1. Chuyên đề luyện thi đại học
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP
HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH
Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên
Hình không gian là bài toán không khó trong đề thi TSĐH nhưng luôn làm cho rất nhiều
học sinh bối rối. Thông qua chuyên đề này tôi hy vọng sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ
hơn bản chất của bài toán để từ đó tìm ra chìa khóa giải quyết triệt để dạng toán này
Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán
⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có:
- b = c tan B , c = b tan C , AH 2 = HB.HC
-
1
1
1
=
+
⇒ AH =
2
2
AH
AB
AC 2
AB. AC
AB 2 + AC 2
A
B
H
C
⊻ Trong tam giác thường ABC ta có: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A;cos A =
b2 + c2 − a2
.
2bc
Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C:
- S ∆ABC =
1
1
1
ab sin C = bc sin A = ac sin B
2
2
2
- S = p.r (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác)
- S=
abc
4R
NGUYỄN TRUNG KIÊN
1
2. ⊻ Thể tích khối đa diện:
- Vchop =
1
B.h (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
3
- VLT = B.h
Phần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp:
Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao.
Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ
mặt bên đến giao tuyến.
Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao
tuyến của 2 mặt kề nhau đó.
- Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc
bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy.
- Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao
chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy.
Sử dụng các giả thiết mở:
-
Hình chóp SABCD có mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng tạo với đáy góc α thì chân
đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc BAC
- Hình chóp SABCD có SB = SC hoặc SB, SC cùng tạo với đáy một góc α thì chân
đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC
Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi
trong bài toán hình không gian cổ điển
-
Phần 3: Các bài toán về tính thể tích
A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao:
Để giải quyết tốt dạng bài tập này các em cần nắm chắc các dấu hiệu để xác định đường
cao và sử dụng các công thức
1
+ Vchóp = B.h
3
+ VLT = B.h
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D , có AB = AD = 2 a, CD = a . Góc giữa 2 mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) bằng 600. Gọi I là trung
điểm AD biết 2 mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với đáy ABCD . Tính thể tích khối
chóp SABCD .
HD giải:
Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’2 mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng
vuông góc với đáy ABCD ’’
NGUYỄN TRUNG KIÊN
2
3. Vì 2 mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với đáy ABCD mà ( SBI ) và ( SCI ) có giao
tuyến là SI nên SI ⊥ ( ABCD ) . Kẻ IH ⊥ BC ta có góc giữa 2 mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) là
1
ˆ
SHI = 600 . Từ đó ta tính được: IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD ) = AD ( AB + CD ) = 3a 2
2
1
a 2 3a 2
2S
2
2
IH .BC = S ( IBC ) = S ( ABCD) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a − a −
=
nên IH = ∆IBC =
2
2
2
BC
3 3
3 15 3
a . Từ đó tính được VSABCD =
a .
5
5
S
A
B
I
D
H
C
Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B
, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn B ' C ' , I là giao điểm của BM và
B ' C . Tính thể tích khối chóp IABC theo a
HD giải:
Dấu hiệu để nhận biết đường cao trong bài toán này là:’’ I nằm trong mặt bên ( BCC ' B ')
vuông góc với đáy ( ABC ) ’’
Ta có:
- ABCA ' B ' C ' là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy.
I ⊂ ( B ' BC ) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ BC thì IH ⊥ ( ABC ) và I chính là trọng tâm tam giác
BB ' C ' ⇒
IH
CI
2
4a
=
= ⇒ IH =
BB ' CB ' 3
3
NGUYỄN TRUNG KIÊN
3
4. Có AC = A′C 2 − AA′2 = 9a 2 = 4a 2 = a 5 ⇒ BC = AC − AB 2 = 2a
2
VIABC =
1
1 4a 1
4
IH .dt ( ABC ) = . . .2a.a = a 3 ( đvtt)
3
3 3 2
9
C'
A'
M
B'
I
O
C
A
H
B
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a
và vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là
giao điểm của BM và AC . Chứng minh rằng mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng
( SMB ) . Tính thể tích khối tứ diện
ANIB .
Lời giải:
+) Chứng minh ( SAC ) ⊥ ( SMB ) .
Ta có:
AC = AB 2 + BC 2 = a 2 + 2a 2 = a 3; BM = AB 2 + AM 2 = a 2 +
2a 2 a 6
=
4
2
Gọi O = AC ∩ BD ;do I là giao điểm của hai đường trung tuyến AO và BM nên là trọng tâm
của tam giác ABD .
Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có: AI =
2
1
a 3
2
a 6
AO = AC =
; BI = BM =
3
3
3
3
3
NGUYỄN TRUNG KIÊN
4
5. Nhận xét: AI 2 + BI 2 =
Do đó BM ⊥ AI
a 2 2a 2
+
= a 2 = AB 2 , suy ra tam giác AIB vuông tại I .
3
3
(1)
Mặt khác: SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ BM
(2)
Từ (1) và (2) suy ra BM ⊥ ( SAC )
+) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Ta thấy khối chóp ANIB cũng chính là khối chóp NAIB
Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Điểm N nằm trong mặt phẳng ( SAC )
vuông góc với đáy ( ABCD ) ’’
Do NO là đường trung bình của tam giác SAC nên ta có: NO / / SA và NO =
1
a
SA =
2
2
Do đó NO là đường cao của tứ diện ANIB
Diện tích tam giác đều AIB là: S AIB
1
1 a 3 a 6 a2 2
= AI .BI =
.
=
2
2 3
3
6
1
1 a 2 2 a a3 2
Thể tích khối tứ diện ANIB là: V = S AIB .NO =
. =
3
3 6 2
36
S
N
M
A
D
I
O
B
C
NGUYỄN TRUNG KIÊN
5
6. Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = 3a, BC = 2a . Các
mặt bên đều hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp SABC
Lời giải:
Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là:
‘’Hình chóp có các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường
tròn nội tiếp đáy hình chóp’’
Từ đó ta có lời giải sau:
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) và I , H , J lần lượt là hình chiếu của O trên
AB, BC , CA .
Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SI ⊥ AB, SJ ⊥ AC , SH ⊥ BC
Suy ra: SIO, SJO, SHO lần lượt là góc hợp bởi các mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) và mặt đáy
Theo giả thiết ta có: SIO = SJO = SHO = 600
Các tam giác vuông SOI , SOJ , SOH bằng nhau nên OI = OJ = OH
Do đó O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Mặt khác: ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa
là đường trung tuyến
Suy ra A, O, H thẳng hàng và H là trung điểm của BC
Tam giác ABH vuông tại H , ta có: AH = AB 2 − BH 2 = 9a 2 − a 2 = 2a 2
Diện tích tam giác ABC là: S ABC =
Ngoài ra: S ABC = pr , với p =
⇒r=
1
1
BC . AH = .2a.2a 2 = 2a 2 2
2
2
1
( AB + AC + BC ) = 4a và r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC .
2
S ABC 2a 2 2 a 2
=
=
= OH
p
4a
2
NGUYỄN TRUNG KIÊN
6
7. Tam giác SOH vuông tại O , ta có: SO = OH tan 600 =
a 6
2
1
1
a 6 2a 3 3
Thể tích khối chóp SABC là: V = S ABC .SO = .2a 2 2.
=
3
3
2
3
S
I
A
B
O
H
J
C
Ví dụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A
AB = a 3, AC = a . Biết đỉnh C ' cách đều các đỉnh A, B, C và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt
6a
phẳng (C’AC) bằng
.Tính thể tích khối chóp A ' ABC ' theo a và tính cosin góc tạo bởi mặt
15
phẳng ( ABB ' A ') và mặt phẳng đáy ( ABC ) .
Giải:
Dấu hiệu nhận biết đường cao trong bài toán này là: ‘’Đỉnh C ' cách đều các đỉnh A, B, C ⇔
C ' A = C ' B = C ' C ’’
C'
B'
A'
N
H
B
C
M
I
A
K
NGUYỄN TRUNG KIÊN
7
8. - Hạ C ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆C ' HA = ∆C ' HB = ∆C ' HC ⇔ HA = HB = HC
Suy ra H là tâm vòng trong ngoại tiếp tam giác ABC . Vì tam giác ABC vuông tại A nên H
là trung điểm của BC . Ta có: d B /( ACC ') = 2d H /( ACC ') .
Hạ HM ⊥ AC , HN ⊥ C ' M ⇒ HN ⊥ ( ACC ') ⇒ d H /( ACC ') = HN =
Ta có: HM =
1
3a
d B /( ACC ') =
.
2
15
1
a 3
AB =
⇒ C ' H = a 3 từ đó tính được CC ' = 2a.
2
2
1
1
1
1
a3
Có VA ' ABC ' = VLT = C ' H .dt ( ABC ) = .a 3. .a 3.a =
3
3
3
2
2
1
AC suy ra I
2
là trung điểm của AB . Tam giác ABC vuông tại A nên KI ⊥ AB ⇒ Góc tạo bởi ( ABB ' A ') và
- Hạ A ' K ⊥ ( ABC ) thì C ' HKA ' là hình chữ nhật . Gọi I = HK ∩ AB thì OI / / =
đáy ( ABC ) là A ' IK
Ta có: cos A ' IK =
IK =
IK
. Tính được
A' I
1
a
a 13
IK
13
⇒ cos A ' IK =
=
HK = ; A ' I = IK 2 + A ' K 2 =
2
2
2
A'I
13
Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành AB = 2a, AD = a, BAD = 600
SAB là tam giác đều . Gọi H là trung điểm của AB , K là hình chiếu vuông góc của H lên mặt
a 15
phẳng ( SCD ) . Tính thể tích khối chóp SABCD biết HK =
và điểm K nằm trong tam
5
giác SCD
Giải:
Bài toán này được cho theo kiểu giả thiết mở.
Dấu hiệu để tìm ra đường cao khối chóp là:’’ SAB là tam giác đều
Tức là SA = SB ''
NGUYỄN TRUNG KIÊN
8
9. S
B
C
120°
K
H
E
F
D
A
Gọi E là trung điểm của CD , F là trung điểm của ED
Với giả thiết SA = SB ta suy ra chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường
trung trực của đoạn thẳng AB
Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên ( ABCD ) thuộc đường thẳng chứa HF
Hạ HK ⊥ SF ⇒ HK ⊥ ( SCD )
Ta có: VSABCD = 2VSHCD =
2
HK .dt ( SCD )
3
Ta cần tính diện tích tam giác SCD
Ta có: dt ( SCD ) =
1
SF .CD;
2
Mà SF = SK + KF ; SK = SH 2 − HK 2 ; KF = HF 2 − HK 2
SH là đường cao tam giác đều SAB suy ra: SH = a 3, HF là đường cao tam giác đều HDE
suy ra: HF =
a 3
3 15a
Thay số ta có: SF =
2
10
Vậy: VSABCD =
2 a. 3 1 3 15a
3a3
. .
.2a =
3 5 2 10
5
NGUYỄN TRUNG KIÊN
9
10. Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 và SAB = SCB = 900 . Tính thể tích khối chóp
S.ABC theo a .
Giải:
Đây là bài toán dễ làm cho học sinh bối rối khi xác định đường cao hình chóp.
S
K
C
H
A
B
AB ⊥ SH
⇒ AB ⊥ ( SHA) ⇒ AB ⊥ HA .
Hạ SH ⊥ ( ABCD ) vì
AB ⊥ SA
Chứng minh tương tự ta có BC ⊥ HC ⇒ HABC là hình vuông.
Ta có HC ⊥ BC kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = a 2
Mặt khác ta có:
1
HK
2
=
1
HC
2
+
1
HS
2
⇒ SH =
HK .HC
HC 2 − HK 2
=a 6
1
1
3a 2
6a 3
Thể tích khối chóp VSABC = SH .S ∆ABC = a 6.
=
3
3
2
2
Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA = SB = a ,
SD = a 2 và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD
Giải:
NGUYỄN TRUNG KIÊN
10
11. S
A
D
H
O
B
C
Hạ SH ⊥ BD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ ∆SHA = ∆SHC ⇒ SA = SC
Từ giả thiết ta suy ra ∆ASC = ∆ADC = ∆ABC ⇒ OB = SO = OD ⇔ ∆SBD vuông tại S
Tính được BD = a 3, SH =
SB.SD
SB 2 + SD 2
1
1 a 6 a2 3
VSABCD = SH .S ABCD = .
.
