Cours mef

2 967 vues

Publié le

0 commentaire
2 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
2 967
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
13
Actions
Partages
0
Téléchargements
163
Commentaires
0
J’aime
2
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Cours mef

  1. 1. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009C HAPITRE 1 : RAPPELS D ’ ÉLASTICITÉ LINÉAIREÀ l’intérieur d’un solide, on considère quatre champs de grandeurs mécaniques pour décrire sa sollici-tation interne : 2 champs vectoriels 2 champs tensoriels décrivant l’état global décrivant l’état local du solide chargé en un point du matériau solliciations (résistance) charges appliquées contraintes mécaniques (rigidité) (rigidité) état géométrique déplacements déformations Ì Calcul des structures = deux préoccupations : résistance, rigidité (on peut avoir une structure très résistante mais souple et inversement une structure très rigide mais peu résistante). Ì Champ scalaire : attribue un nombre réel à chaque point du domaine (ex. : champ de tempéra- ture) Ì Champ vectoriel : attribue un vecteur à chaque point (dont l’origine est le point considéré) (ex. : champ des déplacements, champ des vitesses) Ì Champ tensoriel : attribue un tenseur ou matrice à chaque point (ex. : champ des contraintes ou des déformations)1 ContraintesPour définir les forces intérieures (ou contraintes), on effectue une coupure fictive du milieu continu.Soit un milieu de volume Ω, scindé en deux parties notées 1 et 2, notons Σ la surface de la coupure etdS un petit élément de cette surface : − → ∂Ω − → T (P, − ) → n T t(P, − ) → n Ω 1111 0000 P −→ Σ 1111 0000 dF 1111 0000 − → P 1 1111 0000 dS n 2 − → T n(P, − ) → n − → nEn un point du matériau constituant le solide on cherche à caractériser le flux d’effort surfaciqueou la force de cohésion par unité de surface (N/m2 ) qui sollicite le solide. Cette notion est di-rectionnelle (dépend de la normale à la coupure). Afin d’éliminer cette dépendance, vis à vis de− , il suffit de passer d’une infinité de champs vectoriels en un point à un champ tensoriel représen-→n − →tant la sollicitation mécanique du matériau : tenseur des contraintes σ(P ) : T (P, − ) = σ(P ) − → n →n −→et dF = σ(P ) − dS. Le vecteur contrainte se décompose en une contrainte normale qui corres- →npond à une sollicitation de type traction-compression et une contrainte tangentielle (car tangentielleà la surface de coupure) qui correspond à une sollicitation de glissement, scission ou cisaillement :−→ − → − → T (P, − ) = T n (P, − ) + T t (P, − ). → n →n →n Ì Principe des actions mutuelles (actions-réaction) : σ(−− ) = −σ(− ). → n →n   σxx σxy σxz Ì Tenseur (ou matrice) des contraintes : σ = [σ] =  σyx σyy σyz . σzx σzy σzzJ.-M. CROS, Z.-Q. FENG 1
  2. 2. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009 Ì Symétrie du tenseur des contraintes : réciprocité des contraintes tangentielles (σij = σji ; i, j = x, y, z, on le démontre en écrivant l’équilibre en rotation). Ì Sous forme vectorielle (6 composantes) : < σ >=< σxx σyy σzz σxy σxz σyz > Ì Contraintes principales : il existe un repère principal, noté (X1 , X2 , X3 ), dans lequel la matrice du tenseur des contraintes est diagonale :   σ1 0 0 [σ] =  0 σ2  0 0 σ3 X1 ,X2 ,X3 Les contraintes σ1 , σ2 et σ3 sont appelées contraintes normales principales. Ce sont les valeurs propres du tenseur des contraintes σ au point P . Convention : σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 . Ì Invariants du tenseur des contraintes : • Invariant linéaire : I1 = trace(σ) = σkk = σxx + σyy + σzz = σ1 + σ2 + σ3 . 1 • Invariant quadratique : I2 = (trace(σ))2 − trace(σ 2 ) = σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1 2 2 2 2 = σxx σyy + σyy σzz + σzz σxx − σxy − σyz − σzx . • Invariant cubique : I3 = det(σ) = σ1 σ2 σ3 2 2 2 = σxx σyy σzz + 2σxy σyz σzx − σzz σxy − σxx σyz − σyy σzx . Ì Décomposition du tenseur des contraintes : σ s (sphérique) + σ d (déviateur) : σ = σ s + σ d s • tenseur sphérique : σij = σh δij avec σh contrainte hydrostatique et δij = 1 si i = j et s 1 1 δij = 0 si i = j (symbole de Kronecker). Ou encore σij = σkk δij = trace(σ) δij . 3 3 • tenseur déviateur : σ d = σ − 1 trace(σ) I ⇒ σij = σij − σij ou [σ d ] = [σ] − σh [I] avec trace([σ d ]) = 0. 3 d s Ì Invariants du déviateur des contraintes : P (λd ) = det([σ d ] − λd [I]) = 0 où P (λd ) = −λ3 + J2 λd + J3 = 0 d • J1 = trace([σ d ]) = 0. 1 • J2 = (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 6 1 = (σxx − σyy )2 + (σyy − σzz )2 + (σzz − σxx )2 + 6 σxy + σyz + σzx 2 2 2 . 6 • J3 = det([σ d ]) = det([σ] − σh [I]). Ì Contrainte équivalente au sens de Tresca : τtr = max |σi − σj | . i,j Ì Contrainte équivalente au sens de von Mises : σeq = 3 J2 .2 DéformationsOn se place dans le cadre de l’hypothèse des petits déplacements. Les déplacements restentpetits vis à vis de la taille du solide étudié et donc les déformations seront également petites (on parlealors d’hypothèse des petites pertubations d’où l’abréviation de HPP). La géométrie globale deréférence de la structure restera la géométrie initiale non chargée.J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 2
