por lo que nunca llegará a igualarla. Se puede
observar que la salida está retrasada respecto a la entrada.

2-9

Figura 1. Referencia w(k), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)> ante entrada escalón.

Figura 2. Acción de control u(k) ante entrada escalón.

Figura 3. Referencia w(k), Salida y(k) y Valor medio de la salida <y(k)> ante entrada senoidal.

Figura 2. Acción de control u(k) ante entrada senoidal.


CAV

d) Calcular la primera acción de control para el sistema del apartado anterior y
3

0.049  8.19·
10  0
0.049
u 0   G RMV 4 0  
 u 0  
 0.049
1.000  0.985  0  0.00995  0
1.000

En la ampliación del gráfico de la señal de la acción de control u(k), se puede
observar que la primera muestra obtenida corresponde a un valor cercano a 0.049, que era
el obtenido teóricamente.

2 - 14


CAV

Del apartado anterior conocemos que la acción de control se relacionaba con la
salida de la siguiente manera:
u (k )  

1

F (z )
1

1

z  B( z )  E ( z )

y(k )  E ( z 1 )v(k )

y (k )

De donde conocemos que la salida antes de activar la entrada escalón es juste la
señal de ruido blanco. Por tanto, tenemos que la acción de control y el ruido blanco se
relacionan de la siguiente manera:
u (k )  

1

F (z )
1

1

1

z  B( z )  E ( z )
u (k ) 

E ( z )v(k )  u(k )  
3

 0.0491  8.19·
10 z
1.000  0.995 z

1

1

F (z )
1

z  B( z )

v( k )

1

v( k )

Si modificamos nuestro sistema en simulink añadiendo una salida j(k) de la
siguiente manera:

Una vez simulado, buscamos entre los valores de la señal j(k) el que se da cuando
aplicamos el escalón de modo que si este valor se los restamos al que presenta la señal de
control tendremos justo el calculado teóricamente. En la gráfica de la siguiente página
podemos comprobar que para antes del escalón se verifica que el comportamiento de la
acción de control es justo el deducido en la expresión:
u (k ) 

2 - 15

3

 0.0491  8.19·
10 z
1.000  0.995 z

1

1

v( k )


u=
-0.0006
-0.0042
-0.0022
-0.0044
-0.0044
-0.0037
-0.0023
-0.0028
-0.0036
-0.0038
-0.0045
-0.0052
-0.0048
-0.0068
-0.0056
-0.0024
-0.0005
-0.0038
-0.0026
-0.0012
0.0489
0.0901
0.1283
0.1629
0.1925
0.2145
0.2341
0.2465
0.2553
0.2605
0.2636
0.2635
0.2611
0.2591

CAV

j=
-0.0006
-0.0042
-0.0022
-0.0044
-0.0044
-0.0037
-0.0023
-0.0028
-0.0036
-0.0038
-0.0045
-0.0052
-0.0048
-0.0068
-0.0056
-0.0024
-0.0005
-0.0038
-0.0026
-0.0012
-0.0001
0.0008
0.0014
0.0020
0.0022
-0.0002
0.0001
-0.0019
-0.0028
-0.0031
-0.0020
-0.0015
-0.0012
0.0007

Estos valores corresponden justo al
momento en el cual actúa la entrada
escalón de modo que si restamos
ambos valores obtenemos como
resultado
el
valor
calculado
teóricamente:
0.0489 – (–0.0001) = 0.049

2 - 16


CAV

e) Calcular el regulador de mínima varianza para un factor de ponderación de la
comprobar el resultado la señal obtenida mediante simulación. ¿Qué
diferencias se observan con respecto a las respuestas obtenidas para r = 0?
1

1

A( z )  F ( z )
r
z  B( z 1 )  C ( z 1 )  E ( z 1 )  A( z 1 )  D( z 1 )
b1

1

G RMVd ( z ) 

C(z-1) = A(z-1). La simplificación nos da la siguiente expresión que corresponde al regulador
de mínima varianza GRMV3 (z-1), es decir,

 

G RMVd3 z

1

F (z )

1

z  B( z 1 )  E ( z 1 ) 

r
D( z 1 )
b1

En este caso, no sería necesario calcular nada más para verificar si podemos usar
este tipo de regulador puesto que de clases de teoría obtuvimos como resultado que este
tipo de regulador era válido para cualquier sistema. A continuación, realizaremos las
operaciones pertinentes para la obtención de la expresión de nuestro regulador:

