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Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)1 : 0.5*BKE+1.5*GG+-1*GYMB=0.06 . Confidence: 1002...
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)GYMB 0.010311980 0.001634891 0.041793495 0.0041676...
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)BKE GG KRONPriorPosteriorOptimal weightsWeights0.0...
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Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)> densityPlots(posterior,assetsSel="KRON")−0.4 −0....
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Cours gestion-actifs-r1-part-2b

  1. 1. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)M´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs Partie 2Le mod`ele de Black-LittermanArthur Charpentierhttp ://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/blog.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/Master 1, Universit´e Rennes 11
  2. 2. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Plan du cours• Mesurer les risques◦ Les hypoth`eses classiques◦ Au del`a du mod`ele Gaussien, introduction aux copules• Le mod`ele de Black & Litterman• Rappels sur les r´esultats de Markowitz• Estimation des param`etres, introduction `a l’approche bay´esienne• Le mod`ele de Black & Litterman• Portefeuille optimal pour d’autres crit`eres de risque◦ Calcul de la VaR et de la TVaR pour un portefeuille◦ Optimisation sous contrainte de VaR ou de TVaR2
  3. 3. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Les approches traditionnelles en gestion d’actifsLes m´ethodes de base de la gestion d’actifs reposent sur l’optimisation lin´eaire etoptimisation quadratique.3
  4. 4. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Pourquoi une approche moyenne variance ?Une premi`ere r´eponse est que l’optimisation moyenne variance correspond `a unprobl`eme d’optimisatin d’esp´erance d’utilit´e dans le cas o`u le fonction d’utilit´eest quadratique u(x) = x − γx2. Dans ce cas,E(u(X)) = E(X) − γ E (X)2+ V ar(X)Markowitz ´evoque cette construction, malgr´e ses (nombreux) d´efauts : l’utilit´en’est pas croissante, en particulier pour les grandes valeurs, et de plus lademande d’actif sans risque croˆıt n´ecessairement avec la richesse.Une seconde r´eponse est la suivante : lorsque le coefficient d’aversion absolue estconstant, alors u(x) = −e−γx. En effetcoeff. Arrow Pratt = −u (x)u (x)= −−γ2e−γxγe−γx= γ.Dans ce cas, si la distribution de la X est normale, alors maximiser l’esp´eranced’utilit´e revient `a maximiser E (x) −γ2V ar(X). Un rapide calcul d’int´egral4
  5. 5. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)montre en effet queE(u(X)) = − exp γ E (x) −γ2V ar(X) .Une troisi`eme r´eponse a ´et´e apport´er par Ingersoll (1987).Si la distribution de X est normale, et donc charact´eris´ee par sa moyenne et savariance, alors n´ecessairement, on peut d´efinir des courbes d’indiff´erence dansl’espace moyenne-variance, et compte tenu des propri´et´es de fonctions d’utilit´es,ces courbes d’indiff´erence seront croissantes et concaves.Une quatri`eme r´eponse est apport´ee par la formule de Taylor, `a condition que lerisque soit ”petit”. En effet, notons queu (x0 + h) ≈ u (x0) + u (x0)h +12u (x0)h2= u (x0) + u (x0) h +12u (x0)u (x0)h2o`u on retrouve le coefficient d’aversion pour le risque d’Arrow Pratt, not´e A.5
  6. 6. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)AlorsE (u (x0 + X)) ≈ u (x0) + u (x0) E(X) −12AE X2= u (x0) + u (x0) E(X) −A2E (X)2−A2V ar(X)6
  7. 7. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Diversification et taille du portefeuilleLa variance du portefeuille sur n titres est de la forme suivanteV ar(α X) =ni=1α2i σ2irisque propre+ 2i>jαiαjρijσiσjrisque syst´ematique.Pour simplifier, si on suppose le portefeuille ´equipond´er´e, i.e. αi = 1/n, alorsrisque propre ≤max σ2in→ 0 lorsque n → ∞,si l’on suppose les variances uniform´ement born´ees. De plus,risque syst´ematique =n2− nn2σno`u σn est la covariance moyenne des n actifs. Aussi, risque syst´ematique → σ.La diversification (au sens d’une augmentation de la taille du portefeuille) faitalors converger la variance du portefeuille vers un niveau plancher.7
  8. 8. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Diversification et corr´lationSupposons que l’on dispose de deux actifs, not´es 1 et 2, tels que les rendementsde ces deux titres v´erifientX1X2 ∼ Nµ1µ2 ,σ21 ρσ1σ2ρσ1σ2 σ22Un portefeuille est alors constitu´e avec les deux titres, avec pour poidsω = (ω1, ω2). Les deux premiers moments sont alorsE(ω1X1 + ω2X2) = ω1µ1 + ω2µ2V ar(ω1X1 + ω2X2) = ω21σ21 + 2ω1ω2ρσ1σ2 + ω22σ22.Si l’on se fixe le rendement esp´er´e et un prix pour ce portefeuille (´equivalent `asupposer que ω soit un vecteur de poids), la variance du portefeuille en d´ecouleaussitˆot.Le graphique suivant montrer l’´evolution de la variance du portefeuille en8
  9. 9. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)fonction du choix du rendement esp´er´e pour le portefeuille, avec ou sanscontrainte d’interdiction de vente `a d´ecouvert.qq0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055qqq0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055qqqqFig. 1 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.5.9
  10. 10. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)qq0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055qqq0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055qqqqFig. 2 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.10
  11. 11. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)qq0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055qqq0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055qqqqFig. 3 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.9.11
