1) O documento discute estimação estatística, que envolve usar dados amostrais para fazer inferências sobre parâmetros populacionais. 2) Existem dois métodos para determinar estimadores de parâmetros: o método dos momentos e o método da máxima verossimilhança. 3) Um intervalo de confiança é um intervalo que tem probabilidade especificada de conter o verdadeiro valor do parâmetro, e é usado para estimar parâmetros com mais precisão do que um único valor pontual.

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Estimação
A Estatística Descritiva tem por objectivo resumir ou descrever característi-
cas importantes de dados populacionais conhecidos. Na Inferência Estatística
utilizamos os dados amostrais para fazer inferências (ou generalizações) sobre
a população. As duas principais aplicações da estatística inferencial envol-
vem a utilização de dados amostrais para estimar o valor de um parâmetro
populacional e para formular uma conclusão sobre a população.
Vamos estudar como, a partir de estatísticas baseadas numa amostra
aleatória, podemos fazer inferências ou generalizações acerca do valor de
parâmetros de uma distribuição.
1 Estimador e estimativa
Um estimador (ou estimador pontual) de um parâmetro θ de uma popula-
ção é uma estatística amostral pΘ utilizada para obter uma aproximação do
parâmetro populacional θ. Por exemplo, a média amostral X é estimador
pontual da média μ da população.
Uma estimativa de um parâmetro θ de uma população é um valor espe-
cífico pθ, de uma estatística amostral pΘ, usado para aproximar o parâmetro
populacional θ. Por exemplo, o valor x do estimador X, calculado de uma
amostra aleatória é estimativa da média μ da população.
1.1 Métodos para determinar estimadores
Existem dois métodos gerais para obter estimadores de parâmetros da popu-
lação: o método dos momentos e o método da máxima verosimilhança.
O método dos momentos - devido a Karl Pearson - é um dos mais antigos
métodos de estimação pontual. De fácil aplicação, apesar de falta de uma
sólida justificação teórica, fornece frequentemente estimadores aceitáveis.
O método da máxima verosimilhança é um método melhor, o qual requer
usualmente soluções numéricas de equações não lineares. E se antes o método
dos momentos se popularizou face a esta dificuldade, a sua razão de ser desa-
pareceu face às facilidades computacionais actuais. Deve dizer-se, contudo,
que as estimativas do método dos momentos são ainda usadas como primeira
aproximação nos procedimentos iterativos para a resolução das equações de
verosimilhança.
O estudo destes dois métodos não faz parte do programa da disciplina de
Probabilidades e Estatística.
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1.1.1 Propriedades dos estimadores
1. Consistência: A consistência indica que, quanto maior for a amostra,
maior é a probabilidade do valor estimado do parâmetro estar próximo
de θ. Um estimador dir-se-á consistente se e só se P
”
| pΘ ´ θ |ď ε
ı
Ñ 1
quando n Ñ 8, @ε ą 0. Note-se que a consistência é fundamental-
mente, uma propriedade para grandes amostras.
2. Não enviesamento: Um estimador diz-se não enviesado se o valor espe-
rado por amostragem do estimador pΘ coincidir com θ, isto é, E
”
pΘ
ı
“
θ. Caso E
”
pΘ
ı
‰ θ, o estimador pΘ diz-se enviesado e a função b pθq,
dada por
b
´
pΘ
¯
“ E
”
pΘ
ı
´ θ
mede o enviesamento do estimador.
3. Eficiência e erro quadrático médio: Entre estimadores não-enviesados,
preferimos o estimador com menor variância, isto é, o estimador mais
eficiente. A eficiência de um estimador não-enviesado é a variância da
sua distribuição amostral. O erro quadrático médio de um estimador
pontual pΘ é definido como sendo o valor esperado do quadrado da
distância entre pΘ e θ, isto é,
EQM
´
pΘ
¯
“ E
„´
pΘ ´ θ
¯2
j
.
O erro quadrático médio é igual à soma da variância com o quadrado
do enviesamento. Assim, o erro quadrático médio de um estimador é a
sua variância quando o estimador é não-enviesado:
EQM
´
pΘ
¯
“ V ar
”
pΘ
ı
`
”
b
´
pΘ
¯ı2
.
Podemos, então, generalizar o conceito de eficiência: a eficiência de um
estimador é o erro quadrático médio da sua distribuição amostral.
4. Suficiência: Se for possível condensar, numa simples estatística, toda
a informação amostral relevante para o parâmetro a estimar, essa es-
tatística diz-se um estimador suficiente para o parâmetro em análise.
A estatística pΘ diz-se suficiente (ou exaustiva) para θ, se retira da
amostra observada x1, x2, . . . , xn toda a informação desejada sobre θ.
Qualquer outra informação contida na amostra, além do valor da es-
tatística suficiente, não contém mais informações sobre θ. Isto implica
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que as inferências sobre θ, obtidas de amostras distintas que conduzam
ao mesmo valor pθ de pΘ, são as mesmas, ou seja, a distribuição con-
dicional da amostra aleatória X1, X2, . . . , Xn, dado o valor de pΘ, não
depende de θ.
1.2 Estimação por intervalos de confiança
Em vários problemas de inferência estatística está-se interessado em construir
uma família de conjuntos - colecções de pontos - que contenham o verdadeiro
valor do parâmetro desconhecido com uma probabilidade alta especificada.
Tais colecções são vulgarmente conhecidas por intervalos de confiança.