 

 

B z 1  z 1  0.995z 2

D z 1  1.000  1.800 z 1  0.850 z 2

1

3 1

E ( z 1 )  1.000  0.010 z 1

F ( z )  0.0491  8.19·
10 z

 

G RMVd3 z

 

G RMVd3 z

1

r
1
D( z )
b1

z  (z

1

1

0.0491  8.19·
10 z
0.02
2
1
1
2
 0.995 z )  (1.000  0.010 z ) 
(1.000  1.800 z  0.850 z )
1
0.0491  8.19· 3 z 1
10
1

1

(1.000  0.995 z )  (1.000  0.010 z )  0.02(1.000  1.800 z
3

0.0491  8.19·
10 z

1

 

G RMVd3 z

1

3

1

 

G RMVd3 z

1

z  B( z )  E ( z ) 

1

 

G RMVd3 z

1

F (z )

1

(1.000  0.985 z

1

2

1

1.02  1.021z 1  0.00705 z  2

2 - 17

2

 0.850 z )

1

 0.00995 z )  (0.020  0.036 z

0.0491  0.00819 z

1

1

2

 0.017 z )


CAV


   1.020.0491  0.00819 z z
1.021z  0.00705

G RMVd3 z

u 0  G RMVd3 0 

1

1

1

2

0.0491  0.00819  0
0.0491
 u 0 
 0.0481
1.020  1.021  0  0.00705  0
1.020

A continuación se muestran las gráficas que se han considerado más interesantes
donde se puede apreciar lo siguiente:
GRÁFICA D.1. A un primer golpe de vista no se puede apreciar fácilmente las
diferencias con respecto al regulador anterior. No obstante puede apreciarse un poco de
aumento con respecto a la varianza de la señal puesto que los picos están más alejados entre
si. Además, podemos ver que ha aumentado el error en régimen permanente puesto que la
señal de salida se "estabiliza" sobre los 0.7.
GRÁFICA D.2. En esta gráfica podemos determinar claramente las diferencias
entre la señal de salida de r = 0 y la de r = 0.02. La señal con factor de ponderación nulo
presenta un primer pico mucho más alto que la otra pero posteriormente se minimiza
mucho más la varianza. Con respecto a los errores de régimen permanente, podemos
observar que entre una señal y otra en régimen permanente existe una diferencia de 0.1
unidades de amplitud.
GRÁFICA D.3. A partir de esta representación gráfica obtenemos como resultado
que la primera acción de control, observando en la gráfica, es cercana a las 0.0428 unidades
obtenidas teóricamente.
GRÁFICA D.4-5. En estas gráficas podemos observar que no existe mucha
diferencia.

2 - 18

GRÁFICA D.1. Representación gráfica de la señal de referencia, la de salida y la señal estocástica.

2 - 19

GRÁFICA D.2. Representación gráfica donde se compara la salida con un factor r = 0 y con r = 0.02.

2 - 20


GRÁFICA D.3. Representación gráfica de la señal de acción de control u(k).


CAV

GRÁFICA D.4. Representación gráfica donde se compara la salida con un factor r = 0 y con r = 0.02.

GRÁFICA D.4. Representación gráfica donde se compara la acción de control con un factor r = 0 y con r = 0.02.


CAV

f) Calcular el regulador de mínima varianza para que la acción de control
obtenida sea un tercio de la obtenida en el apartado b). Comentar los
resultados obtenidos.
Para que se verifique esta condición tenemos que:

r 
b1  
f0
1
1 f0
r

2
b1   u e 0  u b 0 

 3b1  b1   r  2b1
r 3 b1
3
b1

b1 
f
u b 0  0

b1

b1


u e 0 

f0

r  2b12  21  2
2

 

G RMVd3 z

 

G RMVd3 z

r
1
D( z )
b1

z  (z

1

1

0.0491  8.19·
10 z
2
2
1
1
2
 0.995 z )  (1.000  0.010 z )  (1.000  1.800 z  0.850 z )
1
0.0491  8.19· 3 z 1
10
1

1

(1.000  0.995 z )  (1.000  0.010 z )  2(1.000  1.800 z
3

0.0491  8.19·
10 z

1

 

G RMVd3 z

1

3

1

 

G RMVd3 z

1

z  B( z )  E ( z ) 

1

 

G RMVd3 z

1

F (z )

