1. 1
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS – UNICAMP
CENTRO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA – CESET
ST302 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
PROF. MILTON GIACON JÚNIOR

2. 2
Apresentação.
Estas notas de aula, têm a finalidade de auxiliar ao aluno, no acompanhamento da
matéria de Resistência dos Materiais no dia a dia da escola. Nela procuramos apresentar a matéria de
uma forma resumida e clara. Constam resumos da teoria e alguns exemplos de exercícios resolvidos Não
é nossa pretensão apresentar aqui um tratado sobre a matéria, mas simplesmente tentar derrubar aquela
imagem corrente, que coloca Resistência dos Materiais como complicada e de difícil compreensão. O que
ocorre é que devido ao despreparo do aluno nas matérias básicas, fica de fato difícil ao aluno acompanhar
o desenrolar da matéria sem uma devida dedicação, pois são necessários conceitos firmes nas áreas de
Física e Matemática, principalmente, além de uma boa dose de atenção e bom senso.
A finalidade de uma boa escola, é desenvolver no aluno a capacidade de se virar
sozinho e não ficar dependente de professores, ou se ater somente àquilo que há nos cadernos e livros ou
nos exemplos resolvidos em sala, mas prepará-lo para o dia a dia profissional, onde todos os dias sua
capacidade será testada na solução de problemas inesperados que se apresentem diariamente e cuja
solução dependa exclusivamente da sua própria iniciativa e onde o profissional deve às vezes estudar
matérias que se apresentam até publicadas em outras línguas .
Juntos nós chegaremos lá.
Boa Sorte.

3. 3
Antes de começarmos a matéria propriamente dita, vamos rever rapidamente alguns conceitos
bastantes importantes para nós.
FORÇA : É uma grandeza vetorial, caracterizada pôr sua direção, intensidade e sentido.
MOMENTO : De uma força F em relação a um ponto O é um vetor tal que a sua intensidade é igual
ao produto do módulo da força pela sua distância ao ponto º
BINÁRIO :
RESULTANTE DE FORÇAS :
MOMENTO RESULTANTE :
∑∑M = 5 x 2 – 4 x 2 – 4 x 1 = - 2 tfm
Z
F
0 2 1 2 10
o
ZZ
2
M = F.z - F.z M = F( z - z )= F.z
o
F
Z
M = F . zM = F . z
o
Z
F
F
1
F
2 3
F 4
F
2F
F1 F3
4FR
5t4t
4
1n
2m 2m
0

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CONDIÇÕES DE EQUILIBRIO :
∑Fx = 0
∑Fy = 0 ⇒ ∑F = 0
∑M = 0
Todos estes conceitos apresentados acima, já devem ser do conhecimento da maioria dos alunos
que já os viram em Física ou Matemática, porém os que se apresentam a seguir, já são de um
conhecimento mais restrito à área técnica e portanto devemos nos ater mais a eles, pois se tratam de
conceitos novos e com os quais os alunos devem já ir se habituando.
Vejamos então alguns deles:
BARRA : Elemento da estrutura que transmite apenas esforços de tração e compressão.
CHAPA : Elemento que serve para transmitir todos os esforços existentes nas estruturas.
NÓ : É uma articulação através da qual , unem-se duas ou mais barras pela extremidade.
VÍNCULO : Apoios e articulações pelos quais são unidas as chapas entre si ou com a chapa terra
Veremos no transcorrer do curso que barras e chapas são desenhadas de maneiras distintas.
Porém os nós e os vínculos recebem a mesma representação, devendo ficar bem claro que a diferença é o
fato de uma une peças sujeitas somente esforços de tração e compressão e a outra peças sujeitas a todos os
tipos de esforços que ocorram na estrutura.
Com a utilização das peças descritas acima, poderemos representar através de um desenho,
qualquer tipo de estrutura, devendo porém tomar cuidado de utilizar as representação específica para cada
caso.
Vejamos então a representação das ligações das estruturas com o solo (chapa terra ), que por
ligarem chapas denominam-se VINCULOS .
VINCULAÇÃO DAS ESTRUTURAS:
1. APOIO MÓVEL
2. APOIO FIXO.
0 X
Y
F2
3F
F4
1F
R
OU OU
R
R
OU