  12. 12. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)qq0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055qqq0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055qqqqFig. 4 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = −0.5.12
  13. 13. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)qq0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055qqq0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055qqqqFig. 5 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = −0.9.Le graphique ci-dessous montre l’´evolution de la variance en fonction de lacorr´elation et de la moyenne esp´er´ee. Les courbes bleues correspondent au cas o`u13
  14. 14. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)la rentabilit´e esp´er´ee est soit µ1, soit µ2. Les courbes rouges correspondent au caso`u la rentabilit´e esp´er´ee est comprise entre µ1 et µ2. Les courbes vertescorrespondent au cas o`u la rentabilit´e esp´er´ee est inf´erieure `a inf{µ1, µ2} ousup´erieure `a sup{µ1, µ2} .Correlation−1.0−0.50.00.51.0Rendementmoyen0.020.030.040.050.06Ecart−type0.10.20.3−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.00.020.030.040.050.06CorrelationRendementmoyen0.050.050.10.10.10.150.150.20.20.250.250.3−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.00.000.050.100.150.200.250.30 CorrelationEcart−typeFig. 6 – Moyenne, ´ecart-type et corr´elation, deux titres.14
  15. 15. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Pratique de la gestion d’actifsEn pratique, les programmes peuvent ˆetre un peu plus complexes afin de tenircompte des r´ealit´es, en particulier• limites sur la vente `a d´ecouvert (limit´ee ou non autoris´ee)• limites sur la concentration sur certains titres• limites sur la concentration par secteurs industriels ou par pays• prise en compte de coˆuts de transationsLe cadre g´en´eral est le suivantminω{ω Σ + γ ω} s.c.c−≤ Aω ≤ c+b−≤ ω ≤ b+Par exemple, pour une optimisation de portefeuille sans vente `a d´ecouvert,A = (1, 1, · · · , 1), c−= c+= 1, b−= (0, 0, · · · , 0) et b+= (1, 1, · · · , 1).15
  16. 16. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Pour une optimisation de portefeuille sans vente `a d´ecouvert, avec un rendementesp´er´e cible, µ ,A =µ1, µ2, · · · , µk1, 1, · · · , 1 , c−= (µ , 1) , c+= (∞, 1) ,b−= (0, 0, · · · , 0) et b+= (1, 1, · · · , 1).16
  17. 17. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Exemple pratique sur quelques actifsIl existe plusieurs packages de gestion d’actifs sous R, dont library(fPortfolio) etlibrary(portfolio).Consid´erons les s´eries suivants, i.e. monthly data set of US smallcap equities> Data = as.timeSeries(data(smallcap.ts))> Data = Data[, c("BKE", "GG", "GYMB", "KRON")]> (MU=apply(Data,2,mean))BKE GG GYMB KRON0.02749712 0.02198486 0.01204526 0.03570639> (SIGMA=apply(Data,2,sd))BKE GG GYMB KRON0.1500879 0.1899235 0.2226543 0.1674082> portfolioData(Data,spec=portfolioSpec())On ne retient que 4 titres.La fonction portfolioFrontier(Data) calcule la fronti`ere d’efficience desportefeuilles construits `a partir de ces 4 titres. Le trac´e de la fronti`ere d’efficiencese fait alors simplement17
  18. 18. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)> Frontier = portfolioFrontier(Data)> frontierPlot(Frontier)Il s’agit simplement de la r´esolution du programme de Markowitz, i.e.min{ω Σω} sous la contrainte ω µ ≥ µ0.Par des arguments de convexit´e, les deux programmes suivants sont ´equivamentsω∗= argmax{E(ω R)} sous la contrainte V ar(ω R) ≤ ν.ω∗= argmin{V ar(ω R)} sous la contrainte E(ω R) ≥ ε.L’ensemble des couples moyenne-´ecart-type atteignables est not´eE =√ω Σω, ω µ , ω vecteur de proportions, i.e. ω ∈ So`u S est le simplexe en dimension n, i.e.S = ω ∈ Rnavecni=1ωi = 1 .18
  19. 19. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)La fronti`ere de E est alors une parabole, appel´ee fronti`ere d’efficience.La forme parabolique de la fronti`ere d’efficience se traduit par plusieurs points– il existe un portefeuille efficicace qui minimise le risque, appel´e portefeuille devariance minimale– la partie sup´erieure de la fronti`ere est croissance, i.e. on peut augmenter(ind´efiniment) le rendement esp´er´es des portefeuilles efficients, mais le risqueaugmentera– enfin la courbe d’efficience est concave, i.e. l’augmentation de la variance estplus forte que le gain un esp´erance. Fisher Black avvait traduit la concavit´e dela mani`ere suivante “pour obtenir des gains attendus”Definition 1. Une allocation ω est dite efficiente s’il n’est pas possible detrouver une allocation proposant le mˆeme rentabilit´e moyen, pour une variancestrictement plus faible, ou de mani`ere duale, de trouver une allocation proposantla mˆeme variance, pour un rentabilit´e esp´er´e strictement plus ´elev´e.19
  20. 20. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)On s’int´eresse au programme d’optimisationω∗= argmin{V ar(ω R)} sous les contraintes E(ω R) ≥ ε, et ω I = 1Rappelons que de mani`ere g´en´erale, pour r´esoudre un programme d’optimisationde la formeω∗= argmin{f(ω)} sous les contraintes g1(ω) = ... = gp(ω) = 0,o`u g1, ..., gp sont p fonctions continˆument d´erivables, une condition n´ecessairepour que ω∗soit une solution est qu’il existe une solution (ω∗, λ) aux n + p´equations∂∂αi(f(ω) + λ1g1(ω) + ... + λpgp(ω)) = 0 pour i = 1, 2, ..., n,et∂∂λj(f(ω) + λ1g1(ω) + ... + λpgp(ω)) = 0 pour j = 1, 2, ..., p.Les constantes λ = (λ1, ..., λp) sont appel´ees multiplicateurs de Lagrange, et lafonction α → (α) + λ1g1(α) + ... + λpgp(α) est appel´ee le Lagrangien associ´e au20
