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1. Sea f(x) la función de la figura:




calcular:
    a) Lím f ( x )
          x → −∞
    b)    Lím f ( x )
          x →∞
    c)     Lím f ( x )
          x → −2 −
    d)     Lím f ( x )
          x → −2 +
    e)    Lím f ( x )
          x →0 −
    f)    Lím f ( x )
          x →0 +
    g)    Lím f ( x )
          x →2−
    h)    Lím f ( x )
          x →2+
    i)    Lím f ( x )
          x →−2
    j)    Lím f ( x )
          x→ 2
    k)    Lím f ( x )
          x→0

         2. Calcula el límite de las siguientes funciones:

         a) lím
                 (2x + 1)3 (3x + 2)2          b) lím 
                                                       x2
                                                             −
                                                                x3   
            x →∞          2
                     x x +1   (2
                                         )        x →∞ x + 1 x 2 + 1 
                                                                     

         c) lím
             x →∞
                        2x − 1
                          3
                                                d) lím
                                                   x →∞
                                                          (   x² − 5 − x + 5   )
                     x + x2

                                   
         e) lím  x· x 2 + 1 − x 
                                              f) lím  x 2 − 3x − 2 − x 2 − x 
                                                                               
            x →∞                               x →∞                        
                                                                        x 2 +1
                                  x2
                  x 3 −1                                 x 2 + x +1  x
         g) lím                               h) lím           
            x →∞  x 3 + 1                        x →∞  x 2 + 1 
                                                               
                                       2 x −1
                  x 2 − 2x 
         i) lím  2         
           x → −∞ x + 5 
                           
3. Calcula el límite de las siguientes funciones cuando x tiende a menos infinito:

            (                )
                                                                    3x − 2
                                                     2x + 1 
a) lím − 3x 3 + 2 x − 1                     b) lím                               c) lím           x 2 + 2x − x 2 − 2
   x → −∞                                     x → −∞ 2 x                                 x → −∞


         4. Calcula el límite cuando x→±∞ de las siguientes funciones:
          x3       3x 2                              5x                                           x 2 + 2x
a) Lím           −                        b) Lím                                 c) Lím
   x → +∞ x 2 + 1 x − 3                       x →∞   4x                                  x → ±∞   x 2 − 2x
                        

         5. Calcula m con la condición:
                                                         (1 − mx )(2 x + 3)
                                                   lím                      =6
                                                  x → −∞       x² − 4

                                 2x ² − 6x − 8
         6. Dada f ( x ) =                     , calcula su límite:
                                   x ² − 4x
                                  a) Cuando x tiende a 1
                                  b) Cuando x tiende a 0
                                  c) Cuando x tiende a 4

         7. Calcula el límite de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
                              x2 −4                                  x 2 −1
                  a) Lim                               b) Lim
                     x → 2 x 2 − 5x + 6                    x → −1 x 2 − 2 x − 3

                                 x 3 − 3x − 2                                  x + (2 + x ) 2
                       c) Lím                                       d) Lím
                          x →2      x2 − 4                              x → −1     1+ x
                                   x 3 + 6 x 2 + 12x + 8                               x3 + 8
                       e) lím                                       f) Lím
                          x → −2    x 3 − 2x 2 − 4x + 8                x → −2   x 2 + 4x + 2

                                 x ² + mx − 6
         8. Dada f ( x ) =                    calcula m para que tenga límite finito cuando x tiende a 3. ¿Cuanto
                                     3x − 9
vale entonces el límite?

        9. Calcula los siguientes límites:
Solución.
                 x +1 x 2 + 3                                1        1                    
        a) lím         −                             b) lím 
                                                               2    −                        
                                                                                              
            x →1 x − 1   x −1                           x →1 x − 1 1 − x 3                 
                               
                 1         2                                 x +1     x +5 
        c) lím        −       
                                                      d) lím 
                                                               x −3 − 2         
                                                                                 
           x → 2 2 − x 8 − x 3                          x →3       x − 4x + 3 
                  1     1
                      −
                                                                 1       1 
         e) lím 5 + x 5                                f) lím   2    −      
                                                                              
            x →0    x                                     x → −2 x − 4 x + 2 


                        x −8                                        x2 −4
         g) lím                                        h) lím
                x →8   x− 8                                 x →2     2− x
                         x +5 − x −3                               1− x − 2
         i) lím                                        j) lím
                x → −1 x + 2 −     2x + 3                   x →3    x2 −9
                       1+ x −1                                       x+2 −2
         k) lím                                        l) lím                          .
                x →0   1− x −1                              x →2    2x + 5 − 3
                                  x +2
                 x −1                                                      x+2
         m) lím 
                         
                                                      n) lím (1 + 2x )            x
            x →1 x 2 − 1                                  x →0
1
                      (
            ñ) lím 1 + x + x
               x →0
                                    )
                                  2 1x                                x + 1  x −1
                                                              o) lím         
                                                                 x →1 3x − 1 
                                         1                                            1
                    x 2 + x + 1  x −1                                1                x −2
            p) lím                                          q) lím            
                                                                                  
               x →1    x+2                                     x → 2 4 − x 2   
                                

                                                  3x − 3                  5x                     x−2
            10. Sean:                 f (x ) =                 g(x ) =                h(x ) =
                                                  5x + 5                 3x + 2                  4x + 1
calcular:
                          a)   Lím [f ( x ) ⋅ (g ( x ) − h ( x ) )]
                               x →∞
                          b)     lím (g( x ) ⋅ h ( x ) )
                               x →− 1
                                        4
                          c)   lím (g ( x ) ⋅ h ( x ) )
                               x →0
                                        5
                          d)   Lím        f (x)
                               x →∞     3

