1. Y por último, si se comparan los tiempos de los tres atletas y
PSU: Matemática se ordenan de menor a mayor, se tiene: 11,02; 11,2 y 11,3, lo
que deriva a que Arturo demoró menos, luego él llega primero
a la meta, por lo tanto III) es verdadera.
Pregunta 01_2011 De esta manera la opción correcta es E).
El distractor más marcado por parte de los postulantes que
abordaron el problema fue C), esto posiblemente se debe a
que no saben restar números con distintas cifras decimales o
no saben interpretar que 0,18 significa 18 centésimas.
Pregunta 03_2011
En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200
gramos de azúcar. Si se desea preparar dicho postre
para npersonas, ¿por cuál número se debe multiplicar n para
obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan?
__
A) 33, 3
Comentario: Para resolver preguntas de este tipo, el alumno B) 200
debe dominar la operatoria de fracciones compuestas. De C) 1.200
tal modo que sepa realizar la operatoria básica de fracciones, D) 6
en este caso, adición de fracciones y división de E) 0,03
fracciones.
Comentario
Resolución:
El contenido en esta pregunta contextualizada tiene que ver
con proporcionalidad directa y ecuaciones con
proporciones. Para resolver el problema el alumno debe
tener la capacidad de comprender que las variables están en
una proporcionalidad directa, plantear una proporción,
Entonces, como vimos, la respuesta correcta está en la despejar la incógnita en la proporción planteada y, por último,
opción D) saber transformar una fracción a número decimal.
Es así como, si se designa por x a los gramos de azúcar que
se necesitan para n personas, la proporción que se debe
Pregunta 02_2011 plantear con los datos dados es:
Tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier
, luego para responder la pregunta se debe
cronometró 11,3 segundos; Arturo, 11,02 segundos, y Marcelo,
11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es despejar x, obteniendo , por lo que el número
(son) verdadera(s)?
pedido es , valor que se encuentra en la opción
I) Javier llegó después que Marcelo.
A).
II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de
diferencia al El distractor más llamativo fue B), y el error cometido por los
llegar a la meta. alumnos que marcaron esta opción está en que en la
III) Arturo llegó primero.
proporción que se plantean , multiplican cruzado,
Alternativas
resultando, 6 · x = 200 · n, pero no despejan x y sólo se
A) Sólo I quedan con el valor 200.
B) Sólo I y II
Pregunta 04_2011
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III El gráfico de la figura 1 muestra el itinerario de un vehículo al ir
E) I, II y III y volver, en línea recta, a un determinado lugar. ¿Cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
Comentario
Esta pregunta es del tipo combinada, que involucra el
contenido de números decimales. Aquí, el postulante debe
tener la habilidad de comprender el enunciado y a partir de la
comparación entre los datos entregados determinar la
veracidad o falsedad de cada una de las afirmaciones dadas.
Para determinar el valor de verdad de I), se debe comparar lo
que cronometraron Javier y Marcelo. Así, Marcelo llegó con
una décima de segundo antes a la meta que Javier, pues 11,2
< 11,3, luego esta afirmación es verdadera.
En II) se debe hacer la diferencia entre el tiempo que demoró
Arturo y el que demoró Marcelo; es decir, 11,2 - 11,02 = 0,18, Figura 1
que corresponde a 18 centésimas de segundo, luego II) es
I) La cantidad de kilómetros recorridos por el vehículo fue 180
verdadera.
km.

2. II) El vehículo estuvo 4 horas detenido. Del enunciado se tiene que T es el total de gallinas y p es la
III) El vehículo se demoró más en ir al lugar que en volver de quinta parte del total de gallinas, luego , que
él. corresponde a las gallinas blancas que hay en el corral.
Alternativas Si al total de gallinas se le resta la cantidad de gallinas blancas
A) Sólo I se obtiene la cantidad de gallinas que no son blancas, es
B) Sólo II
decir, , luego I) es verdadera.
C) Sólo III
D) Sólo I y II Como las gallinas blancas son la quinta parte del total, se tiene
E) I, II y III
que , por lo tanto II) es verdadera.
Comentario
El contenido que el alumno debe saber en este ítem es el de Y por último, como en I) se llegó a que corresponde a la
análisis y descripción de fenómenos y situaciones que ilustren cantidad de gallinas no blancas del total, lo que a su vez
la idea de variabilidad en un gráfico. equivale a cuatro veces la cantidad de gallinas blancas, se
concluye que III) también es verdadera.
El postulante debe comprender la información entregada tanto
en el enunciado como en el gráfico, para luego interpretarlas y Como I), II) y III) son verdaderas se tiene que la opción
llegar a la verdad o falsedad de las afirmaciones dadas. correcta es E).
En este caso, el gráfico muestra los kilómetros que recorre un Pregunta 06_2011
vehículo para llegar a un lugar y el regreso de éste al punto de
partida, y el tiempo que demora en hacer este recorrido.
-3 -3
Si p = 5,2 • 10 y q = 2 • 10 , ¿cuál(es) de las siguientes
Al analizar la afirmación I), se puede concluir que ésta es falsa,
igualdades se cumple(n)?
porque al interpretar el gráfico se tiene que el automóvil
-3
recorre 180 km en llegar al lugar, pero al devolverse al punto I) p + q = 7,2 • 10
de partida también recorre 180 km, luego en total recorre 360 II) p • q = 1,04 • 10
-5
km y no 180 km como se afirma en I).