  21. 21. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)probl`eme d’optimisation.Dans le probl`eme qui nous int´eresse, on cherche `a minimiser V ar(ω R), soitω Σω, sous deux contraintes. On cherche alors `a r´esoudre∂∂αi(ω Σω + λ1(ω I − 1) + λ2(ω µ − ε)) = 0 pour i = 1, 2, ..., n,et∂∂λj(ω Σω + λ1(ω I − 1) + λ2(ω µ − ε)) = 0 pour j = 1, 2.En notant que∂∂ωω Σω = 2Σω et∂∂ωR ω = R,on en d´eduit que α∗doit n´ecessairement ˆetre de la formeω∗= λ1Σ−1I + λ2Σ−1R,21
  22. 22. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)o`u les multiplicateurs de Lagrange sont donn´ees par le syst`emeλ1I Σ−1R + λ2I Σ−1I = 1λ1R Σ−1µ + λ2R Σ−1I = ε,En posant a = I Σ−1R, b = R Σ−1R et c = I Σ−1I, on peut r´e´ecrire le derniersyst`eme sous la forme λ1a + λ2c = 1λ1c + λ2a = ε,En notant d = bc − a2, on en d´eduit queλ1 =cε − adet λ2 =b − aεd.De cette expression des multiplicateurs de Lagrange, on peut en d´eduire, `a l’aidede la condition de premier ordre Σα = λ1R + λ2I que la variance du portefeuilleoptimale s’´ecritσ2∗ = ω Σω = λ1ε + λ2,22
  23. 23. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)soit encore, par substitutionσ2∗ =cε2− 2aε + bdProposition 2. S’il n’y a pas d’actif sans risque, la fronti`ere d’efficience dansun cadre moyenne-variance est une parabole d’´equationσ2∗ =cε2− 2aε + bd,o`u ε d´esigne le rentabilit´e esp´er´e du portefeuille.De plus, on peut obtenir les pond´erations optimalesω∗= Σ−1(λ1R + λ2I) ,qui peut se r´e´ecrire sous forme d’une combinaison lin´eaire.23
  24. 24. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Proposition 3. Les portefeuilles optimaux s’´ecrivent comme des combinaisonslin´eaires par rapport au rentabilit´e exig´e, i.e.ω = p + εq,o`u p et q ne d´ependent que de la matrice de variance-covariance des rentabilit´esp =1d(bΣ−1I − aΣ−1R) et q =1d(cΣ−1R − aΣ−1I).p est une allocation de portefeuille au sens o`u p I = 1, alors que q indique lafaon dont le portefeuille initial p doit ˆetre modifi´e (q I = 0).p est alors le portefeuille dont le rentabilit´e esp´er´e est nul, et p + q est leportefeuille de rentabilit´e unitaire (Merton (1972)). Notons qu’on peut aussi´ecrireω = (1 − ε)p + ε(p + q).24
  25. 25. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.000.050.100.150.200.25Frontière moyenne−variance, portefeuilles admissiblesEcart−typeEspérancePortefeuille efficientPortefeuilles admissibles0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.000.050.100.150.200.25Frontière moyenne−variance, portefeuille conservateurEcart−typeEspérancePortefeuille conservateurFig. 7 – Allocations efficace et admissibles, et approche conservatrice.25
  26. 26. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.000.010.020.030.04qqqqqqqq q q q q q q q q q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqMV|solveRquadprogEfficient FrontierTarget Risk[Cov]TargetReturn[mean]qqqqBKEGGGYMBKRONFig. 8 – Fronti`ere d”efficience, sans contrainte. 26
  27. 27. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)On peut aussi traver la fronti`ere d’efficience avec contrainte, par exemple pas devente `a d´ecouvert,> Frontier = portfolioFrontier(Data,constraints = "Short")> frontierPlot(Frontier)Il s’agit simplement de la r´esolution du programme de Markowitz, i.e.min{ω Σω}s.c.ω µ ≥ µ0.27
  28. 28. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.000.010.020.030.04qqqqqqqq q q q q q q q q q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqMV|solveRquadprogEfficient FrontierTarget Risk[Cov]TargetReturn[mean]qqqqBKEGGGYMBKRONFig. 9 – Fronti`ere d”efficience, sans contrainte. 28
  29. 29. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)On peut aussi construire le portefeuille de variance minimale, tangeant, ou´equir´eparti> minvariancePoints(Frontier, pch = 19, col = "purple")> tangencyPoints(Frontier, pch = 19, col = "blue")> tangencyLines(Frontier, col = "blue")> equalWeightsPoints(Frontier, pch = 15, col = "red")29
  30. 30. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.000.010.020.030.04qqqqqqqq q q q q q q q q q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqMV|solveRquadprogEfficient FrontierTarget Risk[Cov]TargetReturn[mean]qqqqBKEGGGYMBKRONqq30
  31. 31. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Pour le portefeuille tangeant, on a l’allocation suivante entre les 4 actifs> Porf.T=tangencyPortfolio(Data)> weightsPie(Porf.T)On peut d’ailleurs utiliser weightsSlider(Frontier) pour des graphiques interractifsde composition des portefeuille.31
  32. 32. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.10 0.15 0.200.0050.0150.0250.035MV|solveRquadprogTarget RiskTargetReturnEfficient FrontierBKE +GG +GYMB +KRON +WeightsMV|solveRquadprogBKEGGGYMBKRON+29.5 %+33.2 %+9.3 %+28 %0.00.20.40.60.81.0BKEGGGYMBKRON0.00.20.40.60.81.00.223 0.13 0.0977 0.098 0.160.012 0.0178 0.0265 0.0352Target RiskTarget ReturnWeightMV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789Weights0.00.20.40.60.81.0BKEGGGYMBKRON0.223 0.13 0.0977 0.098 0.160.012 0.0178 0.0265 0.0352Target RiskTarget ReturnWeightMV|solveRquadprog|minRisk=0.0931Weights32
  33. 33. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.10 0.15 0.200.0050.0150.0250.035MV|solveRquadprogTarget RiskTargetReturnEfficient FrontierBKE +GG +GYMB +WeightsMV|solveRquadprogBKEGGGYMB+11.5 %+40.4 %+48.1 %0.00.20.40.60.81.0BKEGGGYMBKRON0.00.20.40.60.81.00.223 0.13 0.0977 0.098 0.160.012 0.0178 0.0265 0.0352Target RiskTarget ReturnWeightMV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789Weights0.00.20.40.60.81.0BKEGGGYMBKRON0.223 0.13 0.0977 0.098 0.160.012 0.0178 0.0265 0.0352Target RiskTarget ReturnWeightMV|solveRquadprog|minRisk=0.0931Weights33
