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Geometria Prof.:Carlinhos.
Lista n°08 06/04/2013
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
GABARITO:
Resposta da questão 1:
[C]
Se θ é um arco do primeiro quadrante e tg 1,θ  temos
que 45 .θ  
Portanto,
2
cos cos45 .
2
θ   
Resposta da questão 2:
[A]
h = altura do avião ao ultrapassar o morro.
h
tan 15 h 3,8 tg15
3,8
     
Resposta da questão 3:
02 + 04 = 06.
[01] Falsa, pois
5 3 5 10 3
sen60 y km.
y 2 y 3
    
[02] Verdadeira, pois
5 1 5
sen30 x 10 km.
x 2 x
    
[04] Verdadeira, pois o triângulo At1t2 é isósceles, logo z =
y > 5.
[08] Falsa, pois z = y > 5.
Resposta da questão 4:
[B]
No triângulo assinalado, temos:
1,2 1 1,2
sen30 x 2,4
x 2 x
    
Resposta da questão 5:
[B]
Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular
baixada de P sobre AG.
Queremos calcular PQ.
Como  PGQ 45 , segue que PQ QG. Desse modo,
AQ 240 QG 240 PQ.   
Portanto, do triângulo APQ, vem
  

  
 


    
 
PQ 3 PQ
tgQAP
3AQ 240 PQ
(3 3)PQ 240 3
240 3
PQ
3 3
240 3 3 3
PQ 120( 3 1) m.
3 3 3 3
Resposta da questão 6:
[B]
O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h.
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que
2 2 2
h h (6 2) ,  logo h = 6.
No triângulo APR, podemos escrever:
2
h 3 6
tg30
h AB 3 AB 6
18 6 3 18 3 18
AB AB
33
AB 4,2 e 4 4,2 5.
   
 
 
  
 
Resposta da questão 7:
[B]
Seja α o ângulo que a rampa faz com o solo.
O ângulo α é tal que
12
tg 0,50.
24
  
Desse modo, como a função tangente é crescente e
3
tg30 0,58 0,50,
3
    segue que 30 .α  
Resposta da questão 8:
[E]
h = altura entre os dois andares.
h
sen30
6
h
0,5
6
h 3 m
 


Resposta da questão 9:
Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de
acesso será 7 m e o valor máximo será 10 m.
Resposta da questão 10:
[D]
tg (37°) = 0,75
AC
0,75
100
AC 75m


Resposta da questão 11:
[D]
Da figura dada, temos que
1,8
tg .
5,4
φ 
Temos, então, o triângulo abaixo semelhante ao primeiro.
Portanto:
2 2 2
a 1 3
a 10
1 10
sen
1010
φ
 

 
Resposta da questão 12:
[A]
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular
baixada de A sobre a reta BC.
Queremos calcular AH.
Temos que CAB BAH 30 .   Logo, do triângulo
AHB, vem
HB 3
tgBAH HB AH.
3AH
   
Por outro lado, do triângulo AHC, obtemos
3
HB BC 3
tgCAH 3 AH AH 100
3AH
2 3
AH 100
3
150 3
AH 50 3 m.
3 3

     
  
   
Resposta da questão 13:
a) no triângulo ABC, temos:
2y + 30° + 40° + 50° = 180°
2y = 60°
y = 30°
No triângulo CBD x = 180 – 2.30 = 120°
Portanto, BDC 120 
b)
o 5 3 5 10
cos30 BD
BD 2 BD 3
10 3
BD
3
     

.
c) No triângulo BCE, temos:
CE 1 CE
sen30 CE 5
10 2 10
     
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCE,
temos:
2 2 2
BE 5 10 BE 5 3   
No triângulo BEA:
o BE 6 5 3 25 3
tg50 AE
AE 5 AE 6
    
Portanto,
25 3
AC AE EC 5
6
   
Resposta da questão 14:
Considere a figura.
Como
h H h H
tg y
y tg
β
β
 
  
e
h H
tg xtg ytg h H,
x y
α α α

    

segue que :
h H
xtg tg h H
tg
xtg tg htg Htg htg Htg
H(tg tg ) xtg tg h(tg tg )
xtg tg
H h.
tg tg

   
    
    
 

α α
β
α β α α β β
α β α β α β
α β
α β
Resposta da questão 15:
[B]
Num triângulo qualquer, o maior lado é sempre oposto ao
maior ângulo e o menor lado oposto ao menor ângulo.
Como ˆˆc B c b.  
4
ˆb cˆˆsen(B) e sen(C)
a a
ˆˆcomo b < c, temos sen(B)<sen(C).
 
