1. Методи прогнозування часових
рядів та проблема складності
Д.М. Чабаненко
Кафедра економічної кібернетики
ЧНУ ім. Б. Хмельницького

2. Стан проблеми моделювання і
прогнозування складних систем
• Прості системи можуть бути описані простими
моделями
• Системи середньої складності описуються
простими моделями гірше, ніж складними
(обгрунтована необхідність ускладнення)
• Складні системи погано описуються як
простими, так і складними моделями
• ? При якій складності моделі можна отримати
кращі прогнози складної системи?

3. Підходи до оцінювання
складності моделі, порівняння
складності моделей
• Розрахункова складність (складність
алгоритму побудови і використання
моделі)
• Складність за кількістю факторів, які
враховує модель
• Описова складність (множина станів
системи, які можуть бути описані
моделлю)

4. Приклад моделі зі змінною
складністю – модель
поліноміального тренду
Y(t)=a0+a1t+a2t2
+…+aktk
Горизонт прогнозу Np –
задається дослідником
Степінь поліному k та
довжина вибірки навчання –
параметри, які треба визначити
( )( )
N
yty
MSE
N
i
ii∑
=
−
= 1
2
( )
%100
1
⋅
−
= ∑
+
=
NpN
Ni i
ii
y
yty
Np
MAPE

5. Приклад моделі зі змінною
складністю – модель поліноміального
тренду
• Степінь полінома k – параметр складності.
• Довжина навчальної вибірки N – теж
параметр складності.
• Похибка на перевірочній вибірці – міра якості
моделі з заданими параметрами k та N.
• Постановка задачі: знайти значення
параметрів k (степінь полінома) та N
(довжина навч. вибірки), при яких середня
абсолютна процентна похибка була б
мінімальною.

6. Пошук оптимальних order та nlearn при
прогнозуванні на 3 дні (за даними iндексу S&P 500)
Максимум по полю
MAPE
nlearn
order 10 50 100 250 500 1000 2000 4500 7000
Общий
итог
1 6,48 5,43 9,95 8,29 21,89 52,86 59,10 74,37 68,63 74,37
2 3,76 8,24 8,04 13,79 11,78 20,26 59,68 53,71 72,32 72,32
3 3,45 7,45 7,86 9,51 11,16 10,74 26,15 44,36 60,01 60,01
4 5,04 4,60 6,57 8,89 13,67 12,50 15,20 68,97 45,02 68,97
5 7,14 9,28 4,15 9,55 8,99 14,43 18,99 40,11 57,40 57,40
6 22,28 2,54 7,15 14,57 8,92 10,68 20,14 24,80 63,36 63,36
7 34,28 5,38 6,34 10,28 16,02 13,62 14,78 17,41 29,22 34,28
8 131,60 4,56 3,96 7,02 11,61 7,57 11,30 15,62 21,07 131,60
9 304,13 6,75 4,84 6,48 8,55 12,34 13,78 21,71 23,79 304,13
10
3801,9
4
9,73 6,56 10,35 6,03 10,45 13,26 23,03 25,60 3801,94
Общий итог
3801,9
4
9,73 9,95 14,57 21,89 52,86 59,68 74,37 72,32 3801,94

