2003-2004                                           LPNHE Paris                CERTAINS ASPECTS            DU TRAITEMENT D...
QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES............................................................... 1    Notions sur l’intégral...
Le théorème de Parseval ............................................................................................... 31...
Quelques transformées de Laplace .......................................................................... 73       Fonct...
Synthèse d’un filtre numérique................................................................................... 113     ...
Calcul de I’............................................................................................................. ...
Introduction.................................................................................................................
La norme mécanique................................................................................................... 278 ...
1. QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES     1.1. Notions sur l’intégrale de Riemann           Considérons une fonction f qui as...
yi < f ( x ) < yi + 1 .              On associe à cet intervalle, une mesure m i :                                        ...
( T, f ) pour spécifier T ( f ) le nombre complexe associé à la fonction f par la fonctionnelle     T.     1.5. Les distri...
+¥                   ( ( T f )¢, j ) = ( T f¢, j ) =      ò–¥ f¢ ( t )j ( t ) dt et en intégrant par partie :             ...
2. CLASSIFICATION DES SIGNAUX           La classification des signaux en catégories peut sembler, à première vue, théoriqu...
2.3. Autres types de signaux            2.3.1. La distribution de Dirac : d ( t )                           +¥            ...
1                               0,5                                   0                                       1   2    3  ...
+¥                        2       1¤2            d ( x 1, x 2 ) = x 1 – x 2 =            ò– ¥    x 1 ( t ) – x 2 ( t ) dt ...
2                                            2      ˆe = x–x                =        ò   x – å a i × f i dt               ...
Le système est complet ou total si "i :                                           2         2                             ...
3. SÉRIES DE FOURIER              Les séries de Fourier découlent naturellement de la théorie des fonctions orthogo-      ...
ij k Ck = rk e       – ij k               ij –k rke            = r–k e                                                    ...
+¥ comme : x ( t ) = C 0 +   å 2rk [ cos kWt cos jk – sin kWt sin jk ]                           k=1                      ...
3.1. Energie du signal                Le théorème de Parseval donne directement l’énergie du signal :              +¥     ...
x(t)                         si t = t0       x ( t ) ® -¥                                                                 ...
.                               f( x)                                  B                                  A               ...
4 sin x sin 3x                     sin ( 2n – 1 )x                                  g ( x ) = -- --------- + -------------...
Cherchons la limite de S n ( x ) quand n ® +¥                         et   z®0 :             1 x sin 2nz                  ...
1.17                           g(x)                       -1.17                        Figure 3.6 : Sinus intégralP. NAYMA...
4. TRANSFORMATION DE FOURIER                                                                                             +...
+¥           +¥                                        – 2pint            2pint x(t) =   ò– ¥   Dn ò                      ...
x(t)                                           x(t)                                          1                            ...
+¥                           2pint x(t) =     ò–¥ x ( n )e           dn             +B                          2pint +B  ...
+T ¤ 2                                  – 2pint +T ¤ 2               2pinT ¤ 2              – 2 pinT ¤ 2                  ...
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Dea mip
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Dea mip

1 479 vues

Publié le

0 commentaire
1 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
1 479
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
7
Actions
Partages
0
Téléchargements
39
Commentaires
0
J’aime
1
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Dea mip

  1. 1. 2003-2004 LPNHE Paris CERTAINS ASPECTS DU TRAITEMENT DU SIGNAL DEA-MIPP. NAYMAN DERNIÈRE MISE À JOUR : 02/07/03
  2. 2. QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES............................................................... 1 Notions sur l’intégrale de Riemann ................................................................................ 1 Notions sur l’intégrale de Lebesgue ............................................................................... 1 Intégrale en partie principale de Cauchy ........................................................................ 2 Espace fonctionnel .......................................................................................................... 2 Les distributions au sens de L. Schwartz........................................................................ 3 Distributions associées aux fonctions localement intégrables ................................... 3 La distribution de Dirac ............................................................................................. 3 Opérations sur les distributions.................................................................................. 3CLASSIFICATION DES SIGNAUX ................................................................................... 5 Classification déterministe-aléatoire............................................................................... 5 Déterministes ............................................................................................................. 5 Aléatoires ................................................................................................................... 5 Classification énergétique............................................................................................... 5 Notions d’énergie et de puissance d’un signal........................................................... 5 Autres types de signaux .................................................................................................. 6 La distribution de Dirac : .......................................................................................... 6 Le peigne de Dirac ..................................................................................................... 6 Les signaux nuls à gauche.......................................................................................... 6 Classification continu/discret.......................................................................................... 6 Représentation vectorielle des signaux........................................................................... 7 L’intérêt d’une représentation vectorielle .................................................................. 7 Espace vectoriel des signaux...................................................................................... 7 Développement en série de fonctions orthogonales................................................... 8 Théorème de Parseval ................................................................................................ 8SÉRIES DE FOURIER........................................................................................................ 11 Energie du signal .......................................................................................................... 14 Conditions de convergence ........................................................................................... 14 Simplifications .............................................................................................................. 15 Spectre unilatéral et bilatéral.................................................................................... 15 Phénomène de Gibbs .................................................................................................... 15 Etude de l’évolution de Sn(x) .................................................................................. 17TRANSFORMATION DE FOURIER ............................................................................... 