1. Modelado de sistemas discretos
• Los sistemas discretos se modelan mediante
ecuaciones en diferencias:
– Evolución de una determinada variable del sistema a partir de
valores iniciales, valores pasados de la misma y de otras
variables del sistema y señales de entrada.
– Equivalentes a las ecuaciones diferenciales para los sistemas
continuos.

2. • Secuencias:
Definición: Un conjunto numerado de elementos en donde se hace
corresponder a cada número entero el valor de modelos elementos
del conjunto de valores de la señal de tiempo discreto.
Una secuencia se representa como {Xk}, donde K es el entero
asociado a cada elemento e indica el orden de ubicación relativa de
ese elemento dentro de la secuencia, K puede ser positiva o
negativa.
Se escoge el índice 0 para indicar el elemento que se encuentra
ubicado en el origen de referencia y que define la frontera entre los
valores positivos y negativos del índice K.
Ejemplo:
{ X K } = { X −2 , X −1 , X 0, X 1, X 2, X 3 }

3. De igual forma también se puede expresar colocando los elementos
en el orden en que se encuentran en la secuencia.
Puede también especificarse
{ X K } = { 0,1,4,6,8,...}
{3 ,8 , 9 ,10 , 6 } = { x }
−2 −1 0 1 2 k
x k
10
9
8
6
3
−3 −2 −1 1 2
K
3
0

4. • Secuencia impulso
unitario:
α(k)
1 → k = 0 
α(k) = 
 0 → k ≠ 0

1
 
Secuencia escalón unitario:
0
µ( k )
1 → k ≥ 0
µ( k ) =  1
0 → k < 0
1 2 3
0

5. • Secuencia exponencial:
X ( k ) = a → −∞ ≤ k ≤ ∞
k
X (k) X (k)
−2 −1
k −1
0
1
1 2 −2 2
0
0 < a <1 −1 < a < 0

6. X (k) X (k)
−1 1
k k
−2 −1 0 1 2 −2 0 2
a < −1 a >1

7. ●
Secuencia Sinosoidad
jk
e = Cosk + Senk

8. Transformada Z
La transformada Z es el equivalente para sistemas discretos de la
transformada de Laplace.
Permite transformar representaciones de sistemas del dominio
temporal al dominio frecuencial.
Aplicaciones:
– Solución de ecuaciones diferenciales.
– Funciones de transferencia.
• Simulación, estabilidad.

9. Transformada Z
Definición:
X ( z ) = ∑k =0 xk z − k
∞
donde {xk; k=0...∞ } es una secuencia discreta de valores, con xk=0 ∀ k<=0.
– También es aplicable al caso en que xk sea el resultado de muestrear una
señal continua xk=f(kT).

10. • Algunas transformadas básicas:
– Escalón: 1
F ( z ) = ∑k =0 1z
∞ −k
{ f k } = {1,1,...,1} =
1 − z −1
Tz
– Rampa: { f k } = {kT ; k = 0...∞} F ( z) =
( z − 1)2
– Parábola:
T 2 z ( z + 1)
{ f k } = {(kT )2 ; k = 0...∞} F ( z) =
( z − 1)3
– Exponencial: z
{ f k } = {e −akT ; k = 0...∞} F ( z) =
z − e −aT
– Exponencial general:
z
{ f k } = {r k ; k = 0...∞} F ( z) =
z−r

11. Propiedades fundamentales:
– Linealidad:
Z [ axn + byn ] = aX ( z ) + bY ( z )
– Traslación temporal:
Z {xn −1} = z −1 X ( z )
• Esta propiedad permite transformar las ecuaciones en diferencias en
expresiones algebraicas.
– Teorema del valor final:
lim{xn } = lim (1 − z −1 ) X ( z )
n →∞ z →1

12. – Convolución temporal:
• El producto en el plano complejo se transforma en una
suma de convolución en el tiempo.
k 
F ( z )G ( z ) = Z ∑ f (nT ) g (kT − nT )
 n =0 

13. Relación con la transformada de Laplace.
– Suponiendo muestreo ideal, se puede representar un conjunto de muestras en
forma de señal continua:
f * (t ) = f (t )m(t )
∞
donde m(t ) = ∑ δ (t − kT )
k =0
siendo T el periodo de muestreo y δ(t) la función impulso (que
verifica : ∫-∞∞g(t)δ(t-a) dt = g(a) ).

