Teoriadafirma

Microeconomia para Finanças Paulo Coutinho

Microeconomia

I Introdução

Este curso continuará o programa de microeconomia, iniciado com o curso de
microeconomia oferecido no curso de extensão. A ênfase será em conteúdos de interesse para
os que atuam nas áreas financeira em empresas.

Iniciaremos com uma revisão sucinta da teoria da firma em mercados competitivos até
gerar a curva da oferta. Em seguida faremos a análise do equilíbrio parcial e do equilíbrio
geral. Para se realizar a análise do equilíbrio geral é necessário se fazer uma extensão simples
da teoria da decisão do consumidor: o caso em que o consumidor possui uma dotação inicial
e não uma riqueza.

Uma parte da microeconomia de grande interesse para os que trabalham com a área
financeira é da decisão em ambiente de incerteza, que é o ambiente natural das decisões
financeiras. Ao desenvolver esta teoria faremos algumas aplicações como a análise média-
variância, central à teoria moderna de finanças.

Em alguns mercados financeiros a hipótese de competição perfeita pode não ser a
melhor. Um estudo de decisão em mercados não competitivos é portanto importante.
Monopólio e oligopólio formam o núcleo dessa teoria. A teoria dos jogos é a ferramenta
matemática utilizada para a análise dos oligopólios.

Finalmente estudaremos a teoria econômica da informação. Esta teoria é o principal
instrumento para o entendimento de diversos problemas em finanças. O problema de
agenciamento, por exemplo, aparece em diversas partes das decisões financeiras como na
relação acionistas direção executiva, na escolha da estrutura ótima do capital, etc.

-1-


Parte II

Teoria da Firma

O estudo do lado da oferta de um mercado.

II TecnologiaEquation Section (Next)

II.1 Insumos e produtos

Na atividade produtiva de uma firma, ela transforma insumos em produtos. Por
exemplo, uma fábrica de automóveis utiliza aço, energia, mão-de-obra e outros insumos ou
insumos de produção para produzir o produto automóvel. Num outro exemplo, um banco
utiliza como insumos, móveis, equipamentos, mão-de-obra e conhecimento para produzir o
produto de intermediação financeira.

Algumas vezes é conveniente diferenciar os insumos entre insumos puros e bens de
capital. Insumos puros são aqueles insumos que encontramos na natureza. Terra, produtos
primários, mão-de-obra, energia são alguns exemplos. Bens de capital são aqueles insumos
que são produzidos por algum processo produtivo. Máquinas, tratores, computadores são
exemplos de bens de capital.

Algumas vezes a palavra capital é empregada para descrever o montante de dinheiro
usado para começar e manter um negócio. Esse tipo de capital será chamado de capital
financeiro enquanto que o outro tipo de capital será chamado de capital físico.

II.2 Estoques e fluxos

Alguns insumos são medidos em fluxo como mão-de-obra e energia. Outros são
medidos em estoque como máquinas e equipamentos. Todavia, no processo produtivo,
estamos trabalhando com fluxo de insumos e fluxo de produto. Nesse caso trataremos o
insumo utilizado de um bem de capital como a depreciação que o bem de capital sofreu pela
sua utilização no processo produtivo.
-2-


II.3 Restrições tecnológicas

Os planos de produção são combinações de insumos e produtos. Apenas algumas
dessas combinações de insumos e produtos são factíveis de serem implementadas pelas
firmas. Estas combinações serão chamadas de planos de produção tecnologicamente
factíveis. O conjunto dos planos de produção tecnologicamente factíveis formam o conjunto
de produção, que será representado por Y . Se representarmos os insumos pelo vetor:

x = ( x1 , x2 , xN )

onde xn representa a quantidade do insumo n utilizado no processo de produção, e por y a
quantidade produzida do produto, o conjunto de produção pode ser representado por:

Y= {( y, x ) y pode ser produzido a partir de x = ( x , x
1 2 }
, xN ) .

Embora existam muitos planos de produção factíveis, é de interesse especial aqueles
que associam a cada x o máximo de produto possível. Esses planos de produção descrevem a
função de produção.

Definição: A função de produção f ( x ) associa a cada valor do insumos x o máximo

produto possível.

Representamos a seguir um gráfico que sumaria esse conceito:

y
y = f ( x)

Conj. de
produção

x

Como, usualmente, se é possível produzir y a partir de x, também é possível produzir
y ' ≤ y a partir de x. Dessa forma os pontos abaixo da curva representando a função de
produção pertencem ao conjunto de produção Y.

