Circuits Chp.2 MéThodes D

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Circuits Chp.2 MéThodes D

  1. 1. Chapitre 2 METHODES D’ É TUDE DES CIRCUITS É LECTRIQUES Prof. Mourad ZEGRARI
  2. 2. Plan <ul><li>Notations de base </li></ul><ul><li>Lois de Kirchhoff </li></ul><ul><li>Analyse des circuits par les lois de Kirchhoff </li></ul><ul><li>Théorèmes généraux </li></ul><ul><li>( Théorème de Millman, Théorème de superposition, Théorème de Thévenin, Théorème de Norton) </li></ul>
  3. 3. Notations de base <ul><li>Réseau </li></ul><ul><li>Ensemble d’éléments électriques reliés de manière à constituer un circuit fermé. </li></ul><ul><li>Nœud </li></ul><ul><li>Point du réseau où se rejoignent au moins trois conducteurs. </li></ul><ul><li>Branche </li></ul><ul><li>Groupe d’éléments situé entre deux nœuds successifs. </li></ul><ul><li>Maille </li></ul><ul><li>Ensemble de branches reliées dans un circuit fermé (le nœud de départ est le même que celui d’arrivée). </li></ul>
  4. 4. Exemple 2.1 <ul><li>On considère le circuit suivant : </li></ul><ul><li>Nombre de nœuds : n = 2 </li></ul><ul><li>Nombre de branches : b = 3 </li></ul><ul><li>Nombre de mailles : m = 3 </li></ul><ul><li>On distingue : </li></ul><ul><li>Nombre de nœuds indépendants : N = (n – 1) </li></ul><ul><li>Nombre de mailles indépendantes : M = b – (n – 1) </li></ul>E 2 E 1 R 1 R 2 R 3 E 3 A B D C F E 1 2
  5. 5. Loi de KIRCHHOFF : Nœuds <ul><li>On considère le nœud suivant : </li></ul><ul><li>La quantité de charge amenée par les courants entrants (+) est égale à celle retirée par les courant sortants (-) : </li></ul><ul><li>I 1 + I 2 + I 5 = I 3 + I 4 </li></ul><ul><li>La somme algébrique des courants dans un nœud est nulle : </li></ul>I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 A
  6. 6. Loi de KIRCHHOFF : Mailles <ul><li>On considère la maille suivante : </li></ul><ul><li>Si l’on parcoure toute la maille : </li></ul><ul><li>V AA = V 1 + V 2 + V 3 + V 4 = 0 </li></ul><ul><li>La somme algébrique des tensions dans une maille est nulle : </li></ul>E 1 R 1 R 2 R 4 D C B A E 2 R 3 E 3 V 1 V 2 V 3 V 4
  7. 7. Analyse des circuits électriques <ul><li>L’analyse d’un circuit électrique repose sur la détermination es courants qui circulent dans toutes les branches de ce circuit. </li></ul><ul><li>Le nombre de branches = b </li></ul><ul><li> il faut déterminer ( b ) courants </li></ul><ul><li>On met en place : </li></ul><ul><li>N équations de nœuds indépendants </li></ul><ul><li>M équations de mailles indépendants </li></ul><ul><li>On dispose de : N + M = b équations. </li></ul><ul><li> La détermination de tous les courants devient possible . </li></ul>
  8. 8. Formulation des équations <ul><li>Les équations de maille sont reformulées telle que : </li></ul><ul><li> E i : Somme algébrique des f.é.m. de chaque maille. Les f.é.m. sont affectées du signe de la borne par laquelle on sort suivant le sens de parcours. </li></ul><ul><li> R i I i : Somme des tensions résistives dans chaque maille. Un produit ( R i I i ) est compté positif si le sens du courant I i est le même que celui de parcours de la maille. Il est compté négatif s’il est en sens inverse. </li></ul>
  9. 9. Formulation matricielle <ul><li>Les équations de maille sont reformulées sous la forme matricielle suivante : </li></ul><ul><li>Avec : </li></ul>: Matrice colonne des forces électromotrices. : Matrice (carrée) des résistances. : Matrice colonne des courants.
