Slide 2040-1

Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013

Actuariat IARD - ACT2040
Partie 1 - introduction

Arthur Charpentier
charpentier.arthur@uqam.ca

http ://freakonometrics.hypotheses.org/

Hiver 2013

1


Plan du cours
• Motivation et introduction : tariﬁcation et provisionnement
• Mod´lisation de la survenance d’un sinistre
e
◦ R´gressions logit et probit, Yi |X i ∼ B(π[X i β])
e
◦ Les arbres de r´gression
e
• Fr´quence de survenance de sinistres
e
◦ R´gression de Poisson Yi |X i ∼ P(λ[X i β])
e
◦ Surdispersion : quasi-Poisson, Binomiale N´gative & inﬂation de z´ros
e e
• Coˆ ts individuels de sinistres
u
◦ R´gressions Gamma et lognormale
e
◦ ´
Ecretement des grands sinistres, et mutualisation
• Provisionnement pour sinistres ` payer a
◦ Les triangles de provisionnement
◦ M´thode de Mack
e
◦ R´gression de Poisson
e

2


Pr´rquis et ouvrages de r´f´rence
e ee
Ce cours suppose acquises les m´thodes vues au cours ACT6420, m´thodes de
e e
pr´vision.
e

3


L’h´t´rog´n´it´
e e e e e

4


La prime pure
Pour une variable de comptage

E(N ) = nP(N = n) = P(N > n)
n∈N n∈N

Pour une variable continue positive

E(X) = xf (x)dx = P(X > x)dx
x∈R+ x∈R+

∞
o` P(X > x) = F (x) =
u f (t)dt.
x

5


La prime pure
Plus gń´ralement,
e e
E(X) = xdF (x)
x∈R

o` F admet un nombre fini (ou dńombrable) de discontinuit´ {d1 ≤ d2 ≤ · · · }.
u e e

 F (d ) − F (d− ) si x = d
n n n
dF (x) =
˜
 f (x) sinon

o`
u
F (x) = P(X = dn ) + ˜
f (t)dt
dn ≤x t≤x

D´finition 1. Etant donn´ un risque X, la prime pure est πX = E[X].
e e

6


Exemples de calculs d’esp´rance
e
Pour les lois discr`tes classiques
e
n k
• si N ∼ B(n, p), P(N = k) = p [1 − p]n−k , alors E(X) = np,
k
k
−λ λ
• si N ∼ P(λ), P(N = k) = e , alors E(X) = λ,
k!
Γ(r + k) r r[1 − p]
• si N ∼ N B(r, p), P(N = k) = p [1 − p]k, alors E(X) = ,
k! Γ(r) p
Pour les lois continues classiques
2
1 (x − µ)
• si N ∼ N (µ, σ 2 ), ϕ(x) = √ exp − , alors E(X) = µ,
σ 2π 2σ 2
2
2 1[ln(x) − µ]
• si N ∼ LN (µ, σ ), f (x) = exp − √ 2
, alors
xσ 2π 2σ
σ2
E(X) = exp µ + ,
2
α −β x
α−1 β e α
• si N ∼ G(α, β), f (x) = x , alors E(X) = ,
Γ(α) β

7


Esp´rance pour une loi compos´e
e e
N
Dans un mod`le collectif, on s’int´resse ` S =
e e a Xi si N ≥ 1, 0 sinon.
n=1

Si les Xi sont i.i.d., ind´pendants de N , alors
e
+∞ k
E[S] = E[E(S|N )] = Pr[N = k] · E Xi
k=1 i=1
+∞
= Pr[N = k] · k E[X1 ] = E[N ] · E[X1 ].
k=1

o`
u
• E[N ] est la fr´quence
e
• E[X1 ] est le coˆt moyen
u

8


De l’esp´rance a la prime pure
e
Pascal, Fermat ou Condorcet (XVIII`me si`cle) proposaient d’´valuer le “produit
e e e
scalaire des probabilit´s et des gains”,
e
n
< p, x >= pi xi = EP (X),
i=1