III) p – q = 3,2
Para determinar el valor de verdad de II), se deduce del gráfico
que desde la tercera hora hasta la séptima hora (4 horas) Alternativas
estuvo detenido, por lo tanto II) es verdadera. A) Sólo I
Por último, del gráfico se desprende que se demora tres horas B) Sólo II
en llegar a su destino y cuando regresa del lugar al punto de C) Sólo III
partida, también lo hace en tres horas, luego en ir y volver D) Sólo I y II
ocupó la misma cantidad de tiempo, por lo que III) es falsa. E) Sólo I y III
Como sólo II) es verdadera se tiene que la respuesta Comentario
correcta se encuentra en la opción B). El contenido involucrado en este ítem es el de notación
La opción distractiva que tuvo una mayor preferencia fue D). El científica, en donde el alumno debe tener la capacidad de
error que comete el alumno que marca esta opción es concluir operar números escritos en esta forma.
que I) es verdadera, lo que probablemente pensó es que como Es así como el alumno debe operar con potencias de base
en el gráfico el valor mayor en el eje de los kilómetros es 180, 10 utilizando las propiedades de las potencias, en este caso
se queda con este valor y no analiza el recorrido del vehículo lamultiplicación de potencias de igual base.
en ir y volver al lugar de partida. -3 -3 -3
En I), se tiene p + q = 5,2 • 10 + 2 • 10 = (5,2 + 2) • 10 =
Pregunta 05_2011 -3
7,2 • 10 .
En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la Otra forma de resolver esta adición es transformar los
quinta parte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las siguientes números de notación científica a números decimales y luego
afirmaciones es (son) verdadera(s)? pasar el resultado a notación científica, o sea,
-3 -3
p + q = 5,2 • 10 + 2 • 10 = 0,0052 + 0,002 = 0,0072 = 7,2 •
I) Las gallinas que no son blancas son -3
10 . Luego, I) es verdadera.
II) El 20% de las gallinas son blancas.
-3 -3
En II) se tiene, p • q = (5,2 • 10 )(2 • 10 ), aplicando
III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro -
multiplicación de potencias de igual base queda, 5,2 • 2 • 10
veces el número de gallinas blancas. 6 -6
= 10,4 • 10 , luego 10,4 se escribe en notación científica,
1 -6
Alternativas obteniéndose 1,04 • 10 • 10 , nuevamente se aplica
-5
multiplicación de potencias de igual base quedando 1,04 • 10 .
A) Sólo II
Por lo tanto, II) es verdadera.
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III En III) se opera de forma similar que en I) y se obtiene:
D) Sólo II y III -3 -3 -3 -3
p – q = 5,2 • 10 – 2 • 10 = (5,2 – 2) • 10 = 3,2 • 10 .
E) I, II y III
Por lo anterior, III) es falsa.
Comentario
Luego, se tiene que la opción correcta es D).
En este problema el alumno debe dominar el contenido
de porcentaje y su relación con las fracciones. Además, La alternativa A) fue marcada prácticamente por la cuarta
debe interpretar los datos del enunciado y utilizarlos para parte de los postulantes que abordaron el ítem, esto quiere
determinar la verdad o falsedad de las afirmaciones. decir que la igualdad de II) les dio falsa o se conformaron con

3. la A) ya que el resultado de la igualdad I es correcto. El error n + 0,15 • n = 1,15 • n. Luego, el precio original se debe
que seguramente cometen fue que después de operar con la multiplicar por 1,15 para obtener el nuevo precio, valor que se
igualdad II, el resultado que les dio no supieron escribirlo en encuentra en la opción D).
notación científica, es decir,
-3 -3 -6 -6 El distractor que fue marcado por más de un cuarto de los
p • q = (5,2 • 10 ) (2 • 10 ) = 5,2 • 2 • 10 = 10,4 • 10 = 1,04 •
-1 -6 -7 alumnos que abordaron el ítem fue B), y el error que
10 • 10 = 1,04 • 10
seguramente cometieron, los que optaron por esta opción, es
Pregunta 07_2011 que calculan sólo el 15% de un artículo, es decir, 0,15 y no
responden, efectivamente, lo que se está preguntando.
En un supermercado trabajan reponedores, cajeros y
supervisores. El 60% corresponde a reponedores, los Pregunta 09_2011
supervisores son 18 y éstos son un tercio de los cajeros.
En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos
¿Cuántos trabajadores tiene el supermercado?
medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo
A) 54 equilátero, como se muestra en la figura 2. Si repetimos el
B) 72 proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es
C) 108
D) 120
E) 180
Comentario
Este problema contextualizado apunta al contenido
de porcentajes. El alumno para resolverlo debe comprender
el enunciado e interpretar los datos entregados para realizar
relaciones entre ellos.
Es así como en el enunciado se mencionan tres tipos de
trabajadores en el supermercado, de los cuales 18 son
Comentario
supervisores y éstos corresponden a un tercio de los cajeros
El tópico que interviene en esta pregunta está asociado a la
(C), es decir, obteniéndose que existen 54 cajeros. resolución de desafíos, en donde el alumno debe tener la
capacidad de realizar cálculos orientados a la identificación
Ahora, como se tienen 18 supervisores y 54 cajeros, entre
de regularidades numéricas, además de aplicar operatoria
ellos hay 72 trabajadores que equivalen al 40% del total de
de fracciones y propiedades de potencias.
trabajadores, ya que el 60% son reponedores. Entonces, para
responder la pregunta se debe plantear la siguiente Lo primero que se debe recordar es que un triángulo
proporción, en donde x representa al total de trabajadores: equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales, contenido
visto en Geometría de Enseñanza Básica.
