1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
1. 熱學與理想氣體
熱學與理想氣體
JULY 24, 2015
相關版權說明：
部分圖片來自各版本教科書或網
路，版權仍屬原創者所有
講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)
本章的目的
圖片是臺灣鐵路管理局 CK124 號蒸氣機車於平溪線行駛。本章將
簡略說明其運作的基本原理‐除了之前學到「質量、長度、時間」，
現在我們要開始其他基本量─如物質的溫度、壓力等等。
而溫度與後來微觀的分子運動有密切的相關，運用氣體分子的運
動來了解巨觀的物理現象，就像一粒沙中見世界一般。
也就是說我們開始想知道溫度與系統之間的關係‐熱力學
(thermodynamics)。最後會發現這部分可以解釋物質重要性質以
及原子、分子的關聯性。
3.
1‐3 1.1 溫度與熱平衡
1.1 溫度與熱平衡
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 了解熱平衡與溫度之間的關係
2. 了解溫度計及量測溫度
3. 知道溫標的意義與常見溫標
4. 瞭解科學溫標(克式溫標)訂定的原因
熱平衡 Thermal equilibrium 與溫度 Temperature
1.熱力學第零定律 Zeroth law of thermodynamics)
三個物體 A、B、C，如果 A 與 B 達到熱平衡，B 也與 C 達到
熱平衡，我們稱 A 與 C 也達成熱平衡。
2.溫度(Temperature)量測的原則
在科學上討論物體 冷熱程度 必須要有一個客觀的物理量，
稱為溫度
當兩個不同冷熱的物體放在一起，不與外界接觸(完全隔熱)
經過一段長時間後，兩物體會達到相同的冷熱程度
3.溫標：用來表示溫度數值的概念(或量尺)
攝氏溫標：公制單位
一大氣壓下，水的冰點 0℃，水的沸點為 100℃
華氏溫標：
一大氣壓，用冰+鹽的混合物，達到最低溫時候，定為 0 o
F
因此，可得 水的冰點 32 0
F，水的沸點為 212 o
F
克氏溫標：
以熱力學理論建立，沒有範圍限制，並不受物質影響。
溫標換算
說明：
0 32 273
100 0 212 32 373 273
c Ft t T
4.溫度計：利用 熱力學第零定律 原理，測量物體溫度的設備
基本條件：短時間內達到平衡、靈敏度高、測量時不產生
相變、隨溫度變化是均勻的
常見的溫度計
圖 1‐1 熱平衡概念
From:
http://www.physicsisawesome.c
om
圖 1‐2 溫標換算示意圖
4.
1‐4 熱學與理想氣體
科學小故事‐第一支溫度計?!
根據歷史，發現溫度計的科學家
至少有 Galileo Galilei, Cornelis
Drebbel, Robert Fludd, or Santorio
Santorio，簡單說，溫度計是不是
一個單一科學家的發明，而是科
學概念發展的產物。
伽利略(Galileo Galilei)
伽利略(Galileo Galilei)在早年學習
醫學的過程中，認識到人的生病
與體溫變化有很大的關係。伽利
略想：能不能發明一種可以精確
地測出病人體溫的儀器呢?
最後，他利用空氣的熱脹冷縮，
在 1593 年做出溫度計裝置‐以空氣
為測溫物質，由玻璃泡內空氣的
熱脹冷縮來指示冷暖程度．因
而，被認定是第一支溫度計
參考資料
1.http://tc.wangchao.net.cn/zhidao/
detail_2850836.html
2.https://en.wikipedia.org/wiki/Ther
mometer
3.https://www.mpiwg‐
berlin.mpg.de/en/research/projects
/DEPT1_Valleriani‐GalileoEngineer
固體溫度計：利用固體的熱脹冷縮的性質來測量溫度
液體溫度計：利用液體的熱脹冷縮的性質來測量溫度
水銀溫度計：適合測量高溫(範圍-39℃~357℃)
酒精溫度計：適合測量低溫(範圍-115℃~78℃)
氣體溫度計：依據查理-給呂薩克定律(稍後介紹)
定容氣體溫度計
定壓氣體溫度計
電阻溫度記：利用金屬電阻隨溫度上升而增大的特性來測量
溫度
例題1.：溫標換算-中學複習
華氏 100 度等於攝氏若干度？ (A)36.8℃ (B)37.8℃ (C)38.8℃
(D)39.8℃
解：
答：B
類題：某個新溫標將水的冰點定為 80 度，沸點定為-80 度，則
50°C 相當該溫標的幾度？答：0 度
1. 某定量氣體在定壓下，其體積與溫度的關係，如右圖所示。
則當氣體溫度為 t ℃時( t1 < t < t2) 的體積為何?
