1. F O R M U L Á R I O | 1 2 .º A N O
Leis de De Morgan
(A ∪ B)=A∩B
(A ∩ B)=A ∪B
A B =A∩B
0≤p(A)≤1
p(E) = 1
p(A ∪B)=p(A)+p(B) , (A∩B =∅)
p(A)+ p(A)=1
p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A ∩B)
Distribuição de Probabilidade
= { } 1 2 , ,..., n Variável Aleatória X x x x
( ) 1 i Σp X = x =
2 ( ) i i σ= Σp ⋅ x −x
( ) i i E X =Σp ⋅x
Distribuição Normal N(x,σ)
 x −σ ;x +σ =68,26%
 
 x −2σ ; x + 2σ =95, 44%
 
 x − 3σ ; x + 3σ = 99, 74%
 
Probabilidade Condicionada
∩
p A B
( )
p A B
( / )
p B
( )
=
Acontecimentos independentes
p(A ∩ B) =p(A)⋅ p(B)
COMBINATÓRIA
(interessa a ordem e há repetição)
p A′ =n
n p
(interessa a ordem e não há repetição)
!
A n
−
n p
( )!
n
p
=
(não interessa a ordem e não há repetição)
!
C n
−
p n p
!( )!
n
p
=
p p p C C +C
+ + + =
n n n
Propriedades
p n p C C− = 1
n n
1 1
Binómio de Newton
p a +b =Σ C ⋅a − ⋅b
( )n n n p p
Termo de ordem p+1
p p T C a − b
= ⋅ ⋅
+ 1
n n p p
Provas repetidas
k p x = k = C ⋅p ⋅q −
( ) n k nk
2% 2%
f (−x)=f (x)
f (−x)=− f (x)
Função par :
PROBABILIDADES
14% 14%
FUNÇÕES
Limites Notáveis
x
p= probabilidade de sucesso
q= probabilidade de insucesso p = 1 − q
a a
34% 34%
Função ímpar: lim , 1
alogay = y
log a y
= y
a 1 0 a log =
1 2 1 2 ( ) a a a log x ⋅x =log x +log x
  = −  
p
a a log x = p ⋅log x
log 1
log x log x
x
a a a
1 2
2
x
log x
b
log x
a
log a
b
=
x p
→+∞ x
=+∞ >
x a
=+∞ >
lim , 1
x
→+∞ log x
a
x
e
−
=
lim 1
→ 0
x
1
x
Assimptotas
Verticais:
→ ⇒ →±∞
→ ⇒ →±∞
x x y
0
x x y
−
0
+
0 x =x
Assimptota(s) Oblíqua(s) : y =mx +b
=  −   
b fx mx
lim ( )
x
→±∞
m f x
lim ( )
x
→±∞ x
=
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2. F O R M U L Á R I O | 1 2 .º A N O
+ −
=
h +
a a h
TVM
− [ , ]
fa h fa
( ) ()
Taxa de Variação instantânea ou derivada
−
− ou 0
+ −
f a h f a
( ) ()
′ =
f a lim
h →
Equação da recta tangente ao gráfico de f num
ponto de abcissa 0 x =x .
0 0 y−y =m(x −x ) 0 m =f ′(x )
Teorema:
Se uma função tem derivada finita num ponto é contínua
nesse ponto.
x
lim =1
lim x
→ x →
x 0
sen
−
cos 1 =
0
0
x
x
sen(a+b)=sena×cosb + cosa×senb
sen(a − b)=sena×cosb − cosa×senb
cos(a − b)=cos a×cosb + sena×senb
cos(a+b)=cos a×cosb − sena×senb
− x = x
1 cos 2 sen2
2
+ x = x
h
1 cos 2 cos2
2
Continuidade
f é contínua num ponto a do seu domínio se existir
lim f x
→
( )
x a
e for igual a f(a).
Uma função polinomial é contínua em IR.
Teorema de Bolzano
Uma função contínua num intervalo limitado e fechado
[a,b] não passa de um valor de f(a) a outro f(b) sem pas-sar
por todos os valores intermédios.
Corolário
Se uma função é contínua num intervalo [a , b] e
f (a)⋅ f (b) < 0 , então existe um zero em]a,b[ .
Nota: Para existir somente um zero a função terá que
ser estritamente crescente( f ′(x) > 0 ) ou estri-tamente
decrescente( f ′(x ) < 0 ) nesse intervalo.
Derivadas
Taxa de Variação Média
−
fb fa
( ) ( )
=
[ a , b
] ;
TVM
b a
f x f a
x a →
′ =
f ( a )
lim
x a ( ) ( )
( )
f é contínua em a b
[ , ]
f a f b f c ∈ ⋅ < ⇒ ∃ =
( ) ( ) 0 : ( ) 0 c ] ab
, [
Regras de Derivação Trigonometria
(k)′ =0
(f + g)′ = f ′ +g ′
(k ⋅ f )′ =k ⋅ f ′
(f ×g )′ = f ′×g +g ′×f
1 ( ) n n f ′ =n ⋅ f − ⋅ f ′
 ′ ′ ⋅ − ′ ⋅   =  
f f g g f
g g
2
(ex )′=ex
( u ) u a ′=a ⋅ln a ⋅u′
′=
ln x)
(
1
x
′=
(ln u)
′
u
u
′
( ) a log u
′
u
u lna
=
⋅
se no intervalo [a,b] f ′(x) >0 ,então f é estritamente cres-cente
no intervalo [a,b];
se no intervalo [a,b] f ′(x) < 0 ,então f é estritamente de-crescente
no intervalo [a,b];
Ponto de Inflexão:
f ′′ (x)=0
Sentido da concavidade voltado para cima: f ′′(x)> 0
Sentido da concavidade voltado para baixo: f ′′(x)< 0
(sen u)′=cos u×u′
(cos u)′=−sen u×u′
′
u
cos u
′
2 (tg u) =
2 2 sen x + cos x=1
±
tg a tg b
±
tg(a b)=
1 tga×tgb
∓
sen (2a) = 2×sena×cos a
2 2 cos(2a)= cos a -sen a
2tg a
2
tg(2a)=
1− tg a
Período de uma função (T)
2
= =
f ( x ) sen ( kx ) ;
T
π
k
| |
2
= =
f ( x ) cos ( kx ) ;
T
π
k
| |
= =
f ( x ) tg ( kx ) ;
T
π
k
| |
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3. F O R M U L Á R I O | 1 2 .º A N O
COMPLEXOS
^ = {a +bi :a,b∈∧i = −1 }
i = −1
z =a +bi Re(z)= a
Im(z)=b
i2 =−1
i3 =−i
i4 =1
i27 =i3 27 4
3 6
Representação dos complexos na forma trigonométrica
z =a +bi
| z |= a2 +b2
tg 1 b
a
θ= −
(Módulo)
z =ρ (cos θ+i sen θ )
z =ρcis (θ)
Re
(Simétrico)
Im
z
b
θ
O a
(Conjugado)
z =ρcis (−θ ) −z =ρcis (θ + π)
(Inverso)
z − 1 = 1 cis ( −
θ )
ρ
Produto de i por um número complexo
( ) 1 1 1
=
ρ θ
= ρ  θ + π
 
