Introdução ao Controle de Processos Químicos

Marcos Marcelino Mazzucco
2009
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE
PROCESSOS QUÍMICOS -
ASPECTOS TEÓRICOS E
EXEMPLOS COM GNU OCTAVE
INSTRUMENTAÇÃO INDUSTRIAL
MODELAGEM DE SISTEMAS
TRANSFORMADA DE LAPLACE
CONTROLE FEEDBACK
GNU OCTAVE

INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE
PROCESSOS QUÍMICOS -
ASPECTOS TEÓRICOS E
EXEMPLOS COM GNU OCTAVE
Este material foi desenvolvido para acompanhar a disciplina Instrumentação e
Controle de Processos, ministrada pelo professor Dr. Marcos Marcelino Mazzucco.
O uso não autorizado deste material incorre em violação dos direitos autorais,
estando sujeito às penalidades previstas na legislação em vigência. Acompanha
este material os software livres GNU Octave e MED disponíveis em www.octave.org
e www.eqm.unisul.br/prof/marcos.
Marcos Marcelino Mazzucco
Última atualização de conteúdo 20/02/2009
Última revisão 20/02/2009

INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
ÍNDICE
1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................5
2 INSTRUMENTAÇÃO DE PROCESSOS QUÍMICOS.....................................................................7
2.1 INTRODUÇÃO................................................................................................................................8
2.2 SINAIS DE ENTRADA E SAÍDA...........................................................................................................8
2.3 SENSORES...................................................................................................................................8
2.4 ELEMENTO FINAL DE CONTROLE.......................................................................................................9
2.4.1 VÁLVULAS DE CONTROLE........................................................................................................10
2.4.2 INVERSOR DE FREQÜÊNCIA.....................................................................................................14
2.5 TRANSMISSÃO DE DADOS...............................................................................................................14
2.6 TRANSDUTORES E TRANSMISSORES..................................................................................................15
2.7 CARACTERÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS..............................................................................................16
2.8 HARDWARE DE CONTROLE.............................................................................................................16
2.9 SIMBOLOGIA...............................................................................................................................19
2.10 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................21
3 MODELAGEM DE PROCESSOS QUÍMICOS.............................................................................31
3.1 MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS...............................................................................................32
3.1.1 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE ESTOQUE DE LÍQUIDO..................................................34
3.1.2 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE AQUECIMENTO POR VAPOR.............................................36
3.1.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM CSTR COM TROCA TÉRMICA........................................................38
3.1.4 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA COLUNA DE ABSORÇÃO...............................................................40
3.1.5 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA TROCADOR DE CALOR DUPLO TUBO...............................................42
3.2 SOLUÇÃO NUMÉRICA COM MATLAB E OCTAVE.....................................................................................45
3.3 EXERCÍCIOS...............................................................................................................................45
4 TRANSFORMADA DE LAPLACE E LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS.......................................48
4.1 DEFINIÇÃO.................................................................................................................................49
4.2 PROPRIEDADES...........................................................................................................................49
4.3 OPERAÇÕES NO DOMÍNIO S............................................................................................................49
4.4 TEOREMAS DOS VALORES INICIAL E FINAL.........................................................................................52
4.5 TRANSLAÇÃO DA FUNÇÃO NO TEMPO ..............................................................................................52
4.6 TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA....................................................................................................53
4.7 COMO OPERAR A TRANSFORMA INVERSA..........................................................................................54
4.7.1 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES DISTINTAS........................................55
4.7.2 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES MÚLTIPLAS.......................................58
4.7.3 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA TERMOS QUADRÁTICOS SEM RAÍZES REAIS (RAÍZES COMPLEXAS).....60
- Marcos Marcelino Mazzucco -
1

4.7.4 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS COM GNU OCTAVE..................................................................63
4.8 SOLUÇÃO DE EDOS COM COEFICIENTES CONSTANTES..........................................................................68
4.9 LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS...........................................................................................................74
4.10 RELAÇÕES ÚTEIS......................................................................................................................78
4.11 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................79
5 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS.......................................................................81
5.1 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA..........................................................................................................82
5.1.1 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA UM SISTEMA COM UMA ENTRADA E UMA SAÍDA..................................82
5.1.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA UM SISTEMA COM DUAS ENTRADAS E UMA SAÍDA...............................85
5.1.3 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA E AS FORMAS GANHO/CONSTANTE DE TEMPO E ZEROS-
PÓLOS.......................................................................................................................................89
5.2 SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM......................................................................................................91
5.2.1 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA DEGRAU DE MAGNITUDE M:..................92
5.2.2 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA IMPULSO DE MAGNITUDE M:..................93
5.2.3 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA SENOIDAL:........................................95
5.2.4 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA PULSO RETANGULAR DE MAGNITUDE M:...99
5.3 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM...................................................................................................101
5.3.1 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM A UMA ENTRADA DEGRAU DE MAGNITUDE M:................103
5.3.2 CARACTERÍSTICAS DAS RESPOSTAS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM.............................................109
5.4 SISTEMAS DE ALTA ORDEM E OUTROS ELEMENTOS DINÂMICOS............................................................112
5.4.1 AVANÇO-RETARDO..............................................................................................................114
5.4.2 RESPOSTA INVERSA............................................................................................................116
5.4.3 TEMPO MORTO OU ATRASO POR TRANSPORTE.........................................................................117
5.5 SISTEMAS DE ALTA ORDEM - MODELOS APROXIMADOS.........................................................................121
5.6 PÓLOS E ZEROS.......................................................................................................................123
5.7 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................124
6 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS..............................................................................................129
6.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................................130
6.2 OBTENÇÃO DE MODELOS POR REGRESSÃO.....................................................................................130
6.3 OBTENÇÃO DE MODELOS POR ANÁLISE GRÁFICA..............................................................................140
6.3.1 MODELOS DE PRIMEIRA ORDEM............................................................................................140
6.3.2 MODELOS DE PRIMEIRA ORDEM + TEMPO MORTO E O MÉTODO DE SUNDARESAN E KRISHNAWAMY......142
.............................................................................................................................................145
6.3.3 MODELOS DE SEGUNDA ORDEM + TEMPO MORTO.....................................................................147
7 CONTROLE FEEDBACK...........................................................................................................153
7.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................................154
7.2 CONTROLADORES FEEDBACK........................................................................................................155
2

7.2.1 CONTROLE PROPORCIONAL...................................................................................................156
7.2.2 CONTROLE INTEGRAL..........................................................................................................157
7.2.3 CONTROLE PROPORCIONAL E INTEGRAL...................................................................................158
7.2.4 CONTROLE DERIVATIVO.......................................................................................................159
7.2.5 CONTROLE PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVO..................................................................159
7.3 PID DIGITAL............................................................................................................................160
7.4 CODIFICANDO UM CONTROLADOR PID NO GNU OCTAVE..................................................................161
7.5 RESPOSTA DE UM PROCESSO A UM CONTROLADOR PID....................................................................162
7.6 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE CONTROLE FEEDBACK....................................................163
7.6.1 DIAGRAMA DE BLOCOS........................................................................................................163
7.6.2 OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA EM MALHA FECHADA..................................................175
7.6.3 EXERCÍCIO........................................................................................................................176
7.6.4 RESPOSTA DE UM SISTEMA AOS CONTROLADORES P E PI ..........................................................176
7.6.5 DIAGRAMA DE BLOCOS COM GNU OCTAVE.............................................................................181
7.6.6 EXERCÍCIO........................................................................................................................202
8 ANÁLISE DE ESTABILIDADE..................................................................................................203
8.1 CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE.................................................................................................204
8.1.1 EXERCÍCIO- DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DO CONTROLADOR..................................................218
8.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH...........................................................................................218
8.3 MÉTODO DA SÍNTESE DIRETA.......................................................................................................228
9 SINTONIA DE CONTROLADORES PID....................................................................................231
9.1 CRITÉRIO DA RESPOSTA TRANSIENTE..............................................................................................232
9.1.1 RELAÇÕES DE SINTONIA DE COHEN-COON...............................................................................233
9.1.2 RELAÇÕES DE SINTONIA BASEADAS NA INTEGRAL DO ERRO...........................................................236
9.1.3 RELAÇÕES DE SINTONIA DE ZIEGLER - NICHOLS.........................................................................243
9.2 SINTONIA MANUAL .....................................................................................................................253
9.3 ANÁLISE DA RESPOSTA FREQUENCIAL DE SISTEMAS............................................................................253
9.4 EXERCÍCIO FINAL......................................................................................................................254
10 CONSIDERAÇÕES FINAIS.....................................................................................................256
11 REFERÊNCIAS........................................................................................................................258
12 ANEXO 1- SUBROTINAS .......................................................................................................259
12.1 FRACOES_PARCIAIS..................................................................................................................259
12.2 POLYMULT..............................................................................................................................260
12.3 POLYADD...............................................................................................................................261
12.4 POLYPOWER...........................................................................................................................262
3

12.5 EXIBIRFT................................................................................................................................263
12.6 DEGRAU_UNITARIO...................................................................................................................264
12.7 PRIMEIRA_ORDEM....................................................................................................................265
12.8 GERAR_DADOS .......................................................................................................................266
12.9 SUNDARESAN_KRISHNAWAMI ......................................................................................................267
12.10 SINGLE_LOOP.......................................................................................................................268
12.11 COHEN_COON.......................................................................................................................270
12.12 ITAE................................................................................................................................271
12.13 ZIEGLER_NICHOLS..................................................................................................................272
4

1 INTRODUÇÃO
A busca de sistemas para automatização e controle de tarefas é progressiva e
abrange todos os segmentos da vida moderna, de tarefas domésticas até grandes
produções industrias. Registros históricos indicam que os egípcios criaram o primeiro
sistema de controle, um regulador de nível para um relógio d’água. A revolução industrial
somente tomou impulso com o desenvolvimento de mecanismos de controle automático,
desde que o controle manual não é viável em processos massivos de produção. Para as
máquinas a vapor os reguladores de nível, temperatura e pressão são dispositivos
indispensáveis. No período de 1600 a 1800 os sistemas de controle ganharam
importância. A partir de 1800 estudos matemáticos impulsionaram a arte de controlar
processos. Nos séculos 19 e 20, seguindo necessidades dos meios de comunicação,
navegação de aviões, navios, foguetes e a pressão das guerras novos problemas
apresentaram-se e assim novas estratégias de controle foram desenvolvidas. O controle
digital surgiu e redirecionou as atenções. Hoje, certamente, a demanda de muitos
produtos não seria atendida se processos manuais fossem utilizados. Mesmo que uma
grande quantidade de pessoas pudesse produzir o mesmo volume de bens que um
processo automático, a qualidade e as características do produto obtido não seriam
mantidas durante o tempo. Assim, o objetivo de automatizar um processo é aumentar sua
capacidade ou eficiência ou diminuir sua periculosidade (Mazzucco, 2003). A
automatização deve ser distinguida do controle do processo, cujo objetivo é assegurar
uma quantidade (temperatura, pressão, composição, etc.) em um determinado valor (set
point ou referência) ou intervalo pela manipulação de alguma variável.
Podemos destacar alguns tipos de variáveis que possuem atribuições formais em
controle de processos: variável medida, variável controlada e variável manipulada e
perturbações. A variável medida pode coincidir com a controlada, mas isto não é uma
regra. Por exemplo, pode-se medir a temperatura e pressão de um gás em um duto,
estimar a vazão e controlá-la manipulando, através de uma válvula, o fluxo de massa.
Um sistema de controle consiste, ao menos, por: processo(s), sensor(es),
controlador(es), e atuador(es). Estes elementos constituem uma malha de controle. Cada
elemento possui um comportamento dinâmico mais ou menos importante que deve ser
5

conhecido e, além disso, a interação entre eles é determinante do sucesso de uma
proposta de controle.
Para formalizar os conteúdos descritos, este material pretende fornecer os
conceitos essenciais de controle de processos. Desde modelagem de sistemas até
análise de problemas no domínio e Laplace. Desde controle feedback até análise de
estabilidade. Para completar o conteúdo serão apresentados os equipamentos típicos
utilizados na indústria química para permitir a aplicação das estratégias estudadas, tópico
este que será tratado a seguir.
6

