Archivo que expone los topicos de muestreo y recontruccion. UPTC 2011

1. APUNTES DE CLASE: TEOR´ Y ANALISIS DE SENALES
IA ´ ˜
´
VERSION 1.02
Ms. Ing. OSCAR IVAN HIGUERA MARTINEZ
Profesor Ingenier´ Electr´nica Uptc
ıa o
PhD. Ms. Ing. JUAN MAURICIO SALAMANCA
Profesor Ingenier´ Electr´nica Uptc
ıa o
Grupo de Investigaci´n en
o
Procesamiento de Se˜ales DSP-UPTC
n
´ ´
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA
FACULTAD SEDE SECCIONAL SOGAMOSO
SOGAMOSO - BOYACA - COLOMBIA
Noviembre de 2010
Derechos de Autor Reservados

2. ii

3. Permitida su circulaci´n digital e impresa solo
o
con fines acad´micos, no se permite su comer-
e
cializacion o cobro alguno por copia.

4. iv

5. Contenido
1. Muestreo de Se˜ ales y sistemas
n 1
1.1. FUNDAMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Muestreo de Se˜ ales continuas a Trozos . . . . . . . . . . . . . .
n . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Muestreo de se˜ ales peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n o . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Reconstrucci´n de Se˜ ales a Partir de sus muestras . . . . . . . .
o n . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1. Reconstrucci´n mediante Filtros PasaBajos . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2. Reconstrucci´n mediante Retenedor de Orden Cero . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Respuesta de un sistema Lineal a una entrada generada mediante retenedor de orden cero . . 24
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Transformada Z [Z = eTm S ] 29
2.1. FUNDAMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Transformada Zeta de la se˜ ales B´sicas de tiempo discreto
n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Propiedades de la Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1. Linealidad y superposici´n . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2. Multiplicaci´n por aK . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.3. Desplazamiento de una secuencia bilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.4. Desplazamiento de una secuencia Unilateral positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.5. Diferenciaci´n de X(Z, Tm ) . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.6. Conjunci´n de una secuencia compleja . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.7. Convolucion de secuencias y Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. Transformada Z Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.1. Expansi´n en series . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2. Integral compleja de linea, Teorema de la Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.3. Pares de transformadas (Tablas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3. Ap´ndice
e 49
v

6. .

7. Cap´
ıtulo 1
Muestreo de Se˜ales y sistemas
n
1.1. FUNDAMENTOS
En un sistema de control digital son fundamentales los procesos de muestreo, retenci´n, conversi´n
o o
anal´gica - digital y digital - anal´gica, que permiten la comunicaci´n de los diversos componentes de un
o o o
sistema de control digital.
Una se˜ al de tiempo continuo puede ser procesada procesando sus muestras por medio de un sistema
n
de tiempo discreto. El esquema del procesamiento digital de una se˜ al es el presente en la figura 1.1 y las
n
se˜ ales las presentes en la figura 1.2.
n
Figura 1.1: Procesamiento digital de una se˜ al
n
Para ilustrar el muestreo de una se˜ al de tiempo continuo, consideramos el producto de dos se˜ ales tal
n n
como aparece en la figura 1.3, las se˜ ales se pueden apreciar en la figura 1.4.
n
Definimos P∆ (t) de la siguiente forma:
∞
P∆ (t) = δ∆ (t − KTm ) (1.1)
k=−∞
con
∆ ∆
1 si KTm − 2 ≤ t ≤ KTm + 2
δ∆ (t − KTm ) =
0 otro caso
Por consiguiente:
∞
xm (t) = x(t)P∆ (t) = x(t)δ∆ (t − KTm ) (1.2)
k=−∞
1

8. Figura 1.2: Se˜ ales de un procesamiento digital de se˜ al
n n
Figura 1.3: Muestreo de una se˜ al
n
Tomando el limite cuando ∆ → 0, tendremos:
1 si t = KTm
δ1 (t − KTm ) =
0 otro caso
En este caso tendremos:
∞
xm (t) = x(t)δ1 (t − KTm )
k=−∞
∞
xm (t) = x(KTm )δ1 (t − KTm ) (1.3)
k=−∞
En la siguiente figura 1.5 se ilustra como queda xm (t).
A partir de xm (t) obtenemos el tren de muestras:
∞
xm (KTm ) = . . . , x(−Tm ), x(0), x(Tm ), x(2Tm ), . . .
K=−∞
De una forma mas general podemos definir una funci´n muestreadora P (t) como:
o
2

9. Figura 1.4: Se˜ ales de el Muestreo de una se˜ al
n n
Figura 1.5: Se˜ ales Final de muestreo con δ1 (t − KTm )
n
∞
P (t) = δ1 (t − tk ) (1.4)
k=−∞
donde
1 si t = tk
δ1 (t − tk ) =
0 otro caso
3

10. ∞
xm (t) = x(t)P (t) = x(tk )δ1 (t − tt k) (1.5)
k=−∞
Cuando tk = KTm ; Tm fijo tenemos lo que se denomina muestreo peri´dico. Cuando tk sigue alg´ n
o u
patr´n, por ejemplo tk = KTmk donde Tmk puede cambiar en algunos instantes manteni´ndose fijo durante
o e
unos momentos determinados, se tiene lo que se denomina muestreo multiperiodo. Finalmente si tk es una
variable aleatoria, tenemos lo que se denomina un muestreo aleatorio.
Al muestrear una se˜ al es importante tener en cuenta los retardos de transporte y la forma como se
n
transforma la se˜ al de tiempo continuo en una se˜ al de tiempo discreto.
n n
1.2. Muestreo de Se˜ ales continuas a Trozos
n
Ahora veremos como se realiza el muestreo de se˜ ales continuas a trizos a traves de un par de ejemplos.
n
Ejemplo 1.1. Muestreo de Se˜ales continuas a Trozos Realizar el muestreo de la se˜al presente en
n n
la figura 1.6 para un periodo de muestreo Tm
Figura 1.6: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos
n
La definici´n de la se˜ al presente en la figura 1.6 es:
o n
f (t) =A1 u(−t + T1 ) + (m1 t + b1 )[u(t − T1 ) − u(t − T2 )] + A2 [u(t − T2 ) − u(t − T3 )]
+ (m3 t + b3 )[u(t − T3 ) − u(t − T4 )] + A4 u(t − T4 ) (1.6)
donde:
A2 − A1 T2 A1 − T1 A2 A4 − A3 T4 A2 − T3 A4
m1 = b1 = m3 = b1 =
T2 − T1 T2 − T1 T4 − T3 T4 − T3
La se˜ al muestreada es:
n
f (KTm ) =A1 u(−KTm + T1 ) + (m1 KTm + b1 )[u(KTm − T1 ) − u(KTm − T2 )]
+ A2 [u(KTm − T2 ) − u(KTm − T3 )] + (m3 KTm + b3 )[u(KTm − T3 ) − u(KTm − T4 )]
+ A4 u(KTm − T4 ) (1.7)
Se debe transformar los escalones u(−KTm +T1 ), u(KTm −T1 ), u(KTm −T2 ), u(KTm −T1 ) y u(KTm −T2 )
a escalones de tiempo discreto de la forma u((K − mi )Tm ), donde mi son enteros. Para ello suponemos:
4