1

(1.000  0.985 z

1

2

 0.850 z )

1

2

 0.00995 z )  (2.000  3.600 z

0.0491  0.00819 z

1

1

1

2

 1.700 z )

1

3.000  4.585 z 1  1.69005 z  2


 

G RMVd3 z

u 0  G RMVd3 0 

1

0.0491  0.00819 z
3.000  4.585 z

1

1

 1.69005 z

2

0.0491  0.00819  0
0.0491
 u 0 
 0.016
3.000  4.585  0  1.69005  0
3.000
0.8

En esta ocasión se ve que a la salida le
cuesta llegar a régimen permanente, luego
hemos empeorado el sistema. El ruido en la
salida se ha mejorado grandemente, pero aún
así es mejor que no poner nada. La primera
acción de control simulada en Matlab tiene un
valor de u0 = 0.0162, que es casi la misma a la
teórica.

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

2 - 24

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


CAV

h) Para el regulador del apartado e), añadir un término de acción integral que
elimine el error en régimen permanente. Probar con valores de α
y 1. Comentar las respuestas obtenidas.
Caso 1: α = 0. y1(k)

Caso 2: α = 0,5. y2(k)

Caso 3: α = 0,8. y3(k)
2 - 25


CAV

Caso 4: α = 1. y4(k)

A medida que el parámetro alfa se aproxima al valor la unidad, el sistema se va
desestabilizando cada vez más.

2 - 26

PRÁCTICA 3
DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS
Curso 2001-2002

1. Objetivos
En el desarrollo teórico del tema, se ha estudiado que el cálculo de un Controlador
Predictivo Generalizado (GPC), se realiza en base a unos parámetros de diseño:
horizontes de predicción y control, parámetros de ponderación en el índice de coste, etc.
Dichos parámetros condicionarán el comportamiento del mismo.
Mediante la realización de esta práctica se pretenden tratar los siguientes aspectos:
•

Diseño: Llegar a deducir cómo influye cada uno de estos parámetros en el
controlador y cual es su efecto sobre la acción de control y sobre la variable de
salida controlada del sistema. Estos dos aspectos son muy importantes a la hora
de diseñar este tipo de controladores.

•

Simulación: Es interesante poder comprobar en todo momento si el controlador
se comporta adecuadamente incluso con los fenómenos que se producen el los
procesos reales (discrepancia entre modelo y proceso real).

2. Realización de la Práctica
Para calcular el Controlador Predictivo Generalizado, se facilitará al alumno la función
Matlab descrita a continuación:
Function calcugpc
[H, R, S, TpRDelta] = calcugpc(BB, AA, T, param_gpc)

siendo:
•

BB un vector que contiene los coeficientes del numerador del proceso en
potencias decrecientes de z-1 (incluido el retardo estructural del proceso).

•

AA un vector que contiene los coeficientes del numerador del proceso en
potencias decrecientes de z-1.

•

Param_gpc es un vector que contiene:
o
o
o
o
o
o

param_gpc(1) = N1
param_gpc(2) = N2
param_gpc(2) = Nu

param_gpc(4) = coeficiente αi de ponderación de los errores

param_gpc(5) = coeficiente λj de ponderación del esfuerzo de control
param_gpc(6): si es igual a 0, se asume que no se conocen las

referencias futuras (w(k) = w(k+1) = w(k+2) = ….= w(k+N)). En el caso
de que sea igual a 1, se asume que se conocen las referencias futuras
Los tres últimos parámetros no son obligatorios y en caso de omisión de los mismos se
asume:
o param_gpc(4) = 1
o param_gpc(5) = 0
o param_gpc(6) = 0
Los valores que devuelve la función son:
•

H: es un escalar si no se conocen las referencias futuras. En caso contrario es un
vector que contiene los coeficientes de un polinomio en potencias crecientes de
z.

•

R: es un vector que contiene los coeficientes del polinomio R(z-1) en potencias
crecientes de z-1.

•

S: es un vector que contiene los coeficientes del polinomio S(z-1) en potencias
crecientes de z-1.