  10. 10. Méthode des déterminants <ul><li>La résolution du système matriciel passe par le calcul des éléments : </li></ul><ul><li>Déterminant principal : Δ </li></ul><ul><li>On calcule le déterminant de la matrice des résistances. </li></ul><ul><li>Déterminants particuliers : Δ Ii </li></ul><ul><li>Dans la matrice ( R ), on substitue la colonne (i) par la colonne ( E ) des forces électromotrices. </li></ul><ul><li>Calcul des courants </li></ul><ul><li>On détermine chaque courant en fonction de son déterminant particulier : </li></ul>
  11. 11. Exemple 2.2 <ul><li>On considère le même circuit précédent : </li></ul><ul><li>Nombre de nœuds : n = 2 </li></ul><ul><li>Nombre de branches : b = 3 </li></ul><ul><li>Soit : N = n – 1 = 1 </li></ul><ul><li>M = b – N = 2 </li></ul><ul><li>On écrit : </li></ul><ul><li>Nœud A : I 1 + I 2 = I 3 </li></ul><ul><li>Maille (1) : E 1 = R 1 I 1 + R 3 I 3 = (R 1 + R 3 ) I 1 + R 3 I 2 </li></ul><ul><li>Maille (2) : E 2 = R 2 I 2 + R 3 I 3 = R 3 I 1 + (R 2 + R 3 ) I 2 </li></ul>E 2 E 1 R 1 R 2 R 3 E 3 A B 1 2 I 1 I 2 I 3
  12. 12. Exemple 2.2 <ul><li>Ce système d’équations peut s’écrire sous la forme matricielle : </li></ul><ul><li>On obtient alors : </li></ul>
  13. 13. Méthode des courants fictifs <ul><li>On associe à chaque maille indépendante un courant fictif J (appelé courant de maille). Tous les courants de maille doivent être choisis dans le même sens. </li></ul><ul><li>On effectue la formulation matricielle suivante : </li></ul><ul><li>On calcule les courants J par la méthode des déterminants. </li></ul><ul><li>On déduit les courants réels par les équations de liaison. </li></ul>
  14. 14. Formulation Matricielle <ul><li>La matrice principale est telle que : </li></ul><ul><li>[E] : Matrice colonne de la somme algébrique des f.é.m. de chaque maille. L’affectation des signes se fait selon le sens de parcours. </li></ul><ul><li>[R] : Matrice des résistance. Elle est constituée comme suit : </li></ul><ul><li>R ii > 0 : éléments de la diagonale : Somme des résistances de la maille d’ordre (i). </li></ul><ul><li>R ij = R ji < 0 : éléments correspondants. Somme des résistances communes aux maille (i) et (j) avec le signe négatif. </li></ul><ul><li>[J] : Matrice colonne des courants fictifs de caque maille. </li></ul>
  15. 15. Exemple 2.3 <ul><li>On considère le même circuit précédent : </li></ul><ul><li>Les courants s’écrivent : </li></ul><ul><li>I 1 = J 1 </li></ul><ul><li>I 2 = – J 2 </li></ul><ul><li>I 3 = J 1 – J 2 </li></ul><ul><li>On écrit directement la formule matricielle suivante : </li></ul>E 2 E 1 R 1 R 2 R 3 E 3 J 1 J 2 I 1 I 2 I 3
  16. 16. Exemple 2.3 <ul><li>On obtient : </li></ul><ul><li>Soit : </li></ul>
  17. 17. Diviseur de tension <ul><li>Une source de tension (E, R 1 ) alimente une résistance R 2 : </li></ul><ul><li>La loi des mailles donne : </li></ul><ul><li>E = V 1 + V 2 = (R 1 +R 2 ) I </li></ul><ul><li>La tension V 2 aux bornes de la résistance R 2 s’écrit : </li></ul>E R 1 R 2 I V 2 V 1 Équation d’un diviseur de tension.
