Libro matlabweb

Matlab en cinco lecciones de Num´rico
e
V´
ıctor Dom´
ınguez B´guena
a

Ma Luisa Rap´n Banzo
u

Febrero de 2006

Disponible en
http://www.unavarra.es/personal/victor dominguez/

r
do
rra
Bo

Prefacio

El origen de este libro es una asignatura de libre elecciń que uno de los autores imo
parti´ durante los cursos 2004–2005 y 2005–2006 en la Universidad P´blica de Navarra.
o
u
Nuestra intenciń original era tratar temas algo avanzados de C´lculo Cient´
o
a
ıfico y utilizar
Matlab como v´ para su aprendizaje. Los alumnos, obviamente, estaban m´s interesados
ıa
a
en aprender Matlab y ve´ el Num´rico como forma de probar y ensayar las diferentes
ıan
e
herramientas de Matlab que se iban exponiendo en clase. Desafortunadamente, la formaciń en Num´rico de nuestros alumnos nos oblig´ a relajar considerablemente el contenido
o
e
o
matem´tico del curso y a ser m´s modestos, desde el punto de vista te´rico, en nuestros
a
a
o
objetivos. El resultado final en su vertiente matem´tica se podr´ enmarcar sin problemas
a
ıa
en un curso introductorio de C´lculo Num´rico. En cuanto a Matlab, creemos que hemos
a
e
tratado todos sus aspectos fundamentales aunque en ocasiones sea de forma superficial.
Nuestro objetivo era conseguir no tanto un conocimiento muy profundo de Matlab como
el de colocar al alumno en una buena posiciń de arranque para un autoaprendizaje.
o
El enfoque y los temas tratados son consecuencia de diversos factores entre los que
conviene citar nuestro propio bagaje matem´tico1 , el uso que hemos tenido que hacer de
a
Matlab en nuestra carrera investigadora y, como ya hemos mencionado, los conocimientos
de partida que ten´ nuestros propios alumnos. Hemos insistido bastante en la manipıan
´
ulaciń de vectores y matrices y a la programaciń en forma vectorizada. Esta es una
o
o
de las diferencias m´s acusadas con los lenguajes de programaciń tradicionales y una
a
o
implementaciń eficiente en Matlab pasa necesariamente por la vectorizaciń.
o
o
Los apuntes estń organizados en torno a temas o lecciones, cada cual dividido en dos
a
partes, la primera de Matlab y la segunda con un tema espec´
ıfico de C´lculo Num´rico.
a
e
En la primera parte se presentan los aspectos instrumentales de Matlab que utilizaremos
en la implementaciń de los algoritmos de la parte de Num´rico. La longitud de cada
o
e
parte es variable, y dependiente de la dificultad tratada ya sea en la parte instrumental
(Matlab) o en la parte matem´tica. De tanto en tanto nos hemos permitido hacer algo de
a
Matem´ticas tratando de presentarlas en la forma m´s simple posible.
a
a
A lo largo de estas p´ginas el lector podr´ encontrar ejercicios, algunos de ellos resuela
a
tos, que tratan de ahondar en puntos espec´
ıficos, matem´ticos e inform´ticos. Finalmente
a
a
se han introducido algunas notas hist´ricas que describen brevemente la evoluciń que han
o
o
tenido las ideas a lo largo del tiempo. Con ello tratamos de combatir la idea gaussiana,
demasiado extendida, de las Matem´ticas como un mundo est´tico, monol´
a
a
ıtico y perfecto
donde la teor´ se presenta cerrada y completa. Las Matem´ticas en general y el C´lculo
ıa
a
a
Cient´
ıfico en particular recorren un largo trecho antes de llegar a este estado, durante
el cual brotan ideas constantemente, siempre prometedoras en un primer momento, que
1

modelado por nuestra formaciń cient´
o
ıfica, comń en muchos aspectos.
u

i

r
do
rra
Bo

evolucionan con los aõs, con muchas de ellas desechadas finalmente e incluso algunas
n
rescatadas aõs despu´s de considerarse como v´ muertas.
n
e
ıas
Hemos adjuntado al final una bibliograf´ utilizada en este texto. Nos gustar´ resaltar
ıa
ıa
tres textos sobre los dem´s. En primer lugar, Numerical Computing with Matlab, de Cleve
a
Moler, que descubrimos cuando and´bamos en la redacciń de la Lecciń II. Su sencillez
a
o
o
y la buena elecciń de ejemplos ha ejercido una influencia considerable en estas notas.
o
El segundo libro es ya un cl´sico entre los que aprendimos Matlab hace algunos aõs.
a
n
And´bamos entonces en la b´squeda de recursos en la web cuando nos encontramos con
a
u
unos apuntes muy completos de libre divulgaciń. Nos referimos al libro de Garc´ de
o
ıa
Jalń y sus colaboradores, Aprenda Matlab ?.? como si estuviera en primero. Diferentes
o
versiones de estos apuntes llevan cubriendo de forma incansable la evoluciń de Matlab
o
desde la versiń 4.0.
o
Por ultimo, aunque no es un texto propiamente, la enciclopedia libre on line Wikipedia2
´
ha sido utilizada profusamente para obtener datos y fuentes utilizadas en la redacciń de
o
este texto. Debemos seãlar que estas informaciones han sido debidamente contrastadas.
n
A pesar de algunos problemas iniciales, es seguro que la influencia de esta enciclopedia
libre crecer´ exponencialmente en el futuro.
a
Finalmente, queremos dejar patente nuestro agradecimiento al Profesor Javier Sayas
que se ofreci´ muy generosamente a revisar este libro. Sus numerosas y acertadas indicao
ciones y sugerencias han contribuido, y mucho, en la redacciń final de este texto.
o

Pamplona, Febrero de 2006

2

V´
ıctor Dom´
ınguez B´guena
a
a
u
M Luisa Rapń Banzo

http://www.wikipedia.org

ii

r
do
rra
Bo
A Javier
Amigo y maestro.

r
do
rra
Bo

Cap´
ıtulo 1

Introducciń
o

... and the first lesson of all was the basic trust that he
could learn. It is shocking to find how many people do
not believe they can learn, and how many more believe
learning to be difficult.

Dune
Frank Herbert

1.1.

¿Qu´ es?
e

Matlab es un entorno de trabajo para el c´lculo cient´
a
ıfico. Programado originalmente
por Cleve Moler a finales de los aõs 70, su finalidad original era proporcionar una forma
n
sencilla de acceder a las librer´ LINPACK y EISPACK donde estń implementadas de una
ıas
a
forma altamente eficiente los algoritmos clave del an´lisis matricial1 . De hecho, Matlab es
a
una abreviatura de Matrix Laboratory
Su primera implementaciń se hizo en Fortran que era, y en buena medida ań sigue
o
u
sińdolo, el lenguaje estńdar en la implementaciń de m´todos num´ricos2 . Posteriore
a
o
e
e
mente se reimplement´ en C, que es como se encuentra en la actualidad.
o
Las aplicaciones de Matlab se fueron extendiendo a otras ramas del c´lculo cient´
a
ıfico
y de las ciencias aplicadas en general, dotńdole de una gran popularidad en ambientes
a
cient´
ıficos (especialmente en Ingenier´ Dichas extensiones se consiguieron en gran parte
ıa).
mediante la implementaciń de toolboxes, librer´ escritas en el lenguaje de programaciń
o
ıas
o
propio de Matlab y que ampliaban el rango de problemas que pod´ resolverse.
ıan
Sin miedo a equivocarse, se pueden enunciar las siguientes ´reas donde Matlab muestra
a
un gran potencial:
a
´lgebra lineal num´rica;
e

procesamiento de seãles (an´lisis, compresiń de datos,..);
n
a
o

1

por ejemplo, el m´todo de Gauss, el c´lculo de las descomposiciones m´s habituales del ´lgebra
e
a
a
a
matricial num´rica (LU , LL , QR), m´todos iterativos,...
e
e
2
Fortran significa Formula translation. Desarrollado por IBM en 1954, es considerado como el primer
lenguaje de alto nivel. Las ultimas actualizaciones (Fortran 95 y Fortran 2003) han dado nuevo vigor a
´
este veterano lenguaje de programaciń.
o

1

diseõ de sistemas de control;
n
salidas gr´ficas;
a
estad´
ıstica;

r
do
rra
Bo
simulaciń de sistemas din´micos.
o
a

La extensa gama de problemas que cubre hace de Matlab un lenguaje dif´ de entender
ıcil
y manejar en su completitud. Esto no quiere decir que sea inarbodable: el conocimiento
base que permite empezar a trabajar es muy sencillo. No obstante el elevado n´mero de
u
3
comandos que se encuentra a disposiciń del usuario provoca que en ocasiones existan
o
problemas no s´lo para encontrar los comandos adecuados sino tambiń para tener una
o
e
idea de qu´ posibilidades exactamente ofrece Matlab en un problema o tarea en particular.
e

1.2.

¿C´mo trabaja?
o

El lenguaje de programaciń de Matlab es bastante m´s flexible que el de los lenguajes
o
a
tradicionales. No es preciso la declaraciń inicial de variables, ´stas se pueden introducir
o
e
en el momento que se necesiten, y por ejemplo, vectores y matrices pueden declararse
sin especificar sus dimensiones e incluso cambiar sus tamaõs sobre la marcha. Ello pern
mite una programaciń algo m´s desordenada, aunque debe tenerse bien claro que una
o
a
programaciń cl´sica, m´s al uso, suele generar c´digo m´s eficiente.
o
a
a
o
a
Por otro lado, una gran cantidad de m´todos num´ricos se encuentran implementados
e
e
de una forma muy eficiente y son accesibles como simples comandos. De esta forma, Matlab se puede utilizar como una caja negra: el usuario pregunta y el ordenador responde sin
que ´ste tenga que preocuparse de qu´ tipo de operaciones se han efectuado por el camino.
e
e
De todas formas es conveniente tener una idea de qu´ m´todos se estń utilizando para
e e
a
as´ ser conscientes de en qu´ condiciones van a funcionar, cu´l es en cada caso el m´toı
e
a
e
do adecuado, y especialmente el significado de los, posiblemente, numerosos argumentos
opcionales que controlan el funcionamiento del algoritmo.
A priori se pueden distinguir dos tipos de funciones en Matlab: funciones compiladas
(Built in functions) y funciones no compiladas. Las primeras estń optimizadas, son proa
gramas ya compilados y con el c´digo no accesible para el usuario. Como ejemplos se
o
pueden citar
operaciones fundamentales +, *,. . . .

las funciones matem´ticas b´sicas (sin, cos, exp, log,. . . )
a
a

´
algoritmos b´sicos del Algebra Lineal (inv, det, lu, chol, qr,...)
a
s´lidas gr´ficas (plot, surf,...)
a
a

3

A modo de ejemplo, estos comandos cubren salidas gr´ficas: plot, line, ezplot, ezsurf, surf,
a
surfc, line, patch, plot3, contour, contourf, ezcontour, pcolor, trimesh, trisurf,...

2

r
do
rra
Bo

Las funciones no compiladas estń escritas siguiendo el lenguaje de programaciń
a
o
propio de Matlab. Estos comandos se guardan en ficheros *.m que es la extensiń estńdar
o
a
de los ficheros de Matlab4 .
Originalmente, Matlab funcionaba como un interprete. Es decir, cada l´
ınea de c´digo
o
era traducido antes de su ejecuciń. Ello hac´ que una programaciń similar a lenguajes
o
ıa
o
cl´sicos de programaciń diera lugar a c´digo poco eficiente.
a
o
o
Este problema se puede subsanar en gran medida recurriendo a la programaciń veco
torizada. El siguiente ejemplo muestra las diferencias con una programaciń estńdar
o
a
No vectorizada

Vectorizada

y=zeros(1,1000);
h=2*pi/999;
for i=0:999
y(i+1)=sin(h*i);
end

y=sin(linspace(0,2*pi,1000));

En la primera parte del c´digo, encontramos una estructura t´
o
ıpica en los lenguajes de
programaciń: el comando for. Su significado es claro: las l´
o
ıneas comprendidas entre el for
y end se repiten 1000 veces con la variable i tomando valores de 0 a 999. El resultado final
es el vector fila y que recoge el valor del seno en 1000 puntos uniformemente espaciados
en [0, 2π].
Por otro lado, el comando linspace devuelve un array que contiene 1000 puntos
equidistantes entre 0 y 2π. La funciń seno es aplicada sobre todo el array devolviendo
o
un vector con estos valores que se guarda en y. La diferencia entre ambas formas de
programar es ahora patente. Mientras que en la primera realizamos 1000 llamadas a la
funciń seno con un argumento por llamada, en la segunda hay una unica llamada donde
o
´
se requiere el c´lculo del seno en 1000 puntos, y el resultado se devuelve en un vector con
a
estos valores (y por tanto tambiń de longitud 1000).
e
Desde el punto de vista de Matlab el segundo c´digo es m´s eficiente. Habitualmente,
o
a
la vectorizaciń lleva consigo una reducciń del c´digo a la vez que se incrementan las
o
o
o
necesidades de memoria.
Con Matlab 6.5 se inici´ un proyecto a m´s largo plazo consistente en la aceleraciń
o
a
o
(Performance Acceleration) de las versiones no vectorizadas dirigida a estrechar las diferencias con los lenguajes cl´sicos de alto nivel como Fortran, C o Pascal5 . En cualquier caso,
a
la posibilidad de ejecutar instrucciones en bloque sobre vectores o matrices, en contraste
con operaciones elemento a elemento como en los lenguajes tradicionales, es algo que
conviene explotar por las importantes ventajas que proporciona.
4

Tambiń est´ la extensiń *.mat, propia de ficheros de datos.
e
a
o
De hecho en la version 6.5 apenas hay diferencias en tiempo de ejecuciń entre los dos c´digos
o
o
expuestos.
5

3

1.3.