•

TpRDelta: es un vector que contiene los coeficientes de (T(z-1) + R(z-1))∆

EJEMPLO
Dado el modelo del proceso
G ( z −1 ) =

0.1368 z −1 + 0.1180 z −2
1 − 1.003z −1 + 0.5488 z − 2

Calcular el controlador GPC para un horizonte de predicción desde N1 = 3 hasta N2 =5.
Los coeficientes para las matrices de ponderación serán: αi = 0.1 y λj = 2. El polinomio
T(z-1) será 1-0.85z-1, y no se conocen las referencias futuras.
En Matlab haremos:
>> B = [0 0.1368 0.1180]; %Se incluyen los retardos

>>
>>
>>
>>

A = [1 -1.303 0.5488];
T = 1;
param = [3 20 5 0.1 2 0];
[H, R, S, TpRDelta] = calcugpc(B, A, T, param)

3. Simulación del bucle de control
Para simular el bucle de control hay que construir el diagrama de bloques del
controlador (ver figura 1) en un diagrama Simulink al cual se añadirá el resto del
sistema (ver figura 2).

Figura 1. Diagrama de bloques del controlador GPC

ref

u

Referencia

Acción de Control

H
Step

Gain

T(z)

B(z)

TpRDelta(z)

A(z)

Discrete Filter

Proceso

y
Salida

Discrete Filter2
S(z)
T(z)

Figura 2. Esquema básico para simulación

Para rellenar cada uno de los parámetros que se nos piden en los diferentes bloques del
diagrama Simulink: numerador, denominador, periodo de muestreo, etc., podemos
utilizar nombres de variables que tengamos definidas en el workspace de Matlab. Así,
las variables que contienen los polinomios de salida de la función calcugpc. los
podemos escribir en las ventanas de parámetros de los bloques Simulink tal y como se
muestra en la figura siguiente:

4. Ejercicios propuestos de diseño y simulación
1. Dado el modelo del proceso definido por:
G( s) =

0.6( s + 2)
( s + 0.507)( s + 0.968)

Discretizar1 dicha función de transferencia para un periodo de muestreo de 0.5 seg.
Calcular y simular un GPC para cada uno de los siguientes casos (se asume que no
se conocen las referencias futuras y T(z-1) = 1):
Caso
1
2
3
4
5

N1
1
1
1
1
1

N2
40
40
40
20
20

Nu
1
3
1
1
1

αi

λi

1
1
1
1
0.001

0
0
1
1500
1

PREGUNTA
Desde el punto de vista de la acción de control generada y de la salida del proceso:
• ¿Cuál es el efecto de aumentar el horizonte de control Nu?
• ¿Cuál sería el efecto de variar los parámetros de ponderación?

2. Dado el modelo definido por

G( s) =

8
0.0484 s + 0.66s + 9
2

Discretizar la función de transferencia con un periodo de muestreo de 10 ms.
Calcular y simular el controlador GPC con el modelo del proceso para los siguientes
parámetros de diseño (no se conocen las referencias futuras):
1

Utilizar para ello la función c2dm de Matlab eligiendo como método de discretización la anteposición de
un retenedor de orden cero (ZOH). Para más información teclear help c2dm.

T(z-1)
1

N1
1

N2
10

Nu
1

αi

λi

1

0

Supongamos ahora que el proceso real no está identificado correctamente mediante
la función de transferencia G(s), y que el comportamiento real del sistema viene
definido por la siguiente función de transferencia:
G* ( s) =

7.3e −0.008 s
0.0361s 2 + 0.55s + 9.4

Simular ahora el bucle cerrado para el controlador calculado anteriormente pero con
el proceso real G*(s) en lugar de G(s). Para incluir el retardo continuo utilizar un
bloque Transport Delay. Observar cómo se ve afectado el control por las diferencias
sustanciales que aparecen cuando en lugar de controlar el modelo del proceso con el
que el controlador fue calculado, se controla el proceso real.
Diseñar ahora y simular un GPC para G(s), con los mismos parámetros de diseño
anteriores pero eligiendo T(z-1) de la forma:
T ( z −1 ) = 1 − 0.9 z −1
Observar el comportamiento de la salida del proceso.
PREGUNTA
A la vista de los resultados:
• ¿Cuál es el principal objetivo del polinomio T(z-1)?