  18. 18. Diviseur de courant <ul><li>Une source de courant ( I 0 , R 1 ) alimente une résistance R 2 : </li></ul><ul><li>La loi des nœuds donne : </li></ul><ul><li>Le courant I 2 qui circule dans la résistance R 2 s’écrit : </li></ul>Équation d’un diviseur de courant. R 1 R 2 I 0 V I 0 I 2 I 1
  19. 19. Théorème de Millman <ul><li>On considère le nœud suivant : </li></ul><ul><li>La loi des nœuds au point M donne : </li></ul><ul><li>Soit : </li></ul>Théorème de Millman. I 1 I 2 I 3 I 4 A 1 R 1 A 2 R 2 R 3 A 3 R 4 A 4 M
  20. 20. Exemple 2.4 <ul><li>On désire calculer le potentiel au point A : </li></ul><ul><li>Le théorème de Millman donne directement : </li></ul>100  V 500  200  6 V 10 V 8 V A B
  21. 21. Théorème de Superposition <ul><li>On considère un système linéaire possédant une sortie S et plusieurs entrées Ei : </li></ul><ul><li>La sortie S du système soumis simultanément à plusieurs entrées E i est égale à la somme des réponses S i du système à chaque entrée E i appliquée séparément : </li></ul>Système Linéaire E 1 E 2 E n S E 1 active et E i(i≠1) = 0  S = S 1 E 2 active et E i(i≠2) = 0  S = S 2 E n active et E i(i≠n) = 0  S = S n
  22. 22. Exemple 2.5 <ul><li>On considère le même circuit précédent : </li></ul><ul><li>Les courants s’écrivent : </li></ul><ul><li>I 1 = I’ 1 – I &quot; 1 </li></ul><ul><li>I 2 = I &quot; 2 – I’ 2 </li></ul><ul><li>I 3 = I’ 3 + I &quot; 3 </li></ul>E 2 = 0 E 1 R 1 R 2 R 3 I’ 1 I’ 2 I’ 3 E 2 E 1 R 1 R 2 R 3 I’’ 1 I’’ 2 I’’ 3 (a) (b) E 2 E 1 R 1 R 2 R 3 I 1 I 2 I 3
  23. 23. Exemple 2.5 <ul><li>On calcule les différents courants : </li></ul>E 2 E 1 = 0 R 1 R 2 R 3 I’’ 1 I’’ 2 I’’ 3 E 2 = 0 E 1 R 1 R 2 R 3 I’ 1 I’ 2 I’ 3 R eq1 (b) : (a) : R eq2
  24. 24. Théorème de Thévenin <ul><li>Tout réseau actif vu entre deux points A et B, peut être modélisé par un générateur de tension, de force électromotrice E T et de résistance interne R T : </li></ul>Réseau Actif B A E T R T A B E T : Différence de potentiel à vide entre les points A et B. E T = (V A – V B ) I =0 R T : Résistance équivalente du réseau passif vu entre A et B. On court-circuite les sources de tension et on ouvre les sources de courant
  25. 25. Exemple 2.6 <ul><li>On désire calculer le courant I dans la résistance R : </li></ul><ul><li>Les courant I est donné par la relation : </li></ul>E R 1 A R 2 I B R C E T R T A I B R C
  26. 26. Exemple 2.6 <ul><li>Déterminons les paramètres E T et R T : </li></ul><ul><li>On obtient : et </li></ul>E R 1 A R 2 B E T E T : R 1 A R 2 B R T : R eq
  27. 27. Théorème de Norton <ul><li>Tout réseau actif vu entre deux points A et B, peut être modélisé par un générateur de courant, de courant électromoteur I N et de résistance interne R N : </li></ul>Réseau Actif B A I N : Courant de court-circuit quand les points A et B sont reliés. I N = I CC (VAB=0) R N : Résistance équivalente du réseau passif vu entre A et B. R N = R eq(AB) I N R N A B
  28. 28. Exemple 2.7 <ul><li>On désire calculer le courant I dans la résistance R : </li></ul><ul><li>Les courant I est donné par la relation : </li></ul>I N R N A I B R C E R 1 A R 2 I B R C
  29. 29. Exemple 2.7 <ul><li>Déterminons les paramètres I N et R N : </li></ul><ul><li>On obtient : et </li></ul>E R 1 A R 2 B I N I N : R 1 A R 2 B R N : R eq
  30. 30. Equivalence Thévenin-Norton <ul><li>Un même réseau actif peut être modélisé soit par un générateur de tension (Thévenin) ou de courant (Norton). Comme ces générateurs représentent le même réseau, on peut alors établir l’équivalence suivante : </li></ul><ul><li>Soit : et </li></ul>E T R T A B I N R N A B

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