-3-


Definição: Isoquanta é o conjunto de combinação de insumos que podem produzir no
máximo y, ou seja,

I= {x f ( x ) = y}

Obs.: O conceito de isoquanta na teoria da firma é idêntico ao conceito de curva de
indiferença na teoria do consumidor.

x2

y = f ( x1 , x2 )

x1

Exemplos:

1. Tecnologia com proporções fixas de insumos:

y = min {ax1 , bx2 } . (1.1)

x2

a
b

x1

Neste caso

ax1 = bx2
ou
a
x2 = x1.
b

-4-


Se a produção de um automóvel exige 1 motor, uma carroceria e quatro pneus então,
representando quantidade de motores pela coordenada 1, de carroceria pela coordenada 2 e
de pneus pela coordenada 3, a função de produção é

 x 
y = min  x1 , x2 , 3  .
 4

2. Substitutos perfeitos

f ( x1 , x2 ) = ax1 + bx2 (1.2)

x2

y
b

y
x1
a

Neste Caso

ax1 + bx2 = y
ou
a y
x2 = − x1 + .
b b

3. Tecnologia Cobb-Douglas

f ( x1 , x2 ) = x1a x2
b
(1.3)

II.4 Propriedades da Tecnologia

H 1 : monotonicidade – aumentando a quantidade de insumos não diminui a quantidade que
se pode produzir i.e.,

Se ( y, x ) ∈ Y e se x′ ≥ x entao ( y , x′ ) ∈ Y (1.4)

-5-


Podemos definir equivalentemente monotonicidade em termos de função de produção.

( )
Se ( x1 , x2 ) > x1′ , x2′ , então:

(
f ( x1 , x2 ) ≥ f x1′ , x2′ )
H 2 : convexidade – Se dois vetores de insumos podem produzir y então a combinação
(convexa) desses vetores também pode produzir y .

Se ( y, x ) e ( y,x′) ∈ Y então ( y, α x + (1 − α ) x′ ) ∈ Y ∀α ∈ [ 0,1] . (1.5)

No gráfico abaixo ilustramos a convexidade através de um diagrama de isoquanta.

(
Seja xα = ( x1 , x2 ) = α x1 + (1 − α ) x1′ , α x2 + (1 − α ) x2′ .
α α
)

x

.x α

y = f ( x)
x′

Podemos também definir a convexidade a partir da função de produção. Se

(
f ( x1 , x2 ) = f x1′ , x2′ ) então:

( )
f α x1 + (1 − α ) x1′ , α x2 + (1 − α ) x2′ ≥ f ( x1 , x2 )

Observe que este caso é equivalente à definição de função de produção côncava.

-6-


II.5 Produtividade marginal ou produto marginal

Definição: A produtividade marginal de um insumo é o quanto o produto aumenta ao
aumentarmos a quantidade deste insumo em uma unidade. Se a função de produção é
f ( x ) = y então a produtividade marginal do insumo n é

∂ y ∂ f (x)
= .
∂ xn ∂ xn

Obs.: O conceito de produto marginal na teoria da firma é análogo ao conceito de utilidade
marginal na teoria do consumidor. Todavia enquanto que na teoria do consumidor o conceito
de utilidade só tem sentido ordinal, na teoria da firma o conceito de produção tem sentido
cardinal.

II.6 Taxa de substituição técnica

Definição: a taxa de substituição técnica é a taxa em que se pode trocar um insumo por
outro mantendo o nível de produção constante, isto é, se y = f ( x ) e se permitimos variar

apenas os insumos k e n então o diferencial de y é:

∂ f (x) ∂ f (x)
dy = dxk + dxn . (1.6)
∂ xk ∂ xn

Como estamos trocando os insumos k e n mantendo o nível de produção y constante,
este diferencial é igual a zero ou seja

∂ f (x) ∂ f ( x)
dxk + dxn = 0 . (1.7)
∂ xk ∂ xn

A taxa de substituição técnica é então

∂ f ( x)
dxk ∂ xn
=− . (1.8)
dxn ∂ f ( x)
∂ xk

-7-


II.7 Produtividade marginal decrescente

Observando muitos processos produtivos pode-se constatar que quando se aumenta a
quantidade utilizada de um insumo, mantendo constante a quantidade utilizada dos outros
insumos, o produto aumenta, mas esse aumento é cada vez menor. Neste caso dizemos que a
a função de produção apresenta produtividade marginal decrescente. Se y = f ( x ) , então

∂ y ∂ f (x)
= > 0, (1.9)
∂ xn ∂ xn

isto é, a produtividade marginal do insumo é positiva. Todavia

∂ 2 y ∂ f (x)
2

= < 0. (1.10)
∂ xn2
∂ xn
2

Obs.: matematicamente isto significa dizer que a função de produção é côncava quando se
mantém a quantidade utilizada dos outros insumos constantes.