Ahora bien, si se unen los puntos medios del triángulo de la
Por lo tanto, la respuesta correcta está en la opción E). figura se obtiene un triángulo inscrito en el triángulo mayor y
La opción C) fue el distractor más marcado, y el error que se cuyo lado mide 500, es decir, .
comete en este caso va en la comprensión de la pregunta del
problema, los alumnos no responden lo que les piden, sino Si en este triángulo inscrito se unen los puntos medios de sus
que calculan el 60% del total, que corresponde a 108 lados respectivos, se obtiene nuevamente un triángulo
reponedores y no al total de trabajadores. equilátero, cuya medida de cada lado es 250, o sea,
Pregunta 08_2011
En una tienda se decide subir todos los precios en 15 %. ¿Por
cuál número se deben multiplicar los precios antiguos para .
obtener el nuevo precio?
A) Por 15 Si se repite el proceso por tercera vez se obtiene que la
medida del lado de un tercer triángulo equilátero es
B) Por 0,15
C) Por 1,5
D) Por 1,15 .
E) Depende del precio de cada artículo. Luego, como hay que hacer el proceso 6 veces, se deduce
Comentario
que la medida del lado del último triángulo es .
El alumno para encontrar la respuesta al ítem debe tener la
capacidad de relacionar porcentajes con números Por lo tanto, la respuesta correcta se encuentra en la opción
decimales. C).
En efecto, si se designa por n el precio de un artículo de la El distractor que obtuvo una mayor preferencia por parte de los
tienda, se tiene que el alumnos fue D), y el error que cometen los postulantes que
marcaron esta opción es que no comprendieron que se debía
15% de este producto está dado por ir dividiendo el lado del triángulo por 2, esto 6 veces, y
solamente pensaron en dividir el lado por 6.
Ahora, para obtener el precio final del artículo, al precio
original se le debe agregar el 15% ya calculado, obteniéndose Pregunta 10_2011

4. Si el índice de crecimiento C de una población A) – 4
es inversamente proporcional al índice D de desempleo y en B) 0
un instante en que C) 3
D) 4
C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos
E) 36
índices se cumple
Comentario
En este ítem se debe resolver una ecuación de primer
grado con una incógnita y con coeficientes numéricos. Para
encontrar el valor de x, se debe aplicar operatoria de números
enteros visto en la Enseñanza Básica.
En efecto, la ecuación 3 • 2(2x + 4) = 24, es igual a 6(2x + 4) =
24, luego se aplica la propiedad distributiva, obteniendo 12x +
24 = 24, se suma el inverso aditivo de 24 a ambos lados de la
Comentario igualdad, resultando 12x = 0, de donde x = 0.
En este ítem el alumno debe recordar cuando dos variables Entonces, la opción correcta es B).
son inversamente proporcionales entre sí. En este caso, C
y D son inversamente proporcionales y por lo tanto Pregunta 13_2011
el producto de ellas es constante, es decir, C · D = k, donde 2
Si 6 – 2x = 14, entonces x – x es igual a
k es la constante de proporcionalidad inversa.
A) –20
Ahora bien, cuando C = 0,5 se tiene que D = 0,25, estos B) –10
valores al reemplazarlos en la igualdad permiten obtener el C) –30
valor de la constante de proporcionalidad, obteniéndose C · D D) 10
= 0,5 · 0,25 = 0,125 = k. Como las opciones están en función E) 30
de C, se despeja la variable D y se tiene que . Comentario
Por lo tanto E) es la opción correcta. Este ítem, al igual que el anterior, está referido a ecuaciones
de primer grado, con la diferencia que en este problema
Uno de los distractores con mayor preferencia por parte de los luego de encontrar el valor de x, se debe valorizar en la
postulantes fue D) y el error que cometen es al despejar la expresión algebraica dada, es decir,
variable D, de la expresión C · D = 0,125, ya que en vez de
multiplicar por el recíproco de C, a ambos lados de la igualdad, 6 – 2x = 14, se suma el opuesto de 6 (inverso aditivo) a cada
sólo lo hacen a la izquierda de la igualdad y a la derecha lado de la igualdad, resultando –2x = 8, con lo que se tiene
multiplican por C, obteniendo D = 0,125 · C. que x = –4
2
Pregunta 11_2011 Ahora, se reemplaza x = –4 en x – x , obteniéndose –4 – (–
2
4) = –4 – 16 = –20, resultado que se encuentra en la opción
A).
Si n = 3, entonces es igual a
El distractor D) fue el más llamativo, y para preferir este
A) 6
distractor es posible que se cometan errores tanto para
B) 9
encontrar el valor dex como al valorizar la expresión
C) 14
algebraica. Por ejemplo, de la igualdad 6 – 2x = 14, se llega,
D) 17
erróneamente, a –2x = 20, obteniéndose x = –10. Después, al
E) 18 2 2
reemplazarlo en la expresión x – x , se obtiene –10 – (–10) ,
2
Comentario luego se operan los signos obteniéndose, –10 + (10) y por
último, se aplica mal la definición de potencia, resultando –10
El contenido involucrado en este ítem está referido a
+ 20 = 10.
la valorización de expresiones algebraicas. En esta
pregunta el estudiante debe reemplazar el valor dado en la Pregunta 14_2011
expresión algebraica para luego realizar operaciones básicas
La suma de tres números impares consecutivos es siempre
de números racionales y potencias.
I) divisible por 3.
En efecto, al reemplazar n = 3, en la expresión , II) divisible por 6.
se tiene
III) divisible por 9.
Alternativas
Es (son) verdadera(s)
Así, la opción correcta es D).
A) sólo I.
Los alumnos que se equivocaron en contestar el ítem, se B) sólo II.
distribuyeron en forma pareja entre los distractores, debido a C) sólo I y III.
diversos errores que pueden cometer cuando operan con D) sólo II y III.
números. E) I, II y III.
Pregunta 12_2011 Comentario
Si 3 • 2(2x + 4) = 24, entonces x es igual a

5. El contenido involucrado en este ítem es el sentido, notación Pregunta 16_2011
y uso de las letras en el lenguaje algebraico, reducción de
Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de
términos semejantes y factorización.
modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra.