3. Suponiendo que G(s) modela perfectamente al proceso, y teniendo un ruido de
medida en el sensor tal y como se muestra en la figura 3, comparar las respuestas
simulando los dos controladores calculados anteriormente (para distintos valores de
T(z-1)) y observar cómo influye la perturbación en la salida2.
Band-Limited
White Noise

Salida

B(z)
A(z)
Proceso
Discrete Filter2
S(z)
T(z)

Figura 3. Adición de un ruido blanco (sin filtrar) a la medida de la salida

2

Al parámetro Noise power del bloque Band – Limited White Noise se le debe asignar el valor 0.00001

4. En este caso se tiene una perturbación senoidal de frecuencia aproximada 100
rad./seg. y de amplitud 0.25. Este tipo de perturbaciones, muy habituales, puede
presentarse a la salida del proceso. Por ejemplo en un sistema de control de altura de
líquido en un depósito, un motor que girase a velocidad constante y que esté situado
lo suficientemente cerca del proceso, produciría un campo electromagnético,
influyendo en la lectura de la salida del proceso.
Simular el bucle de control con los dos controladores anteriores (para los dos
valores de T(z-1) y observar el comportamiento de la salida.
Diseñar y simular ahora un GPC con los siguientes parámetros:
T(z-1)
(1 − 0.99 z −1 )(1 − 0.95z −1 )

N1
1

N2
10

Nu
1

αi

λi

1

0

PREGUNTA
•
•

¿Cuál sería otro de los principales objetivos del polinomio T(z-1)?
¿Qué ocurriría si el polinomio de diseño T(z-1) se fijara a 1 – 1.1z-1?
Justificar numéricamente la respuesta.

5. Informe de práctica a entregar
Se debe entregar un informe con todos los valores de los reguladores calculados y
con las gráficas que se crean oportunas. Asimismo se debe adjuntar la respuesta
razonada a todas las preguntas propuestas y todos aquellos aspectos de la práctica
que se deseen hacer notar.

PRÁCTICA 3 – DISEÑO DE REGULADORES PREDICTIVOS


Ejercicio 1.
En este ejercicio calcularemos un Controlador Predictivo Generalizado (GPC,
del inglés Generalized Predictive Controller). El diagrama de bloques del controlador
GPC es el siguiente:
GPC
U(z)

W(z)
H

+
-

T
(T+Rz-1)Δ

Proceso

S
T

Figura 3.1.1: Diagrama de bloques del controlador GPC.
Para la realización del ejercicio primeramente introduciremos en MatLab® todos
los valores necesarios para poder trabajar tales como:


El valor Ts donde almacenaremos el período de muestreo que es de 0.5
segundos.



El vector T que contenga los coeficientes del polinomio T(z-1) en potencias
negativas de z-1.



El vector N1 que contenga el valor mínimo del horizonte de predicción de
cada caso.



El vector N2 que contenga el valor máximo del horizonte de predicción de
cada caso.



El vector Nu que contenga el horizonte de control  Representa el máximo
número de acciones de control de cada caso.



El vector alfa que contenga el Coeficiente del factor de ponderación del
error de cada caso.



El vector lambda que contenga el Coeficiente del factor de esfuerzo de
control de cada caso.



El vector Bc que contenga los coeficientes del numerador del proceso en
potencias decrecientes de s.



El vector Ac que contenga los coeficientes del denominador del proceso en
potencias decrecientes de s.
1-1




Dado el siguiente modelo,
G( s) 

0.6000( s  2.0000)
( s  0.5070)(s  0.9680)

3.1

Se discretiza para T = 0.5 segundos (tal y como se verá en el fragmento de
código posterior), utilizando la función c2dm de MatLab®, obteniendo la siguiente
función de transferencia:
0.3258 z

1

G( z ) 

1

1  1.3924 z

 0.1137 z

1

2

 0.4783z

2

3.2

También calcularemos y simularemos un GPC, utilizando la función calcugpc
que nos proporcionó Rafael Puerto, asumiendo que no se conocen las referencias futuras
y que T(z-1) = 1, para cada uno de los siguientes casos:
N1
N2
Nu
αi
1
40
1
1
1
40
3
1
1
40
1
1
1
20
1
1
1
20
1
0.001
Tabla 3.1.1. Tabla de parámetros del modelo predictivo.

Caso
1
2
3
4
5

λi
0
0
1
1500
1

Para implementar estas asignaciones en MatLab® introducimos las siguientes
líneas de código:
Ts=0.5;
T=[1];
N1=[1 1 1 1 1];
N2=[40 40 40 20 20];
Nu=[1 3 1 1 1];
alfa=[1 1 1 1 0.001];
lambda=[0 0 1 1500 1];
Ac=[1 1.475 0.490776];
Bc=[0.6 1.2];
[B,A] = C2DM(Bc,Ac,Ts,'zoh')
B=
0

0.3258 -0.1157

A=
1.0000 -1.3924

0.4783

De esto obtenemos como resultado, para continuar trabajando, A y B:


El vector B contiene los coeficientes del numerador del proceso, una vez
discretizado, en potencias decrecientes de z-1.