  3. 3. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009 Ì La rigidité du système provient d’une part du matériau et d’autre part de la géométrie du prob- lème (solide et chargement). Ainsi, dans le cadre de l’hypothèse des petits déplacements et en supposant un comportement linéaire pour le matériau (déformations proportionnelles aux contraintes), la rigidité reste constante. Ì Attention : l’hypothèse des petites déformations n’implique par forcément des petits déplace- ments. En effet, on peut avoir des grands déplacements et des petites déformations : le matériau reste linéaire dans son comportement mais le problème devient non-linéaire par sa géométrie globale. Ì Tenseur (ou matrice) linéarisé des déformations :   1 1 ∂ui ∂uj εxx εxy εxz − → − → ε= (grad U + (grad U )T ) ⇒ εij = ( + ) ⇒ [ε] =  εyx εyy εyz . 2 2 ∂xj ∂xi εzx εzy εzz   − →  ux  Si U = uy alors εxx = ux,x ; εyy = uy,y ; εzz = uz,z   uz 1 1 1 et εxy = (ux,y + uy,x ); εxz = (ux,z + uz,x ); εyz = (uy,z + uz,y ). 2 2 2 Ì Sous forme vectorielle (6 composantes) : < ε >=< εxx εyy εzz 2 εxy 2 εyz 2 εzx >, ou < ε >=< εxx εyy εzz γxy γyz γzx > avec les cisaillements γij tels que γij = 2 εij .3 Matériau Ì Homogénéité : les propriétés mécaniques intrinsèques au matériau constituant le solide étudié sont indépendantes du point P que l’on considère. Ì Isotropie : les propriétés mécaniques intrinsèques au matériau en un point P sont indépen- dantes de la direction selon laquelle on les observe. Ì Élasticité : lorsque l’on décharge le matériau il revient à son état initial (notion thermodynamique de réversibilité). Ì Linéarité : les déformations sont proportionnelles aux contraintes : la rigidité du matériau est constante. déformation déformation déformation déformation décharge décharge décharge décharge charge charge charge charge chargement chargement chargement chargement élastique élastique non−élastique non−élastique linéaire et non−linéaire et linéaire et non−linéaireOn dit qu’un milieu solide est linéaire, s’il existe un opérateur linéaire qui relie les contraintes et lesdéformations σ = d : ε ou encore σij = dijkl εlk i, j, k, l = 1, 2, 3 où d est un tenseur duquatrième ordre encore appelé opérateur d’élasticité, ":" représente le produit doublement contractéentre les tenseurs. L’opérateur d’élasticité est symétrique (dijkl = dklij ) et défini positif, de plus laJ.-M. CROS, Z.-Q. FENG 3
  4. 4. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009symétrie des tenseurs des contraintes et des déformations (dijkl = djikl et dijkl = djilk ) permet deréduire le nombre des coefficients d’élasticité (on passe de 34 = 81 à 21 coefficients). En utilisant,la notation vectorielle, la loi d’élasticité s’écrit {σ} = [D] {ε} où [D] est la matrice d’élasticité quidépend du matériau.3.1 Matériau anisotropeLe matériau est dit anisotrope si ses propriétés varient en fonction du point P dans Ω. Dans ce cas lamatrice d’élasticité possède 21 coefficients indépendants.3.2 Matériau orthotropeLe matériau est dit orthotrope s’il possède deux plans de symétrie perpendiculaires. Dans ce cas, lamatrice d’élasticité (écrire l’invariance des coefficients d’élasticité par rapport à ces plans) ne possèdeque 9 coefficients indépendants et s’écrit :   d11 d12 d13 0 0 0  d12 d22 d23 0 0 0     d13 d23 d33 0 0 0  [D] =  0   0 0 d44 0 0   0 0 0 0 d55 0  0 0 0 0 0 d663.3 Matériau isotropeUn matériau est dit isotrope si ses propriétés sont identiques dans les trois directions de l’espace. Dansce cas, par rapport au matériau orthotrope et en introduisant les coefficients de Lamé, il ne reste quedeux coefficients indépendants :   λ + 2µ λ λ 0 0 0  λ λ + 2µ λ 0 0 0     λ λ λ + 2µ 0 0 0  [D] =     0 0 0 µ 0 0    0 0 0 0 µ 0  0 0 0 0 0 µCette loi de comportement, dite loi de Hooke, peut se formuler comme suit : σ = λ trace(ε) I + 2µ ε ou encore σij = λ εkk δij + 2µ εijEn inversant la loi de comportement, ce qui est possible car la loi d’élasticité est définie positive, onobtient les relations entre déformations et contraintes (loi de souplesse) : 1 λ trace(σ) 1 λ σkk ε= σ− I ou encore εij = σij − δij 2µ 2µ(3λ + 2µ) 2µ 2µ(3λ + 2µ)qui s’écrivent également en fonction du module de Young (E) et du coefficient de Poisson (ν) : 1+ν ν 1+ν ν ε= σ− trace(σ) I ou encore εij = σij − σkk δij E E E ED’où les relations entre les couples de coefficients (λ, µ) et (E, ν) : (3λ + 2µ) λ νE E E=µ , ν= , λ= , µ= . λ+µ 2 (λ + µ) (1 − 2ν)(1 + ν) 2 (1 + ν)J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 4
  5. 5. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009On peut alors établir la loi d’élasticité en fonction du module de Young et du coefficient de Poisson : νE E σ= trace(ε) I + ε. (1 − 2ν)(1 + ν) (1 + ν)Comme l’opérateur d’élasticité est défini positif cela entraîne des conditions sur les coefficients : 1 3λ + 2µ > 0, µ > 0, E > 0, −1 < ν < . 2On introduit aussi l’inverse de l’opérateur d’élasticité (opérateur de flexibilité) soit c = d−1 que l’on peutaussi écrire sous forme matricielle C = D −1 , alors {ε} = C {σ}. Finalement, on a :     1 b b 0 0 0 1 −ν −ν 0 0 0  b 1 b 0 0 0   −ν 1 −ν 0 0 0      E(1 − ν)  b b 1 0 0 0  1  −ν −ν 1 0 0 0  [D] =   , [C] =   (1 + ν)(1 − 2ν)  0 0 0 c 0 0    E 0  0 0 d 0 0    0 0 0 0 c 0   0 0 0 0 d 0  0 0 0 0 0 c 0 0 0 0 0 d ν 1 − 2νavec b = ; c= ; d = 2(1 + ν) . 