20 Les fonctions Rect et Tri............................................................................................... 21 Exemple 1 ..................................................................................................................... 22 Exemple 2 ..................................................................................................................... 23 La distribution de Dirac ............................................................................................... 25 Echantillonnage par la fonction de Dirac ..................................................................... 25 L’intégrale de convolution............................................................................................ 26 Quelques propriétés.................................................................................................. 26 Le peigne de Dirac ........................................................................................................ 27 L’échelon unité de Heaviside ....................................................................................... 27 La symétrie ................................................................................................................... 27 Quelques transformées de Fourier de base ................................................................... 28 Exemple 1 : Calcul de la transformée de Fourier de et de ..................................... 28 Exemple 2 : Calcul de la transformée de Fourier de la fonction triangle , représentée par la figure 4.9. ....................................................................................................... 29 Exemple 3 : Transformée de Fourier de la fonction cosinus tronquée. ................... 30 Exemple 4 : fonction cosinus modulée par un triangle ............................................ 31P. NAYMAN ITRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  3. 3. Le théorème de Parseval ............................................................................................... 31 Cas des signaux périodiques ......................................................................................... 32 Exemple : Calcul de l’enveloppe spectrale d’un train trapézoïdal........................... 33 Estimation des harmoniques d’un train trapézoïdal ................................................. 35 Cas des fonctions qui n’appartiennent pas à ................................................................ 37LE FILTRAGE (LES FILTRES LINÉAIRES) ................................................................ 39 La transformation est linéaire ....................................................................................... 39 La transformation est homogène dans le temps............................................................ 39 Propriétés ...................................................................................................................... 40 On peut caractériser un filtre F par sa réponse impulsionnelle R(t) ........................ 40 Le gain du filtre ....................................................................................................... 40 Les fonctions propres des filtres linéaires................................................................ 40 Exemples .................................................................................................................. 41THÉORÈME DE L’ÉCHANTILLONNAGE(SHANNON/NYQUIST)...................................................................................................... 47 Conséquence de l’échantillonnage................................................................................ 49 Exemple ................................................................................................................... 52LES SIGNAUX ALÉATOIRES(RAPPELS DE NOTIONS DE BASE EN STATISTIQUE) ............................................ 53 Les moments temporels, les relations de base .............................................................. 54 Moyenne temporelle ................................................................................................ 54 Auto-corrélation temporelle ..................................................................................... 54 Les moments statistiques, les relations de base ............................................................ 54 Moyenne statistique ................................................................................................. 54 Moment d’ordre 2 .................................................................................................... 54 Fonction d’auto-corrélation .......................................................................................... 54 Fonction d’inter-corrélation .......................................................................................... 54 Stationnarité .................................................................................................................. 55 Suite aléatoire stationnaire au second ordre ................................................................. 55 Propriétés ................................................................................................................. 55 Processus aléatoire stationnaire au second ordre.......................................................... 55 Propriétés ................................................................................................................. 55 Relation entre convolution et corrélation...................................................................... 55 Relations entre fonctions de corrélation et de convolution........................................... 56 Ergodicité...................................................................................................................... 57 Le principe d’incertitude............................................................................................... 58 La boîte de Heisenberg ............................................................................................ 60PROPRIÉTÉS SPECTRALES ........................................................................................... 61 Approche de la puissance, de l’énergie et de la densité spectrale d’une réalisation particu- lière ............................................................................................................................... 61 Energie et densité spectrale dans le cas général (théorème de Wiener-Kinchine) ....... 62 La densité spectrale de puissance ................................................................................. 65 Propriétés de la fonction de corrélation ........................................................................ 65 Exemples....................................................................................................................... 65 Comparaison d’un produit de convolution et de la fonction d’inter-corrélation ..... 65 Calcul d’une fonction d’auto-corrélation et d’une densité spectrale d’énergie ....... 68 Le bruit blanc ................................................................................................................ 68 Filtrage adapté.......................................................................................................... 70 La transformée de Laplace............................................................................................ 72P. NAYMAN IITRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  4. 4. Quelques transformées de Laplace .......................................................................... 73 Fonction de transfert opérationnelle ........................................................................ 73 Stabilité du système ................................................................................................. 75 Equation différentielle correspondant à la fonction de transfert.............................. 75TRANSFORMATION DE HILBERT ............................................................................... 76 Signal analytique........................................................................................................... 76 Transformée de Hilbert ................................................................................................. 77 Calculs préliminaires (Voir “Quelques éléments mathématiques”, page 1.) ........... 77 Quelques propriétés ...................................................................................................... 