11. ∆Ti
Ti = ni Tm + ∆Ti , con ni ∈ Z, 0 ≤ ∆Ti < Tm , 0≤ < 1, para i = 1, 2, 3, . . .
Tm
Donde
Ti Ti
ni = ⇒ Es el Entero mas cercano a por abajo, para i = 1, 2, 3, . . .
Tm Tm
Ejemplos:
Tomemos Ti = 3, 5 y Tm = 1, 5, para estos valores tenemos:
3, 5
ni = = 2, ∆Ti = 0, 5
1, 5
Ahora tomemos Ti = −3, 5 y Tm = 1, 5, para estos valores tenemos:
−3, 5
ni = = −3, ∆Ti = 1
1, 5
En Resumen se tiene:
1 si − KTm + T1 ≥ 0
u(−KTm + T1 ) =
0 otro caso
1 si − KTm ≥ −T1
=
0 otro caso
T1
1 si K ≤ Tm
=
0 otro caso
Teniendo en cuenta que: T1 = n1 Tm + ∆T1
∆T1
1 si K ≤ n1 + Tm
=
0 otro caso
1 si K ≤ n1
=
0 otro caso
u(−KTm + T1 ) = u(−K − n1 Tm )
1 si KTm − T1 ≥ 0
u(KTm − T1 ) =
0 otro caso
1 si KTm ≥ T1
=
0 otro caso
T1
1 si K ≥ Tm
=
0 otro caso
Teniendo en cuenta que: T1 = n1 Tm + ∆T1
∆T1
1 si K ≥ n1 + Tm
=
0 otro caso
5

12. Tomando la variable mi como:
ni si ∆Ti = 0
mi =
ni + 1 si ∆Ti > 0
Obteniendo:
u(KTm − T1 ) = u(K − m1 Tm )
En conclusi´n, los escalones discretos tienen la siguiente equivalencia:
o
u(−KTm + Ti ) = u(−K − ni Tm ) (1.8)
u(KTm − Ti ) = u(K − mi Tm ) (1.9)
Donde
Ti = ni Tm + ∆Ti
ni si ∆Ti = 0
mi =
ni + 1 si ∆Ti > 0
De igual modo y como conclusi´n de los escalones, tenemos:
o
u(−KTm + T1 ) = u(−K − n1 Tm )
u(KTm − T1 ) = u(K − m1 Tm )
u(KTm − T2 ) = u(K − m2 Tm )
u(KTm − T3 ) = u(K − m3 Tm )
u(KTm − T4 ) = u(K − m4 Tm )
En consecuencia se tiene:
f (KTm ) =A1 u(−K − n1 Tm ) + (m1 KTm + b1 )[u(K − m1 Tm ) − u(K − m2 Tm )]
+ A2 [u(K − m2 Tm ) − u(K − m3 Tm )]
+ (m3 KTm + b3 )[u(K − m3 Tm ) − u(K − m4 Tm )] + A4 u(K − m4 Tm ) (1.10)
Tomemos por ejemplo los siguientes valores: A1 = 0, A2 = 2, A4 = −1, T1 = 0, T2 = 2, T3 = 3, T4 = 5 y
Tm = 0, 7.
Gr´ficamente es la se˜ al presente en la figura 1.7, y anal´
a n ıticamente de la expresi´n (1.6), tenemos la
o
siguiente expresi´n:
o
−3 13
f (t) =t[u(t) − u(t − 2)] + 2[u(t − 2) − u(t − 3)] + t+ [u(t − 3) − u(t − 5)] − 1u(t − 5)
2 2
Discretizando con Tm = 0, 7, tenemos:
f (KTm ) =KTm [u(KTm ) − u(KTm − 2)] + 2[u(KTm − 2) − u(KTm − 3)]
−3 13
+ t+ [u(KTm − 3) − u(KTm − 5)] − u(KTm − 5)
2 2
De los escalones Tenemos:
6

13. Figura 1.7: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejemplo
n
Escal´n Discreto
o Ti ni ∆Ti mi Escal´n Final
o
u(KTm ) 0 0 0 0 u(KTm )
u(KTm − 2) 2 2 0,6 3 u(K − 3Tm )
u(KTm − 3) 3 4 0,2 5 u(K − 5Tm )
u(KTm − 5) 5 7 0,1 8 u(K − 8Tm )
Obteniendo finalmente:
f (KTm ) =KTm [u(KTm ) − u(K − 3Tm )] + 2[u(K − 3Tm ) − u(K − 5Tm )]
−3 13
+ t+ [u(K − 5Tm ) − u(K − 8Tm )] − u(K − 8Tm )
2 2
En la figura 1.8 podemos observar la se˜ al muestreada.
n
Figura 1.8: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejemplo
n
Ejemplo 1.2. Muestreo de Se˜ales continuas a Trozos Considere la se˜al de tiempo continuo de la
n n
figura 1.9.
A
x(t) = (t − T1 )[u(t − T1 ) − u(t − T2 )] + Au(t − T2 )
T2 − T1
7

14. Figura 1.9: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejercicio 2
n
Se procede a muestrear la se˜ al con muestreo peri´dico (Tm fijo)
n o
∞
xm (t) = x(t)P (t) = x(KTm )δ1 (t − KTm )
k=−∞
∞
Obteniendo el tren de muestras xm (KTm )
K=−∞
A
x(KTm ) = (KTm − T1 )[u(KTm − T1 ) − u(KTm − T2 )] + Au(KTm − T2 )
T2 − T1
Transformando los escalones de forma similar al ejemplo anterior, utilizando la ecuaci´n (1.9), se obtiene:
o
A
x(KTm ) = (KTm − T1 )[u(K − m1 Tm ) − u(K − m2 Tm )] + Au(K − m2 Tm )
T2 − T1
Supongase por ejemplo que: T1 = 3, 5seg; T2 = 6, 0seg; A = 1, y tomemos Tm = 1seg, por consiguiente
(Ver figura 1.10);
Escal´n Discreto
o Ti ni ∆Ti mi Escal´n Final
o
u(KTm − 3, 5 3,5 3 0,5 4 u(K − 4Tm )
u(KTm − 6) 6 6 0 6 u(K − 6Tm )
1
x(KTm ) = (KTm − 3, 5)[u(K − 4Tm ) − u(K − 6Tm )] + u(K − 6Tm )
2, 5
x(0) = 0
x(Tm ) = 0
x(2Tm ) = 0
x(3Tm ) = 0
x(4Tm ) = 0,5/2,5 = 0,2
x(5Tm ) = 1,5/2,5 = 0,6
x(6Tm ) = 1
x(7Tm ) = 1
Ahora Realicemos una variaci´n en el tiempo de muestreo para poder comparar su efecto.
o
Si ahora tomamos Tm = 2, 5seg (Figura 1.11(b)):
8

