1. El documento define conceptos básicos de teoría de relaciones como pares ordenados, producto cartesiano, relaciones y sus propiedades. 2. Explica cómo representar relaciones mediante matrices y define operaciones booleanas entre ellas como unión, intersección y composición. 3. Introduce el concepto de relaciones binarias y propiedades como reflexividad y simetría.
1. Relaciones
Llamaremos par ordenado a una lista de dos
objetos (a, b) donde a es un elemento de un
conjunto A y b es un elemento de un conjunto
B .
(a1, b1) = (a2, b2) ⇐⇒ a1 = a2 y b1 = b2.
Definici´on 1 Dados dos conjuntos A y B se
define el producto cartesiano A × B como el
conjunto de todos los pares ordenados.
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Ejemplo: Dados A = {1, 2, 3} y B = {a, b}
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
Luego est´a claro que, en general, A×B = B×A
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2. Teorema 1 Si A y B son conjuntos finitos,
entonces |A × B| = |A| |B|
En general, se define el producto cartesiano
de un n´umero finito n de conjuntos como el
conjunto formado por las posibles n-uplas or-
denadas de elementos de los conjuntos.
Definici´on 2 Llamaremos relaci´on de A en B
a un subconjunto del producto cartesiano, R ⊆
A × B.
Si (a, b) ∈ R se dicen que a y b est´an relacio-
nados y se representa a R b en caso contrario
se representa a R b.
Diagrama de flechas
3
4
1
2
b
c
a
A B
a
c
b
1 2 3 4
A
B
Diagrama Cartesiano
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3. Teorema 2 Si A y B son conjuntos finitos con |A| = m
y |B| = n, entonces el n´umero de relaciones posibles de
A en B es 2mn.
Definici´on 3
Dom(R) = {x | x ∈ A y ∃ b ∈ B : x R b}
Im(R) = {x | x ∈ B y ∃ a ∈ A : a R x}.
Definici´on 4 Dada una relaci´on R de A en B, definimos
R−1⊆ B × A de forma que
b R−1
a ⇐⇒ a R b
Ejemplo: Si
R= {(1, b), (1, d), (2, a), (3, b), (3, c)}
del ejemplo anterior, se tiene que
R−1
= {(b, 1), (d, 1), (a, 2), (b, 3), (c, 3)}
Desde el punto de vista gr´afico, R−1 no es otra cosa
que invertir el sentido de las flechas de la relaci´on R.
Es evidente que
Dom(R) = Im(R−1
) y Im(R) = Dom(R−1
)
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4. Representaci´on matricial
Definici´on 5 Llamaremos matriz m × n de ce-
ros y unos M = (mij) a una matriz de m filas
y n columnas cuyos elementos mij ´unicamente
pueden ser 0 o 1.
M =
0 1 1 1
0 0 1 0
1 1 1 0
∈ Mm×n-{0, 1}
Llamaremos matriz traspuesta de M a la ma-
triz MT ∈ Mn×m-{0,1} resultante de transfor-
mar las filas de M en columnas. Es decir,
si M = (mij), entonces MT = (mji) donde
mji = mij.
MT =
0 0 1
1 0 1
1 1 1
1 0 0
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5. Suponemos A = {a1, a2, . . . , am} y
B = {b1, b2, . . . , bn}
Definici´on 6 Dada R de A en B, llamaremos
matriz asociada a M(R) = (mij) definida:
mij =
1 si ai R bj
0 en otro caso
Es f´acil comprobar que si R es una relaci´on
entre conjuntos finitos, entonces
M(R−1) = M(R)T
Definici´on 7 Dadas dos matrices M, N ∈ Mm×n-
{0,1}, diremos que M precede a N si mij ≤ nij
para cada i, j.
Teorema 3 Si R, S⊆ A×B , entonces R⊆S es
equivalente a M(R) ≤ M(S).
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6. Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4}.
Si
R= {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 3)}
S= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (3, 1)(3, 2), (3, 3)}
tenemos R⊆S, y por tanto:
M(R) =
0 1 0 1
0 0 0 0
0 1 1 0
≤ M(S) =
0 1 1 1
0 0 1 0
1 1 1 0
Operaciones booleanas
∨ 0 1
0 0 1
1 1 1
∧ 0 1
0 0 0
1 0 1
−
0 1
1 0
Definici´on 8 Si M, N ∈ Mm×n-{0,1}, M =
(mij) y N = (nij), se definen:
M ∨ N = (mij ∨ nij)
M ∧ N = (mij ∧ nij)
M = (mij)
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7. Ejemplo: Dadas
M =
0 1 1 1
0 0 1 0
1 1 1 0
y N =
1 0 1 1
1 0 0 0
0 0 1 0
se obtiene:
M ∨ N =
1 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
M ∧ N =
0 0 1 1
0 0 0 0
0 0 1 0
M =
1 0 0 0
1 1 0 1
0 0 0 1
Podemos generalizar ∨ a un n´umero finito de operandos:
1.
