temas matemáticos

Bryan Antonio Cortez Higueros
3ro. Básico “A”
Matemática

Los números Naturales

 Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas
civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más
elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

 Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y
multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos
números naturales es también un número natural, por lo que se dice
que son operaciones internas.

 La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la
diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural
(no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se
crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un
número de otro, cualesquiera que sean éstos.

Ejemplo 1

 N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

 La adición de números naturales cumple las propiedades
asociativa, conmutativa y elemento neutro.

Ejemplo 2

 ASOCIATIVA:

 Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

 (a + b) + c = a + (b + c)
 Por ejemplo:

 (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
 Los resultados coinciden, es decir,

 (7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

Ejemplo 3

 CONMUTATIVA:

 Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a+b=b+a
 En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7+4=4+7
 Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la
adición se pueden efectuar largas sumas de números
naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el
orden.

Ejemplo 4

 Elemento neutro

 El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros
porque, cualquiera que sea el número natural a, se
cumple que:

a+0=a

Multiplicación de Números
Naturales

 La multiplicación de números naturales cumple las
propiedades asociativa, conmutativa, elemento
neutro y distributiva del producto respecto de la
suma.

Ejemplo 1

 ASOCIATIVA:

 Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

Ejemplo 2
 CONMUTATIVA:

 Si a, b son números naturales cuales quiera se cumple que:

a·b=b·a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
a·1=a

Ejemplo 3

 ELEMENTO NEUTRO

 El 1 es el elemento neutro de la multiplicación
porque, cualquiera que sea el número natural a, se
cumple que:

a·1=a

Ejemplo 4

 DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Sustracción de Números
Naturales

 Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación
de contar.

 Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas
tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas,
pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría
el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

 Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y
sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

 Propiedades de la resta:
 La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

División de Números
Naturales

 La división es la operación que tenemos que hacer para
repartir un numero de cosas entre un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de
cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que
le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario
inexacta.

Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo
a/b que b/a.

Los números enteros

 Los números enteros son un conjunto de números que incluye a
los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos
de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los enteros
negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres»,
etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que
el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a
veces también se escribe un signo «más» delante de los
positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número
se asume que es positivo.
 El conjunto de todos los números enteros se representa por la
letra = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán
Zahlen («números», pronunciado [ˈ tsaˈl n]).
ə
 Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:
 −783 y 154 son números enteros
 45,23 y −34/95 no son números enteros

Conjunto “Z”

 Los números enteros son el conjunto de todos los
números enteros con signo (positivos y negativos)
junto con el 0. Se les representa por la letra Z,
también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :

Suma números enteros

 Para sumar dos números enteros, se determina el signo y
el valor absoluto del resultado del siguiente modo:
 Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también
el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de
los valores absolutos de los sumandos.
 Si ambos sumandos tienen distinto signo:
 El signo del resultado es el signo del sumando con mayor
valor absoluto.
 El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el
mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre
los dos sumandos.

Ejemplo 1

 Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19)
= −22 , (−33) + (−28) = −61
 La suma de números enteros se comporta de manera similar a
la suma de números naturales:

…La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:
…Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las
sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
…Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las
sumas a + b y b + a son iguales.
…Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan
inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

Ejemplo 2

Ejemplo.

 Propiedad asociativa:
[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
 Propiedad conmutativa:
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8

Resta de números enteros

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que
ahora es un caso particular de la suma.

La resta de dos números enteros (minuendo menos
sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el
sustraendo cambiado de signo.

Ejemplo 1

 Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) −
(+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4
, (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

Multiplicación de
números enteros

 La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por
separado el signo y valor absoluto del resultado.

En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo
del resultado de la siguiente manera:

El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

 Regla de los signos
(+) × (+)=(+) Más por más igual a más.
(+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.
(−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.
(−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.

Ejemplo1

 Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) ×
(+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

Ejemplo 2
 tiene también
La multiplicación de números enteros
propiedades similares a la de números naturales:

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes
propiedades:

Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los
productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.

Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los
productos a × b y b × a son iguales.

Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan
inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.

Ejemplo 3

 Ejemplo.

 Propiedad asociativa:
[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140

(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140

 Propiedad conmutativa:

(−6) × (+9) = −54

(+9) × (−6) = −54

Números racionales

 En matemática, se llama número racional a todo número que
puede representarse como el cociente de dos números enteros
(más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir,
una fracción común a/b con numerador a y denominador b
distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de
un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o
bien , en) que deriva de «cociente» (en varios idiomas europeos).
Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es
un subconjunto de los números reales ().

 La escritura decimal de un número racional es, o bien un número
decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para
números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en
base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera.
Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o
periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Propiedades

 Propiedades
 El conjunto , con las propiedades de adición y
multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo
conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros .
 Los racionales son el menor cuerpo con característica
nula.
 La clausura algebraica de , es el conjunto de los números
algebraicos.
 El conjunto de los números racionales es numerable, es
decir que existe una biyección entre y (tienen la misma
cantidad de elementos). El conjunto de los número reales
no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la
constituyen los números irracionales).

Número racional en
otras bases

 En un sistema de numeración posicional de base racional,
las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene
factores primos distintos de aquellos que factorizan la
base, no tienen representación finita.

 Ejemplos:
 En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y
sólo si el denominador de su fracción irreducible es de la
forma 2n·5p (n y p enteros).
 En base duodecimal es infinita y recurrente la
representación de todas aquellas fracciones cuyo
denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.

Exponente Racional

 Para cualquier número real no negativo a y cualquier
número natural índice n ( n ≠ 1), significa .
n 1n
a a
 Para cualquier número natural m y n ( n ≠ 1), y
cualquier número real no negativo a,

m
m n n
a significa n
a m o a

Exponente Racional
• Escriba sin los exponentes racionales, simplifique si
posible: 
1.
12
x x
2.
13 3
3. 27 27 3
15 5
abc abc

Exponente Racional

• Escriba con exponentes racionales:
5 7 xy
15
4.
7 xy
13
5. 8 xy3 8 xy
6.
3 3 17
7
x y x y
9 9

Exponente Racional
• Escriba sin los exponentes racionales y simplifique si
posible:

7.
23 3 2 8. 43 2 2 3
4
27 27
2 3
2
3
27 4
2 3
3 9 2 8

Exponente Racional

• Escriba con exponentes racionales:

3 4 43
9. 9 9
10. 5 54
4 7 xy 7 xy

Exponente Racional Negativo

 Para cualquier número racional m/n y cualquier
número real positivo,
mn 1
a significa mn
a
mn mn
esto es, a y a son reciprocos.

 Escriba con exponentes positivos y simplifique.
11.
12 1 1 1

12. 9
91 2 9 3

13.
45 1
5xy 45
5xy

23 1 1 1 1
64 2
642 3 3
64 42 16


 Ejemplos … 1 4y15
23 15 15
14. 4 x y 4 23 y 23
x x

15.
52 52
3r 7s
7s 3r

Leyes de Exponentes
Para Cualquier número real a y cualquier exponente racional m y n:


m n m n En multiplicación, podemos sumar los
1. a a a exponentes si las bases son las mismas.
m
a m n En división, podemos restar los
2. n
a exponentes si las bases son las mismas.
a
m n mn Para elevar una potencia a una potencia,
3. a a podemos multiplicar los exponentes.

m m m Para elevar un producto a una potencia,
4. ab a b podemos elevar cada factor a la potencia.

n n
a a Para elevar un cociente a una potencia,
5. n podemos elevar tanto el numerador como
b b el denominador a la potencia.

Leyes de Exponentes
 Use las leyes de exponentes para simplificar:
16.
315 35
3 15 35
3 45
3
17. 14
7 14 12 14 24 14 1
12
7 7 7 14
18. 7 7
34
23 2 33 4 6 12 12
19. 7.2 7.2 7.2 7.2
15
13 25
12
1 31 2 2 51 2 16 15 b
a b a b a b 16
a

Simplificar Expresiones con Radicales

1. Convierta expresiones radicales a expresiones
exponenciales. 
2. Use aritmética y las leyes de los exponentes
para simplificar.
3. Convierta de nuevo a notación radical cuando
sea apropiado.
Importante: Este procedimiento trabaja solamente
cuando todas las expresiones dentro del radical
son no negativas, debido a que exponentes
racionales no son definido de otra manera. No
se necesitara signos de valor absoluto.