15. Figura 1.10: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejercicio 2
n
Escal´n Discreto
o Ti ni ∆Ti mi Escal´n Final
o
u(KTm − 3, 5 3,5 1 1 2 u(K − 4Tm )
u(KTm − 6) 6 2 1 3 u(K − 6Tm )
x(KTm ) =0,4(KTm − 3, 5)[u(K − 2Tm ) − u(K − 3Tm )] + u(K − 3Tm )
x(KTm ) =0,8δ(K − 2Tm ) + u(K − 3Tm )
Si ahora tomamos Tm = 4seg (Figura 1.11(c)):
Escal´n Discreto
o Ti ni ∆Ti mi Escal´n Final
o
u(KTm − 3, 5 3,5 0 3,5 1 u(K − 1Tm )
u(KTm − 6) 6 1 2 2 u(K − 2Tm )
x(KTm ) =0,4(KTm − 3, 5)[u(K − 1Tm ) − u(K − 2Tm )] + u(K − 2Tm )
x(KTm ) =0,02δ(K − 1Tm ) + u(K − 2Tm )
Si ahora tomamos Tm = 7seg (Figura 1.11(d)):
Escal´n Discreto
o Ti ni ∆Ti mi Escal´n Final
o
u(KTm − 3, 5 3,5 0 3,5 1 u(K − 1Tm )
u(KTm − 6) 6 0 6 1 u(K − 1Tm )
x(KTm ) =0,4(KTm − 3, 5)[u(K − 1Tm ) − u(K − 1Tm )] + u(K − 1Tm )
x(KTm ) =u(K − 1Tm )
9

16. Figura 1.11: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejercicio 2 Variaci´n de Tm
n o
1.3. Muestreo de se˜ ales peri´dicas
n o
Al muestrear una se˜ al peri´dica se pueden presentar varios fen´menos:
n o o
Las muestras de la se˜ al pueden ser o no peri´dicas
n o
Las muestras pueden seguir o no la forma de la onda de la se˜ al original
n
Las muestras de la se˜ al pueden ser o no peri´dicas. Consideremos una se˜ al peri´dica de periodo T0 .
n o n o
x(t) = x(t + T0 ) = x(t + m0 T0 ); ∀t ∈ R; m0 ∈ Z
Al muestrear la se˜ al con periodo Tm , tendremos:
n
∞
xm (t) = x(KTm )δ1 (t − KTm )
k=−∞
Si las muestras son peri´dicas se debe cumplir que:
o
x(KTm ) = x((K + no )Tm ); ∀K ∈ Z; n0 ∈ N (f ijo)
n0 Tm seria el nuevo periodo de repetici´n de la se˜ al muestreada. Por otro lado como x(t) es peri´dica
o n o
con periodo T0 , la se˜ al muestreada debe cumplir con:
n
x(KTm ) = x(KTm + m0 T0 ); (porlotanto)
x((K + n0 )Tm ) = x(KTm + m0 T0 ) ⇒ no Tm = mo T0
Por lo tanto
Tm m0
= (Un numero racional)
T0 no
Este resultado tambi´n puede lograrse aduciendo que como xm (t) es el producto de dos se˜ ales peri´dicas:
e n o
x(t) de periodo T0 y P (t) de periodo Tm , el producto de las dos se˜ ales xm (t) es peri´dica si y solo si Tm es
n o T0
10

17. un numero racional. al igual que el producto de se˜ ales peri´dicas, el periodo de repetici´n de xm (t) puede
n o o
hallarse como el m´
ınimo com´ n m´ ltiplo de Tm y T0 si las se˜ ales son relativamente primas.
u u n
La forma de las muestras pueden seguir a la forma de la se˜ al si Tm << T0 ; si Tm es comparable o
n
mayor que T0 la forma de las muestras puede que no siga la forma de la se˜ al original.
n
Ejemplo 1.3. Considere la se˜al, x(t) = Asin(ω0 t + φ0 ) (Figura 1.12(a)), muestreemos la se˜al con periodo
n n
de muestra Tm . La se˜al muestreada queda:
n
∞
xm (t) = Asin(ω0 KTm + φ0 )δ1 (t − KTm )
k=−∞
El tren de muestras queda
x(KTm ) = Asin(ω0 KTm + φ0 )
El periodo de la se˜ al x(t) es T0 = 2π/ω0
n
♠ Si Tm = π/ω0 , tendremos:
Tm π/ω0 1
= = ∈Q
To 2π/ω0 2
Luego las muestras son peri´dicas con periodo de muestreo Tkm = mcm(T0 , Tm ) = T0 . Como Tm no
o
es muy peque˜ o comparado con T0 , las muestras no siguen muy bien la forma de la se˜ al original (Figura
n n
1.12(b)).
♠ Si Tm = π/10ω0 , tendremos:
Tm π/10ω0 1
= = ∈Q
To 2π/ω0 20
Luego las muestras son peri´dicas y n0 = T0 /Tm = 20, en este caso las muestras siguen a la forma de
o
onda de la se˜ al original (Figura 1.12(c)).
n
♠ Si Tm = 4π/ω0 , tendremos:
Tm 4π/ω0
= =2∈Q
To 2π/ω0
Luego las muestras son peri´dicas con periodo Tm , pero como T0 < Tm las muestras no siguen a la forma
o
de onda de la se˜ al original (Figura 1.12(d)).
n
Ejemplo 1.4. Sean las se˜ales de tiempo continuo
n
2πt 16πt
x(t) = cos + 2 sin
3 3
y(t) = sin(πt) → Ty = 2Seg
x(t) = x1 (t) + x2 (t)
2πt
x1 (t) = cos → Tx1 = 3Seg
3
16πt 3
x1 (t) = 2 sin → Tx2 = Seg
3 8
11

18. Figura 1.12: Ejercicio de Muestreo de se˜ ales peri´dicas, Variaci´n de Tm
n o o
T x1 3Seg
= =8
T x2 3/8Seg
Luego la se˜ al x(t) es peri´dica con periodo Tx = mcm(3Seg, 3/8Seg) = 3Seg.
n o
Definimos
2πt 16πt
z(t) = x(t)y(t) = sin(πt) cos + 2 sin
3 3
Como
Tx 3Seg 3
= = ∈ Q; Z(t) es peri´dica
o
Ty 2Seg 2
El periodo de la se˜ al z(t) (Figura 1.13(a)) es Tz = mcm(3Seg, 2Seg) = 6Seg. Muestreemos la se˜ al con
n n
varios periodos de muestreo.
∞
Zm (t) = x(KTm )δ1 (t − KTm )
k=−∞
2πKTm 16πKTm
Z(KTm ) = sin(πKTm ) cos + 2 sin
3 3
i) Tm = 1Seg (Figura 1.13(b))
Z(KTm ) = 0 ∀K ∈ Z
ii) Tm = 2Seg (Figura 1.13(c))
Z(KTm ) = 0 ∀K ∈ Z
12

