Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique?              Copules, avenir de lactuariat      ...
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  1. 1. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? Arthur Charpentier http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/ 1
  2. 2. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? 2
  3. 3. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? 3
  4. 4. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? 4
  5. 5. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? 5
  6. 6. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? 6
  7. 7. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? ... de la théorie à la pratique, considérations généralesLe paradoxe de Saint Petersbourg: le prix dun jeu est le produit scalaire desprobabilités et des gains n p, x = pi xi = EP (X), i=1i.e. lespérance mathématique est donc le juste prix des chances (Cournot A.A. (1843). Exposition de la théorie des chances et des probabilités). • réponse de Bernoulli, introduire une utilité morale de largent, i.e. distortion sur les gains, Bernoulli, D. (1738). Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk. Econometrica, 22, 23-36. • réponse de dAlembert, introduire une distorsion sur les probabilités, D’Alembert, J. (1768). Sur lanalyse des jeux. Opuscules mathématiques, 4, 80-92. 7
  8. 8. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? ... de la théorie à la pratique, considérations généralesProblème dallocation dactifs et de frontière decience, deux articles en 1956: • approche moyenne-variance, Markowitz, H. (1956). Portfolio Selection. Journal of Finance 7, 1, 77-91. • approche moyenne-quantile, Roy, A.D. (1956). Safety First and the Holding of Assets. Econometrica, 20, 3, 431-449. 8
  9. 9. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? le problème de la dépendance... les lois elliptiquespremière piste pour générer des lois multivariés dépendentes: les lois elliptiques,extension de la loi normale multivariée. 1. on partir de deux vecteurs X et Y N (0, 1) indépendants 2. on fait subir une homothétie et une rotation q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q qq q qq q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q qq q q qqq q q q qq qq q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q qq q q qqq q q qqq qq q q q q q q q qq qq q qq q q q qq q q q q qq q q qq q q q q q q qq q q q q qq qq q q q q q qq q qq qqq q q q qq q q q q q q q q q q q q q q qq q qq qq q qq q q q qq q q q q qqq qq qq q qq q q q q q q q qq q q q q q q q q q qq qq q q q q q q qq q q q q q q q qq q q q q qq q q q q q q q qq q qq q qq q q q qq q qq q q q q q q q qq q qq qq q q q q qq q q q q q q q q qq qq qq q q qq q qq q q q qq q q q qqq qqq q q q q q qq q q q q q q qq q qq q qq q q q q qq qq q q q q qqq q q q q qqqqq q qq q q q qqq q q qqq q q qq q q q q q q q qq q q q qq q qq q qq q qqq q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q qq q q q qq q q q q q q q q q qq qq q q q qqqqq q q q q q q qq qqq qqqqq q q q q q q q q qq qqq q q q q q q q q qq q q q q qq qqqq q qq q q qqqqq q q q q q q q q q q qq q qqqqqqq q q q q q q q qq q qq q q qqqq q q q q q qq q q q q q qq q q q q q q q q qq q q qq q qq q q q qq q qqq q q q q qqq qq qq q q qq q q q qqq q q q q qq q qq q qq q qqqq q qq qq q qq q qq q qq q q q q q q qq q qq qq q q q qq q qqq q q q q q q qq qqq q q q qq q qqqq q q q q q q qq qqq q qq qqq qqq q q q q q qq q qqq q q q qq q q q q q q q qq qqqqqq qqqqq qq q q q q q qq qqq q q qqqq qqq qq qq qq q q q q q q q q q q q qqq q q q q q qqq q q qq q q q q qq qqqqq q q qqq qqqq q q qqqq qqqqqqqqqqq qq q qq q qq qq q q q q q qq q q q qq qq q q q q qq q q q q q q qq q qq qq qq q q q qqqq qqqqq qqqq q qq q q q q q q qq q q q qqq qqq q q q q q q q q q q qq q q q q q qq q qq q q qq q qqq q q q q q q q qq qq q q qqq q qqq qq q q qq qq q q qqq q qqqqq qq q q q qq q q q qq qqq q q qqqqq qq qq qqqq q q qqq qq q q q q q q q qq q q qq q q q q q q q qq qqq q qq q q q q q q qqqqqqqqqq q qq q qqq qq q q q q q q qq q qq q q q q q q q q q q q q q q q qqqqq qq qq q qq q q q q q qqqqq qq q q qq q q q q q qqqqq q qq qq q qq q qq qq q q q q q q qq q q q q q q q q qqq qqq qq qq qqq qq q qq qq q q q q q q q q q qq q q q q q qq qqq q q qqqq q qq q q q q q qq q q qq q qq q q q q q q q q q q qq q qq q q q q q q q qqq q q qq q q qq qq q qqq qqqq qqq q q q qq q q qq q q qq qqq q qq q q q qqqq qq qq q q qq q q qq q q q q qqq q qq q q qqqq qqq q qq q qq qqq q q qqq qq qq qq qq q qqq qq q q q qq q q q q q q q q q q q qq q qqqqq qq q q qqq q qq qq qq q q q q q q qq q q q q q qq q qqqq qq q q qq q q q q q q qq q qq q q qqq qq q q qqqqqq qq q q q q qqqqqq