Progetto esame Controlli Automatici L-B

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BOLOGNA
Ingegneria Informatica

Controlli Automatici L-B
Progetto 10

Sistema di controllo
per la velocità di assetto
di un aereo di linea Erick Baldi
Andrea Cirri
Pasquale Conte
Stefano D’Agostino
Controlli automatici LB 2005-2006 1

Impianto dell’aereo
− sT L’impianto in questione serve a
G ( s ) = Ga ( s )Gm ( s )e controllare la velocità di assetto di un
aereo di linea ed è composto da
100 diverse parti:
Ga ( s ) =
s ( s + 100) - Ga rappresenta la dinamica
dell’attuatore
9( s + z ) - Gm rappresenta il modello
Gm ( s ) = 2 aerodinamico dell’aereo
s + 0.30 s + 9
T = 2.5 ⋅10−3 Inoltre nell’impianto è presente un
ritardo di grandezza T.
z ∈ [ 0.05, 0.2]


Ingressi del sistema
Nel sistema sono presenti diversi ingressi:

ω (t ) = 0.1 w(t) -> disturbo a gradino
sull’uscita (ampiezza)
n(t ) = 2.5 ⋅10−3 cos(800t ) n(t) -> rumore di misura
sinusoidale sull’uscita
d (t ) = 0.1 + 0.1cos(ωd t ) d(t) -> disturbi sull’uscita

wd ≤ 0.1rad / s wd -> disturbo sinusoidale
sull’uscita (pulsazione)
Ysp -> segnale di set-point
Il modello del sistema risulta quindi:

y ( s ) = G ( s )u ( s ) − d ( s )

Specifiche statiche e attenuazione
dei disturbi
• Errore a regime inferiore all’1% in presenza
contemporanea di riferimento a gradino e disturbo
sull’uscita a gradino.

• Attenuazione del disturbo sinusoidale (con frequenza
minore di ωd) superiore a 200.


Specifiche dinamiche
• Margine di fase superiore a 45°
• La risposta al disturbo a gradino deve presentare tempo
di assestamento al 5% minore di 1 secondo
• La risposta al riferimento a gradino deve essere senza
oscillazioni e senza sovraelongazione e con tempo di
assestamento al 2% inferiore a 2 secondi


Incertezza sullo zero dell’impianto
Uno zero del modello aerodinamico comporta incertezze...
Per ora prendiamo in esame il valore di partenza del
range.
Qualora fosse necessario un progetto per cancellazione
per evitare eventuali code di assestamento, allora il
progetto non consentirebbe una cancellazione perfetta
proprio a causa dell’incertezza dello zero. Il modello
considerato per ora è dunque il seguente:


Ritardo
Il ritardo di tempo non altera il diagramma di Bode dei
moduli di una funzione, ma provoca sfasamenti a
frequenze prossime o superiori a ω=1/T, cioè nel nostro
caso a frequenza di 400 rad/s (1/0.0025).
Pertanto la presenza del ritardo impone un limite sulla
massima frequenza di attraversamento ωcmax.
Si dovrà cercare di attraversare l’asse 0dB a basse
frequenze, dove il ritardo provoca sfasamenti non troppo
rilevanti.


Confronto diagrammi senza ritardo
(blu) e con ritardo (verde)
Bode Diagram
50

0
agnitude (dB)

-50
M

-100

-150
0

-90
hase (deg)

-180

-270
P

-360

-450
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Considerazioni sul ritardo
Lo sfasamento provocato dal ritardo inizia a diventare non
trascurabile dopo i 100 rad/s, pertanto cercheremo di
trovare un regolatore che soddisfi le specifiche non
superando questo limite.

Il ritardo nella parte iniziale del progetto (nel regolatore)
verrà quindi trascurato, mentre questo non si può dire per
quanto riguarda le simulazioni in Simulink ®.

Pertanto il problema del ritardo sarà ripreso in
considerazione al momento opportuno, con l’introduzione
delle simulazioni del sistema.


Specifiche statiche
La funzione di sensitività S(s) rappresenta la f.d.t tra:
- riferimento ed errore
- disturbi sull’uscita ed errore

Per avere errore a regime nullo rispetto a riferimenti e
disturbi sull’uscita a gradino occorre un polo nell’origine
nella funzione d’anello L(s); in questo modo la funzione di
sensitività S(s) vale 0 in presenza di armoniche costanti
(ω=0).