80 La double transformation ......................................................................................... 80 Le produit de convolution ........................................................................................ 81 L’inter-corrélation .................................................................................................... 81 L’auto-corrélation .................................................................................................... 81 Propriétés du signal analytique ..................................................................................... 82 Fonction d’auto-corrélation...................................................................................... 82 Densité spectrale ...................................................................................................... 82 Enveloppe complexe d’un signal de type passe-bande................................................. 83 Densité spectrale de l’enveloppe complexe ............................................................. 84 Densités spectrales et fonctions de corrélation des composantes de Rice ............... 85NOTIONS DE MODULATION ET DÉTECTION SYNCHRONE................................ 89 Intérêt de la modulation ................................................................................................ 89 Principe ......................................................................................................................... 89 La modulation d’amplitude........................................................................................... 90 Densité spectrale du signal modulé en amplitude......................................................... 91 La démodulation synchrone.......................................................................................... 93 Evaluation du rapport signal à bruit en entrée et en sortie....................................... 96 La détection synchrone ................................................................................................. 97 Détection synchrone et corrélation .......................................................................... 99LES SYSTÈMES NUMÉRIQUES ................................................................................... 101 Les systèmes à réponse invariante dans le temps et à réponse variante dans le temps102 Linéarité ................................................................................................................. 102 Causalité................................................................................................................. 102 Réponse d’un système numérique (LIT) à des impulsions de Dirac .......................... 103 Réponse impulsionnelle d’un système numérique (LIT) ....................................... 103 Les systèmes à Réponse Impulsionnelle de durée Finie (RIF) et à Réponse Impulsion- nelle de durée infinie (RII)..................................................................................... 104 Les systèmes numériques récursifs et non-récursifs................................................... 104 Corrélation des signaux discrets ................................................................................. 105 Auto-corrélation de signaux discrets .......................................................................... 105 La transformée en z..................................................................................................... 106 La transformée en z directe .................................................................................... 106 La transformée en z inverse ................................................................................... 107 Propriétés de la transformée en z ........................................................................... 107 Quelques transformées en z ................................................................................... 108 Fonction de transfert d’un système numérique (LIT) ............................................ 109 Relation entre la transformée en z et la transformée de Fourier ............................ 110 Analyse fréquentielle des systèmes discrets ............................................................... 112 Puissance moyenne ................................................................................................ 112 Energie de la séquence ........................................................................................... 112P. NAYMAN IIITRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  5. 5. Synthèse d’un filtre numérique................................................................................... 113 Synthèse d’un filtre numérique par la méthode des dérivées................................. 113 Synthèse d’un filtre numérique par la transformation bilinéaire ........................... 116 Synthèse d’un filtre numérique par invariance de la réponse impulsionnelle ............ 123 Validité de la transformation par invariance de la réponse impulsionnelle ........... 124 Conception des filtres RIF .......................................................................................... 125 Cas où h(n) est symétrique..................................................................................... 127 Cas où h(n) est antisymétrique............................................................................... 127 Choix d’une réponse h(n) symétrique ou antisymétrique ...................................... 128 Utilisation du fenêtrage............................................................................................... 128 Effet du fenêtrage sur un signal ............................................................................. 128 Effet du fenêtrage avec un filtre RIF ..................................................................... 131LE BRUIT........................................................................................................................... 140 Le bruit de quantification............................................................................................ 140 Le rapport signal à bruit du codeur............................................................................. 141 Cas d’un signal sinusoïdal...................................................................................... 141 Amélioration du rapport signal à bruit ................................................................... 142 Cas d’un signal gaussien ........................................................................................ 143 Formule de Hartley ..................................................................................................... 143 Le bruit thermique (ou bruit Johnson) ........................................................................ 145 Fluctuations de tension et de courant dans une résistance.......................................... 145 Exemple : le dipôle parallèle (figure 12.7) ............................................................ 147 Bande équivalente de bruit ......................................................................................... 148 Filtre passe-bas du premier ordre........................................................................... 149 Circuit du deuxième ordre...................................................................................... 150 Filtre de Butterworth.............................................................................................. 150 Bruit de grenaille (Bruit Schottky ou “shot noise”).................................................... 151 Les théorèmes de Campbell........................................................................................ 151 Démonstration........................................................................................................ 152 Généralisation du théorème de Campbell .............................................................. 153 Expression du bruit de grenaille............................................................................. 153 Autres sources de bruits (exemple : le bruit en 1/f “flicker noise“) ........................... 154 Exemples..................................................................................................................... 155 Bruit thermique ...................................................................................................... 155 Bruit Schottky ........................................................................................................ 