1. EL 4702
Probabilidad y Estadística.
Probabilidad-1
MAE. Marta E. Vílchez Monge
II-2012
eliatron.tumblr.com
MAE. Marta E. Vìlchez
2. Interpretación de la Probabilidad
• es básicamente un proceso de enumeración de sucesos
y de posibilidades.
• una cantidad que se asocia a un evento y mediante el
cual se expresa el grado de confianza que se tiene de
que el evento se realice.
• Espacio muestral discreto:
– Es un espacio muestral que contiene un número finito
(o contablemente infinito) de resultados.
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3. 3.1. ESPACIO MUESTRAL Y
EVENTOS
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4. Eventos
• Para enfrentar problemas o experimentos donde los datos presentan
variabilidad:
– los resultados numéricos son necesariamente valores aleatorios cuya
regularidad estadística sigue un cierto modelo probabilístico.
– Los resultados obtenidos al analizar una muestra pueden usarse como
predictores del comportamiento de la población
– “Probabilidad” se utiliza para sugerir algún grado de incertidumbre
– Es una forma de asignar cierta confianza en que un experimento se
realizará de una forma preestablecida.
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5. 3.1.Espacio muestral y eventos
• Los experimentos presentan variabilidad.
• Cualquier resultado experimental es necesariamente un valor aleatorio con
regularidad estadística y sigue algún modelo probabilístico.
• La muestra pueden usarse como predictora del comportamiento de la
población con base en la teoría
• “Probabilidad” se utiliza para sugerir algún grado de confianza.
• Es una forma de asignar confianza en que un experimento se realizará de
la manera preestablecida.
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6. Eventos
• Evento repetitivo real:
– Cuando la experiencia es por naturaleza repetible con las mismas
condiciones, los mismos equipos e instrumentos, como lo es por
ejemplo, lanzamiento de un dado, medición de la temperatura de una
caldera, etc.
• Evento repetitivo conceptual:
– Un experimento agrícola puede llevarse a cabo una sola vez utilizando
la misma tierra, las mismas semillas, fertilizantes, etc. Sin embargo,
puede considerarse como un conjunto ilimitado de experimentos
equivalentes y por tanto repetitivos, siempre que se planee de manera
cuidadosa la sustitución de los elementos sustituibles.
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7. • Experimento aleatorio:
– Es aquel que puede presentar resultados diferentes, aún cuando se
repita siempre bajo las mismas condiciones.
– En esencia, somos incapaces de decir a ciencia cierta, cuál será el
resultado de un ensayo, antes de que este se realice ( a priori).
• Evento:
– Es un posible resultado distinto, o una combinación de tales resultados,
que se pueden presentar al realizar una experiencia aleatoria.
• Resultado:
– Es la ocurrencia de un evento, al realizar la experiencia.
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8. • Evento simple:
– Es un único resultado y no es posible descomponerlo en una
combinación de otros eventos; es decir, consiste exactamente de un
resultado.
• Evento compuesto:
– El resultado está compuesto por más de un evento simple.
• Espacio muestral (S):
– Es el conjunto de todos los eventos simples (posibles resultados) del
experimento.
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9. Relación entre eventos
• Nos permiten desarrollar métodos de cálculo de las posibilidades lógicas de
algún suceso
• Conjunto como una unidad o agrupación compuesta de objetos ,cuyas
relaciones están definidas de manera lógica
El conjunto “Universal”, “Universo” o “Espacio Muestral” se representa por un rectángulo. Así
• consistente con ciertas reglas predeterminadas
cualquier elemento del conjunto Universo se encuentra contenido dentro de este rectángulo.
• Diagrama de Venn : es una representación del conjunto del rectángulo.
Cualquier subconjunto se representa como una circunferencia dentro y sus relaciones
mediante áreas cerradas en el plano
Instituto Tecnológico de Costa B y A Õ
Si hay dos eventos A y Rica B : MAE. Marta E. Vìlchez
10. njuntos arbitrarios, es posible que algunos elementos esté
pertenezcan a B, que algunos elementos estén en A y en B
no pertenezcan ni a A ni a B.
ilidades.
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11. Ejemplos de relaciones
• A es subconjunto de • no hay elementos en
B común
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12. A unión B
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}
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14. • Conjunto Vacío (ϕ ): es un conjunto que no tiene elementos
• Unión disjunta: Si A ∩ B = φ y S = A ∪ B
Los dos subconjuntos no contienen elementos en común.
• A’ (complemento de A), consta de todos los elementos del espacio muestral
que no están contenidos en A
•
A' = {x : x ∈U , x ∉ B}
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15. • Complemento relativo: elementos que pertenece a A pero no a B
A B = A− B = A ~ B
A B = {x : x ∈ A, x ∉ B}
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16. • Diferencia simétrica ( A ⊕ B ): elementos que pertenecen a A, y a B, pero
no a ambos.