Um intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) é uma amplitude
(ou um intervalo) de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro
valor da população. Um intervalo de confiança está associado a um nível
de confiança que é uma medida da nossa certeza de que o intervalo con-
tém o parâmetro populacional. Pretende-se construir intervalos que conte-
nham o valor do parâmetro populacional desconhecido com uma certa pro-
babilidade. Um intervalo de confiança aleatório para o parâmetro θ é um
intervalo
ı
pΘ1; pΘ2
”
, onde pΘ1 e pΘ2 são duas estatísticas amostrais tais que
P
”
pΘ1 ă θ ă pΘ2
ı
“ 1 ´ α, com 0 ă α ă 1, onde 1 ´ α é o nível de confi-
ança e α o nível de significância. Para uma amostra em particular obtêm-se
estimativas para as estatísticas amostrais pθ1 e pθ2. Diferentes amostras produ-
zem estimativas de intervalo diferentes, obtendo-se o intervalo deterministaı
pθ1; pθ2
”
. O nível de confiança é a probabilidade 1´α (normalmente expressa
como valor percentual equivalente) de o intervalo de confiança aleatório con-
ter o verdadeiro valor do parâmetro populacional. O nível de confiança é
também chamado grau de confiança ou coeficiente de confiança.
O nível de significância α pα P s0, 1rq é a probabilidade do intervalo de
confiança aleatório não conter o verdadeiro valor do parâmetro θ. Quanto
mais pequena for a amplitude de um intervalo de confiança, maior é a precisão
desse intervalo. Idealmente, um intervalo de confiança deverá ter amplitude
pequena e nível de confiança elevado. Infelizmente, para um tamanho da
amostra fixo, o coeficiente de confiança só pode aumentar, se a amplitude do
intervalo também aumentar. Além disso, em geral, para valores do coefici-
ente de confiança elevados, a amplitude do intervalo de confiança aumenta
rapidamente.
São escolhas comuns para o nível de confiança: 90% (com α “ 0, 1), 95%
(com α “ 0, 05) e 99% (com α “ 0, 01). A mais comum é a opção 95%, por-
que proporciona bom equilíbrio entre a precisão (reflectida na amplitude do
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intervalo de confiança) e a confiabilidade (expressa pelo nível de confiança),
no entanto, pode ser utilizado outro nível de confiança.
Como vimos, a estimativa intervalar consiste em um intervalo e está asso-
ciada a um nível de confiança. O nível de confiança 1´α deve ser interpretado
como uma probabilidade, do intervalo de confiança aleatório conter o parâme-
tro θ, anterior à realização da amostragem e portanto, anterior à estimação
dos limites do intervalo. Este aspecto da probabilidade ser anterior à realiza-
ção da amostragem é fundamental. Na prática, não se sabe se um intervalo
determinista
ı
pθ1, pθ2
”
, obtido de uma amostra particular, contém ou não o
parâmetro θ, porque o valor de θ é desconhecido. Devemos ter em conta que
θ é um valor fixo e não uma variável aleatória; portanto, é errado dizer que
há 95% de hipóteses de θ estar no intervalo determinista. Qualquer intervalo
de confiança contém, ou não contém θ e como θ é fixo e desconhecido, não
existe a probabilidade de θ estar num intervalo.
Existe a probabilidade condicional, posterior à realização da amostragem,
P
”
pΘ1 ă θ ă pΘ2 | pΘ1 “ pθ1; pΘ2 “ pθ2
ı
“
"
0 , se o intervalo não contém θ
1 , se o intervalo contém θ
.
O nível de confiança não se refere ao evento condicional
pΘ1 ă θ ă pΘ2 | pΘ1 “ pθ1; pΘ2 “ pθ2,
o intervalo de confiança observado, que nada tem de aleatório, mas refere-se
ao intervalo pΘ1 ă θ ă pΘ2 e indica a probabilidade deste intervalo aleatório
conter o parâmetro θ. Ou seja, o nível de confiança indica a proporção de
vezes que os intervalos observados
ı
pθ1, pθ2
”
contêm o parâmetro θ. Interpre-
tamos este intervalo de confiança como se segue: Se seleccionássemos muitas
amostras diferentes de tamanho n da população e construíssemos um inter-
valo de 95% de confiança análogo para cada amostra, 95% desses intervalos
conteriam efectivamente o parâmetro populacional θ.
Para a construção de um intervalo de confiança deverá proceder-se da
seguinte forma:
1. identificar a população, a sua distribuição e o parâmetro a estimar;
2. estabelecer um nível de confiança e o tamanho da amostra;
3. escolher a variável fulcral, que é a estatística a escolher para estimar o
parâmetro. A variável fulcral contém o parâmetro a estimar na sua ex-
pressão e a sua distribuição não pode depender do parâmetro a estimar
nem de quaisquer outros valores que se desconheçam;
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4. identificar a distribuição amostral da variável fulcral;
5. construir o intervalo de confiança aleatório;
6. determinar os extremos do intervalo de confiança a partir dos valores
da amostra observada, obtendo o intervalo de confiança determinista.
Nota 1.1. Consultar o quadro resumo sobre intervalos de confiança para
uma e duas populações.