1−ν 2(1 − ν)3.4 Interprétations des coefficients d’élasticité3.4.1 État de contraintes et de déformations sphériques      σxx = σ     εxx = ε         σyy = σ     εyy = ε            σ 0 0 ε 0 0      0 σ 0  et ε =  0 ε 0  ou {σ} = σzz = σ εzz = ε On a σ = , {ε} =  σxy = 0     2 εxy = 0    0 0 σ 0 0 ε  σyz = 0     2 εyz = 0                σzx = 0 2 εzx = 0       σ    λ + 2µ λ λ 0 0 0  ε     σ            λ λ + 2µ λ 0 0 0  ε           σ  λ λ λ + 2µ 0 0 0   ε En utilisant la loi d’élasticité : =  0   0     0 0 0 µ 0 0    0           0 0 0 0 µ 0  0          0 0 0 0 0 0 µ 0 (3λ + 2µ)on obtient une relation entre les deux scalaires σ et ε : σ = (3λ+2µ) ε = 3K ε, où K = 3est le module de rigidité à la dilatation uniforme (cas de la dilatation d’une sphère sous pression).3.4.2 État de cisaillement simple      0     0          0     0           0 σxy 0 0 εxy 0      σxy 0 0  et ε =  εxy 0  ou {σ} = 0 0 On a σ = 0 , {ε} =  σxy     2 εxy    0 0 0 0 0 0   0     0               0 0J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 5
  6. 6. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009En utilisant la loi d’élasticité, il vient : σxy = 2µ εxy = µ γxy où µ = G est appelé module de rigiditéau glissement (ou au cisaillement). Le glissement défini par γxy = 2εxy représente la variation d’angledroit. γxy y y x x3.4.3 État de contrainte uniaxial (suivant x)On considère un tenseur des contraintes uniaxial et l’on déduit alors le tenseur des déformations parla loi de souplesse :     σxx 0 0 1+ν ν 1 σxx 0 σ =  0 0 0  ⇒ εij = σij − σkk δij ⇒ ε =  0 −ν σxx 0  0 0 0 E E E 0 0 −ν σxx loi de souplesse σxx −ν σxxsoit : εxx = et εyy = εzz = . Le module de Young E est le module de rigidité à E El’allongement en traction simple. (1 − νεxx) L(1 + εxx) L4 Thermomécanique : contraintes initiales et dilatations thermiqueLes contraintes totales en chaque point peuvent résulter de différents effets : {σ} = {σe } + {σ0 } + {σth } + . . .où {σe } = [D]{εe } correspond aux contraintes élastiques, {σ0 } correspond aux contraintes résidu-elles auto-équilibrées, dues à l’histoire du solide (procédé de fabrication) et {σth } = −[D]{εth }correspond aux contraintes d’origines thermiques. Ì Matériau isotrope : {εth } =< α∆t α∆t α∆t 0 0 0 >T où α est le coefficient de dilation et ∆ = T − T0 avec T température imposée et T0 température ambiante. Eα∆T Ainsi {σth }3d = − < 1 1 1 0 0 0 >T . 1 − 2ν Eα∆T En 2D : {σth }2d = − < 1 1 0 >T , où b = 1 en CP, b = 2 en DP. 1 − bν Ì Matériau orthotrope : {εth } =< αx ∆t αy ∆t αz ∆t 0 0 0 >T Ì Loi de Hooke généralisée : {σ} = [D]{εe } + {σ0 } + {σth } = [D]({εe } − {εth }) + {σ0 }, et {εe } = [C]({σ} − {σ0 }) + {εth }. 1 Ì Énergie de déformation : U = < ε > [D]{ε}+ < ε > ({σ0 } + {σth }) dV V 2J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 6
  7. 7. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 20095 Déformations planesSoit un solide de longueur importante suivant z et supposé bloqué dans cette direction. Les com-posantes des déformations suivant l’axe z sont nulles : εxz = εyz = εzz = 0 , alors en utilisant la loide comportement, on peut déterminer les composantes du tenseur des contraintes :     εxx εxy 0 σxx σxy 0 ε =  εyx εyy 0  ⇒ σij = λ εkk δij + 2µ εij ⇒  σxy σyy 0  avec σzz = ν (σxx + σyy ) 0 0 0 0 0 σzz loi d’élasticitéSous forme vectorielle, on ne conserve que trois termes puisque le quatrième σzz n’intervient pas dansle calcul des efforts intérieurs, soit :      1−ν ν 0  σxx  E  εxx   ν 1−ν 0  {σ} = D{ε} ⇔ σyy =  ε   (1 + ν)(1 − 2ν) 1 − 2ν   yy  σxy 0 0 2 εxy 26 Contraintes planesSoit une plaque mince d’épaisseur t dont la surface moyenne est situé dans le plan x, y et qui n’admetde charges que dans son plan (les plans normaux à l’axe z ne sont pas chargés). La formule deCauchy implique : σxz = σyz = σzz = 0 , alors en utilisant la loi de comportement, écrite en termede souplesse :     σxx σxy 0 1+ν ν εxx εxy 0 −ν (σxx + σyy )σ =  σxy σyy 0  ⇒ εij = σij − σkk δij ⇒  εyx εyy 0  avec εzz = 0 0 0 E E 0 0 εzz E loi de souplesseSous forme vectorielle, on ne conserve que trois termes puisque le quatrième εzz n’intervient pas dansle calcul des efforts intérieurs, soit :      1 ν 0  σxx  E  ν 1  εxx  0  {σ} = D{ε} ⇔ σyy =  ε   1 − ν2 1 − ν   yy  σxy 0 0 2 εxy 27 Équations d’équilibre- Problème posé sur Ω,- ∂Ω = ∂ΩF ∂ΩU et ∂ΩF ∂ΩU = ∅, ∂ΩF- Conditions aux limites sur ∂Ω : déplacements etefforts donnés : Relations sur ∂ΩF : P (X, ρ, fv , σ(P )) − → −. →force surfacique : t = σ(P ) n − → Relations sur ∂ΩU : − = U d . → u ∂ΩU Ω- Relations déformations-déplacements.- Loi de comportement (contraintes-déformations).Plusieurs méthodes permettent d’écrire les équations d’équilibre (locale) d’un milieu, on choisit la plus"physique". On isole un petit cube de matière de dimensions dx, dy, dz autour de P , et on fait le bilandes actions extérieures. Pour plus de clarté, on représente les actions sur les 6 faces du cube sur deuxfigures qui représentent le même cube :J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 7