Ma il sistema G(s) ha già un polo nell’origine, pertanto la
specifica statica sull’errore risulta già soddisfatta.


Attenuazione dei disturbi
Il disturbo sull’uscita oltre ad avere una componente a
gradino, è costituito spettralmente da armoniche fino alla
pulsazione di 0.1 rad/s
Le specifiche impongono che queste armoniche siano
attenuate di 200 volte, pertanto sotto i 0.1 rad/s la funzione
di sensitività dovrà attenuare di tale valore.
Consideriamo l’incertezza dello zero e cerchiamo il caso
peggiore: bisogna considerare per ogni zero del sistema il
suo valore in decibel a 0.1 rad/s e si dovrà scegliere il più
basso: se varrà per quello zero, varrà per tutti gli altri.


Scelta caso peggiore Bode Diagram
50
System G: z=0.5
Frequency (rad/sec): 0.0997 z=0.1
M agnitude (dB): 1 z=0.15
0 z=2
Magnitude (dB)

-50

-100

-150

0

-45

-90
Phase (deg)

-135

-180

-225

-270
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Scelta zero incerto
Graficando il diagramma dei moduli con lo zero in -0.05 ,
-0.1, …, fino a -0.2, si vede che lo zero il cui modulo vale di
meno a 0.1 rad/s è quello in -0.05 (prevale il contributo del
guadagno).
Si progetta dunque il regolatore statico facendo riferimento
alla G(s) con lo zero in -0.05 (valore minimo dell’intervallo).


G(0.1j) con zero in -0.05 Bode Diagram
50
System G:
Frequency (rad/sec): 0.0996
M agnitude (dB): 1.01
0
Magnitude (dB)

-50

-100

-150
0

-45

-90
Phase (deg)

-135

-180

-225

-270
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Calcolo del guadagno
1 1
≤
1 + µ G ( jw) w=0.1 200
1 + µ G (0.1 j ) ≥ 200
G (0.1 j ) ≅ 0.8db ≅ 1.1
1 + 1.1µ ≥ 200
1.1µ ≥ 199
µ ≥ 180


Regolatore statico
In 0.1 rad/s ora il sistema amplifica di 46.1dB ed assicura
un’attenuazione di più di 200 per qualunque valore dello
zero incerto
Il regolatore dinamico dovrà essere progettato con
guadagno unitario o comunque >1, in modo da non
rovinare le specifiche sull’attenuazione dei disturbi.
Il regolatore statico pertanto è:

R ( s ) = 180

Attenuazione rumore di misura
Non ci sono specifiche riguardo l’attenuazione del rumore
di misura sull’uscita.
La funzione di trasferimento tra i rumori di misura e l’uscita
o l’errore è la funzione di sensitività complementare F(s),
che ad alte frequenze si comporta come il sistema
complessivo (regolatore + impianto).
Affinché siano in qualche modo attenuati i rumori, basta
che la L(s) sia molto bassa (banda ristretta) alla frequenza
in cui intervengono i rumori di misura (nel nostro caso 800
rad/s).
Per ottenere questo bisognerà stare attenti ad attraversare
a frequenze molto minori di 800 rad/s.
Se per esempio tagliamo a 80 rad/s e con una pendenza di
-1 il rumore in questione sarà attenuato di 20 dB.

Risposta al riferimento a
gradino
Le specifiche sul margine di fase e sul tempo di
assestamento della risposta al gradino di riferimento
caratterizzano i poli dominanti del sistema in retroazione.
Viene richiesto un margine di fase di almeno 45° che
corrisponde a una dinamica del sistema in retroazione con
almeno δ=0.45 (45°/100)
Viene richiesto inoltre che la risposta al gradino di
riferimento sia senza oscillazioni e senza sovraelongazione,
il che corrisponderebbe a una δ≥0.75


Margine di fase
Affinché la risposta sia senza oscillazioni, in teoria il delta
dovrebbe essere 1, ma anche con un delta di 0.7 le
oscillazioni sono trascurabili e in questo modo non si
rischia di scegliere una banda troppo larga.
Un’eventuale sovraelongazione può essere data dagli zeri
in bassa frequenza della L(s) che generano code di
assestamento.
Cerchiamo ora la frequenza di attraversamento che
permette di soddisfare le specifiche, nel caso in cui il delta
abbia valore 0.45 e nel caso in cui vale 0.75.