selon la “r`gle des parties”.
e
=⇒ garantie un ´quilibre du syst`me, en moyenne.
e e
L’esp´rance math´matique est un prix “juste” (Feller (1943)),
e e
– moindres carr´s, E(X) = argmin{ X − c L2 , c ∈ R}
e
X1 + ... + Xn P
– loi des grands nombres, → E(X),
n
X1 + ... + Xn L V ar(X)
– th´or`me central limite,
e e ∼ N E(X), √ ,
n n
X1 + ... + Xn
– probabilit´ de ruine, lim P
e > π = 1 pour π < E(X).
n→∞ n

9


De l’esp´rance a la prime pure
e
Remarque : Paradoxe de Saint P´tersbourg : l’esp´rance de gain est inﬁnie,
e e
∞ ∞ ∞
1
P(arrˆt au ni`me coup) · 2n =
e e · 2n = 1 = ∞.
i=1 i=1
2n i=1

Peut-ˆtre pas forc´ment le m´thode la plus intuitive, pour les grands risques...
e e e

10


La prime pure - sans segmentation
Pour tarifer, il est raisonnable de choisir une constante c “la plus proche” de la
variable al´atoire S, i.e. c qui minimise E([S − c]2 ). Or
e

E([S − c]2 ) = E([S − E(S) + E(S) − c]2 ) = E([S − E(S)]2 ) + E([E(S) − c]2 )+0

i.e.
E([S − c]2 ) = [E(S) − c]2 + quelque chose ind´pendant de c.
e

donc E([S − c]2 ) est minimal pour c = E(S).
Remarque : cf m´thode des moindres carr´s dans le cours de pr´vision.
e e e

11


L’exc´dant moyen de sinistre
e
L’exc´dant moyen de sinistre (encore appel´ dur´e de vie moyenne restante en
e e e
assurance sur la vie) est d´ﬁni par
e

eX (x) = E[X − x|X > x]
+∞
1
= (s − x)dFX (s), x ≥ 0.
F X (x) s=x

12


L’exc´dant moyen de sinistre
e
Loi de probabilit´
e eX (x)
1
E(λ)
θ
α 1 − Γ(α + 1, βx)
G(α, β) −x
β 1 − Γ(α, βx)
ln(x) − µ − σ 2
Φ
2 σ
LN (µ, σ 2 ) exp(µ + σ ) −x
2 ln(x) − µ
Φ
σ
x0 + x
Pareto(α, x0 )
α−1

13


Primes stop-loss (contrat avec franchise)
Etant donn´ un risque X, la prime stop-loss pour une franchise d ≥ 0 est d´finie
e e
par
πX (d) = E[(X − d)+ ] = eX (d)F (d)..

Un trait´ de rássurance stop-loss (ou exc´dent de perte) consiste ` faire prendre
e e e a
en charge par le rássureur la partie de la charge totale S des sinistres qui d´passe
e e
une certaine somme d. La portion rássuré, noté S R , est donc d´finie par
e e e e

 0, si S ≤ d,
S R = (S − d)+ =
 S − d, si S > d.

La prime pure que la c´dante devra verser au rássureur pour un tel contrat,
e e
appelé prime stop-loss, est donné par
e e

E[S R ] = E[(S − d)+ ].

14


D´finition 2. Etant donn´ un risque X, la prime stop-loss pour une r´tention
e e e
t ≥ 0 est d´finie par
e
πX (t) = E[(X − t)+ ].

La fonction πX est encore appelé la transformé stop-loss de la variable alátoire
e e e
X.
Proposition 3. La transformé stop-loss peut s’exprimer
e
+∞
πX (t) = F X (x)dx.
x=t

Proposition 4. Supposons E[X] < +∞. La transformé stop-loss πX poss`de les
e e
propri´t´s suivantes :
ee
(i) elle est dćroissante et convexe.
e
(ii) limt→+∞ πX (t) = 0 et limt→−∞ {πX (t) + t} = E[X].