¿C´mo aprenderemos?
o

r
do
rra
Bo

Como ya hemos seãlado anteriormente, aprender a manejar Matlab en su totalidad
n
est´ fuera de los contenidos de un curso introductorio como ´ste. No as´ aprender los
a
e
ı
fundamentos y preparar el terreno para un autoaprendizaje de las partes en las que cada
uno est´ interesado. Encontramos en este punto dos dificultades que salvar: saber de la
e
existencia del comando adecuado y aprender a utilizarlo. En no pocas ocasiones, la primera
es la mayor dificultad. No obstante los comandos llevan siempre nombres nemotćnicos
e
para facilitar su memorizaciń. Las funciones de ayuda tambiń echan una mano.
o
e
Como a programar se aprende programando, comenzaremos escribiendo c´digo desde
o
los primeros pasos. Los esquemas num´ricos que implementaremos se encuentran prćtie
a
camente en cualquier curso introductorio de An´lisis Num´rico. En cada lecciń implea
e
o
mentaremos dichos algoritmos, introduciendo ´rdenes, estructuras de decisiń, datos,...
o
o
segń sea necesario.
u
En los apuntes se incluyen m´ltiples ejercicios cuya realizaciń ayudar´ al aprendizaje
u
o
a
de la asignatura. Estos apuntes no deben tomarse como un manual en el estilo usual, sino
como una forma de aprender Matlab y repasar o aprender el An´lisis Num´rico b´sico.
a
e
a
Ya existen manuales extensos y concienzudos, en la bibliograf´ citamos algunos de ellos,
ıa
que pueden servir para ese fin.

4

r
do
rra
Bo
Lecci´n I
o

Primeros pasos en Matlab.
M´todos directos para sistemas de ecuaciones
e
lineales

5

r
do
rra
Bo

Introducciń
o

When asked whether a programming language supports
matrices, many people will think of two-dimensional
arrays and respond, “Yes.” Yet matrices are more than
two-dimensional arrays -they are arrays with operations.
It is the operations that cause matrices to feature so
prominently in science and engineering
G.W. Stewart, Matrix Algorithms

Comenzaremos en la primera parte de esta lecciń tratando nociones b´sicas de Matlab,
o
a
introduciendo el entorno de trabajo y las estructuras b´sicas de programaciń. En segundo
a
o
lugar entraremos en uno de los detalles fuertes de Matlab, la manipulaciń de vectores y
o
matrices.
En la parte matem´tica estudiaremos m´todos directos para la resoluciń de sisa
e
o
temas de ecuaciones lineales. En la implementaciń de estos algoritmos repasaremos los
o
conocimientos de Matlab expuestos en la primera parte.

7

r
do
rra
Bo

Cap´
ıtulo 2

Matlab: Primeros pasos
2.1.

Entorno de trabajo

En las primeras secciones comenzaremos explorando Matlab de la forma m´s simple, en
a
modo comando: el usuario pregunta y Matlab responde. El interfaz de Matlab es bastante
pobre, con un aspecto est´tico que en modo alguno es comparable al de programas como
e
Maple o Mathematica. El modo interactivo de trabajar es sencillo aunque algo inc´modo. A
o
modo de ejemplo, requiere algo de esfuerzo editar instrucciones ejecutadas con anterioridad
´
y manejarse con bloques de comandos es muy engorroso. Este y otros problemas del modo
interactivo se subsanan en gran medida empaquetando instrucciones con ficheros script
y/o programando en funciones (subrutinas) que es la forma natural de trabajar en Matlab.
En un segundo paso, se puede implementar un interfaz gr´fica, las guides de Matlab, que
a
hacen m´s amigable la comunicaciń con el usuario.
a
o
En la Figura 2.1 podemos ver el aspecto inicial de Matlab. Distinguimos las siguientes
ventanas
Command window: ventana donde podemos ejecutar los comandos;

Ventanas auxiliares: command history, workspace, current directory que informan
sobre (y permiten editar) los comandos insertados, las variables declaradas y el
directorio en el que estamos trabajando.
Ventana de ayuda: en una ventana independiente proporciona un acceso completo
a las funciones de ayuda de Matlab, incluyendo b´squedas, demostraciones, etc.
u

´
Estas son las caracter´
ısticas b´sicas que debemos considerar:
a

El prompt de Matlab es >>. El usuario escribe a continuaciń.
o
Para ejecutar se pulsa la tecla Enter.

Se pueden recuperar comandos anteriores navegando con las flechas ↑ y ↓.

Cuando se trabaje en Matlab, debemos tener muy en cuenta que:
Se distinguen may´sculas y min´sculas.
u
u
9

´
LECCION I

2.1 Entorno de trabajo

r
do
rra
Bo
Figura 2.1: Pantalla Principal.

Todos los comandos de Matlab se escriben en min´sculas y los argumentos se env´
u
ıan
entre parńtesis separados por comas.
e

El carćter % se utiliza para insertar comentarios. Todo lo que sigue (en la misma
a
l´
ınea) es ignorado por Matlab.

Si se teclea al final de una instrucciń ’;’ ´sta se ejecuta pero el resultado no se
o
e
visualiza por pantalla.

Dos comandos se pueden insertar en la misma l´
ınea separados por “,” o por “;”. La
diferencia entre los dos es que con “,” se muestran los resultados de las operaciones
mientras que con “;” la operaciń se ejecuta pero no se visualiza.
o

Ejercicio 2.1 Ejecuta las instrucciones
>>
>>
>>
>>
>>

4+4 % mi primera operacion
3^4, 4/9
3^4; 4/9
3^4, 4/9;
3^4; 4/9;

10

´
LECCION I

Cap´
ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos

y observa la salida.
Haremos algunos comentarios sobre el ejercicio anterior. El circunflejo ^ es la potenciaciń:
o
>> 3^5

r
do
rra
Bo
ans=

243

El t´rmino ans es la primera variable que vemos de Matlab. Concretamente, guarda la
e
ultima salida dada por Matlab (answer):
´
>> 4+6
ans =

10

>> ans*2
ans =

20

>> ans*2
ans =

40

La ra´ cuadrada se puede calcular bien elevando a 1/2 (^(1/2)) o bien utilizando sqrt.
ız
Ejercicio 2.2 Comprueba la diferencia entre
4/4+6

4/(4+6)

3^5*2

3^(5*2)

Nota. La prioridad de ejecuciń entre operaciones matem´ticas es la habitual: primero
o
a
se calcula la potenciaciń ^, posteriormente los productos y divisiones *, / y en ultimo
o
´
lugar, las sumas y restas + y -. Este orden se puede cambiar utilizando los parńtesis.
e
La regla es sencilla: dada una expresiń, lo primero que se calcula es lo que est´ dentro
o
a
de cada parńtesis. Esta regla es recursiva, es decir, si dentro de un parńtesis hay otros
e
e
parńtesis, para evaluar el primero se empezar´ con los parńtesis interiores.
e
a
e
Los n´meros reales se pueden insertar tambiń en notaciń cient´
u
e
o
ıfica, muy adecuada si
se trata de n´meros grandes o muy pequeõs (en valor absoluto). As´ se tiene la siguiente
u
n
ı,
regla de construcciń:
o
m · 10r
m er
11

´
LECCION I

2.1 Entorno de trabajo
Por ejemplo
0.005
−1201200000

115 · 1012
0.00031415

5e − 3
−1.2012e009

115e12
3.1415e − 004

r
do
rra
Bo

Existen adem´s dos n´meros especiales: inf y NaN. El primer signo representa la cana
u
tidad infinita (∞). El segundo es una abreviatura de “no es un n´mero” (Not a Number)
u
y es el resultado que se devuelve ante una operaciń indefinida como 0/0. Este s´
o
ımbolo
se puede utilizar en ´mbitos, en principio tan extraõs, como en el dibujo de superficies
a
n
(v´r la Lecciń V).
e
o
En general los resultados num´ricos se presentan con cuatro cifras decimales correctas,
e
aunque todas las operaciones se ejecutan en doble precisiń1 . Si se desean las salidas con
o
toda la precisiń disponible se debe insertar la instrucciń
o
o
>> format long

A partir de este punto, el resultado de cualquier operaciń se mostrar´ con 16 cifras
o
a
significativas. La instrucciń
o
>> format short

devuelve a la forma estńdar con cuatro cifras decimales. Existen m´s opciones con format.
a
a
Las siguiente l´
ıneas muestran algunas de ellas:
>> pi % el numero pi
ans =

3.1416

>> format long
>> pi

% mayor precision

ans =

3.14159265358979

>> format compact % compacto
>> pi
ans =
3.14159265358979
>> format bank
%No fijo de cifras decimales
>> pi
ans =
3.14

1

Aproximadamente 16 cifras decimales correctas. En el momento de redactar estas l´
ıneas, los procesadores de 32 bits dominan todav´ el parqu´ de ordenadores. Las nuevas generaciones, con procesadores
ıa
e
con 64 bits, duplican la precisiń de trabajo.
o

12

´
LECCION I

%salidas en forma fraccionaria

% mas espaciada

r
do
rra
Bo

>> format rat
>> pi
ans =
355/113
>> format loose
>> pi

Cap´

ans =

355/113

Observa la diferencia de espaciamiento que se obtiene con las opciones compact y loose.

N´ meros complejos
u

La √
aritm´tica compleja se encuentra tambiń integrada en Matlab. La unidad imagie
e
o
naria ( −1) se representa en Matlab con i ´ j:
>> clear i j % borramos posibles valores de i y j
>> i^2
ans=

-1

>> j^2
ans=

-1

El signo i suele ser habitual en Matem´ticas mientras que en diversas ramas de la F´
a
ısica
y en Ingenier´ de Telecomunicaciones o Elćtrica se prefiere el s´
ıa
e
ımbolo j (en este caso
para no confundir con la intensidad de corriente elćtrica). De ah´ que Matlab permita
e
ı
ambas representaciones.
Todas las operaciones matem´ticas incluyen la aritm´tica compleja en el sentido usual
a
e
>> 1+i +5-6i

% suma de dos numeros complejos

ans =

6.0000 - 5.0000i

>> (5+3i)*(5-3i), (1+2i)/(3-4i)
ans =

13

´
LECCION I

2.2 Comandos de ayuda
34.00

ans =

r
do
rra
Bo

-0.20

+

>> conj(3e-3+2e-4i) % conjugado
ans =

0.0030 - 0.0002i

>> abs(3+4i),

angle(2i)

% modulo y argumento

ans =

5

ans =

1.5708

2.2.

Comandos de ayuda

La ayuda de Matlab es ciertamente muy clara y completa. Los comandos siempre
dispuestos a echarnos una mano son:
help: muestra una ayuda por pantalla, en la ventana de comandos, con la informaciń esencial sobre un comando concreto.
o

helpwin: similar a help pero despliega la ayuda en una ventana auxiliar, permitiendo as´ una navegaciń, estilo web, muy c´moda.
ı
o
o
lookfor: permite buscar una cadena en la primera l´
ınea de todos los ficheros de
ayuda.

Por ejemplo, si deseamos ayuda sobre la funciń sin, podemos ejecutar
o
>> help sin

SIN
Sine.
SIN(X) is the sine of the elements of X.
Overloaded methods
help sym/sin.m
14

´
LECCION I

Cap´

r
do
rra
Bo
Figura 2.2: Pantalla de ayuda.

o bien

>> helpwin sin

y obtener la pantalla que se muestra en la Figura 2.3. Adem´s, si aparece el enlace “Go to
a
online doc for ...”, ´ste nos permite navegar entre una ayuda mucho m´s completa
e
a
donde se muestran ejemplos y detalles sobre la implementaciń del comando (ver la Figura
o
2
2.4 ).

Ejercicio 2.3 Utilizando las funciones de ayuda, obtener informaciń de alguna de estas
o
funciones elementales de Matem´ticas
a
sin
sec
sinh
exp

cos
csc
cosh
log

tan
cot
tanh
log10

asin
asec
asinh
log2

acos
acsc
acosh
sign

atan
acot
atanh

Mediante la instrucciń
o
2

Para que esta opciń est´ disponible es necesario que se haya instalado la ayuda completa de Matlab.
o
e
A partir de la versiń 6.0 la instalaciń consta de (al menos) dos CDs, el primero con el programa y las
o
o
librer´ habituales y el segundo con la documentaciń de la ayuda.
ıas
o

15

´
LECCION I

2.3 Variables

r
do
rra
Bo
Figura 2.3: Ayuda con helpwin. Comprueba si aparece la opciń Go to online doc...
o
>> help +

se pueden adem´s visualizar las operaciones “elementales” segń Matlab.
a
u

2.3.

Variables

Matlab no necesita la declaraciń de variables como en un lenguaje tradicional. En prino
cipio todas las variables son reales, y basta hacer uso de ellas para que queden declaradas:
>> a=1; b=2; c=3;
>> a-b
ans =

-1

>> a*b*c
ans =
16

´
LECCION I

Cap´

r
do
rra
Bo
Figura 2.4: Ayuda on line.

6

El comando who sirve para conocer los nombres de las variables declaradas, mientras
que con whos obtenemos una informaci´n m´s precisa:
o
a
>> who

Your variables are:
a

b

c

>> whos a
Name
Size
a

Bytes

1x1

8

Class

double array

Grand total is 1 element using 8 bytes
Para borrar una variable se utiliza la instrucci´n clear, por ejemplo,
o
17

´
LECCION I

2.3 Variables
>> a=4;
>> whos a
Size

a

Bytes

1x1

Class

8

double array

r
do
rra
Bo

Name


>> clear a
>> whos a
>>

borra la variable (es decir, whos no devuelve nada). Con la orden
>> clear all

se borran todas las variables declaradas hasta el momento.
Nota. En Matlab es correcto declaraciones de este tipo
>> sin=1;
>> sin+1
ans=

2

De esta forma sin pasa a ser una variable que sobrescribe el valor original que ten´ como
ıa
funciń seno. Para recuperar el valor original basta ejecutar
o
>> clear sin

Almacenamiento de variables en ficheros

Matlab ofrece la posibilidad de grabar las variables que deseemos en un fichero. De esta
forma, podemos recuperarlas m´s adelante, ya sea en la misma sesiń o en otra diferente3 .
a
o
Por ejemplo
>>
>>
>>
>>

a=4+i;% numero complejo
b1=cos(2);
b2=sin(2);
save datos a b1 b2

graba dentro del directorio de trabajo, en un fichero de nombre datos.mat, las variables
indicadas. Para recuperar, basta ejecutar
>> load

datos

3

Se entiende por sesiń el tiempo que transcurre entre que se abre y se cierra Matlab. Al cerrar el
o
programa, todas las variables locales se pierden.