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3. ENGASTE:
Vejamos como funciona :
Exemplo : Calcule os valores das rações de apoio.
1) 2)
3)
Ficando claro como as estruturas se ligam e como ocorrem as ligações entre elas , deveremos
estudar agora quais os efeitos que as cargas externas provocam internamente nas estruturas e para isso
vamos estudar os esforços solicitantes, que são o resultado interno das cargas externas.
ESFORÇOS SOLICITANTES
Suponhamos, uma viga (chapa ) sujeita a varias cargas e suportada por dois apoios, um fixo e
outro móvel como no desenho abaixo.
M
H
P
3tf
3m 2m
PnP4P32PP1
R 3
1R 2R
3tf
3tf
3tf
2m2m2m2m
2m
2m
424tf
45°

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Se no traço indicado, seccionarmos a peça, ela evidentemente cairá, o que não ocorria antes do
seccionamento, indicando ocorrerem ali esforços que não permitiam a separação da mesmas. Estes
esforços, denominam-se ESFORÇOS SOLICITANTES e representam aqueles esforços que ocorrem
internamente às peças e são devidos à interação entre as partículas dos materiais que a compõe; interação
esta que não permite a separação das partes sem que haja sobre elas um força de elevado valor.
Na realidade, ocorrem ali, esforços atuando em todas as direções e que devem ser agrupados
segundo algum critério para facilitar o nosso entendimento. Assim, agrupou-se estes esforços em várias
categorias , associando-se a elas um tipo de carga específico, como vemos abaixo.
FORÇA NORMAL : N é a resultante das forças horizontais que atuam na secção.
FORÇA CORTANTE : Q é a resultante das forças verticais que atuam na secção.
MOMENTO FLETOR : Mf ou M é a resultante dos momentos fletores atuando na secção
MOMENTO TORÇOR: Mt é a resultante dos momentos torçores que atuam na secção.
SIMPLIFICAÇÃO NO CASO PLANO: Com a finalidade de facilitar nosso trabalho, vamos agrupar
as cargas, conforme o plano em que atuam e estudá-las . Verificamos que os esforços Mf, Q e N atuam no
plano de cargas ( do papel ) e Mt no plano perpendicular a ele. Estudaremos inicialmente os três
primeiros e oportunamente Mt.
Deveremos ainda separá-las conforme os tipos de apoios, vejamos portanto a
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS:
Para a equação B = 3C + 2N onde B - no. de barras da estrutura
C - no. de chapas da estrutura
N - no. de nós da estrutura.
Quando ocorrer:
B < 3C + 2N ⇒ Estrutura Hipostática
B = 3C + 2N ⇒ Estrutura Isostática
B > 3C + 2N ⇒ Estrutura Hiperestática
ESTRUTURA HIPOSTÁTICA: Quando o numero de reações de apoio é menor que o número de
equações de equilíbrio
R3
1R
P1 4PP2P 3
2R
Pn
N
Q
Mt
Mt
F
1 2
F
R1
R1

7. 7
ESTRUTURA ISOSTÁTICA : Quando o número de reações de apoio é igual que o número de equações.
ESTRUTURA HIPERESTÁTICA : Quando o número de reações de apoio e maior que o numero de
equações( este caso será estudado em Estática)
Trabalharemos, por enquanto, somente com problemas isostáticos, veremos os casos
hiperestáticos oportunamente.
Para a resolução das equações, deveremos seguir os seguintes passos:
1. Identificar os tipos de vínculos;
2. Isolar o sistema, locando forças e reações;
3. Escrever e montar as equações de equilíbrio estático da estrutura;
4. Efetuar os cálculos;
5. Substituir os valores numéricos das equações;
6. Efetuar a verificação dos cálculos;
7. Desenhar os diagramas.
Vejamos como se escrevem as equações que serão utilizadas para o desenho dos diagramas.
FORÇA CORTANTE E MOMENTO - EQUAÇÕES
A viga está em equilíbrio sob a ação de P1 e P2 e das reações de apoio R1 e R2. Seccionando-se
a viga em a-a, distante x de R1 deveremos introduzir Q e M para que haja equilíbrio.
Assim:
1R
4R2R R 3
a
P1
x
R1
Q
MM
1R
L-x
P2
b
1
R R
2
2
F
1
F
2
F
3
R
R21R
X
P2
P1
Y
a
a
a
c
x
L
3R