El vector A contiene los coeficientes del denominador del proceso, una vez
discretizado, en potencias decrecientes de z-1.
1-2




A continuación diseñamos el siguiente diagrama de bloques:

Figura 3.1.2: Esquema básico para la simulación.
Posteriormente, para cada caso tomamos los valores de param_gpc y
ejecutamos la función calcugpc() guardando los valores de la acción de control y la
salida en cada iteración. Las líneas que introduciremos serán las siguientes:
param_gpc=[N1(1), N2(1), Nu(1), alfa(1), lambda(1), 0];
[H, R, S, TpRDelta]=calcugpc(B, A, T, param_gpc);
%Simulamos el proceso para obtener salidas y acciones de control.
y1=y;
u1=u;
y2=y;
u2=u;
y3=y;
u3=u;
y4=y;
u4=u;
y5=y;
u5=u;

1-3



Dibujando las gráficas podemos obtener dos gráficas donde vienen
representadas, por un lado, los valores de la salida para cada uno de los casos y, por otro
lado, las acciones de control para cada caso. En páginas precedentes se expondrán las
gráficas junto con sus respectivas preguntas.
1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Figura 3.1.3: Salida y acción de control para el caso 1.
En la figura 3.1.3 podemos como no existe error en régimen permanente pues la
salida sigue fielmente la referencia. También podemos darnos cuenta de el momento
cuando dicho error se hace nulo y que es en el instante k = 12 casi la mitad de N2 = 20.
Con respecto a la señal de control, sólo hacer hincapié en su bajo esfuerzo de control.
3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Tal y como se observa en el gráfico de arriba, si aumentamos el horizonte de
control Nu estamos dando más libertad al sistema de modo que el error se anula mucho
más rápido que en el caso anterior (ahora se anula para k = 1 y antes para k = 12). De
hecho, la idea de aumentar el horizonte de control tiene un efecto negativo con respecto
al esfuerzo de control pues la señal de control, tal y como podemos ver, es mucho
mayor que la del caso 1 (ahora es de casi 3 unidades y en el caso anterior de 0.42)
aunque esto se da para los primeros instantes pues se estabiliza rápidamente.
1-4



1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Como se puede observar la diferencia entre la gráfica 3.1.5 y la gráfica 3.1.3 son
muy pequeñas. No existe gran diferencia aunque si nos fijamos bastante, el error en
régimen permanente tarda un poco más que en el caso anterior pues ahora estamos
ponderando el esfuerzo de control (con un valor de 1 que es bajo) y en el caso 1 no lo
ponderábamos.
1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

10

20

30

40

50

60

Como se puede observar, el efecto de aumentar λ es disminuir los valores de la
acción de control provocaré que tarde más en anularse el error. Para ver esto podemos
usar la función de coste que definimos en clases de teoría y que era la siguiente:
N

2
J N 1 , N 2 , N u ,  ,    E   i  y (k  i )   (k  i ) 
i  N



2

1

1-5



N

2

  u(k  j  1) 

i

j 1



3.3



Por tanto, si aumentamos el valor del parámetro λ conseguiremos provocar que,
para que se siga minimizando el índice de coste, debe disminuir el valor de la acción de
control. Como está restringido el esfuerzo de control, al sistema le "costará" más llevar
la salida a la referencia.
1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Si disminuimos α le estamos restando importancia a que llegue ha existir un
error en régimen permanente puesto que estamos siendo más permisivos en este sentido.
Esta situación la podemos analizar mejor si nos volvemos a centra para la explicación
en el índice de coste que será la ecuación 3.3:
N

2
J N 1 , N 2 , N u ,  ,    E   i  y (k  i )   (k  i ) 
i  N



2

1



N

2

  u(k  j  1) 

i

j 1



Si hubiésemos aumentado α se obtiene directamente del índice de coste que la
diferencia entre la referencia y la salida debe de disminuir para hacer mínimo el índice
de coste, siendo menos permisivos con el error en régimen permanente que el error se
elimine antes. En este caso 5, al disminuir α, estimulamos a que dicha diferencia ya no
sea tan trascendental para hacer mínimo el índice de coste, por lo que se tardará más en
llegar al régimen permanente (en el caso se anulaba el error en régimen permanente para
k = 18 y ahora la hace para k = 35).