 Use exponentes racionales para simplificar:
20. 6
x 3
x 36

Convirtiendo a una expresión exponencial

12
x Simplificando el exponente

x Convirtiendo de nuevo a notación radical
21.
Convirtiendo a una expresión exponencial
6
4 41 6
16
2
2 Nombrando a 4 como 22

22 6 Usando (am)n = amn , multiplicando los exponentes

21 3 Simplificando el exponente

3 Convirtiendo de nuevo a notación radical
2

22. Use exponentes racionales para simplificar:
8 2 2
ab
18

8 2 4 2 4 Convirtiendo a notación exponencial
ab ab
21 8 41 8
a b Usando (ab)n = anbn

14 12
a b Simplificando los exponentes

14 24 Escribiendo ½ con un denominador de 4
a b
14
2
ab Usando anbn = (ab)n

4 2
ab Convirtiendo a notación radical

Simplificar Expresiones con
Radicales

23. Use exponentes racionales para escribir una sola
3
5 2
expresión radical para:
Convirtiendo a notación exponencial
3 13 12
5 2 5 2
Buscando un común denominador a los exponentes
26 36
5 2
16 Usando anbn = (ab)n
2 3
5 2
16
25 8 Multiplicando dentro de paréntesis

2001 6
6
200 Convirtiendo a notación radical

Radicales

24. Escriba una sola expresión radical para 1 2 12 56
a b c
12 12 56 36 3 6 5 6 Buscando un común
a b c a b c denominador a los
exponentes
16
3 3 5
ab c Usando anbn = (ab)n

6 3 3 5
ab c Convirtiendo a notación radical

Radicales


3 36
6
5x 5x
12
5x
5x

Radicales


5 20 20 5
t t
4
t

Radicales

27. Use notación de exponentes para simplificar:
12 12 3
3 2 2
pq c pq c
4
2
pq c
4 8 4
pqc

Radicales

28. Use notación exponencial para simplificar:

3 13
x x
12
13
x
16
x
6
x

Simbología matemática


Negación

LA NEGACION ES UNA CONECTIVA
LOGICA QUE TRANSFORMA UN
ENUNCIADO EN SU OPUESTO LOGICO Y SE
LE LLAMA CONECTIVA SINGULAR
PORQUE SE APLICA SOBRE UN SOLO
ENUNCIADO

conjunción

LA CONJUNCION ES UNA CONECTIVA
LOGICA QUE ENLAZA DOS
ENUNCIADOS DANDO COMO
RESULTADO UNA FORMULA QUE SERÁ
VERDADERA SOLAMENTE CUANDO SUS
ENUNCIADOS COMPONENTES SON
VERDADEROS

disyunción

LA DIYUNCION ES UNA
CONECTIVA LOGICA QUE
ENLAZA DOS ENUNCIADOS
DANDO COMO RESULTADO
UNA FORMULA QUE SERÁ
VERDADERA SOLAMENTE
CUANDO AL MENOS UNO DE
SUS ENUNCIADOS
COMPONENTES ES
VERDADEROS, SIENDO FALSA
CUANDO AMBOS SON FALSOS

Si, entonces

LA CONDICIONAL ES UNA
CONECTIVA LOGICA QUE ENLAZA
DOS ENUNCIADOS DANDO COMO
RESULTADO UNA FORMULA QUE
SERÁ VERDADERA CUANDO EL
SEGUNDO ENUNCIADO SEA
VERDADERO O TENGA EL MISMO
VALOR DE VERDAD QUE EL
PRIMERO. AL PRIMER ENUNCIADO
INVOLUCRADO SE LE LLAMA
ANTECEDENTE Y AL SEGUNDO SE LE
LLAMA CONSECUENTE

Bicondicional

LA DOBLE CONDICIONAL O
BICONDICIONAL ES UNA CONECTIVA
LOGICA QUE ENLAZA DOS
ENUNCIADOS DANDO COMO
RESULTADO UNA FORMULA QUE SERÁ
VERDADERA SOLAMENTE CUANDO
SUS ENUNCIADOS COMPONENTES
TIENEN EL MISMO VALOR DE VERDAD

El lenguaje algebraico

 En lenguaje álgebraico nace en la civilización musulmán
en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el
padre del álgebra. el lenguaje álgebraico consta
principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos
griegos. La principal función de lenguaje álgebraico es
estructurar un idioma que ayude a generalizar las
diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la
aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números
cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique
que es un número cualquiera de la numeración que
conocemos, b de la misma manera que a significa un
número cualquiera de la numeración.

Ejemplo 1

 Para poder manejar el lenguaje álgebraico es
necesario comprender lo siguiente:

 Se usan todas las letras del alfabeto.
 Las primeras letras del alfabeto se determinan por
regla general como constantes, es decir, cualquier
número o constante como el vocablo pi.
 Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las
incógnitas o variables de la función o expresión
álgebraica.

Ejemplo 2

 Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más
comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje álgebraico;
cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se
basa estrictamente en estas definiciones:

 un número cualquiera
 se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:

 a = un número cualquiera

 b = un número cualquiera

 c = un número cualquiera

... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.

Ejemplo 3

 la suma de dos números cualesquiera

 a+b = la suma de dos números cualesquiera

 x+y = la suma de dos números cualesquiera

la resta de dos números cualesquiera
 a-b = la resta de dos números cualesquiera

 m-n = la resta de dos números cualesquiera

Ejemplo 4

 la suma de dos números cualesquiera menos otro
número cualquiera
 a-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos
otro número cualquiera

Ejemplo 5

 el producto de dos números cualesquiera
 ab = el producto de dos números cualesquiera

Ejemplo 6

 el cociente de dos números cualesquiera (la división
de dos números cualesquiera)
 a/b= el cociente de dos números cualesquiera

Ejemplo 7

 la semisuma de dos números cualesquiera

 (a+b)/2= la semisuma de dos números cuales quiera

Ejemplo 8

 el semiproducto de dos números cualesquiera
 (ab)/2= el semiproducto de dos números
cualesquiera

Los términos semejantes

 Los términos semejantes son los que tienen
exactamente la misma parte literal (con las mismas
letras elevadas a los mismos exponentes), y varían
solo en el coeficiente. Solo se pueden sumar y restar
términos semejantes. No se pueden sumar y restar
términos que no sean semejantes, sin embargo, se
puede multiplicar y dividir todo tipo de términos. Si
en una expresión algebraica hay varios términos
semejantes, éstos se pueden simplificar sumándolos
o restándolos.

Ejemplo 1

 6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos
tienen el mismo factor literal (a2b3)

 1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos
tienen el mismo factor literal (x5yz)

 0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los
exponentes no son iguales, están al revés.

 Reducir términos semejantes significa sumar o restar los
coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que
tengan el mismo factor literal.

Ejemplo 2

 Términos semejantes: Son aquellos que pueden
sumarse de manera homogénea.

 5xy, 21xy, 8xy, 12xy, 13xy

Ejemplo3

 Términos no semejantes. Son aquellos que no
pueden sumarse entre si

 20x, 25y, 35z, 12a, 6b

Los polinomios

 En matemáticas, un polinomio (del griego, «poli»-
muchos y división, y el latín binomius es una
expresión constituida por un conjunto finito de
variables (no determinadas o desconocidas) y
constantes (números fijos llamados coeficientes),
utilizando únicamente las operaciones aritméticas de
suma, resta y multiplicación, así como exponentes
enteros positivos. En otras palabras, es una
combinación lineal de productos de potencias enteras
de una o de varias indeterminadas.