18

´
LECCION I

2.4.

Cap´

Ficheros script y funciones

La forma m´s eficiente de empaquetar series de instrucciones simples y mecńicas es
a
a
utilizando ficheros script. Tareas m´s elaboradas, con, por ejemplo, variables de entrada
a
y salida, requieren del uso de funciones.

r
do
rra
Bo
2.4.1.

Ficheros script

Un fichero script es un simple documento de texto que contiene una sucesiń de coo
mandos de Matlab. Esencialmente es equivalente a teclear estas instrucciones directamente
en la ventana de comandos.
Describiremos el manejo de este tipo de ficheros mediante un sencillo ejemplo. Comenzamos creando un fichero tecleando en modo comando la orden4
>> edit prueba

Se despliega as´ en una ventana aparte el editor de Matlab con el fichero prueba.m (“.m”es
ı
la extensiń estńdar de Matlab). Es importante saber cu´l es el directorio de trabajo5 ,
o
a
a
pues es donde se guardar´ por defecto el fichero.
a
Tecleamos ahora en el editor
a=1+i; b=1-i;
disp(’a*b=’)
disp(a*b)
disp(’a/b=’)
disp(a/b)
disp(’sqrt(a)=’)
disp(sqrt(a))

El comando disp (de display) muestra vectores por pantalla de forma compacta. Dado que
para Matlab un cadena de caracteres es simplemente un vector de carćteres, se consigue
a
con ello mostrar por pantalla mensajes de forma concisa.
Una vez que el documento est´ grabado, para ejecutar las ´rdenes que contiene basta
a
o
teclear el nombre del fichero en la ventana de comandos:
>> prueba

Se puede modificar las veces que se precise las variables a y b en el fichero script sin tener
que teclear de nuevo todas las instrucciones.

2.4.2.

Funciones

En principio existen dos tipos de funciones: las funciones inline, que se insertan en
la l´
ınea de comandos y las que se escriben en un documento de texto externo. Esta ultima
´
forma, que es la evoluciń natural de los ficheros script, es m´s flexible y es en la que nos
o
a
centraremos a continuaciń. Dejaremos pendiente para la Lecciń III la descripciń de las
o
o
o
funciones inline.
Como antes, para crear un fichero que contenga a una funciń se puede teclear:
o
4
5

Tambiń es posible crear este fichero a golpe de ratń.
e
o
Por defecto es C:MATLAB6p5work.

19

´
LECCION I

2.4 Ficheros script y funciones
>> edit mifuncion
En el editor puedes insertar este simple ejemplo:
% MIFUNCION
%
% Y=MIFUNCION(X) devuelve
%
%
Y=X^2-COS(X)
%
function y=mifuncion(x)

r
do
rra
Bo

01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11

y=x^2-cos(x);
return

La funciń se declara con function, la variable de entrada es x y se declara como variable
o
de salida y. Se termina la ejecuciń de la funciń cuando se ejecuta un return o bien se
o
o
llega al final de la funciń6 .
o
Ahora, para calcular el valor de π 2 − cos(π) podemos ejecutar la orden:
>> mifuncion(pi)
ans =

10.8696

Nota. Los n´meros correlativos situados a la izquierda no forman parte del c´digo
u
o
de la funciń. Han sido insertados con el fin de numerar las l´
o
ıneas y as´ facilitar los
ı
comentarios que podamos hacer sobre el programa.
Una funciń puede no tener salidas, por ejemplo,
o
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14

% INFORMACION
%
% INFORMACION devuelve informacion sobre
% la precision de la maquina
%
function informacion
disp(’precision de la maquina’)
disp(eps)
disp (’mayor numero real’)
disp(realmax)
disp (’menor numero real’)
disp(realmin)
return

6

En este sentido, el return del ejemplo anterior es superfluo.

20

´
LECCION I

Cap´

o bien devolver m´ltiples salidas:
u
% MIFUNCION2
%
% [Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve
%
% Y1=X1+X2+X3;
% Y2=X1-X2+X3;
%
function [y1,y2]= mifuncion2(x1,x2,x3)

r
do
rra
Bo

01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13

y1=x1+x2+x3;
y2=x1-x2+x3;
return

Observa c´mo se recogen los resultados
o

>> [z1,z2]=mifuncion2(1,2,3);
>> z1
ans=

6

>> z2

ans=

2

>> z=mifuncion2(1,2,3);

% Ahora solo devuelve el primero

ans=

6

La cabecera que hemos introducido en el pre´mbulo de las funciones, es decir las l´
a
ıneas
anteriores a la declaraciń de la funciń y precedidas con “%”, constituyen la ayuda de la
o
o
funciń:
o
>> help mifuncion2
MIFUNCION2

[Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve
Y1=X1+X2+X3;
Y2=X1-X2+X3;
21

´
LECCION I

2.5 Vectores y matrices

Aunque muy recomendables7 , su inclusiń en una funciń es opcional. La ayuda puede
o
o
estar antes o despu´s de la declaraciń de la funciń. En cualquiera de los dos casos,
e
o
o
Matlab despliega como ayuda todas las l´
ıneas que esten precedidas con % hasta que se
encuentra con la primera l´
ınea no comentada.

r
do
rra
Bo
Nota. Para ser consecuentes, lo correcto es denominar de igual modo a la funciń y
o
al archivo que la contiene. Sin embargo esto no es obligatorio, es decir, se pueden dar
nombres distintos, pero en este caso Matlab da preferencia al nombre del archivo.
Aunque Matlab distingue entre may´sculas y min´sculas en sus comandos, esto no es
u
u
extensible para funciones programadas en m-files, al menos en Windows. Es decir, para
ejecutar una funciń en un archivo, digamos, operaciones, se puede utilizar OPERACIONES,
o
Operaciones y cualquier combinaciń con may´sculas y min´sculas. Esto es debido a que
o
u
u
a
el sistema de archivos de Windows tampoco hace esa distinciń8 . Versiones m´s avanzadas
o
de Matlab, 7.0 en adelante, muestran sin embargo un aviso si no existe una concordancia
exacta min´sculas-may´sculas entre el nombre del fichero y el comando utilizado para
u
u
llamarlo.
Todas las variables se env´ por valor, no por referencia. Es decir, si una funciń
ıan
o
modifica una variable de entrada, esta modificaciń se pierde cuando finalice su ejecuciń,
o
o
recuperando el valor original.
Por ultimo, en un fichero se pueden incluir varias funciones. En este caso s´lo la primera
´
o
funciń es accesible desde el exterior (l´
o
ınea de comandos, otras funciones,...) mientras que
el resto de funciones presentes en ese fichero son internas, es decir, utilizables unicamente
´
por las funciones presentes en el archivo. Esto es importante a la hora de realizar una
programaciń modular. Si un conjunto de funciones son s´lo utilizadas por una funciń
o
o
o
principal, se pueden insertar en el mismo fichero que ´sta. Evitamos as´ llenar la carpeta
e
ı
de trabajo, o de nuestro proyecto, con ficheros y m´s ficheros.
a

2.5.

Vectores y matrices

Dado que principalmente trabajaremos s´lo con arrays de una y dos dimensiones
o
hablaremos en lo que sigue de los objetos matem´ticos correspondientes: vectores y maa
trices. Todo lo que sigue se puede adaptar a arrays con m´s dimensiones, aunque por
a
simplificar, nos centraremos ahora en el manejo de vectores y matrices y dejaremos pendiente para la Lecciń IV el uso de arrays multidimensionales (tensores).
o

2.5.1.

Definiciń de matrices y vectores
o

Un vector o una matriz se puede definir dando sus elementos entre corchetes y separando filas mediante “;”. Por ejemplo, las instrucciones
7

No hay que subestimar nunca la capacidad de olvido de uno mismo: el c´digo claro y legible de hoy
o
es ilegible semanas despu´s. Las ayudas facilitan la ediciń de los programas no s´lo para un usuario
e
o
o
externo sino para el propio programador.
8
Es decir, si existe un fichero llamado operaciones.m no es posible crear otro con nombre
Operaciones.m

22

´
LECCION I

Cap´

>> a=[1 3 -1; 2 3 4; 4 5 1];
>> a2=[1 2 4; -1 0 1; 2 1 5];
>> b=[1; 3; 1]; b2=[-1 1 -2 2];
matrices y vectores



3 −1
1 2 4
3 4  , a2 =  −1 0 1  ,
5 1
2 1 5




1
b =  3 ,
1

r
do
rra
Bo

definen las

1
 2
a=
4

b2 =

−1 1 −2 2 .

Matlab distingue entre vectores fila y columna por lo que habr´ que tenerlo en cuenta por
a
ejemplo cuando se desee hacer operaciones como sumas o productos.
Desde una vertiente prćtica, si se va a trabajar con una matriz grande, por ejemplo
a
de tamaõ 20 × 10, y sus valores se van a introducir m´s adelante, se puede empezar con
n
a
>> a=zeros(20,10);

A partir de este instante se pueden insertar los elementos, accediendo a cada posiciń
o
mediante parńtesis
e
>> a(4,5)=9; a(2,1)=6; a(1,1)=-3.4;
>> a(4,5)
ans=

9

En cualquier caso, si tratamos de introducir un valor en una posiciń no definida de la
o
a
u
matriz, Matlab ir´ adaptando el tamaõ segń juzgue apropiado9 , y no dar´ ning´ n
a
n
u
error. El siguiente ejemplo ilustra esta caracter´
ıstica
>> clear c % c esta borrado
>> c(1,2)=4 % c es ahora 1 x 2
c =

0

>> c(3,3)=2

4

% c pasa a ser 3 x 3

c =

0
0
0

4
0
0

0
0
2

Esta habilidad, aunque permite una programaciń muy flexible y descuidada, debe utio
lizarse con mesura dado que puede provocar errores de ejecuciń muy dif´
o
ıciles de detectar.
9

Ello obliga a que haya que redimensionar constantemente la memoria otorgada a la variable a. Esto
supone un costo adicional, inapreciable con ejemplos pequeõs, pero importante para grandes cantidades
n
de memoria. Por tanto es mejor declarar primero las dimensiones de la matriz e informar as´ a Matlab de
ı
cuńta memoria tiene que reservar.
a

23

´
LECCION I


2.5.2.

Operaciones

Todas las operaciones habituales entre matrices, tales como la suma, producto, potenciaciń, c´lculo de determinantes, inversas..., estń ya implementadas en Matlab. No hay
o
a
a
por tanto necesidad de programarse estas tareas. Por ejemplo, si a y a2 son matrices de
tamaõs compatibles, las instrucciones
n

r
do
rra
Bo
a*a2

a^2

a+a2

devuelven el producto matricial de a y a2, el cuadrado de a (es decir, a*a) y la suma de
a y a2.
Es importante observar la diferencia con estas l´
ıneas
a.*a2

a.^2

En el primer caso, se devuelve la matriz resultado de multiplicar elemento a elemento
a y a2 (por tanto deben tener el mismo tamaõ) y en el segundo, una matriz cuyas
n
entradas son el cuadrado de las de a. Esto es una constante en Matlab: el signo “.”
indica que la operaciń (un producto, una potencia o una divisiń) se hace elemento a
o
o
elemento, mientras que en caso contrario se calcula la operaciń matem´tica, en este
o
a
caso el producto matricial.

Ejercicio 2.4 Introduce en a y a2 dos matrices de igual tamaõ. Observa el resultado de
n
ejecutar
a+a2

a*a2

a.*a2

Define un vector b fila o columna y ejecuta
b.^3

b’

Comprueba si estas operaciones estń bien definidas
a
a*2

a+1

¿Qu´ hacen exactamente? ¿Por qu´ crees que no es necesario “.” en la primera instrucciń?.
e
e
o
Otros comandos importantes son
det

inv

/

/.

.

Los dos primeros son el determinante y la inversa de una matriz cuadrada. Los operadores
“/” y “” (slash y backslash) son ciertamente especiales:
a/a2 es equivalente a a*inv(a2),

aa2 es equivalente a inv(a)*a2

En cuanto a su relaciń con ./ y . es la misma que ha surgido antes, esto es, aplicado
o
sobre matrices procede a realizar los cocientes elemento a elemento. Requiere por tanto
que ambas matrices tengan el mismo tamaõ.
n
Ejercicio 2.5 Ejecuta las instrucciones
>> 3/5
>> 35

y observa el resultado. ¿Tiene sentido desde el punto de vista anterior?.
Ejercicio 2.6 Dado b una matriz, ¿qu´ hace 1/b?.
e
24

´
LECCION I

Cap´

Nota. El operador backslash “” se utiliza profusamente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, bajo la idea de que
Ax = b

⇔

x = A−1 b.

As´ si b es n × 1 y a es n × n,
ı,

r
do
rra
Bo
>> x=ab;

devuelve en x la soluciń del sistema correspondiente.
o
El funcionamiento real de dista mucho de ser tan simple. Esto es, no calcula la
inversa de a para multiplicarla por b, sino que resuelve el sistema de ecuaciones por
alguna variante del m´todo de Gauss. Se puede utilizar helpwin mldivide (o helpwin
e
mrdivide para /) para leer en detalle c´mo procede este comando.
o
Las funciones propias de Matlab trabajan de forma natural sobre vectores y matrices.
El resultado final es equivalente a aplicar el comando elemento a elemento. Por ejemplo,
>> a=[0 pi/3; -pi/3 0];
>> cos(a)
ans =

1.0000
0.5000

0.5000
1.0000

es equivalente a

>> [cos(0) cos(pi/3); cos(-pi/3) cos(0)]
ans =

1.0000
0.5000

2.5.3.