  34. 34. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.10 0.15 0.200.0050.0150.0250.035MV|solveRquadprogTarget RiskTargetReturnEfficient FrontierBKE +GG +GYMB +KRON +WeightsMV|solveRquadprogBKEGGGYMBKRON+27 %+36.6 %+24.5 %+11.9 %0.00.20.40.60.81.0BKEGGGYMBKRON0.00.20.40.60.81.00.223 0.13 0.0977 0.098 0.160.012 0.0178 0.0265 0.0352Target RiskTarget ReturnWeightMV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789Weights0.00.20.40.60.81.0BKEGGGYMBKRON0.223 0.13 0.0977 0.098 0.160.012 0.0178 0.0265 0.0352Target RiskTarget ReturnWeightMV|solveRquadprog|minRisk=0.0931Weights34
  35. 35. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.10 0.15 0.200.0050.0150.0250.035MV|solveRquadprogTarget RiskTargetReturnEfficient FrontierBKE +GG +KRON +WeightsMV|solveRquadprogBKEGGKRON+16.6 %+18.2 %+65.2 %0.00.20.40.60.81.0BKEGGGYMBKRON0.00.20.40.60.81.00.223 0.13 0.0977 0.098 0.160.012 0.0178 0.0265 0.0352Target RiskTarget ReturnWeightMV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789Weights0.00.20.40.60.81.0BKEGGGYMBKRON0.223 0.13 0.0977 0.098 0.160.012 0.0178 0.0265 0.0352Target RiskTarget ReturnWeightMV|solveRquadprog|minRisk=0.0931Weights35
  36. 36. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.10 0.15 0.200.0050.0150.0250.035MV|solveRquadprogTarget RiskTargetReturnEfficient FrontierBKE +GG +KRON +WeightsMV|solveRquadprogBKEGGKRON+4.8 %+7.7 %+87.5 %0.00.20.40.60.81.0BKEGGGYMBKRON0.00.20.40.60.81.00.223 0.13 0.0977 0.098 0.160.012 0.0178 0.0265 0.0352Target RiskTarget ReturnWeightMV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789Weights0.00.20.40.60.81.0BKEGGGYMBKRON0.223 0.13 0.0977 0.098 0.160.012 0.0178 0.0265 0.0352Target RiskTarget ReturnWeightMV|solveRquadprog|minRisk=0.0931Weights36
  37. 37. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)On peut aussi construire tous les portefeuilles ne comportant que 2 actifs (sur les4)> twoAssetsLines(Frontier, lty = 3, col = "grey")37
  38. 38. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.000.010.020.030.04qqqqqqqq q q q q q q q q q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqMV|solveRquadprogEfficient FrontierTarget Risk[Cov]TargetReturn[mean]qqqqBKEGGGYMBKRON38
  39. 39. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Consid´erons le cas o`u trois actifs sont consid´er´es,µ =0.050.150.10 et Σ =0.120.2 · 0.1 · 0.4 0.5 · 0.1 · 0.20.42−0.4 · 0.4 · 0.20.22 .La premi`ere contrainte du programme est que la somme des pond´erations (αi)vale 1, et la second est que l’esp´erance de rentabilit´e du portefeuille soit ´egale `a ε.Aussi α1 + α2 + α3 = 10.05α1 + 0.15α2 + 0.1α3 = εOn peut r´e´ecrire ces contraintes sous la formeα1 = α ∈ R, α3 =0.15 − 0.1α − ε0.05et α2 = 1 − α − α3On cherche alors `a minimiser la variance, sous cette contrainte : il suffit deparcourir R. Sur la Figure 11, `a gauche sont repr´esent´es les cas o`u la corr´elationentre les titres 1 et 3 change, et `a droite, le cas d’actifs ´equicorr´el´es, avec une39
  40. 40. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)corr´elation allant de −0.4 et 0.5. La courbe en trait plus ´epais correspondant aucas d’acifs ind´ependants (au sens L2).40
  41. 41. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)−4 −2 0 2 4 60510152025 Variance d’un portefeuille de trois titresPondération du premier titreVariance0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.000.050.100.150.20Portefeuilles de trois−titres (r=0.2,0.5,−0.4)Ecart−typeEspéranceFig. 10 – Variance du portefeuille pour ε = 5%, 10% et 15%, et repr´esentation dela fronti`ere d’efficience. 41
  42. 42. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.000.050.100.150.20 Portefeuilles de trois−titres, frontière d’efficienceEcart−typeEspérance0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.000.050.100.150.20Portefeuilles de trois−titres, frontière d’efficienceEcart−typeEspéranceFig. 11 – Influence de la matrice de corr´elation entre les rentabilit´es.42
  43. 43. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0 5 10 15−1.0−0.50.00.51.01.52.02.5Ecart−typeRendementmoyen.50.00.51.01.52.02.5Espérance43
  44. 44. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0 5 #0 #5!#.0!0.50.00.5#.0#.5%.0%.5&ca)t!type&sp/)ance0 " #0 #"!#.0!0."0.00."#.0#."2.02."&ca)t!typeRende1ent1oyenFig. 13 – Fronti`ere d’efficience, portefeuilles de 5 titres.44
  45. 45. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0 " #0 #"!#.0!0."0.00."#.0#."2.02."&ca)t!t+pe&sp/)ance0 " #0 #"!#.0!0."0.00."#.0#."%.0%."&ca)t!typeRende1ent1oyenFig. 14 – Fronti`ere d’efficience, portefeuilles de 10 titres.45
  46. 46. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0 " #0 #"!#.0!0."0.00."#.0#."%.0%."&ca)t!t+pe&sp/)ance0 5 #0 #5!#.0!0.50.00.5#.0#.5%.0%.5&ca)t!t+peRende1ent1o+enFig. 15 – Fronti`ere d’efficience, portefeuilles de 20 titres.46
  47. 47. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Le probl`eme des couts de transactionthe more assets, the less risky the portfolio (in terms of variance). But it mightbe more expensive to invest in 200 assets (sometimes more), and one might beinterest to find 10 assets such that the associated efficient frontier is close to theone with much more assets.47
  48. 48. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006Standard deviationExpectedvalueqq qqq0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006Standard deviationExpectedvalueFig. 16 – Random subportfolios.Considering all possible combinaisons of 5 assets among 35 is time consuming,since535portfolio should be considered, i.e. more than 375, 000. From a48