Es así como, del enunciado se debe escribir las expresiones ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?
que representen a tres números impares consecutivos.
A) 250 cm y 50 cm
Sabiendo que 2n será siempre un número par, si se designa
por 2n + 1 el primer número, se tiene que el segundo es 2n + B) 150 cm y 150 cm
3 y el tercer número impar es 2n + 5, luego la suma de estas
C) 175 cm y 125 cm
expresiones se representa por, 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5,
realizando reducción de términos semejantes se llega a 6n D) 200 cm y 100 cm
+ 9, por último se factoriza por 3 obteniéndose 3(2n + 3).
E) Ninguna de las medidas anteriores.
Para ver la verdad o falsedad de las afirmaciones debemos Comentario
recordar que un número es divisible por otro cuando el
primero es múltiplo del segundo, es así como se puede En esta pregunta el alumno debe comprender el enunciado y a
deducir que I) es verdadera, porque 3(2n + 3) es un múltiplo partir de los datos entregados en él debe plantear y resolver
de 3, por lo tanto es divisible por 3 (cualquier valor que se le una ecuación de primer grado con una incógnita.
asigne a n, siempre se obtendrá un número divisible por 3). Del enunciado se tiene que la tabla que mide 3 metros, que
Por otro lado, II) y III) son falsas, ya que el valor de la equivalen a 300 cm, se divide en dos partes, si la parte más
expresión 3(2n + 3) depende del valor que pueda tener n, lo corta es x, la otra es 300 – x.
que implica que la expresión no siempre es divisible por 6 o Además, se sabe que una de ellas es 50 cm más larga que la
por 9. otra, entonces se puede concluir que x + 50 = 300 – x, se
Como sólo I) es verdadera, la clave se encuentra en la opción suma el inverso aditivo de -x y el inverso
A). aditivo de 50, a ambos lados de la igualdad, obteniéndose 2x =
250, multiplicando por
Para este ejemplo, se puede usar un sencillo esquema el recíproco de 2 a ambos lados de la igualdad, se llega a
deductivo: sumamos 3 impares seguidos (3 + 5 + 7 = 15) y lo
dividimos por 3, da 5. El 15 no es divisible ni por 6 ni por
9. Respuesta correcta A)
Así, las medidas de cada parte de la tabla son 125 cm y 175
Uno de los distractores más marcados fue E), en donde creen
cm, valores que se encuentran en la opción C) .
que las tres afirmaciones son verdaderas. El error que
seguramente cometen es pensar que de la suma obtenida, 6n Uno de los distractores con mayor preferencia fue A) y el error
+ 9, se puede concluir que es divisible tanto por 6 como por 9, que seguramente cometen los alumnos es no interpretar
ya que ambos números aparecen en la expresión. correctamente los datos del enunciado y asumir que uno de
Pregunta 15_2010 los trozos es 50 cm y como la tabla mide 300 cm el otro debe
ser 250 cm.
Pregunta 17_2011
El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si
el ancho del rectángulo es x metros, la expresión algebraica
que representa su perímetro es
A) (4x + 16) metros.
B) (2x + 8) metros.
C) (2x + 16) metros.
D) (4x + 8) metros.
E) (4x + 32) metros.
Comentario
Comentario
En este ítem el alumno debe recordar el desarrollo
del producto notable de la suma por diferencia, es decir, El postulante debe comprender el enunciado y traducirlo a
recordar que una expresión algebraica. Y, además, debe recordar que
2 2 el perímetro de un rectángulo es la suma de las medidas de
(a + b)(a – b) = a – b .
sus lados, contenido que se encuentra en Enseñanza Básica.
Así,
Como el ancho del rectángulo es x y el largo es 8 metros más
largo que el ancho, se tiene que el largo se expresa como (x +
8) metros, luego para expresar el perímetro del rectángulo en
función de x se tiene 2x + 2(x + 8) = 2x + 2x + 16 = (4x + 16)
metros.
Luego, la opción correcta es B).
Así, la opción correcta es A).
El distractor con mayor preferencia fue A), y el error que
El distractor más marcado fue C). Posiblemente lo que piensan
cometen los alumnos que marcan esta opción es no elevar al
los alumnos es que el largo es 8 metros y no (x + 8) metros, lo
cuadrado el denominador del coeficiente numérico, obteniendo
cual los lleva a considerar que el perímetro es x + x + 8 + 8 =
la siguiente igualdad:
(2x + 16) metros.
Pregunta 18_2010

6. Comentario
Los contenidos que el alumno debe dominar para contestarlo
correctamente son: raíz cuadrada y propiedades de las
Curso: Segundo medio potencias, en este caso, potencia elevada a potencia.
Comentario En efecto, debe descomponer la cantidad subradical y luego
El alumno debe tener la capacidad de operar con fracciones aplicar la raíz cuadrada, de este modo:
algebraicas. En este caso, al reemplazar en la expresión
x – (a + b + c) las variables a, b y c por sus respectivas
Más directamente, se puede dividir el exponente de la potencia
fracciones algebraicas dadas en el enunciado, se tiene
subradical (16) por el exponente de la raíz (2) lo que resulta
igual a 8, sacamos el 2 afuera de la raíz y queda 28.
Otra forma de resolverlos es transformar la raíz a una potencia
con índice fraccionario, del siguiente modo:
Luego, la respuesta correcta se encuentra en C).