0.5000
1.0000

Detalles adicionales

C´mo obtener las dimensiones de vectores y matrices
o

Los comandos de Matlab size y length nos proporcionan esta informaciń:
o
>> a3=[1 2; 3 6; 5 -1];
>> size(a3)
ans =

3

2

>> length(a3)

25

´
LECCION I

ans =
3

r
do
rra
Bo

>> a3=a3’; % cambiamos la forma de a3
>> size(a3)
ans =
2

3

>> [m,n]=size(a3); % m son las filas y n las columnas
>> m
ans =
2

>> n

ans =
3

>> length(a3)
ans =
3

El comando size devuelve un vector de tamaõ 2×1 con el n´mero de filas y columnas
n
u
del vector/matriz. El resultado es diferente segń se aplique a vectores fila o columna. La
u
orden length devuelve la longitud de una matriz o vector. Su significado en el caso de un
vector est´ clara mientras que para matrices devuelve el m´ximo entre el n´mero de filas
a
a
u
y el n´mero de columnas.
u
Matrices especiales

Matlab dispone de una serie de comandos que permiten construir matrices con una
estructura particular. Cabe seãlar las siguientes ´rdenes:
n
o
eye(n) es la matriz identidad de orden n;
ones(m,n) es una matriz m x n de 1s;

zeros(m,n) es una matriz m x n de 0s, esto es, igual que ones pero con ceros;
y algunas m´s ex´ticas como hilb, invhilb, pascal, magic.
a
o
26

´
LECCION I

Cap´

Existen dos formas de introducir vectores cuyos valores siguen una distribuciń regular
o
a:b:c construye el vector de valores [a a+b a+2*b .... a+k*b] donde a+k*b es
el mayor n´mero natural que cumple a+k*b≤ c. La instrucciń a:c toma b = 1.
u
o
linspace(a,b,n) devuelve una particiń uniforme de [a, b] en n puntos.
o

r
do
rra
Bo
Por ejemplo,
>> 0:10
ans=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>> 10:-1:0
ans=

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

>> 0.1:0.3:1.5
ans =

0.1000

0.4000

0.7000

1.0000

1.3000

>> linspace(0,2,4)
ans =

0

0.6667

1.3333

2.0000

>> linspace(2,0,4)
ans =

2.0000

1.3333

0.6667

0

Nota. Cuando Matlab tiene que devolver un vector y no se le especifica el formato,
devuelve una fila.

2.5.4.

Acceso a partes de matrices

El manejo de partes de vectores y matrices, as´ como la eliminaciń de filas o columnas,
ı
o
cambios de tamaõ, etc, se hace v´ instrucciones muy simples en Matlab. Aunque pueda
n
ıa
resultar algo extraõ al principio, un poco de prćtica es suficiente para que el usuario se
n
a
27

´
LECCION I


adapte a la nueva sintaxis, tan diferentes a la de un lenguaje tradicional, y pueda utilizarlo
en sus c´digos.
o
Comencemos viendo un ejemplo:

r
do
rra
Bo

>> a=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12];
>> a(2,3)
% elemento (2,3) de a
ans =

6

>>a(2,:)

% fila 2 de a

ans =

4

5

6

>>a(:,1)

% columna 1

ans =

1
4
7
10

>>a(:,2)=0 % columna 2 es ahora 0
a =

1
4
7
10

0
0
0
0

3
6
9
12

Podemos acceder a partes de una ﬁla o columna:
>> a(1,2:3)

% vector [a(1,2) a(1,3)]

ans =

0

3

>> a(2:4,3)

% vector columna [a(2,3); a(3,3); a(4,3)]

ans =

28

´
LECCION I

Cap´

6
9
12
>> a(1:2,2:3) % matriz [a(1,2) a(1,3); a(2,2) a(2,3)]

r
do
rra
Bo
ans =

0
0

3
6

En general, si p es un vector de n´meros enteros, v(p) devuelve [v(p(1)), v(p(2)),
u
..., v(p(n))]. Por ejemplo,
>> v=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6];
>> v(4:-1:2)
ans=

0.4000

0.300

>> p=[5 1 2 3 3 3];
>> v(p)

0.2000

% no importa que esten repetidos

ans=

0.5000

0.1000

0.2000

0.3000

0.3000

Ejercicio 2.7 Ejecuta las siguientes l´
ıneas

>> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12];
>> p=[1 3 2]; q=[1 2 1];
>> a(p,q)

¿Qu´ hacen exactamente?.
e

Igualmente es fćil aãdir filas y columnas a una matriz:
a
n
>> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8]
a =

1
5

2
6

3
7

>> a=[a; [1 -1 2 4]]

4
8

% adosamos una fila nueva

a =
29

0.3000

´
LECCION I

2.6 Bucles y estructuras de decisiń
o

1
5
1

2
6
-1

3
7
2

% una nueva columna

r
do
rra
Bo

>> a=[a [0; 2; 4] ]

4
8
4

a =

1
5
1

2
6
-1

3
7
2

4
8
4

0
2
4

Si se desea eliminar una fila o columna se puede utilizar el s´
ımbolo vac´ []. Por
ıo
ejemplo,
>> a(:,2)=[]

% suprime la segunda columna

a =

1
5
1

3
7
2

4
8
4

0
2
4

Ejercicio 2.8 Programa una funciń cuyas entradas sean una matriz cuadrada y un t´rmino
o
e
independiente compatible y que devuelva la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales.
Esto es, una matriz con la matriz original y una ultima columna con el t´rmino independiente.
´
e

2.6.

Bucles y estructuras de decisiń
o

Claves en cualquier lenguaje de programaciń, Matlab dispone de varias de ellas entre
o
las que sobresalen for e if, un estńdar en el mundo de la inform´tica.
a
a

2.6.1.

Bucles: el comando for

En Matlab, la estructura

for j=inicio:paso:final
.....
end

implementa un bucle donde las l´
ıneas de c´digo entre for y end son ejecutadas repetidao
mente con j tomando los valores del vector inicio:paso:final (váse la Secciń 2.5.3)
e
o
Por ejemplo,
>> for j=1:3;
1

disp(j);

end

30

´
LECCION I

Cap´

2
3
disp(j-2);

end

r
do
rra
Bo

>> for j=6:-2:2;
4
2
0

En general, si v es un vector,
for j=v
.....
end

procede a ejecutar las l´
ıneas internas con j tomando los valores del vector v. Por ejemplo,
>> v=[2 5 3 1];for j=v;
2

disp(j);

end

5
3
1

Asociados a for, y en general a cualquier bucle, encontramos los comandos break y
continue. El primero fuerza la salida inmediata del bucle mientras que el segundo reinicializa la iteraciń con el siguiente valor del ´
o
ındice.
Ejercicio 2.9 La matriz de Hilbert de orden n es

1 1 ··· ···
2
 1 1 ··· ···
 2 3
A= . .
 . .. ... ...
 .

1
2n−2

1
n

1
n
1
n+1

.
.
.

1
2n−1








Construye la matriz anterior mediante un fichero script y el uso de dos “for” anidados.

2.6.2.

Operadores l´gicos y estructuras de decisiń
o
o

Los operadores l´gicos m´s b´sicos en Matlab son
o
a a
== igualdad,
~= desigualdad,
>= mayor o igual, <= menor o igual,
31

>
&

mayor,
“y” l´gico,
o

<
|

menor,
“o” l´gico
o

´
LECCION I

o
El resultado de una comparaci´n es 1 si es verdadero, 0 si es falso:
o
>> a=1; b=2; c=3;
>> a>0
ans =

r
do
rra
Bo
1

>> a>0 & b<3
ans =

1

>> a<0

|

b<1

ans =

0

>> test= (a~=0)
ans =

1

>> whos test
Name

Size

test

Bytes

1x1

1

Class

logical array


Estos “0” y “1” no son valores num´ricos sino l´gicos como se comprueba con la ultima
e
o
´
instrucci´n10 . Cuando se aplica a un vector, devuelve un vector de verdadero/falso de la
o
misma longitud que el vector original:
>> b=[1 2 -3 -1 2 -4];

p=(b>=1)

% entradas de b>=1

p=
1

1

0

0

1

0

En el ejemplo anterior, p(i)==1 si b(i)≥1 y cero en caso contrario. Ahora, podemos
aislar los elementos mayores o iguales que 1 simplemente con
10

Ocupan un unico byte mientras que un n´mero real utiliza ocho bytes.
´
u

32

´
LECCION I

Cap´

>> b(p)
1

2

2

Desde este punto de vista es correcta y recomendable utilizar la instrucciń
o
% elementos de b mayores o iguales que 1

r
do
rra
Bo

>> b(b>=1)
1

2

2

que adem´s resulta muy natural (y fćil de entender).
a
a

Nota. El comando logical puede utilizarse para construir vectores y estructuras l´gicas
o
a partir de vectores de n´meros enteros:
u
>> b=[2 4 6 8 10]; p=[1 0 0 1
>> b(p) % Dara error

1];

??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals.
>> p=logical(p);
>> b(p)
ans =

2

8

10

La estructura de decisiń, como en muchos otros lenguajes, es if. Su sintaxis es la
o
siguiente:
if simple: si la operaciń l´gica efectuada es verdadera, se ejecutan las l´
o o
ıneas de
c´digo comprendidas entre if y end
o
if (x<-1 | x>1)
disp(’valor absoluto de x mayor que 1’)
end

if compuesto: como el anterior, pero un nuevo conjunto de l´
ıneas, comprendidas
entre else y end son ejecutadas en caso de que la operaciń l´gica efectuada en el
o o
if sea falsa:
if (x<0 & x>-10)
f=x^2;
% x entre -10 y 0
else
f=sin(x^2); % x menor que -10 o mayor que 0
end
33

´
LECCION I

o
if de decisiń m´ltiple:
o
u

r
do
rra
Bo

if (x<0)
f=x.^2;
disp(’x menor que cero’)
elseif (x<sqrt(pi))
f=sin(x^2);
disp(’x en [0,sqrt(pi))’)
elseif (x<2*sqrt(pi))
f=(x-sqrt(pi))^2;
disp(’x en [sqrt(pi),2*sqrt(pi))’)
else
f=pi*cos(x^2);
disp(’x en [2*pi,infinito)’)
end

Esta ultima instrucciń es equivalente a anidar diferentes estructuras if, de la sigu´
o
iente forma
if (x<0)
f=x.^2;
disp(’x menor que cero’)
else
if (x<sqrt(pi))
f=sin(x^2);
disp(’x en [0,sqrt(pi))’)
else
if (x<2*sqrt(pi))
f=(x-sqrt(pi))^2;
disp(’x en [sqrt(pi),2*sqrt(pi))’)
else
f=pi*cos(x.^2);
disp(’x en [2*pi,infinito)’)
end
end
end

Obviamente, la primera forma es m´s clara y concisa.
a

Nota. Con la instrucciń switch se puede implementar una estructura de decisiń que
o
o
es esencialmente equivalente a un if anidado.
Est´ disponible tambiń el bucle while que procede a ejecutar un bucle (que se cierra
a
e
tambiń con un end) mientras una condiciń sea verdadera. Por tanto, es algo m´s flexible
e
o
a
que un for.
En general todos los bucles y estructuras que requieran cerrarse, lo hacen con end. El
uso de break y continue es exactamente el mismo.
34

´
LECCION I

Cap´

Por ultimo, y volviendo a end, este comando tiene una curiosa funcionalidad extra:
´
sirve para referenciar el ultimo elemento de una fila o columna de una matriz. Por ejemplo
´
b(4:end) selecciona todos los elementos de b desde la posiciń cuarta en adelante.
o
Ejercicio 2.10 ¿Qu´ hace el siguiente fragmento de c´digo?
e
o

r
do
rra
Bo
01
02
03
04
05
06

r=[]; aux=0;
while aux<0.8
aux=rand(1);
r=[r aux];
end
r(end)=[];

Ejercicio 2.11 Con la ayuda de Matlab, programa un par de ejemplos donde utilices switch
y while.

Ejercicio 2.12 (Un poco de todo) Implementa una funciń de nombre findnonzeros
o
que dado un vector de entrada devuelva el n´mero de elementos no nulos y un vector que
u
contenga dichos elementos.
Soluciń. Una implementaciń posible es la siguiente
o
o

01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17

% FINDNONZEROS
%
% [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve
%
% N el numero de elementos no nulos en el vector X
% P un vector con los elementos no nulos de X
%
function [n,p]=findnonzeros(x)
p=[]; % p es vacio
for i=1:length(x)
if (x(i)~=0) % si x(i) no es cero
p=[p x(i)]; % apuntamos i al vector p
end
end
n=length(p);
return

Observa como se recogen los resultados de la funciń, n y p,
o

>> a=[0.1 0. 0.3 0.1 0.6 0 0.1 0.2 0.4]; % vector!!
>> [n,p]=findnonzeros(a)
n =
7
35

´
LECCION I

o

p =
Columns 1 through 5
0.3000

0.1000

0.6000

0.1000

r
do
rra
Bo

0.1000

Columns 6 through 7
0.2000

0.4000

Otra posible implementaciń (mucho m´s elaborada y m´s propia de Matlab) es la siguo
a
a
iente
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12

% FINDNONZEROS
%
% [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve
%
% N el numero de elementos no nulos en el vector X
% P un vector con los elementos no nulos de X
%
function [n,p]=findnonzeros(x)
p=x(x~=0);
n=length(p);
return

Haz un esfuerzo en entender bien los comandos anteriores. Tras la suficiente prćtica,
a
esta versiń se ve m´s clara y natural que la anterior. Observa c´mo se toman los elementos
o
a
o
no nulos del vector x (l´
ınea 10).