2 INSTRUMENTAÇÃO DE PROCESSOS QUÍMICOS
7

2.1INTRODUÇÃO
Para sistemas de controle a aplicação em campo depende de elementos elétricos,
eletrônicos, mecânicos ou pneumáticos que permitam que o processo e o sistema de
controle possam interagir de forma compor uma estrutura entrada/saída. Atualmente,
muitos destes dispositivos são baseados em equipamentos eletrônicos, sendo divididos e
duas categorias, os digitais e os analógicos. Na indústria química a maioria dos
elementos de medição e os elementos finais de controle são instrumentos analógicos.
Destacam-se as seguintes classes de equipamentos em um sistema de controle:
Instrumentos de medição (sensores), elementos finais de controle, transdutores,
controladores, indicadores e registradores.
2.2SINAIS DE ENTRADA E SAÍDA
Tipicamente, na indústria química até meados de 1950, a transmissão de sinais
era realizada por via pneumática, sinais típicos de sensores como temperatura e pressão
eram conduzidos por via pneumática. Da mesma forma, atuadores como válvulas
pneumáticas eram a base dos elementos finais de controle e daí a utilização esta forma
de sinal. Assim tanto controladores como registradores foram desenvolvidos para atuar
por via pneumática. Atualmente as válvulas pneumáticas correspondem aos
representantes mais presentes dos pneumáticos na indústria química. Em alguns projetos
onde existe o risco de explosão ainda são utilizados equipamentos pneumáticos. O
padrão de transmissão de dados por via pneumática estabelece a faixa de trabalho de 3-
15psig.
A partir de 1960, com o desenvolvimento mais intensivo da indústria de
eletrônicos, os sinais passaram a ser transmitidos, também, por meio de cabos elétricos
em duas formas: corrente (mA) ou tensão (VCC, VDC). Os padrões estabelecidos são:
Corrente contínua: 1-5mA, 4-20mA, 10-50mA
Tensão contínua: 0-5VDC, 1-5VDC, ±5VDC, ±10VDC
2.3SENSORES
Os sensores são os elementos responsáveis por permitir a quantificação da
variável que se deseja medir. Os sensores típicos da indústria são:
8

- Temperatura: os mais comuns são termopares (sensor da tensão (mV) produzida pela
junção de dois metais como níquel, platina, cobre, etc.), termoresistores (sensor resistivo,
também conhecido como RTD: resistance-temperature detector, fabricado a partir de
materiais como platina, níquel e níquel-cobre) e termistrores (sensor resistivo, também
conhecido como NTC- negative temperature coefficient, fabricado a partir de material
semicondutor, tais como óxidos de cobalto, magnésio e níquel e sulfetos de cobre,
alumínio e ferro. A resistência neste sensor diminui com a temperatura).
-Pressão absoluta e diferencial: os mais comuns são tubo de Bourdon, diafragma.
-Velocidade de fluxo, fluxo de massa, fluxo volumétrico: tanto para líquidos como
gases duas estratégias podem ser utilizadas para medir fluxo: turbina e queda de
pressão. No caso da turbina os pulsos gerados podem ser modulados ou totalizados
através de um contador (counter) para produzir um sinal de fluxo. No caso da queda de
pressão, esta deve ser obtida através de uma placa de orifício ou um tubo de Venturi e
determinadas as medidas das pressões antes e após o acessório. A vazão é proporcional
a raiz quadrada da queda de pressão. As placas de orifício devem garantir uma queda de
pressão de 50,8cm (20in) de coluna d'água até 5,08mca (200in). Medições por via
magnética, térmica, vórtice e Coriólis também são muito utilizadas.
-Nível de líquido: pressão diferencial e bóias são as formas mais simples de medir
nível de líquido.
-Viscosidade: a queda de pressão é a forma mais simples de inferir a viscosidade.
-pH: é uma medida facilmente realizada através de eletrodos de potencial.
-Condutividade, Absorção de ultravioleta e infravermelho: são medidas
importantes que podem ser utilizadas para inferir composição ou em combinação com
outras medidas para fornecer variáveis não mensuráveis.
-Umidade: para sólidos ou gases são necessárias técnicas diversas. Uma forma
simples é medir a condutividade e traduzi-la em unidade.
2.4ELEMENTO FINAL DE CONTROLE
Os elementos finais de controle agrupam todas as variáveis que podem ser
manipuladas. Neste caso temos o ajuste direto ou indireto da variável deseja. O caso de
manipular a vazão de um fluido por ser realizada diretamente restringindo o fluxo de
massa. No caso de manipular a temperatura de uma mistura, é necessária a intervenção
em outra variável como a vazão, por exemplo.
Resistências elétricas podem ser utilizadas como elementos para quantificar
energia e portanto regular temperatura em alguns processos.
9

A manipulação de fluxos materiais é tarefa comum em processos químicos e pode
ser realizada através de válvulas ou pelo controle de velocidade em motores de corrente
contínua ou alternada.
2.4.1 VÁLVULAS DE CONTROLE
Válvulas de controle são equipamentos presentes na maioria dos processos
químicos e consistem de três partes: válvula, atuador e posicionador. Requerem uma
série de especificações para serem utilizadas, sendo as mais comuns dos tipos globo e
esfera.
Os mecanismos de atuação podem ser elétricos ou pneumáticos, sendo os
últimos mais utilizados. Os mecanismos pneumáticos são, basicamente, constituídos por
um diafragma conectado a uma mola e uma haste (plug). Em um dos lados do diafragma
existe uma câmara onde é injetado ar comprimido que pressiona a mola no sentido de
movimentar a haste para abrir ou fechar a válvula. Assim o atuador é dito ar-abre (A-O)
ou ar-fecha (A-C). A forma de atuação pode ser utilizada de acordo com o controlador
(ação direta ou ação reversa) ou por considerações de segurança.
Os posicionadores são os elementos que regulam a pressão (3-15psig) exercida
sobre o diafragma de um atuador de forma a posicioná-lo em uma fração de sua faixa de
trabalho. Os sinais de entrada destes equipamentos são em tensão ou corrente.
Em uma válvula o fluxo é alterado na proporção v=CV.f.(∆P/gs)1/2
. A constante CV
ou coeficiente da válvula é definido pelo fabricante. Dependendo do projeto da válvula
resulta f (característica da válvula) que representa a relação entre quanto a haste do
atuador é movimentada (0≤ L ≤1) e quanto o fluxo é alterado. Desta função resulta uma
classificação destes dispositivos em linear (f=L), Abertura rápida ou raiz quadrada
(f=(L)1/2
) e igual percentagem (f=RL-1
).
10

As figuras que seguem foram extraídas de Chemical Engineers' Handbook (Robert H.
Perry e Don W. Green, Mc Graw Hill).
11

12

13

2.4.2 INVERSOR DE FREQÜÊNCIA
De uma geração mais avançada de dispositivos finais de controle, os inversores
ou variadores de freqüência representam uma excelente solução para o controle de
velocidade de motores. Incorporando possibilidades como comunicação analógica (4-
20mA) e serial (RS232), configuração ampla, controle PID, feedback, reversão de
direção, agenda de set-point (set-point schedule), indicador configurável, etc. permite um
eficiente controle de velocidade de motores trifásicos, mesmo em linhas monofásicas. Os
controle de vazão e nível em correntes bombeadas pode ser realizado por este
dispositivo sem o uso de válvulas de controle.
2.5TRANSMISSÃO DE DADOS
A transmissão de dados por via pneumática acontece através de tubos PVC ou
polietileno de 1/4 ou 3/8 de diâmetro com paredes rígidas, onde os efeitos de propagação
14

do sinal devem ser considerados. Sinais neste formato são, normalmente, transmitidos
por até 200m de distância, respeitadas as condições do meio.
A transmissão elétrica de dados é mais flexível que a anterior e quase imune aos
efeitos dinâmicos da linha de transmissão. Cabos blindados contendo múltiplos fios são
disponíveis para transmissão analógica enquanto para transmissão digital cabos do tipo
par-trançado, cabo paralelo são usados, além dos blindados. A transmissão de dados na
forma de corrente (4-20mA) deve ser preferida pois na forma de tensão (V) os dados são
mais facilmente corrompidos. Cuidados especiais devem ser tomados, entre eles aterrar
os cabos em apenas uma das extremidades, utilizar aterramento adequado, conectar
adequadamente cabos, bem como cabos e equipamentos (terminações). Os efeitos mais
comuns, resultantes de problemas na transmissão são: defasagem (biasing), ruído
(noise) e atenuação.
A transmissão digital torna-se mais vantajosa em grandes instalações onde muitos
equipamentos estão conectados com grande tráfego de dados. Os protocolos mais
utilizados são o serial (RS232 e RS585), o ethernet, e especializados como Fieldbus e o
profibus. A tecnologia HART que utiliza sinais analógicos (4-20mA e digitais (1200bps)
está presente em muitas aplicações.
2.6TRANSDUTORES E TRANSMISSORES
Na prática a nomenclatura de transmissores, sensores e transdutores é confusa.
Alguns profissionais de processos referem-se indistintamente aos casos, contudo isto não
parece adequado, desde que o sinal de um elemento sensor nem sempre é passível de
ser transmitido de forma adequada. É requerido assim um transmissor para exercer as
funções de converter o sinal em outra forma, linearizá-lo e retransmiti-lo. Em certos casos
o transdutor seria representado por um elemento sensor, uma pequena unidade de
processamento de sinal e um transmissor. Os transdutores mais comuns são:
Transdutor V/I: recebe um sinal em tensão (1-5VDC, por ex.) e retransmite em
corrente (4-20mA, por ex.).
Transdutor I/V: recebe um sinal em corrente (4-20mA, por ex.) e retransmite em
tensão (1-5VDC, por ex.).
Transdutor I/P: recebe um sinal em corrente (4-20mA, por ex.) e retransmite em
pressão (3-15psig, por ex.).
Transdutor de pressão: recebe um sinal em pressão e retransmite em corrente ou
tensão. Corresponde ao próprio sensor de pressão na maioria dos casos.
15

Transdutor pt100/I: recebe um sinal de um sensor pt100 (ohm) e retransmite em
corrente.
Transdutor Termopar/I: recebe um sinal de um termopar (mV), realiza a
compensação da junção (referência) e retransmite em corrente.
SCR (silicon-controlled rectifier). recebe um sinal em corrente contínua e varia a
potência aplicada a um elemento de aquecimento.
2.7CARACTERÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS
Algumas características devem ser consideradas quando da definição de um
equipamento, são elas:
-Faixa (range) e span: a faixa compreende os limites do intervalo de trabalho,
enquanto span é o intervalo de trabalho (limite superior - limite inferior).
-Exatidão (Accuracy): diferença entre o valor medido e o valor real ou padrão
aceito. Pode ser expressa na forma do valor absoluto da diferença do valor medido, na
forma de percentual do valor medido, na forma de percentual do limite superior de
medição e na forma de percentual do span (mais comum).
-Resolução: menor alteração na entrada que resulta em uma mudança na saída
do transdutor.
-Precisão: distância entre os valores medidos que pode ser observada com base
em uma certa resolução.
-Repetibilidade: diferença entre medidas para as mesmas condições em um
processo.
2.8HARDWARE DE CONTROLE
PLC ou CLP (controlador lógico programável): atualmente, consiste de um
sistema de sequenciamento digital microprocessado com capacidade para implementar
funções boolenas (OR, AND, NOT, XOR, etc.) dispondo, também de funções
matemáticas (exp, seno, log, etc.), temporizadores, contadores, comunicação via RS232,
RS485 e ethernet. Os CLPs mais sofisticados implementam inclusive controladores
contínuos como PID, onde é permitida interação entre o PID e as funções lógicas
implementadas. Pode ser programado através de linguagens de programação como C,
PASCAL, BASIC, FORNTRAN, Assembler ou através de diagramas lógicos conhecidos
como ladder diagrams.
Mutiplexador: dispositivo que permite direcionar (chavear) uma entrada ou saída
de um dispositivo multiplicando sua capacidade. Neste dispositivo, primeiro é enviado um
16

sinal indicando o caminho deve ser seguido e depois é enviado/recebido o sinal para
este.
Placas ou cartões A/D e D/A: responsáveis por realizar a interface entre um
computador digital e um sinal analógico. Possuem precisão numérica limitada dada pela
quantidade de bits utilizada na representação dos dados. Uma placa com precisão de
12bits pode representar um sinal na faixa de 4-20mA (span=16) com 16/(212
-1)=
0,0039mA de resolução. Assim se um elemento sensor é utilizado para medir
temperatura na faixa de 0-1 000°C, a precisão da medida será 0,24°C, ou seja, "não
existe" diferença entre T=25,1 e 25,2°C.
Computadores e Sistemas digitais: a crescente capacidade computacional e a
produção em série de computadores permitiram à indústria em geral a expansão e
sofisticação dos sistemas de automatização e controle com custo reduzido. Deste fato
resultaram complexas redes de comunicação permitindo um acompanhamento rigoroso
do processo e ajuste contínuo dos objetivos de controle. Também resulta deste fato a
grande quantidade de informações disponibilizada aos operadores e engenheiros de
processos. A aplicação de sistemas digitais no controle de processos implica na
substituição/adequação de muitos sistemas, principalmente os ditos de nível 0 como
sensores e atuadores, para os quais o princípio de operação é intrinsecamente analógico.
Porém conduz a um complexo acoplamento de mecanismos constituindo um sistema de
controle distribuído (DCS- Distributed Control System), que consiste, justamente de
sistemas microprocessados interligados por uma rede digital. Os sistemas interligados
são representados por sensores, atuadores, CLPs, Registradores, Indicadores,
Multiplexadores, Interfaces Homem-máquina, servidores, estações de controle,
controladores, terminais de programação, unidades de backup, etc.
17