Ejemplo 1

Sumar polinomios
Dos pasos:

Pon juntos los términos similares
Suma los términos similares
Ejemplo: suma 2x2 + 6x + 5 y 3x2 - 2x - 1

Junta los términos similares: 2x2 + 3x2 + 6x - 2x + 5-1

Suma los términos similares: (2+3)x2 + (6-2)x + (3-1)
= 5x2 + 4x + 4

Ejemplo 2

 Por ejemplo, consideremos los polinomios
 P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4
 El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 +
10x3 - 2x2 - x + 2
 Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en
un polinomio los hemos copiado y hemos sumado
aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x3 + 8x3 = 10x3
-5x2 + 3x2 = -2x3
6-4=2

Cuando el Divisor es un
Monomio

 Cuando dividimos un monomio por un monomio,
podemos usar las reglas de los exponentes y
restamos exponentes cuando las bases son las
mismas.
 Por ejemplo:

25 x10 45 10 4 6 48a 2b5 48 2 1 5 2
x 15 x
, a b 16ab3
3x 4 3 3ab 2 3

Monomio

 Cuando dividimos un polinomio por un monomio,
rompemos la división en una suma de cocientes de
monomios.
 Para hacerlo, usamos la regla de suma usando
notación fraccional en orden inverso. Esto es, debido a
que

A B A B A B A B
, sabemos que
C C C C C C

Cuando el Divisor es un Monomio

 
Para dividir un polinomio por un monomio, divida
cada termino por el monomio.
1. Divida 12x3 + 8x2 + x + 4 por 4x .

12 x3 8 x 2 x 4
Escríbelo como expresión fraccional.
4x
12 x3 8 x 2 x 4 Divida cada termino del numerador
por el monomio: Esto es el orden
4x 4x 4x 4x inverso de suma.

2 1 1
3x 2 x Haciendo las cuatro divisiones indicadas.
4 x

Monomio

2. Divida: (8x4y5 – 3x3y4 + 5x2y3) ÷ x2y3

4 5 3 4 2 3 4 5 3 4 2 3
8x y 3x y 5x y 8x y 3x y 5x y
x2 y3 x2 y3 x2 y3 x2y3
8 x 2 y 2 3xy 5

Cuando el Divisor No es un Monomio


 Cuando el divisor no es un monomio, usamos un
procedimiento como la división larga en aritmética.
 Veamos el siguiente ejemplo:

3. Divida x2 +5x + 8 por x + 3 .

3. Divida x2 +5x + 8 por x + 3 .

x 
Divida el primer término por el primer término: x2/x = x .
x 3 x2 5x 8
x 2 3x Multiplique la x de arriba por el divisor, x + 3.
2x Reste: (x2 + 5x) – (x2 +3x) = x2 + 5x – x2 – 3x = 2x .

Ahora bajamos el otro término del dividendo, en
este caso el 8.
Veamos la siguiente diapositiva:

3.
x 2
x 3 x2 5x 8

Divida el primer término por el primer término: x2/x = x .

x 2 3x
2x 8 Se bajo el 8.
2x 6 Multiplique el 2 de arriba por el divisor x + 3 .
2 Restamos: (2x + 8) – (2x + 6) = 2x + 8 – 2x – 6 = 2 .

2
La contestación es x + 2, R 2 , o x 2
x 3
Esta expresión es el residual sobre el divisor.

 Note que la contestación anterior (ejemplo 3) no es un

polinomio a menos que el residual sea 0.
 Para verificar, multiplicamos el cociente por el divisor y
sumamos el residual para ver si obtenemos el dividendo:

(x + 3) ∙ (x + 2) + 2 = (x2 + 5x + 6) + 2
= x2 + 5x + 8
Divisor Cociente Residual

4. Divide: (5x4 + x3 – 3x2 – 6x – 8) (x – 1) .

5 x 3 6 x 2 3x 3 
x 1 5x 4 x 3 3x 2 6 x 8
4 3
5x 5x
6 x 3 3x 2 Reste: (5x4 + x3) – (5x4 – 5x3) = 6x3
3 2
6x 6x
3x 2 6 x Reste: (6x3 – 3x2) – (6x3 – 6x2) = 3x2
2
3x 3x
3x 8 Reste: (3x2 – 6x) – (3x2 – 3x) = -3x
3x 3
11 Reste: (-3x – 8) – (-3x + 3) = -11



4. La contestación es 5x3 + 6x2 + 3x – 3, R -11; o

3 2 11
5x 6x 3x 3
x 1

 Siempre acuérdese cuando divida polinomios arregle el
polinomio en orden descendente.

Cuando el Divisor No es un
Monomio

 En una división polinomial, si hay términos ausentes en
el dividendo, escriba los términos ausentes con un
coeficiente de 0, o deje espacio para ellos.
 Por ejemplo, en 125y3 – 8, decimos que los términos y2 y y
están faltando. Podemos escribirlos como sigue: 125y3 +
0y2 + 0y - 8.

5. Divida: (125y3 – 8) (5y – 2) .


2
25 y 10 y 4
3 2 Cuando faltan términos,
5 y 2 125 y 0y 0y 8 podemos insertarlos.

125 y 3 50 y 2
2
50 y 0y Reste: (125y + 0y ) – (125y – 50y ) =
50y 2
3 2 3 2

2
50 y 20 y
Reste: (50y + 0y) – (50y – 20y) =
2 2
20 y 8 20y
20 y 8
0 Reste: (20y - 8) – (20y – 8) = 0
La respuesta es 25y2 + 10y + 4 .

6. Divida: (x4 – 9x2 – 5) (x – 2) .


Note que los términos x3 y x faltan en el dividendo. En
este ejemplo dejamos los espacios.
x3 2 x2 5 x 10
Dejamos espacios para términos
x 2 x4 9x2 5 faltantes.
x4 2 x3
2 x3 9 x2 Restamos x4 – (x4 – 2x3) = 2x3
2 x3 4 x2
5x 2 Restamos (2x3 – 9x2) – (2x3 -4x2) = -5x2
5 x 2 10 x
10 x 5 Restamos -5x2 – (-5x2 + 10x) = -10x
1 0 x 20
25 Restamos (-10x – 5) – (-10x + 20) = -25
3 2 25
La contestación es x3 + 2x2 - 5x - 10, R -25; o x 2x 5 x 10
x 2

Cuando el Divisor No es
un Monomio
tener un residual de 0 o
 Cuando dividimos, podemos
no.
 Cuando el residual no es 0 podemos seguir trabajando
hasta que el grado del residual es menos que el grado
del divisor, como en el siguiente ejemplo.

7. Divida: (6x3 + 9x2 - 5) (x2 -2x)

6 x 21 
x2 2 x 6x3 9 x2 0x 5 Insertamos el termino ausente.
3 2
6 x 12 x Reste

21x 2 0x
21x 2 42 x Reste
El grado del residual es menos
42 x 5 que el grado del divisor, por lo
tanto terminamos.

42 x 5
La contestación es 6x + 21, R 42x – 5 o 6 x 21
x2 2x

División Sintética

 Para dividir un polinomio por un binomio del tipo x
– a, podemos simplificar el procedimiento general
por un procedimiento llamado división sintética.
 Es importante recordar que para que funcione este
sistema, el divisor tiene que ser de la forma x – a, esto
es, una variable menos una constante. El coeficiente
de la variable tiene que ser 1.

Compare los siguientes ejemplos. En A hacemos
la división. En B también dividimos pero no
escribimos las variables. 
A. 4 x 2 5 x 11 B. 4 5 11
x 2 4 x 3 3x 2 x 7 1 2 4 3 1 7
4 x3 8x2 4 8
5x 2 x 5 1
5 x 2 10 x 5 10
11x 7 11 7
11x 22 11 22
29 29

En B todavía hay alguna duplicidad. También, podemos
restar sumando el opuesto, podemos usar 2 en vez de -2 y
luego sumar en vez de restar.

C. División Sintética
a) Escriba el 2, el opuesto de -2 en el divisor x – 2, y los


2 4 3 1 7
coeficientes del dividendo.
4 Baje el primer coeficiente.

b) 2 4 3 1 7
8 Multiplique 4 por 2 para obtener 8. Sume 8 y -3.