155 Le facteur de bruit....................................................................................................... 155 Cas d’un quadripôle isolé....................................................................................... 155 Cas de quadripôles en cascades ............................................................................. 156APPLICATION DU BRUIT IMPULSIONNELEN PHYSIQUE .................................................................................................................. 158 La fonction de pondération w(t) ................................................................................. 158 Traitement statistique des impulsions de bruit ........................................................... 158 Application du théorème de Campbell................................................................... 159 Le filtre optimum qui minimise ............................................................................ 162 le signal équivalent au bruit ........................................................................................ 163 La charge équivalente au bruit (ENC) ................................................................... 164 Prise en compte de l’empilement en tant que bruit..................................................... 165 Exemple d’une réponse impulsionnelle triangulaire .................................................. 166 Exemple d’une réponse impulsionnelle définie par des morceaux de paraboles. ...... 167P. NAYMAN IVTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  6. 6. Calcul de I’............................................................................................................. 168 Calcul de I .............................................................................................................. 169 Exemple du filtrage CR-RC........................................................................................ 169 Calcul de I .............................................................................................................. 171 Calcul de I’............................................................................................................. 171 Exemple du filtrage pseudo-gaussien [37].................................................................. 172 Approche fréquentielle du filtre gaussien .............................................................. 174 Densité spectrale et bruit............................................................................................. 175APPLICATION DU BRUIT AUX TRANSISTORS BIPOLAIRES ET A EFFET DECHAMPS............................................................................................................................. 179 Le transistor bipolaire ................................................................................................. 179 Modèle de base du transistor bipolaire [18]........................................................... 180 Modèle plus complet du transistor bipolaire.......................................................... 181 Modèles du transistor bipolaire avec les sources de bruit...................................... 184 Calcul du bruit après filtrage.................................................................................. 189 Le transistor à effet de champ..................................................................................... 190 Schéma équivalent du transistor à effet de champ................................................. 190 Comparaison bipolaire-FET................................................................................... 193 Calcul du bruit après filtrage.................................................................................. 193 FET et bruit en 1/f .................................................................................................. 194ELECTRONIQUE ASSOCIÉE AUXCALORIMÈTRES DE PHYSIQUE DES PARTICULES ............................................. 196 Les contraintes ............................................................................................................ 196 Le préamplificateur de charges................................................................................... 197 Le préamplificateur de courant (transimpédance) ...................................................... 198 L’amplificateur de courant - charges : étude détaillée................................................ 198 En boucle ouverte (sans contre réaction) ............................................................... 199 En boucle fermée ................................................................................................... 199 Cas de l’amplificateur de charges à transistors à effet de champ en entrée........... 201 Cas de l’amplificateur de courant .......................................................................... 203PROBLÈMES LIÉS À LA CAPACITÉ DU DÉTECTEUR.......................................... 206 Calcul de la répartition des charges ............................................................................ 206 Cas d’une capacité détecteur importante ................................................................... 206 La suppression du pôle zéro........................................................................................ 208 Réalisation pratique................................................................................................ 209MESURES TEMPORELLES ........................................................................................... 211 Exemple de la technique du Temps de Vol (TOF) ..................................................... 211 Technique de la discrimination................................................................................... 215 Influence de la pente du signal sur l’instant de basculement d’un comparateur ........ 215 Influence de la dispersion (“Jitter”) sur l’instant de basculement .............................. 216 Inconvénient du comparateur classique...................................................................... 217 Utilisation d’un discriminateur à fraction constante................................................... 217 Réalisation pratique................................................................................................ 218 Schéma complet ..................................................................................................... 219 Fonctionnement en mode ARC (“Amplitude and Rise time Compensated”)........ 220 Fonctionnement en mode TCF (“True Constant Fraction”) .................................. 221 Estimation de la pente au point de passage par zéro.............................................. 222 Influence de la dispersion (“Jitter”) en mode ARC et TCF ................................... 223NOTION DE TEMPS MORT........................................................................................... 225P. NAYMAN VTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  7. 7. Introduction................................................................................................................. 225 La logique de déclenchement ..................................................................................... 225 Les 2 types de temps morts......................................................................................... 226 Le temps mort cumulatif ........................................................................................ 226 Le temps mort non cumulatif ................................................................................. 227 Traitement statistique du temps mort.......................................................................... 228 Notion de temps mort généralisé ................................................................................ 229 Notion de file d’attente ............................................................................................... 231 File d’attente de longueur 1 ................................................................................... 231 File d’attente de longueur n ................................................................................... 232 Quel taux de temps mort ? .......................................................................................... 234 Evaluation du temps mort ........................................................................................... 235 Cas d’une source radioactive [23].......................................................................... 