Con respecto a los distractores, uno de los más marcado fue
E). Seguramente cometen el siguiente error: De esta forma, la opción correcta es E)
El distractor más marcado por los postulantes fue B). Lo más
probable es que quienes lo marcaron hicieron una errónea
Aquí hacen una suma para el lado, llegando entonces, aplicación de la definición de la potencia, o sea,
erróneamente, a
Pregunta 21_2011
−x
Si 3x + 3−x = P, entonces 9x + 9 es igual a
Pregunta 19_2011
2
A) P
El producto de 2
B) P +2
2
C) P −2
2
D) P −1
E) 3P
Área temática: Álgebra
Comentario
En esta pregunta el contenido está referido a potencias con
Comentario
exponente entero, multiplicación de potencias de igual
Para resolver el ítem, el alumno debe recordar raíces base y el desarrollo de un binomio al cuadrado.
cuadradas, sus propiedades y el producto notable de la
2 2 El alumno debe reconocer que hay una relación entre los
suma por diferencia; es decir, (a + b) )a – b) = a – b .
datos del enunciado y lo que se pide.
Es así como, en el segundo factor del −x
Es así como, de la igualdad 3x + 3 = P, se debe encontrar
producto se ordenan sus términos, para −x
una expresión para 9x + 9 .
aplicar el producto de suma por diferencia y el cuadrado de −x
Entonces, en 3x + 3 = P, se eleva al cuadrado en ambos
una raíz, obteniéndose −x 2 2
lados de la igualdad, o sea (3x + 3 ) = P ,
se desarrolla el cuadrado del binomio, llegando a
2 −x −x 2 2
(3x) + 2 • 3x • 3 + (3 ) = P , aplicando propiedades
de potencias se obtiene
Luego, la opción correcta es D).
−x 2 −x
9x + 2 • 30 + 9 = P , que es igual a 9x + 2 + 9 =
Uno de los distractores más marcados por los alumnos fue el 2
P , se suma el inverso aditivo de 2 a ambos lados de la
E). Tal vez operaron, equivocadamente, de la siguiente forma:
igualdad
−x 2
y se obtiene 9x + 9 = P – 2.
Pregunta 20_2011
Por lo cual, la alternativa correcta es la opción C).
Los distractores más marcados por lo alumnos, pregunta que
resultó muy difícil, fueron A) y E).

7. Para llegar al distractor A), el error que posiblemente cometen Es así como si se designa por x uno de estos tres números
es desarrollar mal el binomio del cuadrado; esto es, sólo enteros consecutivos se tiene que su antecesor es (x − 1) y
elevan al cuadrado cada uno de los términos de la igualdad su sucesor es (x + 1); luego, la suma de los cuadrados de
−x 2 −x 2 2
3x + 3 = P y obtienen (3x) + (3 ) = P , llegando a 9x cada uno de ellos, que es igual a 291, está dada por
−x 2 2 2 2
+ 9 =P . (x − 1) + x + (x + 1) = 291, igualdad que se encuentra
−x en la opción C).
En el caso de E), en 3x + 3 = P multiplican por 3 en
−x
ambos lados de la igualdad: 3(3x + 3 ) = 3P, Erróneamente, la alternativa más marcada por los alumnos fue
−x la A) y corresponde a aquellos que saben escribir la expresión
obteniendo 3 • 3x + 3 • 3 = 3P, luego realizan una
−x de los tres números enteros consecutivos, pero elevan al
multiplicación errónea, llegando a 9x + 9 = 3P.
cuadrado la suma de todos ellos y no elevan cada una de sus
Pregunta 22_2011 expresiones.
En la figura 3, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de Pregunta 24_2011
la sección achurada se expresa como
El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de
inecuaciones
es
Área temática: Álgebra
Comentario
Esta pregunta está relacionada con el contenido del análisis
de fórmulas de áreas.
El postulante debe tener la capacidad de comprender el
enunciado para luego calcular el área de la región achurada,
contenido tratado en Enseñanza Básica.
Área temática: Álgebra
Como ABCD es un rectángulo y considerando los ángulos
rectos marcados en su interior se tiene que la región achurada Comentario
tiene sus cuatro ángulos interiores rectos; por lo tanto, su área
El tópico que se debe saber en esta pregunta es el relacionado
es igual al producto de dos de sus lados contiguos.
con sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una
Además, BC = AD = y, con lo cual se concluye que uno de incógnita. El alumno debe resolver cada una de las
los lados de la región achurada es (y – z) y el otro es x. Luego, inecuaciones del sistema para luego interceptar los
el área de esta región es x(y – z), fórmula que es válida para conjuntos solución de cada una y obtener la respuesta a la
cualquier medida que tomen sus lados, de esta manera la pregunta.
opción correcta es B).
En efecto, en la inecuación 3x ─ 6 < 3, se suma el inverso
La pregunta resultó difícil, lo que demuestra que los alumnos aditivo de ─6 a cada lado de la inecuación, de donde se
no están habituados a trabajar problemas que relacionen el obtiene que
Álgebra con la Geometría.
3x < 9, luego se multiplica por el recíproco de 3 a cada lado de
El distractor más usado fue C), y el error que seguramente la inecuación, para obtener que x < 3. El siguiente gráfico
cometen los alumnos es asumir que los dos rectángulos representa a todos los números reales que son menores que 3
pequeños interiores que se forman en el rectángulo ABCD son (que no incluye al 3):
congruentes (si lo fueran, estaría indicado en la pregunta), por
lo tanto también asumen que los lados del rectángulo
achurado son x y z, y así su área es xz.