  49. 49. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)computational point of view, if the set of assets was larger, e.g. 100 or 200, therewould be not technique.Analogousely, one might find natural to see if it could be possible to define 10clusters of assets, and then to pick up one asset in each cluster.49
  50. 50. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)A02A34A16A19A18A08A30A07A14A01A20A33A12A27A25A32A09A15A13A21A17A11A31A10A03A05A06A04A24A22A29A23A28A26A350.00.20.40.60.81.0Cluster Dendrogram (Ward) distance, 35 assetshclust (*, "ward")Heightq q q q qqqqqqqqqq qq0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006Standard deviationExpectedvalueFig. 17 – Finding clusters to define classes.Normalized principal component analysis can be interesting. But principal axisare defined as a linear combination of all assets, so the idea will be to find for50
  51. 51. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)each axis one asset with coordinate being either 1 or −1 : the projection will bestrong on this axis, and null on the others.A01A02A03A04A05A06A07A08A09A10A11A12A13A14A15A16A17A18A19A20A21A22A23A24A25A26A27A28A29A30A31A32 A33A34A35qqqqqqqqFig. 18 – Finding clusters to on the first two component hyperplane, in PCA51
  52. 52. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)qqq0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006Standard deviationExpectedvalueFig. 19 – Finding clusters to on the first two component hyperplane, in PCA52
  53. 53. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq0 5 10 15 20 25 30 35051015202530350.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006Standard deviationExpectedvalueqqqqqFig. 20 – Correlation between assets (the darker, the larger).53
  54. 54. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Le probl`eme de l’estimation des param`etresRappelons que et sont ici suppos´es connues, mais en r´ealit´e, il faut les estimer.Plusieurs techniques ont ´et´e propos´ees,• dans le cas du mod`ele Gaussien, par des m´ethodes de type maximum devraisemblance ou m´ethode des moments• dans le cas du mod`ele Gaussien, par des m´ethodes bay´esiennesLe plus simple est de supposer des log-rendements Xi,t Gaussiens, N(µi, σ2i ).54
  55. 55. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006Standard deviationExpectedvalueqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07−0.015−0.010−0.0050.0000.0050.010Standard deviationExpectedvaluePeriod Sept 2002−July 2004Period Feb 2001−Aug 2002Fig. 21 – Efficient frontier on two periods.55
  56. 56. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006Standard deviationExpectedvalueqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006Standard deviationExpectedvalueqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqFig. 22 – Distribution of (σi, µi).56
  57. 57. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Estimation des param`etresConsid´erons le cas o`u on dispose d’un ´echantillon X = (X1, ...Xn), suppos´e i.i.d.de loi N(µ, σ2). On cherchera `a estimer le param`etre (vectoriel) θ = (µ, σ2).Un estimateur θ est une fonction des observations, i.e. θ (X) .Pour mesurer la dispersion de θ (en temps que variable al´eatoire) par rapport `ala vraie valeur θ (inconnue), on se donne une distance, not´ee · . On d´efinie alors– une fonction de perte, qui est la variable al´eatoire θ − θ2– le biais qui est la valeur E(θ) − θ– l’inefficience qui est la valeur E( θ − E(θ)2)Notons qu’alorsE(fonction de perte) = biais2+ inefficience2Parmi les techniques classiques d’estimation, la plus classique est la m´ethode du57
  58. 58. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)maximum de vraisemblance. On cherche alorsθ = arg max {L} ou arg max {log L}o`u L (θ; X) =ni=1fθ (Xi).Dans le cas Gaussien rappelons queθ = µ, σ2= 1nni=1Xi,1nni=1Xi −1nni=1Xi2On peut montrer que E (µ) = µ et E σ2= n−1n σ2.On peut montrer que l’estimateur ainsi construit est asymptotiquement Gaussien,et que la matrice de variance covariance est donn´ee par l’information de Fisher.58
  59. 59. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Une introduction `a l’estimation Bay´esienneTout d’abord, si l’on suppose que θ soit al´eatoire, nous devons noter queX|θ suit une loi normale N(µ, σ2) o`u θ = (µ, σ2),i.e. conditionnellement `a θ qui est inconnu (et suppos´e al´eaoire) les Xi suiventdes lois normales ind´ependantes.L’id´ee est ici d’utiliser la formule de Bayes pour trouver la loi de θ (pris commevariable al´eatoire) en fonction des Xi. En particulierfθ|x (θ) =fθ (θ)fx (x)fx|θ (x) ∝ fθ (θ) fx|θ (x)o`u– fθ (θ) est appel´ee loi a priori du param`etre θ– fx|θ (x) est la loi de l’´echantillon, correspondant `a la vraisemblance,conditionnellement `a θParmi les choix possible pour la loi a priori, on peut utiliser deux techniques59
  60. 60. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)– une loi non-informative,– une loi qui permet d’avoir des calculs simples : on utilise alors une loi diteconjugu´ee si la loi des Xi est dans la famille des lois exponentielles.En statistique classique, θ est un param`etre inconnu, de l’on cherche a estimer al’aide d’un ´echantillon {x1, · · · , xn}, en supposant que les xi sont des r´ealisationsind´ependants de variables Xi, dont la loi est Fθ.Supposons que les Xi ∼ N(θ, σ2). Un estimateur naturel de θ, a partir del’´echantillon estθ = x =x1 + · · · + xnn.En statistique bay´esienne, Θ est un param`etre al´eatoire. On se donne a prioriune loi pour Θ, et on ´etudie la loi a posteriori, conditionnellement aX = (X1, · · · , Xn).Dans l’exemple pr´ec´edant, on suppose - par exemple - que Θ suit a priori une loi60