237 Cas d’une source de photons.................................................................................. 238 Etude de la répartition temporelle des événements................................................ 238RÉSOLUTION EN ÉNERGIE ET EN TEMPS DANSLES PHOTOMULTIPLICATEURS................................................................................ 240 Résolution en énergie dans les photomultiplicateurs.................................................. 240 Fonction caractéristique d’une variable aléatoire .................................................. 241 Moments et fonction caractéristique ...................................................................... 242 La deuxième fonction caractéristique .................................................................... 243 La deuxième fonction caractéristique modifiée ..................................................... 244 Cas de deux événements en cascade ...................................................................... 245 Le photomultiplicateur d’un point de vue statistique............................................. 246 Résolution en énergie et le spectre du photoélectron ................................................. 249 Fluctuations temporelles dans un photomultiplicateur ............................................... 252 Démonstrations ...................................................................................................... 253 Utilisation des signaux d’anode et de dynode ............................................................ 260LES LIGNES DE TRANSMISSIONS.............................................................................. 262 La ligne de transmission idéale (sans perte) ............................................................... 262 L’impédance caractéristique de la ligne de transmission ........................................... 262 équations générales d’une ligne de transmission........................................................ 263 Ligne sans perte .......................................................................................................... 264 L’impédance caractéristique (équation générale) ....................................................... 265 Les réflexions.............................................................................................................. 266 Pertes dans les lignes de transmission ........................................................................ 267 L’effet de «peau» ........................................................................................................ 268 Réponse d’un câble avec pertes à un échelon de tension....................................... 269 Expression de comme une fonction des pertes ..................................................... 271 Les différentes lignes de transmission ........................................................................ 272 Le câble coaxial ..................................................................................................... 272 La paire torsadée .................................................................................................... 273 Fil sur un plan de masse (figure 20.6).................................................................... 273 La ligne «microstrip» ............................................................................................. 273 La ligne «stripline» ................................................................................................ 274 Effet de chargement d’une ligne de transmission....................................................... 275 Condition nécessaire pour adapter une ligne de transmission .................................... 275 Réponse à un échelon de tension ................................................................................ 276INTRODUCTION AU STANDARD NIM....................................................................... 278P. NAYMAN VITRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  8. 8. La norme mécanique................................................................................................... 278 La norme électrique .................................................................................................... 279APPROCHE DE LA COMPATIBILITÉ ÉLECTROMAGNÉTIQUE ....................... 281 Rappels sur le champ électromagnétique.................................................................... 281 La protection par écrans ou blindages ........................................................................ 283 L’impédance de l’onde........................................................................................... 284 Les pertes par absorption ....................................................................................... 285 Les pertes par réflexion.......................................................................................... 286 Remarques générales.............................................................................................. 286 Les couplages.............................................................................................................. 287 Le couplage par impédance commune sur une liaison symétrique et asymétrique287 Le couplage entre conducteurs par le champ électrique (couplage capacitif) ....... 289 Le couplage magnétique (couplage inductif)......................................................... 290 La foudre..................................................................................................................... 294 Les conséquences de la foudre............................................................................... 296MÉTHODES DE TEST DES CONVERTISSEURSANALOGIQUES-NUMÉRIQUES ................................................................................... 298 Les caractéristiques de base ........................................................................................ 298 La non-linéarité différentielle ................................................................................ 299 La non-linéarité intégrale ....................................................................................... 300 L’erreur de décalage............................................................................................... 301 L’erreur de gain...................................................................................................... 302 Les tests dynamiques .................................................................................................. 302 La distorsion harmonique....................................................................................... 303 La distorsion d’inter modulation............................................................................ 304 Le rapport signal à bruit ......................................................................................... 304 Méthode statistique ................................................................................................ 305 Méthode par ajustement d’une sinusoïde............................................................... 308SURÉCHANTILLONNAGE DESCONVERTISSEURS ANALOGIQUES-NUMÉRIQUES ............................................. 310 La quantification différentielle [34]............................................................................ 310 Principe de base ..................................................................................................... 310 La prédiction linéaire .................................................................................................. 311 Prédiction linéaire à l’ordre 1................................................................................. 311 Prédiction linéaire à l’ordre p................................................................................. 311 Les modulateurs sigma delta....................................................................................... 313 Principe du modulateur sigma delta d’ordre 1 ....................................................... 313 Principe du modulateur sigma delta à l’ordre 2 ..................................................... 317 Performances d’un système d’ordre n.................................................................... 319 Applications ................................................................................................................ 320 Modulation d’un canal de transmission ................................................................. 