36

r
do
rra
Bo

Cap´
ıtulo 3

M´todos directos para sistemas de
e
ecuaciones lineales
3.1.

M´todo de Gauss
e

El m´todo de Gauss, tambiń conocido como eliminaciń gaussiana, es el algoritmo
e
e
o
m´s sencillo para la resoluciń de sistemas de ecuaciones lineales. Consta de dos partes
a
o
bien diferenciadas:
i) Transformaciń del sistema lineal en otro equivalente, es decir, con la misma soluo
ciń, donde la matriz es triangular superior.
o

ii) Resoluciń del sistema triangular por sustituciń regresiva.
o
o
El paso i) se acomete v´ dos operaciones elementales:
ıa

(a) Sumar a una ecuaciń otra multiplicada por un n´mero.
o
u

(b) Intercambiar dos ecuaciones.

Si s´lo utilizamos la operaciń (a) hablaremos del m´todo de Gauss sin pivotaje, y
o
o
e
con pivotaje parcial si tambiń realizamos las operaciones (b)1 cuando la elecciń de
e
o
las filas que se conmutan sea una muy particular.
Representando el sistema de ecuaciones en la forma matricial, todo lo anterior se
reescribe en t´rminos de operaciones matriciales (sumar a una fila otra fila e intercambiar
e
2
filas ). En lo que sigue expresaremos el sistema en la forma
Ax = b,

A ∈ Rn×n ,

x, b ∈ Rn ,

donde A es la matriz de coeficientes, b el t´rmino independiente y x el vector de soluciones.
e
Los elementos de A se denotarń por aij , y con bi los de b.
a
1

Existe una tercera operaciń (c), que consiste simplemente en multiplicar filas por constantes no
o
nulas. Esta operaciń recibe el nombre de reescalado (de filas) y en problemas prćticos se suele utilizar
o
a
con el fin de mejorar la estabilidad del sistema frente a errores de redondeo.
2
Otra posibilidad es intercambiar columnas, que se corresponde con reordenar las inc´gnitas). En este
o
caso se habla de pivotaje total.

37

´
LECCION I

3.1 M´todo de Gauss
e

3.1.1.

M´todo de Gauss sin pivotaje
e

El pseudoc´digo se expone a continuaciń
o
o
M´todo de Gauss
e

r
do
rra
Bo
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12

for i = 1 : n − 1
for k = i + 1 : n
ki = aki /aii
for j = i + 1 : n
akj = akj − ki aij
end
bk = bk − ki bi
end
end
xn = bn /ann
for i = n − 1 : −1 : 1
n

x i = bi −

13

aij xj /aii

j=i+1

15

end

Las l´
ıneas 01--09 se corresponden con la reducciń a la forma triangular de la matriz
o
y las l´
ıneas 11--15 con la resoluciń del sistema triangular resultante. El elemento aii se
o
denomina pivote y debe ser distinto de cero para que el algoritmo funcione, dado que en
caso contrario la operaciń en 03 est´ mal definida.
o
a
3
o
El algoritmo efectá O(n /3) productos3 y otras tantas sumas para la reducciń a la
u
forma triangular y O(n2 /2) sumas y productos para la resoluciń del sistema triangular.
o
Por tanto el costo se concentra en la primera fase del algoritmo y duplicar la dimensiń
o
del sistema exige multiplicar por ocho el tiempo de c´lculo (y por cuatro el costo en
a
memoria).
Ejercicio 3.1 Implementa una funciń cuyas entradas sean la matriz de coeficientes y el
o
t´rmino independiente y devuelva la soluciń del sistema por el m´todo de Gauss.
e
o
e
Soluciń. El siguiente programa es una soluciń del ejercicio
o
o
01
02
03
04
05

% GAUSS
%
%
% X=GAUSS(A,B)
%

Solucion del sistema Ax=b con el metodo
de Gauss sin pivotaje

3

es decir, el n´mero de multiplicaciones es n3 /3 + αn2 + βn + γ, donde α, β y γ son constantes
u
adecuadas. Con n creciente, el primer t´rmino es el dominante.
e

38

´
LECCION I
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

Cap´
ıtulo 3. M´todos directos para sistemas de ecuaciones lineales
e

function x = gauss(a,b)
n=length(a);

r
do
rra
Bo

% transformacion del sistema en uno triangular
for i=1:n-1
for k=i+1:n
l=a(k,i)/a(i,i);
for j=i+1:n
a(k,j)=a(k,j)-l*a(i,j);
end
b(k)=b(k)-l*b(i);
end
end
% resolucion del sistema triangular
x=zeros(n,1); % tambien vale x=b*0;
x(n)=b(n)/a(n,n);
for i=n-1:-1:1
s=0;
for j=i+1:n
s=s+a(i,j)*x(j); % sumatorio
end
x(i)=(b(i)-s)/a(i,i);
end
return

El c´digo anterior es correcto y ciertamente recuerda a la sintaxis que usar´
o
ıamos en una
programaciń en un lenguaje tradicional como C o Pascal. Sin embargo desde el punto de
o
vista de Matlab es claramente redundante y muy mejorable. Los siguientes ejercicios
ahondan en estos aspectos por lo que resolverlos es muy recomendable.
Ejercicio 3.2 Reescribe el programa utilizando instrucciones y sintaxis propia de Matlab.

Soluciń. Las filas 14-16 del programa (04--06 del algoritmo) se pueden implementar
o
como una diferencia de dos vectores, a(k,i+1:n) y a(i,i+1:n), con cualquiera de estas
dos instrucciones
a(k,i+1:n) =a(k,i+1:n) - l*a(i,i+1:n)
a(k,:) =a(k,:) - m*a(i,:)

La segunda es m´s c´moda de utilizar pero multiplica por dos el n´mero de operaciones
a o
u
4
en la ejecuciń del m´todo .
o
e
4

¿Por qu´?.
e

39

´
LECCION I

e

De forma an´loga, el sumatorio de las l´
a
ıneas 25-29 del c´digo (13 del algoritmo del
o
m´todo de Gauss) es simplemente el producto escalar, y de hecho tambiń matricial, de
e
e
dos vectores, el vector fila a(i,i+1:n) y el vector columna x(i+1:n). Esto es el c´digo
o
de las l´
ıneas 25--29 se puede sustituir por
x(i)=(b(i)- a(i,i+1:n)*x(i+1:n))/a(i,i);

r
do
rra
Bo
Ejercicio 3.3 (Avanzado) Podemos avanzar ań m´s hacia la consecuciń de algoritmos
u
a
o
matriciales. Consideremos la particiń de A
o
a11 c1
d1 A11

A=

,

b=

b1
b1

donde c1 , d1 son vectores (n − 1) × 1 y A11 una matriz (n − 1) × (n − 1). Entonces, el primer
paso del m´todo de Gauss se puede escribir
e
a11
c1
0 A11 − (a11 )−1 c1 d1

,

A(1)

b=

b1
b1 − a−1 b1 d1 .
11
b(1)

El segundo paso del m´todo de Gauss se aplica ahora sobre la matriz A(1) (de tamaõ (n−1)×
e
n
(n − 1)) y el vector b(1) (de tamaõ (n − 1) × 1) y as´ se procede sucesivamente. Implementa
n
ı
esta resoluciń alternativa del m´todo de Gauss.
o
e
(Ayuda. Observa estas tres instrucciones
l=a(i+1:n,i)/a(i,i)

a(i+1:n,i+1:n)-l*a(i,i+1:n)

b(i+1:n)-l*b(i)

¿Qu´ hacen?)
e

Nota sobre la vectorizaciń
o

La nociń de vectorizaciń, trabajar con vectores y matrices en lugar de elemento a eleo
o
mento, no es nueva ni en el An´lisis Num´rico ni en la computaciń a alto nivel. El objetivo
a
e
o
que se persigue es que las todas las operaciones se reduzcan a operaciones matem´ticas
a
sencillas, como productos escalares, productos matriciales, b´squeda de m´ximos y m´
u
a
ınimos en un vector/matriz, suma de vectores y matrices... cuya implementaciń se optio
miza tomando en consideraciń el entorno en el que se trabaja, tanto en software como
o
en hardware. Este conjunto de instrucciones se conocen como BLAS (basic linear algebra
subprograms). Se distinguen tres niveles. El nivel uno est´ formada por operaciones entre
a
vectores, tales como la suma o el producto escalar de dos vectores, de O(n) operaciones, el
nivel dos se ocupa de operaciones matriz-vector con O(n2 ) operaciones y el nivel tres son
operaciones entre matrices, O(n3 ) operaciones. En m´quinas con m´ltiples procesadores
a
u
estos subprogramas deben adaptarse a dividir la tarea entre los procesadores disponibles
de forma ´ptima y a buscar algoritmos que soporten este tipo de trabajo5 .
o
5

Se deben buscar en primer lugar algoritmos que permitan dividir la tarea principal en subtareas
equiparables, y de forma que finalicen en tiempos similares puesto que basta con que una de las subtareas
se retrase respecto a las dem´s para que el conjunto de procesadores deba parar a esperar al rezagado
a
con la consiguiente p´rdida de tiempo (y dinero).
e

40

´
LECCION I

Cap´
e

Uno de los detalles m´s sencillos que hay que plantear es la estrategia de almacea
namiento de las matrices en memoria. Se puede optar por un almacenamiento por filas,
como hace C,
a11 a12 a13
a21 a22 a23

⇒

a11 → a12 → a13 → a21 → a22 → a23

r
do
rra
Bo

A=

donde con la notaciń anterior queremos decir que aij y aij+1 ocupan posiciones conseco
utivas en memoria.
Sin embargo Fortran o Matlab proceden por columnas

A=

a11 a12 a13
a21 a22 a23

⇒

a11 → a21 → a12 → a22 → a13 → a23 .

Segń sea el caso se trata de primar algoritmos que accedan a la matriz por filas o por
u
columnas para que el procesador trabaje con posiciones consecutivas de memoria6 . En esta
din´mica, la resoluciń del sistema triangular segń el algoritmo expuesto en el Ejercicio
a
o
u
3.3 est´ mejor adaptado a la arquitectura de Matlab puesto que todas las operaciones se
a
hacen sobre columnas de la matriz a.

3.1.2.

M´todo de Gauss con pivotaje parcial
e

Para evitar que el m´todo de Gauss se colapse, es decir, que encuentre en un paso i
e
que el elemento aii es nulo (l´
ınea 03 del algoritmo), se introduce la nociń de pivotaje. La
o
idea es muy sencilla: en el caso de que en el i–´simo paso el pivote sea nulo, se procede a
e
intercambiar la fila i por una fila k tal que aki = 0 para cierto k > i. Si esto no es posible,
el sistema no es compatible determinado, es decir, o no tiene soluciń o tiene infinitas
o
soluciones.
Desde un punto de vista prćtico, el m´todo de Gauss con pivotaje procede a intera
e
cambiar siempre filas de forma que en cada paso
|aki | = m´x |a i |,
a
=i,...,n

esto es, el pivote es el mayor posible. Ello dota al sistema de una mayor estabilidad frente
a los errores de redondeo. El algoritmo resultante es el siguiente (denotamos por a ↔ b el
intercambio de valores de a y b).

6

Cuando un procesador moderno lee algo en memoria, suele cargar a su memoria internar, la memoria
cach´, posiciones adicionales y consecutivas de memoria bajo la convicciń de que es probable que las
e
o
requiera en el siguiente paso.

41

´
LECCION I

e
M´todo de Gauss con pivotaje parcial
e
01
02
03

Encontrar k ∈ {i, . . . , n} tal que |aki | = m´x |a i |
a
j= ,...,n

for j = i : n
aij ↔ akj
end
bi ↔ bk

r
do
rra
Bo

04
05
08
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16

for i = 1 : n − 1

%intercambio filas y termino independiente

for k = i + 1 : n
ki = aki /aii
for j = i + 1 : n
akj = akj − ki aij
end
bk = bk − ki bi
end

end

Ejercicio 3.4 Implementa una funciń con el m´todo de Gauss con pivotaje a partir de la
o
e
funciń definida en el Ejercicio 3.2.
o
Para este fin la instrucciń max te puede resultar util. Espec´
o
´
ıficamente,
>> [m,i]=max(v)

devuelve en m el mayor valor del vector v y en i su posiciń, esto es, m = v(i). Aãde tambiń
o
n
e
un control sobre el tamaõ de a(i, i) de forma que si ´ste es pr´ximo a cero7 se termine la
n
e
o
ejecuciń y se devuelva un mensaje de error.
o

(Ayuda. La instrucciń [m,r]=max(abs(a(i:n,i))) te devolver´ en r la posiciń del m´ximo
o
a
o
a
en el vector columna abs(a(i:n,i)). Por tanto, la fila en la matriz a con el mayor valor en la
columna i es i+r-1.)

El intercambio de filas de las l´
ıneas 04--08 se puede implementar de varias formas.
La primera es simplemente con un bucle que recorra las filas y proceda a intercambiar los
valores elemento a elemento. En la segunda forma se hace de forma global mediante
aux=a(i,i:n); a(i,i:n)=a(k,i:n); a(k,i:n)=aux;

La tercera forma probablemente ser´ la que resulte m´s extraã pero vuelve a ser natural
a
a
n
en Matlab. Basta hacer
a([i,k],i:n)=a([k,i],i:n)

F´
ıjate que tiene perfecto sentido sintćtico de acuerdo a las reglas de manipulaciń de
a
o
vectores y matrices expuestas en la primera parte de esta lecciń.
o
7

¿Cuńdo se decide que un n´mero es cero? En la prćtica depende de los tamaõs del resto de
a
u
a
n
elementos de la matriz.

42

´
LECCION I

3.1.3.