II.8 Taxa de substituição técnica decrescente

Ë também observável em muitos processos produtivos que a taxa marginal de
substituição técnica é decrescente. A explicação é que na medida em que vamos substituindo
um insumo por outro, mantendo o nível de produção constante, o insumo substituído vai
ficando cada vez mais escasso e sua utilização no processo produtivo vai ficando mais
importante. Para substituirmos esse insumo que vai ficando mais escasso precisamos de
quantidades do outro insumo cada vez maiores. Esta propriedade nos dá as curvas de
isoquanta convexas, conforme o gráfico a seguir:

y = f ( x)

-8-


II.9 Tecnologia e prazos

Quando a analisamos o processo produtivo de uma firma observamos que a
quantidade utilizada de alguns insumos pode mudar rapidamente como, pro exemplo, energia
e mão-de-obra. Já outros insumos são mais difíceis de mudar muito rápido como, por
exemplo, capital físico e o prédio onde a firma está instalada. Num prazo mais longo ainda a
empresa pode sair (ou entrar) no mercado.

A conseqüência é que o conjunto de produção da firma depende do prazo que ela tem
para ajustar seus insumos. Para captar esse fenômeno os economistas distinguem a tecnologia
da empresa no curto, médio e longo prazo.

No curto prazo alguns insumos são fixos. No médio prazo todos os insumos são fixos
mas o número de firmas no mercado é variável. No longo prazo quais firmas estão no
mercado é variável.

Alguns autores distinguem apenas o curto e longo prazo. Para eles, o que chamam de
longo prazo é o que definimos como médio prazo e não fazem referência ao número de
empresas no mercado.

II.10 Retornos de escala

No lugar de ver o que acontece com a produção quando se aumenta apenas um
insumo, na análise de retornos de escala estamos interessados em ver o que acontece com a
produção quando aumenta-se todos os insumos na mesma proporção.

Def.: dizemos que uma função de produção tem retornos crescente de escala se a produção
aumenta numa proporção maior que o aumento dos insumos, ou seja

f ( tx ) = f ( tx1 , tx2 , , txN ) > tf ( x1 , x2 , , xN ) , para t > 1 (1.11)

Def.: dizemos que uma função de produção tem retornos constante de escala se a produção
aumenta na proporção maior que o aumento dos insumos, ou seja

f ( tx ) = f ( tx1 , tx2 , , txN ) = tf ( x1 , x2 , , xN ) , para t > 1 (1.12)

-9-


Def.: dizemos que uma função de produção tem retornos decrescente de escala se a
produção aumenta numa proporção menor que o aumento dos insumos, ou seja

f ( tx ) = f ( tx1 , tx2 , , txN ) < tf ( x1 , x2 , , xN ) , para t > 1 (1.13)

II.11 Elasticidade de substituição

Este conceito de elasticidade procura medir o quão fácil é substituir um insumo por
outro. Ele está relacionado com o formato da curva isoquanta.

k
variacao percentual em ∂ k TST ∂ ln k
Def.: σ = l = l = l
variacao percentual na TST ∂ TST k ∂ ln TST
l

Graficamente,

TMS

K
TMS ′
L K ′
L ′
L

- 10 -


III Maximização de lucros

No capítulo anterior discutimos a restrição da firma (tecnologia). Neste discutiremos a
função objetivo e o problema da firma. Da solução do problema da firma sai a função oferta
de bens e demandas por insumos.

III.1 Lucros

Os lucros são definidos como receita menos o custo.

π = R −C (1.14)

Se a firma produz N produtos ( y1 ,..., yN ) e usando os M insumos ( x1 ,..., xM ) , se os

preços dos produtos são ( p1 ,..., pN ) e os preços dos insumos ( w1 ,..., wM ) o lucro é:

N M
π = ∑ pn yn − ∑ wm xm (1.15)
n =1 m =1

Nos custos devem ser incluídos todos os insumos de produção, avaliados pelo seu
valor de mercado.