Frequenza di attraversamento
ln(0.01ε ) ln(0.01ε )
Ta ,ε % ≅− Ta ,ε % ≅ −
δωn δωn
ln(0.02) 3.9 ln(0.02) 3.9
Ta ,2% ≅− ≅ Ta ,2% ≅− ≅
δωn δωn δωn δωn
3.9 3.9
≤2 ≤2
δωn δωn
2δωn ≥ 3.9 2δωn ≥ 3.9
δ = 0.45 δ = 0.75
ωn ≥ 4,3− > ωc ≥ 5 ωn ≥ 5, 2− > ωc ≥ 6
Secondo le specifiche sul margine di fase, la ωc dovrebbe essere scelta
superiore a 5 rads, ma per rispettare le specifiche sulla risposta senza
oscillazioni bisogna imporre almeno una ωc uguale a 6 rads.
I calcoli ci portano quindi a scegliere una ωc ≥6.

Risposta al disturbo
Nelle specifiche dinamiche è inoltre richiesto anche un
tempo di assestamento al 5% minore di 1 secondo per la
risposta al disturbo a gradino.
Da ciò segue che:
3
Ta ,5% = ≤1
δωn
δ ≥ 0.45
3 = 0.45ωn
ωn ≥ 6, 6rad / s → ωc ≥ 7rad / s


Frequenza di attraversamento
Intersecando le due specifiche, si ha che la frequenza di
attraversamento deve essere imposta ad almeno 7 rad/s in
modo da soddisfatte entrambe le specifiche dinamiche.
Possiamo inoltre considerare che al di sopra di queste
frequenze la posizione dello zero incerto non influisce né
sulla fase né sul modulo.
Pertanto progettiamo così il nostro regolatore, avendo cura
comunque in seguito di verificare le caratteristiche delle
risposte.
Ricordiamo inoltre che sono da soddisfare le specifiche sul
ritardo temporale, importante quando si prosegue oltre la
frequenza di circa 100 rad/s.


Picco di risonanza
Dall’andamento dei diagrammi di Bode si nota la presenza
di un picco di risonanza in ω=3, al quale è associato un
repentino sfasamento negativo.
La ragione di questo è la presenza di una coppia di poli
complessi coniugati con basso coefficiente di smorzamento
(δ≈0.1).
Nel progetto quindi cercheremo di prestare particolare
attenzione nell’attraversare a frequenze vicine a tale picco.


Possibili Soluzioni

In presenza dei poli complessi coniugati poco smorzati
sono possibili tre soluzioni in base al tipo di
attraversamento, ossia:
- progetto con ωc << ωn
- progetto con ωc ≈ ωn
- progetto con ωc >> ωn

Nell’impianto la ωn ha il valore di 3 rad/s.


Progetto con ωc << ωn
Questa tipologia di progetto consente, attraverso un
regolatore puramente integrale o PI, di tagliare a frequenze
minori di ωn.
Nel nostro caso questa scelta è subito da scartare per vari
motivi:
-L’impianto ha già un polo nell’origine e aggiungerne un altro
nel regolatore pregiudicherebbe fortemente la fase,
portando all’instabilità il sistema complessivo.
-Per le specifiche statiche a frequenze minori di 0.1 è
presente un disturbo da attenuare di 200 volte e risulta
difficile attraversare circa una decade dopo.


Progetto con ωc ≈ ωn
Per attraversare a frequenze molto vicine a ωn si potrebbe
pensare di eliminare il picco con una coppia di zeri c.c. a
guadagno unitario (non bisogna violare le specifiche
statiche in bassa frequenza) con stesso smorzamento e
stessa pulsazione naturale.

1 2
Rd = ( s + 0.30 s + 9)
9
R( s ) = µ Rd ( s )


Diagrammi di Bode con gli zeri c.c.
Bode Diagram
60

55

50
agnitude (dB)

45

40
M

35

30

25
0

-30
Phase (deg)

-60

-90
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Considerazioni
Cancellare i poli c.c. gioverebbe di certo al sistema, ma
d’altronde questa metodologia di progetto darebbe luogo a
una soluzione poco robusta perché bisogna pensare che si
sta modellando comunque un qualche cosa di meccanico
e, qualora ci fosse un errore di modello, il sistema potrebbe
facilmente diventare instabile.