15


Primes d’Esscher
D´finition 5. Etant donn´ un risque X, la prime d’Esscher de param`tre α est
e e e
d´finie par
e
EP (XeαX )
πX (α) = αX )
= EQ (X),
EP (e
o` sous Q, la fonction de r´partition de X qui s’ćrivait auparavant (sous P)
u e e
FX (·) devient ici
eα· dFX (·)
GX (·) = .
eαt dFX (t)
R

16


H´t´rogńít´ d’un portefeuille avec information parfaite
e e e e e
Consid´rons une assurance voyage, avec les indemnités
e e
– pays A, $ 250 avec probabilit´ 10%
e
– pays B, $ 250 avec probabilit´ 20%
e
La d´pense sera, conditionnelle ` la destination
e a

 0, avec la probabilit´ 0.9,
e
SA =
 250, avec la probabilit´ 0.1
e
et 
e
SB =
 250, avec la probabilit´ 0.2.
e

Si la destination n’est pas observé
e

e
SAB =
 250, avec la probabilit´ 0.15.
e

17


H´t´rog´n´it´ d’un portefeuille avec information parfaite
e e e e e
La prime pure
– sans segmentation sera E(SAB ) = 37.5
– avec segmentation sera E(SA ) = 25 ` destination de A et E(SB ) = 50 `
a a
destination de B
S’il y a deux compagnies qui se font concurence, une qui segmente, l’autre pas...

18


H´t´rogńít´ et m´lange de loi
e e e e e e
Supposons qu’il existe un effet alátoire Θ repr´sentant le niveau de risque
e e
(inconnu) d’un assur´ pris au hasard dans le portefeuille. On suppose que X
e
sachant Θ = θ admet pour loi Fθ . Alors

P(X ≤ x) = E[P(X ≤ x|Θ)] = Fθ (x)dΠ(θ)
Ω

(moyenne des Fθ pond´ré par dΠ).
ee

19


M´lange de loi de Poisson et surdispsersion
e
D´ﬁnition 6. La variable al´atoire de comptage N est de loi de Poisson
e e
m´lange de moyenne λ et de niveau de risque relatif Θ lorsque
e

(λΘ)k
Pr[N = k] = E exp(−λΘ)
k!
+∞
(λθ)k
= exp(−λθ) dFΘ (θ), k ∈ N, (1)
θ=0 k!

o` FΘ est la fonction de r´partition de Θ, telle que E[Θ] = 1. On notera
u e
MPoi(λ, FΘ ) ou MPoi(λ, Θ).

20


e
Consid´rons l’exemple classique des bons et mauvais conducteur,
e
– pour les bons, N ∼ Poi(λθ1 )
– pour les mauvais, N ∼ Poi(λθ2 )
avec θ2 > 1 > θ1 .
Si la proportion de bons risques est ,

 θ , avec une probabilit´ ,
e
1
Θ=
 θ2 , avec une probabilit´ 1 − ,
e

o` θ1 , θ2 et
u sont contraints par

E[Θ] = θ1 + (1 − )θ2 = 1.

21


e
La probabilit´ qu’une police (dont on ne sait pas s’il s’agit d’un bon ou d’un
e
mauvais risque) donne lieu ` k sinistres durant la p´riode de r´f´rence est alors de
a e ee

(λθ1 )k (λθ2 )k
P[N = k] = exp(−λθ1 ) + (1 − ) exp(−λθ2 ) ,
k! k!

Si Θ devient une variable al´atoire continue, de densit´ de probabilit´ fΘ alors
e e e
+∞
(λθ)k
Pr[N = k] = exp(−λθ) fΘ (θ)dθ, k ∈ N. (2)
θ=0 k!