1.2.1 Intervalo de confiança para a média
• Se σ é conhecido, X é uma variável aleatória com distribuição normal
e n qualquer então
sI1´αrμ “
j
X ´
σ
?
n
Z1´ α
2
; X `
σ
?
n
Z1´ α
2
„
,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0; 1q;
α/2 α/2
1−α
0
1− α/2−Z 1− α/2Z
• Se σ é conhecido, X é uma variável aleatória com distribuição arbitrária
e n ą 30 então
sI1´αrμ “
j
X ´
σ
?
n
Z1´ α
2
; X `
σ
?
n
Z1´ α
2
„
,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0; 1q;
• Se σ é desconhecido, X é uma variável aleatória com distribuição arbi-
trária e n ą 30 então
sI1´αrμ “
j
X ´
S
?
n
Z1´ α
2
; X `
S
?
n
Z1´ α
2
„
,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0; 1q;
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• Se σ é desconhecido, X é uma variável aleatória com distribuição nor-
mal e n qualquer então
sI1´αrμ “
j
X ´
S
?
n
tn´1;1´ α
2
; X `
S
?
n
tn´1;1´ α
2
„
,
onde tn´1;1´ α
2
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição tn´1.
α/2 α/2
1−α
0
n−1;1− α/2−t n−1;1− α/2t
Quando utilizamos dados amostrais para estimar uma média populacional
μ, a margem de erro, denotada por E, é a diferença máxima provável (com
probabilidade 1´α) entre a média amostral observada X e a verdadeira média
populacional μ. A margem de erro E também é chamada erro máximo da
estimativa e pode ser obtida por:
σ
?
n
Z1´ α
2
ou
S
?
n
Z1´ α
2
ou
S
?
n
tn´1;1´ α
2
,
conforme o caso.
Assim, antes de efectuar a amostragem, pode estimar-se, com um nível
de confiança de 1 ´ α dado, o tamanho n da amostra que garante um erro
máximo de estimativa (precisão) que não ultrapasse um valor ε desejado.
Para isso, consoante o caso, resolvemos a inequação:
σ
?
n
Z1´ α
2
ď ε
ou
S
?
n
Z1´ α
2
ď ε,
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em ordem a n, obtendo-se, respectivamente:
n ě
ˆ
σZ1´ α
2
ε
˙2
ou
n ě
ˆ
SZ1´ α
2
ε
˙2
,
pelo que basta tomar para n o menor inteiro que satisfaz a desigualdade.
É imediato concluir que para diminuir o erro é necessário aumentar o
tamanho da amostra. Nos casos em que a variância populacional σ2
é desco-
nhecida, antes de se determinar a ordem de grandeza de n recorre-se a uma
amostra preliminar de tamanho n ą 30 para calcular S.
Exemplo 1.1. Um fabricante produz peças de peso especificado em 200 gra-
mas. Querendo estimar o verdadeiro peso médio num grande lote a fornecer
ao seu maior cliente, seleccionou 35 peças ao acaso, que depois de pesadas
forneceram os seguintes valores:
ř35
i“1 xi “ 7140 e
ř35
i“1 pxi ´ xq2
“ 560.
(a) Apresente uma estimativa para o peso médio das peças do lote;
Como X “
řn
i“1 Xi
n
obtém-se x “
ř35
i“1 xi
35
“ 7140
35
“ 204 gramas.
(b) Construa um intervalo de confiança a 95% para o peso médio das peças
do lote;
Seja X - “peso, em gramas, das peças do lote”. Pretendemos um inter-
valo de confiança para o verdadeiro peso médio das peças.
– Parâmetro a estimar: μ;
– Tipo de população: desconhecida;
– Dimensão da amostra: n “ 35;
– Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
– Variável fulcral: X´μ
S?
n
9„N p0; 1q;
– Outros dados: Como S “
c
řn
i“1pXi´Xq
2
n´1
obtém-se s “
bř35
i“1pxi´xq2
34
“
b
560
34
“ 4, 058;
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α/2 α/2
1−α
0
1− α/2−Z 1− α/2Z
com ´Z1´ α
2
“ ´Z0,975 “ ´1, 96 e Z1´ α
2
“ Z0,975 “ 1, 96.
Logo tem-se
P
„
´Z1´ α
2
ă X´μ
S?
n
ă Z1´ α
2
j
“ 1 ´ α ô
ô P
„
´1, 96 ă X´μ
S?
n
ă 1, 96
j
“ 0, 95 ô
ô P
”
´1, 96 ˆ S?
n
ă X ´ μ ă 1, 96 ˆ S?
n
ı
“ 0, 95 ô
ô P
”
X ´ 1, 96 ˆ S?
n
ă μ ă X ` 1, 96 ˆ S?
n
ı
“ 0, 95.
Obtendo-se, o intervalo aleatório:
sI0,95rμ “
j
X ´ 1, 96 ˆ
S
?
n
; X ` 1, 96 ˆ
S
?
n
„
e o intervalo determinista:
sI0,95r˚
μ “
j
204 ´ 1, 96 ˆ
4, 058
?
35
; 204 ` 1, 96 ˆ
4, 058
?
35
„
“
“ s202, 656; 205, 344r.
Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que o peso médio das
peças do lote se situe entre 202, 656 gramas e 205, 344 gramas.
(c) Qual deve ser a dimensão mínima da amostra para que a amplitude do
intervalo de confiança a 95% para o peso médio seja inferior a 1, 75?
Amplitude do intervalo “
´
X ` 1, 96 ˆ S?
n
¯
´
´
X ´ 1, 96 ˆ S?
n
¯
“ 2ˆ
1, 96 ˆ S?
n
. Pretende-se que Amplitude ă 1, 75 ô 2 ˆ 1, 96 ˆ 4,058?
n
ă
1, 75 ô n ą 80, 63. A dimensão mínima da amostra é de 81 peças.
