1. Contenido Temático
Créditos
Presentación
Ing. Jorge Luis Paredes Estacio
UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO
FACULTA DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

2. INTRODUCCIÓN
 En ingeniería muchas aplicaciones requieren la
descomposición de vectores en sus componentes en un
sistema coordenado tridimensional. Aquí se explicara
como hacerlo y como operar con vectores en tres
dimensiones.

3. VECTORES CARTESIANOS
 SISTEMA COORDENADO DERECHO.
El sistema de la figura es derecho si se dirigen los dedos de la
mano derecha en la dirección del eje x y se flexionan (para
formar un puño) hacia el eje y positivo, el pulgar apuntará en
la dirección positiva del eje z. Cuando la dirección positiva
del eje z apunta en la dirección opuesta, el sistema
coordenado será izquierdo.

4. VECTORES CARTESIANOS
 COMPONENTES
RECTANGULARES DE UN VECTOR
Un Vector A dirigido dentro de un
octante x, y y z, mediante dos
aplicaciones sucesivas del
paralelogramo, podemos dividir al
vector en componentes como A=A’+Az y
luego A’=Ax+Ay. Al combinar estas
ecuaciones para eliminar A’, A se
presenta mediante la suma vectorial de
sus tres componentes.

5. VECTORES CARTESIANOS
 VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS
En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios
cartesianos i, j k, se usa para designar la dirección de los eje x,
y, z, respectivamente. En la figura se muestras los vectores
unitarios cartesianos.

6. VECTORES CARTESIANOS
 REPRESENTACIÓN DE UN
VECTOR CARTESIANO
Como las tres componentes de A,
actúan en direcciones positivas i,
j y k, según la figura, podemos
escribir A en forma de vector
cartesiano como:

7. VECTORES CARTESIANOS
 MAGNITUD DE UN VECTOR
CARTESIANO
A partir del triángulo rectángulo
azul, y del
triangulo rectángulo sombreado,
Al combinar
estas ecuaciones para eliminar se
obtiene:

8. VECTORES CARTESIANOS
 DIRECCIÓN DE UN VECTOR
CARTESIANO
La dirección de A se definirá
mediante los ángulos
directores coordenados α, β y γ,
medidos entre la cola de A.
Cada uno de estos ángulos
estará entre 0° y 180°.
Para determinar α, β y γ,
considerar las proyecciones
sobre los eje x, y z. Con
referencia a los triángulos
azules mostrados tenemos los
siguientes cosenos directores:

9. VECTORES CARTESIANOS
 DIRECCIÓN DE UN VECTOR
CARTESIANO
Una manera facil de obtener los
cosenos directores es formar un
vector unitario uA en la dirección de
A. Si A esta expresado en forma de
vector cartesiano, A=Axi+Ayj+Azk,
entonces uA tendrá una magnitud de
uno y será adimensional dado que A
está dividido entre su magnitud, es
decir.

10. VECTORES CARTESIANOS
 DIRECCIÓN DE UN VECTOR CARTESIANO
Si un vector unitario uA se representa de esta manera
Como la magnitud de un vector unitario es igual a la
raíz cuadrada de los cuadrados de las magnitudes de sus
componentes, y uA tiene la magnitud de uno, puede
formularse esta importante relación en los cosenos
directores

11. VECTORES CARTESIANOS
 DIRECCIÓN DE UN VECTOR CARTESIANO
Si solo se conocen dos ángulos de los dos se puede
determinar el tercer con la formula anterior.
Finalmente, si se conocen la magnitud y los ángulos
directores coordenados, A puede expresarse en forme de
vector cartesiano como:

12. SUMA DE VECTORES CARTESIANOS
 La suma o resta de dos o mas
vectores se simplifica
considerablemente si los
vectores se expresan en términos
de sus componentes cartesianas.
Por ejemplo, si A=Axi+Ayj+Azk y
B=Bxi+Byj+Bzk, entonces el
vector resultante, R, tiene
componentes que representan
las sumas escalares de las
componentes i, j, k de A y B, es
decir.

13. SUMA DE VECTORES CARTESIANOS


14. EJEMPLOS
 Exprese la fuerza F mostrada en la figura como un vector
cartesiano.

15. EJEMPLO N° 02
 Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de
la fuerza resultante que actúa sobre el anillo en la figura.

16. VECTORES DE POSICIÓN
 Generalicemos en el caso
bidimensional: hay un punto
A con coordenadas (xA, yA, zA)
y un punto B con coordenadas
(xB, yB, zB). El vector posición
rAB que va de A a B esta dado
en función de las coordenadas
de A y B por:

17. EJEMPLO N° 03
 Una banda elástica de caucho está unida a los puntos A y B
como se muestra en la Figura. Determine su longitud y su
dirección medida de A hacia B.

18. VECTOR FUERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE
UNA LINEA
 Con mucha frecuencia, en
problemas tridimensionales de
estática, la dirección de una fuerza
se especifica por dos puntos que
indican su línea de acción. En la
figura se aprecia que la fuerza F
esta dirigida a lo largo de la cuerda
AB. Podemos formular F como un
vector cartesiano al observar que
tiene el mismo sentido y dirección
del vector posición r dirigido desde
el punto A hasta el punto B sobre
la cuerda. Esta dirección se
especifica mediante el vector
unitario u=r/r. Por lo tanto,

19. EJEMPLO N° 04
 El hombre que se muestra en la figura jala la cuerda con una
fuerza de 70lb. Representa esta fuerza al actuar sobre el
soporte A como un vector cartesiano y determine su
dirección.

20. PROBLEMAS PROPUESTOS
 Determine los ángulos directores coordenados de la Fuerza

21. PROBLEMAS PROPUESTOS
 Determine la fuerza resultante que actúa sobre el gancho.