Fonte: Chemical Engineers' Handbook
18

2.9SIMBOLOGIA
Para representar as funções dos instrumentos na planta usa-se a notação ISA
com um círculo contendo duas letras ou três letras. A primeira letra corresponde a
variável de processo e a segunda e a terceira correspondem a um modificador de função
ou a função do dispositivo (T= transmissor, C=controlador, I=indicador). Também é
possível identificar a malha de controle inserindo um número abaixo das letras para
indicá-la. Os símbolos mais frequentemente utilizados em diagramas de controle de
processos químicos são:
Medição
Símbolo Significado
TT
Transmissor de temperatura (Temperature Transmitter)
PT
Transmissor de pressão (Pressure Transmitter)
LT
Transmissor de nível (Level Transmitter)
AT
Transmissor de composição (Analysis Transmitter)
FT
Transmissor de fluxo (Flow Transmitter)
Atuação
Válvula de controle com acionamento pneumático por diafragma
Válvula de controle com acionamento por solenóide
Válvula de controle com acionamento por pistão
Válvula de controle com ajuste manual
Bomba
Transmissão/retransmissão
Linha de transmissão elétrica
linha de transmissão pneumática
Sinal indefinido
19

Sinal hidráulico
I/P
Transdutor/conversor corrente para pressão
I/V
Transdutor/conversor corrente para tensão
Controle/Indicação
TC
Controlador de temperatura (Temperature controller)
PC
Controlador de pressão (Pressure controller)
FC
Controlador de fluxo (Flow controller)
TI
Indicador de temperatura
PI
Indicador de pressão
FI
Indicador de fluxo
Exemplo de identificação (fonte: Process Control Fundamentals)
Exemplo de simbologia (fonte: Process Control Fundamentals)
20

Detalhamento da simbologia ISA (fonte: Process Control Fundamentals)
Para uma descrição completa da simbologia de instrumentação pode ser
consultado o guia da Instrument Society of America (ISA).
2.10EXERCÍCIOS
1. Para uma ilustração mais completa segue uma figura retirada de Mazzucco
(2003) para um sistema para polimerização de estireno. Refaça esta ilustração com a
simbologia apresentada.
2. No diagrama abaixo indique a função de cada instrumento numerado e a natureza dos
sinais de medição e controle (elétrico, pneumático, analógico, digital, etc.), bem como a
possível faixa de operação e transmissão de cada instrumento.
21

Água friaÁgua fria
Vapor saturado
AT TT
Produtos(Conc, Temp)
Reagentes(Conc, Temp)
ACI/P A/D
Computador
Controlador
D/A
I/P
I/P
Reator
Trocador de calor
1 2
3 4
5
6
7
3. No fluxograma da coluna de destilação abaixo o engenheiro esqueceu de completar os
instrumentos necessários para compor a malha de controle. Faltou: Na corrente de
alimentação o controle do fluxo de entrada para evitar a inundação da torre. Na saída da
coluna faltou o controle de nível no tambor de refluxo. Na base faltou o controle de nível.
Também faltou incluir o controle de pressão na coluna através do vapor d'água utilizado
no refervedor. Faltou incluir instrumentos para indicar a temperatura e a pressão no topo
e na base da coluna, bem como para indicar os fluxos de líquido nas saídas da coluna e
na alimentação. Faça a proposta de instrumentação e controle da coluna completando o
fluxograma abaixo.
22

Água
Vapor d’água sat.
F1
F2
F3
F21
F22
F31
F32
F4
Condensado saturado
V3L3
V2L2
(vapor benzeno+tolueno)
98,9%benzeno
45% benzeno +
55%Tolueno
(liq. benzeno+tolueno)
1,5%benzeno
Tambor de refluxo
4. [ENC-1998] O fluxograma abaixo representa, de modo resumido, uma unidade para a
produção de etilbenzeno a partir de benzeno e etileno.
A reação de alquilação do benzeno produz, no entanto, não apenas etilbenzeno: reações
sucessivas produzem o benzeno di e trialquilado.
23

Os produtos polialquilados são indesejáveis devido ao baixo preço de mercado. Para
minimizar a produção dos polialquilados, opera-se o reator com excesso de benzeno,
convertendo os polialquilados em etilbenzeno:
Note que quanto maior o excesso de benzeno empregado no reator, mais elevada será a
conversão em etilbenzeno.
Com base nessas informações:
(i) ...;
(ii) considerando a alimentação da coluna A constante, esquematize a forma mais
simples de controlar essa coluna (malha(s) de controle) de modo a garantir a sua
operação estável, mantidas constantes a pressão e a temperatura de operação da
mesma.
Resposta esperada:
5.[ENC-2000] O fluxograma abaixo representa, de modo simplificado, um processo para
produção de acetato de vinila, a partir de etileno (C2H4) e ácido acético (C2H4O2):
24

O reator opera em fase gasosa, empregando paládio como catalisador. As duas
principais reações que ali ocorrem são:
Reações secundárias, não descritas, produzem acetato de etila e compostos de elevada
massa molar (resinas) gerados pela polimerização do acetato de vinila, na descarga do
reator. Os gases que deixam o reator são resfriados e alimentados a uma coluna
lavadora, que separa os componentes condensáveis (água, acetatos, resinas e ácido
acético) dos incondensáveis (dióxido de carbono, etileno e oxigênio). A solução obtida no
fundo da lavadora é fracionada em uma coluna de destilação.
A coluna de destilação fraciona a solução que deixa o fundo da lavadora. Além do
produto principal (acetato de vinila), obtêm-se:
- acetato de etila: tem valor comercial, segue para tancagem e é vendido.
- ácido acético: é reciclado para o processo.
A corrente de água e o produto de fundo da coluna devem ser descartados.
a) ...
b) A corrente de água contém ainda 1% molar de ácido acético como contaminante. A
neutralização do ácido torna-se imperativa antes do seu descarte. Supondo a utilização
de um tanque de neutralização de operação contínua, esquematize a instrumentação
necessária à sua operação automática.
Resposta esperada:
25

6. [ENC-2001] Um reator de hidrogenação catalítica processará uma fração de petróleo a
5 x 106
Pa e 440o
C. O hidrogênio será alimentado em grande excesso, contendo 4% de
CH4, impureza que não toma parte na reação. O efluente do reator deverá ser resfriado
até 220o
C, condensando os compostos subcríticos da mistura, para então ser submetido
a uma expansão súbita (“flash”). A expansão adiabática promoverá a separação dos não-
condensáveis (H2 e CH4) da fase líquida (produto da reação). Para o reaproveitamento do
hidrogênio em excesso, parte da fase gasosa deverá ser recomprimida e reciclada para o
reator (veja o fluxograma abaixo).
a) ...
26

b) Esquematize a instrumentação mínima necessária para manter constante a pressão
na descarga do tambor de “flash”.
Resposta esperada:
A pressão na descarga do tambor de "flash" poderá ser controlada por uma válvula que
regule a vazão de descarga na purga:
7.[ENC 2002] No processo de produção de etanol por fermentação de açúcar, tem sido
sugerido o aproveitamento do dióxido de carbono gerado na fermentação, como
alternativa para melhorar a economia do processo. O fluxograma abaixo representa uma
proposta para uma unidade de recuperação de CO2. Forneça o nome e a função de cada
um dos oito itens indicados no fluxograma.
Resposta esperada:
1. Absorvedora ou coluna de absorção.
Função: remover o O2 e N2 da mistura de gases (CO2 + O2 + N2 + H2O + etanol) retirada
da dorna de fermentação, por absorção do CO2 em um solvente líquido.
2. Trocador de calor.
Função: reduzir a temperatura do solvente líquido, de modo a aumentar a solubilidade do
CO2, para tornar possível a operação de absorção.
3. Coluna de esgotamento (stripping) do CO2.
27

Função: retirar (separar) o CO2 do solvente líquido por aumento de temperatura.
4. Compressor.
Função: aumentar a pressão do gás para permitir a condensação a temperaturas
tecnicamente viáveis.
5. Trocador de calor.
Função: reduzir a temperatura do gás comprimido, facilitando a compressão do segundo
estágio.
6. Coluna de adsorção.
Função: retirar a umidade da mistura gasosa, evitando a formação de gelo no trocador
seguinte.
7. Controlador de nível.
Função: manter o selo líquido no fundo da torre absorvedora.
8. Válvula de segurança e alívio.
Função: impedir danos físicos provocados pela elevação da pressão acima dos níveis
preestabelecidos nos equipamentos.
8.[ENC-2003] Uma empresa está planejando instalar uma coluna de destilação para
recuperar ácido acético de uma corrente de rejeito, objetivando reduzir o seu passivo
ambiental. Uma firma de consultoria submeteu o fluxograma de engenharia simplificado,
apresentado abaixo. O engenheiro revisor identificou dois erros graves que inviabilizam
tecnicamente o projeto, assinalando-os no fluxograma. Apresente as razões que levaram
o engenheiro a apontar esses dois erros.
Resposta esperada:
28

– A válvula VG02 está sendo controlada pelo nível do tambor de refluxo. Isso impede que
se possa estabilizar a vazão do refluxo (em conseqüência, a razão de refluxo) em um
valor adequado para a separação desejada, tornando o controle da qualidade do produto
de topo impraticável.
– A corrente de fundo da coluna de destilação é de líquido saturado. Nessas condições, a
instalação de uma válvula de controle na sucção da bomba poderá provocar a cavitação
na bomba.
9. [ENADE-2008] Propõe-se um novo processo para produzir 1,2-butadieno a partir do
butano. Emprega-se para isso um reator que opera em fase líquida, com catalisador na
forma de partículas sólidas muito finas, dispersas no líquido, operando a 80 oC e 9 bar. A
figura abaixo mostra o fluxograma do processo.
Memorial Descritivo:
Butano é alimentado ao reator pela corrente 1. No reator ocorre a reação: C4H10 −>C4H6 +
2H2 com conversão de 60% da carga. A descarga é feita pela evaporação dos produtos e
do reagente, que deixam o reator pela corrente 2, de modo a evitar operações para a
recuperação do catalisador. O condensador parcial TC1 condensa e resfria parte da
descarga. O vaso V1 separa a fase líquida do hidrogênio formado. A fase líquida é
separada na destiladora T1, obtendo-se no fundo o 1,2-butadieno com pureza de 98%
molar. O butano é recuperado no topo da torre e reciclado para o reator. A destiladora
opera a uma pressão de 2,7 bar. Analisando o processo proposto, constata-se que a:
29

(A) produção da unidade será controlada de forma muito eficiente pelo medidor de vazão
instalado na corrente de butadieno que deixa o fundo da torre destiladora.
(B) corrente 3, que descarta o hidrogênio formado na reação a partir do vaso V1, sairá
saturada com butano e 1,2-butadieno, o que exigirá a instalação adicional de uma torre
lavadora (scrubber) para reduzir as perdas desses compostos.
(C) pressão de operação da torre destiladora, sabendo-se que a saturação do butano a
2,7 bar ocorre a 28o
C, está adequada ao uso de água como fluido de resfriamento do
condensador de topo, como proposto no fluxograma.
(D) válvula de controle instalada na tubulação que deixa o fundo da torre e que controla o
nível do selo líquido está na posição correta.
(E) destiladora pode ser substituída por um tambor flash, que permitirá a separação do
1,2-butadieno na pureza desejada (98% molar), com evidente economia no capital
investido e na energia empregada na separação.
Resposta esperada:
O item correto é a letra B.
30

3 MODELAGEM DE PROCESSOS QUÍMICOS
31

O modelo de um processo corresponde à representação matemática dos sistemas
por este contidos. Isto não significa que o comportamento de um sistema deve ser
conhecido com exatidão, mas apenas com precisão suficiente para a proposta em que
este está inserido. Em processos químicos, estão envolvidas transformações físicas e
químicas. Desta forma, o modelo deve considerar aspectos relevantes como cinética
química, efeitos das transferências de calor, massa e quantidade de movimento,
termodinâmica, relações empíricas e efeitos físicos como dissipação elétrica, mecânica,
etc. É oportuno ressaltar que nem sempre o modelo mais preciso é o mais adequado
para todas as situações. Também deve ser considerado que para certos propósitos os
modelos fenomenológicos (teóricos) podem ser substituídos por modelos empíricos e
estatísticos.
A modelagem matemática, de acordo com a forma, é útil em casos diversos,
destacando-se: Simulações de comportamento em situações variadas, treinamento de
operadores, análise de risco (manual de segurança), otimização das condições de
operação, projeto de sistemas de controle e controladores, ajuste de controladores e
alterações no processo.
3.1MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
A modelagem fenomenológica de processos químicos está baseada nos
princípios de conservação da massa, energia e quantidade de movimento. Estas
quantidades são determinadas, entre outras, a partir de medidas de características físicas
e químicas como densidade, concentração, temperatura, fluxo volumétrico, velocidade
linear, pressão, capacidade calorífica, condutividade térmica, etc.. Os modelos de
processos químicos podem abordar casos em regime permanente (estado estacionário)
ou em estado transiente. Os modelos dinâmicos (estado transiente) são descritos por um
sistema de uma ou mais equações diferenciais ordinárias ou parciais e equações
algébricas. Os sistemas estáticos, por sua vez podem ser caracterizados pelos mesmos
tipos de equações, porém excluindo-se a dependência do tempo.
As equações baseadas nos princípios de conservação (balanços), em processos
químicos, requerem também equações ditas constitutivas, onde estão contemplados
efeitos como taxa de reação, equilíbrio termodinâmico, taxas de transferência de calor,
massa e quantidade de movimento, taxa de crescimento microbiano, estimativas
populacionais, etc.
32

Em um sistema estipulado, os balanços procedem a partir dos princípios de
conservação.