=
3
3 3
2
=
a 6
,suy ra tam giác ABC là tam giác đều
3
2a 3
6
2
Chú ý: Ta có thể tính thể tích theo cách: VSABCD = 2VCSBD = CO.S ∆SBD
3
Trong ví dụ này chìa khóa để giải quyết bài toán là phát hiện ra tam giác SBD vuông tại S
Các em hãy rèn luyện dạng toán này qua bài tập sau:
‘’Cho hình chóp SABCD có cạnh SD = x ( x > 0) , các cạnh còn lại của hình chóp bằng nhau và
bằng a ( x > 0) . Tìm x biết thể tích khối chóp SABCD bằng
2a3
.’’
6
B. Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp
Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân chia khối đa diện
đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công
thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua 1 khối đa diện trung gian
đơn giản hơn.
Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau:
NGUYỄN TRUNG KIÊN
11
12. VSA′B′C ′ SA′.SB′.SC ′
(1)
=
VSABC
SA.SB.SC
VSA′ABC A ' A
(2). Công thức (2) có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ.
=
VSABC
SA
S
C'
A'
B'
A
C
B
ˆ
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD = 600 , SA vuông góc
với đáy ABCD , SA = a . Gọi C ' là trung điểm của SC , mặt phẳng ( P ) đi qua AC ' song song
với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp tại B ', D ' . Tính thể tích khối chóp SABCD
HD giải:
Để xác định mặt phẳng ( P ) các em cần tính chất:
’’Mặt phẳng ( P ) song song với đường thẳng ∆ thì mặt phẳng ( P ) sẽ cắt các mặt phẳng chứa ∆
(nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với ∆ ’’
Gọi O là giao 2 đường chéo ta suy ra AC ' và SO cắt nhau tại trọng tâm I của tam giác SAC
Từ I thuộc mặt phẳng kẻ đường thẳng song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp
tại B ', D ' là 2 giao điểm cần tìm.
Ta có:
SC ′ 1 SD′ SB′ SI 2
= ;
=
=
=
SC 2 SD SB SO 3
Dễ thấy V( SAB′C ′D′) = 2V( SAB′C ′) ;V( SAB′C ′) = 2V( SABC ) ⇒
VSAB′C ′D′ VSAB′C ′ SA.SB′.SC ′ 1
=
=
=
VABCD
VSABC
SA.SB.SC 3
NGUYỄN TRUNG KIÊN
12
13. 1
1
3
3
ˆ 1
Ta có V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD ) = SA. AD. AB.sinDAB = a.a.a.
= a3
3
3
3
2
6
V( SAB′C ′D′) =
3 3
a (đvtt)
18
S
D'
C'
I
A'
D
A
O
B
C
Ví dụ 4) (Dự bị A 2007)
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a cạnh SA vuông góc
với đáy, cạnh SB hợp với đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy M sao cho AM =
a 3
. Mặt
3
phẳng ( BCM ) cắt SD tại N . Tính thể tích khối chóp SBCMN
HD giải:
Ta cần tính chất: ’’Mặt phẳng ( P ) song song với đường thẳng ∆ thì mặt phẳng ( P ) sẽ cắt các
mặt phẳng chứa ∆ (nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với ∆ ’’
Từ đó có lời giải như sau:
Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N là giao điểm cần tìm, góc tạo bởi SB
và ABCD là SBA = 600 .
Ta có SA = SB.tan 60 = a 3 .
Từ đó suy ra SM = SA − AM = a 3 − a
3
2 3
SM SN 2
=a
⇒
=
=
3
3
SA SD 3
Dễ thấy V( SABCD ) = V( SABC ) + V( SACD ) = 2V( SABC ) = 2V( SACD ) ; V( SBCMN ) = V( SMBC ) + V( SMCN )
NGUYỄN TRUNG KIÊN
13
14. ⇒
V( SMBCN )
V( SABCD )
=
=
V( SMBC ) + V( SMCN )
V( SABCD )
=
V( SMCN )
2V( SABC )
+
V( SMCN )
2V( SACD )
1.SM .SB.SC 1.SM .SC.SN 1 2 5
+
= + =
2.SA.SB.SC 2.SA.SC.SD 3 9 9
1
1
2 3 3
Mà V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD ) = a 3a .2a =
a
3
3
3
⇒ V( SMBCN ) =
10 3 3
a
27
S
N
M
D
A
O
B
C
Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm
của AB, AD, SC . Chứng minh mặt phẳng ( MNP ) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng
nhau.
Lời giải:
Trong bài toán này ta thấy:’’Mặt phẳng ( MNP ) chứa đường thẳng MN / / BD nên mặt phẳng
( MNP ) sẽ cắt mặt phẳng ( SBD) theo giao tuyến song song với BD ’’
Từ đó ta có lời giải sau:
Gọi I , J , K lần lượt là giao điểm của MN và CB, CD, CA
NGUYỄN TRUNG KIÊN
14
15. Nối PI cắt SB tại E , nối PJ cắt SD tại F
Ngũ giác PEMNF là thiết diện của mặt phẳng ( PMN ) và hình chóp
3
CI = CB
CB CD CO 2
2
Gọi O = AC ∩ BD ; do BD / / MN nên ta có:
=
=
= ⇒
3
CI CJ CK 3
CJ = CD
2
Vì P là trung điểm của SC nên ta có: d ( P, ( ABC ) ) =
1
d ( S , ( ABC ) )
2
1
1 1
Do đó: VPCIJ = SCIJ .d ( P, ( ABC ) ) = . CI .CJ .sin BCD.d ( P, ( ABC ) )
3
3 2
1 3
3
1
= . CB. CD.sin BCD. d ( S , ( ABC ) )
6 2
2
2
9 1
9
= .CB.CD.sin BCD.d ( S , ( ABC ) ) = VSABCD
16 3
16
VIBEM IB IE IM 1 1 1 1
=
. .
= . . =
VICPJ
IC IP IJ
3 2 3 18
⇒ VIBEM =
1
1
1
VICPJ = VPCIJ = VSABCD
18
18
32
Tương tự VJDFN =
1
1
VPCIJ = VSABCD
18
32
Gọi V1 là thể tích phần khối chóp giới hạn bởi mặt phẳng ( PMN ) và mặt phẳng đáy của hình
chóp ta có: V1 = VPCIJ − (VIBEM + VJDFN ) =
9
1
1
1
VSABCD − VSABCD + VSABCD = VSABCD
16
32
32
2
1
Gọi V2 là thể tích phần còn lại của khối chóp thì V2 = VSABCD
2
Vậy V1 = V2 .
NGUYỄN TRUNG KIÊN
15
16. S
P
E
I
A
B
F
O
M
K
N
D
C
J
Ví dụ 6) Cho khối lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung
điểm của C ' B ' và C ' D ' .
1) Dựng và tính diện tích thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mặt phẳng ( AEF )
2) Tính tỉ số thể tích của hai phần khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng ( AEF )
Lời giải:
1) Dựng và tính diện tích thiết diện:
Kéo dài EF cắt A ' B ' và A ' D ' lần lượt tại I và J
Nối AI và AJ cắt BB ' và DD ' lần lượt tại P và Q
Ngũ giác APEFQ là thiết diện của mặt phẳng ( AEF ) và hình lập phương
Gọi O = A ' C '∩ B ' D ' và K = IJ ∩ A ' C '
Do B ' D '/ / IJ nên ta có:
Suy ra: IJ =
B ' D ' A ' B ' A ' D ' A 'O 2
=
=
=
=
IJ
A' I
A' J
A' K 3
3
3a 2
3
3a
3
3a 2
B'D' =
; A' I = A' B ' =
A ' J ; A ' K = A 'O =
2
2
2
2
2
4
Do PB '/ / AA ' nên ta có:
(
PB ' IP IB ' 1
1
a
=
=
= ⇒ PB ' = AA ' = = QD '
AA ' IA IA ' 3
3
3
)
Ta có: S APEFQ = S AIJ − S PIE + SQJF = S AIJ − 2 S PIE
NGUYỄN TRUNG KIÊN
16
17. Trong tam giác vuông AA ' K ta có: AK = AA '2 + A ' K 2 = a 2 +
Do đó: S AIJ
18a 2 a 34
=
16
4
1
1 3a 2 3a 2 3a 2 17
= IJ . AK = .
.
=
2
2 2
4
8
Trong tam giác PIE kẻ đường cao PH thì PH / / AK và PH =
Mặt khác: IJ = A ' I 2 =
1
a 34
AK =
3
12
3a 2
1
a 2
⇒ IE = IJ =
2
3
2
Diện tích tam giác PIE là: S PIE =
Vậy S APEFQ = S AIJ − 2 S PIE =
1
1 a 2 a 34 a 2 17
.
IE.PH = .
=
2
2 2
12
24
3a 2 17 a 2 17 7 a 2 17
−
=
8
12
24
A
D
O
B
C
Q
D'
P
J
A'
O'
B'
I
E
K
F
C'
H
2) Tính tỉ số thể tích:
VAA ' IJ =
VB ' PIE
1
1 3a 3a 3a 3
A ' A. A ' I . A ' J = .a. . =
6
6
2 2
8
1
1 a a a a3
= B ' P.B ' I .B ' E = . . . =
6
6 3 2 2 72
Do tính đối xứng của hình lập phương nên ta có: VB ' PIE = VD ' QJF
NGUYỄN TRUNG KIÊN
17
18. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối đa diện ở phía dưới và phía trên mặt phẳng ( AEF )
Ta có: V1 = VAA ' IJ − 2VB ' PIE =
3a 3 2a 3 25a 3
−
=
8
72
72
V2 = VABCDA ' B ' C ' D − V1 = a 3 −
Vậ y
25a 3 47 a 3
=
72
72
V1 25
=
V2 47
Phần 4: Các bài toán về khoảng cách trong không gian
A. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh
cần nắm chắc bài toán cơ bản và các tính chất sau
⊻ BÀI TOÁN CƠ BẢN
Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy ABC . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( SBC )
(Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của khối chóp)
⊻ PHƯƠNG PHÁP
- Hạ AM vuông góc với BC , AH vuông góc với SM suy ra AH vuông góc với ( SBC ) .
Vậy khoảng cách từ A đến ( SBC ) là AH
- Ta có
1
1
1
=
+
⇒ AH =
2
2
AH
AM
AS2
S
AM . AS
AM 2 + AS 2
H
C
A
M
B
NGUYỄN TRUNG KIÊN
18
19. * Tính chất quan trọng cần nắm:
- Nếu đường thẳng ( d ) song song với mặt phẳng ( P ) thì khoảng cách từ mọi điểm trên ( d ) đến
mặt phẳng ( P ) là như nhau
- Nếu AM = k BM thì d A/( P ) =| k | d B /( P ) trong đó ( P ) là mặt phẳng đi qua M
- Nếu a , b là hai đường thẳng chéo nhau. Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa b và ( P ) / / a thì
d a /b = d a /( P) = d M ∈a /( P )
Trên cơ sở các tính chất trên ta luôn quy được khoảng cách từ một điểm bất kỳ về bài toán
cơ bản.
Trong 1 số trường hợp khi việc tìm hình chiếu khó khăn, thì ta nên sử dụng công thức
1
3V
V = B.h ⇒ h =
3
B
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên
mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABD . Mặt bên SAB tạo với đáy một góc 600.
Tính theo a thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAD
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , E là hình chiếu của G lên AB . Ta có:
SG ⊥ AB; GE ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SGE )
ˆ
⇒ SAG = 600
ˆ
⇒ SG = GE. tan SEG = 3GE
Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABD
⇒ GE =
1
a
BC =
3
3
1
a3 3
⇒ VSABCD = SG.S ABCD =
3
9
Hạ GN vuông góc với AD , GH vuông góc với SN
NGUYỄN TRUNG KIÊN
19
20. Ta có d B /( SAD ) = 3dG /( SAD ) = 3GH =
3GN .GS
GN + GS
2
2
=
a a 3
3 .
3 3
2
a a 3
+
3 3
2
=
a 3
2
S
A
D
H
G
E
B
N
C
M
Trong bài toán này G là chân đường cao của khối chóp. Để tính khoảng cách từ B đến ( SAD)
ta đã quy bài toán về trường hợp cơ bản là tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( SAD)
Ví dụ 2) Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A′B ′C ′D ′ có đáy ABCD là hình thoi , AB = a 3 ,
∠BAD = 1200 . Biết góc giữa đường thẳng AC ′ và mặt phẳng ( ADD ′A′) bằng 300 .Tính thể tích
khối lăng trụ trên theo a. và khoảng cách từ trung điểm N của BB ' đến mặt phẳng (C ' MA) .