4 5

c) 2 4 3 1 7
8 10 Multiplique 5 por 2 para obtener 10. Sume 10 y 1.
4 5 11

d) 2 4 3 1 7
8 10 22 Multiplique 11 por 2 para obtener 22. Sume 22 y 7.
4 5 11 29
Cociente Residual

C. El ultimo número, es el residual. Los otros números son los
coeficientes del cociente, con el termino del grado mayor primero,
como sigue:


4 5 11 29 Residual

Coeficiente grado 0

Coeficiente primer grado

Coeficiente segundo grado

2 29
La contestación es 4x2 + 5x + 11, R 29, o 4 x 5 x 11
x 2

8. Usando división sintética divida:
(x3 + 6x2 – x - 30) (x – 2)

2 1 6 1 30
2 16 30
1 8 15 0

La contestación es x2 + 8x + 15, R 0, o x2 + 8x +15

9. (2x3 + 7x2 – 5) (x + 3)


Aquí no hay el término x, por lo cual escribimos un 0 para su coeficiente. Note
que x + 3 = x – (-3), por lo tanto escribimos -3 en la esquina izquierda.

3 2 7 0 5
6 3 9
2 1 3 4

2 4
La contestación es 2x2 + x - 3, R 4, o 2x x 3
x 3

10. (x3 + 4x2 – x – 4) (x + 4)


4 1 4 1 4
4 0 4
1 0 1 0

La contestación es x2 - 1


11. (x4 – 1) (x – 1)
11 0 0 0 1
1 1 1 1
1 1 1 1 0

La contestación es x3 + x2 + x +1


12. (8x5 - 6x3 + x – 8) (x + 2)
2 8 0 6 0 1 8
16 32 52 104 210
8 16 26 52 105 218

La contestación es 8x4 – 16x3 + 26x2 – 52x + 105, R -218, o

4 3 2 218
8x 16 x 26 x 52 x 105
x 2

División de números
racionales

 La división de dos números racionales es otro
número racional que tiene:

 Por numerador el producto de los extremos.

 Por denominador el producto de los medios.

Ejemplo 1

 5/7/ 1/6 = 30/7
 {Extremos 5*6 = 30 , medios 7*1 = 7 :. Por lo tanto
nos a como resultado 30/7}

Diferencia simétrica

 La semántica lógica es declarativa: el significado de las
sentencias es que definen modelos. Pero estamos
suponiendo que los programas en se ejecutan sobre una
máquina convencional, siguiendo el modelo procesal ya
descrito. Su semántica es, por consiguiente,
procedimental. El ideal sería que ambas coincidiesen, es
decir, que aplicando el modelo procesal de se obtuviese
un modelo del programa, pero no es siempre así. Por
ejemplo, las cuatro versiones de «jefes» y superiores
estudiadas en el apartado A.3.3 tienen el mismo
significado declarativo: las cuatro comparten el modelo
(mínimo):

Ejemplo 1

 I(jefe) = {(Ana,Eva), (Eva,Pepe), (Pepe,Paco)}
 I(superior) = {(Ana,Eva), (Eva,Pepe), (Pepe,Paco),
(Ana,Pepe),
 (Ana,Paco), (Eva,Paco)}

 La radicación es la operación inversa de la
Potenciación. 
 La raíz de una expresión algebraica es toda expresión
algebraica que elevada a una potencia reproduce la
expresión dada.

 Consiste en hallar una cantidad llamada Raíz
Enésima, cuya potencia enésima es el número dado.

 El símbolo utilizado en la radicación es √. Éste signo
es una variante de la letra latina r, inicial de la
palabra latina radix, que significa raíz.
 cantidad dada se
 Una determinada raíz de una n
expresa de la siguiente forma: √a, que se llama
radical, donde n es el índice de la raíz, que indica
que raíz se va a obtener, y a se llama radicando o
cantidad subradical, a la cual se le va extraer la raíz.

 El grado de un radical es el índice de la raíz. Así, √x,
es un radical de segundo grado, √a es un radical de
3

tercer grado.

 Así también para indicar la raíz sexta de 16
escribimos √16, o para indicar la raíz quinta de x
6

escribimos √x.
5

 Comúnmente la raíz cuadrada de un número a se
expresa sin el índice, es decir, se escribe √a, en vez de
√a.

2


 Recordemos que toda potencia con exponente par es
positiva independientemente del signo de la base,
por tanto, toda raíz de índice par de una cantidad
positiva tiene un valor positivo y otro negativo. Por
ejemplo:

 √25= +5
 √64= +2
6
 √81= +3
4

 Vimos en la unidad anterior que las potencias con
exponente impar de cantidades negativas son
negativas, y las potencias con exponente par o impar

de cantidades positivas son siempre positivas. Por
ejemplo:

3 3
 (-4) 5= -64 (4) 5 = 64
 (-2) = -32 (2) = 32

 De lo anterior podemos concluir que las raíces de
índice impar de cantidades negativas son negativas,
y las de cantidades positivas son positivas; es decir,
el signo de las raíces de índice impar tienen el
mismo signo del subradical.


 Los radicales semejantes son radicales del mismo
grado y que tienen la misma cantidad subradical.

 Así, 2 √3, 5 √3, y 1/1 √3 son radicales semejantes;
pero 2 √3 y 5 √2 no son semejantes porque no tienen
la misma cantidad subradical aunque tengan el
mismo grado.


 Al estudiar las potencias de cantidades utilizamos
únicamente exponentes enteros. ¿Qué sucede cuando
los exponentes son fraccionarios?

 Cuando los exponentes son fraccionarios, vamos a
ver que los exponentes generan las raíces de las
cantidades.

 Factorizando 4: (4) =1/2 )
(2 2 1/2

 Utilizando la ley de la potencia de una potencia= (2)
= (2) = (2) = 2 2.1/2  2/2 1

 Es decir: 4 = 2
1/2

 También ya se dijo: √4= 2

 Entonces se tiene que: 4 = √4= 2

1/2

 Del ejemplo anterior se concluye que:
a 1/n= √a

n

donde n es un número entero diferente de cero. En
general se cumple que:
a = √a m
donde m y n son enteros, y n es distinto de cero.
m/n n

 Por ejemplo:

 8 2/3 √8 2
= 3
 8 2/3 (2 ) 2/3
= 3

 = (2 )
 2 3.2/3
= (2 )= 4

 √8 = √64
 = 43
3 2

 Escribiendo la igualdad anterior en la forma
√an m a m/n
= , podemos notar que para extraer la raíz de
una potencia basta dividir el exponente de la

potencia entre el índice de la raíz, conservando la
base.

 Por ejemplo:
√b =b =b
 √(a+b) = (a+b) = (a+b)
3 6 6/3 2
 √a = a = a = a
6 6/ 3
2
n n n/n 1

 Hemos visto que un radical se puede expresar como
una potencia con exponente fraccionario, y
mostramos que las propiedades de los signos de un


radical provienen de las propiedades de los signos de
las potencias.

 Así que, las propiedades de los radicales se suelen
deducir a partir de las propiedades de los
exponentes.

 Veamos algunas de las propiedades de los radicales
que son útiles para efectuar operaciones con ellos:


 La raíz de un producto de varios factores es igual al
producto de las raíces de cada factor. Por ejemplo:

 √abc= √a. √b. √c
 √9(x+y) = √3 . √(x+y) = 3(x+y)
 √ab= √a . √b

 La raíz de un cociente es igual al cociente de la raíz
del dividendo entre la raíz del divisor. Por ejemplo:


 √3 = 3
5 √5
3
6 √6
 √ =
4
4 X √x
y 4
√y

n n
a √a
b n
√b

 La potencia de una raíz es igual a la raíz de la
potencia del subradical. Por ejemplo:

 (√2 )= √(2) = √8
4 3 4 3 4

 (√x )= √x = x =x=x
5 5 5 5 5/5 1

 (√a )= √a

n m n m


 Simplificación de radicales
 Para efectuar operaciones con radicales es
conveniente que estén simplificados; esto significa
que el subradical sea entero, que tenga factores con
exponente menor que el del índice y que éste sea el
menor posible.

3
 √ab 4 no esta simplificado, ya que contiene un factor
4
(b ) cuyo exponente es mayor que el índice.