−










+




















−




















=










Sistemano
Consumo de
Sistemano
Geração de
massa
decorrentesdas
ouasvizinhanç
ra asSistema pa
do
cia deTransferên
massa
decorrentesdas
oueirasdas front
travésSistema a
para o
cia deTransferên
no Sistema
Acúmulo de
}...{}...{
}...{}...{
}...{
Para massa e energia temos:
F1
F2
Sistema
dE/dt= ∆E=∆U(t)+ ∆K(t)+ ∆P(t)
dm/dt
∆U=U(t)-U(t-∆t)
∆K=K(t)-K(t-∆t)
∆P=P(t)-P(t-∆t)
Q
W
saídasii
n
ientradasii
n
i
S HFHFWQ
dt
dE
11
..
==
∑−∑+−= ; com
[ ]
dt
PKUmd
dt
dE )( ++
=
∑∑ −+−= SWQHFHF
dt
dE
2211
221121
)(
vv ρρ
ρ
−==−=
dt
Vd
FF
dt
dm
∫+−=
V
iii
i
dVrFF
dt
dm
21
Onde
Fj: Fluxo de massa (ou molar) ou vazão mássica de uma corrente (massa/tempo)
Fij: Fluxo de massa ou vazão mássica da espécie i numa corrente j (massai/tempo)
ri: Taxa de reação química da espécie i (massa ou mols de i/Volume.tempo)
V: Volume do Sistema
m: Massa do Sistema
mi: Massa da espécie i no Sistema
vj: Fluxo volumétrico ou vazão volumétrica da corrente j (volume/tempo)
ρj: densidade da corrente j
H: Entalpia por unidade de massa (ou molar)
K: Energia cinética por unidade de massa (ou molar)
P: Energia potencial por unidade de massa (ou molar)
33

K: Energia Interna por unidade de massa (ou molar)
WS: Fluxo de energia na forma Trabalho de eixo (work shaft)
Q: Fluxo de energia na forma de Calor.
Destacam-se, neste caso duas equações constitutivas:
- Transferência de calor: Q= U.ATC.(Tvizinhanças-Tsistema)
- Cinética da reação ∏
−
=
k
n
k
RT
E
i
k
A
CeAr .
onde:
U: Coeficiente global de transferência de calor
ATC: Área para transferência de calo
A= Fator de freqüência ou pré-exponencial.
EA=Energia de Ativação da reação.
R= Constante dos gases ideais
T=Temperatura em escala absoluta
Ck= Concentração mássica ou molar da espécie k
nk= ordem da reação em relação a espécie k
É claro que esta representação é geral e portanto não contempla muitos casos de
engenharia, por isso serão desenvolvidos modelos para alguns casos típicos de
processos químicos.
3.1.1 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE ESTOQUE DE LÍQUIDO
F1
F2
h
D
34

Trata-se de um tanque continuamente alimentado com líquido, cujo nível deste (h)
depende dos fluxos de entrada e saída. Por sua vez, o fluxo de saída depende do nível
de líquido no tanque.
Balanço de Massa Global no interior do tanque:
21 FF
dt
dm
−=
2211
)(
vv ρρ
ρ
−=
dt
Vd
2211
)()(
vv ρρ
ρ
ρ
ρρ
−=
∂
∂
+
∂
∂
dt
dV
dt
dV
V
V
2211 vv ρρρ −=
dt
dV
21 vv −=
dt
dh
A ; com A= πD2
/4
A equação de Bernoulli para o escoamento em uma restrição descreve a vazão na
saída do tanque em proporção à pressão exercida na restrição (válvula):
2/1
22 )( PPCV −=v
Considerando descarga livre:
P=Patm+ρgh
Assim:
2/1
2 )( ghPPC atmatmV ρ+−=v
( )
A
ghC
dt
dh V
2/1
1 )(ρ−
=
v
Ao invés da equação de Bernoulli o escoamento na saída poderia ser
representado através da analogia com a lei de Ohm para circuitos elétricos onde a
diferença de potencial é diretamente proporcional ao produto da corrente elétrica pela
resistência oferecida pelo elemento considerado. Neste caso, sendo RV a resistência ao
escoamento oferecida pela válvula:
h=v2RV (U=IR na eletricidade)
v2= h/RV
h
ARAdt
dh
V
11
−=
v
35

Observe que a mudança na representação do modo de escoamento produziu uma
equação diferencial não linear no primeiro caso e uma linear no segundo. As implicações
disto serão discutidas oportunamente.
3.1.2 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE AQUECIMENTO POR VAPOR
F1
F2
F3
F4
h
D
Trata-se de um tanque de aquecimento encamisado onde é utilizado vapor d'água
saturado como fonte de energia. O vapor deixa a camisa como condensado saturado em
uma temperatura T4.
21 FF
dt
dm
−=
2211
)(
vv ρρ
ρ
−=
dt
Vd
2211
)()(
vv ρρ
ρ
ρ
ρρ
−=
∂
∂
+
∂
∂
dt
dV
dt
dV
V
V
2211 vv ρρρ −=
dt
dV
21 vv −=
dt
dh
A ; com A= πD2
/4
( ) A
dt
dh
/21 vv −=
Balanço de energia no interior do tanque:
∑∑ −+−= SWQHFHF
dt
dE
2211
36

Considerando que não há acúmulo das energias cinética e potencial, admitindo fluido
incompressível e trabalho desprezível:
QHFHF
dt
mHd
+−= 2211
)(
QHFHF
dt
mdH
dt
Hdm
+−=+ 2211
Com CP=cte:
( ) ( ) QTTCFTTCF
dt
dT
mC
dt
dm
TTC refPrefPPrefP +−−−=+− )()()( 222111
( ) ( ) QTTCFTTCF
dt
dT
mC
dt
dh
ATTC refPrefPPrefP +−−−=+− )()()( 222111ρ
Substituindo o balanço de massa e fazendo Tref=0:
QTCFTCF
dt
dT
mCTC PPPP +−=+− 22211121 )( vvρ
QTCTCTC
dt
dT
AhC PPPP +−−−= )( 2122221111 vvvv ρρρρ
Com ρ=ρ1=ρ2; CP= CP1= CP2; T=T2:
QTCTTC
dt
dT
AhC PPP +−−−= )()( 21211 vvvv ρρρ
QTTC
dt
dT
AhC PP +−= )( 11vρρ
)/()/()( 11 PAhCQAhTT
dt
dT
ρ+−= v
Incorporando a equação para transferência de calor, Q= UATC(T4-T):
Ah
C
TT
dt
dT P
T)-(T
A
)( 4
TC
11
ρ
U
+−
=
v
37

3.1.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM CSTR COM TROCA TÉRMICA
vA0,CA0
vA1,CA1, T1
T0
vA2, T2
vA3, T3
CA, T
Trata-se de um reator químico em regime de operação contínua, perfeitamente agitado,
onde ocorre uma reação A→B, de primeira ordem. A reação é exotérmica, assim o reator
é resfriado por uma correntede FA2 a uma temperatura T2. O nível de líquido no tanque é
constante bem como a densidade da mistura.
0=
dt
dm
(densidade e nível constantes)
Balanço Molar para a espécie A:
VrFF
dt
dN
AAA
A
+−= 10
VrCC
dt
dC
V AAA
A
+−= 1100 vv
( ) AAA
A
rCC
Vdt
dC
+−= 1100
1
vv
Balanço Molar para a espécie i qualquer em relação ao reagente limite A:
iiAi
i
FFVr
dt
dC
V −+−= 0ν
onde:
νi=coeficiente esteq. de i / coeficiente esteq. de A: (+) prod., (-) reag.
)(0 XFF iiAi ν+Θ= ; com Θi=Fi0/FA0
Balanço de energia no interior do tanque:
s
saídas
I
i
ii
entradas
I
i
ii WQHFHF
dt
dE
−+−= ∑∑ == 11
; com (Fi=Civ)
A energia total do sistema é a soma dos produtos das energias específicas, Ei, das várias
espécies no volume do sistema pelo número de mols destas espécies.
38

E=∑=
n
i
ii EN
1
Negligenciando as mudanças nas energias cinética e potencial e mantendo a energia
interna U, obtemos a entalpia Hi.
E=∑ ii EN = ∑i
iiUN = ∑ − )ˆ( iii VPHN
Onde Vi é o volume molar (L/gmol)
Diferenciando em relação ao tempo e substituindo na equação do balanço de energia:
∑ ∑
∑
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
t
VNP
t
Ni
H
t
H
N
ii
i
i
i
)ˆ(
=∑ ∑− saídaiientradaii HFHF +Q
Considerando que não há acúmulo das energias cinética e potencial, admitindo fluido
incompressível e trabalho desprezível:
=−+∑ ∑ dt
dP
V
dt
dC
VH
dt
dT
VCC i
ipii
QHFHF iiii +−∑ ∑00 , com (Fi0=Ci0v0)
Como o balanço molar para a espécie i, negligenciando a variação da pressão total e
considerando o caso de nenhuma mudança de fase, a equação fica:
( ) ∑ ∑∑ ∑∑∑ −+=−+−+ iiiiiiiiAiiipi HFHFQHFHFVrH
dt
dT
CCV 000ν
Rearranjando:
)()( 00 VrHHHFQ
dt
dT
CCV AiiiiiiPi −−−−= ∑∑∑ ν
Como Hi =CPi(T-Tref) e Fi0=FA0Θi , T1=T; CA1=CA e admitindo CP médio:
∑∑ ==
−∆−−Θ−=
n
i
ARipiiA
n
i
iPi VrHTTCFQ
dt
dT
CCV
1
00
1
)()(
onde:
0
0
i
T
T
pi
pi
TT
dTC
C i
−
=
∫
dTCTHTH
T
T
pR
o
RR
R
∫ ∆+∆=∆ )()(
∑∑ −=∆
reagentes
i
Pii
produtos
i
Piip CCC νν
Para uma reação em fase líquida a seguinte aproximação é freqüentemente realizada:
39