III.2 Lucro Econômico X Lucro Contábil.

No lucro econômico os preços dos insumos são medidos pelo seu custo de
oportunidade. No lucro contábil, os preços dos insumos são medidos pelo valor histórico
dispêndio com os mesmos, i.e., pelos preços que foram comprados. Um exemplo onde esta
distinção é bem clara é no tratamento que se dá à remuneração do dono da firma que trabalha
nela. Se não existe um pro labore, contabilmente não existe custo a ser pago pelo trabalho do
dono no empreendimento. Entretanto, economicamente falando, o custo do dono da firma que
trabalha nela é a remuneração que ele poderia obter na melhor alternativa a trabalhar na
própria firma, isto é, seu custo de oportunidade.

III.3 O problema da firma competitiva

A firma competitiva se caracteriza pela hipótese de que toma os preços dos insumos e
produtos como dados.
- 11 -


A questão do objetivo de uma firma tem sido bastante discutido na literatura.
Usualmente se supõe que a firma procura maximizar seu lucro baseado na idéia de que a
firma é dirigida por seus donos. Neste caso é natural que esses queiram obter o máximo lucro.
Todavia, muitas vezes a firma é dirigida por diretores e gerentes contratados. Nestes casos
estes diretores e gerentes podem ter objetivos pessoais que fazem com que a firma se desvie
do comportamento maximizador de lucro. Este é uma das situações mais importantes do
problema do principal-agente, que será estudado mais a frente neste curso. Por enquanto
suporemos que o objetivo da firma é maximizar o lucro. Supondo que a firma só produza um
bem a partir de 2 insumos , podemos descrever o problema da firma como:

max p f ( x1 , x2 ) − w1 x1 − w2 x2 (1.16)
x1 , x2 > 0

C.P.O.

∂f ( x1 , x2 )
* *

p = wi
∂xi

∂f ∂f
onde = produtividade marginal e p = valor da produção marginal. Se f é
∂xi ∂xi

∂2 f
côncava, então <0
∂xi2

∂f
p
∂xi

w

xi∗

i.e., o valor da produtividade marginal do insumo é igual ao seu preço. Os argumentos da
solução x1∗ , x2 dependem dos valores de p, w2 , w2 e da tecnologia. Se a tecnologia for
∗

constante, então:

- 12 -


xi∗ = xi ( p, w1 , w2 )
(1.17)
y ∗ = f ( x ( p, w, w2 ) , x2 ( p, w1 , w2 ) ) = y ( p, w1 , w2 )

y ( p, w1 , w2 ) é a função oferta e xi ( p, w1 , w2 ) é a função demanda por insumos.

f ( x1 , x2 ) = x1 2 + x2 2
1 1
Ex: Suponha

(
π = pf ( x1 , x2 ) − wx1 − wx2 = p x1 + x2 − w1 x1 − w2 x2
1
2
1
2
)
2
∂π p − 12 p  p 
= x1 − w1 = 0 ∴ = w1 x1 =  
∂x1 2
1
2 x1 2  2w1 

2
∂π p − 12  p 
= x2 − w2 = 0 x2 =  
x2 2  2w2 

Função oferta:

p p  1 1  p 1 1 
y= + = p + =  + 
2 w1 2 w2  2 w1 2 w2  2  w1 w2 

Exemplo: Função de produção Cobb-Douglas

f ( x1 , x2 ) = x1a x2
b
a +b <1

π = p f ( x1 , x2 ) − w1 x1 − w2 x2 = px1a x2 − w1 x1 − w2 x2
b

∂π x1a x2
b
= p a x1a −1 x2 − w1 = 0
b
∴ pa − w1 = 0
∂x1 x1

∂π x1a x2
b
= p b x1b −1 x2 − w2 = 0
a
∴ pb = w2
∂x2 x2

pa y
py = x1w1 x1 =
w1

pa y
py = x2 w2 x1 =
w2
- 13 -


Pela função de produção:

a b
 pa y   pb y 
  ×  =y
 w1   w2 

a b
 pa   pb  a +b
  ×  y = y′
 w1   w2 

a b
 pa   pb  1− a − b
  ×  =y
 w1   w2 

a b
 pa 1− a −b  pb 1− a −b
y=   
 w1   w2 

a b
pa  pa 1− a −b  pb 1− a −b
x1 =    
w1  w1   w2 

1−b b
 pa 1− a −b  pb 1− a −b
=   
 w1   w2 

III.4 Curto X longo prazo

No curo prazo alguns insumos estão fixos. Suponha que o insumo 2 seja fixo no curo
prazo no nível x2 . Então, a maximização desta função é:

max π ( p, w1 , w2 ) = pf ( x1 , x2 ) − w1 x1 − w2 x2
x1

∂π ∂f ( x1 , x2 )
*

=p − w1 = 0
∂x1 ∂x1

Portanto, o lucro máximo não depende dos preços dos insumos fixos.

