Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Statistique de l’assurance, STT 6705
Statistiq...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
R´ef´erences
Denuit, M. & Charpentier, A. (200...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Barˆeme du cours
Le barˆeme pour l’´evaluation...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Programmation et langage
Les graphiques pr´ese...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Plan du cours
• Introduction g´en´erale
• La t...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
• Plan du cours
• Introduction g´en´erale
◦ Le...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Le mod`ele collectif
En tarification, on cherch...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Le mod`ele lin´eaire g´en´eralis´e
En ´econom´...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Les approches dynamiques
En provisionnement, o...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Lexis diagram in insurance
Lexis diagrams have...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Lexis diagram in insurance
but usually we do n...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Lexis diagram in insurance
individual lives or...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Lexis diagram in insurance
and usually, in non...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Lexis diagram in insurance
and finally, recall ...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Lexis diagram in insurance
note that whatever ...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Lexis diagram in insurance
and in both cases, ...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
What can be modeled in those triangles ?
In li...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
• Plan du cours
• Introduction g´en´erale
• La...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Tarification a priori vs. a posteriori
A la fin ...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Les variables explicatives
Les variables expli...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Les variables explicatives
... mais aussi cont...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Les variables explicatives
... que l’on pourra...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Les variables explicatives
On parlera aussi de...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Les nombres de sinistres N
La loi la plus clas...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
La surdispersion et la non-d´eclaration
Si N ∼...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
La surdispersion et la non-d´eclaration
Il est...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
La surdispersion et la non-d´eclaration
si
P(N...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Les coˆuts de sinistres
La loi Gamma est une l...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Les gros sinistres
Il est possible de mutualis...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
20 30 40 50 60 70 80 90
0.20.81.4
Age du condu...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
• Plan du cours
• Introduction g´en´erale
• La...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Introduction au provisionnement
“ Les provisio...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Chain Ladder
0 1 2 3 4 5
0 3209 4372 4411 4428...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Le mod`ele de Mack



H1 E (Ci,j+1|Ci,1...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Les mod`eles factoriels
Assume that
Yi,j ∼ P(µ...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
The log-Poisson regression model
Assume that
Y...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Mod´eliser l’incertitude
q
q
q
q
0 2 4 6 8 10
...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Bootstrap and GLM log-Poisson in triangles
Tot...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Les mod`eles bay´esiens
◦
39
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
• Plan du cours •
• Introduction g´en´erale
• ...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Les notions classiques en assurance vie
Pour c...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Lecture transversable vs. lecture longitudinal...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Le mod`ele de Lee & Carter
Assume here that E(...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
A stochastic model for mortality