19. iii) Tm = 3Seg (Figura 1.13(d))
Z(KTm ) = 0 ∀K ∈ Z
iv) Tm = 3/2Seg (Figura 1.13(e))
3Kπ 3Kπ
Z(KTm ) = sin [cos(Kπ) + 2 sin(8Kπ)] = sin [cos(Kπ)]
2 2
Z(0) = 0
Z(Tm ) = 1
Z(2Tm ) = 0
Z(3Tm ) = −1
Z(4Tm ) = 0
Z(5Tm ) = 1
Z(6Tm ) = 0
Como Tm = 3/2 = 1/4 Q, Zm (t)esperiodica. El periodo de Zm (t) es Tkm = mcm(Tz , Tm = 6, como
Tz 6 ∈
Tk m = n0 Tm = 6; n0 = 6/Tm = 4, luego el tren de muestras es repetitivo y se repiten cada 4 muestras. En
la figura 1.13 se ilustra la se˜ al para varios periodos de muestreo.
n
Figura 1.13: Ejercicio de Muestreo de se˜ ales peri´dicas, Ejemplo 2, Variaci´n de Tm
n o o
1.4. Reconstrucci´n de Se˜ ales a Partir de sus muestras
o n
Los procesadores digitales reciben las muestras de una se˜ al an´loga en un formato digital, realizan alguna
n a
operaci´n sobre las muestras para luego generar un tren de muestras que son el resultado de la operaci´n
o o
del procesamiento digital sobre las muestras de la entrada.
El tren de muestras de la salida se presenta en formato binario. esta se˜ al se debe decodificar para obtener
n
las muestras, las cuales se llevan a un circuito reconstructor de se˜ al para obtener una se˜ al an´loga. Para
n n a
reconstruir una se˜ al a partir de sus muestras se puede utilizar dos m´todos.
n e
13

20. Figura 1.14: Esquema del procesamiento digital de una se˜ al
n
Utilizando Filtros Pasa bajos
Utilizando Circuitos Retenedores
1.4.1. Reconstrucci´n mediante Filtros PasaBajos
o
Esta t´cnica es muy utilizada en los sistemas de comunicaci´n. Dada una se˜ al de tiempo continuo x(t)
e o n
con espectro finito en frecuencia. Su versi´n muestreada es:
o
xm (t) =x(t)P (t)
∞
P (t) = δ1 (t − KTm )
k=−∞
Como P (t) es peri´dica con periodo Tm , se puede escribir en serie de fourier como:
o
∞
2π
P (t) = Kn ejnωm t ; ωm =
n=−∞
Tm
Tm
1 1
Kn = δ1 e−jnωm t dt =
Tm 0 Tm
∞
1 jnωm t
P (t) = e
T
n=−∞ m
Dado que xm (t) = x(t)P (t), Tomando la transformada de fourier tenemos:
1
Xm (jω) = F [x(t)P (t)] = X(jω) ∗ P (jω)
2π
Dado que P (t) es una se˜ al peri´dica de periodo Tm
n o
∞
2π
P (jω) = δ(ω − Kωm )
Tm
K=−∞
por lo tanto tenemos:
14

21. ∞
1
Xm (jω) = X(jν)P [j(ω − ν)]dν
2π −∞
∞ ∞
1 2π
Xm (jω) = X(jν) δ(ω − ν − Kωm )dν
2π −∞ Tm
K=−∞
∞ ∞
1
Xm (jω) = X(jν)δ(ω − ν − Kωm )dν
Tm −∞
K=−∞
∞
1
Xm (jω) = X(ω − Kωm )
Tm
K=−∞
Esta ecuaci´n indica que el espectro de una se˜ al muestreada es la suma de los espectros desplazados de
o n
la se˜ al original.
n
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1.15: Espectro en frecuencia de una se˜ al muestreada
n
De los espectros presentes en la figura 1.15 se puede resaltar lo siguiente:
Cuando ωm −ωc < ωc , es decir ωm < 2ωc , tenemos que los espectros de Xm (jω) se traslapan y se presenta
distorsi´n por cruce (alias) (Figura 1.15(d)). en este caso es imposible reconstruir la se˜ al a partir de sus
o n
muestras.
Cuando ωm − ωc > ωc , es decir ωm > 2ωc , vemos que los espectros se superponen de forma separada y
en este caso, se puede reconstruir la se˜ al a partir de sus muestras (Figura 1.15(c)). El limite esta cuando
n
ωm = 2ωc .
En conclusi´n para poder reconstruir una se˜ al a partir de sus muestras, la se˜ al debe ser
o n n
muestreada como m´ ınimo a 2 veces la componente mas alta de frecuencia de la se˜ al an´logan a
original fm ≥ 2fcmax , esta condici´n se conoce como el teorema de muestreo. Desde el punto de
o
vista del tiempo, podemos decir que el periodo de muestreo Tm debe ser mucho mas peque˜ o que la constante
n
de tiempo mas peque˜ a que conforma la se˜ al.
n n
Ejemplo 1.5. Supongase la se˜al
n
x(t) = Ae−α|t| ; α>0
15

22. Su espectro en frecuencia esta dado por
2Aα
X(jω) =
α2 + ω2
La se˜ al se muestrea con periodo Tm , eso es con frecuencia ωm . en la figura 1.16 se ilustra el proceso.
n
Figura 1.16: Se˜ al y su Espectro, y Espectro de la se˜ al muestreada
n n
Como en este caso la se˜ al tiene componentes de fourier en todo el espectro de frecuencia podemos utilizar
n
la frecuencia de corte como componente de frecuencia m´xima de la se˜ al, esto es ωc . Luego, dela condici´n
a n o
del teorema del muestreo tenemos ωm ≥ 2ωc o fm ≥ 2fc .
La potencia de la se˜ al x(t) esta dada por:
n
px (t) = x2 (t) = A2 e−2α|t|
su espectro en frecuencia es:
4A2 α A2
Px (jω) = ; Pxmax =
4α2 + ω 2 α
Tomando
Pxmax A2
P x (jω) = =
2 2α
Para determinar la frecuencia de corte tenemos:
4A2 α A2
2 + ω2
= ⇒ 4α2 + ωc = 8α2
2
4α c 2α
ωc = 4α2 ;
2
ωc = ±2α
π
ωm ≥ 4α; Tm ≤
2α
16