22


e
Soit N ∼ MPoi(λ, Θ), alors
+∞ +∞
(λθ)k
E[N ] = k exp(−λθ) dFΘ (θ)
θ=0 k!
k=0
+∞
= λ θdFΘ (θ) = λ.
θ=0
et
+∞ +∞
2 (λθ)k
Var[N ] = k exp(−λθ) dFΘ (θ) − λ2
θ=0 k!
k=0
+∞
= (λθ + λ2 θ2 )dFΘ (θ) − λ2 = λ + λ2 Var[Θ].
θ=0
Comme
Var[N ] = E[N ] + λ2 Var[Θ] > E[N ]
pour autant que Θ ne soit pas constant.

23


e
Tout m´lange de Poisson implique donc une surdispersion des donnés. La
e e
fonction gń´ratrice des probabilit´s de N ∼ MPoi(λ, Θ) et la tranformé de
e e e e
Laplace de Θ sont liés par la formule
e
+∞
MN (z) = exp(λθ(z − 1))fΘ (θ)dθ = LΘ (λ(1 − z)). (3)
θ=0

Si nous consid´rons que Θ ∼ G(α, α),
e
−α
λ(1 − z)
MN (z) = 1+ ,
α

qui est la fonction gń´ratrice des probabilit´s associé ` la loi BN (α, α/(α + λ)).
e e e e a
Les m´langes de Poisson sont identifiables, i.e. si N1 ∼ MPoi(λ, Θ1 ) et
e
N2 ∼ MPoi(λ, Θ2 ) alors
L L
N1 = N2 ⇒ Θ1 = Θ2 .

24


e
Les m´langes de Poisson jouissent d’une propri´t´ trs importante ´tablie par
e ee e
Shaked (1980) et connue comme le “Shaked’s Two Crossings Theorem”.
Proposition 7. Si N ∼ MPoi(λ, Θ) alors il existe deux valeurs enti`res
e
0 ≤ k0 < k1 telle que

λk
Pr[N = k] ≥ exp(−λ) pour k = 0, 1, . . . , k0 ,
k!
λk
Pr[N = k] ≤ exp(−λ) pour k = k0 + 1, . . . , k1 ,
k!
λk
Pr[N = k] ≥ exp(−λ) pour k ≥ k1 + 1.
k!

25


e
> library(stats4); library(MASS)
> FREQUENCE=c(7840,1317,239,42,14,4,4,1)
> x=rep(0:7,FREQUENCE)
> table(x)
x
0 1 2 3 4 5 6 7
7840 1317 239 42 14 4 4 1
> mean(x)
[1] 0.2143537
> var(x)
[1] 0.2889314

26


e
> fitdistr(x,"poisson")
lambda
0.21435366
(0.00475989)
> fitdistr(x,"negative binomial")
size mu
0.701486138 0.214355746
(0.062786579) (0.005438638)
Messages d’avis :
1: In dnbinom_mu(x, size, mu, log) : production de NaN
> library(vcd)
> model.poisson=goodfit(x,type="poisson",method="ML")

27


e
> model.poisson

Observed and fitted values for poisson distribution
with parameters estimated by ‘ML’

count observed fitted
0 7840 7635.622
1 1317 1636.724
2 239 175.4188
3 42 12.53389
4 14 0.671671
5 4 0.028795
6 4 0.001028
7 1 0.000031

28


e
> model.poisson

> summary(model.poisson)

Goodness-of-fit test for poisson distribution

X^2 df P(> X^2)
Likelihood Ratio 302.484 6 2.401523e-62
> plot(model.poisson)

29


e
> model.nb=goodfit(x,type="nbinomial",method="ML")
> model.nb

Observed and fitted values for nbinomial distribution
with parameters estimated by ‘ML’

count observed fitted
0 7840 7847.0055590
1 1317 1288.3613321
2 239 256.5374241
3 42 54.0688144
4 14 11.7105586
5 4 2.5772550
6 4 0.5732035
7 1 0.1284389

30


e
> summary(model.nb)

Goodness-of-fit test for nbinomial distribution

X^2 df P(> X^2)
Likelihood Ratio 17.00285 5 0.00449439
> plot(model.nb)