Cap´
e

M´todo de Gauss con pivotaje parcial ficticio
e

Desde un punto de vista prćtico no hace falta intercambiar f´
a
ısicamente las filas de la
matriz. En lugar de ello se puede utilizar un vector de ´
ındices p de forma que p(i) sea la
posiciń f´
o ısica en memoria de la fila i.
Inicialmente, las filas estń sin reordenar, es decir, se empieza declarando
a

r
do
rra
Bo
p=1:n;

Intercambiar las filas i y k es equivalente a intercambiar los valores de p en las posiciones
iyk
p([i k])=p([k i])

y se procede a hacer ceros en las filas p(i+1),. . . , p(n). El acceso la fila i se consigue con
a(p(i),:)

y la b´squeda del m´ximo valor para el intercambio de filas con
u
a
[m,r]=max(abs(a(p(i:n),i)));r=r+i-1;

La fila con el m´ximo elemento en valor absoluto es la p(r).
a
Para la resoluciń del sistema triangular despejamos igual que en el m´todo de Gauss,
o
e
desde la n-´sima inc´gnita a la primera, con
e
o
22
23
24
25

x(p(n))=b(p(n))/a(p(n),n);
for i=n-1:-1:1
x(p(i))=(b(p(i))-a(p(i),i+1:n)*x(i+1:n))/a(p(i),i);
end

Desde un punto de vista estrictamente matem´tico se trata de llevar la matriz a una
a
forma que, si bien no es triangular, una reordenaciń adecuada de las filas la transforma
o
en triangular. El vector p recoge en qu´ orden se deben despejar las inc´gnitas a la hora
e
o
de resolver el sistema reducido. En concreto el orden viene dado por p(n), p(n-1),. . . ,
p(1). En cualquier caso, a(p,:) es una matriz triangular8 .
Ejercicio 3.5 Implementa el m´todo de Gauss con pivotaje parcial ficticio.
e

Ejercicio 3.6 Las l´
ıneas 22–25 proceden a resolver el sistema triangular accediendo a los
elementos por filas. Adapta el algoritmo para la resoluciń de este sistema por columnas, tal
o
como se hizo en el Ejercicio 3.3.

Ejercicio 3.7 Sea A una matriz inversible de tamaõ n × n y A−1 su inversa. Si ai es la
n
columna i−´sima de A−1 , esto es,
e
A−1 = [a1 |a2 | · · · |an ],

8

La importancia de estas tćnicas ha decrecido con las ultimas generaciones de ordenadores, donde la
e
´
manipulaciń de enormes cantidades de memoria est´ muy optimizada.
o
a

43

´
LECCION I

3.2 Descomposiciones matriciales
entonces


r
do
rra
Bo


0
 . 
.
 . 
 
Aai = ei =  1  → i.
 . 
 . 
.
0

Utilizando alguna de las diferentes versiones del m´todo de Gauss, implementa el c´lculo de la
e
a
inversa mediante la resoluciń de los n sistemas de ecuaciones. Observa que los n comparten
o
la misma matriz de coeficientes.

3.2.

Descomposiciones matriciales

Uno de los aspectos que mejores resultados dio a lo largo del siglo XX, en los albores del
´
An´lisis Num´rica, fue la constataciń de que numerosos algoritmos del Algebra Lineal,
a
e
o
pod´ reescribirse como factorizaciones de matrices en producto de otras matrices con
ıan
´
caracter´
ısticas muy particulares. Este es el caso del algoritmo de Gram-Schmidt, la matriz
original escrita como el producto de una ortogonal por una triangular, o el caso que nos
ocupa, el m´todo de Gauss, visto como la b´squeda de la factorizaciń de A como el
e
u
o
producto de una matriz triangular inferior por una superior.
La utilidad que se concedi´ a este tipo de factorizaciones fue en un primer momeno
to m´s bien te´rica pero r´pidamente se encontr´ aplicaciones prćticas y su uso en la
a
o
a
o
a
actualidad es profuso.
Estudiaremos en lo que sigue la factorizaciń LU y variantes y dejaremos para m´s
o
a
adelante (Lecciń IV) otro tipo de factorizaciones.
o

3.2.1.

Descomposiciń LU
o

Supongamos que se dispone de una descomposiciń
o
A = LU

donde L y U son matrices triangulares inferior y superior respectivamente. En este caso, la
resoluciń del sistema lineal Ax = b es equivalente a resolver dos sistemas de ecuaciones
o
triangulares
Ly = b, U x = y.
el primero triangular superior y el segundo triangular inferior. Puesto que el costo de
resoluciń de cada sistema es O(n2 ) operaciones (total de sumas y productos) obtenemos
o
una ventaja decisiva en la resoluciń del sistema.
o

Ejercicio 3.8 Implementa la resoluciń de un sistema de ecuaciones Lx = b donde L es
o
triangular inferior con 1s en la diagonal.

Si abordamos directamente la resoluciń de la ecuaciń A = LU , nos encontramos
o
o
2
con un sistema no lineal con n + n inc´gnitas (las entradas de L y U ) y n2 ecuaciones
o
(una por cada elemento de a). Por tanto, el sistema resultante no deber´ admitir soluciń
ıa
o
44

´
LECCION I

Cap´
e

r
do
rra
Bo

unica. Si exigimos que L tenga 1s sobre la diagonal, el n´mero de inc´gnitas pasa a ser
´
u
o
2
de n y por tanto tenemos ya un sistema cuadrado (aunque no lineal). Se trata entonces
de estudiar el siguiente problema: dada una matriz A de tamaõ n × n, encontrar L y U
n
de la forma




1
u11 u12 · · · u1n
 21 1


u22 · · · u2n 




L= .
U =
,
. ..
... .  ,
.
.
. 
 .


.
.
.
unn
n1
n2 · · · 1

y tales que A = LU.
El c´lculo de esta descomposiciń se puede llevar a cabo sin m´s que exigir que el
a
o
a
producto LU sea igual al de A. As´ empezamos despejando la primera fila de U (que es
ı
igual que la de A por ser 11 = 1). Una vez conocida esa fila, se puede despejar la primera
columna de L, utilizando que el producto de L por la primera columna de U (que consta
de un unico elemento no nulo y ya es conocido del paso anterior) da la primera columna de
´
A. Procedemos sucesivamente de esta forma, construyendo U por filas y L por columnas.
Descomposiciń LU (M´todo de Doolittle)
o
e
01
02

for k = 1 : n
for j = k : n

k−1

03

ukj = akj −

04
05
06

end
kk = 1
for i = k + 1:n

kp upj

p=1

k−1

07

ik

= aik −

ip upk

/ukk

p=1

08
09

end

end

El n´mero de operaciones del algoritmo resulta ser igual al del m´todo de Gauss,
u
e
con lo cual no hemos conseguido una ventaja significativa. Sin embargo, disponer de esta
descomposiciń es especialmente util si se requiere resolver varios sistemas de ecuaciones
o
´
lineales con la misma matriz pero con t´rminos independientes diferentes. Las operaciones
e
que conllevan un mayor coste son las correspondientes al c´lculo de las matrices L y
a
U , pero unicamente hay que realizar esta descomposiciń una vez para posteriormente
´
o
resolver en cada caso dos sistemas triangulares.
Ejercicio 3.9 Implementar la descomposiciń LU en Matlab mediante una funciń cuya
o
o
entrada sea una matriz cuadrada y su salida sean las matrices L y U correspondientes.
(Ayuda: la funciń por tanto devuelve dos valores.)
o

45

´
LECCION I


Al observar el algoritmo del m´todo, las operaciones recuerdan a las efectuadas por el
e
m´todo de Gauss. Esto no es tan sorprendente cuando se analizan con detenimiento los
e
calculados realizados. Se puede ver entonces que en el c´lculo de la descomposiciń LU se
a
o
estń haciendo exactamente las mismas operaciones que al aplicar el m´todo de Gauss.
a
e
En efecto, definamos

r
do
rra
Bo

(1)

aij

= aij

(k+1)

i, j = 1, . . . , n

(k)

= aij −

aij

(k)
ik akj ,

k ≥ 1,

1 ≤ i, j ≤ n − k

donde ki viene dada por el algoritmo de Doolitle (l´
ınea 07).
Entonces, de acuerdo con el algoritmo de la factorizaciń LU , los elementos de la
o
primera fila de U y de la primera columna de L vienen dados por
(1)

(1)

u1j = a1j ,

i1

=

ai1

(1)

.

a11

En el siguiente paso, se observa que

i2

=

21 u1j

(1)

(1)
21 a1j

(1)

u2j = a2j −

(1)

= a2j −

(2)

= a2j

(2)

a − i1 a
ai2 − i1 u12
a
= i2 (2) 12 = i2 .
(2)
u22
a22
a22

Reiterando el mismo razonamiento concluimos que

(j)

uij =

(i)
aij ,

i ≤ j,

ij

=

aij

(j)

,

i > j.

ajj

Por tanto U es de hecho la matriz triangular que queda al aplicar el m´todo de Gauss
e
mientras que L est´ formada por los elementos que se han utilizado para hacer ceros en
a
el proceso. Esto es, el elemento i, j de L, denotado por ij , coincide con la constante ij
calculado en la l´
ınea 03 del m´todo de Gauss y por tanto no hay una contradicciń de
e
o
notaciones.
En particular, la propiedad anterior propone una forma alternativa de calcular la descomposiciń LU de una matriz es la siguiente modificaciń del programa del Ejercicio 3.1:
o
o
11
12
13
14
15
16
17

for i=1:n-1}
a(i,i+1:n)=0;
%hacemos cero la columna i
for k=i+1:n}
l(k,i)=a(k,i)/a(i,i);
a(k,i+1:n)=a(k,i+1:n)-l(k,i)*a(i,i+1:n);
end
end

La matriz U estar´ entonces almacenada en a.
ıa

Ejercicio 3.10 Una forma compacta de devolver la descomposiciń LU es insertar L en la
o
parte triangular inferior de a. De esta forma, tras aplicar el m´todo, a tiene en la parte superior
e
la matriz U , mientras que por debajo de la diagonal encontramos L (exceptuando su diagonal
de 1s). Implementa esta modificaciń.
o
46

´
LECCION I

3.2.2.

Cap´
e

Casos particulares

M´todo de Cholesky
e
En una gran variedad de problemas prćticos aparecen matrices sim´tricas definidas
a
e
positivas. Este tipo de matrices puede descomponerse en la forma

r
do
rra
Bo
A = LL

donde





11

 21

L= .
 .
.

22

n1

n2

.
.
.



.


..

.
···

nn

Gracias a la simetr´ de la matriz, tanto el n´mero de operaciones como de posiciones
ıa
u
de memoria requeridos pueden reducirse a la mitad. El algoritmo resultante es conocido
como el m´todo de Cholesky.
e
M´todo de Cholesky
e
01

for k = 1:n

k−1

02

kk

2
kr

akk −

=

r=1

for j = k + 1:n

03

k−1

04

jk

= ajk −

jr kr

/

kk

r=1

05
06

end

end

Ejercicio 3.11 Implementa una funciń que tenga como entrada una matriz A y devuelva
o
la matriz L correspondiente. Debe avisar si la descomposiciń no ha podido llevarse a cabo.
o
Implementa tambiń una segunda funciń que tenga como entradas la matriz L triangular
e
o
y un t´rmino independiente b y que devuelva la soluciń del sistema
e
o
(LL )x = b.

Para ello se requiere la resoluciń de los sistemas triangulares
o
Ly = b,

L x = y.

LU con permutaciń
o

El m´todo de Gauss con pivotaje parcial es equivalente a la decomposiciń
e
o
P A = LU
47

´
LECCION I


donde P es el resultado de permutar las filas (o columnas) de la identidad. Alternativamente, equivale a una descomposiciń de la forma
o
A = LU

r
do
rra
Bo
donde L = P −1 L, de forma que L es una permutaciń de la matriz triangular inferior9 .
o
La siguiente subrutina devuelve esa descomposiciń.
o

01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

%
%
%
%
%
%
%

LUPERMUTACION

[L,U]=LUPERMUTACION(A)

devuelve U triangular superior, L permutacion
por filas de una matriz triangular inferior con
1s en la diagonal de forma que A=L*U

function [l,u]= LUPermutacion(a)
n=length(a);
p=1:n;

for i=1:n-1
[maximo,r]=max(abs(a(p(i:n),i)));r=r+i-1;
p([i r])=p([r i]);
for k=i+1:n
l(p(k),i)=a(p(k),i)/a(p(i),i);
a(p(k),i:n)=a(p(k),i:n)-l(p(k),i)*a(p(i),i:n);
end
end
for i=1:n
l(p(i),i)=1;
end
u=a(p,:);
return

3.2.3.

Comandos correspondientes en Matlab

Todas las factorizaciones vistas con anterioridad estń, por supuesto, implementadas
a
en Matlab. Algunos de los comandos relacionados son
9

Esto es, es el resultado de reordenar las filas de L.