  8. 8. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009 ∂σyy σyy + dy ∂y ∂σzy ∂σxy dz σzy + dy σxy + dy ∂y ∂y ∂σyx σyx + dx σxz ∂x σzz ∂σyz ∂σxx σxx σyz + dz ∂σxz σxx + dx σzx σyz σxz + dz ∂x dy ∂z ∂z ∂σzx σyx σzx + dx ∂σzz ∂x σxy σzz + dz σzy ∂z y σyy x z dxOn commence par écrire l’équilibre du cube en projection sur x, la figure ci-après recense l’ensembledes actions agissant dans cette direction : ∂σxy σxy + dy σxz ∂y ∂σxx σxx σxx + dx ∂x ∂σxz σxz + dz ∂z fx σxyL’équation du mouvement (avec fx force volumique, ρ masse volumique du matériau et ux l’accélération ¨selon la direction x) s’écrit alors : ∂σxx ∂σxy (σxx + dx − σxx )dydz + (σxy + dy − σxy )dxdz ∂x ∂y ∂σxz + (σxz + dz − σxz )dxdy + fx dxdydz = ρ¨x dxdydz u ∂zd’où après simplification : ∂σxx ∂σxy ∂σxz + + + fx = ρ ux ⇒ σxx,x + σxy,y + σxz,z + fx = ρ ux ¨ ¨ ∂x ∂y ∂zDe manière analogue, on obtient les équations du mouvement suivant les autres directions :   ∂σxx  ∂σxy ∂σxz   ∂x + + + fx = ρ ux ⇒ σxx,x + σxy,y + σxz,z + fx = ρ ux ¨ ¨   ∂y ∂z  ∂σ ∂σyy ∂σyz yx + + + fy = ρ uy ⇒ σyx,x + σyy,y + σyz,z + fx = ρ uy ¨ ¨  ∂x  ∂y ∂z  ∂σ  ∂σzy ∂σzz   zx  + + + fz = ρ uz ⇒ σzx,x + σzy,y + σzz,z + fz = ρ uz ¨ ¨ ∂x ∂y ∂zque l’on peut écrire sous forme vectorielle (avec − = u − + u − + u − ) et indicielle : → γ ¨ → ¨ → ¨ → x y z x y z −→ − → div σ + f = ρ − , → γ σij,j + fi = ρ ui ¨Finalement, un problème comprend 15 inconnues (6 contraintes, 6 déformations et 3 déplacements)que l’on obtient via 15 équations (3 équations d’équilibre, 6 relations déformations-déplacements et 6relations contraintes-déformations).J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 8
  9. 9. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009C HAPITRE 2 : MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINISObjectif : dimensionner une structure (avion, pont, pièce d’un assemblage).Deux approches complémentaires (recalage - corrélation) et/ou indépendantes (maquette numérique- certification) : essais - calculs. Ì Essais : Conditions de l’essai ? Que mesure-t-on ? Interprétation des résultats ? Échelle de la structure (maquette réduite ou à l’échelle) ? ... Ì Calculs : solution analytique, numérique ? précision ? erreur d’arrondi ? erreurs de discrétisation ? ...Problématique commune : MODÉLISATION (art de l’ingénieur) ⇒ Hypothèses : Ì Quel est ou quels sont les phénomènes prépondérants ? • mécanique, thermique, électro-magnétisme, couplage fluide-structure, ... ? • statique, dynamique, ... ? • linéaire, non-linéaire, ... ? • chargement (pesanteur, ...) ? • frottement ? Ì Peut-on simplifier ? Si oui comment (3d, 2d, 1d, ...) ?Mise en équations :⇒ RdM (géométries particulières, solution analytique)⇒ Mécanique des Milieux Continus,... ⇒ équations différentielles : solution analytique pour lesgéométries simples sinon solution numérique (discrétisation spatiale et éventuellement temporelle)Méthodes d’approximation :Pour discrétiser des modèles physiques complexes, on dispose de plusieurs méthodes d’approximation.Ces méthodes remplace le modèle mathématique défini sur un milieu continu (équations différentiellesou intégrales) par un problème mathématique discret (équations matricielles) que l’on sait résoudrenumériquement.1 Principe de la Méthode des résidus pondérésSoit un problème physique dont l’inconnue est le champ scalaire u(P ) défini sur un domaine d’étudeΩ. On cherche la solution du modèle mathématique défini par des équations locales sur Ω et desconditions sur ∂Ω la frontière du domaine Ω. Ces équations forment le système d’équations différen-tielles : L(u) = f ∀P ∈ Ω (équation locale) C(u) = e ∀P ∈ ∂Ω (conditions aux limites)Le résidu (noté R) est l’erreur commise lorsque l’on utilise une approximation (notée u) pour le champ ˜u. R(˜) = L(˜) − f u u ∀P ∈ ΩJ.-M. CROS, Z.-Q. FENG 9
  10. 10. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009La méthode des résidus pondérés consiste à annuler l’erreur commise sur le résidu, en la pondérantsur le domaine par un nombre fini de fonctions de pondération ou fonctions tests φi , soit : Wf = φi R(˜) dΩ = u φi L(˜) − f u dΩ = 0 ∀φi Ω ΩRemarque : au lieu de résoudre R(u) = 0, on considère le problème équivalent Ω φ R(u) dΩ = 0.Comme on ne sait pas résoudre analytiquement ce problème, on en cherche une approximation enrestreignant le nombre de fonctions de pondération φ.Si on construit une approximation u à n paramètres, cela signifie qu’il faut choisir n fonctions de ˜pondération afin d’obtenir autant d’équations intégrales que de paramètres, c’est-à-dire un systèmematriciel d’ordre n. L’approximation de u est construite de la façon suivante : ˜ n u= ˜ Ni qi = [N ]{q}, i=1où Ni sont les fonctions de forme ou d’interpolation et les qi les paramètres (inconnues que l’oncherche) de l’approximation. Ainsi, les n équations s’écrivent : φi R [N ]{q} dΩ = 0 ∀i ∈ [1, n] ΩEn ce qui concerne le choix des fonctions de pondération, on se limite à la méthode de Galerkin. Cetteméthode consiste à prendre comme fonction de pondération les fonctions de forme. L’inconvénientde la méthode réside dans le calcul de l’intégrale sur le domaine, par contre si les opérateurs sontsymétriques, les matrices le sont également.C HAPITRE 2 B : NOTIONS FONDAMENTALES ( INGRÉDIENTS )1 Méthode des résidus pondérésLa méthode des résidus pondérés consiste à approcher partiellement l’annulation du résidu d’uneéquation différentielle pour trouver une solution discrète approximative. Illustrons le concept par l’exem-ple qui suit. Soit l’équation différentielle : du(x) = −u(x), dans l’intervalle : 0 ≤ x ≤ 1 (domaine d’étude), (1) dxavec la condition aux limites suivante : u(x = 0) = 1.La solution exacte s’écrit : uex = e−x .On cherche maintenant une solution approchée, sous la forme d’un polynôme de la forme : u = C1 + C2 x + C3 x2Cette solution approchée doit satisfaire la condition aux limites : u(x = 0) = 1, on en déduit queC1 = 1. Il reste à trouver C2 et C3 . Pour cela, on propose un critère que permettra d’ajuster cescoefficients à la solution exacte. On considère alors le résidu (noté R) que l’on obtient à partir de (1) : du R= +u=0 dxJ.-M. CROS, Z.-Q. FENG 10