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Exemplo 1.2. O tempo em horas de funcionamento sem falha de um com-
ponente electrónico tem distribuição aproximadamente normal. Para esti-
mar os parâmetros da referida distribuição foi recolhida uma amostra aleató-
ria de 15 componentes para os quais foram observados os tempos de fun-
cionamento. Obtiveram-se os seguintes resultados:
ř15
i“1 xi “ 147180 eř15
i“1 x2
i “ 1446552944.
(a) a) Indique estimativas pontuais do tempo médio de funcionamento sem
falha e do desvio padrão do tempo de funcionamento sem falha deste
tipo de componentes.
Como X “
řn
i“1 Xi
n
obtém-se x “
ř15
i“1 xi
15
“ 147180
15
“ 9812 horas.
Como S “
břn
i“1 X2
i ´nX
2
n´1
obtém-se s “
b
1446552944´15ˆ98122
14
“
?
173056 “
416 horas.
(b) b) Construa um intervalo de confiança a 95% para o tempo médio de
funcionamento sem falha de um componente electrónico.
Seja X - “tempo de funcionamento sem falha de um componente electró-
nico em horas”. Pretendemos um intervalo de confiança para o tempo
médio de funcionamento sem falha de um componente electrónico.
– Parâmetro a estimar: μ;
– Tipo de população: normal;
– Dimensão da amostra: n “ 15;
– Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
– Variável fulcral: X´μ
S?
n
„ tn´1;
– Outros dados: x “ 9812 e s “ 416;
α/2 α/2
1−α
0
n−1;1− α/2−t n−1;1− α/2t
com ´tn´1;1´ α
2
“ ´t14;0,975 “ ´2, 1448 e tn´1;1´ α
2
“ t14;0,975 “
2, 1448.
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Logo tem-se
P
„
´tn´1;1´ α
2
ă X´μ
S?
n
ă tn´1;1´ α
2
j
“ 1 ´ α ô
ô P
„
´2, 1448 ă X´μ
S?
n
ă 2, 1448
j
“ 0, 95 ô
ô P
”
´2, 1448 ˆ S?
n
ă X ´ μ ă 2, 1448 ˆ S?
n
ı
“ 0, 95 ô
ô P
”
X ´ 2, 1448 ˆ S?
n
ă μ ă X ` 2, 1448 ˆ S?
n
ı
“ 0, 95.
Obtendo-se, o intervalo aleatório:
sI0,95rμ “
j
X ´ 2, 1448 ˆ
S
?
n
; X ` 2, 1448 ˆ
S
?
n
„
e o intervalo determinista:
sI0,95r˚
μ “
j
9812 ´ 2, 1448 ˆ
416
?
15
; 9812 ` 2, 1448 ˆ
416
?
15
„
“
“ s9581, 625; 10042, 375r.
Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que o tempo médio de
funcionamento sem falha de um componente electrónico se situe entre
9581, 625 horas e 10042, 375 horas.
1.2.2 Intervalo de confiança para a proporção
Se n ą 30 (amostras grandes) então
sI1´αrp “
ff
pp ´ Z1´ α
2
c
pp p1 ´ ppq
n
; pp ` Z1´ α
2
c
pp p1 ´ ppq
n
«
,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição N p0; 1q.
Erro máximo da estimativa:
E “ Z1´ α
2
c
pp p1 ´ ppq
n
.
Tamanho da amostra:
n ě pp p1 ´ ppq
ˆ
Z1´ α
2
ε
˙2
,
onde ε é o valor do erro pretendido.
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Exemplo 1.3. O dono de uma ervanária produz um chá, relativamente ao
qual, afirma ser eficaz em pelo menos 85% dos casos para curar dores de
cabeça. Num inquérito feito a 250 pessoas, 198 concordaram que o chá cura
de facto as dores de cabeça. Construa um intervalo de confiança com um
nível de 95% para a percentagem de potenciais consumidores que concordam
com o dono da ervanária.
Seja X - “número de consumidores que concorda com o dono da ervaná-
ria”. Pretendemos um intervalo de confiança para a percentagem de potenci-
ais consumidores que concordam com o dono da ervanária.
• Parâmetro a estimar: p;
• Tipo de população: Bernoulli;
• Dimensão da amostra: n “ 250;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
• Variável fulcral: pp´pb
ppp1´ppq
n
9„N p0; 1q;
• Outros dados: pp “ 198
250
“ 0, 792;
α/2 α/2
1−α
0
1− α/2−Z 1− α/2Z
com ´Z1´ α
2
“ ´Z0,975 “ ´1, 96 e Z1´ α
2
“ Z0,975 “ 1, 96.
Logo tem-se
P
„
´Z1´ α
2
ă pp´pb
ppp1´ppq
n
ă Z1´ α
2
j
“ 1 ´ α
P
„
´1, 96 ă pp´pb
ppp1´ppq
n
ă 1, 96
j
“ 0, 95 ô
ô P
„
´1, 96 ˆ
b
ppp1´ppq
n
ă pp ´ p ă 1, 96 ˆ
b
ppp1´ppq
n
j
“ 0, 95 ô
ô P
„
pp ´ 1, 96 ˆ
b
ppp1´ppq
n
ă p ă pp ` 1, 96 ˆ
b
ppp1´ppq
n
j
“ 0, 95.
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Obtendo-se o intervalo aleatório:
sI0,95rp “
ff
pp ´ 1, 96 ˆ
c
pp p1 ´ ppq
n
; pp ` 1, 96 ˆ
c
pp p1 ´ ppq
n
«
e o intervalo determinista:
sI0,95r˚
p “
ff
0, 792 ´ 1, 96 ˆ
c
0, 792 ˆ 0, 208
250
;
0, 792 ` 1, 96 ˆ
c
0, 792 ˆ 0, 208
250
«
“
“ s0, 7417; 0, 8423r.