∑ ∑∑ =Θ=≅ PSAPiiAiPiiPi CCCCCCCC 000
onde, CPS é a capacidade calorífica da solução. Com esta aproximação, assumindo que
todas as espécies entram com a mesma temperatura T0, incorporando a equação para
transferência de calor e considerando mistura perfeita na camisa, Q= UATC(T3-T):
.
0030 )()()( VrHTTCFTTA
dt
dT
VCC ARPSATCPSA −∆−−−−= U
PSA
A
RT
E
R
PSA
TC
CC
CAeH
V
TT
VCC
TTA
dt
dT
A
0
00
0
3 )()(
−
∆
−
−
−
−
=
vU
3.1.4 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA COLUNA DE ABSORÇÃO
L G
xf y3
L
x3
G
y2
L
x2
G
y1
L G
x3
yf
L
xi+1
G
yi
L
xi
G
yi-1
i
Trata-se de uma coluna de absorção de três estágios onde é injetado um gás na base e
um dos componentes deste é absorvido em um líquido, cuja corrente é alimentada no
topo. G e L representam os fluxos molares das respectivas correntes, bem como yf e xf
representam as frações molares do componente absorvido nas correntes de gás e
líquido, respectivamente. Este equipamento é, freqüentemente, associado em série para
40

aumento de capacidade. Em cada estágio da coluna será considerado contato perfeito,
de forma que o componente absorvido esteja em equilíbrio nas correntes de gás e líquido
que deixam cada estágio.
Balanço de massa global (mols)
GLGL
dt
dN
ff −−+=
Considerando densidade constante (invariável com a mudança de concentração) e nível
de líquido constante em cada estágio:
0=
dt
dN
Balanço molar para o componente absorvido (A) no estágio i:
AiAiiAiA
Ai
GyLxGyLx
dt
dN
−−+= −+ )1()1(
)()( )1()1( AiiAAiiA
Ai
yyGxxL
dt
dN
−+−= −+
Da condição de equilíbrio:
yAi=axAi+b
Como NAi=NxAi
)()( )1()1( baxbaxGxxL
dt
dx
N iiAAiiA
Ai
−−++−= −+
)1()1( )( +− ++−= iAAiiA
Ai
LxaGLxaGx
dt
dx
N
Como N=ρV/Mol e L=ρv/Mol, dividindo a equação por L:
)1()1( )1( +− ++−= iAAiiA
Ai
x
L
aG
xx
L
aG
dt
dx
L
N
Para o primeiro estágio:
)()( 112
1
AAfAA
A
yyGxxL
dt
dx
N −+−=
)( 112
1
baxy
L
G
xx
dt
dx
L
N
AAfAA
A
−−+−=
)()1(12
1
by
L
G
L
aG
xx
dt
dx
AfAA
A
−++−=τ
Para o segundo estágio:
321
2
)1( AAA
A
x
L
aG
xx
L
aG
dt
dx
++−=τ
41

Para o terceiro estágio:
AfAA
A
x
L
aG
xx
L
aG
dt
dx
++−= )1(32
3
τ
Onde:
L
aG
= fator de Stripping
L
G
= razão gás-líquido
τ=tempo médio de residência
As equações para os três estágios são combinadas pois a composição em um estágio
depende dos estágios adjacentes.
3.1.5 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA TROCADOR DE CALOR DUPLO TUBO
vapor (TS)
condensado (TS)
z
z=0 z=L
Fluido
v ; Tz(0,t)
Fluido
v ; Tz(L,t)
Trata-se de um trocador de calor tipo duplo tubo com operação em contracorrente. A
corrente quente é caracterizada por vapor saturado numa temperatura TS e a corrente fria
é sujeita a um perfil de temperatura ao longo do comprimento do tubo (z) e ao longo do
tempo.
Para tornar mais realística esta modelagem, será assumido que a resistência
térmica na parede do tubo interno é significante, de forma que a temperatura da parede
não possa ser admitida nem como TZ nem como TS e exista um perfil de temperatura na
parede ao longo do tempo e do comprimento (z), ou seja, TP=TP(z,t).
Balanço de energia no conteúdo do tubo interno:
QHH
dt
dH
zzz
V
+−=





∆+
∆
vv ρρ
42

QTTCTTC
dt
dT
VC refzzPrefzP
V
P +−−−=





∆ ∆+
∆
)()( vv ρρρ
QTTC
dt
dT
zCA zzzP
z
PS +−=∆ ∆+ )(vρρ
)()( zzPVTCzzzP
z
PS TTAhTTC
dt
dT
zCA −+−=∆ ∆∆+vρρ
)(
)(
zzP
zzz
P
z
PS TT
z
zDh
z
TT
C
dt
dT
CA −
∆
∆
+
∆
−
= ∆+ π
ρρ v
Aplicando o limite quando ∆z→0:
)( zzP
z
P
z
PS TTDh
z
T
C
t
T
CA −+
∂
∂
−=
∂
∂
πρρ v
onde:
ρ= densidade do fluido
As= área da seção transversal (πD2
/4)
D= diâmetro do tubo interno (exceto espessura do casco)
TP= temperatura na parede
h= coeficiente de transferência de calor do fluido
v= fluxo volumétrico (volume/tempo)
)( zzP
PS
z
S
z
TT
CA
Dh
z
T
At
T
−+
∂
∂
−=
∂
∂
ρ
πv
O termo
Dh
CA PS
π
ρ
é o tempo característico de aquecimento do fluido (τQ):
)(
1
zzP
Q
z
S
z
TT
z
T
At
T
−+
∂
∂
−=
∂
∂
τ
v
Balanço de energia no casco do tubo interno:
)()()()()( zzPzPSeS
P
PPPSP TTDhTTDh
t
T
CA −−−=
∂
∂
ππρ
onde:
ρ(P)= densidade do material do tubo
As(P)= área da seção transversal (πDe
2
/4-πD2
/4)
De= diâmetro externo do tubo interno (com espessura do casco)
TP= temperatura na parede
TS= temperatura do condensado (saturado)
CP(P)=capacidade calorífica do material do tubo
43

hS= coeficiente de transferência de calor do condensado(exterior)
h= coeficiente de transferência de calor do fluido (interior)
)()(
)()()()()()(
zzP
PPPSP
zPS
PPPSP
eSP
TT
CA
Dh
TT
CA
Dh
t
T
−−−=
∂
∂
ρ
π
ρ
π
)(
1
)(
1
zzP
Pz
zPS
SP
P
TTTT
t
T
−−−=
∂
∂
ττ
Resumo: as duas equações resultantes representam os perfis de temperatura no fluido
frio e nas paredes do tubo interno.
)(
1
zzP
Q
z
S
z
TT
z
T
At
T
−+
∂
∂
−=
∂
∂
τ
v
)(
1
)(
1
zzP
Pz
zPS
SP
P
TTTT
t
T
−−−=
∂
∂
ττ
As equações são dependentes e constituem um problema de valor de contorno. Assim, é
requerido que se conheça as condições de contorno. Estas condições podem ser obtidas
considerando operação em estado estacionário:
)(
1
0 zzP
Q
z
S
TT
z
T
A
−+
∂
∂
−=
τ
v
)(
1
)(
1
0 zzP
Pz
zPS
SP
TTTT −−−=
ττ
desta forma isolando TP na última equação, substituindo na anterior e resolvendo a
equação diferencial ordinária resultante obtém-se Tz e TP em z=0 e em z=L. Com as
condições iniciais definidas e lembrando que Tz= Tz(z,t) e Tw= Tw(z,t) temos Tz(0,0) e
Tz(L,0). A solução numérica das e.d.p. (equação diferencial parcial) pode ser obtida pela
discretização destas em z de forma que um sistema de e.d.o. (equação diferencial
ordinária) será obtido. A discretização pode ser efetuada aproximando a derivada parcial
e z pelo método das diferenças finitas:
z
TT
z
T jzjzz
∆
−
=
∂
∂ − )1()(
Isto equivale a dividir, longitudinalmente, o tubo resolvendo as e.d.o. resultantes para
cada fração de tubo obtendo assim ao final de cada integração a temperatura de cada
seção que corresponde a condição inicial da seção seguinte. A solução das e.d.o. para a
última fração fornecem Tz(L,t) e Tw= Tw(L,t).
As equações discretizadas ficam:
44

)(
1
)()(
)1()()(
jzjP
Q
jzjz
S
jz
TT
z
TT
Adt
dT
−+
∆
−
−=
−
τ
v
)(
1
)(
1
)()()(
)(
jzjP
Pz
jPS
SP
jP
TTTT
dt
dT
−−−=
ττ
Observe que para N divisões no tubo serão obtidas 2N e.d.o. e que a precisão desta
solução numérica é tanto maior quanto maior for o valor de N. Este modelo difere dos
anteriores por constituir um modelo a parâmetros distribuídos, enquanto os anteriores
correspondem a modelos a parâmetros concentrados.
3.2SOLUÇÃO NUMÉRICA COM MATLAB E OCTAVE
Os exemplos apresentados podem ser resolvidos com GNU Octave através das
subrotinas lsode(...) e ode45(...). No MathWorks Matlab a subrotina ode45(...) pode ser
utilizada. Nos dois pacotes de solução numérica os procedimentos são idênticos. No
exemplo anterior foi utilizado GNU Octave .
3.3EXERCÍCIOS
1. Desenvolva a solução numérica para o modelo do trocador de calor duplo tubo.
2. Entre os exemplos trabalhados está o modelo de esvaziamento e enchimento de um
tanque de estoque de líquido. No modelo trabalhado, a área da seção transversal é
constante. Faça o modelos para um tanque cônico:
45

3. (ENADE 2008) Pseudocódigo é uma forma genérica de se escrever um algoritmo, da
forma mais detalhada possível, utilizando-se uma linguagem simples, nativa a quem o
escreve, de modo a ser entendida sem necessidade de se conhecer a sintaxe de uma
linguagem de programação específica. Apresenta-se abaixo o pseudocódigo de um
algoritmo capaz de resolver equações diferenciais da forma , freqüentemente
encontrada em problemas de modelagem em engenharia.
Uma forma equivalente, e algumas vezes complementar, ao pseudocódigo, utilizada para
se representar um algoritmo é o diagrama de fluxos (fluxograma). Que fluxograma
representa, de modo mais preciso, o pseudocódigo descrito acima?
46

(A) (B) (C)
(D) (E)
47

4 TRANSFORMADA DE LAPLACE E LINEARIZAÇÃO DE
SISTEMAS
48

A modelagem matemática (dinâmica) de processos recai em E.D.O.s que estão
sujeitas às soluções analítica ou numérica. Quando as equações que descrevem um
sistema são equações diferenciais lineares é conhecida uma ferramenta matemática
chamada Transformada de Laplace que permite a solução rápida e simplificada destas. A
ferramenta consiste em transformar uma E.D.O em uma equação algébrica (E.A.) em um
domínio transformado chamado Domínio de Laplace onde a equação é resolvida. Obtida
a solução neste domínio transformado procede-se a operação inversa e a solução no
domínio do tempo é obtida.
4.1DEFINIÇÃO
O domínio de Laplace ou domínio s é obtido pela transformação de uma função
f(t), no domínio do tempo, pela integração da função f(t) multiplicada por e-st
, com t0=0 e
t=∞.
( ) ∫
∞
−
==
0
)()()( dtetfsFtf st
L
F(s) representa a função f(t) transformada para o domínio de Laplace e L é o operador de
Laplace. O operador inverso de Laplace L-1
(F(s)) transporta a função F(s) para o domínio
original (tempo).
4.2PROPRIEDADES
Para que uma função f(t) seja transformada usando o operador de Laplace é
requisito básico que a função seja contínua para t>0. Além disso a transformada de
Laplace é uma operação linear, ou seja satisfaz o princípio geral da superposição:
L(af1(t)+bf2(t))=[aL(f1(t))]+ [bL(f2(t))]=aF1(s)+bF2(s)
onde f1 e f2 são funções no tempo e a e b são constantes.
4.3OPERAÇÕES NO DOMÍNIO S
As regras básicas para operações no domínio s são:
L(f1(t) + f2(t))=F1(s) + F2(s)
L(f1(t) - f2(t))=F1(s) - F1(s)
L(af(t))= aF(s)
L(f(t-θ))=e-θs
F(s)
L(df(t)/dt)=sF(s)-f(0)
L(d2
f(t)/d2
t)=s2
F(s)-sf(0)-df/dt(0)
49