Nel nostro caso perciò scartiamo anche questa tipologia di
progetto.


Progetto con ωc >> ωn
L’ultima tipologia di progetto rimasta è quella con
l’attraversamento dopo ωn.
Con questa metodologia il sistema avrà sicuramente:
• Una risposta più veloce del dovuto
• Una o più code di assestamento dovute alla necessità di
inserire poli/zeri in bassa frequenza
• Un regolatore con alto guadagno in alta frequenza
Nonostante alcuni accorgimenti che dovremo prendere
questa sembra nel nostro caso la soluzione migliore.


Bode di G*k (k=180)
Bode Diagram
100
System untitled1
:
M agnitude (dB 46.1
):
50
agnitude (dB)

0
M

-50

-100
0

-45

-90
hase (deg)

-135
P

-180

-225

-270
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Reti correttrici
Nel progetto risulta ovvio che dovremo usare delle reti
correttrici e in particolar modo una rete a sella formata da
una rete di ritardo seguita da una di anticipo.
Siccome sappiamo già che il nostro regolatore avrà un alto
guadagno in alta frequenza progettiamo prima la rete di
anticipo per correggere subito il problema.
Come frequenza di attraversamento scegliamo 20 rad/s,
scelta ragionevole in quanto:
• è circa una decade dopo i poli c.c.
• gli effetti del ritardo sono quasi impercettibili (il ritardo
agisce dai 100 rad/s in poi)
• si trova a frequenza abbastanza bassa da attenuare
anche il rumore di misura a 800 rad/s

Progetto della Rete di Anticipo
Come detto prima, iniziamo a progettare la rete di anticipo
con il metodo del minimo guadagno in alta frequenza.
Alla frequenza di 20 rad/s il sistema G*k ha:
- una fase di -191°
- un guadagno di 12dB
Per rientrare nelle specifiche di almeno 45° di margine di
fase servirebbe un anticipo di fase di 56° (-180+191+45).
Per sicurezza nei riguardi del ritardo e per compensare
effetti della rete di ritardo scegliamo di progettare una rete
con 65° di anticipo.


Progetto della Rete di Anticipo
Calcoliamo i valori principali della rete attraverso le formule
per il minimo guadagno in alta frequenza:
1 − sin(ϕmax ) 1 − sin(65)
α= = = 0.0491
1 + sin(ϕmax ) 1 + sin(65)
1 1
τ= = = 0.2255
ωc * α 20* 0.0491

Le formule trovate corrispondono alla rete di anticipo seguente:
1+τ s 1 + 0.2255s
Rra = =
1 + ατ s 1 + 0.01108s

Grafico rete di anticipo - Rra
Bode Diagram
30

25
Magnitude (dB)

20
System R: a1
Frequency (rad/sec): 20
15 M agnitude (dB): 13.1

10

5

0
90
System R
: a1
Phase (deg): 65

60
Phase (deg)

30

0
0 1 2 3
10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Grafico di G*k*Rra Bode Diagram
80

60
System untitled1
:
40 Frequency (rad/sec): 20.1
Magnitude (dB)

20

0

-20

-40

-60
45

0

-45
System untitled1
:
Phase (deg)

-90 Frequency (rad/sec): 20.1
Phase (deg): -126
-135

-180

-225

-270
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Progetto della Rete di Ritardo
Come si vede dal grafico il sistema ora alla frequenza di
20 rad/s:
• guadagna 25 dB
• ha fase pari a -126°
Serve quindi una rete di ritardo che attenui di ben 25 dB
senza alterare di molto la fase.
Per il progetto della rete si dovrà necessariamente fissare
un polo in bassa frequenza, ma notando che nell’impianto
esiste uno zero vicino questo sicuramente causerà code
nella risposta. Si potrebbe pensare a un progetto per
cancellazione.


Progetto della Rete di Ritardo
Lo zero in questione però è incerto nel modello dell’aereo e
varia nel range [0.05 , 0.2].