  11. 11. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009 duSi u est la solution exacte alors R = 0. Remplaçons u par la solution approchée (comme = dxC2 + 2 C3 x) : du R= + u = C2 + 2 C3 x + 1 + C2 x + C3 x2 = 1 + C2 (1 + x) + C3 (2 x + x2 ) = 0 dxL’objectif de d’essayer de rendre ce résidu nul par un moyen quelconque. Les moyens les plus utiliséssont : méthode des moindres carrés, méthode de Galerkin, méthode de collocation par points,...1.1 Méthode de GalerkinPrincipe : on considère que les moyennes pondérées du résidu sur l’ensemble du domaines’annulent. Les pondérations sont choisies parmi les fonctions qui ont servi à construire la solu-tion approchée.Pour notre exemple, cela revient à calculer les quantités suivantes : 1 x R dx = 0 (pondération : x, domaine : [0; 1], moyenne : intégrale), 0 1 x2 R dx = 0 (pondération : x2 , domaine : [0; 1], moyenne : intégrale). 0 1 1 soit x R dx = x 1 + C2 (1 + x) + C3 (2 x + x2 ) dx 0 0 1 1 5 11 = x + C2 (x + x2 ) + C3 (2 x2 + x3 ) dx = + C2 + C3 =0 0 2 6 12 1 1 2 et x R dx = x2 1 + C2 (1 + x) + C3 (2 x + x2 ) dx 0 0 1 1 7 14 = x2 + C2 (x2 + x3 ) + C3 (2 x3 + x4 ) dx = + C2 + C3 =0 0 3 12 20On obtient un système linéaire de deux équations à deux inconnues C2 et C3 .   1 + C 5 + C 11 = 0    2 2 3 6 12  1   + C 7 + C 14 = 0  2 3 3 12 20 32 2La résolution de ce système permet d’obtenir les coefficients : C2 = − et C3 = . Finalement, la 35 7 32 2solution approchée s’écrit : u = 1 − x+ x2 . 35 72 Approximation nodaleDans l’exemple précédent, les coefficients indéterminés Ci n’ont pas de signification physique,il serait intéressant d’exprimer ces coefficients en fonction de valeurs discrètes de la fonction solution.Prenons une solution approchée : u = C1 + C2 x + C3 x2J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 11
  12. 12. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009et exprimons les solutions discrètes (notées u1 , u2 et u3 ) aux points x = 0, 1/2 et 1, afin d’obtenirune relation entre les Ci et les ui :   u1 = u(0) = C1 + C2 × 0 + C3 × 0 u2 = u(1/2) = C1 + C2 × 1/2 + C3 × 1/4  u3 = u(1) = C1 + C2 × 1 + C3 × 1que l’on peut mettre sous forme matricielle :        u1  1 0 0  C1   { } vecteur colonne n × 1, u2 =  1 1/2 1/4  C2 notations : [ ] matrice n × n, (2)      u3 1 1 1 C3 < > vecteur ligne 1 × n. {un } [X] {Cn }On peut alors écrire les coefficients Ci en fonction des ui , en effet :   −1 −1 1 t 1 0 0 Cn = X un avec X = co-facteur X =  −3 4 −1  detX 2 −4 2Comme la solution approchée peut également s’écrire sous la forme suivante :    C1 u(x) = C1 + C2 x + C3 x2 = < 1 x x2 > C2   P (x) C3    −1 1 0 0  u1  = < P (x) > Cn = < P (x) > X un = < 1 x x2 > −3 4 −1  u2   2 −4 2 u3    u1  u(x) = < 1 − 3 x + 2 x2 4 x − 4 x2 − x + 2 x2 > u2 = < N (x) > un   N (x) u3 = (1 − 3 x + 2 x ) u1 + (4 x − 4 x2 ) u2 + (−x + 2 x2 ) u3 . 2On peut vérifier au passage que : u(x = 0) = u1 , u(x = 1/2) = u2 et u(x = 1) = u3 .Les coefficients (u1 , u2 et u3 pour l’instant inconnus) intervenants dans la solution approchée ont,maintenant, une signification physique.3 Approximation d’une fonction par morceauxLa technique développée précédemment n’est pastrès pratique. Si le domaine d’étude est complexe u(surface, volume, ...), la solution approchée étantcherchée sous la forme d’un polynôme son de-gré deviendra très élevé. En effet, la solution ap-prochée est définie sur l’ensemble du domaine.Pour contourner cette difficulté, on peut chercherà approximer la solution exacte (notée uex ) parsous-domaines de telle sorte que l’erreur entrela fonction exacte et la fonction approchée (ou xd’approximation) soit suffisamment petite. xi xi+1J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 12
  13. 13. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009En généralisant, nous pouvons concevoir qu’une surface peut être approximée par des facettes parexemple. Le choix de la fonction approchée ne se limite pas nécessairement à des fonctions linéaires.Cependant, nous nous limiterons ici à des fonctions polynomiales de degré n. Comme le montre lafigure, une fonction quelconque peut être approchée par une série de fonctions linéaires sur un certainnombre de sous intervalles. Afin de réduire l’erreur e(x), il convient de choisir un critère quelconque,ce qui nous permettra de déterminer les coefficients C1 , C2 , . . . ,Cn . En se référant à la figure, nouspouvons choisir le critère qui consiste à spécifier que l’erreur e(x) s’annule pour les abscissesxi . La fonction exacte, uex , est approximée par des fonctions linéaires (par exemple) de la forme : u(x) = C1 + C2 x pour xi < x < xi+1 avec i = 1, net vérifient uex (xi ) = u(xi ), uex (xi+1 ) = u(xi+1 ), soit uex (xi ) = C1 + C2 xi et uex (xi+1 ) =C1 + C2 xi+1 que l’on peut mettre sous forme matricielle : −1 uex (xi ) 1 xi C1 C1 1 xi uex (xi ) = alors = (3) uex (xi+1 ) 1 xi+1 C2 C2 1 xi+1 uex (xi+1 )Les limites xi et xi+1 du sous intervalle ainsi que les valeurs de la fonction exacte correspondant à ceslimites étant connues, il est aisé d’obtenir les valeurs des paramètres indéterminés Cn . Ce concept segénéralise pour toutes fonctions polynomiales de degré n−1. Sous forme matricielle à une dimension,ces fonctions peuvent avoir la forme suivante :    C1     C2        2 u(x) = < 1 x x . . . x n−1 > C3 =< P (x) > Cn (4)  .   .  P (x)  .     C    nLe vecteur ligne < P (x) > est appelé la base polynomiale et le vecteur colonne {Cn } constituel’ensemble des paramètres indéterminés. Ainsi, d’une manière générale, le système matriciel (3) s’écritcomme suit :        uex (xi )   < 1 x . . . xn−1 >i  C1     uex (xi+1 )     < 1 x . . . xn−1 >i+1   C2    −1   . . = . .  . ⇒ Cn = X un (5)   .    .  .   .    u (x     ex i+n−1 ) < 1 x . . . xn−1 >i+n−1  Cn  [X]Les coefficients Ci n’ayant pas de signification physique, on utilise les résultats du paragraphe précé-dent. En combinant (4) et (5), on obtient : −1 u(x) =< P (x) > Cn =< P (x) > X un =< N (x) > un (6)qui est une forme approchée de uex en fonction de valeurs discrètes de cette dernière. Ce résultatest fondamental car, que la fonction uex (x) soit connue ou non, il est toujours possible de l’approximerpar une fonction de valeurs discrètes connues ou non. Si la fonction uex est inconnue nous avonsici un outil qui nous permet de la remplacer en approximant par une forme où seules des valeursdiscrètes de la fonction sont inconnues. Il s’agit là d’un processus de discrétisation largementutilisé dans la méthode des éléments finis. La fonction (6) est appelée fonction d’approximationou d’interpolation définissant une approximation nodale.J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 13
  14. 14. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 20093.1 ExempleAppliquons l’approximation nodale au système (3) : −1 uex (x1 ) 1 x1 C1 C1 1 x1 u1 = ⇒ = uex (x2 ) 1 x2 C2 C2 1 x2 u2L’inversion de la matrice donne : −1 1 x1 1 x2 −x1 = 1 x2 x2 − x1 −1 1En utilisant la relation (6), il vient alors : −1 1 x2 −x1 u1 u(x)= < P (x) > X un =< 1 x > (7) x2 − x1 −1 1 u2 x2 − x x − x1 u1 u1 =< > =< N1 (x) N2 (x) > =< N (x) > un (8) x2 − x1 x2 − x1 u2 u24 Définitions et propriétésOn définit alors comme noeuds les positions xi et comme élément le sous intervalle auquel ellesappartiennent. Les valeurs de u associées à un noeud sont les valeurs nodales, on parle aussi dedegrés de liberté : en 3d, par exemple, on peut avoir pour chaque nœud, trois degrés de liberté : ux ,uy et uz ou pour un élément de poutre en chaque nœud 6 degrés de liberté : 3 déplacements ux , uy ,uz et 3 rotations rx , ry et rz .4.1 Propriétés de l’approximation nodaleÀ la lumière de l’exemple proposé ici, nous constatons que : 0 si i = j Nj (xi ) = (9) 1 si i = jEn effet, par définition du critère nous permettant d’évaluer les paramètres indéterminés, nous avonsimposé que la valeur de la fonction exacte et de la fonction approchée devait coïncider aux noeuds. Eneffet, si nous reprenons l’expression (8), évaluons uex (x) en x = x1 : u1 uex (x1 ) =< N1 (x1 ) N2 (x1 ) > = N1 (x1 ) u1 + N2 (x1 ) u2 = u1 u2Pour vérifier cette relation, on doit avoir N2 (x1 ) = 0 et N1 (x1 ) = 1, c’est-à-dire : x2 − x1 x1 − x1 u1 u1 u(x1 ) =< > =< 1 0 > = u1 x2 − x1 x2 − x1 u2 u2Les conditions (9) permet d’avoir des conditions pour déterminer les coefficients des polynômes d’in-terpolations. Exemple d’un polynôme du second degré (interpolation quadratique) de la forme N (x) =a x2 + b x + c, l’élément est composé de trois nœuds (abscisses : x1 , x2 et x3 ) alors pour déterminerles coefficients du polynôme N2 (x), on a les conditions suivantes :N2 (x1 ) = a x2 + b x1 + c = 0, N2 (x2 ) = a x2 + b x2 + c = 1, N2 (x3 ) = a x2 + b x3 + c = 0, 1 2 3J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 14
  15. 15. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009soit un système de trois équations à trois inconnues (a, b et c).On peut également utiliser les polynômes de Lagrange pour déterminer les polynômes d’interpolationNi (x) : n x − xj Ni (x) = j=1 xi − xj j=iAppliquons cette définition pour un élément à deux nœuds (interpolation linéaire) : x − x2 x − x1 N1 (x) = et N2 (x) = , on retrouve les expressions (8). x1 − x2 x2 − x14.2 Dérivées de la fonction d’interpolationDans le cas que nous considérons ici, c’est-à-dire l’emploi de fonctions d’interpolation polynomiales dedegré n − 1, il est évident que seules les dérivées jusqu’à l’ordre n − 1 existent. Ceci est extrêmementimportant en ce qui concerne le choix du degré d’une fonction d’interpolation en fonction de l’ordre del’équation différentielle. Par exemple, une fonction d’interpolation linéaire (de degré 1) ne pourra pasêtre directement utilisée pour approximer une dérivée de seconde puisque sa dérivée d’ordre 2 estnulle. Si u(x) =< N (x) > un alors : du(x) d dN (x) = < N (x) > un =< > un dx dx dxcar seule la fonction d’interpolation dépend de x.C HAPITRE 2 C : MISE EN ŒUVRE DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS1 Exemple d’application en mécaniqueSoit une barre de section constante A et de longueur Psollicitée par un flux de traction P (N/m). La barre a un xcomportement élastique linéaire (module d’Young E).On cherche le champ de déplacement u, de déformationε et de contraintes σ en tous points de la barre. A(x) A(x + dx)La mise en équation s’obtienten écrivant l’équilibre des dN (x)forces d’un segment élémen- N (x) P (x) dx N (x + dx) = N (x) + dx dxtaire de barre de longueur dx, u(0) u( )situé à une distance x du bord ou ou0: N (0) N( ) dN dxN+ dx − N + P dx = 0 dx duL’effort intérieur axial N peut, par application de la loi de Hooke (σx = E εx = E ), être ex- dx duprimé en fonction du déplacement u par : N (x) = A σx = EAεx = EA . L’équation d’équilibre de dxJ.-M. CROS, Z.-Q. FENG 15