2. 什麼溫度下華氏溫度與攝氏溫度具有相同讀數﹖
3. 子軒設計一種溫度計，將水的冰點定為 -20°，沸點定為 130°
其間區分為 150 個等分，謂之軒氏溫標，求軒氏溫標 60°相
當於攝氏多少度﹖
範例 演練
課後 練習題
練習題答案
1. 1
12
121 ))((
V
tt
VVtt
2. －40 ℃ 3. 53.3℃
5.
1‐5 1.2 熱量的計算
1.2 熱量的計算
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 區分熱量與溫度的差異
2. 了解熱容量、比熱的意義，並區分兩者的關係
3. 理解熱能是由於溫差而產生能量轉換。
4. 理解孤立系統的熱能具備守恆性。
5. 了解焦耳實驗與熱功當量的意義
6. 理解熱能與物質內的微觀分子隨機運動有關
熱的本質
1.熱質說：熱是物質(此模型被證明是錯誤的)
認為熱是無色、無味，又沒有質量的流質，稱為熱質。
熱質不能產生，也不能消失，總量維持 守恆 。
熱質增加時，溫度會 升高 ，而熱質減少，使溫度 降低 。
2.熱動說：熱是能量
1798 年，經過侖福特發現及後來焦耳不斷的實驗測定，認為
熱乃能量的另一種形式，可以和其他的能量形式互相轉換。
更了解到熱是組成物質的微小粒子的運動表現-可視為原子、
分子間的力學能。
焦耳熱功當量實驗
1.在 1848 年時，焦耳作了一個精細的實驗，測定熱與功的數量關
係，實驗裝置如右圖
2.實驗原理
重力所作的功可以視為完全被槳葉與液體的摩擦力所損耗，
轉變成熱的形式。
焦耳發現無論用任何液體作實驗，最後得到的 J 都相同，我們
便稱之為熱功當量（熱與功相當的量），如今公定：
4.187J 焦耳/卡
3.焦耳的實驗：
證明熱為 能量 的一種形式，可與力學能互相轉換
力學能守恆定律 能量守恆定律
補充說明：關於熱力學第二定律
特別注意，力學能（功）可以全部轉換成熱，但是熱卻不能全部
轉換成功，即使用再好的儀器都無法達到這個目的，這是熱力學
第二定律的敘述，也因此永動機是無法存在。
圖 1‐3 焦耳熱功當量實驗裝置
圖 ‐1840~1878 年進行數百次實
驗，當時報告中，記載的數據是
4.15 焦耳/卡
From:Wiki
6.
1‐6 熱學與理想氣體
熱容量(Heat Capacity)
1. 定義：物體升高 1℃(降低 1℃)，所吸收(放出)的熱量
Q
C
t
單位：cal/℃
2. 性質：
與物質的種類及相態有關。
經實驗發現，同一物質而言，熱容量與 質量 成正比關係
比熱(Specific Heat)
1. 一克的物質溫度升高 1℃所需要的能量，稱為比熱
Q
s
m t
單位：cal/g℃ 如：水的比熱為 1.0 cal/g℃
2. 性質：
與物質的 材質 有關，可以用來區分物質種類
比熱的值表示各物質溫度變化的難易程度
說明：比熱的大小對氣候有很大的影響，也是海洋性與大陸
性氣候主要形成原因
常見氣體中比熱最大者為氫，液體比熱最大者為水
熱容量與比熱的關係： C m s
實際上：物質的比熱隨溫度而改變，若溫度變化不大時，視
為定值。
多種混合物的熱容量與比熱
混和物的熱容量： 1 2 3 iC C C C C
說明：
混合物的比熱： 1 1 2 2 3 3
1 2 3
i i
i
m sm s m s m s
s
m m m m
說明：
圖 1‐5 化學家布萊克(Joseph
Black,1728~1799,蘇格蘭人)
成功釐清溫度和熱量這兩個觀
念；他認為溫度不能代表含熱
的多寡，並重新表述熱量的觀
念‐現不同的物質以相同的熱源
在相同的時間加熱，上升的溫
度各有不同，因此提出比熱的
觀念
圖 1‐4 Herman Boerhaave,
1668~1738,荷蘭人
布爾哈夫將華氏 40 度的冷水與
相同質量華氏 80 度的熱水相
混，得到華氏 60 度的溫水，他
根據溫度代表物體含熱質的多
寡，證明熱水放出的熱等於冷
水吸收的熱，得到熱量守恆的
的最初表述。
然而，對於不同質量以及不同
材質的兩物體，相混合的溫度
變化，他就無法解釋了，這顯
示溫度代表含熱多寡的概念出
現問題，在當時稱為「布爾哈
夫疑難」。
7.