- 14 -


III.5 Lucro X retorno de escala

Se a firma tem tecnologia com retorno de escala crescente i.e., se:

f ( λ x1 , λ x2 ) > λ f ( x1 , x2 ) então,

π ( λ x1 , λ x2 ) = pf ( λ x1 , λ x2 ) − λ w1 x1 − λ w2 x2 >

> λ  pf ( x1 , x2 ) − w1 x1 − w2 x2 
 

Neste caso não existe solução para o problema de maximização em mercados
competitivos. Todavia, como o custo unitário de produção é decrescente, a tendência é que
apenas uma firma sobreviva no mercado. Este é um dos casos de monopólio natural.

Se a firma tem retorno de escala constante então π ( λ x1 , λ x2 ) = λπ ( x1 , x2 ) . Logo se

∃ ( x1∗ , x2 ) tal que π ( x1∗ , x2 ) > 0 então π ( λ x1∗ , λ x2 ) = λπ ( x1∗ , x2 ) . Como λ pode ser tão
∗ ∗ ∗ ∗

grande quanto se queira, π max = ∞ . Portanto, retorno de escala constante só tem solução se o

lucro máximo = 0 , i.e.,

π 1 ( x1∗ , x2 ) = 0
∗

IV Minimização de Custos

Quando uma firma maximiza lucros ela escolhe um certo nível de produção y ∗ e
simultaneamente minimiza os custos para aquele nível de produção. Se não fosse assim,
haveria uma maneira mais barata de se produzir y ∗ , o que implicaria que aquela decisão
inicial de maximizar lucros não teria de fato maximizado.

Todavia, é interessante separar o problema de maximização de lucros com o problema
de minimização de custos. Em muitas situações econômicas fica bem mais fácil resolver o
problema de maximização de lucros dessa forma.

- 15 -


IV.1 A minimização de custos.

Para simplificar a análise suponhamos que existam apenas dois insumos de produção
e um produto. A tecnologia é capturada pela função de produção f ( x1 , x2 ) onde xi é a

quantidade utilizada do insumo i na produção. f ( x1 , x2 ) é a produção máxima que se pode

obter usando xi do insumo 1 e x2 como insumo 2 .

O problema de minimização de custos pode ser expresso como minimizar o dispêndio
necessário para se produzir a um determinado nível de produção, i.e,

min w1 x1 + w2 x2
x1 , x2

s.a. (1.18)
f ( x1 , x2 ) = y

Construindo o Lagrangeano:

L ( x1 , x2 , µ ) = w1 x1 + w2 x2 + µ ( y − f ( x1 , x2 ) )

As condições de primeira ordem do problema

∂L µ ∂f ( x1 , x2 ) ∂f ( x1 , x2 )
= w− =0 ∴ w1 = µ
∂x1 ∂x1 ∂x1

∂L ∂f ( x1 , x2 ) ∂f ( x1 , x2 )
= w2 − µ =0 ∴ w2 = µ
∂x2 ∂x2 ∂x2

∂L
= y − f ( x1 , x2 )
∂µ

Dividindo a primeira C.P.O pela segunda obtém-se que:

∂f ( x1 , x2 )
w1 ∂x1
= . (1.19)
w2 ∂f ( x1 , x2 )
∂x2

- 16 -


Esta condição, que preços relativos dos insumos é igual a taxa marginal de
substituição técnica, é um resultado que tem uma interpretação econômica interessante. O
lado esquerdo da expressão representa a taxa como o mercado troca um insumo pelo outro. O
lado direito representa a taxa como os insumos são trocados na produção sem alterar o nível
produzido. Se ambos não são iguais existe oportunidade de se produzir o mesmo nível de
forma mais barata. O gráfico a seguir representa geometricamente a expressão (1.19).