L(dn
f(t)/dn
t)=sn
F(s)-sn-1
f(0)-...dfn-1
/d n-1
(0)
L( ∫
t
dttf
0
)( )=F(s)/s
Tabela 4.1- Transformadas de Laplace
f(t) F(s) observação
)(tδ 1 impulso unitário
função delta de Dirac
S(t)
S(t)=0 para t<0 e S(t)=1 para t≥0 s
1
degrau unitário
a
s
a
(a: constante)
t
2
1
s
rampa unitária
tn-1
( )
n
s
n !1−
e-bt
bs +
1 crescimento
exponencial
1-e-bt
)( bss
b
+
decaimento
exponencial
e-t/τ
(1/τ)
1
1
+sτ
(tn-1
e-bt
)/(n-1)!
n
bs )(
1
+
com n>0
tn-1
e-t/τ
/(τn
(n-1)!)
n
s )1(
1
+τ
(e-bt
- e-at
)/(a-b)
))((
1
bsas ++
(e-t/τ
1- e- t/τ
2)/(τ1-τ2)
)1)(1(
1
21 ++ ss ττ
(c-a)/(b-a)ea
t+
(c-b)/(a-b)e-b
t ))((
)(
bsas
cs
++
+
1/τ1(τ1-τ3)/(τ1-τ2)e-t/τ
1+
1/τ2(τ2-τ3)/(τ2-τ1)e-t/τ
2
)1)(1(
1
21
3
++
+
ss
s
ττ
τ
1-e-t/τ
)1(
1
+ss τ
sen(ωt)
22
ω
ω
+s
senóide
cos(ωt)
22
ω+s
s
co-senóide
50

sen(ωt+φ)
22
)sen()cos(
ω
φφω
+
+
s
s
e-a/t
sen(ωt)
22
)( ω
ω
++ as
(a, ω:real)
senóide amortecida
e-a/t
cos(ωt)
22
)( ω++
+
as
as (a, ω:real)
co-senóide
amortecida
)1/sen(
1
1 2/
2
ζτ
ζτ
τζ
−
−
−
te t
12
1
22
++ ss ζ ττ (0≤|ζ|<1)
1+(τ1e-t/τ
1-τ2e-t/τ
2)/( τ2-τ1)
)1)(1(
1
21 ++ sss ττ
( τ1≠τ2)
)1/sen(
1
1
1 2/
2
ζτψ
ζ
τζ
−+
−
− −
te t
)12(
1
22
++ sss ζ ττ
(0≤|ζ|<1)
)
1
(tan
2
1
ζ
ζ
ψ
−
= −
)1/sen(
1
)1/cos(1
2
2
2/
ζτ
ζ
ζ
ζττζ
−
−
+−− −
t
te t
)12(
1
22
++ sss ζ ττ (0≤|ζ|<1)
1+(τ3-τ1)/(τ1-τ2)e-t/τ
1+
(τ3-τ2)/(τ2-τ1)e-t/τ
2
)1)(1(
1
21
3
++
+
sss
s
ττ
τ
( τ1≠τ2)
e-at
/((b-a)(c-a))+
e-bt
/((c-a)(a-b))+
e-ct
/((a-c)(b-c))
))()((
1
csbsas +++
(e-at
-e-bt
)/(b-a)
))((
1
bsas ++
df()/dt sF(s)-f(0) Equação Diferencial
Ordinária (EDO) de
1a
ordem
dn
f()/dtn
0
1
1
0
2
2
0
2
1
...
)0()(
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−−
−−
t
n
n
t
n
n
t
n
nn
dt
fd
dt
fd
s
dt
df
s
fssFs
=
∑
−
= =
−
−
−
−
−−
1
1 0
1
1
)0()(
n
i t
in
in
i
nn
dt
fd
s
fssFs
EDO de ordem n
∫
t
dttf
0
)(
F(s)/s
integral
51

A Tabela 4.1 é utilizada nas mudanças de domínio t→s e s→t, sendo necessário primeiro
obter formas para f(t) e F(s) que nela se enquadrem. Tabelas mais completas podem ser
obtidas em livros de cálculo.
4.4TEOREMAS DOS VALORES INICIAL E FINAL
O valor de uma função f(t) quando t→∞, ou seja, )(lim)( tfy
t ∞→
=∞ pode ser
determinado, no domínio de Laplace com Re(s)≥0 (parte real de s) para todo s, pela
expressão:
)(lim)(
0
ssFy
s→
=∞
Da mesma forma o valor inicial de uma função f(t) quando t→0, ou seja,
)(lim)0(
0
tfy
t→
= pode ser determinado, no domínio de Laplace, pela expressão:
)(lim)0( ssFy
s ∞→
=
Obs.: Re(s)≥0 para todo s é a condição para que a função sF(s) seja contínua. Caso a
função não seja limitada, no domínio do tempo, o teorema não pode ser aplicado.
Observa-se isto se, ao menos, uma das raízes do denominador de F(s) for positiva ou for
um número complexo com parte real nula e parte imaginária positiva ou for um número
complexo com parte real positiva e parte imaginária com qualquer sinal. Estes teoremas
não podem ser aplicados se f(t) não for assintótica.
4.5TRANSLAÇÃO DA FUNÇÃO NO TEMPO
A translação do tempo (time delay) consiste em um atraso no aparecimento da
resposta de uma função após um estímulo (entrada). Em engenharia de processos é,
mais comumente, referida como tempo morto (dead time). O tempo morto, na maioria
dos processos químicos, é caracterizado pelo atraso de transporte resultante do
escoamento de fluidos em tubos.
Matematicamente, uma função f(t) atrasada no tempo em θ unidades de tempo
pode ser representada por:
g(t)=f(t-θ)S(t-θ)
52

Onde: S é a função degrau definida como S(t-θ)=0 para t<θ e S(t-θ)=1 para t≥θ
Assim a transformada de f(t-θ) fica:
L(g(t))=L(f(t-θ)S(t-θ))=e-θs
F(s)
4.6TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA
De forma diferente da translação no tempo, a translação da transformada aparece
no domínio de Laplace e não possui o mesmo significado. A translação da transformada
é o resultado da existência de funções exponenciais no domínio do tempo. Ou seja:
L(e-at
f(t))= F(s+a)
Esta definição é extremamente útil na determinação da transformada inversa. Por
exemplo: determinar a transformada inversa de 2
)(
1
)(
as
sF
+
= .
Solução:
( ) 





+
= −−
2
11
)(
1
)(
as
LsFL
Da tabela:
f(t) F(s)
(tn-1
e-bt
)/(n-1)!
n
bs )(
1
+
Assim:
f(t)= (t2-1
e-at
)/1!
f(t)= te-at
O mesmo resultado seria obtido pela translação da transformada:
te
as
Lentãot
s
Lse at−−−
=





+
=





2
1
2
1
)(
1
)(
1
De forma semelhante, quando no domínio do tempo aparece e-at
f(t) a
transformada deste produto pode ser obtida a partir da transformada de f(t), L(f(t)),
fazendo s=s+a no domínio de Laplace. Por exemplo:
Determinar a transformada de f(t)= e-at
sin(ωt).
Solução:
( ) ( ))sen()( teLtfL at
ω−
=
Da tabela:
53

f(t) F(s)
e-a/t
sen(ωt)
22
)( ω
ω
++ as
Assim:
F(s)= 22
)( ω
ω
++ as
O mesmo resultado seria obtido pela translação da transformada:
( )
( ) 22
22
)(
)sen(
)sen(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
++
=
+=
+
=
−
as
teL
assfazer
então
s
tLse
at
Outro exemplo:
18,0
3
)( 2
++
=
ss
sY
Vamos alterar a forma do denominador da equação completando o quadrado da equação
do segundo grau:
4,0
222
84,0
3
84,0)4,0(
3
18,0
3
)(
+→+
=
++
=
++
=
ssssss
sY








+
= −−
84,0
84,0
84,0
3
)( 2
14,0
s
Lety t
sen(ωt)
22
ω
ω
+s
))84,0((
84,0
3
)( 4,0
tsenety t−
=
4.7COMO OPERAR A TRANSFORMA INVERSA
Dado que uma função F(s) pode ser separada em funções parciais na forma
F(s)=F1(s) + F2(s)+...+Fn(s), a transformada inversa de Laplace pode ser obtida a partir
das transformas das funções ou frações parciais, ou seja:
F(s) =F1(s) + F2(s)+...+Fn(s)
L-1
(F(s))= L-1
(F1(s)) + L-1
(F2(s))+...+ L-1
(Fn(s))
f(t)= f1(t) + f2(t) +...+ fn(t)
54

O seguinte algoritmo representa a inversão da transformada:
algoritmo inversão
<<Expandir a função F(s) em uma série de frações parciais>>
<<Determinar todas as constantes da série de frações parciais>>
<<Determinar a transformada inversa de cada uma das frações parciais>>
<<Compor a função no domínio do tempo>>
fim
Problemas de controle de processos envolvem, freqüentemente, problemas na
forma chamada zero-pólo:
∏
∏
=
=
−
−
== N
n
n
M
m
m
ps
zsK
1
1
)(
)(
P(s)
Z(s)
F(s) ; com N≥M
Para este modelo as frações parciais podem ser obtidas de acordo com os pólos (raízes
do denominador) da equação.
4.7.1 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES DISTINTAS
Para raízes distintas, reais ou complexas a seguinte expansão pode ser realizada:
∑
∏
∏
=
=
=






−
=
−
−
==
N
n n
n
N
n
n
M
m
m
ps
c
ps
zsK
1
1
1
)(
)(
P(s)
Z(s)
F(s)
Ex.: determinar a transformada inversa da função F(s)=(s+1)/[(s+2)(s+3)].
A expansão em frações parciais fica:
32)3)(2(
)1(
F(s) 21
+
+
+
=
++
+
=
s
c
s
c
ss
s
Para determinar as constantes c1 e c2 pode-se utilizar três métodos:
1°Método-Multiplicação/Inspeção: Multiplicar os dois lados da equação pelo denominador
no lado esquerdo da equação:
)3)(2(
32)3)(2(
)3)(2)(1( 21
++





+
+
+
=
++
+++
ss
s
c
s
c
ss
sss
)2()3()1( 21 +++=+ scscs
)23()(1 2121 ccsccs +++=+
Comparando os coeficientes dos dois termos da equação:
55

c1+c2=1
3c1+2c2=1
Resolvendo c1 e c2 no sistema de equações resultante:
c1=-1 ; c2=2
Portanto:
3
2
2
1
)3)(2(
)1(
F(s)
+
+
+
−
=
++
+
=
ssss
s
A transformada inversa fica:






+
+





+
−
= −−
3
2
2
1
f(t) 11
s
L
s
L






+
+





+
−= −−
3
1
2
2
1
1f(t) 11
s
L
s
L
Da tabela:
f(t) F(s)
e-bt
bs +
1
tt
ee 32
21f(t) −−
+−=
2° Método-Substituição: substituir dois valores de s na equação e resolver o sistema de
equações resultante para ci:
32)3)(2(
)1(
F(s) 21
+
+
+
=
++
+
=
s
c
s
c
ss
s
Para s=-1:
3121)31)(21(
)11( 21
+−
+
+−
=
+−+−
+− cc
2
0 2
1
c
c +=
Para s=1:
3121)31)(21(
)11( 21
+
+
+
=
++
+ cc
4312
2 21 cc
+=
4
3
2
1
4
3
6
3 2
1
2
1
c
c
c
c +=⇒+=
O sistema de equações é:
56

0
2
2
1 =+
c
c
2
1
4
3 2
1 =+
c
c
A solução é c1=-1; c2=2
No GNU Octave o sistema é resolvido facilmente:
#GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1
#(c)Marcos Marcelino Mazzucco
A=[1 1/2 ; 1 3/4];
B=[0 ; 1/2];
AB
Obs.: A transformada inversa foi desenvolvida anteriormente.
3° Método-Heaviside: o método da expansão de Heaviside consiste em:
algoritmo Heaviside
inicio
para <<cada uma das parcelas do denominador (s+pn)>> fazer
<<Multiplicar os dois lados da equação pela parcela (s+pn)>>
<<Na equação resultante, fazer s=-pn >>
<<Determinar a constante que resta>>
fim para
fim
32)3)(2(
)1(
F(s) 21
+
+
+
=
++
+
=
s
c
s
c
ss
s
3
)2(
2
)2(
)3)(2(
)2)(1( 21
+
+
+
+
+
=
++
++
s
sc
s
sc
ss
ss
3
)2(
)3(
)1( 2
1
+
+
+=
+
+
s
sc
c
s
s
32
)22(
)32(
)12( 2
1
+−
+−
+=
+−
+− c
c
11 −=c
3
)3(
2
)3(
)3)(2(
)3)(1( 21
+
+
+
+
+
=
++
++
s
sc
s
sc
ss
ss
2
1
2
)3(
)2(
)1(
c
s
sc
s
s
+
+
+
=
+
+
2
2
23
)33(
)23(
)13(
c
c
+
+−
+−
=
+−
+−
57