321 Conversion Analogique-Numérique à grande dynamique..................................... 321ANNEXES........................................................................................................................... 323 Les décibels................................................................................................................. 323 Spectre électromagnétique .......................................................................................... 325 La roue des couleurs .............................................................................................. 325BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................................. 327P. NAYMAN VIITRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  9. 9. 1. QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES 1.1. Notions sur l’intégrale de Riemann Considérons une fonction f qui associe au nombre x la valeur f(x) sur l’intervalle fer- mé et borné ( a, b ) . Il est possible de définir n intervalles sur l’intervalle ( a, b ) à l’aide d’un certain nombre de points x i en considérant les conditions suivantes : • 1£i£n–1 • a < x1 • xi < xi + 1 • xn – 1 < b L’intégrale simple définie sur l’intervalle ( a, b ) peut être approchée par les som- mes de Riemann : n–1 S = å f ( m i ) × ( xi + 1 – xi ) Equ(1.1) i=1 avec x i < m i < x i + 1 lorsque n ® ¥ les longueurs des intervalles tendent vers 0 et S tend vers l’intégrale b de Riemann : I = òa f ( x ) dx . Les sommes de Riemann sont utilisables pour les fonctions continues et peuvent s’appliquer à un nombre limité de fonctions discontinues. 1.2. Notions sur l’intégrale de Lebesgue Afin de donner un sens plus général à la notion d’intégrale, Lebesgue a considéré que l’intégrale indéfinie F est représentée par un ensemble de valeurs dans lequel on peut b trouver n’importe quelle intégrale définie : òa f ( x ) dx = F(b) – F(a) . Lebesgue considère que l’abscisse x de l’équation 1.1 définissant la somme de Rie- mann a 3 rôles bien définis : • Les points font partie d’un domaine D composé de sous ensembles D i . • Un point Pi appartient à D i . • On peut définir une mesure m i associée à chaque sous ensemble D i . Avec ces hypothèses la somme de Riemann définie par l’équation 1.1 devient : S = å f ( Pi ) × mi Equ(1.2) i avec P i Î D i . La limite L ( D ) de cette somme, quand elle existe, est une fonction de domaine, in- tégrable de la fonction de point f ( P ) . Lebesgue groupe des valeurs voisines de f ( x ) dans un petit intervalleP. NAYMAN 1 QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUESTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  10. 10. yi < f ( x ) < yi + 1 . On associe à cet intervalle, une mesure m i : S = å yi × mi Equ(1.3) i avec y i < y i < y i + 1 . Lebesgue nomme mesurables les fonctions f telles que le domaine défini par a < x < b , 0 < y < f ( x ) a une mesure. Ce concept très général inclus toutes les fonctions de Riemann et bien d’autres fonc- tions. Les fonctions f intégrables au sens de Lebesgue ou sommables associent un nombre +¥ noté : ò–¥ f ( x ) dx ou òR f ( x ) dx ou ò f ( x ) dx ou encore ò f . On prête à Lebesgue le propos suivant : " Je fouille dans mes poches et j’en sors des pièces et des billets de différentes valeurs. Je les verse à mon créancier dans l’ordre où elles se présentent jusqu’à atteindre le total de ma dette. C’est l’intégrale de Riemann. Mais je peux opérer autrement. Ayant sorti tout mon argent, je réunis les billets de même valeur, les pièces semblables, et j’effectue le paiement en donnant ensemble les signes monétaires de même valeur. C’est mon intégrale. " 1.3. Intégrale en partie principale de Cauchy Considérons une fonction f ( x ) non bornée en x = a , si : a–e b y( e ) = òa f ( x ) dx + ò a+e f ( x ) dx e>0 tend vers une limite L, alors f ( x ) est intégrable au sens de la valeur principale de Cauchy. b y ( e ) = vp òa f ( x ) dx +¥ +N De même : vp ò– ¥ f ( x ) dx = lim N ® ¥ –N ò f ( x ) dx . 1.4. Espace fonctionnel On désigne par espace fonctionnel, un ensemble de fonctions F possédant une struc- ture d’espace vectoriel. Dans un tel système, toute combinaison linéaire de 2 fonctions f1 et f2 de F appartient également à F. Quelque soit l1, l2 complexes : f1 Î F Þ l1f1 + l2f2 Î F f2 Î F On considère que l’on a défini une fonctionnelle sur un espace F si l’on peut associer un nombre complexe T ( f ) à toute fonction de F. On utilise la notation de L. Schwartz :P. NAYMAN 2 QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUESTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  11. 11. ( T, f ) pour spécifier T ( f ) le nombre complexe associé à la fonction f par la fonctionnelle T. 1.5. Les distributions au sens de L. Schwartz Considérons l’espace vectoriel D des fonctions indéfiniment dérivables, on appelle distributions, les fonctionnelles linéaires, continues sur D. 1.5.1. Distributions associées aux fonctions localement intégrables La fonction x ( t ) est localement sommable si elle est intégrable au sens de Lebesgue sur tout intervalle borné. A la fonction x ( t ) correspond une distribution T x . Quelque soit j ( t ) Î D +¥ T x ( j ) = ( T x, j ) = ò–¥ x ( t )j ( t ) dt . Equ(1.4) Par abus de notation on note les fonctions localement sommables comme des distributions : +¥ ( x ( t ), j ) = ò–¥ x ( t )j ( t ) dt . Equ(1.5) 1.5.2. La distribution de Dirac La distribution de Dirac que l’on note d est une distribution singulière par opposi- tion aux distributions régulières précédentes. Cette distribution est telle que : pour j ( t ) Î D ( d, j ) = j ( 0 ) . D’une manière générale, la distribution de Dirac au point a est telle que : pour j ( t ) Î D ( d a, j ) = j ( a ) . Par abus de notation, on note : +¥ j(0 ) = ò–¥ d ( t )j ( t ) dt Equ(1.6) +¥ j(a ) = ò–¥ d ( t – a )j ( t ) dt Equ(1.7) 1.5.3. Opérations sur les distributions 1.5.3.1 Combinaison linéaire de distributions Quelque soit j ( t ) Î D ( l 1 T 1 + l 2 T 2, j ) = l 1 ( T 1, j ) + l2 ( T 2, j ) Equ(1.8) 1.5.3.2 Dérivation (cas général) Soit f¢ la fonction dérivée de f et T¢ la distribution dérivée de T. Quelque soit j ( t ) Î DP. NAYMAN 3 QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUESTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  12. 12. +¥ ( ( T f )¢, j ) = ( T f¢, j ) = ò–¥ f¢ ( t )j ( t ) dt et en intégrant par partie : +¥ +¥ ( ( T f )¢, j ) = [ f ( t )j ( t ) ]–¥ – ò f ( t )j¢ ( t ) dt = – ( T f, j¢ ) –¥ j ( t ) étant à support borné j ( ± ¥ ) = 0 . De même : ( T¢, j ) = – ( T, j¢ ) Equ(1.9) ( T², j ) = – ( T¢, j¢ ) = ( T, j² ) Equ(1.10) ( n) n (n) (T , j ) = ( – 1 ) ( T, j ) Equ(1.11) Toute distribution est indéfiniment dérivable. 1.5.3.3 Dérivation de fonctions discontinues Considérons une fonction f ( t ) discontinue en t = t 0 (figure 1.1). - + Avec : f ( t 0 ) = a et f ( t 0 ) = b . La hauteur de la discontinuité est h = b – a . f( t) b h a 0 t Figure 1.1 : Une fonction discontinue On peut décomposer f ( t ) en une somme d’une fonction continue, f t ¹ t 0 ( t ) et d’une fonction discontinue g ( t ) . g ( t ) = h × u ( t – t 0 ) avec u ( t ) la fonction échelon de Heaviside. f ( t ) = f t ¹ t0 ( t ) + h × u ( t – t 0 ) . En dérivant f ( t ) , il vient immédiatement : f ¢( t ) = f ¢t ¹ t0 ( t ) + h × d( t – t 0 ) Equ(1.12)P. NAYMAN 4 QUELQUES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUESTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  13. 13. 2. CLASSIFICATION DES SIGNAUX La classification des signaux en catégories peut sembler, à première vue, théorique. Pour chaque rubrique de signaux on définira des traitements bien particuliers. 2.1. Classification déterministe-aléatoire 2.1.1. Déterministes Ce sont les signaux dont l’évolution en fonction du temps est prévisible par un mo- dèle mathématique approprié (signaux de test, d’étalonnage, etc.). 2.1.2. Aléatoires Ce sont les signaux qui ont un caractère non-reproductible et imprévisible. Par exemple, les signaux issus de capteurs ou encore la parole. 2.2. Classification énergétique 2.2.1. Notions d’énergie et de puissance d’un signal Quelque soit le signal, on peut définir l’énergie du signal (si elle existe) par la relation : +¥ 2 Ex = ò– ¥ x ( t ) dt Equ(2.1) et la puissance moyenne (si elle existe) par la relation : 1 +T ¤ 2 x ( t ) 2 dt P x = lim -- ò - Equ(2.2) T ® ¥T –T ¤ 2 Remarque : • Les signaux tels que 0 < E x < ¥ sont des signaux à énergie finie ( P x = 0 ) , par exemple, les signaux transitoires. • Les signaux tels que 0 < P x < ¥ sont des signaux à puissance moyenne finie ( E x = ¥ ) . Par exemple, les signaux permanents, comme les signaux périodiques ou encore les signaux aléatoires permanents. On peut donner une autre définition de la puissance moyenne : 1 - T 2 P x = lim ------------ ò x ( t ) dt Equ(2.3) T ® ¥T – t0 t0P. NAYMAN 5 CLASSIFICATION DES SIGNAUXTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  14. 