El documento resume diferentes distribuciones de probabilidad como la distribución de Bernoulli, binomial, Poisson, normal, gamma y T de Student. Explica cada una de estas distribuciones definiendo sus parámetros y cómo se utilizan para modelar diferentes tipos de fenómenos aleatorios como ensayos de Bernoulli, número de éxitos en una secuencia de ensayos, ocurrencia de eventos, variables asociadas a fenómenos naturales, variables con asimetría positiva y estimación de medias poblacionales con muestras pequeñas.

1. Universidad Tecnológica de Torreón
Alumno: Carlos García Godoy
2° D
Procesos Industriales Área Manufactura
Profesor: Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz
Probabilidad

2. Distribución de Bernoulli
Distribución o Bernoulli, en teoría de probabilidad y estadística, la distribución de
Bernoulli, nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es
una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de
éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ( ).
Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único
experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable
aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .
La formulasera
f(x) = px(1 − p)1 − x con x = {0,1}
Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como
Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como
ensayos repetidos.
Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto
suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el
que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que de unas variables decir
que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar
éxito o fracaso a los posibles resultados de las pruebas obedece más una
tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que
pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento
mediante una v.a. discreta Xque toma los valores X=0 si el suceso no ocurre, y
X=1 en caso contrario, y que se denota
los elementos sólo pueden clasificarse en dos categorías, que generalmente se
llamarán "éxito" al suceso de probabilidad p y "fracaso" al suceso de
probabilidad q=1-p
La proporción de sucesos "éxito" y "fracaso" en la población es constante y no se
modifica cualquiera que sea la cantidad observada. Esto implica que los
elementos se reemplazan una vez observados en la población.
Las observaciones son independientes, la probabilidad de "éxito" es siempre la
misma, no se modifica.

3. Distribución binomial
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta
que mide el número de éxitos en una secuencia de numero de ensayos
de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del
éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son
posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una
probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En
la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma
independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de
éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de
Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de
parámetros n y p, se escribe:
Un ejemplo podría ser Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el
número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)
Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial.
Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad
del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado
de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina
éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes
en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).
Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido
en los n experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una
distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).

4. Distribución de poisson
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es
una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia
de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de
eventos durante cierto periodo de tiempo.
Fue descubierta por Simeon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su
trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et
matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias
criminales y civiles).
La distribución de Poisson se utiliza para describir cierto tipo de procesos, entre
los que se encuentran la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un
conmutador, la demanda (necesidades) de los pacientes que requieren servicio en
una institución de salud, las llegadas de camiones a una caseta de cobro y el
número de accidentes registrados en una cierta intersección de calles. Estos
ejemplos tienen en común un elemento: pueden ser descritos mediante una
variable aleatoria discreta que toma valores enteros (0, 1, 2, etc).
La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se
calcula mediante la fórmula:
P(x) = l x * e-l / x!
l x = Lambda
(número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x.
e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa.
x! = x factorial.

5. Distribución normal
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de
Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de variable continua que con
más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto
de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el
gráfico de de una función gaussiana.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos
naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran
parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables
incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse
asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas
independientes.
De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un
fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño
experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido
como método correlacional.
La distribución normal también es importante por su relación con la estimación
por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de
la normal son:
Caracteres de individuos como la estatura;
Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de
individuos;
Nivel de ruido en telecomunicaciones;
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por
ejemplo, la distribución muestral de las mediasmuestrales es aproximadamente normal,
cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es
normal.1 Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las
distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural
de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media
muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos
test estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".

6. Distribución gama
Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables
aleatorias continuas con
Asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de
sucesos a la izquierda de la
Media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre
positivos, (α) y (β) de los
que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α),
responsable de la
convergencia de la distribución.
La fórmula para la función de densidad gamma contiene dos parámetros α y β. El
parámetro β llamado parámetro de escala, refleja el tamaño de las unidades en
que se mide y es parámetro α se conoce como parámetro de forma, si se modifica
su valor cambia la forma de la distribución gamma, esto nos permite obtener
funciones de densidad de muchas formas distintas para modelar distribuciones de
frecuencia relativa de datos experimentales.
Cuando α = 1, la función de densidad gamma se denomina distribución
exponencial. Esta importante función de densidad se emplea como modelo para la
distribución de frecuencias relativa del tiempo entre llegadas a un mostrador de
servicio (centros de cómputo, caja de súper mercado, clínica hospitalaria, etc.)
Cuando la probabilidad de que un cliente llegue en cierta unidad de tiempo es
igual ala probabilidad de que llegue en cualquier otra. La función también se utiliza
como modelo para la duración de equipos o productos industriales cuando la
probabilidad de que un componente viejo opere por lo menos t unidades de tiempo
adicionales, dado que esta funcionando ahora. Es igual a la probabilidad de que
un componente nuevo opere al menos t unidades de tiempo.

7. Distribución T. de student
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de
probabilidad que surge del problema de estimar la media de
una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es
pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación
de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo
de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se
desconoce la típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los
datos de una muestra.
La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente
Donde
Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad
Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria
que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-
centralidad .