Resumen de la primera parte del Capítulo 1 del libro de texto para la clase electiva en Probabilidad y Estadística

1. Conjuntos Capítulo 1

2. Teoría de conjuntos Conjunto Conjunto vacío Conjunto universal Conjunto de conjuntos Conjunto potencia Subconjuntos propios Conjuntos iguales Desigualdad de conjuntos Conjuntos finitos e infinitos Unión Intersección Conjuntos disjuntos Diferencia entre conjuntos Complemento de un conjunto Conjunto producto Diagrama de árbol Diagramas de Venn -Euler Conceptos claves

3. Cualquier colección de objetos bien definidos, de tal manera que se pueda decir siempre si un objeto pertenece o no al conjunto al cual pertenecemos Conjunto

4. Instrumento matemático útil para la sistematización de nuestra forma de pensar Permite la capacidad de análisis y comprensión de interrelaciones Teoría de conjuntos

5. Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas. Es posible determinar un conjunto por enumeración o descripción. Determinación de un conjunto

7. También llamado comprensión. En esta forma se enuncia una propiedad o atributo que caracterice a todos los elementos del conjunto. Ejemplos: D = { los números menores que -2} F = {los divisores de 21} Otra forma de describir es utilizando una variable genérica, por ejemplo x , como indicador de elementos y una frase o relación matemática. Se utiliza el símbolo “|” como “tal que” y también es encerrado entre llaves. Ejemplo: A = {x | x es una vocal} Descripción

8. Se dice que un elemento pertenece a un conjunto sí y sólo sí éste se encuentra dentro del conjunto mencionado. Ejemplo: A = {a, e, i, o, u} , se dice que El símbolo se lee “pertenece a” o “ es elemento de” En el caso , se lee: “no pertenece a” o “no es elemento de” Relación de pertenencia

9. Los conjuntos que no tienen elementos se denominan “conjunto vacío”. Se representan con el símbolo “ ” También se representa con las llaves vacías “{ }” Conjunto vacío

10. Sea U un conjunto. Si U ≠ , es cierto conjunto cuyos subconjuntos están en consideración, se dice que el conjunto dado es un conjunto universal. Se representa con el símbolo U. Ejemplo: U = { Pueblos de Puerto Rico} Subconjuntos de U: A = {Mayagüez, Hormigueros, Cabo Rojo} B = { San Juan} Conjunto universal

11. Los elementos de un conjunto, a su vez conjuntos Ejemplo: Un año es un conjunto de conjuntos porque el año es un conjunto de meses, mientras que los meses son un conjunto de semanas y las semanas son un conjunto de días, etc. Conjunto de conjuntos

12. A todos los subconjuntos de un conjunto se les llama “conjunto potencia”. Se expresa como P(A). Ejemplo: Dado el conjunto A ={ a, b, c} P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} } Conjunto potencia

13. Notas: Un conjunto está contenido en sí mismo. A A Conjunto vacío “ ” es subconjunto de todo conjunto. A Cardinalidad de un conjunto: Cantidad de elementos de l conjunto Cardinalidadn del conjunto potencia P(A): Se obtiene con 2n , donde n es el número de elementos de del conjunto A y se denota con n[P(A)] Ejemplo: A = {a, b, c} su cardinalidad es n(A) = 3 la cardinalidad de del conjunto potencia:n[P(A)] = 23 = 8

14. Notas: Subconjuntos propios Los subconjuntos de un conjunto, sin considerar el conjunto que lo genera Hay tantos como 2n - 1, donde n también es el número de elementos del conjunto.

