1. Tema 3
“Vectores, Matrices y Álgebra Lineal "
Lic. Ana Laksmy Gamarra Carrasco
Universidad Privada Antenor Orrego
Febrero del 2013

2. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Los paquetes: LinearAlgebra y linalg
El Maple posee dos grandes paquetes de comandos para el
uso en Álgebra Lineal: uno mas antiguo, llamado linalg, y otro
mas reciente, llamado LinearAlgebra. Ambos tienen mas de
100 funciones, son independientes y ejecutan las mismas
tareas.

3. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Los paquetes: LinearAlgebra y linalg
El Maple posee dos grandes paquetes de comandos para el
uso en Álgebra Lineal: uno mas antiguo, llamado linalg, y otro
mas reciente, llamado LinearAlgebra. Ambos tienen mas de
100 funciones, son independientes y ejecutan las mismas
tareas.
Los paquetes: LinearAlgebra y linalg
Podemos usar el comando with para ver los comandos de
LinearAlgebra y linalg:
> with(LinearAlgebra)> with(LinearAlgebra)> with(LinearAlgebra);
> with(linalg)> with(linalg)> with(linalg);

4. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

5. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

6. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Vector
En el paquete linalg, un vector puede ser definido con el
comando
vector([v1, v2, ..., vn])
.

7. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Vector
En el paquete linalg, un vector puede ser definido con el
comando
vector([v1, v2, ..., vn])
.
Vector
En el paquete LinearAlgebra, un vector puede ser definido
con el comando
Vector([v1, v2, ..., vn]) o < v1, v2, ..., vn > .
La enésima coordenada de un vector v puede ser referenciada
como v[n].

8. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejemplo
1 Definir un vector (4, 5, −7) y calcular la suma de sus
coordendas.
2 Definir un vector (−3, 8, 1) y calcular el producto de sus
coordendas.

9. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

10. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Operaciones con vectores
En el paquete linalg, las operaciones básicas con vectores
son:
1 evalm(k*v): Producto escalar de k por el vector v.
2 crossprod(v,w): Producto vectorial de v por w.
3 dotprod(v,w): Producto interno de v por w.
4 evalm(v+w): Suma de vectores v y w.
5 angle(v,w): Ángulo entre los vectores v y w (en radianes).
6 norm(v,2): Norma del vector v.

11. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejemplo
Siendo u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 5) y w = (5, 0, 2), Calcular :
1 u + v
2 2v
3 v − w
4 v ∗ w
5 t = v × w
6 El ángulo entre u y w.

12. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

13. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Operaciones con vectores
Las operaciones básicas con vectores en el paquete
LinearAlgebra son definidos de la siguiente manera:
1 VectorScalarMultiply(v,k): Producto escalar de k por el
vector v. Puede ser usado en la forma k ∗ v.
2 CrossProduct(v,w): Producto vectorial de v por w.
3 DotProduct(v,w): Producto interno de v por w. Puede ser
usado en la forma v.w
4 v+w: Suma de vectores v y w.
5 VectorAngle(v,w): Ángulo entre los vectores v y w (en
radianes).
6 VectorNorm(v,2): Norma euclidiana del vector v.

14. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejemplo
Siendo u = (1, 1, −1), v = (5, 0, −3) y w = (−3, −2, −5),
Calcular :
1 u + v
2 3v
3 v − w
4 v ∗ w
5 t = v × w
6 El ángulo entre u y w.

15. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

16. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Matrices
En el paquete linalg, una matriz:




a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn




puede ser definida por el comando:
matrix([[a11, a12, ..., a1n], [a21, a22, ..., a2n], ..., [am1, am2, ..., amn]])matrix([[a11, a12, ..., a1n], [a21, a22, ..., a2n], ..., [am1, am2, ..., amn]])matrix([[a11, a12, ..., a1n], [a21, a22, ..., a2n], ..., [am1, am2, ..., amn]])
Después de definida, podemos hacer referencia, los elementos
de la matriz. El elemento Aij en la i-ésima fila y la j-ésima
columna de la matriz A puede ser referenciado como A[i, j].

17. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejemplo
1 Definir la matriz:
X =
1 2 3
4 5 6
2 Modificar los elementos X13 y X22 y enunciar la matriz
modificada.

18. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

19. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Operaciones básicas con matrices
1 A + B: Suma de matrices
2 A − B: Diferencia de matrices
3 A& ∗ B: Producto de matrices
4 A ∗ B: Producto escalar por una matriz
IMPORTANTE: EMPLEAR SIEMPRE evalm AL EVALUAR
EXPRESIONES MATRICIALES.

20. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejemplo
Considerando las matrices:
A =


2 −1 4
0 1 −1
1 3 2

 B =


3 −1 0
0 −1 1
1 1 2


Calcular: A + B, 3A − 2B, A ∗ B y B ∗ A.

21. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

22. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejercicio
Considerando las matrices:
A =


3 −1 4
1 6 −1
1 4 1

 B =


2 −2 1
7 8 1
1 6 3


Calcular: A + B,A − B, 5A − 2B, A ∗ B y B ∗ A.

23. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Matriz inversa
En el paquete linalg, una matriz inversa M es calculada con el
comando inverse(M).

24. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Matriz inversa
En el paquete linalg, una matriz inversa M es calculada con el
comando inverse(M).
Matriz inversa
En el paquete LinearAlgebra, una matriz inversa M es
calculada con el comando MatrixInverse(M).

25. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejemplo
Calcular la inversa de la matriz A, usando el paquete linalg.
A =
3 1
−5 2

26. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejemplo
Calcular la inversa de la matriz A, usando el paquete linalg.
A =
3 1
−5 2
Ejemplo
Calcular la inversa de la matriz A, usando el paquete
LinearAlgebra.
A =
3 1
−5 2

27. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

28. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

29. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejercicio
Hallar la inversa de cada una de las matrices:
1 A =


1 3 −2
2 8 −3
1 7 1


2 A =


2 1 −1
5 2 −3
0 2 1



30. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejercicio
Si A =


5 4 −2
4 5 −2
−2 −2 2

. Demuestre que: A2 − 11A + 10I = 0

31. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Determinante, traza y transpuesta
En el paquete linalg, el determinante, la traza y la transpuesta
de una matriz A son calculados con los comandos:
1 det(A)
2 trace(A)
3 transpose(A)

32. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Determinante, traza y transpuesta
En el paquete LinearAlgebra, el determinante, la traza y la
transpuesta de una matriz A son calculados con los comandos:
1 Determinant(A)
2 trace(A)
3 transpose(A)

33. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejemplo
Calcular el determinante, la traza y la transpuesta de la matriz
A, usando ambos paquetes.
A =


2 3 −1
4 −5 6
3 9 3



34. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

35. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejercicio
Calcular el determinante, traza y transpuesta de las siguientes
matrices:
1 A =


1 2 2
2 1 2
2 2 1


2 A =


1 2 −3
0 −2 4
1 −3 1


3 A =


2 −1 4
4 −3 1
1 2 1



36. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejercicio
Si A =


3 0 0
1 2 0
5 −3 5

 y B =


2 −4 −1
0 5 5
0 0 −2

. Hallar la suma
de los elementos de la diagonal principal de la matriz
M = 3A−1 − 2B−1.

37. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Sistemas Lineales
Los Sistemas Lineales aparecen en muchos problemas del
Álgebra Lineal. Esos problemas pueden ser resueltos de varias
maneras:
1 Con el comando linsolve(A,B) del paquete linalg, donde
A es la matriz de coeficientes y B es la matriz de términos
constantes.
2 Con el comando LinearSolve(A,opciones) del paquete
LinearAlgebra, donde A es la matriz completa de los
coeficientes de las ecuaciones del sistema.
3 Con el comando solve(ecuaciones). (Ver Tema 2).

38. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejemplo
Resolver el sistema:
x + y + z = 6
x − y − z = 0
2x + 3y + 6z = 18
Usando ambos paquetes.

39. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

40. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Figure: Ejemplo

41. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejercicio
Resolver los sistemas:
1
x + 2y − z = −3
3y + 4z = 5
2x − y + 3z = 9
2
4x1 − 9x2 + 2x3 = 5
2x1 − 4x2 + 6x3 = 3
x1 − x2 + 3x3 = 4
Usando ambos paquetes.

42. Vectores, Matrices y Álgebra Lineal
Ejercicio
Determine la solución general del sistema lineal:
38x − 74y + 46z + 84t = 90
−95x + 185y − 115z − 210t = −225
57x − 111y + 69z + 126t = 135.