23. Para reconstruir una se˜ al a partir de sus muestras debemos cumplir con el teorema del muestreo. El
n
filtro pasa-bajos para su reconstrucci´n esta dado por H(jω).
o
La se˜ al reconstruida esta dada por:
n
∞
1
Xr (jω) = H(jω)Xm (jω) = H(jω)X[j(ω − kωm )] (1.11)
Tm
k=−∞
Si H(jω) es un filtro pasa bajas ideal:
H(jω) = rect(2ωF ) = 1(ω + ωF ) − 1(ω − ωF ) (1.12)
ωc < ωF < ωm − ωc Figura 1.17 (1.13)
Figura 1.17: Espectro de se˜ al reconstruida y el filtro ideal
n
Ejemplo 1.6. Considere una se˜al x(t) = sinc2 (5t), calculemos su espectro en frecuencia.
n
Sea:
5πt
x1 (t) =sinc(5t) = sinc
π
1 5π 5πt 1 ω0
ω0 t
x1 (t) = sinc = sinc
5 π π 5 π π
1
X1 (jω) = rect(2ω0 ); ω0 = 5π
5
x(t) =x1 (t)x1 (t) ⇒ X(jω) = F [x1 (t)x1 (t)]
1
X(jω) = X1 (jω) ∗ X1 (jω)
2π
17

24. ∞
1
X(jω) = X1 (jν)X1 (j(ω − ν))dν
2π −∞
∞
1 1 1
X(jω) = [1(ν + ω0 ) − 1(ν − ω0 )] [1(ω − ν + ω0 ) − 1(ω − ν − ω0 )]dν
2π −∞ 5 5
∞
1
X(jω) = 1(ν + ω0 )1(ω − ν + ω0 )dν − 1(ν + ω0 ) − 1(ω − ν − ω0 )dν
50π −∞
∞ ∞
− −1(ν − ω0 )1(ω − ν + ω0 )dν + 1(ν − ω0 )1(ω − ν − ω0 )dν
−∞ −∞
ω+ω0 ω−ω0 ω+ω0 ω−ω0
1
X(jω) = dν − dν − dν + dν
50π −ω0 ω+ω0 ≥−ω0 −ω0 ω−ω0 ≥−ω0 ω0 ω+ω0 ≥+ω0 ω0 ω−ω0 ≥ω0
1
X(jω) = (ω + 2ω0 )1(ω + 2ω0 ) − ω1(ω) − ω1(ω) + (ω − 2ω0 )1(ω − 2ω0 )big}
50π
1
X(jω) = (ω + 2ω0 )1(ω + 2ω0 ) − 2ω1(ω) + (ω − 2ω0 )1(ω − 2ω0 )
50π
La se˜ al original y su espectro se pueden apreciar en la figura 1.18. All´ observamos al igual que en la
n ı
ecuaci´n anterior que el ancho de banda BW = 2ω0 = 10π[rad/seg]. Si muestreamos la se˜ al con Tm =
o n
0,1seg, esto es ωm = 2π/Tm = 20π, obtenemos la se˜ al muestreada xm (t); donde;
n
∞
xm (t) = x(kTm )δ1 (t − KTm )
k=−∞
2
x(KTm ) =sinc (5KTm )
Figura 1.18: Espectro de se˜ al x(t) = sinc2 (5t)
n
1.4.2. Reconstrucci´n mediante Retenedor de Orden Cero
o
Esta t´cnica es muy utilizada en los sistemas de control y es la utilizada por los sistemas digitales conven-
e
cionales. Dada una se˜ al de tiempo continuo x(t) con espectro finito en frecuencia. Su versi´n muestreada
n o
es:
18

25. Figura 1.19: Tratamiento en un sistema de reconstrucci´n con retenedor de orden cero (ZOH)
o
xm (t) =x(t)P (t)
∞
P (t) = δ1 (t − KTm )
k=−∞
∞
xm (t) = x(KTm )δ1 (t − KTm )
k=−∞
Entonces el retenedor como su nombre lo indica retiene la se˜ al por un periodo de muestreo, es decir se
n
obtiene la se˜ al xr (t):
n
∞
xr (t) = x(KTm )[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )] (1.14)
k=−∞
Observemos algunos aspectos interesantes de esta reconstruccion, tomemos:
∞
1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )
xr (t) = Tm x(KTm )
Tm
k=−∞
∞
1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )
l´ xr (t) = l´
ım ım Tm x(KTm )
Tm →0 Tm →0 Tm
k=−∞
∞
= l´
ım Tm x(KTm )δ(t − KTm )
Tm →0
k=−∞
∞
= x(KTm )δ(t − KTm )dKTm
k=−∞
∞
= x(tK )δ(t − tK )dtK
k=−∞
Conclusi´n:
o
l´ xr (t) =x(t)
ım (1.15)
Tm →0
Veamos el comportamiento con respecto a S:
∞
xr (t) = x(KTm )[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )]
k=−∞
Xr (S) = Lt xr (t)
19

26. ∞
Xr (S) =Lt x(KTm )[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )]
k=−∞
∞
Xr (S) = x(KTm )Lt 1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )
k=−∞
∞
e−KTm S e−K+1Tm S
= x(KTm ) −
S S
k=−∞
∞
1 − e−Tm S
= x(KTm )e−KTm S
S
k=−∞
∞
1 − e−Tm S
Xr (S) = x(KTm )e−KTm S
S
k=−∞
Funcion de transferencia del ZOH
Transformada de Laplace Discreta
La funcion de transferencia del retenedor de orden cero es:
1 − e−Tm S
GZOH (S) = (1.16)
S
Ahora revizando la transformada de Laplace Discreta:
∞
Lt xm (t) = x(KTm )e−KTm S
k=−∞
Tomemos Z = eT mS
∞ ∞
x(KTm )e−KTm S = x(KTm )Z −K
k=−∞ k=−∞
=Z X(KT m) = X(Z, Tm )
Es decir:
1 − e−Tm S
Xr (S) = X(Z, Tm )
S Z=eTm S
RESPUESTA EN FRECUENCIA DEL RETENEDOR DE ORDEN CERO
1 − e−Tm S
GZOH (S) =
S
GZOH (jω) =GZOH (S)
S=jω
1 − e−jTm ω
GZOH (jω) =
jω
20