  61. 61. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)normale N(0, 1). On a ainsiX|Θ ∼ N(Θ, σ2I)Θ ∼ N(α, β), loi a prioriA l’aide de la famille de Bayes, on peut en d’eduire la loi (non-conditionnelle) deX mais surtout la loi conditionnelle de Θ sachant X, appel´ee loi a posteriori.Icif(θ|X = x) =f(θ, x)f(x)=f(θ)f(x)f(x|Θ = θ).Afin de pouvoir m´ener les calculs en entiers, on peut r´e´ecrire cette expressionf(θ|X = x) =f(θ)f(x|θ)f(θ)dθf(x|Θ = θ).En poursuivant les calculs, on peut alors obtenir simplement queθ|X = x ∼ N (αβ2+ni=1 xiσ2)/(1β2+nσ2), (1β2+nσ2)−1.61
  62. 62. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 23 – Distribution a priori de Θ, i.e. N(0, 1)62
  63. 63. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 24 – Distribution a posteriori de Θ sachant x163
  64. 64. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 25 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x264
  65. 65. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 26 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2, x365
  66. 66. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 27 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x466
  67. 67. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 28 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x567
  68. 68. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 29 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x1068
  69. 69. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 30 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x2069
  70. 70. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 31 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x5070
  71. 71. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 32 – Distribution a priori de Θ, i.e. N(1.5, 0.5)71
  72. 72. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 33 – Distribution a posteriori de Θ sachant x172
  73. 73. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 34 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x273
  74. 74. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 35 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2, x374
  75. 75. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 36 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x475
  76. 76. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 37 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x576
  77. 77. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 38 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x1077
  78. 78. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne−1 0 1 20.00.51.01.52.02.53.0Fig. 39 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x5078
  79. 79. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Plus g´en´eralement, dans le cas Gaussien, on peut supposerµ|σ2∼ N µ0,σ2λ0et1σ2∼ G ν0,1σ20i.e. on parlera de mod`ele normal-inverse Gamma. Alors la distribution aposteriori de des param`etres, conditionnellement aux Xi suit une loi de la mˆemefamille, mais avec des param`etres mis `a jour. En particulierµ|σ2, X ∼ Nλ0µ0 + Xiλ0 + n,σ2λ0 + net1σ2|X ∼ Gν0 + n,1σ20 + λ0µ20 + Xi − (λ0µ0+ Xi)2λ0+n(qui peut ˆetre g´en´eralis´e dans le cadre des vecteurs Gaussiens).Un fois d´etermin´ee la loi dite a posteriori, il convient de proposer un estimateur,appel´ee estimateur bay´esien, pour θ. Une id´ee naturelle est de poserθ = E (θ|X1, ..., Xn)79
  80. 80. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Estimation et portefeuilles optimauxEn pratique, l’approche de Markowitz marche mal (on parle du paradoxe deMarkowitz) : en pratique, des portefeuilles ´equipond´er´es sont meilleurs que desportefeuilles optimis´es.L’optimisation bas´ee sur les moyennes et variances estim´ees conduit `a introduireexcessivement les outilers (qui ne sont des anormalit´es statistiques).La formule synth´etique est que l’optimisation au sens de Markowitz correspond `aune maximisation des erreurs.L’id´ee des mod`eles bay´esiens et de l’approche de Black et Littermann est derobustifier l’estimation80
  81. 81. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Approche classique et portefeuilles optimauxNaturellement, on ´ecrit le programme d’optimisation sur les grandeurs estim´eesarg minα∈R{α Σα} s.c. α µ ≥ ηdevientarg min{α Σα} s.c. α µ ≥ ηOn obtient alors un estimateur optimal sur les estimations, not´e α∗. On peutl´egitimement se demander si l’optimun d’une d’estimation est l’estimation d’unoptimum, i.e.α∗ ?= α∗Plus g´en´eralement, supposons que l’on s’int´eresse `a mminimiser une fonction plusg´en´erale que la variance du portefeuille, i.e.arg min{R(α)} ou plutˆot arg min{R(α)}arg max{S(α)} ou plutˆot arg max{S(α)}81
  82. 82. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)o`u R est appel´ee mesure de risque, et S est une mesure de satisfaction.Parmi les proprit´et´es classiques de S, on peut supposer une proprit´et´ed’invariance d’´echelle, S(λα) = λS(α) pour tout λ > 0 (homog`ene de degr´e 1) ouau contraire d’homog´en´eit´e S(λα) = S(α) pour tout λ > 0 (homog`ene de degr´e0).Il y a aussi une proprit´et´e de sous-addivit´e (ou de sur-addivit´e), i.e.S(α + β) ≤ S(α) + S(β) ou S(α + β) ≥ S(α) + S(β)Un propri´et´e un peu plus technique est une proprit´et´e de convexit´e (ou deconcavit´e), i.e.S(λα + (1 − λ) β) ≤ λS(α) + (1 − λ) S(β)ouS(λα + (1 − λ) β) ≥ λS(α) + (1 − λ) S(β).Parmi les fonctions classiques S,82
  83. 83. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)celles qui d´ecoulent de l’approche par esp´erance d’utilit´e, de von Neumann &Morgenstein, S(α) = E(u(α X)), e.g. une utilit´e logarithmique u (x) = log(x),une fonction d’utilit´e puissance u(x) = x1−1/γ, une fonction exponentielleu(x) = exp (−x/α).celles qui d´ecoulent d’une propri´et´e d’indiff´erence d’utilit´e, i.e.S(α) = u−1(E(u(α X))).celles qui d´ecoulent de l’approche duale, de Yaari, S(α) =, e.g. une fonctionquantile, ou une mesure de risque coh´erence, e.g. une TV aR. On peut aussiconsid´erer une mesure de risque spectraleDans le premier cas, si on consid`ere une utilit´e exponentielle avec des risquesGaussiens, on retrouve par exempleS(α) = α µ −α Σα2Dans le cas de la V aR, on peut utiliser l’approximation dite de Cornish-Fisher.83