22 =c
A solução é c1=-1; c2=2.
4.7.2 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES MÚLTIPLAS
Para raízes múltiplas, reais ou complexas a seguinte expansão pode ser realizada:
∑∑ +−=
−
= −
+
−
==
N
RNn
r
n
n
RN
n n
n
n
ps
c
ps
c
sP
sZ
sF
11 )()()(
)(
)(
onde:
rn é o expoente da parcela (s-pn) e assume valores 1, 2, 3,... (rn= n-(N-R))
N= Número total de pólos
R= Número de pólos repetidos (múltiplos)
N-R= Número de pólos simples
Ex.:
3
4
2
321
3
)2()2(21)2)(1(
1
F(s)
+
+
+
+
+
+
+
=
++
=
s
c
s
c
s
c
s
c
ss
N=4; R=3 ; N-R=1
Para determinar 2 constantes podemos utilizar o método de Heaviside:
Multiplicando os dois lados da equação por (s+2)3
:
3
3
4
2
3
3
3
2
3
1
3
3
)2(
)2(
)2(
)2(
2
)2(
1
)2(
)2)(1(
)2(1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+
s
sc
s
sc
s
sc
s
sc
ss
s
43
2
2
3
1
)2()2(
1
)2(
)1(
1
cscsc
s
sc
s
+++++
+
+
=
+
Com s=-2:
43
2
2
3
1
)22()22(
1
)22(
)12(
1
ccc
s
c
++−++−+
+
+−
=
+−
14 −=c
Multiplicando os dois lados da equação F(s) por (s+1):
3
4
2
321
3
)2(
)1(
)2(
)1(
2
)1(
1
)1(
)2)(1(
)1(1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
++
+
s
sc
s
sc
s
sc
s
sc
ss
s
3
4
2
32
13
)2(
)1(
)2(
)1(
2
)1(
)2(
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+=
+ s
sc
s
sc
s
sc
c
s
Com s=-1:
58

3
4
2
32
13
)21(
)11(
)21(
)11(
21
)11(
)21(
1
+−
+−
+
+−
+−
+
+−
+−
+=
+−
ccc
c
11 =c
Para determinar as 2 constantes restantes vamos substituir dois valores de s na equação
e resolver o sistema de equações resultante para ci:
3
4
2
321
3
)2()2(21)2)(1(
1
F(s)
+
+
+
+
+
+
+
=
++
=
s
c
s
c
s
c
s
c
ss
Para s=1:
3
4
2
321
3
)21()21(2111)21)(11(
1
+
+
+
+
+
+
+
=
++
cccc
2793254
1 4321 cccc
+++=
27
1
932
1
54
1 32 −
+++=
cc
27
1
2
1
54
1
93
32
+−=+
cc
Para s=0:
32
32
3
)20(
1
)20(2010
1
)20)(10(
1
+
−
+
+
+
+
+
+
=
++
cc
8
1
42
1
8
1 32
−++=
cc
8
2
1
42
32
+−=+
cc
Resolvendo o sistema resultante no GNU Octave:
27
1
2
1
54
1
93
32
+−=+
cc
8
2
1
42
32
+−=+
cc
Código:
#GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1
#(C)Marcos Marcelino Mazzucco,Dr.
A=[1/3 1/9 ;
1/2 1/4];
B=[1/54-1/2+1/27 ;
-1+2/8];
AB
A solução é c2=-1; c3=-1.
59

Exercício: Obtenha a solução no domínio do tempo.
4.7.3 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA TERMOS QUADRÁTICOS SEM RAÍZES
REAIS (RAÍZES COMPLEXAS)
Para termos quadráticos com raízes, apenas, complexas a seguinte expansão pode ser
realizada:
Ds
CsC
Ds
sF
+
+
=
+
= 2
21
2
1
)(
Exemplo:
3
8
4
62
34)3)(4(
506
)( 2
3
2
21
2
2
+
+
+
+−
=
+
+
+
+
=
++
+
=
ss
s
s
C
s
CsC
ss
s
sF
O exemplo que segue mostra como aplicar a transformada inversa na equação






+





+
= 22
A
1
)(
ω
ω
τ ss
K
sY
P
P
, resolvendo-a através de dois métodos de expansão:
( )221
1A
)(
ω
τ
τ
ω
+





+
=
ss
K
sY
P
P
P
Expandindo em frações parciais considerando as raízes distintas:
( ) ( )














−
+
+
+






+
=
is
C
is
C
s
CK
sY
P
P
P
ωω
τ
τ
ω 321
1
A
)(
Determinando as constantes (distintas) pelo método de Heaviside:
22
2
1
1 ωτ
τ
P
P
C
+
=
i
C
P
P
ωωτ
τ
22 22
+
−=
i
C
P
P
ωωτ
τ
22 23
+−
=
Rearranjando a equação expandida:
60

( ) ( )
( )














+
+++−
+






+
= 22
321
1
A
)(
ω
ωω
τ
τ
ω
s
isCisC
s
CK
sY
P
P
P
( )
( )
( )
( )














+
−
+
+
+
+






+
= 22
23
22
321
1
A
)(
ω
ω
ω
τ
τ
ω
s
iCC
s
sCC
s
CK
sY
P
P
P
Substituindo as constantes:
12222 22
2
2232
+
−=
+−
+
+
−=+
ωτ
τ
ωωτ
τ
ωωτ
τ
P
P
P
P
P
P
ii
CC
12222 222223
+
−=







+
−−
+−
=−
ωτ
ωτ
ωωτ
τ
ωωτ
τ
P
P
P
P
P
P i
ii
CC
( ) ( )














+








+
−
+








+
−
+






+








+
= 22
22
22
22
2
22
2
11
1
1A
)(
ω
ω
ωτ
ωτ
ω
ωτ
τ
τ
ωτ
τ
τ
ω
s
i
i
s
s
s
K
sY P
P
P
P
P
P
P
P
P
( ) ( ) ( )














+
+
+
−






+
+
= 222222
11
A
)(
ω
ω
ω
ωτ
τ
ωτ
ωττ
τ
ss
s
s
K
sY P
P
P
PP
PP
( ) ( ) ( ) ( )





+
+
+
−
++
= 2222
2
22
1
1
1
1
A
)(
ωω
τ
τ
τ
ωτ
ω
ss
s
s
K
sY P
P
P
P
P
A mesma solução poderia ser obtida considerando a expansão específica para raízes
complexas apenas:
( )221
1A
)(
ω
τ
τ
ω
+





+
=
ss
K
sY
P
P
P
Sendo:
Ds
CsC
Ds
sF
+
+
=
+
= 2
21
2
1
)(
61

( )




















+
+
+
+
=














+





+
=
P
P
P
P
P
P
s
C
s
CsCK
ss
K
sY
τ
ωτ
ω
ω
τ
τ
ω
1
A
1
1A
)( 3
22
21
22
Multiplicando os dois lados da equação (parte entre colchetes) pelo denominador do lado
esquerdo:
( ) ( )














+





+






+
++





+
+
+
= 22322
22
21 1
1
1
1 ω
τ
τ
ω
τω
ss
s
C
ss
s
CsC
P
P
P
( ) 1
1
)( 22
321 =++





++ ω
τ
sCsCsC
P
12
3
2
3
2
2
12
1 =+++++ ω
ττ
CsC
C
sCs
C
sC
PP
100)()()( 22
3
2
2
12
31 ++=+++++ ssC
C
sC
C
sCC
PP
ω
ττ
Analisando os coeficientes:
C1+C3=0
C1/τP+C2=0
C2/τP+C3ω2
=1
Assim:
C1+C3=0 → C1=-C3
C1/τP+C2=0 → C2= C3/τP
C2/τP+C3ω2
=1
C3=τP
2
/(1+τP
2
ω2
)
C2=τP/(1+τP
2
ω2
)
C1=-τP
2
/(1+τP
2
ω2
)
Retornando à função Y(s):
( )



















 +
+
+
+
+
+







+
−
=














+





+
=
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
ss
s
K
ss
K
sY
τ
τ
ωτ
τ
ω
ωτ
τ
ωτ
τ
τ
ω
ω
τ
τ
ω
1
111A
1
1A
)(
22
2
22
2222
2
22
62







+
+
+
+−
+
=
1
1
1
A
)(
2
2222
ss
sK
sY
P
PP
P
P
P
P
τ
τ
ω
τ
ωτ
τ
τ
ω






+
+
+
−
++
=





+
+
+
+−
+
= 2222
2
22
2
2222
1
1
1
A
1
1
1
A
)(
ω
ω
ω
ωτ
τ
ωτ
ωττ
τ
ω
τ
ωτ
ω
ss
s
s
K
ss
sK
sY P
P
P
P
P
P
PP
P
P
As equações obtidas pelas duas formas de expansão são iguais, sendo que a solução no
domínio do tempo é:
f(t) F(s) observação
sen(ωt)
22
ω
ω
+s
senóide
e-t/τ
(1/τ)
1
1
+sτ
cos(ωt)
22
ω+s
s
co-senóide
( ) ( ) 







+−
+
=
−
)sen()cos(
1
1
A
)(
2
22
tte
K
ty P
t
P
P
P
ωωτ ω
τ
ωτ
ωτ
τ
( ) 







+−
+
=
−
)sen()cos(
1
A
)( 22
tte
K
ty P
t
P
P
ωωτ ωωτ
ωτ
τ
4.7.4 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS COM GNU OCTAVE
A subrotina residue(<<poli. numerador>>, <<poli denominador>>) de GNU Octave
realiza a expansão em frações parciais da razão de dois polinômios. A subrotina
residue(...) expande a razão de dois polinômios na forma:
∑ ∑= =
−
+
−
=
n
n
I
i
iI
ie
n
n
sk
ps
c
sP
sZ
n
1 1)()(
)(
A subrotina residue(...) retorna, em ordem, os valore de [c, p, k, e] na equação anterior.
Ex.:
65
1
F(s) 2
++
+
=
ss
s
Código:
#Software: GNU Octave 3.1.50;mEd 3.4.1
#Autor:Marcos Marcelino Mazzucco
[c,p,k,e]=residue([1,1],[1,5,6])
63

A subrotina fracoes_parciais(...,...), faz interface com a subrotina residue(...,...) e foi
escrita para acompanhar este material, realizando a expansão e apresentando o
resultado na forma de texto. A subrotina está disponível em
http://www.eqm.unisul.br/prof/marcos e está apresentada no apêndice 1. Os parâmetros
requeridos são os mesmos da subrotina residue e, adicionalmente, um parâmetro do tipo
texto (string) pode ser utilizado para que o resultado seja apresentado, também, na forma
de texto. Matlab dispõe da subrotina printsys(...,...,...) para exibir a função algébrica que
representa um sistema. Com Octave pode ser utilizada a subrotina tfout(...,...,..). No
apêndice 1 está a subrotina exibirft(...,...,...) que também pode ser utilizada para esta
finalidade.
Código:
#Autor:Dr. Marcos Marcelino Mazzucco
fracoes_parciais([1,1],[1,5,6],'s');
[c,p,k,e]=fracoes_parciais([1,1],[1,5,6]),'s')
64

Para o caso da expansão em frações parciais com raízes múltiplas a lista de retorno da
subrotina residue, [c, p, k, e], apresentará os graus das parcelas do denominador no
parâmetro “e”:
3
3
2
214
2343
)2()2(21820187
1
)2)(1(
1
F(s)
+
+
+
+
+
+
+
=
++++
=
++
=
s
c
s
c
s
c
s
c
ssssss
[c,p,k,e]=residue([1],[1,7,18,20,8])
65

4.7.4.1 Multiplicação de polinômios com GNU Octave
Na expansão em frações parciais, se os polinômios no numerador e no
denominador estiverem na forma zero-polo é necessário realizar o produto dos termos no
numerador e/ou denominador para utilizar a subrotina residue(...). Esta operação pode
ser realizada manualmente ou utilizando a subrotina conv(<<A>>,<<B>>) onde A e B são
vetores que representam os coeficientes de um polinômio (apenas dois polinômios
podem ser multiplicados por vez).
Ex.:
32)3)(2(
)1(
F(s) 21
+
+
+
=
++
+
=
s
c
s
c
ss
s
A subrotina polymult([...],[...],[...],...,"s"), apresentada no apêndice 1, foi
desenvolvida para acompanhar este material e permite a multiplicação de diversos
polinômios com apenas um comando, simplificando a escrita das instruções.
Ex.:
5432)5)(4)(3)(2(
)1(
F(s) 4321
+
+
+
+
+
+
+
=
++++
+
=
s
c
s
c
s
c
s
c
ssss
s
Código:
conv([1,2],[1,3]
p=polymult([1,2],[1,3],"s");
p
p=conv(conv(conv([1,2],[1,3]),[1,4]),[1,5])
p=polymult([1,2],[1,3],[1,4],[1,5],"s");
66

4.7.4.2 Adição de polinômios com GNU Octave
Para somar dois polinômios pode-se utilizar a operação "+" do GNU Octave que
exige que os vetores que representam os polinômios tenham o mesmo número de
coeficientes. Ou também, utilizar a subrotina polyadd([...],[...],[...],..., "s") desenvolvida
para acompanhar este material e listada no apêndice 1. A figura a seguir mostra a soma
de dois polinômios realizada de várias formas. Com a subrotina polyadd() não é
necessário que os dois polinômios sejam representados com o mesmo número de
coeficientes, desde que o significado seja mantido (o parâmetro "s" é opcional).
p1=[1,2,3,4,0];
p2=[0,0,1,2,3];
polyout(p1);
polyout(p2);
p=p1+p2
polyout(p);
p=polyadd([1,2,3,4,0],[1,2,3],"s");
67