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MOMENTO FLETOR (M): O momento M da figura é chamado Momento Fletor da secção a-a, (seu
valor é obtido com a utilização da equação da estática M=0). O seu valor é produzido por todos os
esforços que atuam na parte da viga, que se conservou em equilírio, depois que se abandonou a outra
parte e que produzem momento em a-a . Deve-se sempre considerar apenas uma parte da viga , à
esquerda ou à direita do ponto para o qual se deseja o valor de M.
Neste caso o momento é calculado: Mc= R1.x – P1.(x-a) ou Mc= R2.(1-x) – P2.[(1-x) – b]
CONVENÇÃO DE SINAIS:
M > 0 tração nas fibras inferiores. M < 0 tração nas fibras superiores.
FORÇA CORTANTE ( Q ): A força cortante Q é chamada Força Cortante da secção a-a ( seu valor é
obtido com a utilização da equação da estática Fv = 0). O seu valor é obtido com a somatória de todas
as componentes verticais que atuam à esquerda ou à direita de a-a . Aqui, também deveremos considerar
apenas uma parte da viga, à esquerda ou à direita do ponto para o qual se deseja o valor de Q.
Fv = 0 -Q + R1 – P1 = 0 Q = R1 – P1
CONVENÇÃO DE SINAIS:
Exercícios: Escrever as equações para : ( desprezar o peso próprio)
1) 2)
3)
Vamos ver as aplicações práticas.
Traçar os diagramas de M, N e Q. para:
1) 2)
3)
+ _
X
L
q
X P
1 2
X
3tf
3m 2m
424tf
45°
3tf
3tf
3tf
2m2m2m2m
2
m
2
m

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FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR - RELAÇÕES DIFERENCIAIS
Quando vamos representar os diagramas, é usual que apareçam cargas distribuídas, devendo-se então
lançar mão das relações diferenciais para que se entenda o procedimento.
Equilibrando-se o elemento vem:
∑Fv = 0 Q – ( Q+ dQ) – pdx = 0. E daí - dQ – pdx = 0 de onde vem p = -dQ_ I
dx
∑Mx = 0 M – ( M + dM ) + pdx . dx + ( Q + dQ).dx
0 2 0
M – M – dM + pdx2
+ Qdx + dQdx Q = dM II
2 dx
Derivando-se II em relação a x teremos :
d2
M = dQ = -p d2
M = -p
dx dx dx
Obs.: Quando M é máx. ⇒ dM = 0 ⇒ Q=0.
dx
MOMENTO ESTÁTICO
Momento estático: O momento estático de um elemento de área em relação a um eixo, situado no mesmo
plano que a superfície considerada, é o produto da área do elemento pela sua distância ao eixo
considerado.
dMx = ydS dMy = xdS
Momento estático: O momento estático de uma superfície de área em relação a um eixo, situado no
mesmo plano que a superfície considerada, é a integral dos momentos estáticos de todos os elementos de
uperfície finita.
Mx = ∫dMx = y.dS My = ∫d My = xdS
dx
X dxX
L
pdx
Q
M
X
X
Q+dQ
M+dM
Y
X
Y
X0
0 X
Y
X
Y

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CENTRO DE GRAVIDADE DE UMA SUPERFICIE PLANA
Mx = y.S ⇒ y = Mx = 1 . ∫yds
S S
Exemplos :
1) Calcular a posição do C.G. 2)
3) 4)
5)
3
0
5
5 2
5
5
3
4
6
5
5
1
0
6
1 2
2
6 2
5
0
555
4 5
5
5
5
2
0
5
5
3 0
5
5
5 3
0
1 5
5
1 7