Two sets of p...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
A stochastic model for mortality
and one set o...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Errors and predictions
exp[αj + βjγt] exp[αj +...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Forecasting γ
Based on γ = (γ1899, · · · , γ20...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Forecasting γ
Classically integrated ARIMA pro...
Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V
Des taux de d´ec`es aux tables
◦
49
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Slides udm-010910

2 335 vues

Publié le

Publié dans : Économie & finance, Business
0 commentaire
1 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
2 335
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
1 057
Actions
Partages
0
Téléchargements
47
Commentaires
0
J’aime
1
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Slides udm-010910

  1. 1. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Statistique de l’assurance, STT 6705 Statistique de l’assurance II Arthur Charpentier Universit´e Rennes 1 & Universit´e de Montr´eal arthur.charpentier@univ-rennes1.fr ou ou charpentier@DMS.UMontreal.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ 1er septembre 2010 1
  2. 2. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V R´ef´erences Denuit, M. & Charpentier, A. (2005). Math´ematiques de l’assurance non-vie, tome II. ´Economica. Charpentier, A., Goulet, V. & Planchet, F. (2010). Actuariat avec R. Springer Verlag (`a paraˆıtre) Denuit, M. Mar´echal, X., Pitrebois, S. & Wahlin, J.F. (2009). Actuarial Modelling of Claim Counts : Risk Classification, Credibility and Bonus-Malus Systems. Wiley. Frees, E. (2009). Regression Modeling with Actuarial and Financial Applications. Cambridge University Press. de Jong, P. & Helle, G. (2008). Generalized Linear Models for Insurance Data. Cambridge University Press. Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J. & Denuit, M. (2006). Modern Actuarial Risk Theory. Springer Verlag. 2
  3. 3. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Barˆeme du cours Le barˆeme pour l’´evaluation du cours consistera en – un projet (50) de tarification – un projet (25) de provisionnement – un projet (25) de mortalit´e prospective 3
  4. 4. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Programmation et langage Les graphiques pr´esent´es en cours, et les applications sont programm´es en R. Les codes seront mis en ligne sur le blog, ainsi que les bases de donn´ees. 4
  5. 5. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Plan du cours • Introduction g´en´erale • La tarification a priori • Les provisions pour sinistres `a payer (IBNR) • Les tables de mortalit´e prospectives 5
  6. 6. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V • Plan du cours • Introduction g´en´erale ◦ Le mod`ele collectif en tarification, E N i=1 Yi = E(N) · E(Yi) ◦ Les mod`eles lin´eaires g´en´eralis´es, E(Yi|Xi) = g−1 (Xi) ◦ Les mod`eles dynamiques Yi,t • La tarification a priori • Les provisions pour sinistres `a payer (IBNR) • Les tables de mortalit´e prospectives 6
  7. 7. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Le mod`ele collectif En tarification, on cherche `a pr´edire la charge totale de sinistre sur une ann´ee de couverture. Soit N le nombre (al´eatoire) de sinistres survenu sur un an, et Y1, · · · , YN les coˆuts des sinistres (si N > 0). La charge totale annuelle est S = Y1 + · · · + YN . Sous des hypoth`eses d’ind´ependance, E(S) = E(N) · E(Yi) La probabilit´e P peut ˆetre remplac´ee par n’importe quelle mesure garantissant l’ind´ependance, et l’identique distribution des nombres et des coˆuts, E(S|X) = E(N|X) · E(Yi|X) o`u X d´esigne le facteur d’h´et´erog´en´eit´e (i.e. la classe tarifaire). Un proxy sera obtenu `a l’aide de variables de tarificaiton {X1, · · · , Xk} E(S|X1, · · · , Xk) = E(N|X1, · · · , Xk) · E(Yi|X1, · · · , Xk) ◦ 7
  8. 8. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Le mod`ele lin´eaire g´en´eralis´e En ´econom´etrie lin´eaire (classique), on cherche `a approcher E(Y |X1, · · · , Xk) par une forme lin´eaire Y = β0 + β1X1 + · · · + βkXk + ε = Xβ + ε o`u g´en´erallement ε est suppos´e N(0, σ2 ), i.e. (Y |X) ∼ N(Xβ, σ2 ) Or les mod`eles gaussiens ne sont pas appropri´es en assurance. On peut consid´erer un mod`ele Poisson, (N|X) ∼ P(exp(Xβ)) i.e. on change la loi et le lien entre E(Y ) et le score Xβ ◦ 8