Per cancellarlo nei migliore dei modi (cioè non creando
code di overshoot, ma al limite di undershoot) si posiziona
un polo in -0.05, perciò la rete di ritardo sarà la seguente:

1 1
Rrr = =
1 + τ s 1 + 20 s


Grafico rete di ritardo - Rrr Bode Diagram

50
System untitled1
:
System untitled1
: Frequency (rad/sec): 5.65
Frequency (rad/sec): 0.101 M agnitude (dBystem untitled1
S 0.0957
): :
M agnitude (dB 39.1
):
)

0
agnitude (dB

M agnitude (dB -26.8
):

-50
M

-100

-45

-90

-135
hase (deg)

System untitled1
:
Phase (deg): -221
-225
P

-270

-315

-360
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Progetto della rete di ritardo
Graficando il risultato ottenuto con questa cancellazione si
nota subito che l’effetto di attenuazione del polo ha portato
a non soddisfare più le specifiche statiche a 0.1 rad/s.
Prima di continuare con le considerazioni proviamo ad
aumentare il guadagno con un regolatore proporzionale.
Per riportare il valore a 46 dB alla ωc di 0.1 rad/s servono
+7 dB:
7
( )
k = 10 20
= 2.24


B d D g m
o e ia ra
1 0
0
Syste : u title 2
m n d
F q e cy (ra /se
re u n d c): 0 9 8
.0 9 Syste : u title 1
m n d
M g itu e (d ): 4 .1
a n d B 6 F q e cy (ra /se
re u n d c): 2 .3
0.1
50 M g itu e (d ): 3 .1
a n d B 2.2
M g itu e (d )
B

0
a n d

-50

-1 0
0

-1 0
5
45

0

-45
e )

-90
h se (d g

-1 5
3

-1 0
8
P a

-2 5
2

-2 0
7

-3 5
1

-3 0
6
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
F q e cy (ra /se
re u n d c)


Ora che le specifiche statiche sono soddisfatte nuovamen-
te (nel grafico il risultato in verde) bisogna effettuare un
passo indietro e graficare con il nuovo guadagno G*k*Ra
(in blu).
A frequenza pari a 20 rad/s ora il sistema guadagna circa
32 dB che cercheremo di attenuare con la rete di ritardo.
Sapendo che il valore di attenuazione finale di una rete di
ritardo è pari a 20*logα imponiamo:
−32 = 20 log(α )
−1.6 = log(α )
α = 10−1.6 = 0.0251

La rete di ritardo corrispondente ai valori trovati è:

1 + ατ s 1 + 0.5s
Rrr = =
1+τ s 1 + 20 s


Grafico rete di ritardo - Rrr
Bode Diagram
0

-5

-10
agnitude (dB)

-15

-20
M

-25 System R: r1
-30 M agnitude (dB -32
):

-35
0

System R
: r1
Phase (deg): -5.62
-30
Phase (deg)

-60

-90
-2 -1 0 1 2
10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Considerazioni sulla rete di ritardo
La rete progettata alla frequenza di 20 rad/s attenua di 32
dB, come richiesto per l’attraversamento, e ritarda la fase di
circa 6°.
Questo ritardo di fase non dovrebbe influire sulle specifiche
riguardanti il margine di fase, in quanto la rete di anticipo
era stata progettata con 9 gradi in più del dovuto proprio
per garantire un margine di sicurezza!


Regolatore complessivo rete RA Bode Diagram
60

55
System R: 1
50 Frequency (rad/sec): 727
Magnitude (dB)

45

40

35

30

25

20
90

45
Phase (deg)

0

-45

-90
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Considerazioni sul Regolatore
1 + 0.2255s 1 + 0.5s
R = 403 ⋅ ⋅
1 + 0.01108s 1 + 20 s
Come dalle considerazioni fatte in partenza il regolatore
complessivo R(s), nonostante gli accorgimenti presi, ha un
alto guadagno in alta frequenza.
Questo è dovuto a 2 motivi:
- il regolatore proporzionale è molto grande a causa del
notevole guadagno che l’impianto deve avere a frequenze
minori o uguali a 0.1 rad/s
- la rete di anticipo è stata portata al limite per portare il
margine di fase ad almeno 45°


Grafici del risultato - L(s)Bode Diagram
100 G
L

50 System untitled1
:
Magnitude (dB)

0

-50

-100

-150

0

-45

System untitled1
:
Phase (deg)

Phase (deg): -131
-135

-180

-225

-270
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Considerazioni sul risultato
Con il regolatore progettato:
- la frequenza di attraversamento è di 20 rad/s
- il margine di fase è di 49° (180°-131°)
Per dare una valutazione degli effetti sul sistema bisogna
calcolare le tre funzioni caratteristiche:
- Funzione di sensitività complementare F(s)
- Funzione di sensitività S(s)
- Funzione di sensitività del controllo Q(s)