31


Segmentation en assurance

D´finition 8. On qualifie de segmentation toute technique que l’assureur utilise
e
pour diff´rencier la prime, et ´ventuellement aussi la couverture, en fonction
e e
d’un certain nombre de caract´ristiques spćifiques du risque ` assurer, et ce afin
e e a
de parvenir ` une meilleure concordance entre les coˆts qu’une personne
a u
d´terminé met ` charge de la collectivit´ des preneurs d’assurance et la prime
e e a e
que cette personne doit payer pour la couverture offerte. Dans certains cas, cela
peut impliquer que l’assureur refuse le risque ` assurer.
a

32


Segmentation et esp´rance conditionnelle
e
Si N ∼ MPoi(λ, Θ), la fonction de r´partition de Θ sachant que N = n, not´e
e e
FΘ (·|n),

Pr[Θ ≤ t, N = n]
FΘ (t|n) =
Pr[N = n]
t (λθ)n
0
exp(−λθ) n! dFΘ (θ)
= (λθ)n
R+
exp(−λθ) n! dFΘ (θ)
t
0
exp(−λθ)θn dFΘ (θ)
= n dF (θ)
.
R+
exp(−λθ)θ Θ

On peut alors en calculer l’esp´rance :
e

E[Θ|N = n] = θdFΘ (θ|n)
R+

33


e
qui donne ﬁnalement
t
exp(−λθ)θn+1 dFΘ (θ)
0
E[Θ|N = n] = n dF (θ)
.
θ∈R+
exp(−λθ)θ Θ

34


e
On v´rifie ais´ment que l’esp´rance conditionnelle poss`de les propri´t´s
e e e e ee
suivantes : quelles que soient les variables alátoires X1 , X2 et X3 , et la constante
e
rélle c,
e
(i) E[c|X1 = x1 ] = c quel que soit x1 ∈ R.
(ii) E[X1 + X2 |X3 = x3 ] = E[X1 |X3 = x3 ] + E[X2 |X3 = x3 ] quel que soit x3 ∈ R.
(iii) E[cX1 |X2 = x2 ] = cE[X1 |X2 = x2 ], quel que soit x2 ∈ R.
(iv) quelle que soit la fonction g, E[g(X1 , X2 )|X2 = x2 ] = E[g(X1 , x2 )|X2 = x2 ]
quel que soit x2 ∈ R.
(v) si X1 et X2 sont ind´pendantes alors E[X1 |X2 = x2 ] = E[X1 ].
e

35


e
A moins que X1 et X2 ne soient ind´pendantes, la loi de X1 sachant X2 = x2
e
d´pend de x2 . En particulier, E[X1 |X2 = x2 ] est une fonction de x2 , i.e.
e

E[X1 |X2 = x2 ] = h(x2 ).

On pourrait ainsi s’int´resser ` la variable al´atoire
e a e

h(X2 ) = E[X1 |X2 ].

Proposition 9. La variable al´atoire E[X1 |X2 ] a mme moyenne que X1 :
e

E E[X1 |X2 ] = E[X1 ].

36


e

D´monstration. Lorsque X1 et X2 sont continues, cette ´galit´ s’´tablit comme
e e e e
suit :

E E[X1 |X2 ] = E[X1 |X2 = x2 ]f2 (x2 )dx2
x2 ∈R

= x1 f1|2 (x1 |x2 )dx1 f2 (x2 )dx2
x2 ∈R x1 ∈R

= x1 fX (x1 , x2 )dx1 dx2
x2 ∈R x1 ∈R

= x1 f1 (x1 )dx1 = E[X1 ].
x1 ∈R

Le raisonnement est similaire dans les cas discret et mixte.

37


e
Epinglons ` pr´sent une caract´ristique remarquable de l’esp´rance
a e e e
conditionnelle, qui peut tre prise comme d´finition gń´rale de ce concept.
e e e
Proposition 10. Quelle que soit la fonction h : R → R, nous avons

E h(X2 ) X1 − E[X1 |X2 ] = 0.