27. jTm ω jTm ω
1 − e− 2 e− 2
GZOH (jω) =
jω
jTm ω jTm ω jTm ω
e− 2 (e 2 − e− 2 )
GZOH (jω) =
jω
− jTm ω jTm ω jTm ω
2e 2 (e 2 − e− 2 )
=
ω 2j
2 jTm ω Tm ω
= e− 2 sin
ω 2
Tm ω
sin 2
− jTm ω
=Tm e 2
ωTm
2
jTm ω Tm ω
=Tm e− 2 sinc
2π
Observemos la grafica de magnitud:
jTm ω Tm ω
|GZOH (jω)| = Tm e− 2 sinc
2π
jTm ω Tm ω
=Tm e− 2 sinc
2π
1
conclusion:
Tm ω
|GZOH (jω)| =Tm sinc (1.17)
2π
Tm ω
sin 2
Tm ω
sup sinc = sup ωTm
=1
ω 2π ω 2
Tm ω
sinc ≤ 1; ∀ω
2π
sup |GZOH (jω)| = m´x |GZOH (jω)| = Tm
a
ω ω
La gr´fica de la magnitud se puede apreciar en la Figura 1.20.
a
De aqui se observa que NO es un filtro ideal, y que los puntos cr´ ıticos, es decir en los cuales vale cero
|GZOH (jω)|, est´n ubicados cuando ωTm = 2π. O de otra forma cuando Tm = 2π/ω la se˜ al muestreada es
a n
cero. Los lobulos producidos causan distorsi´n de la se˜ al, por lo cual se aconseja que el periodo de muestreo
o n
Tm sea peque˜ o.
n
Ahora observemos el efecto de la fase o argumento de la se˜ al.
n
jTm ω Tm ω
Arg [GZOH (jω)] =Arg Tm e− 2 sinc
2π
jTm ω Tm ω
=Arg Tm e− 2 + Arg sinc
2π
21

28. 1
0.8
Magnitud GZOH
0.6
0.4
0.2
0
−30 −20 −10 0 10 20 30
Frecuencia (rad/seg)
Figura 1.20: Magnitud de la Funci´n de transferencia del ZOH
o
 
Tm ω
Tm ω  sin 2 
Arg [GZOH (jω)] = − + Arg  ωTm

2 
2

Revisemos la fase del segundo termino:
sin Tm ω/2
|ω|Tm
≥0 Si 2nπ ≤ ≤ (2n + 1)π
ωTm /2 2
sin Tm ω/2
|ω|Tm
<0 Si (2n + 1)π ≤ ≤ (2n + 2)π
ωTm /2 2
si ω < 0 → ω = −|ω|
sin Tm ω/2 sin − Tm |ω|/2 sin Tm |ω|/2
⇒ =
ωTm /2 −|ω|Tm /2 |ω|Tm /2
Entonces el argumento de esta parte esta dado por:
 
Tm ω
 sin 2  0 if 2nπ ≤ |ω|Tm ≤ (2n + 1)π
Arg  = 2
 ωTm
2
 π if (2n + 1)π ≤ |ω|Tm ≤ (2n + 2)π
2
Conclusion:
Tm ω 0 if 2nπ ≤ |ω|Tm ≤ (2n + 1)π
2
Arg [GZOH (jω)] = − +
2 π if (2n + 1)π ≤ |ω|Tm ≤ (2n + 2)π
2
22

29. 20
15
10
Argumento de GZOH 5
0
−5
−10
−15
−20
−30 −20 −10 0 10 20 30
Frecuencia (rad/seg)
Figura 1.21: Magnitud de la Funci´n de transferencia del ZOH
o
La gr´fica de Argumento se puede ver en la figura 1.21.
a
Revisemos cual seria el espectro de salida de una se˜ al reconstruida mediante el retenedor de orden cero,
n
observemos en la figura 1.22 en la primera casilla tenemos el espectro de una se˜ al muestreada, en la segunda
n
el espectro de nuestro ZOH y en la tercera la respuesta de la reconstrucci´n con un ZOH, podemos observar
o
que en la reconstrucci´n utilizando retenedor de orden cero se producen l´bulos a lado y lado del espectro
o o
original, estos l´bulos pueden ser eliminados utilizando un filtro pasabajo de un orden bajo, lo cual nos
o
simplifica la implementaci´n del circuito de reconstrucci´n frente a uno solo realizado con filtro. En la figura
o o
1.22 se observa un comparativo entre la se˜ al original y la se˜ al reconstruida con retenedor de orden cero,
n n
donde se aprecia el error existente entre las dos.
1
X (jω)
0.5
m
0
−30 −20 −10 0 10 20 30
1
(jω))
ZOH
0.5
MAG(G
0
−30 −20 −10 0 10 20 30
1
X (jω)
0.5
r
0
−30 −20 −10 0 10 20 30
tiempo [seg]
Figura 1.22: Respuesta a reconstrucci´n con ZOH
o
23

30. 1
Xr(jω)
0.8
X(jω)
X(jω) y X (jω)
0.6
r
0.4
0.2
0
−0.2
−30 −20 −10 0 10 20 30
0.15
X (jω)−X(jω)
r
0.1
Error (P.U.)
0.05
0
−0.05
−30 −20 −10 0 10 20 30
Frecuencia
Figura 1.23: Comparaci´n entre la se˜ al original y la se˜al reconstruida
o n n
1.5. Respuesta de un sistema Lineal a una entrada generada me-
diante retenedor de orden cero
Figura 1.24: Sistema Lineal con entrada de Retenedor de Orden Cero
Tomemos el esquema de la figura 1.24:
y(t) = g(t) ∗ ur (t)
donde:
∞
ur (t) = u(KTm )[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )]
k=−∞
suponemos que se cumplen las siguientes dos condiciones:
g(t) = 0 si t < 0
ur (t) = 0 si t < 0
∞
ur (t) = u(KTm)[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )]
k=0
24

31. ∞ t
y(t) = ur (τ )g(t − τ )dτ = ur (τ )g(t − τ )dτ (1.18)
−∞ 0
como sabemos:
∞
ur (t) = u(KTm)[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )]
k=0
ur (t) = u(KTm )si KTm ≤ t ≤ K + 1Tm K ∈ Z+ U {0}
Tenemos que realizar un an´lisis considerando intervalo por intervalo, es decir:
a
i) si 0 ≤ t ≤ Tm , tenemos
ur (τ ) = u(0)
t t
y(t) = u(0)g(t − τ )dτ = g(t − τ )dτ u(0)
0 0
ii) si Tm ≤ t ≤ 2Tm , tenemos
Tm t
y(t) = u(0)g(t − τ )dτ + u(Tm )g(t − τ )dτ
0 Tm
Tm t
y(t) = g(t − τ )dτ u(0) + g(t − τ )dτ u(Tm )
0 Tm
iii) si 2Tm ≤ t ≤ 3Tm , tenemos
Tm 2Tm t
y(t) = u(0)g(t − τ )dτ + u(Tm )g(t − τ )dτ + u(2Tm )g(t − τ )dτ
0 Tm 2Tm
Tm 2Tm t
y(t) = g(t − τ )dτ u(0) + g(t − τ )dτ u(Tm ) + g(t − τ )dτ u(2Tm )
0 Tm 2Tm
Realizando una sencilla generalizaci´n obtenemos que: si KTm ≤ t ≤ K + 1Tm , tenemos:
o
K−1 J+1Tm t
y(t) = g(t − τ )dτ u(JTm ) + g(t − τ )dτ u(KTm) (1.19)
J=0 JTm KTm
Ahora si Muestreamos esta se˜ al (y(t)) con periodo Tm , obtenemos:
n
K−1 J+1Tm
y(KTm ) = g(KTm − τ )dτ u(JTm ) (1.20)
J=0 JTm
Notemos que el segundo termino desaparece por cuanto este esta actuando solo en el interior del intervalo
de muestreo. Observemos la integral al interior de la sumatoria:
25