Biết M là trung điểm của A ' D '
Giải:
Ta có VABCD. A ' B 'C ' D ' = AA '.S ABCD (1).
Đáy ABCD là hình thoi gồm 2 tam giác đều ABC , ACD nên:
S ABCD = 2S∆ABC
(a 3)
= 2.
4
2
3
3 3a 2
=
(2)
2
NGUYỄN TRUNG KIÊN
20
21. ˆ
Gọi C ' M là đường cao của tam giác đều C ' A ' D ' thì C ' M ⊥ ( ADA ' D ') nên C ' AM = 300
Ta có C ' M =
3a
3 3a
⇒ AM = C ' M .cot 300 =
⇒ A' A =
2
2
Thay (2),(3) vào (1) ta có: VABCD. A ' B 'C ' D ' =
AM 2 − A ' M 2 = a 6 (3)
3 3a 2
9 2a 3
.
.a 6 =
2
2
Ta có d N /(C ' MA) = d K /(C ' MA) với K là trung điểm của DD ' (Vì K và N đối xứng nhau qua trung
điểm O của AC ' ’)
Từ K hạ KH vuông góc với AM thì
1
KH ⊥ ( AC ' M ) ⇒ d K /( C ' MA) = KH ; KH . AM = dt ( AA ' D ' D ) − dt ( AA ' M ) − dt ( MD ' K ) − dt ( AKD )
2
3 3a
1
3a 1 a 6 3a 1 a 6
6
⇒ KH .
= a 6.a 3 − a 6.
− .
.
− .
.a 3 ⇒ KH =
a
4
2
2
2 2
2
2 2
2
Vậy d N /( C ' MA) =
6
a
2
C'
D'
M
A' H
B'
K
O
N
B
D
C
A
Trong bài toán này việc nhìn ra AK là đường cao của khối chóp AKC ' M để quy khoảng cách
về bài toán cơ bản là yếu tố quan trọng quyết định thành công.
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng SBC và ABC là 600. Các tam giác
SBC và ABC là các tam giác đều cạnh a . Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SAC .
(Đề dự bị khối A 2007)
HD giải:
NGUYỄN TRUNG KIÊN
21
22. Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy ra BS = BA = BC . Gọi O là chân
đường cao hạ từ B xuống mp ( SAC ) . O chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC . Gọi
M là trung điểm BC ta có SM ⊥ BC ; AM ⊥ BC . góc tạo bởi 2 mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) là
SMA = 600 ⇒ SM = AM = AS =
a 3
.
2
Bây giờ ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC
Tam giác SAC cân tại C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực của SA là CN ( N
là trung diểm của SA ). Kẻ trung trực của SC cắt trung trực của SA tại O là điểm cần tìm
2
SA
3a 2
SC −
a2 −
2
16 = 13
=
SC
a
4
2
cos SNC =
NC
=
SC
SC
2a
4a 2
3a
2
⇒ OC =
=
; BO = BC 2 − OC 2 = a 2 −
=
.
13
13
13
cos SNC
Ở cách giải này ta đã sử dụng dấu hiệu ‘’ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân
đường cao là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy’’
S
P
N
O
C
A
M
B
1
2a
3
Cách 2: V( SABCD ) = 2V( SABM ) = 2 BM .dt ( SAM ) =
AM .MS .sin 600 = a 3
dt ( SAC )
3
3.2
16
3V
1
1 13
3
39a 2
3a
=
CN . AS = .
a.
a=
⇒ d ( B, ( SAC ) = ( SABC ) =
2
2 4
2
16
dt ( SAC )
13
NGUYỄN TRUNG KIÊN
22
23. Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang ABC = BAD = 900 ,
BA = BC = a, AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 , gọi H là hình chiếu của
A lên SB . Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng
( SCD ) (TSĐH D 2007)
HD giải:
Cách 1:
Dựa vào tam giác ∆SHA ∼ ∆SAB ⇒
SH SA
SH SA2 2
=
⇒
=
=
SA SB
SB SB 2 3
Ta sẽ tìm cách quy khoảng cách từ H đến ( SCD ) thành khoảng cách từ A lên ( SCD )
Ta có d H /( SCD ) =
2
1
1
1
d B /( SCD ) . Lại có BF = AF ⇒ d B /( SCD ) = d A/( SCD ) ⇒ d H /( SCD ) = d A/( SCD )
3
2
2
3
Tính được AC = CD = a 2 ⇒ ∆ACD vuông tại C . Ta kẻ
AC. AS
a
AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ ( SCD ) ⇒ d A/( SCD ) = AK =
= a ⇒ d H /( SCD ) =
2
2
3
AC + AS
S
D
A
K
H
D
A
B
C
F
B
C
Trong cách giải này ta đã quy về bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đường cao A lên
mặt phẳng ( SCD ) .
Cách 2: Ta có AC = a 2; SD = SA2 + AD 2 = a 6; SC = SA2 + AC 2 = 2a . Ta cũng dễ dàng
tính được CD = a 2 . Ta có SD 2 = SC 2 + CD 2 nên tam giác SCD vuông tại C .
NGUYỄN TRUNG KIÊN
23
24. 1
1
1
=
+
⇒ AH =
2
2
AH
AB
AS 2
AB. AS
=
a.a 2
AB 2 + AS 2
a 2 + 2a 2
2
a
2
SH
3 =2
2
2
⇒ SH = SA − AH =
a⇒
=
SB a 3 3
3
2
3
=a
1. AB.( BC + AD ) 1
a2
dt ( BCD ) = dt ( ABCD ) − dt ( ABD ) =
− AB. AD = ;
2
2
2
1
dt ( SCD ) = SC.CD = a 2 2
2
V( SHCD ) SH .SC.SD 2
1
1.a 2.a 2
2 3
=
= ;V( SBCD ) = SA.dt ( BCD ) =
=
a
V( SBCD ) SB.SC.SD 3
3
3.2
6
V( SHCD ) =
3V( SHCD )
2 3
1
a
2 3
=
a .3 2
=
a .Ta có d ( H /( SCD )) =
9
9
dt ( SCD )
a 2 3
Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang ABC = BAD = 900 ,
BA = BC = a, AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= a 2 , góc tạo bởi SC và
( SAD) bằng 300.Gọi G là trọng tâm tam giác ( SAD) . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng
( SCD )
Giải:
S
H
G
N
A
D
M
O
B
C
Kẻ CE vuông góc với AD thì E là trung điểm của AD và CE ⊥ ( SAD )
ˆ
⇒ CSE = 300 ⇒ SE = CE. tan 60 = a 3 ⇒ SA = a 2
NGUYỄN TRUNG KIÊN
24
25. Gọi M là trung điểm của AB , N là trung điểm của AE . Ta có BE song song với ( SCD ) ,
MN cũng song song với ( SCD ) . Ta có ND =
GS =
3
AD
4
2
2
2
2 3
1
MS ⇒ dG /( SCD ) = d M /( SCD ) = .d N /( SCD ) = . d A/( SCD ) = d A/( SCD )
3
3
3
3 4
2
Vì tam giác ACD vuông cân tại C nên CD vuông góc với ( SAC ) . Hạ AH vuông góc với SC
thì AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d A/( SCD ) = AH =
SA.SC
SA2 + SC 2
=a
(Ta cũng có thể lập luận tam giác SAC vuông cân suy ra AH = a )
Trong bài toán này ta đã quy khoảng cách từ G đến ( SCD ) thành bài toán cơ bản là tính
khoảng cách từ A đến ( SCD )
Ví dụ 6) Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền
BC = a 2 cạnh bên AA ' = 2a, biết A ' cách đều các đỉnh A, B, C . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AA ', AC . Tính thể tích khối chóp C ' MNB và khoảng cách từ C ' đến mặt phẳng
( MNB )
Giải:
- Tính thể tích:
Vì A ' cách đều A, B, C nên chân đường cao hạ từ A ' lên mặt phẳng ( ABC ) là tâm vòng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi H là trung điểm của BC suy ra A ' H ⊥ ( ABC )
1
Gọi K = MN ∩ AC ' ⇒ AK = C ' K ⇒ VC ' MNB = 3VAMNB
3
1
Gọi E là trung điểm của AH ⇒ ME ⊥ ( ABC ) ⇒ VMANB = ME.dt ( ANB )
3
Tính được: ME =
1
1 a 14 a 14
A' H =
=
2
2 2
4
1 a 14 a 2
14a 3
14a 3
Suy ra: VMANB = .
. Vậy VC ' MNB =
.
=
3 4
4
48
16
- Tính khoảng cách: dC '/( BMN ) = 3d A/( BMN ) . Gọi F là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: AE =
1
1 3
3
1
AH = . AF = AF ; EF = AF ⇒ d A/( BMN ) = 3d E /( BMN )
2
2 2
4
4
NGUYỄN TRUNG KIÊN
25
26. EP ⊥ BN
⇒ EQ ⊥ ( MNB) ⇒ d E /( MNB ) = EQ =
Hạ
EQ ⊥ MP
Ta có ∆EPF đồng dạng với ∆BHF ⇒
Tính được BH =
Suy ra: EP =
EP.EM
EP 2 + EM 2
EP EF
BH .EF
=
⇒ EP =
BH BF
BF
a 2
1
1 2
1
a 2
a 5
; EF = AF = . AH = AH =
; BF =
2
4
4 3
6
12
3
a 5
⇒ EQ =
20
EP.EM
EP 2 + EM 2
Vậy dC '/( BMN ) = 3d A/( BMN ) = 12d E /( BMN ) =
A'
=
a 14
4 71
3a 14
4 71
C'
M
B'
M
Q
I
K
N
N
A
C
E
A
E
C
P
H
H
B
B
B. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian
Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo
trình tự sau:
- Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1
điểm bất kỳ trên b đến mp(P)
- Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã
trình bày ở mục A.
NGUYỄN TRUNG KIÊN
26
27. Ví dụ 1) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông AB = BC = a , cạnh
bên AA′ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA′B′C ′ và
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B ' C .(TSĐH D2008)
HD giải
V ( ABCA′B′C ′) = S .h = a 3
2
.
2
Tính khoảng cách
Gọi N là trung điểm của BB ' ta có B ' C song song với ( AMN ) . Từ đó ta có:
d ( B′C , AM ) = d ( B′, ( AMN )) = d ( B, ( AMN ))
BK ⊥ AM
1
1
1
1
1
1
Kẻ
⇒ BH ⊥ ( AMN ) . Ta có:
mà
=
+
=
+
2
2
2
2
2
BH
BN
BK
BK
BA
BM 2
BH ⊥ NK
a
1
1
1
1
⇒ BH =
⇒
=
+
+
2
2
2
2
BH
BN
BA
BM
7
chính là khoảng cách giữa AM và B’C.
C'
A'
B'
N
H
A
K
C
M
B
Chú ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều
kiện B’C song song với (AMN). Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy
nghĩ điều này
Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P)
cũng bằng khoảng cách từ B đến (P))
NGUYỄN TRUNG KIÊN
27
28. Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC .
Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC .
(TS B2007)
HD giải: Gọi P là trung điểm của SA , ta có tứ giác MPNC là hình bình hành.
Nên MN / / PC . Từ đó suy ra MN / /( SAC ) . Mặt khác BD ⊥ ( SAC ) nên BD ⊥ PC
⇒ BD ⊥ MN .
Ta có: d MN / AC = d MN /( SAC ) = d N /( SAC ) =
E
1
1
1
d ( B, ( SAC )) = BD = a 2
2
4
2
S
P
M
A
D
O
B
K
C
N
( Chú ý việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC)
giúp ta đơn giản hoá bài toán đi rất nhiều. Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán này
để vận dụng)
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = BC = 2a, hai
mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ) cùng vuông góc với đáy ABC . Gọi M là trung điểm của AB , mặt
phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N . Biết góc tạo bởi ( SBC ) và ( ABC ) bằng 600.