1‐7 1.2 熱量的計算
熱量(Quantity of Heat)
1.在 1948 年，國際度量衡大會為表明熱是由於溫度差而產生轉
移能量。
2.物體的比熱為 s、質量為 m，若此物體的溫度由 T1 變化至 T2
數學形式： 2 1 2 1( ) ( )H C T T ms T T ms T 。
單位：H(卡)、m(公克)、T1 及 T2(℃)、s（卡/公克-℃）。
若 ΔH 為正，表示物體 吸熱 ；
若 ΔH 為負，表示物體 放熱 。
一卡：一大氣壓下，1 克純水從 14.5℃上升到 15.5℃所吸
收的熱量
例題2.：熱平衡-不考慮相態改變
一質量為 100g 的銅製容器，內裝質量為 300 克的冷水，其初溫為
室溫 20℃。另有一塊浸於沸水中的鋁塊，質量為 200 克。現在把
鋁塊放入容器內的冷水中，已知銅的比熱為 0.092 cal/g℃、鋁的比
熱為 0.215 cal/g℃，若不計熱的散失，則水的末溫為何？
解：
類題：400 公克 98℃的鐵塊投入 100 公克 14℃水中，最後溫度為
40℃，則鐵塊比熱為______卡/公克-度。 答：13/116
範例 演練
熱平衡
兩物體到達熱平衡的過程中，溫
度高的物體所放的熱量，等於溫
度低的物體所吸收的熱量。
當兩物體達到熱平衡時，兩物體
具有相同的溫度
本章並不難，唯一討厭的
地方是熱學範圍的數字都
在小數一位或兩位之間，
建議平常練習時候，使用
計算機。
8.
1‐8 熱學與理想氣體
例題3.：基礎題[101.指定科考]
有一質量為 m、比熱為 s 的金屬小珠子自高處靜止落下，由於空
氣阻力的緣故，珠子落地前以等速度 v 下降。假設空氣對珠子的
阻力所導致的熱全部由珠子吸收，而不考慮珠子的熱散失，令重
力加速度為 g，且所有物理量均採 SI 制，則在珠子落地前以等速
度 v 下降時，珠子的溫度每單位時間升高多少？
(A)
gv
ms
(B)
gv
s
(C)
mv
gs
(D)
gs
v
(E)
v
gs
解：
答：B
類題：若不計空氣阻力，今有一質量為 5 公斤的重錘，從地面 80
公尺高處自由落下時，保持 20℃之溫度。試回答下列各題：
(1) 當重錘觸地之瞬間，其動能為_____焦耳。（g=9.8 m/s2
）
(2) 若重錘比熱為 0.09 卡/公克-℃，且有一半的動能在與地面碰
撞時轉為重錘之熱能，則其溫度可達多少℃
答：(1)3920J (2)21℃
1. 有 A 和 B 兩種液體，其質量、比熱、初溫分別為 m1、s1、t1
與 m2、s2、t2，今將兩者均勻混合，假設不發生化學變化也無
熱量散失，則混合液體的(1)末溫 (2)熱容量 (3)比熱為何
2. 將 A、B 兩金屬以相同熱源加熱，所得的溫度與時間關係如
右圖。設 A、B 均為 0.25 kg，熱源供熱 100 卡/秒，求：
A、B 比熱各為何？(2)欲以 A、B 製成比熱為 0.064 卡/克℃的
合金，A、B 的質量比為若干？ (3)A 質量 100 克，B 質量 50
克所作成的合金比熱為何？
3. 若焦耳實驗中，兩重錘質量均為 10 kg，降落距離 2 m，反覆
升降 10 次，容器中的水 1 kg，容器總質量 2 kg，比熱
0.113 cal/g℃，結果水溫上升 0.76℃，若不計熱量散失，求熱
功當量。
4. 高空下落的雨滴，因受到空氣阻力，落地前會以等速下降。
一雨滴的質量為 2.710
－7
公斤，落地前以等速度下降，設在
課後 練習題
9.