Pregunta 23_2011 Ahora, en la inecuación 4 ─ 2x ≤ 6, se suma el inverso aditivo
de 4 a cada lado de la inecuación, resultado ─2x ≤ 2, se
La suma de los cuadrados de tres números enteros multiplica por el recíproco de ─2 a cada lado de la inecuación,
consecutivos es 291. ¿Cuál de las siguientes expresiones se llega a x ≥ ─1, se debe recordar que cuando una
representa el planteamiento algebraico de este problema?: inecuación se multiplica por un número negativo se obtiene
2
A) [x + (x + 1) + (x + 2)] = 291 una inecuación equivalente, donde el signo de la desigualdad
2 2 2 cambia de sentido. El gráfico que representa esta desigualdad
B) x + (x + 1) + (x + 2) = 291
(que incluye el –1) es:
2 2 2
C) (x − 1) + x + (x + 1) = 291
2 2 2
D) (x − 1) x (x + 1) = 291
2 2 2
E) x (x + 1)(x + 2) = 291 Por lo tanto, el conjunto solución para el sistema planteado es
la intersección que se produce de estos dos gráficos, es decir:
Área temática: Álgebra
Comentario
En este ítem el alumno debe tener la capacidad de Luego, la clave se encuentra en la opción E).
comprender, interpretar y expresar los datos del enunciado a
través de una igualdad de expresiones algebraicas.

8. Esta pregunta resultó difícil y fue omitida por un alto porcentaje Dado el sistema
de alumnos. Esto se debe a que hay un dominio sólo parcial
del contenido o bien a que existe un desconocimiento de éste.
, el valor de y es
El distractor más usado fue el D). El error que cometen los
alumnos es, seguramente, que en la inecuación 4 ─ 2x ≤ 6, no A) 0
cambian el sentido de la desigualdad, obteniendo x ≤ ─1 y B) 3b
concluyen que la inecuación 3x ─ 6 < 3 es igual a ─6 ─ 3 < C) 6b
─3x, obteniendo D) 7a
E) 14a
─9 < ─3x, luego multiplican por el recíproco de ─3 a ambos
lados de la inecuación sin cambiar el signo de la desigualdad Área temática: Funciones
llegando a 3 < x. Por último, unen los dos conjuntos soluciones
Comentario
en vez de interceptarlos, por lo que su representación gráfica
es el distractor D). Esta pregunta está referida al contenido que involucra
resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos
Pregunta 25_2011
incógnitas y concoeficientes literales. En ella es necesario
Para que la expresión aplicar algún método de resolución que permita encontrar el
valor de las incógnitas, en este caso se usará el de reducción.
Como se necesita encontrar el valor de y, en el sistema dado
se multiplica la ecuación x ─ y = 7a + 3b por ─1, a ambos
lados de la igualdad, obteniéndose el sistema
sea positiva, se debe cumplir necesariamente que
A) xy < 0
B) x<0 Luego, al sumar los términos de ambas ecuaciones se
C) xy > 0 obtiene 2y = 6b, lo que es equivalente a y = 3b, y dicho valor
D) y<0 se encuentra en la opción B).
E) x>y Cabe mencionar que a pesar de ser un contenido que se
Área temática: Álgebra supone es trabajado por los profesores, la pregunta alcanzó
gran porcentaje de omisión, lo cual demuestra que el alumno
Comentario no sabe trabajar con sistemas de ecuaciones con
En este ítem el alumno debe trabajar con fracciones coeficientes literales.
algebraicas, para ello debe sumar fracciones, factorizar y Pregunta 27_2011
simplificar el numerador con el denominador de la fracción
resultante. Después debe hacer un análisis de la expresión Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $
resultante para determinar las condiciones necesarias para 1.000.000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5.000.
que la fracción sea positiva. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes
¿cuál de las siguientes expresiones representa la
Es decir, función costo C(x)?
A) C(x) = x + 1.005.000
B) C(x) = 1.000.000x + 5.000
C) C(x) = 1.005.000x
Para que una fracción sea positiva el numerador y el D) C(x) = 5.000x + 1.000.000
denominador deben serlo, o bien ambos deben ser negativos, E) C(x) = (x ─ 5.000) + 1.000.000
Área temática: Funciones
luego (fracción negativa) será positiva cuando se
cumplen las desigualdades (─y > 0 y x > 0) o (─y < 0 y x < Comentario
0). Entonces, del primer paréntesis, si ─y > 0 y x > 0, se tiene
El contenido de este ítem está relacionado con
que y < 0 y x > 0, por lo que xy < 0. Ahora, del segundo
una función que modela una situación contextualizada.
paréntesis, si ─y < 0 y x < 0, se tiene que y > 0 y x < 0, por lo
tanto xy < 0. Como en ambos casos se llega a que xy < 0, El postulante debe comprender e interpretar el texto del
la clave es la opción A). enunciado, para luego escribir la función que modela el
costo C(x).
Este ítem resultó muy difícil. Muy pocos alumnos contestaron
correctamente, lo cual hace pensar que la gran mayoría no El enunciado informa que el costo fijo mensual de producción
domina a cabalidad el contenido o no están acostumbrados a de lámparas es $ 1.000.000 y que el costo variable de cada
trabajar con este tipo de preguntas en donde la respuesta no lámpara que se fabrica es de $ 5.000. Si x representa el
es una expresión sino una condición. Además, requiere que el número de lámparas que se fabrican en un mes, entonces el
estudiante haya desarrollado las habilidades de orden costo total se expresa como 5.000x + 1.000.000, expresión
superior, como el análisis de situaciones. que se encuentra en la opción D).
El distractor con más preferencias fue C). Quienes se f(x) = 5.000x + 1.000.000 es la expresión algebraica de
inclinaron por él, posiblemente operaron mal la fracción una función lineal. En general f(x) = ax + b
El distractor más marcado por los estudiantes fue B). Lo más
algebraica , entonces asumen que esta fracción es
probable es que quienes optan por esta opción hayan hecho
mayor que cero cuando xy > 0.
una mala interpretación del texto, considerando que el costo
Pregunta 26_2011 fijo ($ 1.000.000) se tiene que multiplicar por la cantidad de

9. lámparas producidas (x), más el costo de fabricar una lámpara El contenido abordado en esta pregunta es de ecuaciones
($ 5.000). exponenciales. En este ítem el alumno debe analizar la
verdad o falsedad de las igualdades y para ello debe recordar
Pregunta 28_2011
las propiedades de las potencias; en este caso, potencia de
2
El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x + 1 = x + 1 es una potencia, multiplicación de potencias de igual
base y la propiedad de potencia con exponente negativo.