15. Relación de conjuntos

16. Para que dos conjuntos sean iguales, deben tener los mismos elementos y en consecuencia, debe cumplirse simultáneamente: Notación: “=”  “es igual a”, “igual a” “ ”  “sí y sólo sí ” “ ”  “ es subconjunto de” Conjuntos iguales

17. No se cumple en forma simultánea Ejemplo: A = { 1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4} Con sólo observar la cardinalidad de ambos conjuntos (cantidad de elementos en cada uno) notamos que no son iguales. Se denota con el símbolo “≠” y se lee “no es igual a” o “es diferente” Desigualdad de conjuntos

18. Un conjunto es finito cuando sus elementos se pueden poner por correspondencia biunívoca con un subconjunto de los primeros k números naturales, si no es así, entonces es un conjunto infinito. Conjunto finito: M = {x | 6 < x < 75} M = {7, 8, 9, 10, 11, … , 74} Es un conjunto finito de 68 elementos Conjunto infinito: H = { } H = {1, 2, 3, 4, 5, …} Conjuntos finitos e infinitos

19. Las operaciones entre conjuntos son formas específicas de combinarlos para obtener otros conjuntos. Todas son operaciones binarias (operación matemática, que necesita el operador y dos operandos o argumentos para que se pueda calcular un valor) Operaciones entre conjuntos

20. Unión Intersección Conjuntos disjuntos Diferencia entre conjuntos Complemento de un conjunto Conjunto producto Diagrama de árbol Operaciones entre conjuntos

21. Si se reúnen los elementes de dos o más conjuntos para formar uno solo. Si existen elementos comunes entre los conjuntos originales, éstos no se repiten en el conjunto unión. La unión se representa con el símbolo “U”, colocado entre los dos conjuntos: A U B Se lee “A unión B” Tambiénse establece por descripción, usando el símbolo“ | ” (“tal que”): Unión

22. Sean los conjuntos: Ejemplo

23. Propiedades de la unión de conjuntos

24. La intersección de dos conjuntos A y B que forman los elementos comunes a ambos conjuntos Se denota con el símbolo “ ” se lee “A intersección B” También se puedeestablecerpordescripción: Intersección

25. Sean los conjuntos: Ejemplo

26. Propiedades de la intersección de conjuntos

27. Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes Ningún elemento de A está en B Ningúnelemento de B está en A A y B son disjuntos o ajenos entre sí y suintersecciónes el conjuntovacío: Conjuntos disjuntos

28. Con los conjuntos: Los conjuntos A y B son disjuntos: Ejemplo 1:

29. Con los conjuntos: Los conjuntos C y D NO son disjuntos: Ejemplo 2:

30. Los paréntesis indican qué operación se debe hacer primero. Cuando una expresión algebraica contiene varios paréntesis, comenzamos desde adentro hacia afuera Uso de paréntesis

31. Sean los conjuntos: T = {1, 2, 3} P = {1, 3, 4, 5} L = {5, 6, 7} Obtener: Primeroobtenemos T  P = {1, 2, 3, 4, 5} Ahorabuscamos (T  P) L = {5} Ejemplo

32. Dados dos conjuntos A y B, el conjuntodiferencia se define como la diferencia de A – B. “ A – B” Se lee “A menos B” , “A diferencia B” Cuando el conjunto se determinapordescripciónusando el símbolo de “talque”, la diferencia se expresa: Diferencia entre conjuntos

33. Dados los conjuntos: Halla A-B: Ejemplo:

34. Cuando se ha establecido un conjunto universal U, la diferencia de U y la de un conjuntocualquiera (A), se le llama el “complemento de A” Se expresa A’ En algunoslibros se expresa Ac Complemento de un conjunto

35. Dados los conjuntos: Halla A’: Ejemplo:

36. Operaciones con conjuntos

37. Sean los conjuntos: A = {a, e} B = {1, 2, 3} El producto cartesiano de dos conjuntos A × B, en este orden, es el conjunto de todas los posibles pares ordenados, tales que la primera correspondiente del par ordenado es un elemento de A y la segunda componente es un elemento de B. La expresión A × B se lee “A cruz B” Si es expresado por descripción: Conjunto producto

38. Sean los conjuntos: A = {a, e} B = {1, 2, 3} A × B = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (e, 1), (e, 2), (e ,3) } Ejemplo