1234

1. Tutor Oui 137
COMPLEX NUMBER
การหารากที่ N ของ a + bi
คือ หาค่า z จาก zn = a + bi ซึ่งมีหลากหลายวิธีในการแก้ปัญหา หลายวิธีเร็ว แต่มี
ข้อเสียคือใช้ได้ไม่ตลอด (ควรเรียกวิธีลัดก็ได้) และวิธีที่หลักสูตร ม.ปลายต้องการให้นักเรียนคิด
เป็น และใช้ให้เป็นคือ การหารากแบบ Polar Form พี่อยากให้น้องๆ ศึกษาวิธีทั้งหลายให้
กระจ่าง เพราะการสอบ Entrance แข่งขันกับเวลา บางทีเราจาเป็นต้องใช้วิธีที่มีควร เพื่อความ
รวดเร็ว
รากที่ 2
1. ถ้าไม่ติด i ใช้ถอดรูทเลียนแบบจานวนจริง (ถูกแบบฟลุ๊คๆ)
2. ถ้าติด i แทนสูตรสาเร็จที่พิสูจน์มาจากการสมมติ z = x + yi
Ex 1 z2 = 5  z   5
Ex 2 z2 = -5  z    5   5 1   5i
Ex 3 z2 = -3 + 4i
แทนสูตร z2 = a  bi

 


 

 


  i ;
2
r a
2
r a
z คือเครื่องหมายตาม b
โดยที่ 2 2 r  a  b
ข้อนี้ r 3 4 5 2 2   
จึงได้   

 

  

 
  i
2
5 ( 3)
2
5 ( 3)
z
z   (1  2i)
z 3 4i 2   
ที่มา ให้ z = x + yi จะได้ (x + yi)2 = -3 + 4i ; โดยที่ x , y  R
x2 + 2xyi + (-y2) = -3 + 4i
ส่วนจริงเท่ากัน ; x2 – y2 = -3 …………… (1)
จินตภาพเท่ากัน ; 2xy = 4 …………… (2)

2. 138 จำนวนเชิงซ้อน.
COMPLEX NUMBER
จาก (2)
x
2
y  แทนใน (1)
3
x
2
x
2
2    


 



x4 – 4 = -3x2
x4 + 3x2 – 4 = 0
(x2 + 4)(x2 – 1) = 0
x2 = -4, 1 แต่ x  R
 x2 = 1  x = 1 , -1
แทนใน (2) จะได้ x = 1 คู่กับ y = 2
x = -1 คู่กับ y = -2
สรุป z = x + yi = 1 + 2i , -1 -2i
หมายเหตุ หากเจอ z4 , z8 , z16 , z32 , … อาจใช้การถอดรากที่สองลงมาเรื่อยๆ ก็ได้ เช่น
Ex 4 z4 = 16  z 4 2  
z2 = 2 หรือ z2 = -2
z  2 ,  2 หรือ z   2 ,   2
z  2 ,  2 หรือ z  2 i,  2 i
Ex5  


 

  

 
      i
2
5 ( 3)
2
5 ( 3)
z 3 4i z4 2
Z2 =  (1 – 2i)
Z2 = 1 – 2i หรือ z2 = -1 + 2i
 



 






 
 



 