Estima-se que a percentagem de potenciais consumidores que concordam com
o dono da ervanária se situe entre 74, 17% e 84, 23%, a um nível de confiança
de 95%.
1.2.3 Intervalo de confiança para a variância duma população nor-
mal
sI1´αrσ2 “
ff
pn ´ 1q S2
χ2
n´1;1´ α
2
;
pn ´ 1q S2
χ2
n´1; α
2
«
,
onde χ2
n´1;1´ α
2
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição χ2
n´1 e χ2
n´1; α
2
é o
percentil 100 ˆ α
2
da distribuição χ2
n´1.
Este resultado não deve ser usado no caso de populações claramente não
normais.
α/2
1−α
n−1;1− α/2χ
α/2
2
n−1;α/2χ2
Se pretendermos obter o intervalo de confiança para o desvio padrão faz-se
sI1´αrσ “
ffd
pn ´ 1q S2
χ2
n´1;1´ α
2
;
d
pn ´ 1q S2
χ2
n´1; α
2
«
.
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
12/23

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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
Exemplo 1.4. Um laboratório pretende avaliar a variabilidade associada ao
resultado de um determinado método de análise química. Com esse objectivo,
efectuaram-se 17 análises a uma determinada substância em que se seguiu
o referido método, em condições perfeitamente estabilizadas. A variância
amostral dos resultados, expressos numa determinada unidade, foi de 2, 70.
Admitindo que o resultado das análises segue uma distribuição normal, cons-
trua um intervalo de confiança a 95% para o desvio padrão dos resultados do
método de análise química.
Seja X - “resultado de um determinado método de análise química”. Pre-
tendemos um intervalo de confiança para o verdadeiro desvio padrão dos
resultados do método de análise química. Vamos começar por construir o
intervalo de confiança para a variância.
• Parâmetro a estimar: σ2
;
• Tipo de população: normal;
• Dimensão da amostra: n “ 17;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
• Variável fulcral: pn´1qS2
σ2 „ χ2
n´1;
• Outros dados: s2
“ 2, 70;
α/2
1−α
n−1;1− α/2χ
α/2
2
n−1;α/2χ2
com χ2
n´1; α
2
“ χ2
16;0,025 “ 6, 9077 e χ2
n´1;1´ α
2
“ χ2
16;0,975 “ 28, 8454.
Logo tem-se
P
”
χ2
n´1; α
2
ă pn´1qS2
σ2 ă χ2
n´1;1´ α
2
ı
“ 1 ´ α ô
ô P
”
6, 9077 ă pn´1qS2
σ2 ă 28, 8454
ı
“ 0, 95 ô
ô P
”
6,9077
pn´1qS2 ă 1
σ2 ă 28,8454
pn´1qS2
ı
“ 0, 95 ô
ô P
”
pn´1qS2
28,8454
ă σ2
ă pn´1qS2
6,9077
ı
“ 0, 95.
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
13/23
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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
Obtendo-se, o intervalo aleatório:
sI0,95rσ2 “
j
pn ´ 1q S2
28, 8454
;
pn ´ 1q S2
6, 9077
„
e o intervalo determinista:
sI0,95r˚
σ2 “
j
16 ˆ 2, 70
28, 8454
;
16 ˆ 2, 70
6, 9077
„
“
“ s1, 4976; 6, 2539r.
Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que variância dos resultados
do método de análise química se situe entre 1, 2238 e 2, 5008.
O intervalo de confiança para o desvio padrão será:
sI0,95r˚
σ “ s1, 4976; 6, 2539r.
Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que o desvio padrão dos re-
sultados do método de análise química se situe entre 1, 2238 e 2, 5008.
1.2.4 Intervalo de confiança para a diferença de valores médios
com duas amostras independentes
• Se σ1 e σ2 são conhecidos, X1 e X2 seguem uma distribuição normal e
n1 e n2 quaisquer então
sI1´αrμ1´μ2
“
fi
fl
`
X1 ´ X2
˘
´
d
σ2
1
n1
`
σ2
2
n2
Z1´ α
2
;
`
X1 ´ X2
˘
`
d
σ2
1
n1
`
σ2
2
n2
Z1´ α
2
»
– ,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0, 1q;
• Se σ1 e σ2 são conhecidos, X1 e X2 seguem uma distribuição arbitrária
e n1 ą 30 e n2 ą 30 então
sI1´αrμ1´μ2
“
fi
fl
`
X1 ´ X2
˘
´
d
σ2
1
n1
`
σ2
2
n2
Z1´ α
2
;
`
X1 ´ X2
˘
`
d
σ2
1
n1
`
σ2
2
n2
Z1´ α
2
»
– ,
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
14/23

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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0, 1q;
• se σ1 e σ2 são desconhecidos, X1 e X2 seguem uma distribuição arbi-
trária e n1 ą 30 e n2 ą 30 então
sI1´αrμ1´μ2
“
fi
fl
`
X1 ´ X2
˘
´
d
S1
2
n1
`
S2
2
n2
Z1´ α
2
;
`
X1 ´ X2
˘
`
d
S1
2
n1
`
S2
2
n2
Z1´ α
2
»
– ,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0, 1q;
• Se σ1 e σ2 são desconhecidos, as populações são homocedásticas pσ2
1 “ σ2
2q,
X1 e X2 seguem uma distribuição normal e n1 e n2 quaisquer então
sI1´αrμ1´μ2
“
‰`
X1 ´ X2
˘
´ A ˆ tn1`n2´2;1´ α
2
;
`
X1 ´ X2
˘
` A ˆ tn1`n2´2;1´ α
2
“
,
onde
A “
d
pn1 ´ 1q S1
2
` pn2 ´ 1q S2
2
n1 ` n2 ´ 2
ˆ
1
n1
`
1
n2
˙
e tn1`n2´2;1´ α
2
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição tn1`n2´2;
• Se σ1 e σ2 são desconhecidos, as populações são heterocedásticas pσ2
1 ‰ σ2
2q,
X1 e X2 seguem uma distribuição normal e n1 e n2 quaisquer então
sI1´αrμ1´μ2
“
fi
fl
`
X1 ´ X2
˘
´
d
S1
1
2
n1
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S1
2
2
n2
tr;1´ α
2
;
`
X1 ´ X2
˘
`
d
S1
2
n1
`
S2
2
n2
tr;1´ α
2
»
– ,
onde r é o número natural mais próximo de r˚
e este é dado por
r˚
“
´
S1
2
n1
` S2
2
n2
¯2
1
n1´1
´
S1
2
n1
¯2
` 1
n2´1
´
S2
2
n2
¯2 .
