1. ENIGME SCIENTIFIQUE CDI / SEMAINE DU 30 JANVIER
TOUJOURS LA MACHINE DE CLEMENT
Fabrice a bien du mal avec la machine de Clément.
Il a bien compris les règles :
♦ on entre un entier naturel et il sort un entier naturel.
♦ l'entier en sortie augmente si on augmente l'entier en entrée.
♦ en entrant dans la machine le résultat obtenu pour un entier n,
on obtient 3 × n.
Fabrice vérifie ces premiers résultats auprès de Clément :
- J'ai nommé F ta machine.
J'ai trouvé que F(0) = 0, que F(1) = 2 mais rien de plus.
- Pourtant tu peux maintenant trouver F(2) !
Regarde F(2) = F(F(1)) = 3×1 = 3
- Exact, je n'y avais pas pensé !
Et du coup, je peux trouver F(3) en écrivant F(3) = F( F(2) ) = 3×2 = 6
Fabrice réfléchit puis s'exprime :
- Je peux bien continuer, je trouve F(6) = 9 mais pour F(4) et F(5) je ne vois pas… !
- Parce que tu oublies que plus le nombre en entrée est grand plus le nombre en sortie est grand…
- Euréka ! Maintenant je suis sûr de pouvoir trouver le résultats si j'entre 2012 dans ta machine…
Et vous, saurez-vous trouver le résultat donné par la machine de Clément
si on y entre 2012 ?

2. CORRECTION DE l'énigme 8
On nomme F la fonction définie par la machine de Clément.
La première règle explique donc que pour tout entier naturel n , F [ F (n) ] = 3n .
La seconde règle explique juste que la fonction F est strictement croissante, c'est-à-dire si a > b , alors F ( a ) > F (b ) .
Premier constat : Le résultat F ( n) fourni par la machine de Clément est supérieur ou égal au nombre d'entrée n .
F (0) est un entier naturel donc F (0) ≥ 0
F (1) > F (0) ≥ 0 donc F (1) est un entier naturel supérieur à 0 , c'est-à-dire F (1) ≥ 1
F (2) > F (1) ≥ 1 donc F (2) est un entier naturel supérieur à 1 , c'est-à-dire F (2) ≥ 2
On peut poursuivre de proche en proche indéfiniment… Donc pour tout entier naturel n , on a F ( n) ≥ n .
Examinons les premiers résultats fournis par la machine de Clément.
F [ F (0)] = 3 × 0 = 0
Si F (0) ≥ 1 , alors comme F est croissante F [ F (0) ] ≥ F (1) .
Mais c'est impossible car F [ F (0)] = 0 et F (1) ≥ 1 . Nécessairement F (0) = 0 .
F [ F (1)] = 3 ×1 = 3
Si F (1) = 1 , alors comme F [ F (1) ] = F [1] = 1 ce qui est impossible.
Si F (1) > 2 , alors comme F est strictement croissante F [ F (1) ] > F (2) > F (1) > 2 , ce qui implique que F [ F (1)] vaut au
moins 5 . C'est impossible. Par élimination, on obtient donc F (1) = 2 .
F [ F (1)] = 3 ×1 = 3 et F [ F (1)] = F [ 2] : donc F (2) = 3 .
F [ F (2)] = 3 × 2 = 6 et F [ F (2)] = F [3] : donc F (3) = 6 .
F [ F (3)] = 3 × 3 = 9 et F [ F (3)] = F [ 6] : donc F (6) = 9 .
Alors 6 = F (3) < F (4) < F (5) < F (6) = 9 donc F (4) = 7 et F (5) = 8 .
On peut poursuivre de proche en proche pour trouver les résultats donnés pour tout entier saisi en entrée…
Une idée consiste alors à "diviser" 2012 plusieurs fois par 3 :
3 × 670 < 2012 < 3 × 671 3 × 223 < 670 et 671 < 3 × 224 3 × 74 < 223 et 224 < 3 × 75
3 × 24 < 74 et 75 = 3 × 25 3 × 8 = 24 et 25 < 3 × 9
Puis on remonte au fur et à mesure jusqu'à 2012 :
F [8] = F [ F (5)] = 3 × 5 = 15 et F [9] = F [ F (6)] = 3 × 6 = 18
F [15] = F [ F (8)] = 3 × 8 = 24 et F [18] = F [ F (9)] = 3 × 9 = 27
Alors 24 = F (15) < F (16) < F (17) < F (18) = 27 donc F (15) = 24 et F (16) = 25 .
F [ 24] = F [ F (15)] = 3 ×15 = 45 et F [ 25] = F [ F (16)] = 3 ×16 = 48
F [ 45] = F [ F (24)] = 3 × 24 = 72 et F [ 48] = F [ F (25)] = 3 × 25 = 75
Alors 72 = F (45) < F (46) < F (47) < F (48) = 75 donc F (47) = 74 et F (48) = 75 .
F [ 74] = F [ F (47)] = 3 × 47 = 141 et F [ 75] = F [ F (48)] = 3 × 48 = 144
F [141] = F [ F (74)] = 3 × 74 = 222 et F [144] = F [ F (75)] = 3 × 75 = 225
Alors 222 = F (141) < F (142) < F (143) < F (144) = 225 donc F (142) = 223 et F (143) = 224 .
F [ 223] = F [ F (142)] = 3 ×142 = 426 et F [ 224] = F [ F (143)] = 3 ×143 = 429
F [ 426] = F [ F (223)] = 3 × 223 = 669 et F [ 429] = F [ F (224)] = 3 × 224 = 672
Alors 669 = F (426) < F (427) < F (428) < F (429) = 672 donc F (427) = 670 et F (428) = 671 .

3. F [ 670] = F [ F (427)] = 3 × 427 = 1281 et F [ 671] = F [ F (428)] = 3 × 428 = 1284
F [1281] = F [ F (670)] = 2010 et F [1284] = F [ F (671)] = 3 × 671 = 2013
Alors 2010 = F (1281) < F (1282) < F (1283) < F (1284) = 2013 donc F (1283) = 2012 .
Au final : F [ 2012] = F [ F (1283)] = 3 ×1283 = 3849 .
Si on entre 2012 dans la machine de Clément, alors on obtient un résultat de 3849 .
Remarque : solution plus rapide
On pouvait envisager les résultats donnés au fur et à mesure par blocs…
{
On constate aisément que sur la première ligne les ensembles écrits sont de la forme 3 p ... 2 × 3 p . }
On constate aisément que sur la seconde ligne les ensembles écrits sont de la forme {2 × 3 p
... 3 × 3 p } .
On constate enfin que les ensembles de la première ligne ont le même nombre d'éléments que les ensembles immédiatement
en dessous dans la seconde ligne.
On en déduit que :
p
en appliquant F du haut vers le bas, on ajoute donc 3 .
en appliquant F du bas vers le haut à droite, on soustrait donc 3 p puis on multiplie par 3 .
On écrit 2012 en base 3 : 2012 = 2 × 36 + 2 × 35 + 2 × 33 + 32 + 31 + 2
{
Donc 2012 est dans la ligne du bas… appartenant à l'ensemble 2 × 36 ... 3 × 36 }
Et finalement, F (2012) = (2012 − 36 ) × 3 = 3849 .
Remarque : Cette méthode permet de trouver le résultat donné par la machine pour n'importe quelle entrée.