1‐9 1.2 熱量的計算
此等速運動期間，雨滴受空氣阻力所產生的熱量有 30％被雨
滴吸收，且雨滴的質量保持不變，若此雨滴每秒溫度升高
0.02C，則雨滴速度為若干 m/s？（g＝10 m/s2
，1 卡＝4.2J）
5. 光滑水平面上，質量均為 0.5 kg 的 A、B 兩個相向運動的泥
球，發生對正碰撞後合為一體。已知碰撞前 A 的速率為 10
m/s，B 的速率為 20 m/s，則
(1)碰撞過程共損失多少力學能？ (2)若所有損失的力學能均轉
6. 10℃。今先將甲和乙接觸達熱平衡後分開， 再將乙和丙接觸
達熱平衡後分開，若僅考慮三金屬球間的熱傳導，且無其他
熱流失，則以下敘述哪些是正確的？ (A)甲的最終溫度為 30
℃ (B) 乙的最終溫度為 20℃ (C)甲、乙、丙三者的最終攝
氏溫度比值為 2：1：1 (D)甲、乙、丙三者的熱容量比值為
1：1：2 (E)甲、乙、丙三者的熱容量比值為 1：1：1。[95.
指定科考]
7. 下列有關熱的敘述何者正確？ (A) 當兩物體接觸時，熱量一
定由溫度高的物體流向溫度低的物體 (B) 互相接觸的兩物體
在達到熱平衡後，一定含有相同的熱量 (C) 溫度高的物體比
溫度低的物體一定含有更多的熱量 (D) 物體吸收熱量之後，
其溫度一定會升高 (E) 熱容量的因次與能量的因次相同。
[100.指定科考]
練習題答案
1. (1)
2211
222111
smsm
tsmtsm
(2) 2211 smsm (3)
21
2211
mm
smsm
2. (1) 0.08 cal/g℃、0.04 cal/g℃ (2)3：2 (3)0.067 cal/g℃
3. 4.2 J/cal 4. 28 5. (1)112.5 焦耳 (2)0.054℃ 6. BCD
7.A
10.
1‐10 熱學與理想氣體
1.3 熱膨脹
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 理解物體膨脹(或收縮)在微觀範圍可視為分子(原
子)之間距離增加(或縮小)
2. 知道線性膨脹的長度變化量與溫度變化量、線膨脹
係數、初始長度有關。
3. 知道面積膨脹的面積變化量與溫度變化量、面膨脹
係數、初始面積有關。
4. 知道體積膨脹的體積變化量與溫度變化量、體膨脹
係數、初始體積有關。
熱膨脹 Thermal expansion
1.原因：溫度升高，分子的平均距離增加
圖 1-6 熱膨脹的微觀表現
2.線性膨脹：一般物體受熱會有均勻向外膨脹現象，受冷均勻向
內收縮，若只考慮物體長度的膨脹現象，則稱為線膨脹
說明：膨脹量 ΔL 與原長 L0 及上升的溫度 ΔT 成 正比
0L L T
：線膨脹係數 coefficient of linear expansion
應用：橋樑的伸縮縫
物質
線膨脹係數
α( 10-6 o
C-1
)
鋅 30.2
鉛 28.9
銅 16.5
鐵 11.8
普通玻璃 9.0
合成石英 0.5
L0
L
ΔL
T0
T0 +ΔT
L0
L
ΔL=?
T0
T0 +ΔT
11.