D´monstration. La Propri´t´ 9 nous permet d’ćrire
e ee e

E h(X2 ) X1 − E[X1 |X2 ]

= E E h(X2 ) X1 − E[X1 |X2 ] X2

= E h(X2 )E X1 − E[X1 |X2 ] X2 = 0,

ce qui ach`ve la v´rification du r´sultat annonc´.
e e e e

38


On peut voir X1 − E[X1 |X2 ] comme un r´sidu (c’est-`-dire comme la partie de
e a
X1 que ne parvient pas ` expliquer X2 ).
a
Ceci garantit que E[X1 |X2 ] est le meilleur pr´dicteur de X1 au sens des moindres
e
carr´s, comme l’indique le r´sultat suivant.
e e
Proposition 11. La variable al´atoire h∗ (X2 ) = E[X1 |X2 ] est celle minimisant
e
E[(X1 − h(X2 ))2 ] sur toutes les fonctions h.

D´monstration. Ecrivons
e

E[(X1 − h(X2 ))2 ] = E[(X1 − E[X1 |X2 ] + E[X1 |X2 ] − h(X2 ))2 ]
= E[(X1 − E[X1 |X2 ])2 ] +E[(E[X1 |X2 ] − h(X2 )2 ]
ind´pendant de h
e

+2 E[(X1 − E[X1 |X2 ])(E[X1 |X2 ] − h(X2 ))]
=0 par d´ﬁnition de l’esp´rance conditionnelle
e e

sera minimum lorsque h(X2 ) = E[X1 |X2 ].

39


e
Il n’y a bien entendu aucune raison de se limiter ` une seule variable
a
conditionnante, et on peut consid´rer un vecteur X de dimension n et d´finir
e e
E[X1 |X2 , . . . , Xn ].
D´finition 12. Consid´rons un vecteur alátoire X de dimension n.
e e e
L’esp´rance conditionelle E[X1 |X2 , . . . , Xn ] de X1 sachant X2 , . . . , Xn est la
e
variable alátoire h∗ (X2 , . . . , Xn ) telle que l’´galit´
e e e

E h(X2 , . . . , Xn ){X1 − h∗ (X2 , . . . , Xn )} = 0, (4)

est v´rifié pour toute fonction h : Rn−1 → R.
e e

40


Transfert de risque sans segmentation
Tentons ` pr´sent de formaliser le probl`me de la segmentation. Consid´rons un
a e e e
assur´ soumis ` un risque S, pr´lev´ au hasard au sein d’un portefeuille
e a e e
d’assurance. Supposons que toutes les caract´ristiques de l’assur´ influen¸ant le
e e c
risque soient reprises dans un vecteur alátoire Ω = (Ω1 , Ω2 , . . .). La notation
e
“om´ga” rappelle que le vecteur du mme nom contient toute l’information `
e a
propos de l’assur´, qu’elle soit observable ou non par l’assureur.
e
On peut imaginer que l’assureur ne tienne compte en aucune mani`re des
e
caract´ristiques Ω de l’assur´, et lui rćlame donc une prime pure de montant
e e e
E[S], la mme que celle qu’il rćlame ` tous les assur´s du portefeuille. Dans ce
e a e
cas, la situation est telle que pr´senté au Tableau 1.
e e

41


Transfert de risque sans segmentation

Assur´s
e Assureur
D´pense
e E[S] S − E[S]
D´pense moyenne
e E[S] 0
Variance 0 Var[S]

Table 1 – Situation des assur´s et de l’assureur en l’absence de segmentation.
e

L’assureur prend donc l’enti`ret´ de la variance des sinistres Var[S] ` sa charge,
e e a
que celle-ci soit due ` l’h´t´rog´n´it´ du portefeuille, ou ` la variabilit´
a ee e e e a e
intrins`que des montants des sinistres.
e

42


Segmentation avec information parfaite
A l’autre extrˆme, supposons que l’assureur incorpore toute l’information Ω dans
e
la tarification. On serait alors dans la situation dćrite au Tableau 2.
e