1
i=1
Mi = M1
2.
n
i=1
Mi = (
n−1
i=1
Mi) ∨ Mn para n > 1
Igualmente para .
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8. Teorema 4 Si R y S son relaciones de A en
B (finitos), entonces
M(R ∪ S) = M(R) ∨ M(S)
M(R ∩ S) = M(R) ∧ M(S)
M(R) = M(R)
Composici´on de relaciones
Definici´on 9 Dadas R1 de A en B y R2 de B
en C podemos establecer una nueva relaci´on
R1 ◦R2 de A en C llamada relaci´on compuesta
definida
a(R1 ◦ R2)c ⇐⇒ ∃ b ∈ B | aR1b y b R2 c
Ejemplo: Dados A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}
y C = {x, y, z}
R1= {(1, b), (1, d), (2, a), (3, b), (3, c)}
R2= {(a, z), (b, y), (b, z), (d, x)}
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9. entonces se verifica que
R1 ◦ R2= {(1, y), (1, z), (1, x), (2, z), (3, y), (3, z)}
A
1
2
3
a
b
R1 ◦ R2
c
d
x
y
z
R2
R1
B C
Teorema 5 Dados los conjuntos A, B, C y
D y las relaciones R1⊆ A × B, R2⊆ B × C y
R3⊆ C × D, entonces R1 ◦(R2 ◦ R3) = (R1
◦ R2)◦ R3.
A partir de ahora se podr´a expresar (sin am-
big¨uedad) R1 ◦ R2 ◦ R3.
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10. Teorema 6 Dados los conjuntos A, B, C y las
relaciones R⊆ A × B, S⊆ B × C, entonces
a) (R ◦ S)−1
= S−1 ◦ R−1.
b) R−1 −1
=R.
c) R−1 = (R)−1.
Teorema 7 Si R y S son relaciones de A en
B, entonces se verifica:
a) Si R⊆S, entonces R−1⊆S−1.
b) (R ∩ S)−1 =R−1 ∩ S−1.
c) (R ∪ S)−1 =R−1 ∪ S−1.
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11. Producto booleano de matrices
Definici´on 10 Dadas M ∈ Mm×n-{0,1} y N ∈
Mn×p-{0,1}, M = (mij) y N = (nij) tiene sen-
tido el producto booleano de ambas matrices
que se realiza de la siguiente forma:
M N =
n
k=1
(mik ∧ nkj)
La nueva matriz M N ∈ Mm×p-{0,1}.
Queda establecido en la definici´on que s´olo ad-
miten el producto booleano aquellas matrices
que est´an “encadenadas” en el sentido que el
n´umero de columnas de la primera matriz coin-
cide con el n´umero de filas de la segunda ma-
triz.
Ejemplo:
0 1 1 1
0 0 1 0
1 1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 1 0
0 1 0
=
0 1 1
0 1 0
1 1 1
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12. Es evidente que el producto booleano de matri-
ces no es conmutativo. Se deja como ejercicio
comprobar que es asociativo, es decir:
M (N Q) = (M N) Q
pudi´endose, por tanto representar el producto
booleano de tres matrices de la forma M N
Q.
Llamamos matrices-{0,1} cuadradas a aque-
llas que tienen el mismo n´umero de filas que
de columnas. En ellas tiene sentido el produc-
to M M que podemos representar por M2,
abreviando el s´ımbolo simplemente como M2,
quedando claro, dentro de este contexto, que
nos referimos al producto booleano.
Definici´on 11 Llamaremos matriz identidad de
orden n a la matriz-{0,1} cuadrada de n filas y
n columnas In = (δij) definida
δij =
1 si i = j
0 si i = j
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13. Ejemplo: Las matrices identidad de orden 2 y
3 son:
I2 =
1 0
0 1
; I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
In tiene la propiedad de dejar invariante a otra
matriz mediante el producto booleano. Si M
es una matriz cuadrada del mismo orden que
In se verifica que In M = M In = M.
Si M es una matriz-{0,1}, generalizamos las
potencias de M con el siguiente sentido:
1. M0 = In
2. Si n ∈ Z+ Mn = M Mn−1
Teorema 8 Si R1 y R2 son relaciones entre
conjuntos finitos y exite R1 ◦ R2, entonces
M(R1 ◦ R2) = M(R1) M(R2)
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14. Relaciones binarias
Definici´on 12 Llamaremos relaci´on binaria R
en un conjunto A a una relaci´on de A en A, es
decir un subconjunto de A × A.