z cis
iz cis
1 1 1 2
Re
Im
iz z
b
θ
π2
O a
Operações com complexos na forma trigonométrica
( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 z =ρ cis θ ; z =ρ cis θ
( ) 1 2 1 2 1 2 z ×z =ρ ⋅ρ ⋅cis θ +θ
ρ
1 = 1 ⋅ ( θ −
θ
)
1 2
ρ
2 2
z
cis
z
( ) 1 1 1
z n =ρn cis n⋅ θ
(Radiciação)
 θ + 2
k
π
=  = −  
 ρ θ ρ
cis cis k n
n n , 0,1,2, , 1
n
…
Nota importante:
Todas as raízes de índice n têm o mesmo módulo e os
argumentos (não negativos mínimos) estão em progres-são
aritmérica de razão
π
.
2
n
Nota importante:
As n raízes de índice n têm por imagem os vérti-ces
de um polígono regular de n lados, inscrito
numa circunferência de raio n | z | .
Domínios e Condições em variável complexa
| z |
Representa a distância do afixo do complexo
z à origem.
| z − (a + bi) | ≤ c
Representa o círculo de centro (a,b) e raio c.
| z −(a +bi) | = | z −(c +di) |
Representa a mediatriz do segmento de recta
cujos extremos são os afixos de a+bi e c+di.
| z −(a +bi) | ≤ | z −(c +di) |
Representa o conjunto de pontos do plano cuja
distância ao afixo de a+bi é o menor ou igual à
distância ao afixo de c+di.
1 2 | z − x | +| z − x |= 2a
Representa a elipse com os focos nos pontos de
abcissa x1 e x2.
Re(z) =a
Representa recta vertical que passa no ponto (a,0).
Re(z) ≥a
Representa o semiplano fechado definido pela recta
x = a, que fica à direita da recta.
Im(z) =b
Representa recta horizontal que passa no ponto
(0,b).
Arg (z)=θ
Representa a semi-recta de origem na origem do
referencial e que faz um ângulo de θ com o semieixo
real positivo.
α≤ Arg (z −(a +bi))≤θ
Representa o ângulo de vértice (a,b)compreendido
entre α e θ (inclusive).
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