7. Пошук оптимальних order та nlearn при прогнозуванні
на 10 днів (за даними iндексу S&P 500)
Максимум по
полю
MAPE nlearn
order 10 50 100 250 500 1000 2000 4500 7000
Общий
ито
г
1 11,16 8,33 11,15 8,30 22,03 53,63 59,98 75,35 69,58 75,35
2 10,56 14,39 9,24 14,18 11,41 20,18 60,57 54,31 73,29 73,29
3 39,70 12,21 13,57 10,92 12,29 11,84 27,37 45,04 58,61 58,61
4 92,04 14,60 14,00 11,19 15,90 13,48 16,64 70,16 43,62 92,04
5 375,99 34,02 7,98 17,80 10,13 15,31 19,57 40,47 58,35 375,99
6 1893,43 28,28 18,32 26,79 12,21 13,93 22,76 25,74 64,46 1893,43
7 6524,69 93,34 14,35 17,67 19,41 16,05 15,23 17,68 29,18 6524,69
8 47974,03 82,86 49,65 16,29 15,89 10,32 12,81 18,41 21,73
47974,0
3
9 295755,70
205,5
9 65,03 14,64 17,24 16,73 16,13 24,81 24,86
295755,
70
10 6555847,00
372,5
8 92,21 33,56 12,80 16,85 14,31 26,17 25,17
6555847
,00
Общий итог 6555847,00
372,5
8 92,21 33,56 22,03 53,63 60,57 75,35 73,29
6555847
,00

8. Nprogn=25Максимум
по
полю
MAPE nlearn
order 10 50 100 250 500 1000 2000 4500 7000
Общий
ито
г
1 15,65 13,58 10,67 10,63 27,60 62,12 68,98 85,26 79,15 85,26
2 49,52 23,84 21,23 19,71 14,41 25,13 69,62 57,62 83,10 83,10
3 330,46 20,12 23,31 12,75 14,60 15,30 29,47 52,92 57,74 330,46
4 1400,24 61,42 42,45 18,18 18,03 15,09 18,53 80,37 46,73 1400,24
5 12998,10 221,13 33,54 35,19 10,27 15,85 21,39 47,36 67,46
12998,1
0
6 137585,00 491,66 96,15 57,92 25,49 18,62 26,10 26,92 74,22
137585,
00
7 926874,00
1767,1
9 103,63 37,80 43,53 18,91 16,64 20,80 34,60
926874,
00
8 15074860,00
1449,7
3 774,59 100,57 40,90 20,60 17,11 22,46 24,50
1507486
0,0
0
9
200997400,0
0
10267,
0
7
1042,8
2 87,43 44,14 31,96 24,68 29,69 27,39
2009974
00,
00
10
8975297000,
00
24017,
2
1
1642,1
7 205,17 53,01 44,60 21,48 31,11 26,92
8975297
000
,00

9. Nprogn=50
order 10 50 100 250 500 1000 2000 4500 7000
Общий
итог
1 30,17 18,57 14,86 14,68 28,12 65,11 72,36 89,05 82,78 89,05
2 202,42 54,49 36,39 26,53 16,21 24,72 73,03 59,90 86,84 202,42
3 2089,63 49,37 47,19 14,79 20,51 24,85 31,55 55,53 58,94 2089,63
4 18419,37 294,38 153,76 47,11 28,32 21,72 23,14 85,01 48,92 18419,37
5 260232,70 1962,56 166,89 98,49 17,97 18,03 27,24 48,64 71,15 260232,70
6
5803432,0
0 7726,11 568,47 177,79 58,76 27,68 37,83 30,67 78,54
5803432,0
0
7
65455470,
00
34865,9
0 903,61 164,18 102,87 31,14 20,33 25,55 34,22
65455470,
00
8
20962700
00,0
0
36546,6
9
10353,5
1 692,76 95,26 44,20 23,87 27,96 28,76
20962700
00,0
0
9
50192010
000,
00
503721,
60
19260,1
9 596,54 148,20 68,80 41,76 36,91 37,32
50192010
000,
00
10
43521700
000
00,0
0
1670006
,00
35216,2
2 2143,14 214,51 109,41 37,06 45,71 33,96
43521700
000
00,0
0
43521700
000
43521700
000