 Entonces se simplifica la expresión, factorizando b
como b . b , así: √ab = √abb =
3 3 4 3 3
4
 Utilizando propiedades de los radicales=
 √ab . √b =
 √ab . b=
3 3 3
 b √ab
3
3


 En forma análoga a la suma y resta de expresiones
algebraicas racionales, al sumar cantidades con
radicales sólo se pueden reducir aquellos términos
que sean radicales semejantes, los cuales son aquellos
que tienen radicales con el mismo índice y la misma
cantidad subradical, y que pueden variar únicamente
en el coeficiente.

7√2x son semejantes.
 Los radicales 3√2x, -a√2x,

 De la misma manera que sumamos 3x + 5x= 8x,
podemos sumar 3√x + 5√x= 8√x

 Para hallar la suma o resta de dos o más radicales
semejantes, se suman algebraicamente los
coeficientes y se multiplica dicha suma por el radical
semejante.


 El producto de radicales con el mismo índice es igual
a otro radical del mismo índice, cuyo subradical es el
producto de los subradicales.

 Por ejemplo: √6a por √2a
 √6a . √2a= √6a . 2a= √12a
2

 Es conveniente que el resultado se exprese lo más
simple posible, de manera que el producto anterior
se simplifica:

 √12a = √2 . 3 . a =

2 2 2

 2a√3


 Al dividir radicales con el mismo índice se obtiene
otro radical del mismo índice cuyo subradical es el
cociente de los subradicales.

 Por ejemplo:
 √6= 6 = √2
3 3
√3 3 3
3
√


 La Racionalización consiste en transformar la
fracción original en otra equivalente cuyo
denominador sea racional, es decir, que no contenga
radicales.

 Es conveniente para facilitar operaciones con
expresiones que contengan denominador con
radicales.

3
√ 2 ¿Cómo eliminamos el denominador
del subradical? 
 Para hacerlo se debe utilizar la propiedad del elemento
neutro multiplicativo, es decir, toda cantidad
multiplicada por la unidad no altera su valor.

√ = √ (1)

3 3
2 2

 Además se sabe que toda cantidad dividida entre si
misma es igual a la unidad.
 Cómo el denominador de la fracción original es 2,

conviene expresar la unidad como el cociente ,
2
para que al efectuar la multiplicación se obtenga un 2
cuadrado perfecto, así:

√ (1)= √ ( )
3 3 2
2 2 2
= √ 6
2
= 2 =
√6 √6
2
√2 2

 Se puede ver que en la última expresión existe un


denominador, pero el subradical es entero, es decir,
se ha simplificado el radical:

 = =
√3 3 √6
√2
√ 2 2

Multiplicion de
Radicales

La multiplicación de radicales se define como

𝒏 𝒏 𝒏
𝒂 𝒃= 𝒂𝒃

Ejemplo
Simplifica 𝟐𝒙 𝟖𝒙 − 𝟓𝟎

Primero, aplicamos la propiedad distributiva,

2𝑥 8𝑥 − 50 = 16𝑥 2 − 100𝑥

Ahora simplificamos cada radical y obtenemos

16𝑥 2 = 4𝑥

100𝑥 = 10 𝑥

Por lo tanto, 16𝑥 2 − 100𝑥 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎 𝒙

División de Radicales

La división de radicales se define como

𝒏
𝒂 𝒏 𝒂
𝒏 =
𝒃 𝒏

Ejemplos
1. Simplifica
121
25
=
 11
5

3 8𝑥 4 𝑦
2. Simplifica
27𝑥𝑦 10

Primero, simplificamos dentro del radical,

3 8𝑥 4 𝑦 3 8𝑥 3
=
27𝑥𝑦10 27𝑦 9

Ahora, aplicamos la definición,
3
3 8𝑥 3 8𝑥 3 2𝑥
27𝑦 9
= 3 = 3𝑦 3
27𝑦 9

Factorizar Polinomios Utilizando
el Monomio Común Como Factor

• Para factorizar rápido los polinomios, consideramos
la regla de producto-especial, pero primero
factorizamos el factor común mayor.
• Para multiplicar un monomio y un polinomio con mas
de un termino, multiplicamos cada termino por el
monomio usando la ley distributiva.
• Para factorizar, hacemos lo inverso.
• Expresamos un polinomio como un producto usando
la ley distributiva a lo inverso.


 Compare: Factorice
Multiplique
3 2
5x 15 x 5x
5 x x 2 3x 1 5 x x 2 5 x 3x 5 x 1
2
5x x 5 x 3x 5 x 1 5 x x 2 3x 1
5 x3 15 x 2 5 x


 En algunos casos, hay mas de un factor común.
 Cuando esto sucede se escoge el factor común con el
coeficiente mas grande y el exponente mas grande.


Ejemplos de factorizar monomios comunes de las
expresiones:

1. Factorice:
4 y2 8

2 2
4y 8 4 y 4 2 4 es el factor mas grande

2
4 y 2 Sacamos el factor común 4

5 x 4 20 x3 
2. Factorice:
4
5x 20x3 5x3 x 4

12 x 2 y 20 x3 y
3. Factorice:
12x2 y 20x3 y 4 x 2 y 3 5x
4. Factorice:
10 p 6 q 2 4 p5q3 2 p 4 q 4

10 p6 q2 4 p5q3 2 p 4 q 4 2 p 4 q 2 5 p 2 2 pq q 2


Ejemplos de sacar factor común con coeficientes
negativos:
4 x 24
5. Factorice:
4x 24 4 x 6

6. Factorice:
2 x2 6 x 10

2 x2 6 x 10 2 x 2 3x 5

Factorizar por Agrupación

 En expresiones de cuatro o mas términos, puede
haber un factor binómico común.
 Procedemos con los siguientes ejemplos de
factorizar por agrupación:
7. Factorice: a b x 5 a b x y2

a b x 5 a b x y2 a b x 5 x y2

a b 2x 5 y2


3

2
y 3y 4 y 12
8. Factorice: Agrupando

y 3 3 y 2 4 y 12 y3 3 y 2 4 y 12 Factorizando cada binomio

y2 y 3 4 y 3 Sacando el factor común y + 3

y2 4 y 3


9. Factorice: 3x 3 6 x 2 x 2
3x3 6 x 2 x 2 3x 3 6 x 2 x 2 Verificamos: -1(x – 2) = -x + 2

3x 2 x 2 1 x 2
Sacamos el factor común x + 5
3x 2 1 x 2


4x 3
x
15 20 2
3x
10. Factorice:
4 x3 15 20 x 2 3 x 4 x3 20 x 2 3 x 15 Reorganizando el orden

4x2 x 5 3 x 5 Verificar: -3(x + 5) = -3x-15

2 Sacando el factor común
4x 3 x 5 x+5


 No todos los polinomios con cuatro términos pueden ser
factorizados por agrupación.
 Un ejemplo es

3 2
x x 3x 3
2
Note que x2 x 1 3 x 1 ni x x 3 x2 3 ni cualquier

otra agrupación nos permite sacar un binomio común.

Factorizando Trinomios de la
Forma x2 + bx + c

 Al factorizar trinomios usamos un proceso que esta
basado el método FOIL.
Término Constante Positivo
 Recordando el método FOIL de multiplicar dos
binomios:
F O I L

x 3 x 5 x 2 5 x 3 x 15

x2 8x 15

Forma x2 + bx + c

 El producto del ejemplo anterior es trinomial.
 En el ejemplo, el termino líder tiene un coeficiente de
1.
 El termino constante es positivo.
 Para factorizar , pensamos en el método
FOIL a la inversa.x 2 8 x 15
 Multiplicamos x por x para obtener el primer termino
del trinomio.

Forma x2 + bx + c

 El producto del ejemplo …
 Por lo tanto el primer termino de cada factor binómico
es x.
 Queremos encontrar los números p y q tal que

2
x 8x 15 x p x q

Forma x2 + bx + c

 El producto del ejemplo …
 Para obtener el termino del medio y el ultimo termino
del trinomio, buscamos por dos números que su
producto sea 15 y que su suma sea 8.
 Los números son 3 y 5.
 Por lo tanto la factorización es

x 3 x 5 , o x 5 x 3

Forma x2 + bx + c

 Cuando el término constante de un trinomio es
positivo, buscamos factores con el mismo signo (
ambos positivos o ambos negativos).
 El signo es aquel del termino del medio.