Estimação
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15/23
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Exemplo 1.5. Um campo experimental foi utilizado para testar o cresci-
mento de duas espécies florestais, A e B. Analisaram-se 200 árvores da
espécie A com 2 anos de idade, obtendo-se uma altura média de 145cm e um
desvio padrão de 15cm. Uma amostra de 150 árvores da espécie B, com a
mesma idade, conduziu a uma altura média de 141cm e um desvio padrão de
12cm. Pretende-se determinar o intervalo de confiança a 95% para a dife-
rença entre os valores esperados das alturas das duas espécies ao fim de dois
anos.
Sejam X1 - “altura, em cm, das árvores da espécie A” e X2 - “altura, em
cm, das árvores da espécie B”. Pretendemos um intervalo de confiança para
a diferença entre os valores esperados das alturas das duas espécies ao fim
de dois anos.
• Parâmetro a estimar: μ1 ´ μ2;
• Tipos de população: Quaisquer;
• Dimensão das amostras: n1 “ 200 e n2 “ 150;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
• Variável fulcral:
pX1´X2q´pμ1´μ2q
c
S2
1
n1
`
S2
2
n2
9„N p0; 1q;
• Outros dados: x1 “ 145, x2 “ 141, s1 “ 15 e s2 “ 12;
α/2 α/2
1−α
0
1− α/2−Z 1− α/2Z
com ´Z1´ α
2
“ ´Z0,975 “ ´1, 96 e Z1´ α
2
“ Z0,975 “ 1, 96.
Logo tem-se
P
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–´Z1´ α
2
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pX1´X2q´pμ1´μ2q
c
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2
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pX1´X2q´pμ1´μ2q
c
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1
n1
`
S2
2
n2
ă 1, 96
fi
fl “ 0, 95 ô
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
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ô P
„
´1, 96 ˆ
b
S2
1
n1
`
S2
2
n2
ă
`
X1 ´ X2
˘
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ˆ
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1
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“ 0, 95 ô
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X1 ´ X2
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`
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X1 ´ X2
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` 1, 96ˆ
ˆ
b
S2
1
n1
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S2
2
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j
“ 0, 95.
Obtendo-se o intervalo aleatório:
sI0,95rμ1´μ2
“
fi
fl
`
X1 ´ X2
˘
´ 1, 96 ˆ
d
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X1 ´ X2
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`
S2
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–
e o intervalo determinista:
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μ1´μ2
“
ff
p145 ´ 141q ´ 1, 96 ˆ
c
152
200
`
122
150
;
p145 ´ 141q ` 1, 96 ˆ
c
152
200
`
122
150
«
“
“ s1, 1698; 6, 8302r.
Estima-se que a diferença entre os valores esperados das alturas das duas
espécies ao fim de dois anos se situe entre 1, 1698cm e 6, 8302cm, a um nível
de confiança de 95%.
Exemplo 1.6. Um determinado método de análise permite determinar o
conteúdo de enxofre no petróleo bruto. Os ensaios efectuados em 10 e 8
amostras de 1kg de petróleo bruto, provenientes de furos pertencentes respec-
tivamente aos campos A e B, revelaram os seguintes resultados (em gramas):
• Campo A: 105, 111, 114, 112, 106, 110, 109, 107, 112, 110.
• Campo B: 101, 106, 104, 105, 103, 110, 108, 109.
Considere que o conteúdo de enxofre por quilograma de petróleo bruto, medido
em gramas para os dois campos, se pode considerar normal com variâncias
iguais e que as amostras obtidas são independentes. Determine um intervalo,
Estimação
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17/23
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com 95% de confiança, para a diferença entre os valores médios da quantidade
de enxofre por quilograma de petróleo proveniente de cada campo.
Sejam X1 - “conteúdo de enxofre no petróleo bruto no campo A, em gra-
mas” e X2 - “conteúdo de enxofre no petróleo bruto no campo B, em gramas”.
Pretendemos um intervalo de confiança para a diferença entre os valores mé-
dios da quantidade de enxofre por quilograma de petróleo proveniente de cada
campo.