  9. 9. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Les approches dynamiques En provisionnement, on s’int´eressera aux cadences de paiements, i.e. combien `a ´et´e pay´e l’ann´ee t pour les sinistres survenus l’ann´ee i, Yi,t. En assurance-vie, on s’int´eressera aux nombres de d´ec`es l’anne t d’individus d’ˆage i. Le vieillissement des sinistres et des assur´es se visualise classiquement via un diagramme de Lexis. 9
  10. 10. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance Lexis diagrams have been designed to visualize dynamics of life among several individuals, but can be used also to follow claims’life dynamics, from the occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 10
  11. 11. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance but usually we do not work on continuous time individual observations (individuals or claims) : we summarized information per year occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 11
  12. 12. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance individual lives or claims can also be followed looking at diagonals, occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 12
  13. 13. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance and usually, in nonlife insurance, instead of looking at (calendar) time, we follow observations per year of birth, or year of occurrence occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 13
  14. 14. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance and finally, recall that in standard models in nonlife insurance, we look at the transposed triangle occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure,occurrence until closure, in life insurance in nonlife insurance 14
  15. 15. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance note that whatever the way we look at triangles, there are still three dimensions, year of occurrence or birth, age or development and calendar time,calendar time calendar time in life insurance in nonlife insurance 15
  16. 16. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Lexis diagram in insurance and in both cases, we want to answer a prediction question...calendar time calendar time calendar time calendar time calendar time calendar time calendar time calendar timer time calendar time in life insurance in nonlife insurance 16
  17. 17. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V What can be modeled in those triangles ? In life insurance, • Li,j, number of survivors born year i, still alive at age j • Di,j, number of deaths of individuals born year i, at age j, Di,j = Li,j − Li,j−1, • Ei,j, exposure, i.e. i, still alive at age j (if we cannot work on cohorts, exposure is needed). In nonlife insurance, • Ci,j, total claims payments for claims occurred year i, seen after j years, • Yi,j, incremental payments for claims occurred year i, Yi,j = Ci,j − Ci,j−1, • Ni,j, total number of claims occurred year i, seen after j years, ◦ 17
  18. 18. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V • Plan du cours • Introduction g´en´erale • La tarification a priori ◦ Tarification a priori vs. a posteriori ◦ Les variables explicatives : par classes vs. continues ◦ Mod´eliser la fr´equence de sinistres : r´egression de Poisson ◦ La non d´eclaration de sinistres et les mod`eles `a inflation de z´eros ◦ Mod´eliser les coˆuts de sinistres : r´egression Gamma vs. lognormale ◦ ´Ecrˆeter les gros sinistres • Les provisions pour sinistres `a payer (IBNR) • Les tables de mortalit´e prospectives 18
  19. 19. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Tarification a priori vs. a posteriori A la fin de l’ann´ee t, on souhaite estimer la prime `a demander `a l’assur´e, πt = E(St+1|X) En assurance a priori, on recherche un proxi de X, i.e. la classe de risque, `a l’aide de variables exog`enes, X1, · · · , Xk, alors qu’en assurance a posteriori, un proxi de X est obtenu `a l’aide de l’historique de l’assur´e, Yt−h, · · · , Yt−1, Yt. ◦ 19
  20. 20. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Les variables explicatives Les variables explicatives peuvent ˆetre discr`etes (classes ou facteurs).... 5% 6% 7% 8% 9% 10% 20
  21. 21. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Les variables explicatives ... mais aussi continues... q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q 20 40 60 80 100 0.000.050.100.150.200.250.30 Age du conducteur principal Fréquenceannuelledesinistre 21