1-6





¿Cual es el efecto de aumentar el horizonte de control?

Para contestar a esta pregunta analizaremos la señal de salida y la señal de
acciones de control aparecidas en el caso 1 y 2 puesto que en éstos, todos los valores
permanecen constantes excepto el horizonte de control:
CASO
1
2

N1
1
1

N2
40
40

Nu
1
3

αi
1
1

λi
0
0

Nosotros sabemos que el valor de Nu determina la cantidad de oportunidades que
"tiene" nuestro controlador para hacer que se cumpla su objetivo: Seguir la señal de
referencia. De este modo, podríamos expresar el valor del horizonte de control Nu como
la cantidad de grados de libertad disponibles para llevar la señal de referencia a la salida
del sistema. La filosofía de esta familia de controladores es la siguiente:


Si aumentamos el valor del horizonte de control: Se generan
acciones de control de gran amplitud. Por lo tanto, el método de
funcionamiento es tal que si aumentamos el número de
oportunidades, para llevar la referencia a la salida el controlador
generará acciones de control grandes bruscamente pues tiene muchas
oportunidades para rectificar su comportamiento si se ha excedido de
valores.



Si disminuimos el valor del horizonte de control: Se generan
acciones de control de pequeña amplitud. Por lo tanto, para llevar la
referencia a la salida el controlador generará acciones de control de
poca amplitud y de forma suave pues con pocas oportunidades debe
intenta llevar la referencia a la salida sin excederse.

Figura 3.1.8: Comparación entre las señales de salida del caso 1 y 2.
1-7



Con respecto a las señales de salida representadas en la figura 3.1.8, podemos
decir que la salida del caso 1 tiene una forma mucho más suave que la señal de salida
del caso 2 debido a que en éste segundo caso, el controlador "intenta" llevar la
referencia a la salida lo antes posible y rectificar si se excede. La rectificación se puede
observar en el pico donde se aprecia que la señal de control ha llevado a la salida a un
valor por encima de la referencia y las siguientes acciones de control proceden a
rectificar este valor llevándolo al de referencia.

Figura 3.1.9: Comparación entre las señales de control del caso 1 y 2.
En la figura 3.1.9 se puede apreciar el mecanismo que rige a este tipo de
controladores. Se observa claramente para el caso 2 la variación brusca de la señal de
acción de control inicial y la rectificación en las posteriores acciones de control. Por
otro lado, podemos observar la forma suave que presenta la acción de control en el caso
1.

1-8





¿Cual sería el efecto de variar los parámetros de ponderación?

Estudio del efecto de los coeficientes de ponderación de errores α.
ANÁLISIS FRENTE A LA SALIDA.
Para los tres primeros casos en los cuales este parámetro es la unidad
penalizamos los errores futuros de modo que se observa que no hay error puesto que
antes de llegar a la muestra 40 se ha conseguido llevar la referencia a la salida. Con
respecto a las salidas del caso 3 y 5 podemos ver que si disminuimos el valor de α a
0.001 se obtiene un error en régimen permanente.
En la siguiente gráfica viene definida una nueva salida a rayas que hace
referencia a la salida del sistema para el siguiente caso hipotético en el cual se mantiene
todos los parámetros sin variar menos el coeficiente de ponderación del error:
CASO
1
6
7
8
9
10

N1
1
1
1
1
1
1

N2
40
40
40
40
40
40

Nu
1
1
1
1
1
1

αi
1
0.1
0.05
0.02
0.005
0.001

λi
0
0
0
0
0
0

10
9
8
6

7

1

Figura 3.1.10: Comparación entre las señales de salida al variar el factor ponderador α.
Tal y como se observa en la gráfica cada vez que disminuimos el valor de α
provocamos que la salida tarde más cada vez en llegar a la señal de referencia puesto
que cuando vamos aumentando (respectivamente, disminuyendo) el valor de α vamos
dándole más peso a la penalización de los errores futuros (respectivamente,
disminuyendo el valor de α somos más permisivos con el error futuro).
1-9