14. 2.3. Autres types de signaux 2.3.1. La distribution de Dirac : d ( t ) +¥ Propriété : ò – ¥ d ( t ) dt = 1 On peut trouver de nombreuses représentations de la distribution de Dirac. La figu- re 2.1 donne une des représentations possibles. Dans ce cas, on suppose que : e ® 0 . d( t) 1¤e –e +e t Figure 2.1 : Impulsion de Dirac 2.3.2. Le peigne de Dirac Un peigne de Dirac, représente une suite d’impulsions de Dirac décalées dans le temps. Le peigne de Dirac est défini par la relation suivante : +¥ png ( t ) = å d ( t – kT ) Equ(2.4) k = –¥ 2.3.3. Les signaux nuls à gauche Exemple : l’échelon unité. La figure 2.2 représente l’échelon unité U ( t ) u(t) 0 t Figure 2.2 : Le signal nul à gauche On remarquera que : d ( U ( t ) ) = d ( t ) ------------------ - dt Exemple : Pour spécifier que le signal x ( t ) est nul pour les temps négatifs, on peut définir un nouveau signal : x ( t ) × U ( t ) . 2.4. Classification continu/discret La figure 2.3 est un exemple de représentation continue.P. NAYMAN 6 CLASSIFICATION DES SIGNAUXTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  15. 15. 1 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0,5 -1 Figure 2.3 : Représentation continue d’un signal La figure 2.4 est un exemple de représentation discrète, dans ce cas la fonction est définie par une suite d’échantillons. x(tk) ) t Figure 2.4 : Représentation discrète d’un signal 2.5. Représentation vectorielle des signaux 2.5.1. L’intérêt d’une représentation vectorielle Le signal x ( t ) peut se décomposer selon une combinaison linéaire de fonctions con- nues f k ( t ) . Les coefficients a k constituent une représentation discrète du signal x ( t ) . C’est une structure d’espace vectoriel. Un signal apparaît comme un vecteur d’un espace vectoriel et admettra plusieurs re- présentations possibles selon la base de décomposition (espace de Hilbert). Cette repré- sentation qui peut apparaître complexe permet en fait de considérablement simplifier les calculs. 2.5.2. Espace vectoriel des signaux Soit x ( t ) un signal complexe d’énergie Ex finie. +¥ * ( x 1, x 2 ) = ò–¥ x1 ( t )x2 ( t ) dt est le produit scalaire.P. NAYMAN 7 CLASSIFICATION DES SIGNAUXTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  16. 16. +¥ 2 1¤2 d ( x 1, x 2 ) = x 1 – x 2 = ò– ¥ x 1 ( t ) – x 2 ( t ) dt est la distance associée, c’est la mesure de dissemblance entre x 1 ( t ) et x 2 ( t ) . 2.5.3. Développement en série de fonctions orthogonales La représentation d’un signal par des fonctions orthogonales va permettre de sim- plifier les calculs, en effet : Soit f 1, f 2, ...f n un ensemble de fonctions orthogonales. Le produit scalaire ( f i, f j ) = d i, j est tel que : d i, j = 1 si i=j 0 si i ¹ j ˆ On peut approcher x ( t ) par x ( t ) définie comme étant : +¥ ˆ x( t) = å ai f i i=1 L’erreur quadratique donne une mesure absolue de l’approximation : +T ¤ 2 2 2 e = x1 – x2 = ò– T ¤ 2 x 1 ( t ) – x 2 ( t ) dt On montre que e est minimal si : +¥ a i = ( x, f i ) = ò–¥ x × f i* dt Equ(2.5) On dit que le système est complet si quelque soit x ( t ) : lim e = 0 T®¥ 2.5.4. Théorème de Parseval L’énergie du signal x ( t ) est égale à la somme des énergies de chacune de ses com- posantes. Ce résultat très important est très utilisé en traitement du signal. n 2 2 x = å ai Equ(2.6) i=1 Démonstration : 2 Rappel : A – B = ( A – B ) ( A – B ) * = AA * + BB * – AB * – A * BP. NAYMAN 8 CLASSIFICATION DES SIGNAUXTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  17. 17. 2 2 ˆe = x–x = ò x – å a i × f i dt ˆˆ ˆ ˆe = ò xx* + x x* – xx* – x x* dt 2 ˆ 2 ˆ ˆe = x + x – ò xx* dt – ò x x* dtˆx = å ai f i ˆ 2 ˆˆ x = ò x x* dt ˆ 2 2 x = ò å ai f i å a*j f*j dt i j = å ai 0 si i¹j Rappel : ò f i f *j dt = 1 si i = j 2 2 e = x + å a i – ò x å a* i f * i dt – ò x* å ai f i dt i i 2 2 e = x + å ( ai – ò xa* i f * i dt – ò x* a i f i dt ) 2 2 e = x + å ( ai – a* i ( x, f i ) – a i ( f i, x ) )(f i,x) = ò f i x* dt(x*,f* i) = ò x* f i dt donc : (f i,x) = (x*,f * i) 2 2e = x + å ( a i – a* i ( x, f i ) – a i ( x*, f * i ) ) 2 2e = x + å [ a i – a*i (x,f i) – a i (x*,f * i) ] 2 2 2 2e = x – å ( x, f i ) + å [ a i + ( x, f i ) – a* i ( x, f i ) – a i ( x*, f * i ) ] 2 2 2e = x – å ( x, f i ) + å a i – ( x, f i ) e est minimale si : "i a i = ( x, f i ) 2 2e min = x – å ai i D’où l’inégalité de Bessel-Parseval : 2 2 å ai £ x Equ(2.7) iP. NAYMAN 9 CLASSIFICATION DES SIGNAUXTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  18. 18. Le système est complet ou total si "i : 2 2 å ai = x Equ(2.8) i C’est l’égalité de Parseval.P. NAYMAN 10 CLASSIFICATION DES SIGNAUXTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  19. 19. 3. SÉRIES DE FOURIER Les séries de Fourier découlent naturellement de la théorie des fonctions orthogo- nales en considérant des fonctions exponentielles. ikWt 2 Soit y k une fonction de la forme y k ( t ) = e avec : W = -- p . - T yk est une fonction orthogonale telle que +T ¤ 2 +T ¤ 2 +T ¤ 2 ijWt – ikWt i ( j – k )Wt ò y j ( t )y* k ( t ) dt = ò e ×e dt = ò e dt : –T ¤ 2 –T ¤ 2 –T ¤ 2 i ( j – k )Wt +T ¤ 2 e 2 T = --------------------- - = ------------------- sin ( j – k )W -- - - i ( j – k )W ( j – k )W 2 –T ¤ 2 T( yj, yk ) = ------------------ sin ( j – k ) p p(j – k) ( y j, y k ) = T si j = k (la fonction n‘est pas normée). 0 si j ¹ k La fonction yk est donc orthogonale mais pas normée. Considérons x ( t ) comme étant : +¥ x(t) = å Ck Y k k = –¥ +¥ ikWt x(t) = å Ck e k = –¥ Comme, par définition : C k = ( x, Y k ) (fonction orthogonale), on obtient : +T ¤ 2 1 – ikWt C k = -- T - ò x ( t )e dt Equ(3.1) –T ¤ 2 Considérons les fonctions x ( t ) réelles : +T ¤ 2 1 ikWt C* k = -- - ò x ( t )e dt T –T ¤ 2 d’où : C* k = C –k Equ(3.2) Si l’on pose :P. NAYMAN 11 SÉRIES DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  20. 20. ij k Ck = rk e – ij k ij –k rke = r–k e –1 +¥ ikWt ikWt – i kWt x(t) = å Ck e et å Ck e = å C –k e alors : k k = –¥ k=1 +¥ +¥ ikWt – i kWt x ( t ) = C0 + å Ck e + å C –k e k=1 k=1 +¥ ij k ikWt – i j k – i kWt x ( t ) = C0 + å ( rke e + rk e e ) k=1 +¥ x ( t ) = C0 + å 2rk cos ( kWt + jk ) k=1 +¥ x ( t ) = C0 + å 2rk [ cos kWt cos jk – sin kWt sin jk ] k=1 La partie réelle de C k est r k cos j k La partie complexe de C k est ir k sin j k D’après l’équation 3.1 : +T ¤ 2 1 r k cos j k = -- T - ò x ( t ) cos kWt dt –T ¤ 2 +T ¤ 2 2 2r k cos j k = -- T - ò x ( t ) cos kWt dt = a k –T ¤ 2 +T ¤ 2 1 de même : ir k sin j k = -- T - ò x ( t ) ( – i sin kWt ) dt –T ¤ 2 +T ¤ 2 2 – 2 r k sin j k = -- T - ò x ( t ) sin kWt dt = b k –T ¤ 2P. NAYMAN 12 SÉRIES DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  21. 21. +¥ comme : x ( t ) = C 0 + å 2rk [ cos kWt cos jk – sin kWt sin jk ] k=1 +¥ x ( t ) = C0 + å [ ak cos kWt + bk sin kWt ] Equ(3.3) k=1 +T ¤ 2 2 a k = -- T - ò x ( t ) cos kWt dt Equ(3.4) –T ¤ 2 +T ¤ 2 2 b k = -- T - ò x ( t ) sin kWt dt Equ(3.5) –T ¤ 2 +T ¤ 2 1 C 0 = -- T - ò x ( t ) dt Equ(3.6) –T ¤ 2 C 0 représente la valeur moyenne de x ( t ) . +¥ Comme : x ( t ) = C 0 + å [ ak cos kWt + bk sin kWt ] k=1 Le terme h k ( t ) = a k cos kWt + b k sin kWt représente l’harmonique de rang k de la fonction x ( t ) . L’harmonique de rang 1 s’appelle le fondamental. 2 2 Ak = a k + b k est l’amplitude de l’harmonique. kW kW sa pulsation et ------ sa fréquence. - 2p ak bk Si l’on pose sin j k = ----- et cos j k = ----- alors l’harmonique de rang k se met sous Ak Ak la forme : h k ( t ) = Ak sin ( kWt + j k ) Equ(3.7) j k représente la phase de l’harmonique k.P. NAYMAN 13 SÉRIES DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  22. 22. 3.1. Energie du signal Le théorème de Parseval donne directement l’énergie du signal : +¥ +¥ 2 2 ikWt x = å Ck x(t) = å Ck e k = –¥ k = –¥ +¥ 2 2 2 x = C0 + 2 å Ck Equ(3.8) k=1 3.2. Conditions de convergence La série de Fourier converge vers x ( t ) si les conditions suivantes sont respectées : • La fonction x ( t ) ne présente pas de discontinuité de seconde espèce. • Si la fonction x ( t ) est continue la série converge vers x ( t ) . • Si la fonction présente une discontinuité de première espèce au point t 0 , la série - + converge vers : [ x ( t 0 ) + x ( t 0 ) ] ¤ 2 • Si la fonction présente une discontinuité de seconde espèce, la série diverge. Dans ce cas la fonction x ( t ) n’est pas décomposable en série de Fourier. Les figures suivantes, montrent les 3 cas possibles pour la fonction x ( t ) . • continue (figure 3.1), • discontinuité de première espèce (figure 3.2), • discontinuité de seconde espèce (figure 3.3). 