Tính thể tích khối chóp SBCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a
(TSĐH A 2011)
Giải
NGUYỄN TRUNG KIÊN
28
29. ˆ
ˆ
Ta có SA ⊥ ( ABC ); ABC = 900 ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = 2a 3
Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung điểm của AC
Từ đó tính được V = 3a 3
- Kẻ đường thẳng ( d ) qua N song song với AB thì AB song song với mặt phẳng ( P ) chứa
SN và ( d ) nên khoảng cách từ AB đến SN cũng bằng khoảng cách từ A đến ( P ) .
Dựng AD vuông góc với ( d ) thì AB / /( SND ) , dựng AH vuông góc với SD thì
AH ⊥ ( SND ) ⇒ d AB / SN = d A/( SND ) == AH =
SA. AD
SA2 + AD 2
=
2a 39
13
S
H
D
N
C
A
M
B
Ví dụ 4) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A
AB = a, AC = 2a, AA ' = a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ' và BC .
Giải:
Ta có BC song song với mặt phẳng ( AB ' C ') chứa AB ' nên
d BC / AB ' = d BC /( AB ' C ') = d B /( AB ' C ') = d A '/( AB ' C ') (vì A ' B, AB ' cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường)
NGUYỄN TRUNG KIÊN
29
30. Từ A ' hạ A ' K vuông góc B ' C ' , Hạ A ' H vuông góc với AK thì
A ' K.A ' A
2a
A ' H ⊥ ( AB ' C ') ⇒ d A '/( AB ' C ') = A ' H =
=
3
A ' K 2 + A ' A2
(Rõ ràng việc quy về bài toán cơ bản có vai trò đặc biệt quan trọng trong các bài toán tính
khoảng cách, các em học sinh cần chú ý điều này)
Ví dụ 5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Chân đường cao hạ
từ S lên mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc AB sao cho HA = −2 HB . Góc tạo bởi SC và mặt
phẳng ( ABC ) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA, BC theo a .
Giải:
S
K
F
H
B
A
M
E
D
C
- Tính thể tích:
Vì SH ⊥ ( ABCD ) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng ( ABCD ) . Góc tạo
bởi SC và mặt phẳng ( ABCD ) là SCH = 600 .
Xét tam giác BHC theo định lý hàm số cosin ta có
HC 2 = HB 2 + BC 2 − 2 HB.BC.cos HBC = HB 2 + BC 2 − 2 HB.BC.cos 600 =
Suy ra HC =
a2
a 1 7a2
+ a 2 − 2. .a. =
9
3 2
9
a 7
a 7
a 21
⇒ SH = HC .tan SCH =
. 3=
3
3
3
NGUYỄN TRUNG KIÊN
30
31. 1
1 a 21 1
7a3
Ta suy ra VSABC = SH .S ∆ABC =
( ĐVTT)
. a.a.sin 600 =
3
3 3 2
12
- Tính khoảng cách:
Gọi E là trung điểm của BC , D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD
Ta có AD / / BC nên d SA/ BC = d BC /( SAD ) = d B /( SAD ) =
3
d H /( SAD )
2
HF ⊥ AD
Kẻ
⇒ HK ⊥ ( SAD ) ⇒ d H /( SAD ) = HK
HK ⊥ SF
Trong tam giác vuông SHF ta có
Mặt khác ta có HF =
Suy ra HK =
1
1
1
=
+
⇒ HK =
2
2
HK
HF
HS 2
HF .HS
HS 2 + HF 2
2
2a 3
3a
AE =
=
3
3 2
3
HF .HS
HS 2 + HF 2
=
3a a 21
.
42
3
3
=
a
12
3 2 21 2
a + a
9
9
3 42
42
Vậy d SA/ BC = .
a=
a
2 12
8
Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . SA vuông góc với
đáy góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( SAB ) là 300. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BC và SD
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF
Giải:
CB ⊥ AB
ˆ
Vì
⇒ CB ⊥ ( SAB ) ⇒ CSB = 300 ⇒ SB = BC.cot 30 = a 3 ⇒ SA = a 2
CB ⊥ SA
Từ C dựng CI song song với DE ta có CI = DE =
a
. Ta có mặt phẳng (CFI ) chứa CF và
2
song song với DE
Ta có d DE / CF = d DE /(CFI ) = d D /(CFI ) =
1
d H /(CFI ) với H là chân đường cao hạ từ F lên AD
2
NGUYỄN TRUNG KIÊN
31
32. HK ⊥ CI
Dựng
⇒ HR ⊥ ( FCI ) ⇒ d H /(CFI ) = HR =
HR ⊥ FK
1
1
CD.HI
Ta có HK .CI = CD.HI ⇒ HK =
=
2
2
CI
Ta có FH =
HK .HF
HK 2 + HF 2
3
a. a
2
3
a2 + a
2
2
=
3a
13
a 2 3a
.
2
13
a 2
3 31
⇒ HR =
=
2
2
2
31
a 2 3a
+
2 13
S
F
A
R
D
H
I
K
B
E
C
Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ bản là : Tính
khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI). Việc làm này giúp bài toán trở nên
đơn giản hơn rất nhiều
Ví dụ 7) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a . Mặt bên SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Biết AC vuông góc với SD
tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
Giải:
- Tính thể tích khối chóp SABCD
NGUYỄN TRUNG KIÊN
32
33. Gọi H là trung điểm AB, O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ; SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
AB 3
= a 3.
2
và SH =
Gọi M là trung điểm của SB thì góc tạo bởi OM và AC cũng là góc tạo bởi SD và AC . Suy
ra MOC = 900 .
Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ MC 2 = BC 2 + MB 2 = BC 2 + a 2 .
OM 2 =
1
1
1
1
1
SD 2 = SC 2 = ( BC 2 + 4a 2 ), OC 2 = AC 2 = ( BC 2 + 4a 2 )
4
4
4
4
4
Như vậy tam giác MOC vuông cân tại O ⇒ MC 2 = 2OC 2 ⇔ BC 2 + a 2 =
1
( BC 2 + 4a 2 )
2
⇔ BC 2 = 2a 2 ⇒ BC = a 2.
Thể tích hình chóp S.ABCD là
1
1
1
2a 3 6
VS . ABCD = S ABCD .SH = AB. AD.SH = 2a.a 2.a 3 =
3
3
3
3
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD,SC:
Gọi N là trung điểm của SA thì SC / /( BDN ) ⇒ d SC / BD = d SC /( BDN ) = dC /( BDN ) = d A/( BDN )
Kẻ NK / / SH ⇒ NK ⊥ ( ABCD) ⇒ d A/( BDN ) = 2d K /( BDN )
KE ⊥ BD
⇒ KF ⊥ ( BDN ) ⇒ d K /( BDN ) = KF =
Kẻ
KF ⊥ NE
Có KN =
KE.KN
KE 2 + KN 2
a 3
3
3
AB. AD
6a
, KE = AQ = .
=
2
4
4 AB 2 + AD 2
4
Thay số ta tính được KF =
Vậy d ( BD, SC ) = 2 KF =
a 6
6
a 6
3
NGUYỄN TRUNG KIÊN
33
34. S
N
A
M
K
D
F
H
E
B
Q
O
C
Chú ý: Trong bài toán này ta đã dựng đường cao NK để quy về bài toán cơ bản.
Phần 6
Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường
thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b.
Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc tạo bởi b và c.
Hoặc ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a và b. Sau đó ta
tính góc giữa c và d theo định lý hàm số côsin cos A =
b2 + c2 − a 2
hoặc theo hệ thức lượng
2bc
trong tam giác vuông.
Ví dụ 1) Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông
tại A , AB = a , AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt phẳng ( ABC ) là trung
điểm của cạnh BC , Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC và tính côsin góc tạo bởi AA ' và
B ' C ' . (TSĐH A 2008)
HD giải :
Gọi H là trung điểm của BC . Suy ra A ' H ⊥ ( ABC ) và
NGUYỄN TRUNG KIÊN
34
35. AH =
1
1 2
BC =
a + 3a 2 = a Do đó A ' H = A ' A2 − AH 2 = a 3.
2
2
VA ' ABC =
1
a3
A ' H .S△ ABC =
3
2
Trong tam giác vuông A ' B ' H ta có HB ' =
A ' B 2 + A ' H 2 = 2a nên tam giác B ' BH cân tại
a
1
B ' . Đặt α là góc tạo bởi AA ' và B ' C ' thì α = B ' BH ⇒ cos α =
=
2.2a 4
Tel 0988844088
A'
C'
B'
A
C
H
B
Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a, SB = a 3 mặt
phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC . Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính cosin góc tạo bởi SM và DN .
Hd giải:
Hạ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
SH cũng chính là đường cao khối chóp SBMDN . Ta có SA2 + SB 2 = AB 2 ⇒ ∆SAB vuông tại
S ⇒ SM =
AB
a 3
= a ⇒ ∆SAM là tam giác đều ⇒ SH =
2
2
Dễ thấy S BMDN =
1
1
3a 3
S ABCD = 2a 2 . Do đó V(SBMDN)= VSBMND = SH .S BMDN =
2
3
3
NGUYỄN TRUNG KIÊN
35
36. Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra AE =
a
2
Giả sử góc tạo bởi SM và DN là α ⇒ α = ( SM , ME ).
Ta có SA vuông góc với AD (Định lý 3 đường vuông góc ) suy ra SA ⊥ AE ⇒
SE = SA2 + AE 2 =
a 5
a 5
Tam giác SME cân tại E nên cos
, ME = AM 2 + ME 2 =
2
2
SM
5
α= 2 =
ME
5
S
A
E
D
H
M
B
N
C
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = 3a, AC = 4a .
Cạnh bên SA = 2a, SAB = SAC = 600 . Tính thể tích khối chóp SABC và cosin của góc giữa hai
đường thẳng SB và AC
Giải:
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC )
Kẻ HI ⊥ AB; HJ ⊥ AC ; do tam giác ABC vuông tại A nên HI / / AJ và HJ / / AI
Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SI ⊥ AB và SJ ⊥ AC
Hai tam giác vuông SIA và SJA bằng nhau, vì có SA là cạnh chung và SAB = SAC = 600
NGUYỄN TRUNG KIÊN
36
37. Do đó SI = SJ = SA sin 600 = a 3 và AI = AJ = SA cos 600 = a , từ đó HI = HJ
Suy ra AH là đường phân giác trong của góc A
Vậy tứ giác AIHJ là hình vuông cạnh bằng a .
Khi đó AH = a 2
Tam giác SHA vuông tại H, ta có: SH = SA2 − AH 2 = 4a 2 − 2a 2 = a 2
Diện tích tam giác ABC là: S ABC =
1
1
AB. AC = 3a.4a = 6a 2
2
2
1
1
Thể tích khối chóp VSABC = SH .S ABC = a 2.6a 2 = 2 2a 3 (đvtt)
3
3
S
M
J
A
I
C
H
B
- Tính góc tạo bởi 2 đường thẳng:
(
) (
)
Kí hiệu ϕ là góc tạo bởi 2 đường thẳng AC , SB . Kẻ IM / / SB ⇒ AC , SB = IH , IM = ϕ
Tính được SB = SI 2 + IB 2 = 3a 2 + 4a 2 = a 7
Mặt khác
IM AM
AI 1
a 7
2
=
=
= ⇒ IM =
, AM = a
SB
AS
AB 3
3
3
Do SH = AH = a 2 ⇒ ∆SHA vuông cân tại H .
NGUYỄN TRUNG KIÊN
37
38. Trong tam giác AMH ta có :
HM 2 = AH 2 + AM 2 − 2 AH . AM .cos 45 = 2a 2 +
4a 2
2a 1 10a 2
− 2 2a. .
=
9
3
9
2
7 2 10a 2
a + a −
IH 2 + IM 2 − HM 2
9
9 = 7 ⇒ cos ϕ = 7
Ta có cos HIM =
=
2 IH .IM
7
7
a 7
2.a.
3
2
PHẦN 7) CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
Để giải quyết tốt dạng bài tập này học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản sau:
** Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SA1 A2 .. An thì tâm I cách đều các đỉnh
S ; A1; A2 ..... An
- Vì vậy tâm I thuộc trục đường tròn đáy là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy và
vuông góc với đáy A1 A 2 ... An (đường thẳng này song song với đường cao khối chóp) (Phải chú ý
việc chọn mặt đáy cần linh hoạt sao cho khi xác định trục đường tròn đáy là đơn giản nhất)
- Tâm I phải cách đều đỉnh S và các đỉnh A1; A2 ..... An nên I thuộc mặt phẳng trung trực của SAi
đây là vấn đề khó đòi hỏi học sinh cần khéo léo để chọn cạnh bên sao cho trục đường tròn đã xác
định và cạnh bên đồng phẳng với nhau để việc tìm I được dễ dàng
** Trong một số trường hợp đặc biệt khi khối chóp có các mặt bên là tam giác cân, vuông, đều ta
có thể xác định 2 trục đường tròn của mặt bên và đáy . Khi đó tâm I là giao điểm của 2 trục
đường tròn. Nếu hình chóp có các đỉnh đều nhìn cạnh a dưới một góc vuông thì tâm mặt cầu là
trung điểm của cạnh a.