q qq qqqqqqq q q q qqq q q q qqqq q q q q q qqq q qqq q q q q q q qq q q q q q qq qq qqqqqqq q q q q q q q q qq q q q q q qq qq q q q q q q qqqqqq q q q q qqqq q qqqqqqqq q q q q q q qqq qq qq qqqqq q qqqqq qq qq q q q q q qq qq q q q q qqqqqqq q q q qqqqqqq qq q q q q q qq q q q q q q qqqq q q q qq q q q q qq q q qq qq q qq qq qq qq q qq q qqq q q q q qq q q q q qq q q q qqq q qqq q q q q q q q qqqqq qqqqq qq q q q q qq q q q q q q q q qq q q q qq q q qqqqqq q q q q q q q qqqq qq q q q q q qqqqqq qqqqqqqqqq q q q qq q qqq q q q q q q q qqq qqq q qqqq q qq q qq qq q q qq q qqq qq q qq qqqq q q q qq q q q q q qqq q qq q q q qq q q qq q q q q qq q q q qq q qq q q qq q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q q q qqq q q qqq qqq q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q qq q q qqq qq q q qqq q q q qq qq qqqq qq q qq q q q q q qq q q qq q q q q q qq qqqqq qq qq qqq qq qqqq qq q qqq q q q q q q q q q qq q qq q qq q qq qqq qq q q qqqq q qq q qq q qq q q q q q q q q q qq q qqq qq q qqq q q q q q qq q q q q q qq q q qqqqqq qqq q qq q q q q q q q q qq q q qqqqqq q qq qq q qqq q q q q q q q qq qqqq q qq q q qqq qq q qq q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q qq q q q q q qq q qq qqq qq q q q qq q qq qq qqqq q qqqq qq qq q qq qq q q q q q q q q q q q q q q q qq q qq q q qq q q q q q q qq qq q q q q q q qqq q q q q q q q q q q q q qq q q q qq qq q q q q q q qqq qq qqqqq q qq q q q qq qq q q q q qq q q q q q q qq q qq q qqq qq q q q q q qq q q qq qq qq q q q q qqq q q q q q qq q q q q q q qq q qqq qq q q q q q q q qq q qqq q q q q q q q q q q q q qq q q qq q q q qq q q qq qq qq q q q q q q q q qq q q q q qq q qqq q q qqq q q q q q qq q qq q q q q q q q qq q q q qqq q q q q q qqqq q q q q q q q qq q q q qq q q q q q q q q q q qq q qq q q q q qq q q q qq q q qq q qq q qq q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q qqq qq qq q q q qq q q q q qq q qq qq qq q q qq q q q q q q q q q q qq q qqq q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q qq q qq qq q q q q q q q qq q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q q 9
  10. 10. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? le problème de la dépendance... les lois elliptiquesidée: si X = µ + AX 0 où X 0 ∼ N (0, 1), alors X ∼ N (µ, Σ = A A).on passe ainsi de vecteurs sphériques aux vecteurs elliptiques.marche pour le vecteur Student t multivarié.permet de modéliser dautres types de lois, e.g. des lois binomiales multivariées:modèle probit multivarié (cf CreditMetrics) 10
  11. 11. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? le problème de la dépendance... les mélangesdeuxième piste pour générer des lois multivariés dépendentes: lindépendanceconditionnelle et les modèles de frailty. 11
  12. 12. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? Conditional independence, two classes Conditional independence, two classes 20 3 2 15 1 10 0 !1 5 !2 !3 0 0 5 10 15 !3 !2 !1 0 1 2 3Figure 1: Deux classes de risques, (Xi , Yi ) et (Φ−1 (FX (Xi )), Φ−1 (FY (Yi ))). 12
  13. 13. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? Conditional independence, three classes Conditional independence, three classes 3 40 2 30 1 0 20 !1 10 !2 !3 0 0 5 10 15 20 25 30 !3 !2 !1 0 1 2 3 Figure 2: Trois classes de risques, (Xi , Yi ) et (Φ−1 (FX (Xi )), Φ−1 (FY (Yi ))). 13
  14. 14. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? Conditional independence, continuous risk factor Conditional independence, continuous risk factor 100 3 2 80 1 60 0 40 !1 20 !2 !3 0 0 20 40 60 80 100 !3 !2 !1 0 1 2 3Figure 3: Classes de risques continues, (Xi , Yi ) et (Φ−1 (FX (Xi )), Φ−1 (FY (Yi ))). 14
  15. 15. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? le problème de la dépendance... les chocs communstroisième piste pour générer des lois multivariés dépendentes: les modèles à choccommunpremier exemple, la loi de Poisson Soient X, Y, Z trois variables P(λX ),P(λY ) et P(λZ ) independentes. On pose alors U = X + Z ∼ P(λX + λZ ) et Z = Y + Z ∼ P(λY + λZ )deuxième exemple, la loi exponentielle Soient X, Y, Z trois variables E(µX ),E(µY ) et E(µZ ) independentes. On pose alors U = min{X, Z} et V = min{Y, Z} 15
  16. 16. Arthur CHARPENTIER - Copules, avenir de lactuariat ou gadget statistique? comment comparer ces diérentes dépendancesPour comparer les structures de dépendance, il faut que les lois marginales soientidentiques, • deux lois uniformes sur [0, 1] • deux lois normales centrées réduites N (0, 1)Si X a pour fonction de répartition F continue,F (x) = P(X ≤ x), alors F (X)suit une loi uniforme sur [0, 1]. Aussi, Φ−1 (F (X)) suit une loi N (0, 1). 16

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