1‐11 1.3 熱膨脹
面膨脹： 0 (1 )A A T
0A ：0℃時的面積 ：面膨脹係數
說明：
體膨脹： 0 (1 )V V T
0V ：0℃時的體積 ：體膨脹係數
密度的改變： 0 (1 )T
Wolfram Mathematica. Demo
Thermal Expansion of Solids
http://demonstrations.wolfram.com/ThermalExpansionOfSolids/
圖 1‐7 面膨脹的示意圖
圖 1‐8 體膨脹的示意圖
12.
1‐12 熱學與理想氣體
例題4.：基礎題-【87 台北區聯合模擬考】
在舖設台灣高鐵時，根據調查沿線各地氣溫在 0℃到 50℃之間，
假設施工時氣溫為 20℃，已知使用的鋼軌線膨脹係數
15106
/℃，假設每條鋼軌在此氣溫下的長度為 100m，則舖設時
鋼軌間預留的空隙至少為多少?
解：
答：4.5 cm
類題：每段鐵軌在 10℃時長 20 公尺，要舖鐵路的地方最高氣溫
40℃，最低氣溫20℃，設最高溫時鄰接兩段鐵軌間恰無空隙，
則最低溫鄰接兩段鐵軌之間隙約為：(A) 8.1 公分 (B) 4.2 公分
(C) 3.6 公分 (D) 1.3 公分 答：D
例題5.：單擺的校正-線膨脹的應用
有一擺線為鋼製的時鐘，在 15℃時校準，則在室溫升至 30℃時，
此鐘每天要差多少秒？
（鋼的線膨脹係數 105
101.1
C ）
解題概念：
單擺公式：
g
L
T 2 快速公式： tTT
2
1
負號表示變快
解
範例 演練
使用二項式定理。
n
1 (1 x) 1x nx
13.
1‐13 1.3 熱膨脹
類題：有一掛鐘，其擺由黃銅製成，當溫度為 20℃時，此鐘擺恰
好準確，若黃銅的線膨脹係數為 1.89105
/℃，則在 30℃時，
此掛鐘每小時(A)快 3.1 秒 (B)快 1.3 秒 (C)慢 1.5 秒 (D)慢 1.07
秒 (E)慢 0.34 秒。 答：E
1.每小時走快2秒的掛鐘，欲使其準確應將擺長拉長或縮短為原來
之若干倍?
2.線膨脹係數為3.0×10-5
℃-1
的合金所製成的鐘擺，在5℃時恰為準
確，在25℃的溫度中連續使用30天，則比標準時間快或慢了多
少?
3.用一把在0℃時校正好的銅質直尺測量鋼棒的長度，其讀數為a ;
在20℃時進行相同測量時其讀數為b，則a、b之值何者較大?(已
知鋼棒的線膨脹係數較銅尺小)
4.某物體線膨脹係數α，0C時的密度為ρ，則溫度上升至tC，密
度變化為何？
5.金塊在20°C時的密度為19.3公克/公分3
，已知金的線膨脹係數為
1.3910
－5
°C
－1
，則當溫度升高為100°C時，其體積約為20°C時
的幾倍(取至小數點以下第3位)？當時的密度為若干公克／公分3
（取至小數點以下第2位）？
6.一金屬圈及一金屬球分別由線膨脹係數為α1及α2的材料製成。已
知溫度在0°C時，兩者半徑分別為r1及r2，其中r1＜r2。若溫度在t
時，r1＝r2，則t為多少°C？[85.日大]
7.某定量氣體在定壓下，其體積與溫
度的關係，如右圖所示。則當氣體
溫度為t℃時( t1 < t < t2) 的體積為
何?
課後 練習題
練習題答案
1.拉長
900
901
倍 2.慢 13 分鐘 3. a 值較大 4.－3αρt 5. 1.003，
19.24 6. 2 1
1 1 2 2
r r
r r
－
－
7. 1
12
121 ))((
V
tt
VVtt
0 t1 t2
o
C
v2
v1
14.