Funzioni caratteristiche
Bode Diagram
50
F
S
Q
agnitude (dB)

0

System S: 1
M agnitude (dB -46
): System F: 1
M

-50 Frequency (rad/sec): 801
M agnitude (dB -69
):

-100

180

90
hase (deg)

0

-90
P

-180

-270
-2 -1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Funzioni caratteristiche
Le funzioni caratteristiche mostrano come si comporta il
sistema chiuso in retroazione (sistema closed-loop):
- la funzione di sensitività complementare F(s) indica che il
segnale di set-point viene riportato sull’uscita senza
variazioni fino a 20 rad/s, poi vi è un’azione di
attenuazione. Questa azione risulta positiva in
quanto come si vede il rumore di misura presente a
800 rad/s viene attenuato di 69 dB.
- la funzione di sensitività S(s) che attenua di 46 dB (200
volte) come da specifica, indica i disturbi caratterizzati
spettralmente a frequenze ≤ 0.1 rad/s


Risposta temporale del sistema
Step Response
1.4

1.2

1

0.8
Amplitude

0.6

0.4

0.2

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
T e (sec)
im


Risposta temporale di L(s)
La risposta del sistema al segnale di riferimento a gradino
non si è mostrata particolarmente buona: sono presenti code
causate da poli e zeri posizionati in bassa frequenza.

Per consentire un miglioramento della soluzione si può
pensare di inserire un precompensatore C(s) in modo da
cancellare queste dinamiche parassite.

In casi come questo è infatti opportuno introdurre un
filtraggio tra il set-point e il sistema in retroazione proprio per
eliminare le dinamiche parassite in bassa frequenza.

Luogo delle radici del sistema c.l. rlocus()
Root Locus

60

40

20
Imag Axis

50
0

-20

-40

-50 -40 -30 -20 -10 0 10
Real Axis


Luogo delle radici del sistema c.l. pzmap()


Luogo delle radici del sistema closed loop
Root Locus

0.6

0.4

System F1
: System F1
: System F1 : F1
System
:
0.2 Gain: 0 Gain: Inf Gain: Inf
Gain: 0.0108
Pole: -8.8 Pole: -4.43 P P -2
ole: -1.68
ole:
D ping: 1
am D ping: 1
am D ping: ping: 1
am D 1
am
Imag Axis

Overshoot (%): 0 Overshoot (%): 0 Overshoot (%): (%): 0
Overshoot 0
Frequency (rad/sec): 8.8 FrequencyFrequency 4.43
(rad/sec): (rad/sec): 2 1.68
Frequency (rad/sec):
0

-0.2

-0.4

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2
Real Axis


Progetto precompensatore
La mappa poli-zeri del sistema retroazionato mostra che
nel sistema (in bassa frequenza) sono presenti:
-Un polo in -1.68 (dinamica più lenta)
-Un zero in -2
-Un zero in -4.43
-Un polo in -8.8
Progettiamo un precompensatore C(s) per cancellare solo
gli zeri e osserviamo le variazioni sulla risposta al segnale
di riferimento:
1
C=
 s  s 
1 +  ⋅ 1 + 
 2   4.43 


Risposte temporali con C(s)
Step Response
1.4

1.2

System F1
: System F2
:
Settling Tim 1.16
e: Settling Tim 2.53
e:
1

0.8
Amplitude

0.6

0.4

0.2

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Tim (sec)
e


Progetto del precompensatore
La risposta (in verde) ora non presenta sovraelongazione,
ma nonostante ciò è ancora troppo lenta per le specifiche
(Ta5 = 2.53s > 1s).
Facciamo allora un secondo tentativo intervenendo sul
precompensatore e cancellando la dinamica più lenta
dell’impianto (polo in -1.68). Infine effettuiamo le prove.
 s 
1 + 
C=  1.68 
 s  s 
1 +  ⋅ 1 + 
 2  4.43 


Luogo radici del precompensatore
Root Locus

25

20

15

10

5
Imag Axis

0

-5

-10

-15

-20

-25

-25 -20 -15 -10 -5 0 5
Real Axis


Diagrammi di C(s) con zero (in blu) e
senza (in verde) Bode Diagram
50

0
agnitude (dB)