            11. Determinar el valor de "a" para que:
                                                                            a
                                                                 x  x −1
                                                            lím          = e8
                                                            x →1 2 − x 

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Ejercicios de limites

  • 1. 1. Sea f(x) la función de la figura: calcular: a) Lím f ( x ) x → −∞ b) Lím f ( x ) x →∞ c) Lím f ( x ) x → −2 − d) Lím f ( x ) x → −2 + e) Lím f ( x ) x →0 − f) Lím f ( x ) x →0 + g) Lím f ( x ) x →2− h) Lím f ( x ) x →2+ i) Lím f ( x ) x →−2 j) Lím f ( x ) x→ 2 k) Lím f ( x ) x→0 2. Calcula el límite de las siguientes funciones: a) lím (2x + 1)3 (3x + 2)2 b) lím   x2 − x3   x →∞ 2 x x +1 (2 ) x →∞ x + 1 x 2 + 1    c) lím x →∞ 2x − 1 3 d) lím x →∞ ( x² − 5 − x + 5 ) x + x2   e) lím  x· x 2 + 1 − x    f) lím  x 2 − 3x − 2 − x 2 − x    x →∞    x →∞  x 2 +1 x2  x 3 −1   x 2 + x +1  x g) lím   h) lím   x →∞  x 3 + 1  x →∞  x 2 + 1      2 x −1  x 2 − 2x  i) lím  2  x → −∞ x + 5   
  • 2. 3. Calcula el límite de las siguientes funciones cuando x tiende a menos infinito: ( ) 3x − 2  2x + 1  a) lím − 3x 3 + 2 x − 1 b) lím   c) lím x 2 + 2x − x 2 − 2 x → −∞ x → −∞ 2 x  x → −∞ 4. Calcula el límite cuando x→±∞ de las siguientes funciones:  x3 3x 2  5x x 2 + 2x a) Lím  −  b) Lím c) Lím x → +∞ x 2 + 1 x − 3  x →∞ 4x x → ±∞ x 2 − 2x   5. Calcula m con la condición: (1 − mx )(2 x + 3) lím =6 x → −∞ x² − 4 2x ² − 6x − 8 6. Dada f ( x ) = , calcula su límite: x ² − 4x a) Cuando x tiende a 1 b) Cuando x tiende a 0 c) Cuando x tiende a 4 7. Calcula el límite de las siguientes funciones en los puntos que se indican: x2 −4 x 2 −1 a) Lim b) Lim x → 2 x 2 − 5x + 6 x → −1 x 2 − 2 x − 3 x 3 − 3x − 2 x + (2 + x ) 2 c) Lím d) Lím x →2 x2 − 4 x → −1 1+ x x 3 + 6 x 2 + 12x + 8 x3 + 8 e) lím f) Lím x → −2 x 3 − 2x 2 − 4x + 8 x → −2 x 2 + 4x + 2 x ² + mx − 6 8. Dada f ( x ) = calcula m para que tenga límite finito cuando x tiende a 3. ¿Cuanto 3x − 9 vale entonces el límite? 9. Calcula los siguientes límites: Solución.  x +1 x 2 + 3   1 1  a) lím  −  b) lím   2 −   x →1 x − 1 x −1  x →1 x − 1 1 − x 3     1 2   x +1 x +5  c) lím  −   d) lím   x −3 − 2   x → 2 2 − x 8 − x 3  x →3 x − 4x + 3  1 1 −  1 1  e) lím 5 + x 5 f) lím   2 −   x →0 x x → −2 x − 4 x + 2  x −8 x2 −4 g) lím h) lím x →8 x− 8 x →2 2− x x +5 − x −3 1− x − 2 i) lím j) lím x → −1 x + 2 − 2x + 3 x →3 x2 −9 1+ x −1 x+2 −2 k) lím l) lím . x →0 1− x −1 x →2 2x + 5 − 3 x +2  x −1  x+2 m) lím     n) lím (1 + 2x ) x x →1 x 2 − 1  x →0
  • 3. 1 ( ñ) lím 1 + x + x x →0 ) 2 1x  x + 1  x −1 o) lím   x →1 3x − 1  1 1  x 2 + x + 1  x −1  1  x −2 p) lím   q) lím    x →1 x+2  x → 2 4 − x 2    3x − 3 5x x−2 10. Sean: f (x ) = g(x ) = h(x ) = 5x + 5 3x + 2 4x + 1 calcular: a) Lím [f ( x ) ⋅ (g ( x ) − h ( x ) )] x →∞ b) lím (g( x ) ⋅ h ( x ) ) x →− 1 4 c) lím (g ( x ) ⋅ h ( x ) ) x →0 5 d) Lím f (x) x →∞ 3 11. Determinar el valor de "a" para que: a  x  x −1 lím   = e8 x →1 2 − x 