10. Nprogn=100
order 10 50 100 250 500 1000 2000 4500 7000
Общий
итог
1 36,54 24,08 31,02 20,61 22,14 55,28 62,56 78,43 72,48 78,43
2 697,37 106,40 62,48 51,94 26,96 27,44 63,24 66,03 76,37 697,37
3 11924,40 221,09 129,38 28,27 38,44 36,25 33,92 45,88 65,10 11924,40
4 219838,80 1962,11 711,70 124,22 57,56 44,66 31,24 76,42 47,67 219838,80
5 5988953,00 21752,77 1224,78 299,62 51,73 37,32 35,03 37,00 62,08
5988953,0
0
6 278159400,00
154649,3
0 5931,18 670,34 174,94 54,63 68,58 39,96 69,99
27815940
0,00
7 5779644000,00
993965,2
0 14801,69 1384,13 330,25 67,75 43,74 41,20 40,90
57796440
00,0
0
8
346871200000,0
0
2599520,
00
271978,7
0 6710,82 358,96 139,63 39,10 39,68 45,71
34687120
0000
,00
9
18045660000000
,00
5102092
0,0
0
833355,4
0 7450,22 924,30 224,50 92,48 52,84 63,45
18045660
0000
00,0
0
10
24422500000000
00,00
2814812
00,
00
2305422,
00 40609,37 1487,62 378,03 78,89 83,23 48,88
24422500
0000
0000
,00
Общ
и
й

11. Nprogn=250
order 10 50 100 250 500 1000 2000 4500 7000
Общий
итог
1 93,21 56,03 67,81 33,78 32,56 37,24 44,89 59,37 53,94 93,21
2 3498,65 370,91 215,51 129,56 71,66 38,42 45,89 57,98 57,59 3498,65
3 135303,00 2372,84 952,36 102,17 98,39 85,00 42,17 44,49 59,71 135303,00
4
6485158,0
0 37286,54 10324,95 872,57 165,11 113,61 50,79 63,10 52,04
6485158,0
0
5
44884820
0,00
899441,0
0 40617,25 2735,97 370,61 91,90 95,61 67,93 51,22
44884820
0,00
6
64014320
000,
00
1487576
0,0
0
399126,0
0 12170,00 1692,65 238,74 176,44 101,95 56,58
64014320
000,
00
7
28319910
0000
0,00
2247206
00,
00
1665734,
00 59840,37 3981,63 332,05 183,97 104,07 78,38
28319910
0000
0,00
8
37730410
0000
000,
00
1839821
000
,00
5862178
0,0
0
402531,9
0 6446,49 1390,28 201,29 91,15 115,23
37730410
0000
000,
00
9
47777690
0000
0000
0,00
6672983
000
0,0
0
3804700
00,
00
1095978,
00 36460,68 2534,10 522,53 127,62 146,13
47777690
0000
0000
0,00
10
14540530
0000
0000
0000
,00
7040802
000
00,
00
2355935
000
,00
8219427,
00 70165,60 5330,43 479,76 234,42 102,84
14540530
0000
0000
0000
,00
14540530 14540530

12. Nprogn=500
order 10 50 100 250 500 1000 2000 4500 7000
Общий
итог
1 176,79 84,31 115,78 64,10 46,13 57,58 66,11 48,32 51,56 176,79
2 13614,80 1207,31 683,85 287,24 146,85 68,83 72,09 51,63 48,39 13614,80
3 957593,10 14324,89 5748,30 498,81 239,67 190,09 69,43 75,86 71,43 957593,10
4
97159650,
00
450322,9
0 95890,08 6109,34 704,37 271,48 117,54 79,35 88,87
97159650,
00
5
13686330
000,
00
20817130
,00
716936,1
0 30718,92 3177,79 409,08 279,21 128,65 83,64
13686330
000,
00
6
45436670
0000
0,00
67182140
0,0
0
15868790
,00
198422,6
0 18789,10 1890,23 500,70 239,11 135,40
45436670
0000
0,00
7
34973680
0000
000,
00
23499150
000
,00
11422620
0,0
0
2206650,
00 72947,72 3033,68 854,52 244,01 175,92
34973680
0000
000,
00
8
81745420
0000
0000
0,00
38881040
000
0,0
0
67206270
00,
00
22143230
,00
153020,6
0 19419,42 1251,79 307,02 279,78
81745420
0000
0000
0,00
9
21846480
0000
0000
0000
,00
25134900
000
000
,00
82166980
000
,00
10753630
0,0
0
1754308,
00 42370,19 3544,63 449,79 353,83
21846480
0000
0000
0000
,00