  16. 16. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009la barre (une dimension) et conditions aux limites (formulées en déplacement, c’est-à-dire en fonctionde u) s’écrit finalement :   d2 u   EA 2 + P = 0, 0<x< ,  dx du (10)  N (x = ) =  =0 en x = ,   dx x= u = 0, en x = 0.1.1 Solution analytique PEn intégrant deux fois, on obtient l’expression du déplacement : u = − x2 + Cx + D. 2EALes constantes d’intégration sont déterminées parles conditions aux limites : 1 Contrainte (P=A=L=1) u(x = 0) = 0, alors D = 0, Déplacement (P=A=E=L=1) N (x = ) = 0, soit encore εx (x = ) = 0, 0.8 du Pd’où (x = ) = 0 donc C = . 0.6 dx EA 0.4 P P u(x) = − x2 + x, 2EA EA 0.2 du P P εx (x) = =− x+ , dx EA EA P P 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 σx (x) = E εx (x) = − x + . A A1.2 Solution approchée par la méthode des éléments finis 1. Formulation intégrale globale : On forme le résidu R à partir de l’équation d’équilibre (10), on multiplie par la fonction de pondéra- tion φ, qui satisfait les conditions aux limites en déplacement et on intègre sur le domaine d’étude (intervale [0; ]), la section de la barre est constante : d2 u ˜ φ (EA + P ) dx = 0 ∀φ. (11) 0 dx2 2. Formulation intégrale faible : Intégration par parties du premier membre de l’intégrale figurant dans l’équation (11) soit : d2 u ˜ d˜ u dφ d˜ u (φ ) dx = φ − ( ) dx (rappel : (uv) = u v + uv ). 0 dx2 dx 0 0 dx dx d˜ u En utilisant les conditions aux limites ( = 0 et u(x = 0) = 0) il reste : ˜ dx (x= ) d2 u ˜ dφ d˜ u (φ 2 ) dx = − ( ) dx. 0 dx 0 dx dx En remplaçant dans (11), il vient : dφ d˜ u − (EA ) dx + P φ dx = 0 ∀φ. (12) 0 dx dx 0J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 16
  17. 17. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009 3. Discrétisation : Méthode de Galerkin (la fonction test est prise comme égale à la variation du déplacement : φ = δu). Le domaine d’étude est discrétisé à l’aide d’un élément de barre à deux nœuds de longueur . C’est-à-dire que le déplacement dans l’élément est interpolé à l’aide du déplacement des deux extrémités de la barre. L’interpolation est linéaire, de sorte que l’on peut écrire pour un élément de barre (nœuds 1 et 2) : u1 N1 (x) u(x) =< N (x) > {un } =< N1 (x) N2 (x) > ˜ =< un > {N (x)} =< u1 u2 > u2 N2 (x) un représente la valeur de u en chaque nœud de l’élément. ˜ Ces fonctions N1 (x) et N2 (x) sont construites pour vérifier 1 N1(x) u(x = 0) = u1 et u(x = ) = u2 . N2(x) Explicitons (polynôme de Lagrange) 0.8 les fonctions d’interpolation linéaire d’un élément de barre (longueur 0.6 = x2 − x1 ) à deux nœuds (1 et 2) : 0.4 x − x2 x N1 (x) = =1− , (13) 0.2 x1 − x2 x − x1 x N2 (x) = =. (14) 0 x2 − x1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Avec ces fonctions et à l’aide de la relation u(x) =< N (x) > {un }, on peut calculer le déplace- ˜ ment en n’importe quel point de l’élément. d˜ u On souhaite remplacer u(x) dans l’équation (12), il faut donc évaluer ˜ : dx d˜ u d(< N (x) > {un }) dN (x) dN (x) = =< > {un } =< un > { } dx dx dx dx dN1 (x) 1 dN2 (x) 1 soit à partir des expressions (13) et (14) : =− et = . dx dx Ainsi pour cet élément fini, la discrétisation de l’équation (12) s’écrit : dN (x) dN (x) − EA < φn > { }< > {un } dx + P < φn > {N (x)} dx = 0. 0 dx dx 0 Comme φn et un ne dépendent pas de la variable d’intégration x, on peut écrire : dN (x) dN (x) < φn > − EA{ }< > dx {un } + P {N (x)} dx = 0. 0 dx dx 0 Cette relation est vérifiée quelque soit la fonction test < φn >, on peut simplifier comme suit : dN (x) dN (x) − EA{ }< > dx {un } + P {N (x)} dx = 0. (15) 0 dx dx 0 Il reste à évaluer les différentes intégrales en utilisant les fonctions d’interpolation :    dN1 (x)    dN (x) dN (x) dN (x) dN (x) dx 1 2 1 1 −1 { }< >= < >= 2 (16) dx dx  dN2 (x)    dx dx −1 1 dxJ.-M. CROS, Z.-Q. FENG 17
  18. 18. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009 alors : dN (x) dN (x) EA 1 −1 EA 1 −1 EA{ }< > dx = dx = (17) 0 dx dx 0 2 −1 1 −1 1 De même :    x  x2  1−   x − 2  1 {N (x)} dx = x dx =  0 0 = (18) 0 0   x2 2 1 2 0 Il ne reste plus qu’a remplacer dans (15) pour obtenir l’équation discrétisée qui prend alors la forme d’un système linéaire ([K] {un } = {fn }) : EA 1 −1 u1 P 1 Rx1 = + , −1 1 u2 2 1 0 EA 1 −1 P 1 Rx1 ici [K] = et {fn } = + . −1 1 2 1 0 Système de deux équations à deux inconnues : u2 et Rx1 (qui représente la réaction à l’encas- trement), rappelons que u1 est connu car imposé par une condition aux limites. 4. Résolution : Avant de résoudre, il faut prendre en compte les conditions aux limites en déplacement (ici en- P 2 castrement au niveau du nœud 1, soit u1 = 0), d’où les solutions : u1 = 0, u2 = . 2EA 5. Post-traitement : • Le champ de déplacement u(x) est alors obtenue par interpolation via la relation : ˜   x x  0  P u1 u(x) =< N (x) > {un } =< N1 (x) N2 (x) > ˜ =< (1 − ) > P 2 = x. u2   2EA 2EA • La déformation ε(x) : ˜   dN1 (x) dN2 (x) 1 1  0  P u1 ε(x) =< ˜ > =< − > P 2 = constante. dx dx u2   2EA 2EA P • Et enfin la contrainte σ (x) = E ε(x) = ˜ ˜ qui est constante dans la barre. 2A • On peut également calculer la réaction (notée Rx1 ) au niveau de l’encastrement, pour cela il faut calculer le produit [K]{u} ({u} étant maintenant connu) soit :      0   −P    EA 1 −1 2 2 P dont le résultat est , (19) −1 1    P    2EA 2 par ailleurs, les forces extérieures agissant sur les nœuds s’écrivent :    R +P   x1  2 . (20)  P    2J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 18