** Khi tính toán cần lưu ý các công thức:
S=
abc
abc
; a = 2 R sin A,...
⇒R=
4R
4S
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,
AB = BC = a; AD = 2a .Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SA = a . Gọi E là trung
điểm của AD .Tính thể tích khối chóp SCDE và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
đó.
HD giải:
NGUYỄN TRUNG KIÊN
38
39. S
O
M
A
E
D
K
N
I
B
C
V =
a3
6
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SE và SC ta có mặt phẳng ( ABMN ) là mặt phẳng trung
trực của SE . Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE là giao điểm của mặt phẳng
( ABMN ) và trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE . Gọi ∆ là đường thẳng qua trung điểm I
của CD và song song với SA .Gọi K là trung điểm của AB thì KN //AM vì KN và ∆ đồng
phẳng suy ra KN ∩ ∆ = O là điểm cần tìm
Tam giác OIK vuông cân nên OI = IK =
Ta có OC 2 = OI 2 + IC 2 =
BC + AD 3a
;
=
2
2
9a 2 2a 2 11a 2
a 11
+
=
⇒ R = OC =
4
4
4
2
Trong ví dụ này ta dựng mặt phẳng trung trực của SE để tận dụng điều kiện tam giác SAE
vuông cân ở A
Nếu biết chọn đỉnh và đáy hình chóp hợp lý ta có một cách giải khác đơn giản hơn như sau:
Ta coi SED là mặt đáy của khối chóp CSED . Gọi J là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SED .
Thì J nằm trên đường trung trực Kx của ED . Vị trí J được xác định theo hệ thức
JE = R1 =
SE.ED.SD a.a 2.a 5 a 10
=
=
4 S∆SED
2.a.a
2
NGUYỄN TRUNG KIÊN
39
40. Qua J kẻ đường thẳng Jy ⊥ ( SED ) thì Jy / / CE . Trong mặt phẳng (CEJ ) kẻ đường trung trực
của CE cắt Jy tại O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Ta có bán kính mặt cầu là
CE 2
a 2 10a 2 11a 2
11a
2
R = OE = OJ + JE =
+ R1 =
+
=
⇒R=
4
4
4
4
2
2
2
2
2
x
S
J
O
A
y
E
K
D
I
C
B
Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a; AD = a 2 góc
giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABCD ) bằng 600. Gọi H là trung điểm của AB . Biết mặt bên
( SAB ) là tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối
chóp SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAHC
Giải:
- Ta có SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .Kẻ HM vuông góc với AC thì góc tạo bởi (SAC) và
ˆ
(ABCD) là SMH = 600
BC a a 2 a 6
a 2
ˆ
Có HM = AH sin HAM = AH
=
=
; SH = HM tan 600 =
AC 2 a 3
6
2
VSABCD
1
a3
= SHdt ( ABCD ) =
3
3
NGUYỄN TRUNG KIÊN
40
41. S
y
I
x
E
A
D
M
K
J
H
B
C
Gọi J, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Ta có
r=
AH .HC. AC AH .HC. AC 3a 3
=
=
.
4 S AHC
2 S ABC
4 2
Kẻ đường thẳng ∆ qua J và ∆ // SH . Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. AHC là
giao điểm của đường trung trực đoạn SH và ∆ trong mặt phẳng (SHJ). Ta có
IH = IJ 2 + JH 2 =
Suy ra bán kính mặt cầu là R = a
SH 2
+ r2 .
4
31
.
32
Ví dụ 3) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, DA = DB =
a
3
, CD vuông góc
ˆ
với AD .Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E sao cho AEB = 900 .Tính góc tạo bởi mặt phẳng
( ABC ) và mặt phẳng ( ABD) . Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện
ABCE
Giải:
- Gọi I là trung điểm của AB thì CI vuông góc với AB và DI vuông góc với AB . Nên góc
tạo bởi ( ACD) và ( ABD) là CID .Do hai tam giác ACD và BCD bằng nhau nên
a 3
a2 a2 a2
2
2
2
BDC = ADC = 90 ⇒ CD ⊥ ( ABD ) ⇒ CD ⊥ DI ; CI =
; DI = DA − AI =
−
=
2
3
4 12
0
NGUYỄN TRUNG KIÊN
41
42. cos CID =
DI
a a 3 1
=
:
=
CI
3
2 2
- Tam giác vuông ACD có CD 2 = CA2 − DA2 = a
AE =
a 2
⇒ DE =
2
AE 2 − DA2 =
a
6
2
. Tam giác ABE vuông cân, do đó
3
; ∆ACE có AD là đường cao và
a2
CD.DE =
= DA2 ⇒ ∆ACE vuông tại A .
3
Tương tự ta có tam giác BCE vuông tại B . Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE có CE là
đường kính tâm I của mặt cầu là trung điểm của CE . Bán kính
3
a a 6
1
1 2
4
4 a 6 π a3 6
R = (CD + DE ) = a
+
⇒ V = π R3 = π
=
=
2
2 3
4
3
3 4
8
6
E
D
C
A
I
B
Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và đường cao là
SH với H thỏa mãn HN = −3HM trong đó M , N là trung điểm của AB, CD . Mặt phẳng
( SAB ) tạo với đáy ABCD góc 600. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( SAC ) và xác định
thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra H là trung điểm của MO và
MH =
a
a 3
a
; AB ⊥ HM ⇒ AB ⊥ SM ⇒ SMH = 600 ⇒ SH =
⇒ SM = ⇒ ∆SAB vuông cân
4
4
2
NGUYỄN TRUNG KIÊN
42
43. tại S và SA = SB =
3VSNAC
a 2
. Ta có d ( N / ( SAC )) =
. Kẻ HK ⊥ AC thì HK / / BD và
2
dt ( SAC )
a 14
1
7a2
ˆ
ˆ
KHO = KOH = 450 ⇒ SK =
⇒ dt ( SAC ) = AC.SK =
8
2
8
1
3 3
a 21
VSNAC = SH .dt ( NAC ) =
a ⇒ d ( N / ( SAC )) =
3
48
14
Trục đường tròn đáy là đường thẳng ( d ) qua O và / / SH ⇒ d ⊂ ( SMN ) . Vì tam giác SAB
vuông cân tại S nên trục d’ của tam giác SAB qua M và vuông góc với SAB . Theo trên ta có
( SAB ) vuông góc với ( SMH ) nên kẻ HE vuông góc với SM thì HE ⊥ ( SAB ) nên d '/ / HE .
Như vậy d '∩ d = I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD . Ta có
a 3
a 2 a 2 7a 2
a 21
ˆ
⇒ R 2 = IA2 = OA2 + OI 2 =
+
=
⇒R=
OMI = 300 ; OI = OM tan 30 =
6
2 12 12
6
4π
Thể tích khối cầu là: V =
3
3
a 21
3 7 21
6 = π a 54 .
S
A
D
E
M
O
H
N
K
C
B
I
PHẦN 8. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN
Để giải quyết tốt dạng toán này học sinh cần lưu ý các tính chất và các bất đẳng thức cơ
bản:
1) sin ϕ , cos ϕ ∈ [ − 1;1]
2) Nếu tích ab = M không đổi và a, b > 0 thì a + b ≥ 2 ab = 2 M , a + b không đổi và
NGUYỄN TRUNG KIÊN
43
44. ( a + b) 2 N 2
=
4
4
3) Cho đường thẳng ∆ và một điểm M không thuộc ∆ . Khi đó với điểm N bất kỳ thuộc
∆ ta có MN ≥ MH trong đó H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆
4) Cho đường tròn (C ) và dây cung AB cố định. Khi đó khoảng cách từ điểm M bất kỳ
a, b > 0 ab ≤
thuộc đường tròn đến dây cung AB là lớn nhất khi M thuộc đường thẳng qua tâm của
đường tròn và vuông góc với dây cung AB ....
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C và SA vuông góc với
đáy SC = c . Hãy tìm góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Lời giải:
(
)
Giả sử α 00 < α < 900 là góc hợp bởi hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC )
BC ⊥ AC
Ta có:
⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ SC
BC ⊥ SA
Do đó: SCA = α
Trong tam giác vuông SAC , ta có: BC = AC = SC cos α = a cos α ; SA = SC sin α = a sin α
(
)
1
1
1
Thể tích khối chóp SABC là: V = S ABC .SA = a 3 cos 2 α .sin α = a 3 1 − sin 2 α .sin α
3
3
3
Đặt t = sin α , do 00 < α < 900 nên 0 < sin α < 1 ⇒ t ∈ ( 0;1)
(
)
(
)
1
1
1
Ta có: V = a 3 1 − t 2 t , t ∈ ( 0;1) ;V ' = a 3 1 − 3t 2 ⇒ V ' = 0 ⇔ t =
3
3
3
Lập BBT ta thấy: max V =
1
1
2a 3 3
1
, khi t =
⇔ sin α =
⇒ α = arcsin
27
3
3
3
Cách khác: Theo BĐT Cauchy ta có:
V2 =
(
1 6
1
a cos 4 α .sin 2 α = a 6 1 − sin 2 α
9
9
)
2
.sin 2 α
NGUYỄN TRUNG KIÊN
44
45. 3
1 − sin 2 α 1 − sin 2 α
+
+ sin 2 α
6
2
2
6
4a 1 − sin α 1 − sin α
4a
4a 6
2
2
2
=
=
.
.
.sin α ≤
9
2
2
9
3
243
⇒V ≤
2a 3 3
27
⇒ max V =
2a 3 3
1 − sin 2 α
1
1
, đạt được khi:
= sin 2 α ⇔ sin α =
⇒ α = arcsin
27
2
3
3
S
A
B
α
C
Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( SBC )
bằng 2a . Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối
chóp nhỏ nhất?
Lời giải:
Gọi O = AC ∩ BD và M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC
Do AD / / ( SBC ) nên d ( A, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) )
BC ⊥ MN
Ta có:
⇒ BC ⊥ ( SMN )
BC ⊥ SN
Mà BC ⊂ ( SBC ) nên ( SBC ) ⊥ ( SMN ) theo giao tuyến SN
NGUYỄN TRUNG KIÊN
45
46. Trong tam giác SMN kẻ đường cao MH thì MH ⊥ ( SBC )
Do đó: d ( A, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) = MH = 2a
(
)
Giả sử α 00 < α < 900 là góc hợp với mặt bên ( SBC ) và đáy hình chóp thì SMN = α .
Trong tam giác vuông MHN , ta có: AB = MN =
MH
2a
=
sin α sin α
Trong tam giác vuông SON , ta có: SO = ON tan α =
a
a
.tan α =
sin α
cos α
Thể tích khối chóp SABCD là:
1
1 4a 2
a
4a3
4a 3
V = S ABCD .SO = . 2 .
=
=
3
3 sin α cos α 3sin 2 α .cos α 3 1 − cos2 α cos α
(
)
Đặt t = cos α , do 00 < α < 900 nên 0 < cos α < 1 ⇒ t ∈ ( 0;1)
Ta có: V =
V'=
(
4a 3
)
3 1− t2 t
(
, t ∈ ( 0;1)
) ;V ' = 0 ⇔ t =
4a3 3t 2 − 1
(
3 t − t3
)
2
1
3
Lập BBT ta thấy: min V = 2a 3 3 , khi t =
1
3
⇔ cos α =
1
3
⇒ α = arccos
1
3
S
D
N
A
C
M
O
B
NGUYỄN TRUNG KIÊN
46
47. Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc
với đáy. M là một điểm di động trên cạnh CD, H là hình chiếu của đỉnh S lên BM . Tìm vị trí
của điểm M trên CD để thể tích khối chóp SABH là lớn nhất.