Assur´s
e Assureur
D´pense
e E[S|Ω] S − E[S|Ω]
D´pense moyenne
e E[S] 0
Variance Var E[S|Ω] Var S − E[S|Ω]

Table 2 – Situation des assur´s et de l’assureur dans le cas o la segmentation est
e
op´ré sur base de Ω.
ee

Contrairement au cas prć´dent, la prime payé par un assur´ pr´lev´ au hasard
e e e e e e
dans le portefeuille est ` pr´sent une variable alátoire : E[S|Ω] d´pend des
a e e e
caract´ristiques Ω de cet assur´.
e e

43


Comme la variable alátoire S − E[S|Ω] est centré, le risque assum´ par
e e e
l’assureur la variance du r´sultat financier de l’op´ration d’assurance, i.e.
e e
2
Var S − E[S|Ω] = E S − E[S|Ω]
2
= E E S − E[S|Ω] Ω

= E Var[S|Ω] .

On assiste dans ce cas ` un partage de la variance totale de S (c’est-`-dire du
a a
risque) entre les assur´s et l’assureur, mat´rialis´ par la formule
e e e

Var[S] = E Var[S|Ω] + Var E[S|Ω] .
→assureur →assur´s
e

44


Ainsi, lorsque toutes les variables pertinentes Ω ont ´t´ prises en compte,
ee
l’intervention de l’assureur se limite ` la part des sinistres due exclusivement au
a
hasard ; en effet, Var[S|Ω] repr´sente les fluctuations de S dues au seul hasard.
e
Dans cette situation idále, l’assureur mutualise le risque et il n’y a donc aucune
e
solidarit´ induite entre les assur´s du portefeuille : chacun paie en fonction de son
e e
propre risque.

45


Segmentation avec information imparfaite
Bien entendu, la situation dćrite au paragraphe prć´dent est purement
e e e
thórique puisque parmi les variables explicatives Ω nombreuses sont celles qui
e
ne peuvent pas ˆtre observés par l’assureur. En assurance automobile par
e e
exemple, l’assureur ne peut pas observer la vitesse ` laquelle roule l’assur´, son
a e
agressivit´ au volant, ni le nombre de kilom`tres qu’il parcourt chaque anné.
e e e
D`s lors, l’assureur ne peut utiliser qu’un sous-ensemble X des variables
e
explicatives contenues dans Ω, i.e. X ⊂ Ω. La situation est alors semblable `
a
celle dćrite au Tableau 3.
e

46


On peut interpr´ter cette d´composition du risque pris en charge par la
e e
compagnie comme suit : l’assureur, lorsque tous les facteurs de risque ne sont pas
pris en compte, intervient pour r´parer les cons´quences fˆcheuses du hasard
e e a
(premier terme de (5) traduisant la mutualisation du risque), mais doit aussi
prendre en charge les variations de la prime pure exacte E[S|Ω] qui ne sont pas
expliqu´es par les facteurs de risque X int´gr´s au tarif (second terme de (5),
e e e
traduisant la solidarit´ induite par une personnalisation imparfaite du montant
e
de la prime). En d’autres mots, en plus de contrer les mauvais coups du sort,
l’assureur doit ´galement supporter la variabilit´ des sinistres due aux
e e
caract´ristiques des assur´s, non prises en compte par le tarif.
e e

48


Tarifications a priori et a posteriori
Toute l’idé qui sous-tend la tarification d’exp´rience est que l’historique des
e e
sinistres r´v`le les caract´ristiques non observables des assur´s. Plus prćis´ment,
e e e e e e
si on note S les informations concernant la sinistralit´ passé des assur´s
e e e
disponibles pour l’assureur, l’information contenue dans (X, S) devient
comparable ` Ω, tant et si bien que E[S|X, S] devrait converger vers E[S|Ω]
a
(dans un sens ` prćiser).
a e

50

Slide 2040-1

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Slide 2040-1

Similaire à Slide 2040-1 (17)

Plus de Arthur Charpentier

Plus de Arthur Charpentier (20)

Slide 2040-1