14. – Si aplicamos la transformada de Laplace a la señal continua f* tenemos:
F*(s) = ∫-∞∞ [Σ∞k=0 f(t) δ(t-kT)] e-st dt = Σ∞k=0 (esT)-k f(kT)
– Comparando con la expresión de la transformada Z, tenemos la
relación entre las variables complejas s y z:
z=esT
– Siempre que se pueda suponer muestreo ideal, es posible emplear la
siguiente aproximación
F(z) = F*(s)esT=z

15. – Fórmula alternativa: Si se expresa F* como una integral de convolución, se
puede utilizar
G(z) = ∑ Residuos{ F(s) z/(z-esT) } en todos los polos de F(s)
donde, para un polo simple dado si de una función F(s), el residuo
correspondiente se calcula como lims→si { (s-si) F(s) }.

16. Transformada Z inversa
Permite volver a la representación en el dominio temporal.
{xk } = Z −1{ X ( z )}
– La recuperación de la señal continua original a partir de las muestras
no es posible con total exactitud (no unicidad).
• Si el periodo de muestreo ha sido elegido adecuadamente, la incertidumbre
es menor.

17. Métodos de obtención
Tablas de transformadas.
– Para funciones sencillas.
• Descomposición en fracciones simples.
– Dado que las expresiones de las transformadas Z elementales poseen
siempre una z en el numerador, se realiza la descomposición de
F(z)/z.
– Cada fracción resultante se multiplica por z y se reemplaza por su
equivalente temporal.

18. – Ejemplo: Tomando como periodo de muestreo T=10, obtener la
transformada inversa de
1
F ( z) =
( z − 1)( z − 0.1)
F ( z) 1 a b c 21 − 30
= = + + a = 10 b = c=
z z ( z − 1)( z − 0.1) z z − 1 z − 0.1 0 .9 0 .9
21 z 30 z
F ( z ) = 10 + −
0.9 z − 1 0.9 z − 0.1
• Los dos primeros términos tienen antitransformadas inmediatas. Para el
tercero resulta
− aT − a10 ln 0.1
e =e = 0 .1 ⇒ a = = 0.23
− 10

19. – La secuencia resultante es
21 30 −0.23kT
f (kT ) = 10δ (kT ) + us (kT ) − e
0 .9 0 .9
• O simplemente, prescindiendo de T
21 30
f (k ) = 10δ ( k ) + us ( k ) − 0.1k
0 .9 0 .9

20. Expansión en series de potencias.
– Cuando F(z) es un cociente de polinomios reales en z, puede realizarse una
“división larga”. Los coeficientes de dicha división son los valores de la
secuencia temporal {fk}.
– Ejemplo:
z 1
F ( z) =
z − 1 z − 0.1
z z 2 − 1.1z + 0.1 1.1 − 0.1z −1 z 2 − 1.1z + 0.1
− z − 1.1 + 0.1z −1 1z −1 − 1.1 − 1.21z −1 + 0.11z −2 1.1z −2
= 1.1 − 0.1z −1 = 1.11z −1 − 0.11z −2
1.11z −1 − 0.11z −2 z 2 − 1.1z + 0.1
− 1.11z −1 − 1.221z −2 + 0.111z −3 1.11z −3
= 1.111z −2 − 0.111z −3

21. – La secuencia resultante es
{ f k } = {0, 1, 1.1, 1.11, }

22. – Función de transferencia discreta.
• Transformada Z de la secuencia ponderatriz.
• Relación entre las transformadas Z de la señal de salida y entrada a un
sistema.
– Estabilidad.
• Para que un sistema discreto sea estable, sus raíces deben estar ubicadas en
el interior del círculo unidad.
N ( z) Az Az
F ( z) = = 1 + 2 ...
( z − p1 )...( z − pn ) z − p1 z − p2
f k = A1 p1k + A2 p2 + ...
k
secuencia ponderatriz acotada f k < M ⇒ pi < 1
• Criterios de estabilidad: Routh, Jury.

23. Aproximación discreta de una
planta continua
• Supongamos un esquema de bloqueador de orden
cero, planta continua y muestreador.
uk u(t) y(t) yk
G(s)
– La señal de salida del bloqueador puede ponerse como
u(t ) = ∑n =0 un ∏ (t − nT )
∞

24. – El efecto del primer pulso de entrada sobre la salida es
u0
u0
= T
+
T
-u0
−1 G( s)  −1  G ( s ) − sT 
y0 (t ) = u0 L   − u0 L  e 
 s   s 

25. – Trasladado al plano Z
 −1  G ( s )  
−1
Y0 ( z ) = u0 (1 − z ) Z  L  
  s 
– Extendiendo a toda la secuencia de entrada
Y ( z) = [∑
∞
k =0
uk z −k
] −1 −1  G ( s )  
(1 − z ) Z  L 
  s 

– La expresión final queda
Y ( z) −1  −1  G ( s )  
G( z) = = (1 − z ) Z  L  
U ( z)   s 