• Parâmetro a estimar: μ1 ´ μ2;
• Tipos de população: Normais;
• Dimensão das amostras: n1 “ 10 e n2 “ 8;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
• Variável fulcral:
pX1´X2q´pμ1´μ2q
c
pn1´1qS2
1
`pn2´1qS2
2
n1`n2´2
´
1
n1
` 1
n2
¯ „ tn1`n2´2;
• Outros dados: x1 “ 109, 6, x2 “ 105, 75, s2
1 “ 8, 267 e s2
2 “ 9, 643;
α/2 α/2
1−α
0
n +n −2;1− α/2−t 1 2
n +n −2;1− α/2t 1 2
com ´tn1`n2´2;1´ α
2
“ ´t16;0,975 “ ´2, 1199 e tn1`n2´2;1´ α
2
“ t16;0,975 “
2, 1199.
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2
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2
n1`n2´2
´
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n2
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2
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–´2, 1199 ă
pX1´X2q´pμ1´μ2q
c
pn1´1qS2
1
`pn2´1qS2
2
n1`n2´2
´
1
n1
` 1
n2
¯ ă 2, 1199
fi
fl “ 0, 95
Para aligeirar esta expressão podemos considerar
A “
d
pn1 ´ 1q S2
1 ` pn2 ´ 1q S2
2
n1 ` n2 ´ 2
ˆ
1
n1
`
1
n2
˙
Estimação
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tendo-se
P
“
´2, 1199 ˆ A ă
`
X1 ´ X2
˘
´ pμ1 ´ μ2q ă 2, 1199 ˆ A
‰
“ 0, 95 ô
ô P
“`
X1 ´ X2
˘
´ 2, 1199 ˆ A ă μ1 ´ μ2 ă
`
X1 ´ X2
˘
`
`2, 1199 ˆ As “ 0, 95.
Obtendo-se o intervalo aleatório:
sI0,95rμ1´μ2
“
‰`
X1 ´ X2
˘
´ 2, 1199 ˆ A;
`
X1 ´ X2
˘
` 2, 1199 ˆ A
“
.
Para obter o intervalo determinista teremos que calcular
A “
d
9 ˆ 8, 267 ` 7 ˆ 9, 643
16
ˆ
1
10
`
1
8
˙
“ 1, 413
e tem-se:
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μ1´μ2
“ sp109, 6 ´ 105, 75q ´ 2, 1199 ˆ 1, 413; p109, 6 ´ 105, 75q `
`2, 1199 ˆ 1, 413r “
“ s0, 855; 6, 845r.
Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que a diferença entre os valo-
res médios da quantidade de enxofre por quilograma de petróleo proveniente
de cada campo se situe entre 0, 855 gramas e 6, 845 gramas.
1.2.5 Intervalo de confiança para a diferença de proporções com
duas amostras independentes
Se n1 ą 30 e n2 ą 30 (amostras grandes) então
sI1´αrp1´p2
“
ff
ppp1 ´ pp2q ´
d
pp1 p1 ´ pp1q
n1
`
pp2 p1 ´ pp2q
n2
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2
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n2
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2
«
,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição N p0, 1q.
Estimação
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19/23
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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
Exemplo 1.7. Uma grande cadeia de venda a retalho pretende comparar os
hábitos de compra de homens e mulheres. Uma das variáveis em estudo con-
siste na proporção de vezes que uma compra é concretizada após a entrada
numa loja. Em 45 observações seleccionadas aleatoriamente, os homens re-
alizaram compras 27 vezes. No caso das mulheres, em 74 observações a
compra concretizou-se 32 vezes. Com base nestes dados, construa o intervalo
de confiança a 95% para a diferença entre as proporções de concretização de
compras entre homens e mulheres.
Sejam X1 - “número de vezes que a compra é concretizada pelos homens”
e X2 - “número de vezes que a compra é concretizada pelas mulheres”. Pre-
tendemos um intervalo de confiança para a diferença entre as proporções de
concretização de compras entre homens e mulheres.
• Parâmetro a estimar: p1 ´ p2;
• Tipos de população: Bernoulli;
• Dimensão das amostras: n1 “ 45 e n2 “ 74;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
• Variável fulcral: ppp1´pp2q´pp1´p2qc
pp1p1´pp1q
n1
`
pp2p1´pp2q
n2
9„N p0; 1q;
• Outros dados: pp1 “ 27
45
“ 0, 6, pp2 “ 32
74
“ 0, 43, s1 “ 15 e s2 “ 12;
α/2 α/2
1−α
0
1− α/2−Z 1− α/2Z
com ´Z1´ α
2
“ ´Z0,975 “ ´1, 96 e Z1´ α
2
“ Z0,975 “ 1, 96.
Logo tem-se
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2
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2
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pp1p1´pp1q
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`
pp2p1´pp2q
n2
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fl “ 0, 95 ô
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
ô P
”
´1, 96 ˆ
b
pp1p1´pp1q
n1
` pp2p1´pp2q
n2
ă ppp1 ´ pp2q ´ pp1 ´ p2q ă 1, 96ˆ
ˆ
b
pp1p1´pp1q
n1
` pp2p1´pp2q
n2
ı
“ 0, 95 ô
ô P
”
ppp1 ´ pp2q ´ 1, 96 ˆ
b
pp1p1´pp1q
n1
` pp2p1´pp2q
n2
ă p1 ´ p2 ă ppp1 ´ pp2q `
`1, 96 ˆ
b
pp1p1´pp1q
n1
` pp2p1´pp2q
n2
ı
“ 0, 95.