De forma an´aloga se pueden definir las rela-
ciones n-arias como los subconjuntos del n-
producto cartesiano A × · · · × A = An.
Ejemplo: La relaci´on si A = {1, 2, 3, 4} y R=
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} po-
demos representarla por el grafo dirigido
1 2
34
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15. Relaci´on identidad: Sobre un conjunto A denotaremos
por I una relaci´on binaria
a I b ⇐⇒ a = b
en ocasiones especificaremos el conjunto como sub´ındice:
IA.
Si A es finito de n elementos, entonces M(I) = In:
Una relaci´on binaria R⊆ A × A se dice que es:
• Reflexiva: para cada a ∈ A, a R a.
• Sim´etrica: para cada a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a.
• Antisim´etrica: para cada a, b ∈ A, a R b y b R a ⇒
a = b.
• Transitiva: para cada a, b, c ∈ A, a R b y b R c ⇒
a R c.
Relaci´on de Equivalencia:
Reflexiva
sim´etrica
transitiva
Relaci´on de orden:
Reflexiva
antisim´etrica
transitiva
Ejemplos:
• Definimos sobre A = Z × Z∗ la relaci´on binaria (a, b) R
(c, d) ⇐⇒ ad = bc es de equivalencia.
• En Z+ se define la relaci´on binaria a | b es de orden.
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16. Definici´on 13 Dada R en A se define: a) R0=I,
y b) para todo n ∈ N, Rn+1=R ◦ Rn.
Si R est´a definida sobre un conjunto finito,
entonces es f´acil comprobar que
M(Rn) = M(R)n
Relaci´on de conectividad: Dada R en A,
construimos R∞ como sigue;
a R∞ b ⇐⇒ ∃ n ∈ Z+ | a Rn b
Es f´acil probar el siguiente
Teorema 9 Si R es una relaci´on binaria, en-
tonces
R∞=
∞
n=1
Rn
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17. Relaci´on de accesibilidad: An´alogamente definimos
R∗ como sigue:
a R∗
b ⇐⇒ ∃ n ∈ N | a Rn
b
es decir R∗=I ∪ R∞
Teorema 10 Si R es una relaci´on binaria, entonces
R∗
=
∞
n=0
Rn
Si A es finito, es trivial que el n´umero de posibles po-
tencias Rn es finito, con lo cual el c´alculo de R∞ y R∗
se realiza mediante un proceso finito.
Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4} y
R= {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 2)}
entonces
R2
= {(1, 4), (1, 2), (3, 4)}
R3
= {(1, 4)}
Rn
= ∅ para n ≥ 4
Por otro lado se tiene que
R∞
= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}
R∗
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),
(2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
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18. Teorema 11 R en A es reflexiva si y solo si
contiene a la relaci´on identidad.
R reflexiva ⇐⇒ I⊆R
Corolario 12 Dadas R y S en A, entonces:
a) Si R es reflexiva, tambi´en lo es R−1.
b) Si R y S son reflexivas, tambi´en lo son
R ∪ S y R ∩ S.
Teorema 13 Dada R en A:
a) R es sim´etrica ⇐⇒ R=R−1.
b) R es antisim´etrica ⇐⇒ R ∩ R−1⊆I.
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19. Corolario 14 Dadas R y S en A, entonces:
a) Si R es sim´etrica, tambi´en lo son R−1 y R.
b) Si R y S son sim´etricas, tambi´en lo son
R ∪ S y R ∩ S.
Teorema 15 Sea R en A, entonces R es tran-
sitiva, si y solo si R2⊆R
Corolario 16 Si R y S son transitivas, enton-
ces tambi´en R ∩ S lo es.
Teorema 17 Si R y S son antisim´etricas, en-
tonces tambi´en R ∩ S lo es.
Se deja como ejercicio expresar los teoremas y
corolarios anteriores en funci´on a la matriz de
la relaci´on sobre un conjunto finito.
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20. Representaci´on por grafos
Si un v´ertice a del grafo est´a unido mediante
una arista con un otro v´ertice b se dice que
a es adyacente a b. Puede ocurrir que dos
v´ertices sean mutuamente adyacentes, como
ocurre con los v´ertices 1 y 2 del ejemplo an-
terior. Un v´ertice adyacente consigo mismo se
dice que es un lazo.
Se tiene, por tanto que, una relaci´on es refle-
xiva si todos los v´ertices de su grafo son lazos.