  22. 22. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Les variables explicatives ... que l’on pourra chercher `a lisser 20 40 60 80 100 0.020.040.060.080.100.12 Age du conducteur principal Fréquenceannuelledesinistres 3 degrés de liberté 5 degrés de liberté 10 degrés de liberté 22
  23. 23. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Les variables explicatives On parlera aussi des arbres de r´egression afin de constituer des classes (e.g. d’ˆage)◦ | zone:bcdef puissance < 5.5 zone:bdf zone:bce agevehicule < 10.5 puissance < 7.5 agevehicule < 2.5 0.001162 0.003053 0.004648 0.002260 0.001323 0.004592 0.004274 0.005648 23
  24. 24. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Les nombres de sinistres N La loi la plus classique pour mod´eliser les nombres de sinistres est la loi de Poisson, P(N = n) = e−λ λk k! qui v´erifie E(N) = Var(N) (´equidispersion). Cette loi est de la famille exponentielle, P(N = n) = exp n log λ − λ 1 − log(n!) avec comme param`etre naturel, θ = log λ = log E(Y ). ◦ 24
  25. 25. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V La surdispersion et la non-d´eclaration Si N ∼ P(λ), alors E(N) = Var(N). Si N suit une loi Poisson m´elange, de facteur d’h´et´erog´en´eit´e (inobservable) Θ, i.e. (N|Θ) ∼ P(λΘ), alors E(N) < Var(N) En pratique, si la variance est plus grande que l’esprance, c’est qu’il reste de l’h´et´erog´en´eit´e au sein des classes. Il est possible d’utiliser une loi binomiale n´egative, ou quasi-Poisson P(N = n) = exp n log λ − λ ϕ − log(n!) avec ϕ ∈ R+ le param`etre de surdispersion. 25
  26. 26. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V La surdispersion et la non-d´eclaration Il est aussi possible de consid´erer un mod`ele `a inflation de z´eros, P(Ni = k) =    πi + [1 − πi] · pi(0) si k = 0, [1 − πi] · pi(k) si k = 1, 2, · · · Si pi correspond un mod`ele Poissonnien, on peut alors montrer facilement que Var(Ni) = πiµi + πiµ2 i [1 − πi] > E(Ni) = [1 − πi]µi 26
  27. 27. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V La surdispersion et la non-d´eclaration si P(Ni = k|Xi) =    πi(Xi) + [1 − πi(Xi)] · pi(0|Xi) si k = 0, [1 − πi(Xi)] · pi(k|Xi) si k = 1, 2, · · · la forme de πi(Xi) est ici ◦ 20 30 40 50 60 70 80 0.50.60.70.80.9 Age du conducteur princpal Probabilitédenepasdéclarerunsinistre 27
  28. 28. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Les coˆuts de sinistres La loi Gamma est une loi de la famille exponentielle mais pas la loi lognormale. Mais si log Y = Xβ+ (mod`ele lognormale), alors E(Y ) = exp Xβ + 1 2 σ2 = exp (Xβ) ◦ 28
  29. 29. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Les gros sinistres Il est possible de mutualiser les gros sinistres parmi tous les assur´es, pas seulement ceux de la classe tarifaire, ◦ 29
  30. 30. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V 20 30 40 50 60 70 80 90 0.20.81.4 Age du conducteur principal Impactrelatif 20 30 40 50 60 70 80 90 0.20.81.4 Age du conducteur principal Impactrelatif 30
  31. 31. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V • Plan du cours • Introduction g´en´erale • La tarification a priori • Les provisions pour sinistres `a payer (IBNR) ◦ La probl´ematique des provisions, et les IBNR ◦ La m´ethode Chain Ladder ◦ Le mod`ele de Mack, E(Ci,t) = λt · Ci,t−1 ◦ Les mod`eles factoriels, E(Yi,t) = exp[αi + βt] ◦ Incertitude `a ultime vs. incertitude `a un an ◦ Bornhuter-Ferguson, Cape-Code et les mod`eles bay´esiens • Les tables de mortalit´e prospectives 31
  32. 32. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Introduction au provisionnement “ Les provisions techniques sont les provisions destin´ees `a permettre le r´eglement int´egral des engagements pris envers les assur´es et b´en´eficaires de contrats. Elles sont li´ees `a la technique mˆeme de l’assurance, et impos´ees par la r´eglementation.” ◦ 32
  33. 33. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Chain Ladder 0 1 2 3 4 5 0 3209 4372 4411 4428 4435 4456 1 3367 4659 4696 4720 4730 2 3871 5345 5398 5420 3 4239 5917 6020 4 4929 6794 5 5217 et et 0 1 2 3 4 5 0 3209 4372 4411 4428 4435 4456 1 3367 4659 4696 4720 4730 4752.4 2 3871 5345 5398 5420 5430.1 5455.8 3 4239 5917 6020 6046.15 6057.4 6086.1 4 4929 6794 6871.7 6901.5 6914.3 6947.1 5 5217 7204.3 7286.7 7318.3 7331.9 7366.7 Le montant total de provision est 2427 ◦. 33