Forma x2 + bx + c

 Algunos trinomios no son factorables.

15. Factorice: x2 – x - 7
No hay factores de -7 cuya suma sea -1. Este
trinomio no es factorable a binomios.

Forma x2 + bx + c

 Para factorizar x + bx + c:
2

1. Primero arregle el trinomio en orden descendente.
2. Use un procedimiento que busque por factores de c que sumen b.
 Si c es positivo, entonces los signos de los factores son igual al
signo de b.
 Si c es negativo, entonces un factor es positivo y el otro es
negativo. (Si la suma de los dos factores es opuesto al de b,
cambiando los signos de cada factor les dará el factor deseado
cuya suma es b.)
3. Verifique su resultado multiplicando.

Forma x2 + bx + c

 El procedimiento considerado aquí también puede ser aplicado
a trinomios con mas de una variable.
16. Factorice: x2 – 2xy – 48y2

Buscamos por números p y q tal que
x2 -2xy – 48y2 = (x + py)(x + qy)
Buscamos por factores de -48 cuya suma sea -2. Los factores son 6 y -8.

2 2
x 2xy 48 y x 6 y x 8y

Factorizando Trinomios de la Forma
x2 + bx + c

 Algunas veces trinomios como x4 + 2x2 – 15 puede
ser factorizado usando el método siguiente.
 Podemos pensar primero del trinomio como (x2)2 +
2x2 – 15, o podemos hacer una sustitución, dejando
u = x2. Entonces el trinomio se convierte en
u2 + 2u – 15
 Factorizamos este trinomio y si se encuentra una
factorización, reemplazamos cada ocurrencia de u
con x2.

FRACCIONES ALGEBRAICAS
1. CONCEPTO

Una fracción algebraica es el cociente entre dos expresiones algebraicas
donde el divisor es distinto de cero.

Se representa por: A/B, A se llama el numerador de la fracción y B el
denominador

2. EJEMPLOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

1) 6x 2) 3x – 5 3) 4y – 8
4y y + 9x 2x - 5

Fracciones Algebraicas
3. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción está simplificada cuando el numerador y el denominador son
números que no tienen factores comunes excepto el 1.

Ejemplo: Simplifica la fracción siguiente:

1) x2 + 3x = x (x + 3) = x + 3
x2 x2 x
Para simplificar esta fracción primero factorizamos el numerador en los factores:
x(x+3) y luego simplificamos los factores x y x2.

Fracciones Algebraicas
4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas, es una
expresión algebraica que se obtiene al multiplicar todos los divisores
irreductibles comunes y no comunes, elevados a sus mayores exponentes.
Se denota por m.c.m.

Para encontrar el m.c.m. De los denominadores de las fracciones seguimos el
procedimiento siguiente:
Factorizar completamente cada denominador utilizando coeficientes
enteros.
El m.c.m. debe contener cada uno de los diferentes factores que aparecen en
cualquiera de los denominadores elevado a la mayor potencia que aparezca
en cualquiera de ellos.

Ejemplos de m.c.m.

1) Encontrar el m.c.m. de las expresiones: 4xy ; 8x2y ; 24x2y3

Solución: El m.c.m. de los coeficientes: 4, 8 y 24 es 24.
Se busca el mayor grado de cada variable, es decir, el mayor exponente al que
aparecen elevados x2 y y3. El producto de estas variables será la parte literal
del m.c.m.

Así, el m.c.m. de 4xy ; 8x2y ; 24x2y3 es: 24x2y3

 Todos los números racionales se pueden representar por
fracciones equivalentes:

3= = -6= =

2.2= =
 Se define la equivalencia:

= ⇒ad=bc

PARA QUÉ CONOCER LA
EQUIVALENCIA DE FRACCIONES:


 Para comparar tamaños de fracciones o decimales:
-¿Cuál es mayor, 2/5 o 7/15?

 Para realizar operaciones con fracciones
(sumas, restas…)

 Para convertir las fracciones en decimales y porcentajes
X25

¾ 75/100 = 0.75 =75%

X25

X333

1/3 333/999 = 0.333 = 33.3%

X333

CÓMO CONOCER LA EQUIVALENCIA


 Se introduce a partir de aspectos como el área y los
conjuntos. Por ejemplo:

La idea de equivalencia es importante también
en lo que concierne a la capacidad de ordenar
fracciones y razones.
Los niños no siempre se percatan fácilmente de
que las fracciones son números, y que por su
naturaleza de tales llenan en parte los huecos
que dejan los números enteros en la recta
numérica.

La idea de equivalencia es importante también
en lo que concierne a la capacidad de ordenar
fracciones y razones.

Los niños no siempre se percatan fácilmente de
que las fracciones son números, y que por su
naturaleza de tales llenan en parte los huecos
que dejan los números enteros en la recta
numérica.

 Puede no resultarles claro que, dadas dos fracciones, o
bien son equivalentes y representan, por lo tanto, el


mismo número, o uno de ellos representa un número
mayor que la otra.

 En casos sencillos, el mecanismo de esta comparación
consiste normalmente en hallar formas equivalentes
apropiadas para una o ambas fracciones.

 La dificultad de la comparación de dos fracciones puede
variar grandemente dependiendo de los números que
figuren en los numeradores y denominadores.

 de los chicos de 15 años se
 Hart (1980) observó que el 66%
daban cuenta de que 3/10 era mayor que 1/15, mientras
que en la encuesta NAEP, solamente el 3% de los chicos
de 13 años supieron determinar cuál de los números ¼,
5/32, 5/16, 3/8 se encontraba más próximo a 3/16.

Expresiones Racionales

• Una expresión que consiste del cociente de dos
polinomios, donde el polinomio del denominador no
es cero, se llama expresión racional.
• Cada número racional es una expresión racional.
• Expresiones racionales indican división. Por lo tanto
no podemos hacer un reemplazo de la variable que
permite al denominador ser 0.


1. Encuentre todos los valores de x por el cual la
2x 1
2. expresión x 3 es indefinida.
Cuando x es remplazada por 3, el denominador es 0
y la expresión es indefinida:
2x 1 2 3 1 7
Indefinida
x 3 3 3 0

expresión racional

2. Encuentre todos los números reales de x por el cual la
2
x 5x 7
es indefinida. 3x 4
Para encontrar el reemplazo que haga el denominador
0, colocamos el denominador igual a 0 y resolvemos
por x:

3x 4 0
Por lo tanto la expresión
3x 4 es indefinida por el
4 reemplazo 4
x 3
3

2. Encuentre todos los números reales de t por el
cual la expresión racional t 4 5t
es indefinida.  t 2 3t 28
La expresión estará indefinida por un
reemplazo que haga el denominador 0. Para
determinar esos reemplazos a excluir,
colocamos el denominador igual a 0 y
resolvemos:
t 2 3t 28 0 Denominador igual a 0.
t 4 t 7 0 Factorizamos Por lo tanto la
expresión es
t 4 0 o t 7 0 Usando el principio
indefinida por los
de cero como
t 4 o t 7 reemplazos 7 y -4

2. Encuentre todos los números reales de x por el cual la
expresión racional
es indefinida.  x 2 3 x 11
x2 1

La expresión x2 es siempre no negativo, por lo tanto x2 +
1 es siempre positivo, nunca 0. Por lo tanto, todos los
números reales son aceptables y no hay número real
por el cual la expresión es indefinida.

Equivalentes

 Para multiplicar dos expresiones racionales,
multiplique los numeradores y multiplique los
denominadores.
 Ejemplos: Multiplicando los numeradores
3 2 3 2 6 y multiplicando los
;
5 7 5 7 35 denominadores.

En el segundo ejemplo es
3 3
x 3 x x 3 x mejor dejar las expresiones en
forma factorizada como están
y 4 y 5 y 4 y 5
en este ejemplo.