48

´
LECCION I

Cap´
e

[l,u]=lu(a) devuelve u triangular superior, l permutaciń de una triangular inferior
o
con 1s en la diagonal de forma que a=l*u.
[l,u,p]=lu(a) devuelve u triangular superior, l triangular inferior con 1s en la diagonal
y p matriz de permutaciń de forma que p*a=l*u.
o

r
do
rra
Bo

r=chol(a) devuelve r triangular superior de forma que a=r’*r. Observa que con
las notaciones introducidas r es precisamente la traspuesta de la matriz
L, expuesta en nuestro algoritmo. El comando asume que la matriz es
sim´trica por lo que s´lo trabaja con la parte superior de la matriz.
e
o

Otra descomposiciń habitual10 es la denominada QR que devuelve Q ortogonal (es decir,
o
Q Q = In ) y R triangular superior de forma que A = QR. El comando encargado de esta
tarea es qr.
Con estas instrucciones la soluciń de un sistema utilizando la descomposiciń LU se
o
o
ejecuta con las siguientes l´
ıneas
[l,u]=lu(a); x=u(lb);

La colocaciń de los parńtesis es esencial. Con ulb se calcula (u−1 l)−1 b que obviao
e
mente no tiene nada que ver con la soluciń del sistema. No hay que preocuparse por el
o
hecho de que las matrices sean triangulares (o permutaciń de una triangular). Matlab, y
o
en concreto la instrucciń detecta esto y resolver´ el sistema por sustituciń progresiva
o
a
o
(o regresiva), sin intentar realizar la eliminaciń gaussiana.
o

Nota hist´rica11
o

Ideas similares a la eliminaciń gaussiana pueden encontrarse muchos siglos atr´s, con
o
a
referencias que se remontan a las matem´ticas babilńicas y chinas. Carl Friedreich Gauss
a
o
introdujo el m´todo que lleva su nombre entorno a 1800 cuando trataba de resolver un
e
problema de ajuste por m´
ınimos cuadrados relacionado con el c´lculo de la ´rbita del
a
o
asteroide Palas. Parece ser que Joseph Louis Lagrange hab´ utilizado ideas similares 50
ıa
aõs antes para dilucidar si una forma cuadr´tica (hoy dir´
n
a
ıamos matriz) era definida positiva. El matem´tico alemń Carl Gustav Jacob Jacobi extendi´ la idea de la eliminaciń
a
a
o
o
gaussiana a matrices arbitrarias.
Es reseãble que la nociń de matriz tal como la conocemos ahora era desconocida
n
o
para Gauss y Lagrange. El concepto de matriz, y el ´lgebra asociada (esto es, las operaa
ciones) habr´ de esperar a los trabajos de James J. Sylvester (que en 1848 introdujo el
ıan
t´rmino matriz) y de Arthur Cayley (que siete aõs despu´s defini´ el producto matricial
e
n
e
o
identificńdolo con el c´lculo de la composiciń de aplicaciones lineales y defini´ la ina
a
o
o
versa de una matriz). Importantes fueron tambiń las contribuciones del f´
e
ısico Hermann
10

Veremos dos algoritmos para obtener esta descomposiciń en la Lecciń IV. Aunque para la resoluciń
o
o
o
de sistemas de ecuaciones lineales la descomposiciń QR es m´s estable num´ricamente que la LU, se
o
a
e
suele optar por esta ultima por tener un menor coste computacional (aproximadamente la mitad).
´
11
Las principales referencias utilizadas para esta nota han sido “Very Early Days of Matrix Computations”, Beresford Parlett en SIAM News, 3, no 9; “Matrix Algorithms”, G.W. Stewart; “Computer
solutions of large system of equations”, G. Merant y “An introduction to Numerical Analysis”, E. S¨li y
u
D. Mayers. Estas referencias estń completamente detalladas en la bibliograf´
a
ıa.

49

´
LECCION I


r
do
rra
Bo

Grassmann (introdujo la primera ´lgebra vectorial no conmutativa, basada en el producto
a
vectorial de dos vectores; consider´ tambiń el producto de un vector fila por un vector
o
e
columna que daba lugar a una matriz de rango uno), Willard Gibbs y Paul A. Dirac.
La equivalencia entre la descomposiciń LU y la eliminaciń gaussiana parece que fue
o
o
probada por primera vez por Paul S. Dwyer en 1944. Curiosamente, la descomposiciń
o
de Cholesky es anterior. Publicado p´stumamente en 1924 en una revista de Geodesia
o
(Andr´-Louis Cholesky muri´ en 1918). El trabajo original trataba sobre la resoluciń
e
o
o
de un problema de ajuste por m´
ınimos cuadrados y pas´ desapercibido hasta que fue
o
rescatado por John Todd a finales de los aõs 1940.
n
Los primeros an´lisis sobre la estabilidad num´rica de la eliminaciń gaussiana, es
a
e
o
decir la viabilidad de su programaciń, se remontan a los trabajos de Harold Hotelling,
o
Alan Turing12 , John von Neumann y Herman Heine Goldstine. Los resultados iniciales
eran descorazonadores. Harold Hotelling prob´ en torno a 1940 que el error de redondeo
o
n
podr´ crecer como 4 donde n era el orden de la matriz. Este resultado colocaba al m´todo
ıa
e
de Gauss como un m´todo inviable para la resoluciń de grandes sistemas lineales. Turing
e
o
lleg´ a resultados similares de manera informal. El an´lisis de Neumann y Goldstine ya
o
a
probaba que el m´todo era estable para matrices definidas positivas13 . James H. Wilkinson,
e
reconocido universalmente como el padre del an´lisis moderno de estabilidad (frente a los
a
errores de redondeo), extendi´ el an´lisis a matrices generales y mostr´ que el pivotaje
o
a
o
mejoraba enormemente la estabilidad del m´todo. Lo m´s curioso es que el an´lisis inicial
e
a
a
estaba enfocado m´s hacia el c´lculo de la inversa de la matriz que al m´todo de Gauss.
a
a
e
Como curiosidad final, Cleve Moler, programador original de Matlab, cita14 a Wilkinson
y Todd entre las personas que tuvieron una gran influencia en su formaciń y por ende
o
en los or´
ıgenes de Matlab.

12

La vida de Alan Turing es una de las m´s tr´gicas en historia de las matem´ticas. Dotado de una ina a
a
teligencia precoz, realiz´ contribuciones importantes en l´gica y computaciń. Trabaj´ durante la segunda
o
o
o
o
guerra mundial en Bletchley Park en el descifrado de los c´digos alemanes encriptados con la m´quina
o
a
Enigma mediante la utilizaciń del primer ordenador electrńico en el mundo (Colossus). El papel que
o
o
este trabajo anńimo tuvo en la victoria aliada, los alemanes siempre estuvieron seguros de que su c´digo
o
o
era indescifrable, s´lo ha empezado a reconocerse en fechas recientes. La presiń y aislamiento a la que
o
o
Turing fue sometido por su homosexualidad, llegando incluso a ser detenido por ello, le llev´ al suicidio
o
en 1954 despu´s de haberse sometido a un tratamiento con bromuro para curarle de su enfermedad.
e
13
En los primeros aõs se sugiri´ incluso resoluciń de un sistema Ax = b mediante las ecuaciones
n
o
o
normales A Ax = A b (A A es sim´trica y definida positiva).
e
14
http://www.mathworks.com/company/newsletters/news notes/clevescorner/dec04.html

50

r
do
rra
Bo
Lecci´n II
o

Programaci´n avanzada en Matlab.
o
M´todos iterativos para sistemas de
e
ecuaciones lineales

51

r
do
rra
Bo

Introducciń
o

Homer: Marge? Since I’m not talking to Lisa, would you
please ask her to pass me the syrup?
Marge: Dear, please pass your father the syrup, Lisa.
Lisa: Bart, tell Dad I will only pass the syrup if it won’t be
used on any meat product.
Bart: You dunkin’ your sausages in that syrup homeboy?
Homer: Marge, tell Bart I just want to drink a nice glass of
syrup like I do every morning.
Marge: Tell him yourself, you’re ignoring Lisa, not Bart.
Homer: Bart, thank your mother for pointing that out.
Marge: Homer, you’re not not-talking to me and secondly I
heard what you said.
Homer: Lisa, tell your mother to get off my case.
Bart: Uhhh, dad, Lisa’s the one you’re not talking to.
Homer: Bart, go to your room.
The Simpsons, Episodio 5, temporada 5, Lisa the Vegetarian

En el primer apartado entraremos en aspectos m´s avanzados en el tratamiento de
a
vectores y matrices en Matlab, haciendo hincapi´ especial en la manipulaciń de matrices
e
o
sparse. Veremos tambiń c´mo se pueden implementar funciones donde el n´mero de
e o
u
argumentos de entrada y salida son variables.
En la parte matem´tica, tocaremos la teor´ b´sica de m´todos iterativos para sistemas
a
ıa a
e
de ecuaciones lineales. Empezaremos con los m´todos cl´sicos: Jacobi, Gauss–Seidel y
e
a
relajaciń de Young, para pasar luego a m´todos m´s modernos y elaborados: el m´todo
o
e
a
e
del Gradiente y especialmente, el m´todo del Gradiente Conjugado.
e
En esta lecciń nos permitiremos hacer algo de Matem´ticas. Animamos a que el lector
o
a
no se asuste por ello y a que trate de entender los enunciados y las demostraciones que se
´
ofrecen. Para ello se asumen unos conocimientos m´
ınimos en Algebra Lineal.

53

r
do
rra
Bo

Cap´
ıtulo 4

Matlab: programaciń avanzada
o
4.1.

Retorno a las matrices

A estas alturas el lector ya deber´ estar convencido sobre las capacidades de Matlab
ıa
en lo que se refiere al manejo de enormes cantidades de memoria. En esta secciń expono
dremos algunos comandos adicionales y entraremos con cierto detalle en la manipulaciń
o
1
de matrices sparse .

4.1.1.

Acceso a partes estructuradas de una matriz

En ocasiones es importante tomar partes precisas de una matriz que no son necesariamente partes de filas, columnas o simplemente submatrices (estas acciones ya se trataron
en la primera lecciń). Para este fin nos pueden servir las siguientes instrucciones
o
diag

triu

tril

La primera toma la diagonal de una matriz mientras que la segunda y tercera toman
la parte triangular superior (upper) e inferior (lower) respectivamente. Adem´s estos coa
mandos son algo m´s flexibles de lo que pueda parecer a simple vista como veremos a
a
continuaciń.
o
Empecemos introduciendo una matriz
>> a=[11 12 13; 21 22 23; 31 32 33];

El resultado de los siguientes comandos es, a la luz de lo anterior, esperable
>> diag(a)
ans =
11
22
33

1

Aceptaremos este anglicismo en lo que sigue. En ocasiones este vocablo se traduce por matrices huecas
o matrices dispersas.

55

´
LECCION II

4.1 Retorno a las matrices

>> triu(a)
ans =
12
22
0

13
23
33

r
do
rra
Bo

11
0
0

>> tril(a)
ans =
11
21
31

0
22
32

0
0
33

El usuario puede especificar qu´ diagonal se escoge, o a partir de qu´ diagonal se toma
e
e
la matriz triangular. La diagonal principal es la cero y las subdiagonales inferiores (respectivamente superiores) estń numeradas consecutivamente con n´meros enteros negativos
a
u
(respectivamente positivos). El siguiente ejemplo ilustra estas caracter´
ısticas.
>> diag(a,-1)
ans =

21
32

>> tril(a,-1)
ans =

0
21
31

0
0
32

0
0
0

>> triu(a,0)
ans =

11
0
0

12
22
0

13
23
33

Ejercicio 4.1 Programa una funciń que dada una matriz a devuelva un vector d con los
o
elementos de la diagonal, una matriz triangular superior u con todos los elementos de a situados
56

´
LECCION II

Cap´
ıtulo 4. Matlab: programaciń avanzada
o

encima de la diagonal superior y l una matriz triangular inferior con todas las entradas de
debajo de la diagonal principal.
Ejercicio 4.2 ¿Qu´ sucede si aplicamos los comandos anteriores a matrices rectangulares?.
e

r
do
rra
Bo

Con diag podemos tambiń construir a partir de un vector una matriz diagonal
e
>> diag([1 2])

% es lo mismo que diag([1 2],0)

ans =

1
0

0
2

>> diag([1 2],1)
ans =

0
0
0

1
0
0

0
2
0

Ejercicio 4.3 ¿C´mo utilizar´ el comando diag para generar una matriz con la diagonal
o
ıas
de una dada?.
Nota. El comando blkdiag permite construir matrices diagonales por bloques:
>> blkdiag(1,[1 2; 3 4], 5)
ans=

1
0
0
0

0
1
3
0

0
2
4
0

0
0
0
5

Trasposiciń de matrices
o

Dada una matriz A, la matriz traspuesta A es la matriz resultante de intercambiar
las filas con las columnas de A. Esto es, las filas de A pasan a ser las columnas de A .
Esta operaciń se denota en Matlab con “ ’ ” :
o
>> a=[1 2 3; 0 2 4];
>> a’
ans =
57

´
LECCION II


1
2
3

0
2
4

r
do
rra
Bo

Obviamente, tambiń se aplica sobre vectores:
e

>> b=[1;2;3]; % vector COLUMNA con tres elementos
>> b’ % vemos ahora un vector FILA
ans =

1

2

3

De nuevo nos encontramos con esta propiedad sobre la que ya hemos incidido: Matlab
distingue entre vectores filas y columnas, y esta diferencia se hace especialmente palpable
(y en ocasiones molesta) a la hora de realizar operaciones como productos matriz-vector.

Nota. En Matlab existe tambiń el operador “.’”. Sobre matrices reales funciona exace
tamente igual que el comando anterior, pero no as´ sobre n´meros complejos. Adem´s de
ı
u
a
trasponer, “’”, conjuga todas las entradas. Es decir, cambia el signo a la parte imaginaria
de cada elemento. Matem´ticamente hablando, ´ste es el operador de trasposiciń o cona
e
o
jugaciń, denotado habitualmente en matem´ticas con “A∗ ”. Por contra, “.’” se limita a
o
a
intercambiar filas por columnas en la matriz:
>> clear i % i es ahora la unidad imaginaria
>> a=[i 1-2i; 1 0.3+4i];
>> a.’
ans =

0 + 1.0000i
1.0000 - 2.0000i

1.0000
0.3000 + 4.0000i

>> a’
ans =

0 - 1.0000i
1.0000 + 2.0000i

1.0000
0.3000 - 4.0000i

Dada una matriz a, si ejecutamos a(:), obtenemos el vector columna que se construye concatenando las columnas de a. Tćnicamente hablando, nos est´ mostrando la
e
a
matriz tal como se guarda en memoria. Por ejemplo,
58

´
LECCION II

Cap´
o

>> a=[1 2 3; 0 2 4];
>> a(:)
ans =

r
do
rra
Bo

1
0
2
2
3
4

>> a=a’; %trasponemos a
>> a(:)
ans =

1
2
3
0
2
4

Esto puede utilizarse para hacer un par de trucos:

En ocasiones la entrada de una funciń es un vector, sin importar si ´ste es fila o
o
e
columna.
La instrucciń
o

>> b=b(:);

har´ de b un vector columna, sea cual sea su formato inicial. Si lo que se desea es
a
un vector fila, basta con trasponer
>> b=b(:)’; % b=b(:).’ mejor por si b es complejo

Se puede utilizar para introducir las entradas de una matriz por columnas. A modo
de ejemplo,
>> a=zeros(4,3);
>> a(:)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12]
a =

59

´
LECCION II

1
2
3
4

5
6
7
8

9
10
11
12

r
do
rra
Bo

>> a2=zeros(2,6);
>> a2(:)=a(:)
a2=

1
2

3
4

5
6

7
8

9
10

11
12

Nota. El comando reshape permite modificar las dimensiones de una matriz (o array
en general). Es m´s flexible que el comando “:”.
a

4.1.2.