1‐14 熱學與理想氣體
1.4 物質的三態變化與潛熱
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 解釋在物質三態變化的關係
2. 了解壓力與溫度對物質狀態的影響
3. 理解三相圖及沸點、熔點與壓力之間關係
4. 知道潛熱的意義與種類。
物質的三態
1.物質的狀態： 固態 、 液態 、 氣態
圖 1‐9 物質的三種狀態：有左至右依序為固態、液態、氣態
2.影響狀態的主要變因： 溫度 、 壓力
以溫度為橫軸，壓力為縱軸，來描述物質狀態的圖形，稱之
為三相圖。
圖形分為 固態 、 液態 及 氣態 三塊區域。
三相點：在真空容器中，物質的液相、固相、氣相以平衡狀
態同時存在的溫度與壓力由圖 一般物質在凝固後體積縮
小，當壓力加大時，凝固點、沸點升高。
少數物質，在凝固後體積膨脹者，當壓力加大時，凝固點降
低，沸點升高。如冰、銻、鉍、生鐵等
3.物態變化(相變)：物質從一種狀態轉變呈另一種狀態的過程
固
汽化
液 氣
凝結
凝
固
昇
華
凝
固
熔
化
p
T
0
固態
氣態
液態
熔點 沸點
p
T
0
固態
氣態
液態
熔點 沸點
圖 1‐10 上圖 一般物質的三相圖
下圖 少數物質的三相圖
15.
1‐15 1.4 物質的三態變化與潛熱
4. 相變過程中溫度不變：其所吸收(放出)熱能變分子間的位能。
潛熱 Latent heat 是 18 世紀時布萊克便發現物質發生相變時
所吸收或放出的熱量
熔化熱(heat of fusion)：定壓下，一克固體變成同溫度液體所
需要的熱量
例如：冰的熔化熱
汽化熱(heat of vaporization)：定壓下，一克液體變成同溫度
的氣體所需要的能量
例如：水的汽化熱
時間
a
b
c
d
e
溫
度
(
℃
)
Wolfram Mathematica. Demo
Molecular Motion in Solids, Liquids, and Gases
http://demonstrations.wolfram.com/MolecularMotionInSolidsLiq
uidsAndGases/
16.
1‐16 熱學與理想氣體
例題6.：熱平衡的計算【78 日大】
把 200 克之冷金屬塊，投入質量為 100 克，溫度為 10°C 之水中，
平衡後整個系統之溫度為 0°C，金屬塊上並附一層 10 克之冰。已
知該金屬之比熱為 0.10 卡/克-°C，水之凝固熱為 80 卡/克，設整個
系統沒有流失熱量，也沒有從外界獲得熱量，則該金屬塊之原來溫
度為：(A)-20°C (B)-35°C (C)-50°C (D)-85°C (E)-90 °C。
解：
答：E
類題：冰的熔化熱為 80 卡/克，比熱為 0.55 卡/克-°C。如將質
量為 5 克、溫度為-10°C 的冰熔化為 20°C 的水，則需要幾卡的
熱量？
1. 小華將等質量的 70℃的熱水與 0℃的冰塊在絕熱保溫杯中混
合，則混合後的溫度為何? (水的比熱為 1 卡/克℃，冰的熔化
熱為 80 卡/克)
2. 將 100C 的水蒸氣 m1 公克與 0C 的冰 m2 公克混合於絕熱的
容器內；假設蒸氣壓變化的因素可忽略，則達熱平衡之後沒
有冰及水蒸氣（全部變成水），則 m1/m2 須符合什麼條件？
（介於什麼區間）
3. 將同質量之 100°C 之水蒸氣與 0°C 之冰同置於一絕熱容器
內，當達到平衡時，則下列敘述何者為正確？ (A)全部是液
態 (B)全部是氣態 (C)氣態之質量為總質量的
25
54
，液態之質
量為總質量的
29
54
(D)氣態之質量為總質量的
1
4
，液態之質量
為總質量的
3
4
(E)氣態之質量為總質量的
1
3
，液態之質量為總
範例 演練
課後 練習題
17.