Resposta da questão 16:
[C]
No triângulo BO2C, tem-se:
r 3 r
tg30 r 4
34 3 4 3
     
1 2CAO ~ CBOΔ Δ
4 4 3
4AB 16 3 48 3 4AB 32 3 AB 8 3
12 4 3 AB
       

cm.
Resposta da questão 17:
a) Da relação entre os senos dos ângulos agudos do
triângulo, obtemos
x y
senB 2senC 2 x 2y.
5 5
     
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras, vem
2 2 2 2 2
2
x y 5 (2y) y 25
5y 25
y 5 m.
    
 
 
b) De (a), obtemos x 2 5 m. Por conseguinte, a
medida pedida é dada por
h 6 x 6 2 5 2 (3 5) m.      
Resposta da questão 18:
[C]
O resultado pedido é dado por
y
tg60 y 100 3 m.
100
   
Resposta da questão 19:
[B]
ABP é isósceles (AB BP 2000) Δ
o
No PBC temos:
d
sen60
2000
3 d
2 2000
d 1000 3 m



Δ
Resposta da questão 20:
[C]
1000
cos45º
x
2 1000
2 x
2x 2000
2000
x
2
x 1,414 m




Resposta da questão 21:
[D]
h = altura.
o h
sen60
12
3 h
2 12
h 6. 3km = 600.000 3cm



Resposta da questão 22:
[C]
I. (V) - Observar o desenho.
II. (F) -
6
cos(Â) 0,6
10
  ;
III) (V) -
8 8 4 4 32
sen  tg Â
10 6 5 3 15
      ;
Resposta da questão 23:
[B]
5
o 60
sen60
AB
3 60
2 AB
120
AB
3
AB 40 3m




Resposta da questão 24:
[D]
Sabendo que AC 1 e  
1
sen ,
3
vem
     
BC 1 BC AB
sen BC .
3 3AB AB
Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:
 
     
 

 
  
2
2 2 2 2 2
2
AB
AB AC BC AB 1
3
8 AB
1
9
3 3 2
AB .
42 2
Resposta da questão 25:
Na figura, temos:
o 30 30
sen3 0,05 0,05x 30
x x
x 600 cm
     

Logo, o comprimento da rampa será 600 cm = 6 m.
Resposta da questão 26:
[C]
tg60
H
3
1,8
H 1,8. 3
H 3,1m



Resposta da questão 27:
[A]
12
2
1
)12(
2
1
2
1
2
1
2
2




Resposta da questão 28:
[A]
tg 30o = mxx
x
3.200
3
3
.600
600

Resposta da questão 29:
[B]
2 2 2
x x 2  sen 30o =
2
L 2. 2
L
 
x 2
Resposta da questão 30:
[B]
Resposta da questão 31:
[B]
34
12
30  x
x
tg o
r = 363234  , logo a área da tampa será:
A = 22
m108)36.(  
6
Resposta da questão 32:
[C]
Resposta da questão 33:
[A]
Resposta da questão 34:
[A]
Resposta da questão 35:
[E]
Resposta da questão 36:
[B]
Resposta da questão 37:
4 metros
Resposta da questão 38:
a) 2,4 m = 240 cm
 
