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Enigme 8correction

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Enigme 8correction

  1. 1. ENIGME SCIENTIFIQUE CDI / SEMAINE DU 30 JANVIERTOUJOURS LA MACHINE DE CLEMENTFabrice a bien du mal avec la machine de Clément.Il a bien compris les règles :♦ on entre un entier naturel et il sort un entier naturel.♦ lentier en sortie augmente si on augmente lentier en entrée.♦ en entrant dans la machine le résultat obtenu pour un entier n, on obtient 3 × n.Fabrice vérifie ces premiers résultats auprès de Clément :- Jai nommé F ta machine. Jai trouvé que F(0) = 0, que F(1) = 2 mais rien de plus.- Pourtant tu peux maintenant trouver F(2) ! Regarde F(2) = F(F(1)) = 3×1 = 3- Exact, je ny avais pas pensé ! Et du coup, je peux trouver F(3) en écrivant F(3) = F( F(2) ) = 3×2 = 6Fabrice réfléchit puis sexprime :- Je peux bien continuer, je trouve F(6) = 9 mais pour F(4) et F(5) je ne vois pas… !- Parce que tu oublies que plus le nombre en entrée est grand plus le nombre en sortie est grand…- Euréka ! Maintenant je suis sûr de pouvoir trouver le résultats si jentre 2012 dans ta machine…Et vous, saurez-vous trouver le résultat donné par la machine de Clémentsi on y entre 2012 ?
  2. 2. CORRECTION DE lénigme 8On nomme F la fonction définie par la machine de Clément.La première règle explique donc que pour tout entier naturel n , F [ F (n) ] = 3n .La seconde règle explique juste que la fonction F est strictement croissante, cest-à-dire si a > b , alors F ( a ) > F (b ) .Premier constat : Le résultat F ( n) fourni par la machine de Clément est supérieur ou égal au nombre dentrée n .F (0) est un entier naturel donc F (0) ≥ 0F (1) > F (0) ≥ 0 donc F (1) est un entier naturel supérieur à 0 , cest-à-dire F (1) ≥ 1F (2) > F (1) ≥ 1 donc F (2) est un entier naturel supérieur à 1 , cest-à-dire F (2) ≥ 2On peut poursuivre de proche en proche indéfiniment… Donc pour tout entier naturel n , on a F ( n) ≥ n .Examinons les premiers résultats fournis par la machine de Clément.F [ F (0)] = 3 × 0 = 0Si F (0) ≥ 1 , alors comme F est croissante F [ F (0) ] ≥ F (1) .Mais cest impossible car F [ F (0)] = 0 et F (1) ≥ 1 . Nécessairement F (0) = 0 .F [ F (1)] = 3 ×1 = 3Si F (1) = 1 , alors comme F [ F (1) ] = F [1] = 1 ce qui est impossible.Si F (1) > 2 , alors comme F est strictement croissante F [ F (1) ] > F (2) > F (1) > 2 , ce qui implique que F [ F (1)] vaut aumoins 5 . Cest impossible. Par élimination, on obtient donc F (1) = 2 .F [ F (1)] = 3 ×1 = 3 et F [ F (1)] = F [ 2] : donc F (2) = 3 .F [ F (2)] = 3 × 2 = 6 et F [ F (2)] = F [3] : donc F (3) = 6 .F [ F (3)] = 3 × 3 = 9 et F [ F (3)] = F [ 6] : donc F (6) = 9 .Alors 6 = F (3) < F (4) < F (5) < F (6) = 9 donc F (4) = 7 et F (5) = 8 .On peut poursuivre de proche en proche pour trouver les résultats donnés pour tout entier saisi en entrée…Une idée consiste alors à "diviser" 2012 plusieurs fois par 3 :3 × 670 < 2012 < 3 × 671 3 × 223 < 670 et 671 < 3 × 224 3 × 74 < 223 et 224 < 3 × 753 × 24 < 74 et 75 = 3 × 25 3 × 8 = 24 et 25 < 3 × 9Puis on remonte au fur et à mesure jusquà 2012 :F [8] = F [ F (5)] = 3 × 5 = 15 et F [9] = F [ F (6)] = 3 × 6 = 18F [15] = F [ F (8)] = 3 × 8 = 24 et F [18] = F [ F (9)] = 3 × 9 = 27Alors 24 = F (15) < F (16) < F (17) < F (18) = 27 donc F (15) = 24 et F (16) = 25 .F [ 24] = F [ F (15)] = 3 ×15 = 45 et F [ 25] = F [ F (16)] = 3 ×16 = 48F [ 45] = F [ F (24)] = 3 × 24 = 72 et F [ 48] = F [ F (25)] = 3 × 25 = 75Alors 72 = F (45) < F (46) < F (47) < F (48) = 75 donc F (47) = 74 et F (48) = 75 .F [ 74] = F [ F (47)] = 3 × 47 = 141 et F [ 75] = F [ F (48)] = 3 × 48 = 144F [141] = F [ F (74)] = 3 × 74 = 222 et F [144] = F [ F (75)] = 3 × 75 = 225Alors 222 = F (141) < F (142) < F (143) < F (144) = 225 donc F (142) = 223 et F (143) = 224 .F [ 223] = F [ F (142)] = 3 ×142 = 426 et F [ 224] = F [ F (143)] = 3 ×143 = 429F [ 426] = F [ F (223)] = 3 × 223 = 669 et F [ 429] = F [ F (224)] = 3 × 224 = 672Alors 669 = F (426) < F (427) < F (428) < F (429) = 672 donc F (427) = 670 et F (428) = 671 .
  3. 3. F [ 670] = F [ F (427)] = 3 × 427 = 1281 et F [ 671] = F [ F (428)] = 3 × 428 = 1284F [1281] = F [ F (670)] = 2010 et F [1284] = F [ F (671)] = 3 × 671 = 2013Alors 2010 = F (1281) < F (1282) < F (1283) < F (1284) = 2013 donc F (1283) = 2012 .Au final : F [ 2012] = F [ F (1283)] = 3 ×1283 = 3849 .Si on entre 2012 dans la machine de Clément, alors on obtient un résultat de 3849 .Remarque : solution plus rapideOn pouvait envisager les résultats donnés au fur et à mesure par blocs… {On constate aisément que sur la première ligne les ensembles écrits sont de la forme 3 p ... 2 × 3 p . }On constate aisément que sur la seconde ligne les ensembles écrits sont de la forme {2 × 3 p ... 3 × 3 p } .On constate enfin que les ensembles de la première ligne ont le même nombre déléments que les ensembles immédiatementen dessous dans la seconde ligne.On en déduit que : pen appliquant F du haut vers le bas, on ajoute donc 3 .en appliquant F du bas vers le haut à droite, on soustrait donc 3 p puis on multiplie par 3 .On écrit 2012 en base 3 : 2012 = 2 × 36 + 2 × 35 + 2 × 33 + 32 + 31 + 2 {Donc 2012 est dans la ligne du bas… appartenant à lensemble 2 × 36 ... 3 × 36 }Et finalement, F (2012) = (2012 − 36 ) × 3 = 3849 .Remarque : Cette méthode permet de trouver le résultat donné par la machine pour nimporte quelle entrée.

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