  84. 84. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Approche bay´esienne et portefeuilles optimauxLe mod`ele le plus simple `a consid´erer pour µ sachant Σ,µ|Σ ∼ N µ0,ΣT0Pour la loi de Σ, il est naturel de supposer une loi de Wishart,Σ−1∼ W ν0,Σ−10ν0o`u Σ0 une matrice symm´etrique positive, et ν0 est une constante positive.On en d´eduit alors la loi non-conditionnelle µ,µ ∼ St ν0, µ0,Σ0T0de telle sorte que E(µ) = µ0 et cov(µ) =ν0ν0 − 2ΣT0. De plus E(Σ−1) = Σ−10 .L’incertitude associ´ee `a la matrice de variance-covariance est plus compliqu´e `a84
  85. 85. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)ecrire,cov(vec(Σ−1)) =1ν0(In2 + Knn) Σ−10 ⊗ Σ−10o`u vec est la fonction qui met les colonnes de la matrice Σ−1dans une matricediagonale, K estest une matrice de commutation, et ⊗ d´esigne le produit deKronecker.Consid´erons d´esormais la distribution a posteriori bas´e sur T observations.Posons alorsT1 = T0 + T, µ1 =1T1(T0µ0 + Tµ)ν1 = ν0 + T et Σ1 =1ν1ν0Σ0 + TΣ +(µ0 − µ)(µ0 − µ)1T + 1T0de telle sorte queµ|Σ ∼ N µ1,ΣT1et Σ−1∼ W ν0,Σ−11ν185
  86. 86. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)ce qui donne la loi (non-conditionnelle)µ ∼ St ν1, µ1,Σ1T1on en d´eduit alors les propri´et´es suivantes sur la loi a posteriori de µE (µ) =T0T0 + Tµ0 +TT0 + TµetV ar (µ) =1T1ν1ν1 − 2Σ1De mˆeme, on peut obtenir des propri´et´es sur la loi a posteriori de ΣE (Σ) =1ν0 + T + n + 1ν0Σ0 + TΣ +(µ0 − µ)(µ0 − µ)1T + 1T0etcov(vec(Σ)) =2ν21(ν1 + n + 1)3Dn Σ−11 ⊗ Σ−11 Dn−1Rappelons que l’on cherche `a r´esoudre - de mani`ere tr`es g´en´erale - un probl`eme86
  87. 87. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)de la formeα∗= arg max S(α)Par exempleα∗= arg max α µ −12γα ΣαDans le cadre d’une approche par indiff´erence d’utilit´eS(α) = u−1(E(u(α X))) que l’on notera Sθ(α)o`u X suit une loi de param`etre θ.Dans l’approche classique, on poseα∗= arg max{Sθ(α)}.Dans le cadre bay´esien, nous avons not´eµ =T0T0 + Tµ0 +TT0 + Tµ87
  88. 88. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)etΣ =1ν0 + T + n + 1ν0Σ0 + TΣ +(µ0 − µ)(µ0 − µ)1T + 1T088
  89. 89. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Le mod`ele de Black & Litterman avec RLa library(BLCOP) permet de mettre en oeuvre l’approche de Black & Litterman.L’´equation centrale du programme de Black & Litterman est la suivanteµ = (τΣ)−1+ P Ω−1P−1(τΣ)−1Π + P Ω−1Qo`u• Π est le vecteur de taille n des rendements (dits de long terme)• Σ est une matrice n × n de covariance des actifs, i.e. Σ,• δ est un param`etre d’aversion au risque• τ mesure l’incertitude de la variance `a l’´equilibrecorrespondant aux information de long terme, et• P est la matrice identit´e n × n• Q est le vecteur de taille n donnant l’exc´dent de rendement sur chacun desactifs• Ω est la matrice diagonale de la variance des perceptionsL’´equation de Black & Litterman est parfois pr´esent´ee commme une correction89
  90. 90. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)des rendements Π,µ = Π + τΣP (PτΣP + Ω)−1[Q − PΠ]Le facteur τ sera plus ou moins faible en fonction de la cr´diliibt´e donn´ee aumarch´e.90
  91. 91. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)La r´esolution d’un probl`eme d’allocation d’actifs n´ecessite deux grandeurs,– un estimateur de la moyenne des rendements µ– un estimateur de la matrice de variance-covariance des rendements ΣPour estimer la moyenne, on peut prendre la moyenne arithm´etique desrendements historiques, ou des anticipations de rendements.Pour estimer la variance, on utilise les donn´ees historiques, via une moyennearithm´etique, ou un estimateur EWMA (qui correspond `a un mod`eleGARCH(1, 1) dans le cas univari´e. Ici, on suppose quecovt(Xi, Xj) = ω + αui,t−1vi,t−1 + βcovt−1(Xi, Xj)en g´en´eralisant l’´ecriture que nous avions en dimension 1, d’un GARCH(1, 1), i.e.V art(Xi) = σ2i,t = ω + αε2i,t−1 + βσ2i,t−1Le portefeuille initial est un portefeuille d’´equilibre pr´ed´efini, de poids ω∗, etd’´evoluer autour de se portefeuille avec plus ou moins d’´ecart, selon le degr´e deconfiance dans les sc´enarios. On cherche `a r´esoudre, par exemple, un programme91
  92. 92. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)de la forme suivanteminω(ω − ω∗) Σ(ω − ω∗) s.c.ω µ = η0 ≤ ωi ≤ 1ωi = 1L’approche de Black & Litterman propose de d´efinir une allocation d’actifs enr´ef´erence `a un portefeuille initial `a partir de ”vues” sur un sous-ensemble, ou surla totalit´e, des actifs.On se donne alors des vecteurs de rendements `a l’´equilibre Π = λΣω∗.Pour aller au del`a de ce portefeuille de base, on int`egre des ”vues” avec un degr´ede confiance sur tout ou partie des actifs. On consid`ere alors un portefeuille quisera la moyenne entre le portefeuille d’´equilibre et les vues. Ceci peut ˆetre justifi´epar un mod`ele bay´esien, on l’on cherche le vecteur des rendements esp´er´es aposteriori, apr`es int´egration des vues. Aussi,µ = (τΣ)−1+ P Ω−1P−1(τΣ)−1Π + P Ω−1V92