240
18 6
= 10 degraus
b) h = 1,92 m
Resposta da questão 39:
[A]
Resposta da questão 40:
[D]
Resposta da questão 41:
[B]
Resposta da questão 42:
x ≈ 13,33 metros
Resposta da questão 43:
[A]
Resposta da questão 44:
[D]
Resposta da questão 45:
[D]
Resposta da questão 46:
20
Resposta da questão 47:
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TResposta da questão 58:
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Resposta da questão 59:
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[C]
Resposta da questão 61:
[A]
Resposta da questão 62:
[D]
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[B]
Resposta da questão 65:
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  • 1. 1 Geometria Prof.:Carlinhos. Lista n°08 06/04/2013 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO GABARITO: Resposta da questão 1: [C] Se θ é um arco do primeiro quadrante e tg 1,θ  temos que 45 .θ   Portanto, 2 cos cos45 . 2 θ    Resposta da questão 2: [A] h = altura do avião ao ultrapassar o morro. h tan 15 h 3,8 tg15 3,8       Resposta da questão 3: 02 + 04 = 06. [01] Falsa, pois 5 3 5 10 3 sen60 y km. y 2 y 3      [02] Verdadeira, pois 5 1 5 sen30 x 10 km. x 2 x      [04] Verdadeira, pois o triângulo At1t2 é isósceles, logo z = y > 5. [08] Falsa, pois z = y > 5. Resposta da questão 4: [B] No triângulo assinalado, temos: 1,2 1 1,2 sen30 x 2,4 x 2 x      Resposta da questão 5: [B] Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AG. Queremos calcular PQ. Como  PGQ 45 , segue que PQ QG. Desse modo, AQ 240 QG 240 PQ.    Portanto, do triângulo APQ, vem                   PQ 3 PQ tgQAP 3AQ 240 PQ (3 3)PQ 240 3 240 3 PQ 3 3 240 3 3 3 PQ 120( 3 1) m. 3 3 3 3 Resposta da questão 6: [B] O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h. Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que 2 2 2 h h (6 2) ,  logo h = 6. No triângulo APR, podemos escrever:
  • 2. 2 h 3 6 tg30 h AB 3 AB 6 18 6 3 18 3 18 AB AB 33 AB 4,2 e 4 4,2 5.              Resposta da questão 7: [B] Seja α o ângulo que a rampa faz com o solo. O ângulo α é tal que 12 tg 0,50. 24    Desse modo, como a função tangente é crescente e 3 tg30 0,58 0,50, 3     segue que 30 .α   Resposta da questão 8: [E] h = altura entre os dois andares. h sen30 6 h 0,5 6 h 3 m     Resposta da questão 9: Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m e o valor máximo será 10 m. Resposta da questão 10: [D] tg (37°) = 0,75 AC 0,75 100 AC 75m   Resposta da questão 11: [D] Da figura dada, temos que 1,8 tg . 5,4 φ  Temos, então, o triângulo abaixo semelhante ao primeiro. Portanto: 2 2 2 a 1 3 a 10 1 10 sen 1010 φ      Resposta da questão 12: [A] Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC. Queremos calcular AH. Temos que CAB BAH 30 .   Logo, do triângulo AHB, vem HB 3 tgBAH HB AH. 3AH     Por outro lado, do triângulo AHC, obtemos
  • 3. 3 HB BC 3 tgCAH 3 AH AH 100 3AH 2 3 AH 100 3 150 3 AH 50 3 m. 3 3               Resposta da questão 13: a) no triângulo ABC, temos: 2y + 30° + 40° + 50° = 180° 2y = 60° y = 30° No triângulo CBD x = 180 – 2.30 = 120° Portanto, BDC 120  b) o 5 3 5 10 cos30 BD BD 2 BD 3 10 3 BD 3        . c) No triângulo BCE, temos: CE 1 CE sen30 CE 5 10 2 10       Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCE, temos: 2 2 2 BE 5 10 BE 5 3    No triângulo BEA: o BE 6 5 3 25 3 tg50 AE AE 5 AE 6      Portanto, 25 3 AC AE EC 5 6     Resposta da questão 14: Considere a figura. Como h H h H tg y y tg β β      e h H tg xtg ytg h H, x y α α α        segue que : h H xtg tg h H tg xtg tg htg Htg htg Htg H(tg tg ) xtg tg h(tg tg ) xtg tg H h. tg tg                   α α β α β α α β β α β α β α β α β α β Resposta da questão 15: [B] Num triângulo qualquer, o maior lado é sempre oposto ao maior ângulo e o menor lado oposto ao menor ângulo. Como ˆˆc B c b.  