M´s operaciones sobre matrices
a

Hasta ahora las operaciones matriciales que han centrado nuestra atenciń son las funo
damentales: suma y producto. En Matlab estń tambiń implementadas otras operaciones
a
e
´
comunes en el Algebra Lineal. Entre todas ellas destacamos
dot: Calcula el producto escalar de dos vectores:
>> dot([1 2 3],[4 5 6])
ans =

32

Devuelve el produto 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32. Este comando no distingue entre vectores
filas y columnas, y es aplicable siempre que tengan la misma longitud.
La funciń se puede aplicar a matrices bien por columnas, ´sta es la forma estńdar2 ,
o
e
a
o por filas.
>> a=[1 2 3; 4 5 6]; a2=[1 1 1; 1 1 1];
>> dot(a,a2) % producto por columnas
ans =

5

2

7

9

Recuerda la predilecciń de Matlab por las columnas.
o

60

´
LECCION II

Cap´
o

>> dot(a,a2,2) % producto por filas
ans =

r
do
rra
Bo

6
15

sum: calcula la suma de las entradas un vector. Es aplicable tambiń a matrices, en el
e
sentido del comando anterior
>> v=[1 2 3]; a=[1 2 3; 4 5 6];
>> sum(v)
ans =

6

>> sum(a)

% suma por columnas

ans =

5

7

>> sum(a,2)

9

% suma por filas

ans =

6
15

prod: Como sum pero con el producto.

max: Calcula el m´ximo en un vector. Puede devolver su posiciń en el vector. Aplicado
a
o
sobre matrices funciona de la misma forma que dot o sum. Esto es, devuelve el
m´ximo de cada columna por defecto, o de cada fila si as´ se le indica
a
ı
>> v=[-2 -5 -3]; a=[2 3 8; -4 2 9];
>> max(v)
ans=

-2

>> [p,m]=max(abs(v)); [p,m]

61

´
LECCION II

ans =
5

2

>> max(a)

r
do
rra
Bo
ans =

2

3

9

>> max(a,[],2)

% busqueda por filas

ans =

8
9
>> [m,p]=max(a,[],2); p % posicion del maximo
ans=

1
1

La razń por la que se utiliza [] en la l´
o
ınea anterior es que esta instrucciń tambiń
o
e
se puede utilizar para comparar dos arrays del mismo tamaõ
n
>> a1=[3 1 2; 5 3 2]; a2=[4 2 1; 1 2 3];
>> max(a1,a2)
ans =

4
5

2
3

2
3

Al insertar el vac´ indicamos a Matlab que no existe un segundo vector y que debe
ıo
proceder a buscar el m´ximo de a en su segunda dimensiń, esto es, el m´ximo por
a
o
a
filas.

min: Calcula el m´
ınimo procediendo exactamente igual que max.

norm: norma de una matriz o vector. Se puede escoger entre varias normas.

>> v=[1 2 3];a=[1 2; 3 4];
>> [norm(v) norm(v,1) norm(v,inf)] % norma 2, 1 e infinito de v
ans =

62

´
LECCION II

Cap´
o
3.7417

6.0000

3.0000

>> [norm(a) norm(a,1) norm(a,inf)] % normas matriciales
ans =

r
do
rra
Bo
5.4650

6.0000

7.0000

o
En la Secciń 5.2.3 comentaremos brevemente la definiciń de estas normas.
o

rank: rango num´rico de una matriz. Esto es, el n´mero m´ximo de filas o columnas
e
u
a
3
linealmente independientes .

cond: Calcula norm(a)*norm(inv(a)), el condicionamiento de una matriz4 . El condicionamiento da una medida de la sensibilidad del sistema a perturbaciones en el
t´rmino independiente.
e

rcond: estimador del inverso del condicionamiento de una matriz. Es sensiblemente m´s
a
econ´mico de calcular que cond.
o

Nota. Cuando el comando dot se aplica a dos vectores complejos, procede siempre a
conjugar el primer vector. Es decir, matem´ticamente
a
n

ui v i .

dot(u, v)

i=1

As´
ı,

>> u=[1+i 2+2i]; v=[2 1];
>> dot(u,v)
ans =

4.0000 - 4.0000i

>> dot(v,u)
ans =

4.0000 + 4.0000i

Ejercicio 4.4 ¿C´mo sumar´ los elementos de una matriz?. ¿C´mo encontrar´ el m´
o
ıas
o
ıas
ınimo
y el m´ximo?. ¿Y su posiciń?
a
o
3

Una matriz tiene, en general, rango m´ximo por los errores de precisiń de la m´quina. Este comando
a
o
a
hace una estimaciń del rango, eliminando este factor.
o
4
En realidad no construye la inversa de la matriz por ser costoso.

63

´
LECCION II


4.1.3.

Matrices sparse

r
do
rra
Bo

Las matrices sparse son una importante clase de matrices que surge en diferentes
a
´mbitos del An´lisis Num´rico y de las Matem´ticas y ciencias en general (elementos
a
e
a
ﬁnitos, teor´ de grafos,...).
ıa
e
En la Figura 4.1 se puede ver un ejemplo de una matriz sparse sim´trica donde los
puntos indican las entradas diferentes de cero. Desde una ´ptica puramente computacional
o
hace falta desarrollar sistemas de almacenamiento especiales dado que la inmensa mayor´
ıa
de las entradas no deben ser almacenadas porque son nulas.

Figura 4.1: Diagrama de un matriz sparse 400 × 400 con 2690 elementos no nulos.
Matlab provee de forma muy sencilla ese almacenamiento. Con
>>a=sparse(100,100); b=sparse(100,1);

declaramos a como una matriz sparse 100×100 y un vector columna b de 100 elementos. Todas las entradas son inicialmente ceros, pero se guarda la estructura b´sica para
a
introducir los elementos no nulos
>> a=sparse(100,100)
a =

All zero sparse: 100-by-100

>> a(4,4)=1; a(8,9)=-4; a(80,45)=-1; a(99,100)=4;
>> a
a =

64

´
LECCION II

Cap´
o

(4,4)
(8,9)
(80,45)
(99,100)

1
-4
-1
4

r
do
rra
Bo

Para transformar una matriz llena (convencional) en una matriz sparse podemos utilizar
tambiń este comando
e
>> a=diag([1 2 3 4 5]);
>> a=sparse(a)
a =

(1,1)
(2,2)
(3,3)
(4,4)
(5,5)

1
2
3
4
5

Con full realizamos la operaciń inversa: transforma una matriz sparse en una matriz
o
llena,
>> a=full(a)
a =

1
0
0
0
0

0
2
0
0
0

0
0
3
0
0

0
0
0
4
0

0
0
0
0
5

La instrucciń spalloc tiene un funcionamiento muy similar a sparse. Es util si se sabe
o
´
el n´mero de elementos no nulos que tendr´ dicha matriz. Concretamente
u
a
>> a=spalloc(8,7,12)

declara una matriz 8 × 7 con a lo sumo 12 elementos no nulos. Al informar de cuńtos
a
elementos no nulos se esperan Matlab hace una gestiń m´s eficiente de la memoria.
o
a
El comando nnz (Non zeros) nos informa del n´mero de elementos no nulos de una
u
matriz, mientras que su esquema (pattern), como el que aparece en la Figura 4.1, se obtiene
con spy:
>> a=sparse(10,10);
>> a(1,4)=1; a(2,8)=-4; a(3,9)=1; a(7,8)=5;
>> nnz(a)
ans=

65

´
LECCION II

4.2 Argumentos de funciones
4
>> spy(a)

r
do
rra
Bo

La gr´fica se despliega en una ventana separada.
a
Todas las operaciones que hemos visto estń adaptadas al nuevo entorno. As´ los
a
ı,
operadores
:

triu

tril

diag

devuelven vectores/matrices sparse. Las operaciones
*

+

.*

dot

’

estń asimismo optimizadas. El problema de generar c´digo eficiente no es tan simple
a
o
como pudiera parecer. Por ejemplo, si se aplica la funciń dot a dos vectores sparse es
o
preciso saber antes qu´ entradas hay que multiplicar. De otra forma podr´
e
ıamos estar
dedicando un alto porcentaje de nuestro esfuerzo en simplemente calcular productos por
cero. Afortunadamente, Matlab hace ese trabajo por nosotros.
Por otro lado, aparecen una nueva serie de comandos, que devuelven matrices sparse,
entre los que merece la pena destacar
spdiags maneja las diagonales de una matriz de forma an´loga a diag;
a

speye devuelve una matriz diagonal con unos, o similar (an´loga a eye);
a

spones matriz de 1s, similar a ones;

sprand, sprandn construyen una matriz sparse con entradas aleatorias (similar a
rand);

Ejercicio 4.5 Con la ayuda de Matlab averigua la sintaxis concreta de los comandos anteriores y comprueba con algń ejemplo c´mo funcionan.
u
o

4.2.

Argumentos de funciones

Veremos a continuaciń c´mo se pueden programar funciones en las que tanto el
o o
n´mero de argumentos de entrada como de salida sean variables. Esta caracter´
u
ıstica dota
de una mayor flexibilidad a la programaciń en Matlab.
o
Los comandos esenciales que precisamos son
varargin

nargin

varargout

nargout

La instrucciones nargin y nargout informan respectivamente sobre el n´mero de variables
u
de entrada y el n´mero de variables de salida (number of input arguments y number of
u
output arguments).
Una funciń puede aceptar una serie de argumentos fijos, al estilo de las funciones que
o
programamos en la lecciń anterior, y un conjunto de argumentos opcionales, que pueden
o
66

´
LECCION II

Cap´
o

ser o no especificados por el usuario. Para su acceso se utilizan respectivamente varargin
(variable input argument) y varargout (variable output argument) mediante llaves ({})5 .
Mostramos a continuaciń un ejemplo de utilizaciń conjunta de estas nuevas instruco
o
ciones. En la cabecera se informa de qu´ hace la funciń, dependiendo de los argumentos
e
o
de entrada y salida.

r
do
rra
Bo
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

% DESCOMPOSICIONLU
%
% [L,U]
= DESCOMPOSICIONLU(A)
%
Devuelve U triang superior, L permutacion de una
%
triang inferior con 1s en la diagonal tal que A=LU
%
% [L,U,X] = DESCOMPOSICIONLU(A,B)
%
Devuelve U triang superior, L permutacion de una
%
triang. inferior con 1s en la diagonal tal
%
que A=LU y la solucion del sistema AX=B
function varargout=DescomposicionLU(a,varargin)
[l,u]=lu(a);

% descomposicion LU

if nargin==1 & nargout==2
varargout{1}=l;
varargout{2}=u;
elseif nargin==2 & nargout==3
b=varargin{1}; % leemos el primer argumento opcional...
varargout{1}=l; varargout{2}=u;
varargout{3}=u(lb); % solucion del sistema
end

Como puede comprobarse, la funciń precisa de un argumento obligatorio, la matriz
o
a, uno opcional, el t´rmino independiente, y devuelve dos o tres argumentos segń se
e
u
requiera. Observa los resultados que se han obtenido para varios ejemplos:
>> a=[1 3; 2 4];
>> [l,u]=DescomposicionLU(a)
l =

0.5000
1.0000

1.0000
0

u =

5

Las variables varargin y varargout son de un tipo especial denominado cell array. En la Lecciń
o
IV estudiaremos su funcionamiento con m´s detalle.
a

67

´
LECCION II

2
0

4
1

>> [l,u,x]=DescomposicionLU(a,[1 2].’)

r
do
rra
Bo

l =

0.5000
1.0000

1.0000
0

u =

2
0

4
1

x =

1
0

>> [l,u]=DescomposicionLU(a,[1 2]) %falta un arg. de salida
??? Error using ==> DescomposicionLU
Too many output arguments.

>> [l,u,x]=DescomposicionLU(a) %faltan arg. de entrada
??? Error using ==> DescomposicionLU
Too many output arguments.

Ejercicio 4.6 A partir de la funciń anterior implementa una funciń que opere segń la
o
o
u
“siguiente cabecera”
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%

DESCOMPOSICIONLU2
R

= DESCOMPOSICIONLU2(A)
Si A es simetrica definida positiva devuelve
R triang superior tal que A=R’R
[R,X] = DESCOMPOSICIONLU2(A,B)
Si A es simetrica definida positiva devuelve
R triang superior tal que A=R’R y la solucion
del sistema AX=B
[L,U] = DESCOMPOSICIONLU2(A)
Devuelve U triang superior, L permutacion de
una triang. inferior con 1s en la diagonal
tal que A=LU
[L,U,X]= DESCOMPOSICIONLU2(A,B)
Devuelve U triang superior, L permutacion de
68

´
LECCION II
%
%

Cap´
o
una triang. inferior con 1s en la diagonal
tal que A=LU y la solucion del sistema AX=B

Nota: Realizar la comparaciń A’==A para testar si la matriz es sim´trica. ¿Qu´ devuelve esta
o
e
e
comparaciń? ¿C´mo se puede utilizar para comprobar si efectivamente la matriz es sim´trica?
o
o
e
¿Y para ver que es definida positiva?.

r
do
rra
Bo
69

´
LECCION II


r
do
rra
Bo
70

Libro matlabweb

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Similaire à Libro matlabweb

Similaire à Libro matlabweb (20)

Libro matlabweb