Estudio del efecto de los coeficientes de ponderación de esfuerzos de control λ.
Para los tres primeros casos en los cuales este parámetro es la unidad
penalizamos los errores futuros de modo que se observa que no hay error puesto que
antes de llegar a la muestra 40 se ha conseguido llevar la referencia a la salida. Con
respecto a las salidas del caso 3 y 5 podemos ver que si disminuimos el valor de α a
0.001 se obtiene un error en régimen permanente.
En la siguiente gráfica viene definida una nueva salida a rayas que hace
referencia a la salida del sistema para el siguiente caso hipotético en el cual se mantiene
todos los parámetros sin variar menos el coeficiente de ponderación del error:
CASO
1
6
7
8
9
10

N1
1
1
1
1
1
1

N2
40
40
40
40
40
40

Nu
1
1
1
1
1
1

αi
1
0.1
0.05
0.02
0.005
0.001

λi
0
0
0
0
0
0

10
9
8
6

7

1

Figura 3.1.11: Comparación de las señales de salida en cada caso.
Tal y como se observa en la gráfica cada vez que disminuimos el valor de α
provocamos que la salida tarde más cada vez en llegar a la señal de referencia puesto
que cuando vamos aumentando (respectivamente, disminuyendo) el valor de α vamos
dándole más peso a la penalización de los errores futuros (respectivamente,
disminuyendo el valor de α somos más permisivos con el error futuro).

1 - 10

Figura 3.1.12: Comparación de las señales de salida.

Figura 3.1.13: Comparación de las señales de acciones de control.



Ejercicio 2.
Dado el siguiente modelo,
G ( s) 

8.0000
0.0484 s  0.6600 s  9.0000
2

Se discretiza utilizando un periodo de 10 ms, obteniendo:
Ts=0.01;
Ac=[0.0484 0.66 9];
Bc=[8];
B=
0

0.0079

0.0075

A=
1.0000 -1.8552

0.8725

G( z 1 ) 

0.0079 z 1  0.0075z 2
1.0000  1.8552 z 1  0.8725z 2

Se va a calcular el controlador GPC para T(z-1)=1 , N1=1, N2=2, Nu=1, αi=1,
λi=0. La forma de obtenerlo con MatLab® es la siguiente:
T=[1];
param_gpc=[1, 10, 1, 1, 0, 0];
H=
3.0684
R=
0.5339
S=
83.3708 -142.0961 61.7938
TpRDelta =
1.0000 -0.4661 -0.5339

2-1



A continuación mostramos el resultado de simular el diagrama debroques para
este caso:

Figura 3.2.1: Salida y acción de control para T(z-1) = 1.
Vamos a suponer, según dice el enunciado, que el proceso no está identificado
correctamente y viene dado por:
G* ( s) 

7.3000e 0.0080s
0.0361s 2  0.545s  0.9400

Se va a simular ahora esta función de transferencia con el controlador calculado
anteriormente. Para ello se utiliza el siguiente esquema en simulink:

Figura 3.2.2: Esquema simulink con modelo continuo y retardo de transporte.
2-2



Ac=[0.0361 0.55 9.4];
Bc=[7.3];
B=
0

0.0096

0.0091

A=
1.0000 -1.8346

0.8587

[H, R, S, TpRDelta]=calcugpc(B, A, T, param_gpc)
H=
2.7306
R=
0.5301
S=
67.7175 -114.8949 49.9080
TpRDelta =
1.0000 -0.4699 -0.5301
Simulando obtenemos como resultado que el sistema es inestable:

Figura 3.2.3: Salida inestable al utilizar el sistema físico real para T(z-1) = 1.
2-3



Tal como se pide en el enunciado ahora diseñaremos un Controlador Predictivo
Generalizado, manteniendo los mismos parámetros de diseño, sin embargo, ahora
utilizaremos como polinomio filtro T(z-1) = 1 – 0.9z-1. Para obtener los polinomios
necesarios para la secuencia de acciones de control se implementa el siguiente código
en MatLab® y posteriormente se simula en simulink:
Ts=0.01;
B=[0 0.007889 0.007538];
A=[1 -1.855 0.8725];
param_gpc = [1 10 1 1 0 0];
T=[1 -0.9];
[H,R,S,TpRDelta]=calcugpc(B,A,T,param_gpc)
H=
3.0684
R=
1.0367
S=
19.6294 -35.1481 15.8256
TpRDelta =
1.0000 -0.8633 -0.1367

Figura 3.2.4: Salida y acción de control para T(z-1) = 1 – 0.9z-1.
2-4

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