-50
M

-100

-150
0

-90
hase (deg)

-180
P

-270

-360
-1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
Frequency (rad/sec)


Risposta finale col precompensatore
(in viola) Step Response
1.4

1.2

System F: 3 System F: 1 System F: 2
Settling T e: 0.522 ettling T e: 1.16
im S im Settling T e: 2.53
im
1

0.8
A plitude
m

0.6

0.4

0.2

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
T e (sec)
im


Progetto del precompensatore
Ora la risposta definitiva (in viola) rispetta le specifiche con
ampio margine. Infatti il tempo di assestamento al 5% è pari
a 0.52s (le specifiche imponevano Ta5 < 1s).
Inoltre, come si può vedere dal grafico di Bode, con
l’introduzione del precompensatore nel sistema si è ridotta
la banda passante di circa 10 rad/s.

Ora che le specifiche sulla risposta al riferimento sono
soddisfatte non resta che osservare:
- il tempo di assestamento del sistema al disturbo a gradino
- lo sforzo richiesto dal controllo

Risposta al disturbo a gradino
Step Response
0.1

0.08

0.06

0.04
A plitude
m

0.02

System untitled1
:
0 Settling T e: 0.271
im

-0.02

-0.04
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
T e (sec)
im


Sforzo del controllo
Step Response
25

20

15
plitude

10
Am

5

0

-5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
T e (sec)
im


Considerazioni
Anche la specifica sull’errore a gradino risulta quindi
soddisfatta con ampio margine, pochè al Ta5 vale 0.271s
contro 1 secondo imposto dalle specifiche dinamiche.

Risulta non indifferente invece lo sforzo del controllo, ma
ciò era immaginabile perchè causato dal notevole
guadagno in alta frequenza del regolatore.


Modello Simulink® del sistema


Segnale di errore e(t)


Segnale u(t) in uscita dal regolatore


Segnale y(t) in uscita dal sistema

)


Simulazioni
In Simulink® si è ricreato un modello del sistema
complessivo (precompensatore+regolatore+impianto) e si
sono effettuate le simulazioni con:
- il segnale di set-point Ysp applicato all’istante 2
- il segnale di disturbo sull’uscita applicato all’istante 4
sufficientemente distanti l’uno dall’altro in modo che, come
da specifica, siano esauriti i transitori.
I tre grafici mostrano i segnali:
- errore e(t)
- uscita del regolatore u(t)
- uscita complessiva y(t)


Attenuazione del disturbo di misura
Nei grafici si nota che il disturbo di misura è attenuato
correttamente nell’uscita y(t), ma è ben presente sul
segnale u(t) in uscita al regolatore. Per evitare eventuali
problemi si prova a inserire nel ramo di retroazione un filtro.

1
H=
1 + 0.005 ⋅ s
Il filtro H(s) è stato progettato come un passa-basso alla
frequenza di 200 rad/s in modo da attenuare il rumore di
misura n(t) alla frequenza di 800 rad/s e di modificare le
caratteristiche della risposta y(t).

Nuovo modello con filtro PB


Segnale di errore e(t)


Segnale u(t) in uscita al regolatore


Attenuazione del disturbo di misura
L’inserimento di un filtro si è dimostrata una scelta
ragionevole, in quanto lo sforzo del controllore a fronte del
disturbo a gradino sull’uscita si è dimezzato (grafico u(t)).
Procediamo ora con il dimensionamento dell’attuatore, fase
piuttosto delicata poiché un dimensionamento eccessivo
può comportare elevati aumenti di costo in ambito
industriale.
Occorre perciò fare attenzione all’eventuale
sovradimensionamento dell’attuatore.


Progetto Attuatore
L’attuatore è modellato come una saturazione in ingresso
all’impianto.
Per scegliere l’ampiezza della saturazione si considera il
sistema in presenza contemporanea di riferimenti e disturbi
a gradino, disturbi sinusoidali e rumore di misura nella loro
massima ampiezza, come richiesto dal progetto.
Per calcolare il caso peggiore si applicano tutti i disturbi
nell’istante t=0.


Progetto attuatore: uscita u(t)


Progetto attuatore
Dimensioniamo un attuatore con i valori:
- Lmin= -14
- Lmax= +14

che corrispondono al minimo e al massimo della curva
di saturazione ossia a -umin e +umax.