Como , en la igualdad de I) se tiene ,
ésta se escribe como 4x = 4 − 3 y como las bases de las
potencias son iguales, se llega a que x = −3. Por lo que I) es
verdadera.
Área temática: Funciones
3
En II), en la igualdad 4 • 4x = 1, se multiplican las potencias
Comentario 3+x
de igual base y se llega a 4 = 1, pero se sabe que 1 = 4 ,
0
3+x 0
El contenido que mide esta pregunta es la resolución entonces se tiene 4 = 4 , como las bases son iguales, se
de ecuaciones de segundo grado, para esto el alumno obtiene 3 + x = 0, de donde se determina que x = −3, por lo
debe igualar la ecuación a cero y determinar los valores tanto II) es verdadera.
de x. −1 x
En III), en la igualdad (4 ) = 64 se aplica la propiedad de
−x 3
A continuación se presentan dos maneras de hacerlo: potencia de una potencia, resultando 4 = 4 , como las bases
2
son iguales se tiene que –x = 3, de donde x = −3, así III) es
La primera es por factorización. De la ecuación x + 1 = x + 1, verdadera. Por todo lo anterior, la opción correcta es E).
se suma el inverso aditivo de 1 y de x, a ambos lados de la
2
igualdad, y se obtiene x ─ x = 0, luego al factorizar por x, Pregunta que resultó muy difícil y que contestó correctamente
resulta x(x ─ 1) = 0. sólo el 36,8 por ciento de los postulantes.
Aquí el postulante debe saber que un producto es igual a La opción que más confundió fue C), y es probable que en I)
cero cuando un factor, o ambos, es igual a cero, en este
caso (x = 0) o(x ─ 1) = 0, lo que da como solución el los alumnos no supieron aplicar la propiedad y en
0
conjunto {0, 1}. II) no recordaron que a = 1.
La segunda manera de resolverlo es por completación de Pregunta 30_2011
cuadrados. Se debe recordar que completación de cuadrados Dada la función f(x) = 2|1 − x| − x, ¿cuá(les) de las siguientes
es formar un trinomio cuadrado perfecto de la igualdades es (son) verdadera(s)?
2 2 2
forma ax + 2axb + b , en este caso se tiene x ─ x = 0, por lo
que 2a = ─1, luego , pero el término que falta para
2
completar el trinomio es , entonces a la expresión x ─
x = 0 se le suma a ambos lados de la igualdad A) Sólo I
B) Sólo II
obteniéndose , se factoriza el trinomio
C) Sólo III
como cuadrado perfecto y se tiene , se aplica la D) Sólo I y II
E) Sólo II y III.
raíz cuadrada a ambos lados llegando a .
Por lo tanto existen dos posibles valores para Comentario
x, . Para resolver correctamente el ítem el alumno debe recordar
Lo que da como solución el conjunto {0, 1}, que se encuentra la definición de la función valor absoluto para aplicarla en los
en la opción C). valores dados y así verificar si se cumplen las igualdades de I),
de II) y de III).
En I), se calcula f(−2) = 2|1 − (−2)| − (−2) = 2 • 3 + 2 = 8, luego
Pregunta 29_2011 se calcula f(−1) = 2|1 − (−1)| − (−1) = 2 • 2 + 1 = 5, como f(−2)
¿En cuál de las siguientes expresiones el valor de x es −3? ≠ f(−1), I)es falsa.
En II) se calcula , de
donde II) es verdadera.
En III) se determina f(2) = 2|1 − 2| − 2 = 2 • 1 − 2 = 0, por lo
que III) es verdadera.
A) Sólo en I
De este modo, la alternativa correcta es E).
B) Sólo en II
Ítem difícil, según las estadísticas, ya que sólo el 19,6 de
C) Sólo en III
alumnos contestó en forma correcta. La omisión fue del 61,4
D) Sólo en I y en II por ciento, esto debido a que tal vez no han trabajado
la función valor absoluto en la forma en que se presentó en
E) En I, en II y en III
la pregunta.
Comentario

10. La alternativa B) fue considerada por el 7,3 por ciento de los
postulantes, quienes de seguro no reconocen el símbolo de
valor absoluto y usan las barras como un tipo de paréntesis,
trabajando con operatoria de números enteros o bien se
equivocan al operar con números enteros.
Pregunta 31_2011
Si f(x) = log2 x, entonces f(16) − f(8) es
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4 Comentario
E) 7
El contenido aquí medido es referente al gráfico de
Comentario una función raíz cuadrada y el alumno, para encontrar el que
El contenido que corresponde a esta pregunta es función representa mejor a la función , debe determinar
logarítmica. Además, el alumno debe recordar la propiedad el dominio de la función y para esto debe saber que
n
logbb = n. la cantidad subradical siempre debe ser mayor o igual que
4 3 cero; es decir, x ─ 3 ≥ 0, de donde se deduce que el dominio
Así, f(16) = log2 2 = 4 y f(8) = log2 2 = 3. Luego, f(16) − f(8)
es x ≥ 3, por lo que se descartan las opciones B) y D), ya
= 4 − 3 = 1, respuesta que se encuentra en la opción A).
que trabajan con x ≥ 0.