  34. 34. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Le mod`ele de Mack    H1 E (Ci,j+1|Ci,1, ..., Ci,j) = λj · Cij pour tour i = 0, 1, .., n et j = 0, 1, ..., n − 1 H2 (Ci,j)j=1,...,n et (Ci ,j)j=1,...,n sont ind´ependant pour i = i . H3 Var (Ci,j+1|Ci,1, ..., Ci,j) = Ci,jσ2 j pour tout i = 0, 1, ..., n et j = 0, 1, ..., n − 1 E [Ri − Ri]2 |Fi = R2 i n−i−1 k=0 σ2 i+k λ2 i+k C·,i+k + σ2 n−1 [λn−1 − 1]2 C·,i+k ◦ 34
  35. 35. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Les mod`eles factoriels Assume that Yi,j ∼ P(µi,j) where µi,j = exp[αi + βj]. the occurrence factor αi the development factor βj 35
  36. 36. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V The log-Poisson regression model Assume that Yi,j ∼ P(µi,j) where µi,j = exp[αi + βj]. It is then extremely simple to calibrate the model,◦ Yi,j = exp[αi + βj] Yi,j = exp[αi + βj] on past observations on the future 36
  37. 37. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Mod´eliser l’incertitude q q q q 0 2 4 6 8 10 02468 q q q q q 37
  38. 38. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Bootstrap and GLM log-Poisson in triangles Total amount of reserves ('000 000$) 10 15 20 25 30 (log-Poisson + bootstrap versus lognormal distribution + Mack) ◦ 38
  39. 39. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Les mod`eles bay´esiens ◦ 39
  40. 40. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V • Plan du cours • • Introduction g´en´erale • La tarification a priori • Les provisions pour sinistres `a payer (IBNR) • Les tables de mortalit´e prospectives ◦ La mod´elisation de la mortalit´e en actuariat, hpx = P(T > x + h|T > x) ◦ Lecture transversale ou longitudinale du diagramme de Lexis ◦ Le mod`ele de Lee & Carter, E(µi,t) = exp[αi + βiγt] ◦ De la mod´elisation du taux de d´ec`es aux tables prospectives 40
  41. 41. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Les notions classiques en assurance vie Pour calculer la probabilit´e de survie, on note que hpx = P(T > x + h|T > x) = P(T > x + 1|T > x) · · · P(T > x + h|T > x + h − 1) i.e. hpx = 1px · 1px+1 · · · 1px+h−1 = h−1 i=0 px+i autrement dit seul le vecteur des px suffit pour calculer toutes les probabilit´es. Mais ces probabilit´es ne prennent pas en compte le vieilissement, i.e. hpt x = Pt(T > x + h|T > x) = Pt(T > x + 1|T > x) · Pt+1(T > x + 2|T > x + 1) · · · P ◦ 41
  42. 42. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Lecture transversable vs. lecture longitudinale Taux de mortalit´e µx,t, ◦ Age 0 20 40 60 80 Année 1900 1920 1940 1960 1980 2000 tauxdemortalité −8 −6 −4 −2 42
  43. 43. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Le mod`ele de Lee & Carter Assume here that E(D|α, β, γ) = Var(D|α, β, γ), thus a Poisson model can be considered. Then Dj,t ∼ P(Ej,t · µj,t) where µj,t = exp[αj + βjγt] the age factors (αj, βj) the time factor t 43
  44. 44. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V A stochastic model for mortality Two sets of parameters depend on the age, α = (α0, α1, · · · , α110) and β = (β0, β1, · · · , β110). q q q q q q q qqqqq q q q q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qq q qq q q q qq q q q q q q q q qq q q q q q q q qqqqqq 0 20 40 60 80 q qq q q q q q qqqqqq q q q q q q q qqq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqq 0 20 40 60 80 44
  45. 45. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V A stochastic model for mortality and one set of parameters depends on the time, γ = (γ1899, γ1900, · · · , γ2005). qq qqqqqqq qq q q qq q q q q q q qq qqqqq qq q qqqqqqqqqq q qq q q q q q q q qq qq qqq q qqq q qq qq qqqq qqqqqqq qqqqq qq qqq qqqqq qq qqq qqq qqqq qq 1900 1920 1940 1960 1980 2000 45
  46. 46. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Errors and predictions exp[αj + βjγt] exp[αj + βj ˜γt] on past observations on the future 46
  47. 47. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Forecasting γ Based on γ = (γ1899, · · · , γ2005), we need to forecast γ = (γ2006, · · · , γ2050). qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qq qq qq q q qqqqqqqqqq qqqqqqqqqq q qq q q q q q qq qq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqq 1900 1950 2000 2050 47
  48. 48. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Forecasting γ Classically integrated ARIMA processes are considered, ◦ qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qq qq qq q q qqqqqqqqqq qqqqqqqqqq q qq q q q q q qq qq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqq 1900 1950 2000 2050 48
  49. 49. Arthur CHARPENTIER, Statistique de l’assurance, sujets sp´eciaux, STT 6705V Des taux de d´ec`es aux tables ◦ 49

×