Modello Simulink® con attuatore
(modello finale)


Sottodimensionamento attuatore
Ora si sottodimensiona il valore di saturazione
dell’attuatore del 25% per osservare come variano le
risposte e valutare le prestazioni. Il valore di saturazione
diventa:
-Lmin= -10.5 -> -(14 - (14*0.25))
-Lmax= +10.5 -> +(14 - (14*0.25))


Attuatore sottodimensionato: u(t)


Attuatore sottodimensionato e
risposta complessiva y(t)


Seppur minima, la curva presenta ora una sovraelogazione
che ne rallenta la risposta y(t). Siccome nel nostro regolatore
non è presente un polo nell’origine, l’effetto non è causato
dall’eccessivo caricamento dell’azione integrale: non è
possibile usare un desaturatore.
Le soluzioni possibili possono essere diverse:
- Diminuire del guadagno del regolatore in alta frequenza
- Modificare il filtro passa-basso per attenuare maggiormente
il rumore di misura
- Modificare il precompensatore al fine di rallentare la risposta
e diminuire l’azione della variabile di controllo (almeno per il
segnale di set-point)

Per migliorare il progetto scegliamo la terza alternativa e
quindi proviamo a rallentare la risposta modificando il
precompensatore C(s) per fargli imporre una dinamica più
lenta:
2sec
τ= = 0.5sec
3.9
Per sicurezza inseriamo un polo leggermente più veloce a
t=0.4 e il precompensatore risulta così trasformato:
 s 
1 + 
C=  1.68 
 s  s 
1 +  ⋅ 1 +  ⋅ ( 1 + 0.4 ⋅ s )
 2  4.43 

Grafici risposte con nuovo C(s) Step Response
1.4

1.2

System F: 1 System F
: 2
Settling T e: 0.522
im Settling T e: 1.96
im
1

0.8
Amplitude

0.6

0.4

0.2

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
T e (sec)
im


Segnale u(t) in uscita dall’attuatore


Ora la risposta è più lenta e sarà minore anche lo sforzo
effettuato dal regolatore a fronte del segnale di riferimento.
Con questo accorgimento si può portare la saturazione
dell’attuatore fino a un valore di:
- Lmin= -1.5
- Lmax= 1.5
senza problemi di sovraelongazione, come descritto nel
grafico precedente. Inoltre con questa soluzione l’attuatore
ha un costo in termini economici molto minore di prima. Il
progetto ora sembra quindi migliorato.


Offset di misura massimo
Si suppone che sia presente nell’anello un offset di misura,
ovvero un sensore non ideale che equivale a un disturbo
costante di tipo “n”, e quindi non caratterizzato
frequenzialmente.
Si richiede qual è il massimo offset che permette di
soddisfare ancora la specifica statica sull’errore.


Errore a regime con offset
L( s ) Ysp L( s ) η0
Y ( s) = −
1 + L( s ) s 1 + L( s ) s
1 Ysp L( s ) η0
E ( s ) = Ysp ( s ) − Y ( s ) = +
1 + L( s ) s 1 + L( s ) s
1 L(0)
e∞ = Ysp + η0
1 + L(0) 1 + L(0)
Ysp = riferimento
η0 = offset

Offset di misura massimo
Nel nostro caso il guadagno statico del sistema closed-loop
L(0) è infinito. Visto che il sistema ha un polo nell’origine
allora l’errore a regime equivale all’ampiezza dell’offset.

L’errore a regime è 0, ma si richiede che sia minore di 0.01

Pertanto l’offset di misura massimo che permette di
soddisfare ancora le specifiche statiche è 0.01 (1%).


Riepilogo Finale del Progetto (1)
Modello complessivo


Riepilogo Finale del Progetto (2)
F.d.T. dei dispositivi impiegati
• Regolatore 1 + 0.2255s 1 + 0.5s
R = 403 ⋅ ⋅
complessivo: 1 + 0.01108s 1 + 20 s

 s 
 1+ 
• Precompensatore:  1.68 
C=
 s  s 
 1 +  ⋅ 1 +  ⋅ ( 1 + 0.4 ⋅ s )
 2   4.43 

• Filtro di attenuazione 1
H=
del disturbo: 1 + 0.005 ⋅ s


Progetto esame Controlli Automatici L-B

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