Equivalentes

 Para simplificar, primero consideramos multiplicar
por 1.
 Cualquier expresión racional con el mismo
numerador y denominador es un símbolo para 1:

2
73 x y 4x 5 1 x 5
1, 1, 2 1, 1, 1
73 x y 4x 5 1 x 5

Equivalentes

 Podemos multiplicar por 1 para obtener expresiones
equivalentes. Por ejemplo
7 4 7 4 28
;
9 4 9 4 36
x y x y x y x y x
Multiplicando por
y
,
x y
que es 1.
5 x y 5 x y

Esto quiere decir que nombraran los mismos números para
todos los reemplazos que no hacen el denominador 0.

Equivalentes

5. Multiplique para obtener una expresión equivalente.
2
x 3 2
x 3 x 1 x 2 3 x 1 Usando x 1
1 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 para 1
6. Multiplique para obtener una expresión equivalente.

1 x 4 1 x 4 x 4
1 x y 1 x y x y

Simplificar Expresiones
Racionales

 Simplificamos una expresión racional usando la
identidad del 1 en reversa.
 Removemos factores que son igual a 1.
 Primero factorizamos el numerador y el denominador
y luego factorizamos la expresión racional para que
un factor sea igual a 1.
 Decimos que hemos removido un factor de 1.

Racionales
 120
320
7. 120
Simplifique removiendo el factor de 1:
40 3
Factorizando el numerador y el
320 40 8 denominador, buscando por un factor
común.
40 3
Factorizando la expresión racional.
40 8
3 40
1 1
8 40
3
Removiendo el factor de 1.
8

Racionales

8. Simplifique removiendo el factor de 1.
5x2 5x x
Factorizando el numerador y el denominador
x 1 x
5x x
1 x
x
5x 1 1
x
5x Removiendo el factor de 1

Racionales

4a 8 2 2a 4
Factorizando el numerador y el denominador.
2 21
2 2a 4
Factorizando la expresión racional
2 1
2a 4 Removiendo el factor de 1
1
2a 4

Racionales

2
2x 4x 2x x 2
Factorizando el numerador y el denominador.
6 x2 2x 2 x 3x 1
2x x 2
2x 3x 1
x 2
3x 1

Racionales

2
x 1 x 1 x 1 Factorizando el
numerador y el
2
2x x 1 2x 1 x 1 denominador.

x 1 x 1 Factorizando la expresión
racional.
x 1 2x 1
x 1
2x 1

Racionales

2
9 x 6 xy 3 y 2 3 3x 2 2 xy y2 Factorizando el
numerador y el
12 x 2 12 y 2 12 x 2 y2 denominador.

3 3x y x y 3 x y 3x y Factorizando la
expresión racional.
3 4 x y x y 3 x y 4 x y
3x y
4 x y

Multiplicando y Simplificando


13. Multiplique. Luego simplifique removiendo el factor de
1.
x 2 x 4 2 x 2 x2 4 Multiplicando los
numeradores y los
x 3 x2 x 2 x 3 x2 x 2 denominadores.

x 2 x 2 x 2 Factorizando el numerador y el denominador.
x 3 x 2 x 1
x 2
x 2 x 2 x 2 Removiendo un factor de 1: 1
x 2
x 3 x 2 x 1
x 2 x 2
Simplificando
x 3 x 1

Multiplicando y Simplificando
14. Multiplique. Luego simplifique removiendo el factor de 1.
a 3 b3 a 2 2ab b 2
a 2 b 2 a 2 ab b 2 
a 3 b3 a 2 2ab b 2
a 2 b 2 a 2 ab b 2
a b a 2 ab b 2 a b a b Factorizando el numerador
a b a b a 2 ab b 2 y el denominador.

a b a 2 ab b 2 a b a b
2 2
Removiendo el factor de 1
a b a b a ab b 1
a b
Simplificando
1
a b

Dividiendo y Simplificando
 Dos expresiones son recíprocas (o inversos multiplicativos)
de cada una si su producto es 1.

 Para encontrar el recíproco de una expresión racional,
intercambiamos el numerador y el denominador.
 Dividimos con expresiones racionales como lo hacemos
con números reales.
 Multiplicamos por el recíproco del divisor. (Muchas veces
decimos “invierte el divisor y multiplica”)

15. Divida. Simplifique removiendo el factor de 1, si es
posible.

x 2 x 5 x 2 x 3 Multiplicamos por el
recíproco del divisor.
x 1 x 3 x 1 x 5
x 2 x 3
x 1 x 5

16. Divida. Simplifique removiendo el factor de 1, si
es posible.
a 2 1 a 2 2a 1 a2 1 
a 1 Multiplique por el recíproco del
a 1 a 1 a 1 a 2 2a 1 divisor.

a2 1 a 1 Multiplicando los numeradores y los
denominadores.
a 1 a 2 2a 1
a 1 a 1 a 1 Factorizando el numerador y el
a 1 a 1 a 1 denominador.

a 1 a 1 a 1
a 1 a 1 a 1
a 1 a 1
Simplificando
a 1 a 1

17. Divida. Simplifique removiendo el factor de 1, si es
posible.

c3 d 3
2
c d c d

c d
c3 d 3 1
2
c d
c d c d
c d c 2 cd d2 c d
c d c d c d
c d c 2 cd d2 c d
Removiendo un factor de 1
c d c d c d
c 2 cd d 2
c d

El principio de las
Potencias

 Una ecuación radical tiene variables en uno o mas
radicandos.
 Para resolver la ecuación necesitamos un principio
nuevo.
El Principio de las Potencias
Para cualquier número natural n, si una ecuación a = b
es cierta, entonces an = bn es cierta.

El principio de las Potencias

 Pero también, si una ecuación an = bn es cierta,
puede que no sea cierto que a = b. Por lo tanto
debemos verificar cuando resolvemos una ecuación
usando el principio de potencias.
 Por ejemplo, 32 = (-3)2 es cierto, pero 3 = -3 no es
cierto.


1. Resuelva: ?
Verificamos : 3 3 4
x 3 4 ?
49 3 4
x 4 3 ?
7 3 4
x 7 4 4

2
2
x 7 Usando el principio de las potencias

x 49

El principio de las
Potencias

2. Resuelva: ?
x 3 Verificamos : x 3
?
2 2 9 3
x 3
3 3
x 9 FALSO

Esta ecuación no verifica, por lo tanto
no tiene solución de número real.

El principio de las
Potencias

 Para resolver una ecuación radical primero aislamos
el término radical a un lado de la ecuación.
 Luego usamos el principio de las potencias.

3. Resuelva:

x 7
2
2 x 1
2

Usando el principio de las potencias
x 7 2 x 1
(cuadrando)
2 Cuadrando el binomio en la izquierda;
2 2
x 14 x 49 2 x 1 elevando el producto a una potencia en la
derecha.
x 2 14 x 49 4 x 1
x 2 14 x 49 4 x 4
x 2 18 x 45 0
x 3 x 15 0 Factorizando

x 3 0 o x 15 0 Usando el principio del cero como
producto
x 3 o x 15


3. Verificando:
Para 3 : Para 15 :
x 7 2 x 1 x 7 2 x 1
3 7 2 3 1 15 7 2 15 1
4 2 4 8 2 16
4 2 2 8 2 4
4 4 8 8

4. Resuelva:

x x 7 5  Restando 5 para aislar el término
x 5 x 7 radical
2 2 Usando el principio de las
x 5 x 7 potencias (cuadrando ambos
lados)
x 2 10 x 25 x 7
x 2 11x 18 0
x 2 x 9 0 Factorizando

x 2 0 o x 9 0 Usando el principio del cero como producto

x 2 o x 9

4. Verificando:

Para 9 :
 Para 2 :
x x 7 5 x x 7 5
9 9 7 5 2 2 7 5
9 16 5 2 9 5
9 4 5 2 3 5
9 9 CIERTO
2 8 FALSO

La solución es 9


5. Resuelva:
3
2x 1 5 0
Restando 5, esto aísla el término radical
3
2x 1 5
3 Usando el principio de potencias.
3 3
2x 1 5 (elevando a la tercera potencia)

2x 1 125
Restando 1
2x 126
x 63

5. Verificando:


3
2x 1 5 0
3 2 63 1 5 0
3
126 1 5 0
3
125 5 0
5 5 0
0 0 CIERTO

La solución es -63

Ecuaciones con Dos Términos
Radicales

• Para resolver ecuaciones con dos términos
radicales:
1. Aísle uno de los términos radicales.
2. Use el principio de las potencias.
3. Si se mantiene una radical, use los pasos (1) y (2)
nuevamente.
4. Verifique las posibles soluciones.