  19. 19. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009 En égalisant les deux quantités (19) et (20) on trouve la réaction (Rx1 = −P ) qui est bien égale à l’opposé de la résultante des efforts agissant sur la barre. On vient de vérifier l’équilibre statique de la barre. En divisant Rx1 par la section A, on obtient la contrainte à l’encastrement qui est égale à la contrainte théorique. En conclusion la discrétisation avec un seul élément fini, pour ce cas très particulier, permet d’atteindre les principales informations pour la conception de la structure. À savoir, le déplace- ment maximun et la valeur de la réaction à l’encastrement. 0.5 1 ANALYTIQUE ANALYTIQUE EF EF 0.4 0.8 0.3 0.6 0.2 0.4 0.1 0.2 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figure 1: Déplacement (E = P = A = = 1) Figure 2: Contrainte (P = A = = 1) Pour améliorer le résultat, on peut procéder de plusieurs façons : (a) discrétiser avec un nombre plus important d’éléments. (b) discrétiser avec un élément fini dont l’interpolation est plus riche. Toutefois, pour s’assurer de la résistance de la structure, il est important d’approcher au mieux la contrainte maximale, qui dans notre exemple se trouve au niveau de l’encastrement, afin de vérifier que l’on reste dans le domaine élastique du matériau.1.3 Solution approchée par la méthode des éléments finis: discrétisation par deux éléments finisLe calcul précédent permet de caractériser le comportement de l’élément fini de barre à deux nœuds : • le déplacement est linéaire, en raison de l’interpolation choisie. • la contrainte est constante dans l’élémentPour obtenir une bonne approximation de la con-trainte maximale, la structure est maintenant dis- 1 2 3 xcrétisée par deux éléments finis. L’élément fini près EF 1 EF 2de l’encastrement ayant une longueur très petite(par exemple /100). Figure 3: Discrétisation à l’aide de deux EF 1. Fonctions d’interpolation : élément fini 1 élément fini 2 x − x2 100x x − x3 100 100 x N1 (x) = =1− , (21) N1 (x) = = − , (23) x1 − x2 x2 − x3 99 99 x − x1 100x x − x2 100 x 1 N2 (x) = = . (22) N2 (x) = = − . (24) x1 − x2 x3 − x2 99 99J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 19
  20. 20. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009 2. Calcul des matrices de rigidité élémentaires : Il faut au préalable recalculer (16) puis calculer l’intégrale (17), les bornes allant de 0 à /100 pour l’élément 1 et de /100 à pour l’élément 2. En fait, pour cet élément ce n’est pas nécessaire car la matrice de raideur est proportionnelle à l’inverse de la longueur de l’élément, ainsi à partir de l’expression (17) valable pour un élément de longueur , on obtient : 100 × EA 1 −1 100 × EA 1 −1 K1 = et K2 = −1 1 99 × −1 1 u1 u2 u2 u3 3. Calcul du chargement nodal : Dans la méthode des éléments finis, les conditions aux limites (déplacements ou forces) s’appli- que au niveau des nœuds, d’où le terme chargement nodal. Ces forces nodales sont obtenues en calculant l’intégrale (18). Mais, comme pour les matrices de rigidité, on peut obtenir directe- ment le résultat, puisque pour ce cas, les forces nodales sont proportionnelles à la longueur de l’élément, ainsi à partir de l’expression (18) valable pour un élément de longueur , on obtient : 1 f1 P 1 2 f2 99 × P 1 f1 = 1 = , f2 = 2 = . f2 100 × 2 1 f3 100 × 2 1 1 1 2 2 Notons au passage que la somme des composantes des forces nodales (f1 + f2 + f2 + f3 ) est égale à P qui n’est autre que la résultante du chargement appliqué sur la barre. 4. Assemblage des quantités élémentaires :       1 −1 0      u 1   f1  100 × EA  −1 1 + 1 − 1  u1  P  1    K u 2 = f2 soit  99 99  u2 = 1 + 99      1 1  u3  100 × 2  99  u3 f3 0 − 99 99 5. Résolution : Avant de résoudre, il faut prendre en compte les conditions aux limites en déplacement (ici en- castrement au niveau du nœud 1, soit u1 = 0), d’où le système linéaire à résoudre :   1 1 100 × EA  1 + 99 − 99  u2 P 1 + 99  1 1  = u3 100 × 2 99 − 99 99 2 2 P × (100 + 99) P Dont les solutions sont : u2 = et u3 = . 2EA × 100 × 100 2EA 6. Post-traitement : La contrainte (constante) dans l’élément 1 est obtenue par la relation : σ (x) = E ε(x). Soit : ˜ ˜   dN1 (x) dN2 (x) u1 100 100  2 0  P (100 + 99) ε(x)=< ˜ > =< − > P (100 + 99) = . dx dx u2   2EA × 100 2EA × 100 2 P (100 + 99) d’où l’expression de la contrainte dans la barre 1 : σ (x ∈ [0, /100]) = ˜ . 2A × 100 Ainsi, avec deux éléments finis, on approxime très bien la contrainte à l’encastrement, en effet : P P 199 σanalytique (x = 0) = et σélément fini (x = 0) = ˜ × . A A 200J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 20

×