  i
2
5 1
2
5 1
i z
2
5 1
2
5 1
z หรือ

3. Tutor Oui 139
COMPLEX NUMBER
รากที่ 3
1. factor [ เฉพาะข้อที่พอจะแยกได้ ส่วนใหญ่จะมีแค่ Real Part อย่างเดียวหรือ
Imagine Part อย่างเดียว]
2. สมมติ z = x + yi [ลาบากมากถ้าจะลอง]
3. จาคาตอบ zn = 1 แล้วทาโจทย์ zn = a + bi ให้อยู่ในรูป zn = ( )n จะได้คาตอบ
z = (รากที่ N ของ 1) [คือการใช้สูตร Polar แบบโกงๆ นั่นแหละพวกนี้ไม่อยากให้
นักเรียนเก่งกว่าตัวเองและไม่อยากให้ประเทศก้าวหน้า ทาให้กรอบความคิดของนักเรียน
ไม่ได้ขยายด้วยตัวเขาเองบ้าง หวังว่าอาจารย์ที่ออกข้อสอบบทนี้จะออกข้อสอบทาให้
นักเรียนเข้าใจว่าอย่าล้อมกรอบความคิดเด็กเลยนะ]
4. Polar Form ขนานแท้ [ ใช้ดีแน่ๆ ถ้าแปลง Polar ได้]
Ex6 (x + yi)3 = 8i จงหา x + yi
* วีธี factor z3 = (-2i)3 = - (2i)3
z3 + (2i)3 = 0
(z + 2i) (z2 – 2iz + (-4) = 0
2(1)
( 2i) ( 2i) 4(1) ( 4)
z 2i ; z
2      
  
z   2i ; z  i  3
สรุป z   3  i ,  3  i ,  2i
* วิธีจารากที่ 3 ของ 1
จาก z3 = 1 จะมี z = 1, i
2
3
2
1
i ,
2
3
2
1
  

ฉะนั้น z3 = 8i = (-2i)3
จึงได้








  

  i
2
3
2
1
i,
2
3
2
1
z ( 2i) 1,
2 2   2i , i  3i , i  3 i
z   2i , i  3 , i  3
สรุป z   2i , 3  i ,  3  i

4. 140 จำนวนเชิงซ้อน.
COMPLEX NUMBER
Ex7 2z 1 i 3   [จากส่วนของข้อสอบ Ent 37] ข้อนี้สกัดวิธีโกงๆ เพราะวา่การยาก
ที่จะ ทา
2
1 i
z3 
 ให้อยู่ในรูป z3 = ( )3
[ถ้าทาได้ก็โกงได้ แต่เขาไม่ทากันหรอก (ประสาท)]
ทาปกติดีกว่าครับ (Polar Form เต็มๆครับน้อง]
 
i cos 45 sin 45
2
1
2
1
2
1 i
z3    



z 1 45 3 
3
45 360 k
z (1 45 ) 1 3
1
3
1
3
 
 
  ; k = 0, 1, 2
z 1 15 120 k
 
  ; k = 0, 1, 2
i
2 2
3 1
2 2
3 1
k 0 z 1 15
 


 

 

 


 

 
   

i
2
1
2
1
k 1 z 1 135 

   

i
2 2
3 1
2 2
3 1
k 2 z 1 255
 


 

 

 


 

 
    

รากที่ 3 ขึ้นไป
1. ผสมผสาน รากที่ 2, 3 ถอดหลายๆ รอบ
2. ถอดรากที่ N ตรงๆ เลย ซึ่ง Polar Form จะดีสุดเพียงแต่คาตอบ Polar หากทาบ่อยๆ
จะได้ความจริงต่อไปนี้มาช่วยให้ทาโจทย์ได้แล้วขึ้น
zn = a + bi
จะมี z1, z2, ….., zN คาตอบ
และ I zi 0
n
i 1
 
II zi ที่ใกล้กันจะห่างกัน =
n
360

III n 2 2
z1  z2  zn  a  b
x
y

5. Tutor Oui 141
COMPLEX NUMBER
เฉลย
Drill 1
1. –52 – 52i 2. ข้อ 4 3. ข้อ 1 4. ข้อ 1 5. ข้อ 1
6.
5
1 7. ข้อ 2 8. ข้อ 3 9. ข้อ 3 10. ข้อ 4
11. ข้อ 2
Drill 2
1. 128 2. ข้อ 2 3. ข้อ 4 4. ข้อ 3 5. ข้อ 1
6. ข้อ 2 7. ข้อ 4 8. ข้อ 4 9. ข้อ 3 10. ข้อ 1
11. ข้อ 4 12. ข้อ 3 13. ข้อ 1 14. 7
Drill 3
1. 25 2. ข้อ 2 3. ข้อ 1 4. 8 5. ข้อ 1