Es sim´etrica si todos los v´ertices adyacentes lo
son mutuamente. Es antisim´etrica si no exis-
ten v´ertices mutuamente adyacentes.
Definici´on 14 Un v´ertice a de un grafo esta
unido a b por un camino de longitud k si existen
k + 1 v´ertices x0, x1, x2, . . . , xk tales que:
• a = x0
• ∀ i (1 ≤ i ≤ k) xi−1 es adyacente a xi
• b = xk
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21. Una relaci´on es transitiva si verifica que todo
v´ertice unido a otro por un camino de longitud
2 es adyacente a ´el.
1 2
3
Podemos construir las relaciones Rn a partir de
un grafo que represente a R, sin m´as que con-
siderar los caminos de longitud n. As´ı mismo,
se construye R∞ relacionando dos elementos
entre s´ı cuando existe alg´un camino (de cual-
quier longitud) que los enlaza.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
1
2
3
4
5
8
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22. Cierres
Definici´on 15 Dada una relaci´on binaria R so-
bre un conjunto A y una propiedad P, llama-
remos cierre P de R a una relaci´on R definida
sobre el mismo conjunto que verifica:
1. R posee la propiedad P.
2. R⊆R .
3. Si S posee la propiedad P y R⊆S, entonces
R ⊆S
Teorema 18 Si R es una relaci´on sobre A, en-
tonces su cierre reflexivo es
ρ(R) =R ∪ I
Si A es finito, desde el punto de vista matricial
se tiene
M(ρ(R)) = M(R) ∨ In.
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23. Teorema 19 Si R es una relaci´on sobre A, en-
tonces su cierre sim´etrico es σ(R) =R ∪ R−1
Si A es finito M(σ(R)) = M(R) ∨ M(R)T .
Ejemplo: M(R) =
1 0 0
0 1 1
0 1 0
y seg´un los teoremas anteriores:
M(ρ(R)) =
1 0 0
0 1 1
0 1 1
M(σ(R)) =
1 0 0
0 1 1
0 1 0
∨
1 0 0
0 1 1
0 1 0
=
1 0 0
0 1 1
0 1 0
Por tanto ρ(R) = {(1, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3)} y
σ(R) = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)} =R
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24. El cierre transitivo de una relaci´on binaria no es tan
f´acil como los anteriores. Obs´ervese que dada R, la
relaci´on R∞ es siempre transitiva(¿por qu´e?), de hecho,
se prueba
Teorema 20 Si R es una relaci´on sobre A, entonces su
cierre transitivo es τ(R) =R∞.
Ejemplo: Dada la relaci´on binaria cuya matriz es
M(R) =
0 0 1 0
1 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
calculamos las sucesivas potencias de M(R) que son:
M(R)2
=
0 0 1 0
0 1 1 1
0 0 1 0
1 1 0 1
M(R)3
= M(R)4
=
0 0 1 0
1 1 1 1
0 0 1 0
1 1 1 1
luego
M(R∞
) = M(R) ∨ M(R)2
∨ M(R)3
∨ M(R)4
=
0 0 1 0
1 1 1 1
0 0 1 0
1 1 1 1
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25. Algoritmo de Warshall
Definici´on 16 Dado un conjunto
A = {a1, a2, · · · , an}
y una relaci´on binaria R sobre A, definimos la
secuencia de matrices-(0,1) W0, W1, · · · , Wn cu-
yos elementos denotaremos Wk = (w
(k)
ij ) cons-
truidas del siguiente modo:
• W0 = M(R)
• para k > 0 se define Wk a partir de Wk−1
w
(k)
ij = w
(k−1)
ij ∨ (w
(k−1)
ik ∧ w
(k−1)
kj )
Teorema 21 (Algoritmo de Warshall) En las
condiciones de la defici´on anterior, se tiene que
Wn = M(R∞).
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27. Relaciones de equivalencia
Definici´on 17 Dado A = ∅, llamaremos parti-
ci´on de A a una colecci´on de subconjuntos no
vac´ıos de A tales que verifican:
i)
i∈I
Ai = A
ii) Los subconjuntos Ai son disjuntos dos a dos:
Ai ∩ Aj = ∅ para todo i = j
A
A
A
A A
1
2
3
4
5
Ejemplo: Si A = {1, 2, · · · , 10} son particiones de A:
• A1 = {1, 2, 3, 4, 5}, A2 = {6, 7, 8, 9, 10}
• A1 = {2, 4, 6}, A2 = {8, 10}, A3 = {1, 3},
A4 = {5, 7, 9}
• Ai = {2i − 1, 2i}, i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
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28. Definici´on 18 Si R es una relaci´on de equivalencia en
A y a ∈ A, llamaremos clase de equivalencia de a
[a] = {x ∈ A | x R a}
Teorema 22 Si R es una relaci´on de equivalencia sobre
A y a, b ∈ A, entonces:
i) a ∈ [a].
ii) a R b si y s´olo si [a] = [b].
iii) Si [a] = [b], entonces [a] ∩ [b] = ∅.
