KSMT-Kurva-Kelompok I

1. Curve

2. Diberikan adalah sebuah kurva.
Pada Bab 1, bagian 4, telah didefinisikan vektor kelajuan dari
saat t. Sekarang kita definisikan kecepatan dari saat t yaitu panjang
dari vektor kelajuan. Dengan demikian, kecepatan
merupakan sebuah fungsi bernilai real pada interval I.
Dalam koordinat Euclid

3. Oleh karena itu, fungsi kecepatan dari dinyatakan dengan perumusan :
Dalam fisika, jarak yang dilalui oleh perpindahan titik dapat ditentukan
dengan mengintegralkan kecepatannya terhadap waktu. Dengan demikian,
kita definisikan panjang busur untuk dari ke yaitu

4. Panjang busur ini hanya melibatkan batasan dari (didefinisikan pada
beberapa interval terbuka) untuk interval tertutup . Batasan
seperti disebut segmen kurva , dan panjangnya dilambangkan
dengan . Perhatikan bahwa kecepatan dari terdefinisi dengan baik di
titik-titik terakhir dan dari .
Terkadang salah satu yang menarik hanya rute yang dilalui oleh sebuah kurva
dan bukan pada kecepatan tertentu dimana sebuah kurva melintasi rutenya.
Salah satu cara untuk mengabaikan kecepatan dari kurva yaitu dengan
reparameterisasi kurva yang memiliki kecepatan unit . Maka
menggambarkan “perjalanan standar” sepanjang rute .

5. 2.1 Teorema

6. Teorema 2.1
Jika adalah kurva regular di , maka terdapat suatu reparameterisasi ß dari
sedemikian hingga ß memiliki kecepatan satuan.

7. Bukti:
Akan dibuktikan terdapat ß suatu reparameterisasi dari sehingga . Misal
diberikan nilai (fixed) pada domain I dari fungsi dan fungsi panjang busur
Kemudian derivatif dari fungsi adalah fungsi kecepatan dari
dari - . Karena - regular maka menurut definisi , sehingga . Menurut
Teorema Dasar Kalkulus, fungsi memiliki fungsi invers dimana derivatif
pada adalah kebalikan dari pada . Secara sama berarti .
Sekarang misalkan ß reparameterisasi dari - . Dengan menggunakan
aturan rantai diperoleh
Dari sini maka diperoleh kecepatan ß
Sehingga terbukti bahwa reparameterisasi ß dari - sedemikian hingga ß memiliki
kecepatan satuan.

8. Contoh: Helix .
Maka kelajuan
Sehingga
.
Maka mempunyai kecepatan konstan
.
Dengan panjang busur dari t=0:
.

9. Dengan mensubstitusikan t(s)=s/c ke , maka didapat:
Dan mudah diketahui bahwa untuk semua s, sehingga punya
kecepatan satuan.

10. 2.2 Definisi

11. Definisi 2.2
Medan vector Y pada kurva
adalah sebuah fungsi yang mengawankan setiap sebagai tangent vector Y(t)
terhadap pada (t)
Y(t) = (y1(t), y2(t), y3(t)) (t)
= yi(t)Ui( (t))
Dengan yi pada I disebut fungsi koordinat Euclidean pada Y.
Operasi-operasi:
Jika diberikan Y, Z medan vector pada kurva dan f fungsi, maka
(Y + Z) (t) = Y(t) + Z(t)
(f Y) (t) = f(t) Y(t)

13. Jika diberikan
Maka

14. Jika maka .
Contoh:
Turunan dari yaitu merupakan percepatan dari .
Misal maka .
Dan berbeda dengan kecepatan, percepatan tidak menyinggung kurva

15. Diferensiasi selalu memenuhi sifat linear dan sifat Leibnizian.
Sifat linear:
Sifat Leibnizian:
Jika adalah fungsi konstan maka
Jika mempunyaipanjang konstan
maka dan orthogonal di setiap titik.
Sedemikian hingga konstan maka

16. 2.3 Lemma

17. 2.3 Lemma
1. Suatu kurva konstan jika dan hanya jika kecepatannya nol, =0;
2. Kurva tidak konstan adalah garis lurus jika dan hanya jika percepatannya nol,
=0;
3. Suatu medan vector Y pada kurva adalah sejajar jika dan hanya jika
turunannya nol, Y’=0.

18. 1
Bukti Lemma:
Karena kurva konstan, , maka .
Jika , berarti dengan sebarang
konstanta,
maka kurva konstan, .

19. Bukti Lemma:
Karena kurva tidak konstan dan garis lurus,
.
.
jika dan hanya jika masing-masing , sehingga
dengan , tidak lain merupakangaris lurus, maka
yang merupakan kurva tidak konstan.
2

20. Bukti Lemma:
Suatu medan vector, pada kurva sejajar jika semua tangent vector-nya sejajar, Tangen
vector dan sejajar jika dan sehingga
konstanta, dan .
Karena , maka , sedangkan diketahui pula
kesejajaran medan vector ekuivalen dengan kekonstanan dari fungsi kordinat Euclidan.
Berarti Y sejajar.
3

21. Benawi Adha(11/316884/PA/14004)
Era Dwi Irianti(11/313469/PA/14274)
Erna Dwi Astuti(11/313469/PA/13692)
Farida Iin Nuraini(11/316917/PA/14036)
Riska Amalia Pertiwi(11/316871/PA/13993)
Risky Novita Listyorini(11/317028/PA/14145)
Credits