Obtendo-se o intervalo aleatório:
sI0,95rp1´p2
“
ff
ppp1 ´ pp2q ´ 1, 96 ˆ
d
pp1 p1 ´ pp1q
n1
`
pp2 p1 ´ pp2q
n2
; ppp1 ´ pp2q `
`1, 96 ˆ
d
pp1 p1 ´ pp1q
n1
`
pp2 p1 ´ pp2q
n2
«
e o intervalo determinista:
sI0,95r˚
p1´p2
“
ff
p0, 6 ´ 0, 43q ´ 1, 96 ˆ
c
0, 6 ˆ 0, 4
45
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0, 43 ˆ 0, 57
74
;
p0, 6 ´ 0, 43q ` 1, 96 ˆ
c
0, 6 ˆ 0, 4
45
`
0, 43 ˆ 0, 57
74
«
“
“ s´0, 0118; 0, 3518r.
Estima-se que a diferença entre as proporções de concretização de compras
entre homens e mulheres se situe entre ´0, 0118 e 0, 3518, a um nível de
confiança de 95%.
1.2.6 Intervalo de confiança para o quociente de duas variâncias
de populações normais
Sejam X1, X2, . . . , Xn e Y1, Y2, . . . , Yn duas amostras aleatórias independentes
de dimensão n1 e n2, respectivamente, onde X „ N pμ1; σ1q e Y „ N pμ2; σ2q.
Então
sI1´αrσ2
1
σ2
2
“
ff
S1
2
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2 ˆ
1
F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; 1 ´ α
2
˘;
S1
2
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2 ˆ
1
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n1 ´ 1; n2 ´ 1; α
2
˘
«
,
onde F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; 1 ´ α
2
˘
designa o percentil 100ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribui-
ção F pn1 ´ 1; n2 ´ 1q e F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; α
2
˘
designa o percentil 100 ˆ α
2
da
distribuição F pn1 ´ 1; n2 ´ 1q.
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
21/23
Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
Área Departamental de Matemática
Resumos sobre Probabilidades e Estatística
α/2
1−α
α/2
F (n −1;n −1;α/2)1 2 F (n −1;n −1;1−α/2)1 2
Exemplo 1.8. Pretende-se comparar o desempenho de duas máquinas, A
e B, no que diz respeito à precisão de fabrico de uma peça. A partir de
13 peças produzidas na máquina A e de 16 peças produzidas na máquina
B, obtiveram-se os seguintes resultados para a variância amostral de uma
determinada dimensão cotada no desenho: s2
1 “ 6, 32mm2
para a máquina
A e s2
2 “ 4, 8mm2
para a máquina B. Admitindo que para as duas máquinas
a distribuição da referida dimensão é normal, determine um intervalo de
confiança a 90% para a razão entre as variâncias σ2
1 e σ2
1.
Sejam X1 - “dimensão cotada no desenho de uma peça produzida na má-
quina A em mm” e X2 - “dimensão cotada no desenho de uma peça produ-
zida na máquina B em mm”. Pretendemos um intervalo de confiança para o
quociente entre as variâncias das dimensões cotadas no desenho para peças
produzidas nas duas máquinas.
• Parâmetro a estimar:
σ2
1
σ2
2
;
• Tipos de população: Normais;
• Dimensão das amostras: n1 “ 13 e n2 “ 16;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 90;
• Variável fulcral:
S2
1
S2
2
ˆ
σ2
2
σ2
1
„ F pn1 ´ 1; n2 ´ 1q;
• Outros dados: s2
1 “ 6, 32, s2
2 “ 4, 8;
α/2
1− α
α/2
F (n −1;n −1;α/2)1 2 F (n −1;n −1;1−α/2)1 2
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
22/23

12. Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
Área Departamental de Matemática
Resumos sobre Probabilidades e Estatística
com F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; α
2
˘
“ F p12; 15; 0, 05q “ 1
F p15;12;0,95q
“ 1
2,6169
“
0, 3821 e F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; 1 ´ α
2
˘
“ F p12; 15; 0, 95q “ 2, 4753.
Logo tem-se
P
”
F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; α
2
˘
ă
S2
1
S2
2
ˆ
σ2
2
σ2
1
ă F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; 1 ´ α
2
˘ı
“ 1 ´ α
P
”
0, 3821 ă
S2
1
S2
2
ˆ
σ2
2
σ2
1
ă 2, 4753
ı
“ 0, 9 ô
ô P
”
0, 3821 ˆ
S2
2
S2
1
ă
σ2
2
σ2
1
ă 2, 4753 ˆ
S2
2
S2
1
ı
“ 0, 9 ô
ô P
”
1
2,4753
ˆ
S2
1
S2
2
ă
σ2
1
σ2
2
ă 1
0,3817
ˆ
S2
1
S2
2
ı
“ 0, 9.
Obtendo-se o intervalo aleatório:
sI0,9rσ2
1
σ2
2
“
j
1
2, 4753
ˆ
S2
1
S2
2
;
1
0, 3817
ˆ
S2
1
S2
2
„
e o intervalo determinista:
sI0,9r˚
σ2
1
σ2
2
“
j
1
2, 4753
ˆ
6, 32
4, 8
;
1
0, 3817
ˆ
6, 32
4, 8
„
“
“ s0, 5319; 3, 4495r.
Estima-se que o quociente entre as variâncias das dimensões cotadas no de-
senho para peças produzidas nas duas máquinas se situe entre 0, 5319mm e
3, 4495mm, a um nível de confiança de 90%.
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
23/23