A pesar de ser un ítem de aplicación de una propiedad de los
Ahora, si se asignan valores a la variable x y se reemplazan
logaritmos, resultó difícil y sólo el 18 por ciento de los
en la función dada, para luego graficar en los ejes
postulantes contestó correctamente. La omisión fue del 45,6
coordenados, se obtiene una curva como la de la siguiente
por ciento.
figura:
Muchos eligieron la opción D) y de seguro porque aplicaron
mal la definición de logaritmo, es decir,
f(16) − f(8) = log2 16 – log2 8 = 8 − 4 = 4.
Pregunta 32_2011
2
Si f(x) = x + 3x ─ 4, entonces f(x + 1) es igual a
2
A) x + 3x ─ 2
2
B) x + 5x ─ 3 Esta curva está mejor representada en la opción C).
2
C) x + 5x ─ 2 Esta pregunta resultó muy difícil. Sólo seis de cien alumnos la
responden correctamente (preocupante). Esto demuestra que
2
D) x + 5x el alumno no domina a cabalidad este contenido o no lo ha
2
E) x + 3x trabajado.
Comentario El distractor D) fue marcado por once de cada cien alumnos, y
seguramente se equivocaron porque reemplazan x por 0 y
En este ítem el alumno debe reemplazar en la función
cuadrática la variable x por (x + 1), para luego operan mal los signos; es decir;
desarrollar productos notables y reducir términos y luego reemplazan x por 3, ,
semejantes. concluyendo, erradamente, que el gráfico está en D).
2
En efecto, f(x + 1) = (x + 1) + 3(x + 1) ─ 4, aplicando binomio Otro modo de resolverlo sería anotar los puntos para una
2
al cuadrado y multiplicación se obtiene x + 2x + 1 + 3x + 3 ─ gráfica de :
2
4, haciendo reducción de términos semejantes se tiene, x +
5x, por lo que la opción correcta es D).
El ítem resultó de dificultad difícil. Esto se puede deber a que
el alumno no sabe trabajar con este tipo de preguntas, en
donde tiene que encontrar la imagen de una expresión no
numérica.
Graficamos uniendo los puntos rojos (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3):
El distractor más marcado fue B), y quienes llegaron a él, lo
2
más probable es que reemplazaron sólo en x , es decir,
2 2 2
f(x + 1) = (x + 1) + 3x ─ 4 = x + 2x + 1 + 3x ─ 4 = x + 5x ─ 3.
Pregunta 33_2011
¿Cuál de las siguientes opciones representa mejor al
gráfico ?

11. Luego graficamos sabiendo que el (–3),
desplaza la función desde cero tres lugares hacia la derecha:
En II), como se tiene que a = 1, reemplazando en el vértice de
la parábola se obtiene (1, 0), luego esta intersecta en un solo
Alternativa correcta. C) punto al eje x, por lo que II) es verdadera.
Pregunta 34_2011 Su gráfica es:
2
Dada la parábola de ecuación y = x − 2x + a, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Si a > 1, entonces la parábola intersecta en dos puntos
al eje x.
II) Si a = 1, entonces la parábola intersecta en un solo
punto al eje x.
III) Si a < 1, entonces la parábola no intersecta al eje x.
Alternativas
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II Al analizar III), se tiene que a < 1, por lo que la ordenada (−1
+ a) será siempre un valor negativo. Como se tiene que la
D) Sólo I y III
parábola se abre hacia arriba y el vértice está abajo del eje x,
E) Sólo II y III entonces la parábola lo intersecta en dos puntos. Por lo que
III) es falsa.
Comentario
Su gráfica es:
Para resolver el ítem, el alumno debe realizar un análisis de
cada una de las afirmaciones dadas en I), en II) y en III), para
ello debe recordar la gráfica de una parábola,
su concavidad y su intersección con los ejes coordenados.
Antes de analizar las afirmaciones, se determinarán la
concavidad y el vértice de la parábola. Es así como se debe
2
recordar que la parábola de ecuación y = px + bx + c tiene
concavidad hacia arriba si p > 0 y hacia abajo si p < 0, en este
2
caso de la ecuación de la parábola dada y = x − 2x + a, se
tiene que p = 1 > 0, luego, la parábola tiene concavidad hacia
arriba.
Por otro lado, se debe recordar que el vértice de la parábola De lo anterior se deduce que la clave es B).
Este ítem resultó muy difícil, contestado sólo por el 14,3 por
está dado por las coordenadas ,
ciento del total, con una alta omisión del 67 por ciento. Esto
demuestra la inseguridad de los alumnos, ya que se requiere
reemplazando por p = 1 y b = −2, se tiene de un buen análisis.
En el caso erróneo de afirmar que I) es verdadero los alumnos
y
posiblemente creyeron que basta con que a > 1 para que la
Luego, el vértice de la parábola es (1, −1 + a). parábola intersecte en dos puntos al eje x, sin realizar un
análisis sobre la posición del vértice.
Ahora, si se analiza I) se tiene que a > 1, entonces (−1 + a) >
0, por lo tanto el vértice de la parábola está sobre el eje x, y Nota del Profesor en Línea:
como la concavidad es hacia arriba no intersecta a este eje. 2
La ecuación que aquí se anota y = px + bx + c corresponde
Por lo tanto, I) es falsa. 2
a f(x) = ax + bx + c que utilizamos al tratar la función
Su gráfica es: cuadrática, cuya gráfica siempre es una parábola. Por lo
tanto, la letra p que aquí se utiliza para obtener las
coordenadas del vértice de la parábola corresponde a la letra
a de la fórmula general.
En lo que se refiere al vértice, debió ser del siguiente modo:

12. “Por otro lado, se debe recordar que el vértice de la parábola
está dado por las coordenadas ,
reemplazando por a = 1 y b = −2, se tiene
y . Luego, el vértice de la
parábola es (1, −1 + c).”