Lời giải:
S
A
B
H
D
C
M
Đặt CM = x ( 0 < x ≤ a ) , ta có: BM = a 2 + x 2
1
1
a2
S ABM = S ABCD − S BCM = a 2 − a ( a − x ) − ax =
2
2
2
Mặt khác: S ABM =
a2
1
2S
BM . AH ⇒ AH = ABM =
2
BM
Trong tam giác vuông ABH , ta có: BH =
Diện tích tam giác ABH là: S ABH
a2 + x2
AB 2 − AH 2 = a 2 −
a +x
2
2
=
1
1
a2
ax
= AH .BH = .
.
=
2
2 a2 + x2 a2 + x2
1
a3hx
Thể tích khối chóp SABH là: V = S ABH .SA =
3
6 a2 + x2
(
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
a4
ax
a2 + x2
a3 x
a2 + x2
)
a 2 + x2 a2
a2
x
1
=
+x≥2
.x = 2 a ⇒ 2
≤
x
x
x
a + x 2 2a
NGUYỄN TRUNG KIÊN
47
48. ⇒V ≤
a 2h
a 2h
a2
, đạt được khi
⇒ max V =
= x⇔ x =a.
12
12
x
Cách khác:
1
Thể tích khối chóp SABH là: V = S ABH .SA . Mà SA không đổi nên thể tích V lớn nhất khi
3
S ABH lớn nhất.
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
a 2 = AB 2 = AH 2 + BH 2 ≥ 2 AH .BH ⇒ S ABH =
⇒ max S ABH =
1
a2
AH .BH ≤
2
4
a2
, đạt được khi AH = BH , suy ra tam giác ABH vuông cân tại H . Khi đó
4
M ≡D
Vậy M ≡ D thì thể tích khối chóp S ABH lớn nhất và thể tích lớn nhất đó là:
1
a2h
.
V = S ABH .SA =
3
12
Ví dụ 4) Cho đường tròn tâm O đường kính AB nằm trong mặt phẳng ( P ) và một điểm C di
động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( P ) tại A lấy một điểm S .
Mặt phẳng ( Q ) qua A vuông góc với SB tại H cắt SC tại K . Tìm vị trí của điểm C để thể
tích khối chóp SAHK lớn nhất.
Lời giải:
S
K
H
O
B
A
C
NGUYỄN TRUNG KIÊN
48
49. BC ⊥ AC
Ta có:
⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AK
BC ⊥ SA
Mặt khác: AK ⊥ SC
(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: AK ⊥ ( SBC )
Do đó: AK ⊥ SB và AK ⊥ HK
SB ⊥ AH
Từ đó ta có:
⇒ SB ⊥ ( AHK )
SB ⊥ AK
Tam giác SAB vuông cân tại A nên H là trung điểm của SB
Ta có: SB = SA 2 = 2 R 2 ⇒ AH =
1
SB = R 2
2
1
Thể tích khối chóp SAHK là: V = S SAHK .SH .
3
Do SH không đổi nên VSAHK lớn nhất khi S AHK lớn nhất
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2 R 2 = AH 2 = AK 2 + HK 2 ≥ 2 AK .HK ⇒ S AHK =
⇒ max S AHK =
1
R2
AK .HK ≤
2
2
R2
, đạt được khi AH = HK = R
2
Trong tam giác vuông SAC , ta có:
Đặt ϕ = BAC , ta có: cos ϕ =
1
AK
2
=
1
2
SA
+
1
AC
2
⇔
1
R
2
=
1
4R
2
+
1
AC
2
⇒ AC =
2R 3
3
AC
3
=
AB
3
Vậy có hai vị trí của điểm M trên đường tròn sao cho cos ϕ =
3
thì thể tích khối chóp SAHK
3
đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó: max VSAHK =
R3 2
.
6
NGUYỄN TRUNG KIÊN
49
50.
x 3
Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có cạnh SB = x , tất cả các cạnh còn lại bằng a a >
3
1. Tính thể tích khối chóp theo a và x
2. Xác định x để khối chóp có thể tích lớn nhất.
Lời giải:
S
A
D
O
B
H
C
1) Tính thể tích khối chóp:
Tứ giác ABCD có các cạnh đều bằng nhau và bằng a nên là hình thoi.
Gọi O = AC ∩ BD
Hai tam giác SAC và ABC bằng nhau vì có AC là cạnh chung và SA = SC = BA = BC = a
Do đó: OB = OD = OS
Suy ra tam giác SBD vuông tại S
Từ đó BD = SB 2 + SD 2 = x 2 + a 2
Trong tam giác OAB vuông tại O , ta có:
AC = 2OA = 2 AB 2 − OB 2 = 2 a 2 −
Diện tích hình thoi ABCD là: S ABCD =
(
)
1 2
x + a 2 = 3a 2 − x 2
4
1
1
AC .BD =
3a 2 − x 2 . x 2 + a 2
2
2
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD
NGUYỄN TRUNG KIÊN
50
51. Ta có: SA = SC = 1 nên HA = HC , suy ra H thuộc đường trung trực của đoạn AC
Mà ABCD là hình thoi nên BD là đường trung trực của AC , tức H thuộc BD
Tam giác SBD vuông tại S , ta có: SH .BD = SB.SD ⇒ SH =
SB.SD
=
BD
ax
x + a2
2
Thể tích khối chóp SABCD là:
1
1
ax
1
3a 2 − x 2 . a 2 + x 2 .
= ax 3a 2 − x 2
VABCD = S ABCD .SH =
3
6
a2 + x2 6
2) Xác định x để khối chóp có thể tích lớn nhất.
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: VSABCD
⇒ max VSABCD =
Vậy khi x =
1
a x 2 + 3a 2 − x 2 a 3
2
2
= ax 3a − x ≤
=
4
6
6
2
a3
a 6
, đạt được khi x 2 = 3a 2 − x 2 ⇔ x =
.
4
2
a 6
thì thể tích của khối tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất.
2
Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng ( ABCD ) và SA = a; M và N là hai điểm lần lượt di động trên cạnh BC và CD
sao cho góc MAN = 450 . Đặt BM = x và DN = y ( 0 ≤ x ≤ a;0 ≤ y ≤ a ) . Chứng minh rằng
a ( x + y ) = a 2 − xy . Tìm x, y sao cho thể tích của khối chóp SAMN có giá trị bé nhất.
Lời giải:
+) Chứng minh a ( x + y ) = a 2 − xy
Goi BAM = α ; DAN = β thì α + β = 450 , với 0 ≤ α , β ≤ 450
Ta có: tan α =
x
y
; tan β =
a
a
x y
+
tan α + tan β
Mặt khác: tan (α + β ) =
⇔ tan 450 = a a
x y
1 − tan α .tan β
1− .
a a
NGUYỄN TRUNG KIÊN
51
52. ⇔1=
a ( x + y)
⇔ a 2 − xy = a ( x + y )
a − xy
2
(đpcm)
+) Tìm x, y để cho thể tích của khối chóp SAMN có giá trị bé nhất:
Ta có: AM = a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 α =
a
a
; AN = a 2 + y 2 = a 2 + a 2 tan 2 β =
cos α
cos β
1
1
a3 2
0
Thể tích khối chóp SAMN là: V = S AMN .SA = AM . AN .sin 45 .SA =
3
6
12 cos α cos β
Ta có: α + β =
π
4
⇒β =
π
4
− α nên
2
π
cos α .cos β = cos α .cos − α =
cos α ( cos α + sin α )
4
2
(
)
2
2
cos 2 α + sin α .cos α =
(1 + cos 2α + sin 2α )
2
4
2 1
2 1
π
=
+ sin 2α + ≤
+
4 2
4 4 2
=
Do đó: V ≥
2 −1 3
a3 2
=
a
2 1 3
12
+
4 2
2 −1 3
π
π
, đạt được khi sin 2α + = 1 ⇔ α = = β
⇒ min V =
3 a
4
8
⇔ x = y = a tan
π
8
=
Vậy khi ⇔ x = y =
(
(
)
2 −1 a
)
2 − 1 a thì thể tích khối chóp SAMN nhỏ nhất.
NGUYỄN TRUNG KIÊN
52
53. S
A
D
45°
N
B
M
C
Ví dụ 7) Cho tam giác đều OAB có cạnh AB = a . Trên đường d đi qua O và vuông góc với
mặt phẳng ( OAB ) lấy một điểm M với OM = x . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A lên MB và OB . Đường thẳng EF cắt d tại N .
1. Chứng minh rằng AN ⊥ BM
2. Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Giải:
1. Chứng minh: Chứng minh rằng AN ⊥ BM
AF ⊥ OB
Ta có
⇒ AF ⊥ (OBM ) ⇒ AF ⊥ BM
AF ⊥ OM
Mặt khác BM ⊥ AE ⇒ BM ⊥ ( AEF ) ⇒ BM ⊥ AN
2. Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Thể tích tứ diện ABMN là
1
VABMN = VMOAB + VNOAB = (OM + ON ).S ∆OAB
3
Ta thấy rằng ∆OMB ∼ ∆OFN ⇒
ON OF
OF .OB a 2
=
⇒ ON =
=
OB ON
OM
2x
1
a2 a2 3
Do đó VABMN = x +
.
.
3
2x 4
NGUYỄN TRUNG KIÊN
53
54. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x +
a2
a2
6a 3
≥ 2 x.
= 2a ⇒ VABMN ≥
2x
2x
12
a2
a 2
Dấu bằng xảy ra khi x =
⇔x=
2x
2
M
F
E
B
O
A
N
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng a 7 , góc tạo bởi 2 mặt phẳng
( SBC ) và ( ABC ) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC theo a .
ĐS: V = 3a 3
ˆ
ˆ
ˆ
Bài 2: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a và ASB = BSC = CSA = 600 . Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( SBC )
1) Chứng minh rằng SH là phân giác của góc BSC
2) Tính thể tích khối tứ diện SABC
ĐS: V =
a3 2
12
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a , góc hợp bởi mặt bên và đáy là
600. Tính thể tích của khối chóp đã cho.
NGUYỄN TRUNG KIÊN
54
55. ĐS: V =
4a 3 15
75
Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a . Hai mặt
bên ( SAB ), ( SAD ) cùng vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600.
1) Tình thể tích của khối chóp
2) Tính góc tạo bởi 2 mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD )
2a 3 15
ĐS: V =
; ϕ = arctan 15
3
Bài 5: Cho đường tròn đường kính AB = 2 R nằm trong mặt phẳng ( P ) và một điểm M nằm
trên đường tròn đó sao cho ABM = 300 . Trên đường thẳng vuông góc với ( P ) tại điểm A lấy
điểm S sao cho SA = 2 R . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và
SM
1) Chứng minh rằng SB vuông góc với mặt phẳng ( AHK )
2) Gọi I là giao điểm của HK với ( P ) . Hãy chứng minh IA là tiếp tuyến của đường trong
đã cho.
3) Tính thể tích của khối chóp SAHK
2R3 3
ĐS: V =
15
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với đáy và SA = a 2 . Trên AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ACM = α . Hạ SN vuông góc
với CM
1) Chứng minh N luôn luôn thuộc một đường tròn cố định và tình thể tích tứ diện SACN
theo a và α
2) Hạ AH vuông góc với SC và AK vuông góc với SN . Chứng minh rằng SC vuông
góc với mặt phẳng ( AHK ) và tính độ dài đoạn HK
ĐS: V =
2 3
a cos α
a sin 2α ; HK =
6
1 + sin 2 α
Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , AC = a, AB = 2a , cạnh
SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng ( SBC ) bằng 600. Gọi H , K
lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC . Chứng minh rằng AK vuông góc với HK và tính
thể tích khối chóp SABC
NGUYỄN TRUNG KIÊN
55
56. ĐS: V =
a3 6
12
Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A , AB = a . Mặt bên
qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy , hai cạnh bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc
bằng nhau và bằng 600. Hãy tính thể tích của khối chóp SABC
ĐS: V =
a3 6
6
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB, BC , CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP
ĐS: V =
a3 3
96
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi O là tâm của đáy, I là trung
điểm của AB . Góc hợp bởi SC và đáy là α .
1) Tính thể tích của khối chóp SABCD theo a và α
2) Tính thể tích khối tứ diện SOCD theo a và α
3) Tính khoảng cách từ I đến mặt bên ( SCD ) . Suy ra thể tích khối tứ diện SICD
ĐS: VSABCD
a3 5
a3 5
a 5 tan α
a3 5
=
tan α ;VSOCD =
tan α ; d =
;VSICD =
tan α
6
24
12
5 tan 2 α + 4
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt phẳng ( SAC )
vuông góc với đáy, góc ASC = 900 và SA tạo với đáy một góc ϕ . Tính thể tích của khối chóp
SABCD
ĐS: VSABCD
a3 2
=
sin 2ϕ
6
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai đường
chéo AC và BD là 600, các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a . Tính thể tích
của khối chóp theo a .