  93. 93. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Idzorek (2002) propose de calibrer le mod`ele de telle sorte que le degr´e deconfiance apparaisse comme une variable distribu´ee sur [0, 1] centr´e autour de1/2, et que les d´eviations des poids soient doubl´ees si on passe de 1/2 `a 1, ettendent vers 0 si le degr´e de confiance tend vers 0.Formellement on cherche Σ telle que Σi,i =12ω1CDi, o`u ω est la somme des´el´ements de P ΣP, et CDi est le degr´e de confiance dans la vue i.Parall`element, τ est tel que τ =2kki=1CDi.Notons que l’on suppose ici que Ω, la matrice de variance attendue des erreurs,est une matrice diagonale. Cette hypoth`ese est (trop) forte d’un point de vue dela finance comportementale.Black & Litterman propose de n’int´egrer que des vues sur la moyenne desrendements.Qian & Gorman ont propos´e un mod`ele int´egrant des vues sur la moyenne et la93
  94. 94. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)variance des rendements, avecµ = Π + (ΣP )Ω−1(V − PΠ)Σ = Σ + (ΣP ) Ω−1ΣvΩ−1− Ω−1(PΣ)o`u naturellement Σv d´esigne la matrice de variance anticip´ee.Consid´erons le portefeuille suivantP = ω X =12X1 +32X2 − X3Notre croyance a priori est que P ∼ N(0.05; 0.1). Supposons que l’on ait `a notredisposition d’un autre actif X4.> Matrice=matrix(c(.5,1.5,-1,0),nrow=1,ncol=4)> vue=BLViews(P=Matrice,q=.06,confidences = 100,+ assetNames = colnames(Data))Il faut ensuite donner les moyennes et variance a priori. Le plus simple est desupposer les moyennes nulles, et d’utiliser la variance historique,> library(corpcor)94
  95. 95. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)> moy.prior=rep(0,4)> var.prior=unclass(cov.shrink(Data))Estimating optimal shrinkage intensity lambda.var (variance vector): 1Estimating optimal shrinkage intensity lambda (correlation matrix): 0.3002L’int´erˆet de cette m´ethode est de pouvoir en d´eduire unes estimation duparam`etre λOn peut alors en d´eduire la distribution a posteriori, m´elant la loi a priori et lesvues.> posteriorEst(views=vue,sigma=var.prior,alpha=moy.prior,tau=.5)Prior means:BKE GG GYMB KRON0 0 0 0Posterior means:BKE GG GYMB KRON0.002346602 0.022983752 -0.014915312 -0.004058411Posterior covariance:BKE GG GYMB KRONBKE 0.047975085 -0.005078094 0.011005451 0.010793786GG -0.005078094 0.038741658 0.003026534 -0.00562374395
  96. 96. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)GYMB 0.011005451 0.003026534 0.044142855 0.006239874KRON 0.010793786 -0.005623743 0.006239874 0.047781422attr(,"lambda")[1] 0.3001854attr(,"lambda.estimated")[1] TRUEattr(,"lambda.var")[1] 1attr(,"lambda.var.estimated")[1] TRUEPour ´etudier la robustesse, on peut utiliser d’autres vues, par exemple, supposerqu’un portefeuille compos´e de la moyenne des trois derniers titres suit une loiN(0.07; 0.15),> Matrice <- matrix(ncol = 3, nrow = 1, dimnames = list(NULL, colnames(Data)[2:4]))> Matrice[,1:3] <- rep(1/3,3)> MatriceGG GYMB KRON[1,] 0.3333333 0.3333333 0.3333333> vue2=addBLViews(Matrice,.07,90,vue)> vue296
  97. 97. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)1 : 0.5*BKE+1.5*GG+-1*GYMB=0.06 . Confidence: 1002 : 0.333333333333333*GG+0.333333333333333*GYMB+0.333333333333333*KRON=0.07 . Confidence:On peut alors lancer la phase d’optimisation de portefeuille,> marche=as.timeSeries(data(smallcap.ts))[, c("market")]> taux =as.timeSeries(data(smallcap.ts))[, c("t90")]> posterior=BLPosterior(as.matrix(Data),vue2,tau=.5,marketIndex = as.matrix(marche))Estimating optimal shrinkage intensity lambda.var (variance vector): 1Estimating optimal shrinkage intensity lambda (correlation matrix): 0.3002> posteriorPrior means:BKE GG GYMB KRON0.01986394 0.01445708 0.01317127 0.02922796Posterior means:BKE GG GYMB KRON0.02712333 0.04168138 0.02192929 0.04325334Posterior covariance:BKE GG GYMB KRONBKE 0.047770391 -0.005488871 0.010311980 0.010182121GG -0.005488871 0.037917318 0.001634891 -0.00685122097
  98. 98. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)GYMB 0.010311980 0.001634891 0.041793495 0.004167658KRON 0.010182121 -0.006851220 0.004167658 0.045953656attr(,"lambda")[1] 0.3001854attr(,"lambda.estimated")[1] TRUEattr(,"lambda.var")[1] 1attr(,"lambda.var.estimated")[1] TRUE> opt=optimalPortfolios(posterior,doPlot=TRUE)> opt$priorPfolioWeightsBKE GG GYMB KRON0.1871428 0.2311983 0.0000000 0.5816589$postPfolioWeightsBKE GG GYMB KRON0.002424798 0.524147656 0.000000000 0.47342754698
  99. 99. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)BKE GG KRONPriorPosteriorOptimal weightsWeights0.00.10.20.30.40.5Si l’on s’int´eresse `a un programme d’optimisation avec contrainte, il suffit derajouter les contraintes dans l’optimisation. Par exemple, si les positions courtessont interdites99
  100. 100. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)> contraintes = list()> contraintes$bvec=1> contraintes$meq=1> contraintes$Amat=matrix(rep(1,5),5,1)> contraintes$bvec[1] 1$meq[1] 1$Amat[,1][1,] 1[2,] 1[3,] 1[4,] 1> opt=optimalPortfolios(posterior,contraints=contraintes)On peut d’ailleurs obtenir plus g´en´eralement le degr´e confiance de l’allocationoptimale dans un des titres. Par exemple, pour le premier actif,100
  101. 101. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)> densityPlots(posterior,assetsSel="KRON")−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.40.00.51.01.52.0GGDensityPriorPosterior−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.60.00.51.01.52.0KRONDensityPriorPosteriorMais plus g´en´erallement, aussi lieu de supposer un mod`ele Gaussien mis `a jour, ilest possible de supposer des distributions jointes plus complexes. De mˆeme pourles vues, on l’on n’est plus oblig´e de supposer un mod`ele Gaussien.101
  102. 102. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)Notons que l’on peut s’affranchir de l’hypoth`ese de normalit´e : pour une loi deStudent multivari´ee, de matrice de dispersion Σ, `a ν = 5 degr´es de libert´e,> md=mvdistribution("mt",mean=mu,S=sigma,df=nu)102

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