4.7.4.3 Potenciação de polinômios com GNU Octave
A subrotina polypower(<<polinômio>>,<<expoente>>,"s"), apresentada no
apêndice 1, foi desenvolvida para acompanhar este material e permite a potenciação de
polinômios.
81261
1
)2(
1
F(s) 233
+++
=
+
=
ssss
Código:
polypower([1,2],3,"s");
4.8SOLUÇÃO DE EDOS COM COEFICIENTES CONSTANTES
68

A tabela de aplicação do operador de Laplace também pode ser aplicada para
resolver equações diferencias ordinárias de ordem n, desde que possuam coeficientes
constantes e sejam lineares.
Para praticar vamos resolver um exemplo, primeiro com uma EDO de ordem 1:
02)(3
)(
4 =++ ty
dt
tdy
Para resolver uma EDO é necessária uma condição inicial. Neste caso, y(0)=1.
( )0234 Ly
dt
dy
L =





++
Pelo princípio da superposição linear:
( ) ( ) ( )0234 LLyL
dt
dy
L =++





Da tabela:
f(t) F(s)
df()/dt sF(s)-f(0)
( ) 0
2
)(3)0()(4 =++−
s
sYyssY
( ) 0
2
)(31)(4 =++−
s
sYssY
( ) 04
2
34)( =−++
s
ssY
( )34
24
)(
+
−
=
ss
s
sY
A expansão em frações parciais com GNU Octave é:
[c,p,k,e,s]=fracoes_parciais([4,-2],polymult([1,0],[4,3]),"s")
rats(c)
rats(p)
69

Obs.: A subrotina rats(...) determina a forma racional de um número (1,66667=5/3)
A solução no domínio do tempo é obtida através da transformada inversa:





 −
+





+
= −−
s
L
s
L
3/2
4/3
3/5
y(t) 11






−





+
= −−
s
L
s
L
1
3/2
4/3
1
3/5y(t) 11
Da tabela:
f(t) F(s)
e-bt
bs +
1
A
s
a
3
2
3
5
y(t) 4
3
−=
− t
e
Fazendo t=0, obtém-se a condição inicial:
70

1
3
3
3
2
3
5
y(0)
0
4
3
==−=
⋅−
e
Para praticar melhor vamos resolver outro exemplo, agora com uma EDO de
ordem 3:
0161161 2
2
3
3
=−+++ y
dt
dy
dt
yd
dt
yd
As condições iniciais são:
;0;0;0)0(
0
2
2
0
===
== tt dt
yd
dt
dy
y
( ) ( ) 0161161 2
2
3
3
=−++





+





+





LyL
dt
dy
L
dt
yd
L
dt
yd
L
Da tabela:
f(t) F(s)
dn
f()/dtn
0
1
1
0
2
2
0
21
...)0()(
=
−
−
=
−
−
=
−−
−−−−−
t
n
n
t
n
n
t
nnn
dt
fd
dt
fd
s
dt
df
sfssFs
dn
f()/dtn
∑
−
= =
−
−
−−
−−
1
1 0
11
)0()(
n
i t
in
in
inn
dt
fd
sfssFs
Para o primeiro termo:
( ) 







+−−=





=
−
−
−
=
−
−
−−
0
23
23
12
0
13
13
11133
3
3
..)0(.1
tt
dt
dy
s
dt
dy
syssYs
dt
dy
L
Como:
;0;0;0)0(
0
2
2
0
===
== tt dt
yd
dt
dy
y
( ) ( ) ( )sYssYs
dt
dy
L 33
3
3
000 =+−−=





Os demais termos seguem o mesmo raciocínio. Assim a transformada de Laplace da
função fica:
( ) ( ) ( ) ( ) 0
1
6116 23
=−+++
s
sYssYsYssYs
Isolando Y(s):
71

( )
( )6116
1
23
+++
=
ssss
sY
( )
( )( )( )321
1
+++
=
ssss
sY
Resolvendo com GNU Octave:
[c,p,k,e,s]=fracoes_parciais([1],polymult([1,0],[1,1],[1,2],
[1,3]),"s");
c,rats(c)
p,rats(p)
( )
( ) ( ) ( ) ssss
sY
6/1
1
2/1
2
2/1
3
6/1
+
+
−
+
+
+
+
−
=
No domínio do tempo:
( )
( ) ( ) ( )






+





+
−
+





+
+





+
−
= −−−−
s
L
s
L
s
L
s
Lty
6/1
1
2/1
2
2/1
3
6/1 1111
72

Da tabela:
f(t) F(s)
e-bt
bs +
1
A
s
a
( ) 6/12/12/16/1 23
+−+−= −−− ttt
eeety
O gráfico a seguir representa esta função.
t=0:0.01:10;
plot(t,-1/6*exp(-3*t)+1/2*exp(-2*t)-1/2*exp(-t)+1/6)
xlabel("t");ylabel("y");
73

4.9LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS
A linearização de sistemas consiste em uma aproximação de uma equação não
linear à uma forma linear de maneira que operadores lineares possam ser aplicados.
Usando expansão em série de Taylor com truncamento no termo de primeira ordem
obtém-se uma aproximação adequada para processos onde perturbações não produzem
grandes desvios da posição aproximada.
Supondo uma equação na forma:
),( yxf
dx
dy
=
Linearizando no ponto x0 utilizando expansão em série de Taylor com truncamento
(grau1=):
0000
,
0
,
000 )()(),(),(
yxyx
x
f
xx
y
f
yyyxfyxf
∂
∂
−+
∂
∂
−+≅
Assim:
0000
,
0
,
000 )()(),(
yxyx
x
f
xx
y
f
yyyxf
dx
dy
∂
∂
−+
∂
∂
−+=
Considere a equação 5/ += yx
dx
dy
com x(0)=4 e y(0)=2:
Sendo f(x,y)= x/y a aplicação a expansão em série de Taylor truncada no termo linear
fica:
0000
,
0
,
000 )()(),(),(
yxyx
x
f
xx
y
f
yyyxfyxf
∂
∂
−+
∂
∂
−+≅
0000
,
0
,
000
)/(
)(
)/(
)(/),(
yxyx
x
yx
xx
y
yx
yyyxyxf
∂
∂
−+
∂
∂
−+≅
0000 ,,
2
1
)4(
)1.(
)2(2/4),(
yxyx
y
x
y
x
yyxf 





−+




 −
−+≅
0
2
0
0 1
)4(
)1.(
)2(2/4),(
y
x
y
x
yyxf −+
−
−+≅
2
1
)4(
2
4
)2(2/4),( 2
−+
−
−+≅ xyyxf
74

2
)4(
)2(
2
4
),(
−
+−−≅
x
yyxf
Então a EDO linearizada fica:
5
2
)4(
)2(
2
4
+
−
+−−=
x
y
dx
dy
Em outro exemplo vamos testar a precisão desta linearização resolvendo a equação de
balanço de massa no tanque de acumulação considerando os modelos apresentados
anteriormente nas formas linear e não-linear. Para completar a comparação, agora,
vamos considerar a linearização do modelo não-linear para obter um terceiro modelo:
( )
A
ghC
dt
dh V
2/1
1 )(ρ−
=
v
2/1
1
2/12/1
1 )( hKhgC
dt
dh
A VV −=−= vv ρ
Linearizando o termo h1/2
:








−+=





−+=
−
2
1
00
2/1
0
2/1
0
2/1
0
2/1
2
1
)()(
0
hhhhh
dh
d
hhhh
h
Substituindo:
)
2
1
)(( 2
1
00
2/1
01 







−+−=
−
hhhhK
dt
dh
A Vv
O programa para GNU Octave a seguir mostra a comparação entre os modelos completo,
linear e linearizado para duas perturbações: 25% e 100% da vazão alimentação (v0).
%program tanque_estoque_liquido
#Última gravação: 02/02/2009;segunda-feira;22:56
#Autor: Dr. Marcos Marcelino Mazzucco
#Objetivo: analisar modelos p/ tanque de estoque de líquido
clear all;
%var
global v1 Kv h0 A Rv;
function [dydx]= f(y,x)
global v1 Kv Rv h0 A;
#y é o vetor de variáveis dependentes.
#x é a variável independente
t=x;#renomear as variáveis para facilitar a compreensão
%>>modelo real
h=y(1);
dh1dt=(v1-Kv*h^(1/2))/A;
%end;
%>>modelo linearizado
h=y(2);
dh2dt=(v1-Kv*(h0^(1/2)+(h-h0)*1/2*h0^(-1/2)))/A;
75

%end;
%>>modelo linear
h=y(3);
dh3dt=(v1-h*1/Rv)/A;
%end;
%>>sistema de equações;
dydx=[dh1dt;dh2dt;dh3dt];
endfunction;
%begin
%>>condições iniciais e propriedades físicas
h0=1; #valor inicial de h
A=1; #Área
ro=1000;#densidade=kg/m3
g=9.8;#m/s2;
v0=8/3600;#m3/s
Cv=v0/(ro*g)^(1/2);
Kv=Cv*(ro*g)^(1/2);
Rv=1/v0;
t=linspace(0,3600,100);
%end;
%>>primeiro teste
%>>vazão inicial;
v1=10/3600;#m3/s
%>>Integrar equações;
y=lsode("f",[h0,h0,h0],t);
%>>gráfico
figure(1);
hold("on");
plot(t,y(:,1),"-b;h;");
plot(t,y(:,2),"-+r;h-Linearizado;");
plot(t,y(:,3),"-om;h-Linear;");
xlabel("t");ylabel("h");grid("on");
%end;
%end;
%>>segundo teste
%>>vazão inicial;
v1=16/3600;#m3/s
%>>Integrar equações;
y=lsode("f",[h0,h0,h0],t);
%>>gráfico
figure(2);
hold("on");
plot(t,y(:,1),"-b;h;");
plot(t,y(:,2),"-+r;h-Linearizado;");
plot(t,y(:,3),"-om;h-Linear;");
xlabel("t");ylabel("h");grid("on");
%end;
%end;
%end.
Observe que o uso do identificador estrutural personalizado (%>>) facilita a organização
do programa e permite a visualização deste na forma de árvore no software MED 3.x
(www.eqm.unisul.br/prof/marcos).
76

Os gráficos, a seguir, foram obtidos a partir do programa anterior.
77

4.10RELAÇÕES ÚTEIS
( )
))sen()(cos( btjbtee attbja
+=+
cos(-bt)=cos(bt) ;b>0
sen(-bt)=-sen(bt) ;b>0





=
+=
+=+ −
)(tan
);sen()sen()cos(
2
11
2
2
2
13
321
a
a
aaa
bababa
φ
φ
2
)cos(
tjtj
ee
t
ωω
ω
+
=
−
( )
2
)sen(
tjtj
eej
t
ωω
ω
−
=
−
2
2
22
2
4
)
2
(
/
)(
a
b
a
c
a
b
s
ad
a
c
s
a
b
sa
d
cbsas
d
−++
=
++
=
++
78

4.11EXERCÍCIOS
1. Linearize as seguintes funções:
a)
A
RT
E
AA CeCTfr
A
−
== ),(
b) y=2x2
+x+1/x
c) rA=-0,2CACB
2. Manipule as expressões que seguem para que assumam as formas indicadas no lado
direito da igualdade, determinando as constantes indicadas:
a)
)()12(
1
bs
K
s +
=
+
b)
)1()3(
1
+
=
+ s
K
s τ
c)
)1()32(
1
+
=
+ s
K
s τ
d) n
bs
K
s )()13(
2
2
+
=
+
e) n
s
K
s )1()3(
1
2
+
=
+ τ
f) 2
2
2
1
22
)1()1()54()32(
2/1
++
=
++ ss
K
ss ττ
g) 2
2
2
1
22
)()()54()32(
2/1
psps
K
ss −−
=
++
h)
)1()3(
1
+
=
++ s
K
is τ
i)
)1)(1()1)(1()54)(32(
32
21
2
21
1
++
+
++
=
++
−
ss
sK
ss
K
ss
s
ττττ
j)
)1()1()54)(32(
32
2
2
1
1
+
+
+
=
++
−
s
K
s
K
ss
s
ττ
k) n
s
nK
s
)!1(6 1
3
−
=
l) mn
s
mK
s
nK
s
s )!1()!1(18 21
4
−
+
−
=
+
79

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