32. J+1Tm Tm
g(KTm − τ )dτ = g(KTm − τ − JTm )dτ
JTm 0
Tm
h(K − JTm ) = g(K − JTm − τ )dτ
0
es decir, podemos definir:
Tm
h(KTm ) = g(KTm − τ )dτ
0
h(0) = 0
y por consiguiente
K−1
y(KTm ) = h(K − JTm )u(JTm ) (1.21)
J=0
Realicemos una comparaci´n con la convoluci´n Discreta de se˜ ales, en la cual tenemos que:
o o n
K
y(KTm ) = h(KTm ) ∗ u(KTm) = h(K − JTm )u(JTm )
J=0
El efecto del retenedor se ve en los limites de la sumatoria, introduciendo un retardo.
Ejemplo 1.7. Determine y(t) y Y (KTm ) si consideramos que en el sistema descrito en la figura 1.24 se
tienen:
g(t) = Γe−αt 1(t)
u(t) = U0 1(t)
Primero determinemos Y (KTm ),
Tm
h(KTm ) = g(KTm − τ )dτ
0
Tm
h(KTm ) = Γe−α(KTm −τ ) 1(KTm − τ )dτ
0
h(0) = 0
Tm
h(KTm ) = Γe−αKTm eατ 1(KTm − τ )dτ
0
Tm
= Γe−αKTm eατ dτ ; K≥1
0
Γe−αKTm ατ Tm
= e ; K≥1
α 0
Γ
h(KTm ) = e−αKTm (eαTm − 1)1(K − 1Tm )
α
26

33. K
Γ −αK−JTm αTm
y(KTm ) = e (e − 1)1(K − J − 1Tm )U0 1(JTm )
α
J=0
K−1
ΓU0 αTm
y(KTm ) = (e − 1) e−αK−JTm
α
J=0 K≥1
K−1
ΓU0 αTm
= (e − 1)e−αKTm eαJTm
α
J=0 K≥1
αKTm
ΓU0 αTm 1−e
= (e − 1)e−αKTm
α 1 − eαTm
K≥1
ΓU0
= (1 − e−αKTm )1(K − 1Tm )
α
1.6. Ejercicios
1. Muestree las siguientes se˜ ales de tiempo continuo y obtenga su espectro en frecuencia (tanto de la
n
se˜ al original como de la se˜ al muestreada)
n n
a) x(t) = 1(t + T0 ) − 1(t − T0 ); Tm = T0 /2, T0 /10.
b) y(t) = 12|sen(120πt)|; Tm = 1mseg, Tm = 5mseg, Tm = 10mseg.
−4t
c) z(t) = e 1(t); Tm = 1seg, Tm = 2seg, Tm = 4seg.
t
d ) z(t) = e [1(t + 1) − 1(t − 1)]; Tm = 0,1seg, Tm = 0,5seg, Tm = 1seg.
2. Se˜ ale las principales diferencias que existen entre un filtro pasabajo ideal y un circuito retenedor de
n
orden cero, en lo que respecta a reconstrucci´n de se˜ ales.
o n
3. Una se˜ al de tiempo continuo tiene un espectro de frecuencia con componentes a las frecuencias 100Hz,
n
200Hz, 300Hz. Esta se˜ al se muestrea con Tm = 0,0001seg y la se˜ al muestreada se aplica a un circuito
n n
retenedor de orden cero con periodo de retenci´n de 0,005seg. Se˜ ales las caracter´
o n ısticas de salida del
retenedor frente a esta se˜ al de entrada.
n
4. Una se˜ al de tiempo continuo Asen(60πt) se muestrea a una frecuencia de 120πrad/s; el resultado de
n
este muestreo pasa por un filtro ideal de 100Hz. cual sera la salida de este sistema.
5. Una se˜ al f (t) = sinc(200t) es meustreada por un tren de pulsos peri´dicos P∆ (t) representado en la
n o
siguiente figura.
Halle y grafique el espectro de la se˜ al muestreada.
n
Explique si es posible reconstruir f (t) a partir de sus muestras.
Si la se˜ al muestreada es aplicada a un filtro pasabajo ideal de ancho de banda 100 Hz y ganancia
n
unitaria, Halle la salida del filtro.
Cual es la salida del filtro si su ancho de banda es βHz, donde 100 < β < 150. Que sucede si el
ancho de banda es 150Hz.
6. Considere el siguiente circuito
Obtenga la expresion matematica de vo (t) dependiendo de Vi (t). Grafique vo (t)
27

34. Figura 1.25: Circuito para el Ejercicio 6 Capitulo de Muestreo y Reconstrucci´n
o
Encuentre las condiciones que deben cumplir Ri , Ro , C para que el circuito se comporte como un
Muestreador - Retenedor.
Bajo que condiciones el circuito se comporta como un muestreador ideal
Bajo que condiciones el circuito se comporta como un retenedor de orden cero.
7. Considere el siguiente sistema. Determine la salida vo (t) si:
Γ0 − τt
g(t) = e 0 1(t)
τ0
vi (t) =A sin(ωt)1(t)
8. En la figura siguiente se muestra una realizacion de un retenedor de ordenc ero practico. Calule la
respuesta al impulso unitario de este circuito. Halle y grafique |H(jω)|. Obtenga la salida de este
circuito cuando la entrada es f (KTm ) donde f(t) es sinc2 (10t).
9. Un circuito
28

35. Cap´
ıtulo 2
Transformada Z [Z = eTmS ]
La transformada Z cumple para los sistemas discretos la misma funci´n que la transformada de Laplace
o
para sistemas continuos, por cuanto en una transformada para sistemas discretos de la forma x(KTm ).
Veamos un breve paralelo entre los sistemas continuos y los sistemas discretos:
Sistemas Continuos Sistemas Discretos
Descrito por Ecuaciones Diferenciales Descrito por Ecuaciones de Diferencia
Transformada de Laplace Transformada Zeta
Transformada de Fourier Continua Transformada de Fourier Discreta
Serie Continua de Fourier Serie discreta de Fourier
FFT
d
Operador P = dt P −1 = Operadores q, q −1 , ∇, ∆
2.1. FUNDAMENTOS
La Transformada Zeta de una secuencia discreta {x(KTm )} esta definida como:
∞
X(Z, Tm ) = Z [x(KTm )] = x(KTm )Z −K (2.1)
K=−∞
Esta transformada se conoce tambi´n como transformada Z bilateral. Con la definici´n 2.1 es importante
e o
anotar que como Z es una variable compleja, entonces X(Z, Tm ) tambi´n lo es. Tambi´n es importante
e e
resaltar que el termino tm aparece porque de manera general la transformada Z de x(KTm ) sera funci´n de
o
Tm .
Si x(KTm ) esta definido para K ≥ 0, entonces tenemos que:
∞
X(Z, Tm ) = x(KTm )Z −K Unilateral Positiva |Z| > R−
K=0
Si x(KTm ) esta definido para K < 0, entonces tenemos que:
−1
X(Z, Tm ) = x(KTm )Z −K Unilateral Negativa |Z| < R+
K=−∞
Si x(t) es una se˜ al de tiempo continuo, tal que posee transformada de Laplace:
n
29