Ejemplo: si A = {1, 2, 3, 4, 5}, y R es la relaci´on binaria
definida en la figura, tenemos entonces dos clases de
equivalencia:
[1] = {1, 4} y [2] = {2, 3, 5}
2
3
4
5
1
Las clases de equivalencia sobre A o bien son iguales
o bien son disjuntas, y cada elemento pertenece a una
clase, la suya propia.
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29. Corolario 23 Las clases de equivalencia de u-
na relaci´on de equivalencia sobre un conjunto
A definen una partici´on sobre el conjunto.
El rec´ıproco de este corolario tambi´en se ve-
rifica, es decir: una partici´on {Ai: i ∈ I} sobre
un conjunto A tambi´en define una relaci´on de
equivalencia, a saber
a R b ⇐⇒ a, b pertenecen a Ai
y las clases de equivalencia de dicha relaci´on
coincide con la partici´on de la cual procede.
Definici´on 19 Al conjunto de todas las clases
de equivalencia definidas por R sobre A, se
le llama conjunto cociente y lo representamos
A/ R.
N´otese que en el conjunto cociente, las clases
de equivalencia, pasan de ser conjuntos a ser
elementos de dicho conjunto cociente.
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30. Ejemplos:
1. Dado n ∈ N, definimos la relaci´on de con-
gruencia m´odulo n sobre Z:
a R b ⇐⇒ a ≡ b (mod n) ⇐⇒
b − a es m´ultiplo de n
Es f´acil probar que es una relaci´on de e-
quivalencia. El conjunto cociente recibe el
nombre de enteros modulares
Z/ R= Zn = {[0], [1], · · · , [n − 1]}.
2. Q es tambi´en un conjunto cociente cons-
truido a partir de Z × (Z − {0}).
(m, n) R (m , n ) ⇐⇒ mn = nm
los elementos [(m, n)] ∈ Z × (Z − {0})/ R=
Q se llaman fracciones enteras o n´umeros
racionales y se representan
m
n
.
Prof. Francisco Rodr´ıguez 30
31. Sean π1 y π2 particiones de un conjunto A y
sean R1 y R2 sus respectiva relaciones de e-
quivalencia.
Definici´on 20 (Refinamientos) Diremos que
π1 es un refinamiento de π2 (π1 ≤ π2) si R1 ⊆
R2.
Definici´on 21 (Producto de particiones)
Llamamos π1·π2 a la partici´on correspondiente
a la relaci´on R1 ∩ R2.
Definici´on 22 (Suma de particiones)
Llamamos π1+π2 a la partici´on correspondien-
te a la relaci´on (R1 ∪ R2)∗.
Ejemplo: Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} y sean
π1 = {{a, b, c, d}, {e, f, g}, {h, i}, {j, k}}
π2 = {{a, b, c, h}, {d, i}, {e, f, j, k}, {g}}
entonces
π1 · π2 = {{a, b, c}, {d}, {e, f}, {g}, {h}, {i}, {j, k}}
π1 + π2 = {{a, b, c, d, h, i}, {e, f, g, j, k}}
Prof. Francisco Rodr´ıguez 31
32. Relaciones de orden
Diremos que una relaci´on R es de orden si verifica las
propiedades reflexiva, antisim´etrica y transitiva. Gene-
ralmente usaremos la notaci´on ≤ en lugar de R para
expresar relaciones de orden.
Definici´on 23 Diremos que un conjunto A es ordena-
do si hay definido en ´el alguna relaci´on de orden. Lo
representamos de la forma (A, ≤).
Orden total o lineal
Un conjunto ordenado (A, ≤) se dice que totalmente
ordenado o linealmente ordenado si para cada par de
elementos a, b ∈ A se tiene o bien a ≤ b o bien b ≤ a.
Un conjunto ordenado que no es totalmente ordenado
se dice que es parcialmente ordenado.
Diagramas de Hasse
Si E es finito, se puede representar un grafo, poniendo
los elementos “posteriores” a otros, en escalones supe-
riores unidos por una sucesi´on ascendente de arcos.
Ejemplo: Dado (A, |), donde
A = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 15, 16, 20, 30}
su diagrama de Hasse se puede representar
1
3 52
8 6 10 15
16 20 30
Prof. Francisco Rodr´ıguez 32