  • 4. 4 ˆb cˆˆsen(B) e sen(C) a a ˆˆcomo b < c, temos sen(B)<sen(C).   Resposta da questão 16: [C] No triângulo BO2C, tem-se: r 3 r tg30 r 4 34 3 4 3       1 2CAO ~ CBOΔ Δ 4 4 3 4AB 16 3 48 3 4AB 32 3 AB 8 3 12 4 3 AB          cm. Resposta da questão 17: a) Da relação entre os senos dos ângulos agudos do triângulo, obtemos x y senB 2senC 2 x 2y. 5 5       Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras, vem 2 2 2 2 2 2 x y 5 (2y) y 25 5y 25 y 5 m.          b) De (a), obtemos x 2 5 m. Por conseguinte, a medida pedida é dada por h 6 x 6 2 5 2 (3 5) m.       Resposta da questão 18: [C] O resultado pedido é dado por y tg60 y 100 3 m. 100     Resposta da questão 19: [B] ABP é isósceles (AB BP 2000) Δ o No PBC temos: d sen60 2000 3 d 2 2000 d 1000 3 m    Δ Resposta da questão 20: [C] 1000 cos45º x 2 1000 2 x 2x 2000 2000 x 2 x 1,414 m     Resposta da questão 21: [D] h = altura. o h sen60 12 3 h 2 12 h 6. 3km = 600.000 3cm    Resposta da questão 22: [C] I. (V) - Observar o desenho. II. (F) - 6 cos(Â) 0,6 10   ; III) (V) - 8 8 4 4 32 sen  tg  10 6 5 3 15       ; Resposta da questão 23: [B]
  • 5. 5 o 60 sen60 AB 3 60 2 AB 120 AB 3 AB 40 3m     Resposta da questão 24: [D] Sabendo que AC 1 e   1 sen , 3 vem       BC 1 BC AB sen BC . 3 3AB AB Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:                 2 2 2 2 2 2 2 AB AB AC BC AB 1 3 8 AB 1 9 3 3 2 AB . 42 2 Resposta da questão 25: Na figura, temos: o 30 30 sen3 0,05 0,05x 30 x x x 600 cm        Logo, o comprimento da rampa será 600 cm = 6 m. Resposta da questão 26: [C] tg60 H 3 1,8 H 1,8. 3 H 3,1m    Resposta da questão 27: [A] 12 2 1 )12( 2 1 2 1 2 1 2 2     Resposta da questão 28: [A] tg 30o = mxx x 3.200 3 3 .600 600  Resposta da questão 29: [B] 2 2 2 x x 2  sen 30o = 2 L 2. 2 L   x 2 Resposta da questão 30: [B] Resposta da questão 31: [B] 34 12 30  x x tg o r = 363234  , logo a área da tampa será: A = 22 m108)36.(  
  • 6. 6 Resposta da questão 32: [C] Resposta da questão 33: [A] Resposta da questão 34: [A] Resposta da questão 35: [E] Resposta da questão 36: [B] Resposta da questão 37: 4 metros Resposta da questão 38: a) 2,4 m = 240 cm   240 18 6 = 10 degraus b) h = 1,92 m Resposta da questão 39: [A] Resposta da questão 40: [D] Resposta da questão 41: [B] Resposta da questão 42: x ≈ 13,33 metros Resposta da questão 43: [A] Resposta da questão 44: [D] Resposta da questão 45: [D] Resposta da questão 46: 20 Resposta da questão 47: [A] Resposta da questão 48: [B] Resposta da questão 49: [C] Resposta da questão 50: [C] Resposta da questão 51: [C] Resposta da questão 52: [E] Resposta da questão 53: [E] Resposta da questão 54: [C] Resposta da questão 55: [C] Resposta da questão 56: [D] Resposta da questão 57: [B] TResposta da questão 58: [B] Resposta da questão 59: [D] Resposta da questão 60: [C] Resposta da questão 61: [A] Resposta da questão 62: [D] Resposta da questão 63: [C] Resposta da questão 64: [B] Resposta da questão 65: 2,088m