36. X(S) = Lt [x(t)]
Ahora realizamos un muestreo de esta se˜ al continua para obtener:
n
∞
xm (t) = x(KTm )δ(t − KTm )
k=−∞
∞
Xm (S) = Lt [xm (t)] = Lt x(KTm )δ(t − KTm )
k=−∞
∞
Xm (S) = x(KTm )Lt δ(t − KTm )
k=−∞
∞
Xm (S) = x(KTm )e−KTm S
k=−∞
∞
Xm (S) = x(KTm )e−KTm S Transformada Discreta de Lapace (TDL) (2.2)
k=−∞
Ahora si realizamos el cambio de variable Z = eT mS, se obtiene:
∞
Xm (S) → X(Z, Tm ) = x(KTm )Z −K (2.3)
k=−∞
En la aplicaci´n practica. Realizando un par´ntesis en el tema, miremos breve mente lo que se realiza
o e
o se emplea en filtros digitales, teniendo una funci´n de transferencia de un filtro G(S), se reemplaza S por:
o
1
S= LnZ la cual sale deZ = eTm S
Tm
Esta expresi´n queda un poco complicada, por lo cual se realiza la aproximaci´n:
o o
1
Z = 1 + Tm S → S= (Z − 1)
Tm
Tm
S
e 2 1 + Tm /2S 2 Z −1
Z= ≈ → S=
e − T2
m S 1 − Tm /2S Tm Z +1
Esta ultima se conoce como la aproximaci´n de Tustin, es quiz´ la mas empleada. Teniendo una funci´n
o a o
de un filtro G(S) se reemplaza S por la aproximaci´n de Tustin y se plantea una funci´n recursiva.
o o
Retomemos la Transformada Z. La transformada Z esta definida como:
∞
X(Z, Tm ) = x(KTm )Z −K (2.4)
k=−∞
30

37. Figura 2.1: Region de Convergencia Transformada Z
La transformada Z bilateral exige que la sumatoria converga en una regi´n del plano Z, es asi que las
o
regiones de convergencia normalmente se describen de la forma R− < |Z| < R+ , por fuera de esta regi´n la
o
sumatoria no converge (Figura 2.1).
Ahora observemos la convergencia de la sumatoria:
∞
|X(Z, Tm )| = x(KTm )Z −K
k=−∞
∞
≤ x(KTm ) Z −K
k=−∞
Z = rz ejφZ ; |Z| = rz ≥ 0
−K −K −K
|Z | = |Z| = rz
∞
−K
|X(Z, Tm )| ≤ x(KTm ) rz < ∞
k=−∞
La sumatoria converge si x(KTm ) es de orden exponencial, es decir que x(KTm ) debe crecer mas despacio
K −K
que rz , con lo cual rz decrece mas rapido que lo que crece x(KTm ). Si x(KTm ) es de orden exponencial,
entonces:
|X(KTm)| ≤ ΓrK ; ∀K
Por ejemplo, si x(KTm ) = aKTm 1(KTm ), entonces x(KTm ) es de orden exponencial, y si x(KTm ) =
K 2 Tm
a 1(KTm), entonces x(KTm ) NO es de orden exponencial.
Para una secuencia Bilateral se debe tener en cuenta algunos aspectos sencillos, los cuales vienen
dictados por las regiones de convergencia tanto de secuencias unilaterales positivas como unilaterales nega-
tivas.
31

38. ∞
X(Z, Tm ) = Z [x(KTm )] = x(KTm )Z −K
k=−∞
Si la secuencia es unilateral positiva, la transformada Z puede expresarse como:
∞
X(Z, Tm ) = x+ (KTm )Z −K ; Con regi´n de convergencia de la forma |Z| > R−
o
k=0
Si la secuencia es unilateral negativa, la transformada Z puede expresarse como:
−1
X(Z, Tm ) = x− (KTm )Z −K ; Con regi´n de convergencia de la forma |Z| < R+
o
k=0−∞
Al unir las dos transformadas para una secuencia bilateral se debe cumplir que:
(|Z| > R− ) ∩ (|Z| < R+ ) = ∅
De lo contrario diremos que la transformada Z NO existe para esta secuencia.
Ejemplo 2.1. Calculo Transformada Z. Sea x(KTm ) = aKTm 1(KTm ), obtenga X(Z, Tm ).
∞
X(Z, Tm ) = Z [x(KTm )] = aKTm 1(KTm )Z −K
k=−∞
∞
= aKTm Z −K ; El escalon 1(KTm ) nos limita la sumatoria
k=0
∞ K
aTm
X(Z, Tm ) =
Z
k=0
Tm
Tomando la serie de la ecuaci´n 3.3, sea P = a
o /Z, entonces
∞
X(Z, Tm ) = PK tomemos N → ∞ y i = 0
k=0
N
= l´
ım PK
N →∞
k=0
1 − P N +1
= l´
ım ; con P = 1
N →∞ 1−P
1 − l´ N →∞ P N +1
ım
= ; con P = 1
1−P
1
X(Z, Tm ) = ; con |P | < 1
1−P
1 aTm
X(Z, Tm ) = T ; con <1
1 − a Zm Z
Z
X(Z, Tm ) = ; con |Z| > |aTm |(Figura 2.2)
Z − aTm
32

39. Figura 2.2: Region de convergencia ejemplo x(KTm ) = aKTm 1(KTm ) (El amarillo)
Ejemplo 2.2. Calculo Transformada Z. De una secuencia bilateral
aKTm si K ≥ 0
x(KTm ) =
−bKTm si K < 0
x(KTm ) = aKTm 1(KTm ) − bKTm 1(−K − 1Tm )
∞
X(Z, Tm ) = Z [x(KTm )] = x(KTm )Z −K
k=−∞
∞
= aKTm 1(KTm ) − bKTm 1(−K − 1Tm ) Z −K
k=−∞
∞ ∞
= aKTm 1(KTm)Z −K − bKTm 1(−K − 1Tm )Z −K
k=−∞ k=−∞
∞ −1
= aKTm Z −K − bKTm Z −K
k=0 k=−∞
Del ejemplo anterior se puede extraer:
∞
Z
aKTm Z −K = ; con |Z| > |aTm |
Z − aTm
k=0
Ahora, el segundo termino
−1 −1
bKTm Z −K = l´
ım bKTm Z −K ; K = −i
N →∞
k=−∞ k=−N
33