NGUYỄN TRUNG KIÊN
56
57. ĐS: VSABCD =
a3
8
2a
. Trên đường thẳng
3
vuông góc với mặt phẳng ( P ) và đi qua giao điểm H của hai đường chéo của hình thoi trên
Bài 13: Trong mặt phẳng ( P ) cho hình thoi ABCD có AB = a và BD =
người ta lấy điểm S sao cho SB = a
1) Chứng minh rằng tam giác SAC là tam giác vuông
2) Tính thể tích của khối chóp SABCD
3) Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD) vuông góc với nhau
ĐS: VSABCD =
4a 3 3
27
ˆ
Bài 14: Cho hình chóp SABC có cạnh SA = a và SB + SC = 3a . Góc BAC = 900 và
BSC = CSA = ASB = 600 . Tính thể tích khối chóp SABC theo a .
ĐS: VSABC
a3 2
=
12
Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với đáy một góc
600. Mặt phẳng ( P ) chứa cạnh AB và tạo với đáy một góc 300 cắt SC , SD lần lượt tại M , N
1) Tính theo a tứ diện tứ giác ABMN
2) Tính thể tích khối chóp SABMN theo a
ĐS: S ABMN =
3a 2 3
a2 3
;VSABMN =
8
16
Bài 16: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a , và cạnh bên SA = a 5 . Mặt
phẳng ( P ) chứa cạnh AB và vuông góc với mặt phẳng ( SCD ) cắt SC và SD lần lượt tại C ' và
D'
1) Tính diện tích tứ giác ADC ' D '
2) Tính thể tích hình đa diện ABCDD ' C '
3a 2 3
5a 3 3
ĐS: S ABC ' D ' =
;VABCDD'C' =
2
6
NGUYỄN TRUNG KIÊN
57
58. Bài 17: Khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA ⊥ ( ABCD ) ; SA = 2a . Gọi E , F là
hình chiếu của A trên SB và SD . I là giao điểm của SC và ( AEF ) . Tính thể tích khối chóp
SAEIF .
16a 3
ĐS:
45
Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 đáy là tam giác đều. Mặt phẳng ( A1BC ) tạo với đáy 1
góc 300 và tam giác A1BC có diện tích bằng 8a 2 . Tính thể tích khối lăng trụ.
ĐS: 8 3a 3
Bài 19: Khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền AB = 2a . Mặt
phẳng ( AA1B ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , AA1 = a 3 ; góc A1 AB nhọn, góc tạo bởi
( A1 AC )
và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ.
ĐS: V =
3 5 3
a
10
Bài 20: Cho hình chóp tam giác đều SABC đỉnh S , độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt
phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) .
ĐS: S =
a 2 10
16
Bài 21: Cho hình chóp SABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tam giác
ABC có AB = BC = 2a , góc ABC = 1200 . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( SBC ) .
ĐS:
Bài 22: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA
vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên
các đường thẳng SB và SC
a) Tính khoảng cách t ừ A đến mặt phẳng ( SBC )
b) Tính thể tích của khối chóp ABCMN .
NGUYỄN TRUNG KIÊN
58
59. ĐS: a )
2 57 a
3 3a 3
; b)
19
50
Bài 23: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng 2a
. Góc giữa các mặt bên và mặt đáy là α .
a) Tính thể tích khối chóp theo a và α
b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ nhất.
4a 3
3
ĐS:
; cos α =
2
3cos α .sin α
3
Bài 24: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = a 2 ,
SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD
và SC , I là giao điểm của BM và AC .
a) Chứng minh rằng mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( SMB ) .
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB .
ĐS: V =
a3 2
36
Bài 25: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a ,
AA ' = 2a , A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và
A'C
a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( IBC )
ĐS: V =
4a 3
2a 5
;d =
9
5
Bài 26: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = AD = 2a ,
CD = a , góc giữa 2 mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD
. Biết 2 mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , tính thể tích khối
chóp SABCD theo a .
ĐS: V =
3 15 3
a
5
NGUYỄN TRUNG KIÊN
59
60. Bài 27: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có BB ' = a , góc tạo bởi BB ' và mặt phẳng
( ABC ) là 600, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC =600. Hình chiếu vuông góc của điểm
B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện
A ' ABC theo a .
ĐS: V =
9a 3
208
Bài 28: Trong không gian cho hình chóp tam giác đều SABC có SC = a 7 . Góc tạo bởi
( ABC ) và ( SAB )
=600. Tính thể tích khối chóp SABC theo a .
ĐS: V = 3a 3
Bài 29: Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC =
a 3
. M là trung điểm của AD . ( P ) là
2
mặt phẳng qua BM và song song với SA , cắt SC tại K . Tính thể tích khối chóp KABCD .
600, SO vuông góc với đáy ( O là tâm mặt đáy), SO =
ĐS: V =
a3
6
Bài 30: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật, AD = a 2, CD = 2a. Cạnh SA vuông
góc với đáy và SA = 3 2a. Gọi K là trung điểm AB .
a) Chứng minh rằng ( SAC ) vuông góc với ( SDK )
b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a ; tính khoảng cách từ K đến ( SDC ) .
ĐS: V = 2a 3 ; h =
3 5a
10
Bài 31: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc
của A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O của tam giác ABC . Một mặt phẳng ( P ) chứa
BC và vuông góc với AA ' cắt lăng trụ theo 1 thiết diện có diện tích
a2 3
. Tính thể tích khối
8
lăng trụ
ĐS: V =
a3 3
12
NGUYỄN TRUNG KIÊN
60
61. Bài 32: Cho hình chóp SABC có AB = AC = a ; BC =
a
; SA = a 3 ; góc SAB bằng góc SAC
2
và bằng 300. Tính thể tích của khối chóp theo a .
a3
ĐS: V =
16
Bài 33: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác
SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên ( SCD ) bằng
a 3
.
6
a) Tính khoảng cách từ tâm của mặt đáy đến mặt bên ( SCD )
b) Tính thể tích của khối chóp SABCD .
a 3
a3 3
ĐS: a )
; b)
4
6
Bài 34: Cho hình chóp SABC có đường cao AB = BC = a ; AD = 2a . Đáy là tam giác vuông cân
tại B . Gọi B ' là trung điểm của SB, C ' là chân đường cao hạ từ A xuống SC .Tính thể tích khối
chóp SAB ' C ' .
a3
ĐS:
36
Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên
AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC
a) Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCA ' B ' C '
b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B ' C .
a3 2
a 7
ĐS: a )
; b)
2
7
Bài 36: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA = a ;
SB = a 3 và
mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy. M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB
và BC . Tính thể tích khối chóp SBMDN và góc giữa ( SM ; ND ) .
ĐS: V =
a 3a 3
5
; cos ϕ =
3
5
NGUYỄN TRUNG KIÊN
61
62. Bài 37: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, góc BAD bằng góc ABC và bằng
900; AB = BC = a ; AD = 2a . SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của SA; SD . Tính thể tích khối chóp SABCD và khối chóp SBCMN .
ĐS: a )a 3 ; b)
a3
3
Bài 38: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB = a ; AC = a 3. và hình chiếu vuông góc của A ' trên ( ABC ) là trung điểm của cạnh
BC . Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA ' và B ' C ' .
a3
1
ĐS: V = ;cos α =
2
4
Bài 39: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB, BC , CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP .
ĐS: V =
a3 3
96
Bài 40: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và góc BAC = 1200 .
Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 . Chứng minh rằng MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng ( A1MB)
ĐS: d =
a 5
3
Bài 41: Cho hình chóp SABC có góc giữa 2 mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng 600 . Các tam
giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a . Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt
phẳng ( SAC )
ĐS: d =
3 13a
13
Bài 42: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O , SA vuông góc
với đáy SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Chứng minh
SC ⊥ ( AHK ) và tính thể tích khối chóp OAHK
NGUYỄN TRUNG KIÊN
62
63. ĐS: V =
2a 3
27
Bài 43: Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy là tam giác vuông AB = AC = a; AA1 = a 2. Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AA1 và BC1 . Chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung
của AA1 và BC1 . Tính thể tích khối chóp MA1BC1
ĐS: V =
a3 3
12
Bài 44: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a . M là trung điểm của
cạnh AA1 .. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa BM , B1C
ĐS: d =
a 10
30
Bài 45: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B , AB = BC =
AD
=a.
2
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB
a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông
b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD )
a
ĐS: h =
3
Bài 46: Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là 1 tam giác vuông. SA = SB = SC = a . Gọi
M , N , E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC , BC , D là điểm đối xứng của S qua E ,
I là giao điểm của AD và SMN
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với SI
b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI
a3
ĐS: V =
36
NGUYỄN TRUNG KIÊN
63
64. Bài 47: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có các cạnh AB = AD = a; AA ' =
a 3
và góc
2
BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A ' D ' và A ' B ' . Chứng minh AC ' vuông
góc với mặt phẳng ( BDMN ) và tính thể tích khối chóp ABDMN
ĐS: V =
3a 3
16
Bài 48: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh a và điểm K thuộc cạnh CC ' sao
2a
cho: CK =
. Mặt phẳng α đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành 2
3
khối đa diện. Tính thể tích của 2 khối đa diện đó.
ĐS: V1 =
a3
2a 3
;V2 =
3
3
Bài 49: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, AB = BC = a , BAD = ABC = 900
, AD = 2a , SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, AD .
Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp SBCNM theo a
ĐS: VSBCNM =
a3
3
Bài 50: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SC vuông góc
SM SN
với đáy và SC = 2a . Hai điểm M , N thuộc SB và SD sao cho
=
= 2 . Mặt phẳng
MB ND
( AMN ) cắt SC tại P . Tính theo a thể tích của khối chóp SAMPN
ĐS: VSAMPN =
2a 3
9
Bài 51: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , đường cao SA = a . M là
(
)
một điểm thay đổi trên SB , đặt SM = x 0 < x < a 2 . Mặt phẳng ( ADM ) cắt SC tại N .
1) Tứ giác ADMN là hình gì? Tính diện tích của tứ giác này theo a và x
NGUYỄN TRUNG KIÊN
64
65. 2) Mặt phẳng ( ADM ) chia hình chóp ra làm hai phần, một phần là hình chóp SADMN có
V 5
thể tích V1 và phần còn lại có thể tích V2 . Xác định giá trị của x để 1 =
V2 4
ĐS: S ADNM =
(
1
2a + x 2
4
)
x2 − a 2 x + a2 ; x =
2a 2
3
Bài 52: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA ' B ' C ' D ' có chiều cao bằng a . Mặt phẳng ( A ' BD )
hợp với mặt bên ( ABB ' A ') một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
ĐS: V = 2a 3
Bài 53: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Khoảng cách từ
AA ' đến mặt bên BCC ' B ' bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABC ') và bằng a . Mặt
phẳng ( ABC ') hợp với đáy một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ đó.
ĐS: V =
4a 3
3
Bài 54: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A . Mặt bên
( ABB ' A ') là hình thoi cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ( ACC ' A ') tạo
với đáy một góc α . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a và α
a3
ĐS: V = sin α
2
Bài 55: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O .
Hình chiếu của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) là O . Khoảng cách giữa AA ' và BC là a và góc
giữa hai mặt phẳng ( ABB ' A ') và ( ACC ' A ') bằng α . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C '
ĐS: V =
2a 3 tan 3
3 tan 2
α
2
α
2
−1
Bài 56: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
AB = a, BC = 2a . Mặt bên ( ABB ' A ') là hình thoi, mặt bên ( BCC ' B ') nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy, hai mặt phẳng này hợp với nhau một góc α . Tính thể tích khối lăng trụ đã
cho.