A⊕ B = A∪ B − A∩ B
A ⊕ B = {x : x ∈ A; x ∈ B y x ∉ A ∩ B}
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17. Propiedades
• Impotente ⎧ A ∪ A = A
⎨
⎩ A ∩ A = A
• Involutiva (A')' = A
⎧( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
• Asociativa ⎨
⎩( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
⎧ A ∪ B = B ∪ A
• Conmutativa ⎨
⎩ A ∩ B = B ∩ A
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18. Propiedades
⎧ A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
• Distributiva ⎨
⎩ A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
⎧ A ∪ φ = A
• Ínfimo (neutro) ⎨
⎩ A ∩ φ = A
⎧ A ∪ U = U
• Elemento Universal ⎨
⎩ A ∩ U = φ
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19. Propiedades
⎧ A ∪ A' = U
• Complementariedad ⎨ ⎧U ' = φ
⎨
⎩ A ∩ A' = φ ⎩φ ' = U
• Propiedad de ⎧( A ∪ B )' = A'∩ B'
DeMorgan ⎨
⎩( A ∩ B )' = A'∪ B'
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20. Ejemplo 9: Jack puede jugar como máximo 5 veces a la ruleta a
Diagramas de Árbol pierde 1$. Si inicia con 1$ y dejará de ju
En cada jugada gana o
pierde todo su dinero o bien si acumula 4$. Construya el di
número de veces que jugará las 5 apuestas.
0
0
• Esquema para enumerar 1
todas las apariciones posibles 2 Ha
2
0 1 2
• Cada suceso puede ocurrir de 3
un número finito de maneras 4
1
inicio
• El orden de aparición es 2 1 0
importante. 3 2
2
0
• Experimento en etapas o 3
pasos sucesivos 4
4
Ejemplo 10: Mario y José juegan al tenis, gana quien obtenga do
que obtenga 3 set ganados primero. Martael número de form
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21. Interpretación de la Probabilidad
• Es un proceso de enumeración de sucesos y de posibilidades.
• una cantidad que se asocia a un evento
• se expresa el grado de confianza que se tiene de que el evento se realice.
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22. Formas de asignación de la probabilidad
1. Criterio Experto
– Expresan la firmeza de opinión de una persona respecto de las
incertidumbres involucradas.
– Se aplican cuando hay escasas o nulas evidencias directas o
históricas de un evento.
2. Definición clásica:
– Existen “n” posibilidades igualmente probables.
– Una de las cuales debe ocurrir necesariamente.
– Por “s” se entiende un resultado “favorable” o “éxito”
– la probabilidad de éxito “P” será:
s
P=
n
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23. – Origen:
Los juegos de azar: cartas, dados, ruletas, etc.
– Desventaja:
no es común que todos los eventos tengan igual probabilidad.
3. Frecuencia relativa:
“La probabilidad de un evento (o resultado) es la proporción de veces en
las que un evento ocurrirá en una corrida larga de experimentos
repetidos”
Se requiere contar con un registro muy largo de observaciones de las
condiciones de experimento y sus resultados.
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24. Axiomas de Probabilidad
• El objetivo de usar probabilidades es asignar a cada evento un número.
• Este representa mi estimación de la probabilidad de ocurrencia de ese
evento.
• Para asegurara consistencia las asignaciones deben cumplir con los
axiomas de probabilidad.
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25. Axioma 1
• Un resultado que proviene de un espacio muestral es un
hecho cierto.
• El resultado del experimento siempre proviene del
espacio muestral.
P(S ) = 1
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26. Axioma 2
• Los eventos son normalizados para simplificar su interpretación.
• La frecuencia de cualquier evento siempre está entre 0 y 100%
0 ≤ P(E ) ≤ 1
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27. Axioma 3
• Sean E1 y E2 dos eventos de S disjuntos, la probabilidad total será la suma
de las probabilidades individuales.
E1 ∩ E2 = φ
⇒ P ( E1 ∪ E2 ) = P ( E1 ) + P ( E2 )
• Para k eventos distintos:
k
P(E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ ... ∪ Ek ) = ∑ P(Ei )
i =1
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28. Consecuencias de los axiomas
• no es posible realizar un experimento y no obtener algún resultado
• La probabilidad de que un evento no ocurra es uno menos la probabilidad de
que si ocurra.
• Si E1 es un evento contenido en E2, de manera que
E1 ∩ E2 = E1
⇒ P ( E1 ) ≤ P ( E2 )
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29. Reglas de adición de probabilidades.
1 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
.
La intersección se tomó en
cuenta 2 veces
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30. Reglas de adición de probabilidades.
P( A∪ B ∪C) =
P ( A) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )
=
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31. Probabilidad condicional
• E representa un evento simple
• Se asigna E la probabilidad P(E)
– decimos que P(E) es la probabilidad incondicional y original de E.
• Cuando un evento puede pertenecer a más de un espacio muestral.
• O bien cuando la ocurrencia de un evento está directamente ligado a la
ocurrencia o no de otro evento independiente
• Cuando la información de “la ocurrencia del evento A” afecta la posibilidad
asignada a E, se recurre a la probabilidad condicional.
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32. Probabilidad condicional
• Si A y B son dos eventos cualesquiera, en el espacio muestral S
• Y si P(A) ≠ 0
• La probabilidad del evento B dado que (condicionado a la ocurrencia de) A es:
P( A ∩ B )
P(B | A) =
P ( A)
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33. Probabilidad condicional
• Regla de multiplicación
P( A ∩ B )
P( A | B ) =
P(B )
⇒ P( A ∩ B ) = P( A | B )⋅ P(B )
P(B ∩ A) = P( A | B )⋅ P(B )
∴ P(A | B)⋅ P(B) = P(B | A)⋅ P(A)
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34. Probabilidad condicional
• Regla de probabilidad total
La probabilidad de un evento cualquiera puede
expresarse en términos de otros eventos,
siempre que todos pertenezcan al mismo
espacio muestral S.
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