x2

∗
x2

f ( x1 , x2 ) = y

x1∗ x1

A expressão (1.19) estabelece uma relação entre x1 e x2 . Explicitando uma variável
em função da outra e substituindo na terceira condição de primeira ordem, que nada mais é
que a própria função de produção, encontra-se a cesta de insumos que minimiza o custo
* *
x1 , x2 . Esta cesta depende dos preços dos insumos e do nível de produção desejado, isto é:

x1 = x1 ( y, w1 , w2 )
*

(1.20)
x2 = x2 ( y, w1 , w2 )
*

Cada uma das funções da expressão (1.20) é chamada de demanda condicional por
insumo. Substituindo a cesta que minimiza o custo na função objetivo do problema de
minimização de custo (expressão (1.18)), obtém-se a função custo:

C ( w1 , w2 , y ) = w1 x1 ( w1 , w2 , y ) + w2 x2 ( w1 , w2 , y ) (1.21)

Exercício: Calcule as funções demanda por insumos e as funções custo das seguintes funções
de produção:

f ( x1 , x2 ) = min {ax1 , bx2 }
f ( x1 , x2 ) = ax1 + bx2
f ( x1 , x2 ) = x1a x2
b

- 17 -


IV.2 Custo e retorno da escala

Se a função de produção apresenta retornos constantes de escala, então a função de
custo pode ser expressa como:

C ( w1 , w2 , y ) = C ( w1 , w2 ) y

Vamos verificar esta afirmação. Fixemos o caso de y = 1 . Verifiquemos primeiro se
a tecnologia tem retornos constantes de escala então:

C ( w1 , w2 , y ) = C ( w1 , w2 ,1) y

Se isso não for verdade, então:

C ( w1 , w2 , y ) < C ( w1 , w2 ,1) y

Seja x1 , x2 a cesta que soluciona (1.18) para produzir y unidades e x1' , x2 a cesta que
* * '

soluciona (1.18) para produzir 1 unidade. Então

(
w1 x1∗ + w2 x2 < w1 , x1′ + w2 x2′ y
∗
)
Mas como f ( x1∗ , x2 ) = y e a função de produção tem retornos constantes de escala,
∗

fazendo λ = 1 y obtemos:

1 1 ∗ y
f  x1∗ , x2  = = 1 .
y y  y

Da expressão anterior obtemos que:

1
(w x ∗
1 1 + w2 x2 )
∗

y
< w1 x1′ + w2 x2′

 x1∗ x∗ 
 w1 + w2 2  < w1 x1′ + w2 x2′
 y y

- 18 -


O que não pode ser verdade pois ( x ′, x ′ )
1 2 é a combinação de insumos que minimiza

o custo entre as combinações de insumos que podem produzir uma unidade de produto.

Agora tomando C ( w1 , w2 ) = C ( w1 , w2 ,1) obtemos o resultado que queriamos

demonstrar.

C.Q.D

Se o retorno da escala é crescente, então:

C ( w1, w2 , y ) < C ( w1 , w2 ,1) y

Se o retorno da escala é decrescente, então:

C ( w1 , w2 , y ) > C ( w1 , w2 ,1) y

IV.3 Custo médio

Podemos definir a função custo médio como:

C
AC =
y

C ( y, w1 , w2 )
AC ( y, w1 , w2 ) =
y

Se tecnologia tem retornos constantes de escala

C ( w1 , w2 ,1) y
AC ( w1 , w2 , y ) = = C ( w1 , w2 ,1)
y

i.e., o custo médio não depende da escala de produção.

IV.4 Custo e prazos

A função de custo de curto prazo é aquela que tem algum insumo fixo. A função de
custo de médio prazo é aquela que tem todos os insumos variáveis (caso estudado
- 19 -


anteriormente). No longo prazo a função de custo envolve o custo de entrada e saída do
mercado

No caso de dois insumos, sendo o insumo 2 fixo no curto prazo, o problema de
minimizar o custo no curto prazo é:

min x1 w1 x1 + w2 x2

s.a.

f ( x1 , x2 ) = y

Embora nesse problema com dois insumos a solução seja trivial, ela nem sempre o é.
Geralmente a solução dá:

x1 = x1s ( w1 , w2 , y, x2 ) e

Cs ( y, w1 , w2 , x2 ) = w1 x1s ( w1 , w2 , y, x2 ) + w2 x2

Fato:

C ( y, w1 , w2 ) = Cs ( y, w1 , w2 , x2 ( w1 , w2 , y ) )

Isto é, o custo de médio prazo é igual ao custo de curto prazo quando a quantidade do
insumo fixo no curto prazo é igual à quantidade desse insumo que minimiza o custo no longo
prazo.

- 20 -

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