Ecuaciones con Dos Términos Radicales
6. Resuelva:
x 3 x 5 4
x 3
2
4 x 5

2
Aislando uno de los términos radicales

x 3 4 x 5 Usando el principio de las potencias

2
2
x 3 4 8 x 5 x 5
Restando y coleccionando los
x 3 16 8 x 5 x 5 términos iguales
24 8 x 5 Aislando el término radical restante

3 x 5 Dividiendo por -8

2 2
3 x 5 Cuadrando

9 x 5
4 x El número 4 verifica y es la solución

7. Resuelva:
2x 5 1 x 3

2x 5
2
1 x 3
2
lados 
Una radical ya esta aislada y cuadramos ambos

2
2x 5 1 2 x 3 x 3

2x 5 1 2 x 3 x 3
x 3 2 x 3 Aislamos el término restante
2 2
x 3 2 x 3 Cuadramos ambos lados

x2 6 x 9 4 x 3
x2 6 x 9 4 x 12
x 2 10 x 21 0 Factorizando
x 3 x 7 0 Usando el principio del cero como producto
x 3 0 o x 7 0
x 3 o x 7 Los números 3 y 7 verifican y son soluciones

8. Resuelva:

2 2


x 2 2x 2 1 0 x 1 2 2x 2

x 2 2x 2 1 x2 2x 1 4 2 x 2
2 2
x 2 2x 2 1 x2 2 x 1 8x 8
2
x 2 2x 2 2 2x 2 1 x2 6x 7 0

x 2 2x 2 2 2x 2 1 x 1 x 7 0
x 1 2 2x 2 x 1 0 o x 7 0
x 1 2 2x 2 x 1 o x 7

El número 7 verifica, pero el -1 no verifica.
La solución es 7.

Números Complejos e
Imaginarios

• Números negativos no tienen raíces cuadradas en el
sistema de números reales.
• Los matemáticos inventaron un sistema de números mas
grande que contiene el sistema de números reales, pero
es tal que los números negativos tienen raíces cuadradas.
– El sistema se llama sistema de números complejos.
– Empezamos creando un número que es la raíz cuadrada de
-1.
– Llamamos este nuevo número i.

Imaginarios

 Definimos el número i a ser 1.

Esto es, i 1 y i2 1.
 Para expresar raíces de números negativos en
términos de i, podemos usar el hecho que en los
números complejos,

p 1 p 1 p cuando p es un número real positivo.

• Exprese en términos de i:

1. 7 17 1 7 i 7, o 7i
2. 16 1 16 1 16 i 4 4i
3. 13 1 13 1 13 i 13 , o 13i
4. 64 1 64 1 64 i8 8i
5. 48 1 48 1 48 i 16 3 i 16 3
i4 3 4 3i 4i 3

Imaginarios

• Un número imaginario es un número que se puede
nombrar bi, donde b es algún número real y b ≠ 0.

• Un número complejo es cualquier número que se
pude nombrar a + bi, donde a y b son cualquier
número real. (note que en este caso tanto a y/o b
pueden ser 0.)

Imaginarios

 Debido a que 0 + bi, todo número imaginario es un
número complejo.
 Similarmente, a + 0i = a, entonces todo número real
es un número complejo.

Suma y Resta de Números
Complejos

 Ejemplos. Sume o reste:

6. 8 6i 3 2i 8 3 6i 2i 11 8i

7. 3 2i 5 2i 3 5 2i 2i 2 4i

Complejos

 Multiplique:

8. 49 16 1 49 1 16
i 7 i 4
2
i 28
1 28 i2 = -1

28

Complejos

9. 3 7 1 3 1 7
i 3 i 7
i2 21

1 21 i2 = -1

21

Complejos
10. 2i 5i 2
10 i

10 1 i2 = -1
10

Usando la ley
11. 4i 3 5i 4i 3 4i 5i distributiva

12i 20i 2
12i 20 1 i2 = -1
12i 20
20 12i

Complejos
12. 1 2i 1 3i 1
i
3i 2 6i 2
Multiplicando por el
método FOIL

1 5i 6 i2 = -1
Coleccionando términos iguales
5 5i

2 2 2 Cuadrando el binomio
13. 3 2i 3 2 3 2i 2i
9 12i 4i 2
9 12i 4
5 12i

Potencias de i
 Considere:
i,
2
 Note que las potencias
i 1, de i se ciclan ellas
i 3 2
i i 1i i, mismas por los
valores i, -1, -i, y 1.
2 2
4 2
i i 1 1,
2 2
5 4 2
i i i i i 1 i i,
3 3
6 2
i i 1 1

Potencias de i

 Simplifique: 18 18
37 36 2
14. i i i i i 1 i 1i i
29 29
58 2
15. i i 1 1
37 37
75 74 2
16. i i i i i 1 i 1i i
40 40
80 2
17. i i 1 1

Potencias de i
 Simplifique a la forma a + bi:

18. 8 i 2
8 1

8 1 9
19. 17 6i 3 17 6 i 2 i 17 6 1 i 17 6i
11 11
22 2 2
20. i 67i i 67 1 1 67
1 67 66
24 11 24
23 48 22 2 2
21. i i i i i i i 1
11
1 i 1 i 1 1 i

División y el Conjugado

 El conjugado de un número complejo a + bi es a – bi, y el
conjugado de a - bi es a + bi.

Encuentre el conjugado :
22. 5 7i El conjugado es 5 7i
25. 4i El conjugado es 4i

• Cuando multiplicamos por un número complejo por su


conjugado, obtenemos un número real.

Multiplique :
2 2
26. 5 7i 5 7i 5 7i (A + B)(A - B) = A2 – B2

2
25 49i
25 49 1 i2 = -1

25 49
74

Multiplique :
 2 2
27. 2 3i 2 3i 2 3i Diferencia de
cuadrados

2
4 9i
4 9 1 i2 = -1

4 9
13

• Usamos conjugados en la división de números
complejos.

28. Divida y simplifique a la forma a bi :
5 9i
1 2i
Multiplicando por 1 usando el
5 9i 1 2i 5 9i 1 2i
conjugado del denominador en el
1 2i 1 2i 1 2i 1 2i símbolo para 1

5 10i 9i 18i 2
1 4i 2
5 i 18 1 i2 = -1
1 4 1
23 i 23 1
i
5 5 5

29. ¿ 
Que símbolo por 1 usarías para dividir?
División a hacerse Símbolo por 1
3 5i 4 3i
4 3i 4 3i

30. Divida y simplifique a la forma a bi :
3 5i
4 3i 
3 5i 4 3i 3 5i 4 3i
Multiplicando por 1
4 3i 4 3i 4 3i 4 3i
12 9i 20i 15i 2
16 9i 2
12 11i 15 1
i2 = -1
16 9 1
27 11i 27 11
i
25 25 25

Solucionar Ecuaciones con
Números Complejos

 La ecuación x2 + 1 = 0 no tiene solución de números
reales, pero tiene dos soluciones complejas no real.
 Cualquier ecuación consistiendo de un polinomio en
una variable a un lado y 0 en el otro tiene soluciones
de números complejos (algunos pueden ser reales).

Números Complejos

31. Determine si i es una solución de la ecuación x 2 1 0
x2 1 0
i2 1 0 Sustituimos i por x en la ecuación

1 1 0
0 0 CIERTO

El número i es una solución.

Números Complejos
32. Determine si 1
 solución de la ecuación
i es una
x2 2 x 2.
2
1 i 2 1 i 2 0
1 2i i 2 2 2i 2 0
1 i2 0
1 1 0
0 0 CIERTO

El número 1+ i es una solución.

Números Complejos

33. Determine si 2i es una solución de,
x2 3x 4 0
2
2i 3 2i 4 0
4i 2 6i 4 0
4 1 6i 4 0
4 6i 4 0 El número 2i no es una
8 6i 0 solución.

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