13. Nprogn=1000
or
d
e
r 10 50 100 250 500 1000 2000 4500 7000
Общий
итог
1 276,59 112,09 192,03 112,02 79,40 85,03 71,65 44,57 53,80 276,59
2 62561,39 3947,81 2244,71 694,66 318,01 121,91 99,52 72,10 51,31 62561,39
3 6449697,00 93728,45 43434,57 2363,94 1051,36 490,78 190,60 120,97 88,20
6449697,0
0
4
1361029000,0
0
5656989,
00
1108622,
00 52198,20 6472,26 1005,16 305,75 133,95 115,32
13610290
00,0
0
5
478789600000
,00
49905410
0,0
0
17151620
,00
424190,1
0 43488,99 3284,73 1309,24 334,12 139,12
47878960
0000
,00
6
312687600000
000,00
31753160
000
,00
80923820
0,0
0
6161058,
00
330685,9
0 17914,90 2195,84 722,79 276,41
31268760
0000
000,
00
7
392840600000
00000,0
0
27353630
000
00,
00
13925630
000
,00
14362050
0,0
0
2263199,
00 54100,44 6850,78 851,53 464,65
39284060
0000
0000
0,00
8
186328700000
0000000
0,00
90156150
000
000
,00
99161760
000
0,0
0
19863440
00,
00
8827860,
00
496532,8
0 16709,82 1486,44 919,79
18632870
0000
0000
0000
,00
152082500000
0000000
10893330
000
000
000
23202600
000
000
17903500
000
14912110
0,0 1541439,
15208250
0000
0000
0000
000,

14. Висновки з експерименту
• При збільшенні бажаної довжини прогнозу точність
прогнозування зменшується.
• При бажаних довжинах прогнозу довше 25 днів
оптимальний степінь полінома –1 (лінійний тренд,
найпростіша модель)
• Оптимальна довжина вибірки навчання варіюється
від Np до 4,5*Np (Np – довжина прогнозу), найкраща
якість прогнозу продемонстрована для 2*Np (250 та
500 днів для більшості випадків)
• Для прогнозування на короткі відстані (менше 25
днів) найбільш оптимальне є застосування поліномів
степеня 5.

15. Метод дискретного Фур’є-продовження
Ітераційний метод визначення гармонік
в методі дискретного Фур’є-
продовження
- вихідний ряд.
• На кожному кроці за методом МНК
мінімізується нев’язка
• одночастинне наближення,
• двохчастинне наближення,…
( ) ( )0r t y t=
( ) ( ) ( )







+++−= ∑=
−
m
j
ijijijii etdcbtatrtr
1
1 sin
1,2,...i =
i
( )ir t
( )y t
1m =
2m =

16. Max(MAPE)
Learningset Trend sintrend1sin sintrend2sin
2000 71,65 18,39973 51,253556
3000 - 32,30186 111,663115
4500 44,57 20,037 72,596161
7000 53,80 97,67851 176,450405
10500 - 61,45778 140,347598

17. Висновки і перспективи
досліджень
• Оптимальні параметри прогнозної моделі (її
складність) залежать від заданого горизонту
прогнозування
• В класі поліноміальних моделей при
довгостроковому прогнозуванні більш
ефективними є моделі 1 порядку (лінійні)
• В класі лінійних гармонічних моделей
оптимальним є апроксимація по одній
гармоніці

18. Висновки і перспективи
досліджень
Перспективи досліджень:
• Дослідження оптимальної складності
поліноміальних моделей при
короткостроковому прогнозуванні
• Створення методів пошуку оптимальної
складності (крос-валідації) для
авторегресійних, нейромережних,
марківських моделей