1 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0,5 -1 Figure 3.1: fonction continue x( t ) x ( t0+ ) x ( t0- ) 0 t0 t Figure 3.2: discontinuité de première espèceP. NAYMAN 14 SÉRIES DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  23. 23. x(t) si t = t0 x ( t ) ® -¥ + pas de série de Fourier possible 0 t0 t Figure 3.3: discontinuité de seconde espèce 3.3. Simplifications Certaines simplifications peuvent êtres apportées aux formules selon que la fonc- tion est paire ou impaire. Si x ( t ) est impaire : x ( t ) = – x ( – t ) C 0 = 0 , la valeur moyenne est nulle. ak = 0 4 T¤2 b k = -- ò x ( t ) sin kWt dt - T 0 Si x ( t ) est paire : x ( t ) = x ( – t ) 4 T¤2 C 0 = -- ò x ( t ) dt - T 0 4 T¤2 a k = -- ò x ( t ) cos kWt dt - T 0 bk = 0 3.3.1. Spectre unilatéral et bilatéral Le spectre d’un signal est donné, à la fois, par les fréquences positives et les fré- quences négatives. On parle dans ce cas de spectre bilatéral. Considérons les séries de Fourier réelles, par exemple développées en séries de si- nus et cosinus. Le spectre est composé uniquement de fréquences positives, on parle dans ce cas de spectre unilatéral. L’amplitude des raies d’un spectre unilatéral est le double de celles du spectre bilatéral. 3.4. Phénomène de Gibbs Ce phénomène est à la base de l’étude de la convergence du développement en série de Fourier d’une fonction f ( x ) discontinue en x = x 0 La fonction f ( x ) peut être décomposée en 2 fonctions (figure 3.4) : • une fonction continue h ( x ) , • une fonction discontinue g ( x )P. NAYMAN 15 SÉRIES DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  24. 24. . f( x) B A 0 x0 x Figure 3.4 : discontinuité d’une fonction Le problème consiste à faire l’étude de la convergence de la fonction g ( x ) (figure 3.5) telle que :g(x) = 1 si 0<x<pg ( x ) = –1 si –p < x < 0 g(x) 1 –p +p 0 x -1 Figure 3.5 : fonction discontinue g(x) g ( x ) est une fonction impaire. +¥g ( t ) = C0 + å [ ak cos kWt + bk sin kWt ] k=1 4 T¤2 Avec : C 0 = 0 , a k = 0 et b k = -- ò g ( x ) sin kWt dt - T 0 4- p –2 comme W = 2p = 2p = 1 b k = ----- ò sin kt dt = ----- cos kt 0 p ----- - ----- - - T 2p 2p 0 kp Seuls les termes impairs existent : k = 2n – 1 avec : n = 1, 2¼ 4 bk = ----------------------- ( 2n – 1 )p Considérons la série : On peut remarquer que pour x = p , g ( x ) = 1 et : -- - 2P. NAYMAN 16 SÉRIES DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  25. 25. 4 sin x sin 3x sin ( 2n – 1 )x g ( x ) = -- --------- + ------------- + ¼ + ------------------------------ - - - p 1 3 2n – 1 p sin x sin 3x sin ( 2n – 1 )x S n ( x ) = -- g ( x ) = --------- + ------------- + ¼ + ------------------------------ - - - 4 1 3 2n – 1 p = 1–1+1–¼ -- - -- -- - - 4 3 5 3.4.1. Etude de l’évolution de Sn(x) ¢ S n ( x ) = cos x + cos 3x + ¼ + cos ( 2n – 1 )x inx – i nx cos nx = e + e - ------------------------- 2 ¢ 1 ix –i x i ( 2n – 1 )x – i ( 2n – 1 )x S n ( x ) = -- [ e + e + ¼ + e - +e ] 2 ix –ix ¢ 1 æ e – e -ö ix –i x i ( 2n – 1 )x – i ( 2n – 1 )x S n ( x ) = -- ç -------------------- ÷ [ e + e + ¼ + e - +e ] 2èe – e ø ix –ix 1 - 2nix – e –2nix ] = 1 ---------------- -- sin 2nx ¢ S n ( x ) = ---------------------------- [ e - - 2(e – e ) ix – ix 2 sin x 1 x sin 2nz S n ( x ) = -- ò ---------------- dz - - 2 0 sin z kp Les maxima et minima de S n ( x ) sont donnés par sin 2nx pour x = ----- - 2n S n ( x ) subit des oscillations autour de la valeur y = p -- - 4P. NAYMAN 17 SÉRIES DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  26. 26. Cherchons la limite de S n ( x ) quand n ® +¥ et z®0 : 1 x sin 2nz 1- p sin y S n ( x ) = -- ò ---------------- dz = ----- ò ------------- dy - - - 2 0 sin z 4n 0 y- sin ----- 2n 1 p sin y S n ( x ) = -- ò --------- dy - - 2 0 y Rappel : le développement en série entière de sin y 3 5 sin y = y – ---- + y - – ¼ y - ---- 3! 5! 2 4 --------- = 1 – y - + -------- – ¼ sin y - ---- y - y 6 120 sin y d’où l’intégrale de --------- : - y 3 5 p- p - 2S n ( x ) = p – ----- + -------- – ¼ » 1, 85 18 120 2 g ( x ) » -- ( 1, 85 ) = 1, 17 ¹ 1 - p sin y La figure 3.6 représente la courbe de l’intégrale de --------- . - yP. NAYMAN 18 SÉRIES DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  27. 27. 1.17 g(x) -1.17 Figure 3.6 : Sinus intégralP. NAYMAN 19 SÉRIES DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  28. 28. 4. TRANSFORMATION DE FOURIER +¥ Soit x ( t ) une fonction du temps, nulle ou complexe telle que : ò x ( t ) dt < ¥ –¥ 2 ou que le signal soit d’énergie finie ( x ( t ) fait partie de l’ensemble L ) : +¥ 2 ò– ¥ x ( t ) dt < ¥ alors : +¥ ˆ 2pint x(t) = ò–¥ x ( n )e dn Equ(4.1) n est la fréquence du signal x ( t ) . +¥ – 2 pint ˆ x(n) = ò–¥ x ( t )e dt Equ(4.2) et : 1 +T ¤ 2 – i kWt C k = -- ò - x ( t )e dt Equ(4.3) T –T ¤ 2 ˆ Les fonctions x ( t ) et x ( n ) sont transformées de Fourier l’une de l’autre. ˆ On utilise la notation : x ( t ) « x ( n ) pour exprimer cette relation. Démonstration : La décomposition en série de Fourier donne : +¥ ikWt x( t) = å Ck e k = –¥ En utilisant l’équation 4.3 : +¥ 1 T¤2 – ikWt ikWtx(t) = å -- ò - T –T ¤ 2 x ( t )e dt × e k = –¥ Si : T ® ¥ 1 -- ® dn - T 1 k æ -- ö ® nk - è TøP. NAYMAN 20 TRANSFORMATION DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  29. 29. +¥ +¥ – 2pint 2pint x(t) = ò– ¥ Dn ò –¥ x ( t )e dt × e +¥ 2pint +¥ – 2 pint ˆ ˆ d’où : x ( t ) = ò– ¥ x ( n )e dn et x ( n ) = ò–¥ x ( t )e dt 4.1. Les fonctions Rect et Tri Les fonctions Rect et Tri (respectivement Rectangle et Triangle) seront largement utilisées par la suite. Afin d’éviter toute confusion, il est nécessaire de bien les définir. On définit la fonction : t – centre x ( t ) = Rect æ ---------------------ö - Equ(4.4) è largeur ø x ( t ) = 1 si t Î centre – largeur , centre + largeur ----------------- - ----------------- - 2 2 x ( t ) = 0 sinon. x ( t ) est une fonction paire dont l’axe de symétrie est centre. x(t) x(t) 1 1 t t -1/2 +1/2 -T/2 +T/2 t- x ( t ) = Rect ( t ) x ( t ) = Rect æ -- ö è Tø x(t) x(t) 1 1 t t -2T -T T 2T 3T 3T æ t + ----- ö - æ t – ----- ö - 2 2- ç --------------÷ x ( t ) = Rect ç x ( t ) = Rect ç ------------- ÷ T ÷ ç T ÷ è ø è ø Figure 4.1 : La fonction Rect D’une manière analogue on définit la fonction Triangle comme étant : t – centre x ( t ) = Tri æ ---------------------------ö Equ(4.5) è ( 1 ¤ 2 )BaseøP. NAYMAN 21 TRANSFORMATION DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  30. 30. x(t) x(t) 1 1 t t -1 +1 -T +T t- x ( t ) = Tri ( t ) x ( t ) = Tri æ -- ö è Tø x(t) x(t) 1 1 t t -5T/2 -T/2 T/2 5T/2 3T 3T æ t + ----- ö - æ t – ----- ö - 2 ç --------------÷ 2- ç ------------- ÷ x ( t ) = Tri x ( t ) = Tri ç ç T ÷ T ÷ è ø è ø Figure 4.2 : La fonction Tri 4.2. Exemple 1 ˆ Soit la fonction x ( t ) dont la transformée de Fourier est x ( n ) (figure 4.3) telle que : ˆ 1 si n £ B x(n) = 0 si n > B Figure 4.3 :Fonction rectangleP. NAYMAN 22 TRANSFORMATION DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  31. 31. +¥ 2pint x(t) = ò–¥ x ( n )e dn +B 2pint +B 2piBt – 2piBt = e –e dn = e - 2pint x(t) = ò– B 1×e ------------ 2pit –B ----------------------------------- 2pit - sin 2pBt sin 2pBt x ( t ) = ------------------- = 2B ------------------- = 2Bsinc(2Bt) - - pt 2pBt sin px Avec : sinc(x) = ------------- (sinus cardinal). -Voir la figure 4.4- - px Figure 4.4 : sinus cardinal 4.3. Exemple 2 Soit :x ( t ) = rect T ( t ) = 1 si t < T ¤ 2 T = 0 si t ³ -- - 2 t – centre La fonction rectangle peut être également notée : rect æ ----------------------- ö . - è largeur øP. NAYMAN 23 TRANSFORMATION DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP
  32. 32. +T ¤ 2 – 2pint +T ¤ 2 2pinT ¤ 2 – 2 pinT ¤ 2 = e –e dt = – eˆ – 2pintx(n) = ò– T ¤ 2 1×e ------------------ 2pin - –T ¤ 2 ----------------------------------------------- 2pin - Figure 4.5 : Rect(t) Figure 4.6 : Transformée de Fourier de la fonction Rect(t) x ( n ) = ----------------- = T sin pnT = Tsinc(nT ) ˆ sin pnT - --------------------- - pn pnT Réciproquement : +¥ ˆ 2pintx(t) = ò–¥ x ( n )e dn +¥ 2pintx(t) = ò–¥ Tsinc ( nT )e dn On remarquera que pour t = 0 x( t) = 1 +¥ 1 = ò–¥ Tsinc ( nT ) dn Si l’on pose : x = pnT 1 +¥ sin x 2 +¥ sin x 1 = -- ò --------- dx = -- ò --------- dx - - - - p –¥ x p 0 xP. NAYMAN 24 TRANSFORMATION DE FOURIERTRAITEMENT DU SIGNALDEA MIP

×