NGUYỄN TRUNG KIÊN
65
66. ĐS: V =
3a 3
cot α
2
Bài 57: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng
a 2 , đường chéo AC bằng a 7 biết tam giác AO ' C là tam giác vuông tại O ' ( O ' là tâm
hình thoi A ' B ' C ' D ' ).Tính thể tích của khối hộp
ĐS: V =
7 3
a
4
Bài 58: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a tâm O . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của SA, SC . Biết góc tạo bởi đường thẳng BM và ND là 600 . Tính thể tích khối
chóp SABCD
ĐS: V =
30a 3
30a 3
hoặc V =
6
18
Bài 59: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B có
AB = BC = a; AD = 2a , SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,
SB tạo với ( SAC ) góc 600. Gọi O là giao điểm AC và BD . Giả sử mặt phẳng ( P ) qua O
song song với SC cắt SA ở M . Tính thể tích khối chóp MBCD và khoảng cách từ điểm M
đến mặt phẳng ( SCD ) .
ĐS: VMBCD
6a 3
a 2
, d M /( SCD ) =
=
54
6
Bài 60: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh AA ' = a . Đường thẳng B ' C tạo với
đường thẳng AD một góc 600 , đường chéo B ' D tạo với mặt bên ( BCC ' B ') một góc 300 . Tính
thể tích khối chóp ACB ' D ' và cosin góc tạo bởi AC và B ' D
ĐS: VACB ' D '
1
3a 3
, cos ( AC , B ' D ) =
=
27
4 7
Bài 61: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a góc BAD = 600 . Đỉnh
a
S cách đều các điểm A, B, D . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) bằng . Tính thể
2
tích khối chóp SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SOAB
NGUYỄN TRUNG KIÊN
66
67. ĐS: VSABCD =
2a 3
a 7
, R=
12
8
Bài 62: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a , góc
ABC = 600 .Góc giữa mặt phẳng ( A ' BD ) và ( ABCD ) bằng 600.Tính thể tích khối chóp
C ' A ' AD và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD ' và A ' D theo a
a3
a 3
ĐS: V = , d =
8
4
Bài 63: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , SAB là tam giác
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SD tạo với ( SBC ) một góc α sao
2
. Gọi M là trung điểm của AB , mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với ( SAD)
5
cắt SA, SD, CD lần lượt ở N , E , F . Tính thể tích khối chóp SMNEF và xác định tâm , tính bán
cho cos α =
kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAMC theo a .
ĐS: VSMNEF =
3a 3
93a
, R=
8
6
Bài 64: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của AD, CD . Hình chiếu của S trên ABCD trùng với giao điểm của AN và BM .
Tính thể tích chóp SBCNM cùng khoảng cách giữa 2 đường thẳng BM và SC biết đường cao
SH = 2a .
ĐS: VSBMNC
5 2a 3
,
=
24
Bài 65: Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , đường cao SE với E là
trung điểm cạnh BC và SE = CE = 2a . Gọi M , N là trung điểm của SE , CE . Trên tia đối của
tia BA lấy điểm D sao cho ACD = α và ( 450 < α ≤ 900 ) . Gọi H là hình chiếu của S lên CD
a) Tính thể tích tứ diện EHMN theo a và α
b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SACD theo a khi thể tích tứ diện EHMN lớn
nhất.
1
4
160 5 3
ĐS: V = − .a 3 .cos 2α , V = π R 3 =
πa
6
3
3
NGUYỄN TRUNG KIÊN
67
68. Bài 66: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là một tam giác vuông tại B, BAC = 60° ,
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng a , khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B và
AC bằng
(
a 3+ 3
4
) . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C '
ĐS:
Bài 67: Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C cạnh huyền
bằng a 2 . Mặt phẳng ( A ' AB ) vuông góc với đáy ABC , AA ' = a 3 , góc A ' AB là góc nhọn.
Biết mặt bên ( A ' AC ) tạo với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′
theo a và tính khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( A ' AC )
ĐS: VLT =
3 5 3
3a
a , d B ,( A ' AC ) =
10
2
Bài 68: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA = a , Gọi M , N lần
lượt là các điểm thuộc đoạn thẳng AB, AD sao cho AM = MB; DN = 3 AN ,biết MN vuông góc
với SM , ∆SMC là tam giác cân tại S . Tính thể tích khối chóp SMNCD và khoảng cách giữa
SA và CM
ĐS: VSMCND =
11 3a 3
a 93
, d=
192
31
Bài 69: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là một tam giác vuông tại
A, BC = 3a, AA′ = a và góc giữa A′B với mặt phẳng trung trực đoạn BC bằng 30°. Tính theo a
thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B, AC .
ĐS:
Bài 70: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D biết
AB
. Mặt bên SBC là tam giác đều cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông
2
góc với đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC , SA theo
AD = DC =
a.
ĐS:
NGUYỄN TRUNG KIÊN
68
69. Bài 71: Cho hình lăng trụ ABC . A1 B1C1 có M là trung điểm cạnh AB, BC = 2a, ACB = 900 và
ABC = 600 , cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 45 0 , hình chiếu vuông góc của C1
lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai
mặt phẳng ( ABC ) và ( ACC1 A1 ).
ĐS: V = 2 3a 3 . , tan(( ABC ); ( ACC1 A1 )) = 2
Bài 72: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a . Cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Góc hợp bởi SC và mặt phẳng
điểm của AC . Biết khoảng cách giữa SM và AB bằng
( SAB ) = 600 ;
M là trung
a 6
, tính thể tích khối chóp SABC
2
theo a .
ĐS: V = a3
Bài 73: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC là tam giác cân với SB = SC = a và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết ASB = BSC = CSA = 600 . Tính thể tích khối chóp SABC
ĐS: V =
a3 2
8
Bài 74: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C ; đường thẳng BC '
tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 600 và AB = AA ' = a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm
của BB ', CC ', BC và Q là một điểm trên cạnh AB sao cho BQ =
a
. Chứng minh
4
Chứng minh rằng ( MAC ) ⊥ ( NPQ ) và tính thể tích khối lăng trụ theo a
ĐS: V =
a 3 . 15
4
Bài 75: Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N , I lần lượt là
trung điểm của AA ', AB và BC . Biết góc tạo bởi (C ' AI ) và ( ABC ) bằng 600. Tính thể tích
khối chóp NAC ' I
và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN , AC '
NGUYỄN TRUNG KIÊN
69
70. ĐS: VNAC ' I =
a3
a 3
, d=
32
8
Bài 76: Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông với cạnh huyền BC = 2a ;
ABC = 600 . Mặt bên ( BCB ' C ') là hình thoi ( B ' BC < 900 )và vuông góc với đáy mặt bên
( ABB ' A ') tạo với đáy một góc 450 .Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C ′
ĐS: V =
3
7a3
7
Bài 77: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B có
AB = a, BC = a 2 , BB ' = a 6 . Mặt phẳng ( P ) qua A vuông góc với A ' C cắt CC ', BB ' lần
lượt tại M , N . Tính thể tích khối chóp ABCMN
ĐS: V =
2 3 3
a
9
Bài 78: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh
5a , AC = 4a
SO = 2 2a và SO vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SC . Tính thể tích khối chóp
SMBD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
2 2a 3
2 6
ĐS: V =
, d=
a
3
3
Bài 79: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = 2a , SA
vuông góc với đáy ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, BC , E là giao điểm của
mặt phẳng ( DMN ) với SB . Biết DMN = 300 . Tính thể tích khối chóp SDMEN theo a.
ĐS:
8a 3
9
Bài 80) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O biết AB = a; BC = a 3 ,
Tam giác SAO cân tại S , mặt bên SAD vuông góc với đáy ABCD . Biết SD hợp với đáy
ABCD một góc 600. Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa SB và AC
NGUYỄN TRUNG KIÊN
70
71. ĐS: VSABCD =
2 3a 3
3a
, d=
3
4
Bài 81: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Gọi H là tâm của mặt
ADD ' A ' , K là hình chiếu của D lên BD ' . Tính thể tích tứ diện D ' DHK và khoảng cách từ
H đến mặt phẳng ( D ' A ' B )
ĐS: V =
a3
a
, d=
36
2
Bài 82: Cho hình chóp SABC có SC ⊥ ( ABC ) và tam giác ABC vuông tại B . Biết rằng
AB = a, AC = a 3, ( a > 0 ) và góc giữa mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) bằng α với tan α =
13
.
6
Tính thể tích khối chóp SABC theo a
ĐS: V = 2a 3
Bài 83: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tam giác
ABD là tam giác đều.Gọi M , N là trung điểm của BC , C ' D ' . Biết MN vuông góc với B ' D
hãy tính thể tích khối chóp DAMN và khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AMN )
ĐS: VDAMN =
6a3
22
, d=
a
24
11
Bài 84: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của SB, SD . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD biết AM vuông góc với
CN
ĐS: R =
3 10a
10
Bài 85: Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là một tam giácvuông, SA = SB = SC = a . Gọi
M , N , E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC , BC , D là điểm đối xứng của S qua E ; I
NGUYỄN TRUNG KIÊN
71
72. là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng ( SMN ) . Chứng minh rằng AD vuông góc SI
và tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI
ĐS: V =
a3
36
Bài 86: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, BC = a và ABC = 1200 .
Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh 2a và tạo với mặt đáy góc α . Biết hình chiếu vuông góc
1
của S trên mặt đáy nằm trong hình bình hành ABCD và cos α = . Tính thể tích khối chóp
3
S . ABCD cùng khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AD theo a
ĐS: V =
2 2a 3
2 114
, d=
3
19
Bài 87: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền bằng 3a .
Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng ABC là trọng tâm G của tam giác ABC cạnh bên
SB =
a 14
. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC )
2
3a 3
ĐS: V =
,d = a 3
4
Bài 88: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC là tam giác cân SB = SC = a và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy . Biết ASB = BSC = CSA = 600 . Tính thể tích khối chóp SABC
2a3
ĐS: V =
2
Bài 89: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có AC = a, CB = 2a, ACB = 1200 và đường thẳng A ' C
tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') một góc 300 . Gọi M là trung điểm BB ' . Tính thể tích của khối
lăng trụ đã cho và tính khoảng cách giữa AM và CC ' theo a
ĐS: V =
105a 3
a 21
d=
14
7
Bài 90: Cho lăng trụ đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và
BAD = 600 , AC ' = 2a . Gọi O là giao điểm của AC và BD , E là giao điểm của A ' O và AC ' .
Tính thể tích khối tứ diện EABD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BDE )
NGUYỄN TRUNG KIÊN
72
73. ĐS: V =
3a 3
a 21
,d =
36
7
Bài 91: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BAC = 600 , bán
kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng
A ' B và AC bằng
ĐS: V =
(
)
3 −1 a
2
khoảng cách giữa hai đường thẳng
a 15
. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C '
5
3 3
a
2
Bài 92: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC = 2a .
Gọi M là trung điểm của BC , biết hai mặt phẳng ( AB ' M ) và ( BA ' C ') vuông góc với nhau.
Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' và khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( AC ' M ) theo a .
ĐS: V = 2a 3 , d =
2 6
a
3
Bài 93: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân tại C , đường thẳng BC '
tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') một góc 600 và AB = AA ' = a .Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm
của BB', CC ', BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM , NP theo a
ĐS: V =
a 3 15
a 15
,d =
4
5
Bài 94: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với SAB = SAC = 300
AB = AC = 2a, BC = a, SA = a 3 . Tính thể tích khối chóp SABC theo a
ĐS: V =
a3
4
Bài 95: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a và BAD = 600 các
tam giác SAC , SBD cân tại S . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Biết hai mặt
phẳng ( SDM ), ( SDN ) vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ
điểm D đến mặt phẳng ( SMN ) theo a .
NGUYỄN TRUNG KIÊN
73
74. ĐS: V =
6a 3
a 6
, d=
3
2
Bài 96: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy là AB, CD . Biết
AB = 3a, AC = a 7, CD = a . Các mặt bên ( SAB ), ( SBC ), ( SAD ) cùng tạo với đáy một góc 600 .
Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABCD ) nằm trong hình thang ABCD . Tính thể tích khối
chóp SABCD theo a
ĐS: V = 3a 3
Do khuôn khổ thời gian có hạn nên không thể trình bày hoàn chỉnh mọi vấn đề về hình
không gian. Vì vậy nếu có gì sai sót mong bạn đọc lượng thứ.
Mọi đóng góp xin vui long gửi về: kiên.noiaybinhyen@gmail.com hoặc
nguyentrungkien_ntk@yahoo.com
HÀ NỘI
MÙA KHAI TRƯỜNG 2012-2013
NGUYỄN TRUNG KIÊN
NGUYỄN TRUNG KIÊN
74