1‐17 1.4 物質的三態變化與潛熱
質量的
2
3
。
4. 圖為純水在不同壓力與溫
度時的狀態如圖（未按實
際比例）。若將純水的溫
度維持 0C，壓力自 10
大氣壓下降，直至 10
－3
大氣壓。則在此過程中，
純水的狀態改變情形，下
列何者正確？ (A)固態
液態 (B)固態氣態 (C)液態氣態 (D)固態液態氣態
(E)液態固態氣態。
5. 等質量 0C 的冰，0C 的水及 100C 的水蒸氣三種混合，最
後的溫度為若干C？
6. 在一大氣壓下對 0°C 的冰塊繼續加熱，則： (A)冰塊一面熔
解，溫度一面升高 (B)冰塊每一克吸收 80 卡的熱，就完全熔
解成水 (C)冰塊熔解後，體積不變 (D)冰的表面有昇華現象
(E)水的表面不會有蒸發現象。
7. 溫度為 -10 o
C、質量為 10g
的冰，若每秒固定吸收 1.0
cal 的熱量，在到達如右圖所
示的 D 狀態時，完全轉換成
溫度為 20 o
C 的水。此圖呈
現冰 (或水) 的溫度 T (o
C)
隨時間 t(s)變化關係的示意
圖 (未完全依比例作圖)。已
知冰的熔化熱為 80 g/cal ，水與冰的比熱分別為 1.00
)Cg/(cal o
及 0.50 )Cg/(cal o
。下列敘述中，哪些正確？ (A)
50tt BA 秒 (B) 600tt BC 秒 (C) 300tt CD 秒 (D)
CB tt 時段內，冰與水共存 (E)CD 線段的斜率為 AB 線段
斜率的 0.5 倍。 [94.指定科考]
練習題答案
1. 0 2.
1
8
1
2
m
m
1
3
3.E 4.E 5.100 6.B 7. ADE
t(s)
tA tB tC tD
D
C B
T (o
C )
10
‐10
0
A
‐20
20
18.
1‐18 熱學與理想氣體
1.5 理想氣體 Ideal Gas
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道大氣壓力的成因
2. 知道理想氣體與真實氣體的差異
3. 應用兩種不同形式的理想氣體方程式。
4. 能夠連結理想氣體常數 R 與波茲曼常數 k
壓力（Pressure 又叫做壓強）
1.定義：單位面積上所受的正向力，單位：N/m2
=Pa(帕)
壓力：
cosF F
P
A A
把 ΔA 縮成極小，則我們稱之為該點的壓力：
0
lim
A
F
P
A
2.液體壓力：液體具有重量，層層往下壓，因此產生「液壓」
液壓正比於深度
液壓 P gh， 液體密度, g 重力加速度, h深度
大氣壓力 atmosphere
1. 產生原因：大氣之重量（受重力吸引）所造成的。
地球表面任一點的大氣壓力值，等於在該點的單位面積所承
受該點向上延伸的空氣柱重量
大氣壓力隨高度增加呈現指數式的遞減
2.地表附近的大氣壓力量值=76 cm-Hg
說明：1643 年義大利物理學家托里切利做了測量大氣壓力實驗
單位轉換：
5 2
5
1atm 76cm-Hg 1.013 10 N/m
1.013 10 1.013
帕 巴
2 4 6 8 10 12 14
10
20
30
40
50
60
70
80
高度 h（公里）
指數函數遞減
P eah
大
氣
壓
力
︵
公
分
水
銀
柱
︶
圖 1‐11 大器壓力的示意圖
From Google search
A B C D
水銀
托里切利真
圖 1‐12 大氣壓力可以使水銀上升
76cm 的高度
19.
1‐19 1.5 理想氣體 Ideal Gas
波以耳定律 Boyle's law
1.1662 年，英國化學家波以耳(Robert Boyle)的實驗發現
2.定溫下，密閉容器內定量的低密度氣體，其壓力 P 和體積 V 成
反比 PV 定值
圖 1‐14 波以耳定律
3.物理意義：能量守恆的另一形式
說明：定溫下，氣體的內能不會改變
例題7.：波以耳定律-基礎題
如圖，一端封閉之玻璃管中有一段水銀，此水銀柱長 19cm，當
時大氣壓力為 76cm-Hg，求 x1：x2＝？
答：3：5
壓
力
P
體積 V
Boyle's law
調整氣體體積，就可看到壓力改變
http://ch301.cm.utexas.edu/flash/boyles_law_graph.swf
範例 演練
圖 1‐13 波以耳肖像圖
愛爾蘭自然哲學家，在化學
和物理學研究上都有傑出貢
獻，除了找到氣體定律，還
發現了某些植物的色素可以
在酸性和鹼性條件下出現不
同的顏色，從而引入指示劑
的概念。也根據他的實驗結
果，為酸鹼做出簡單的定
義：「能使石蕊試劑變紅的
是酸；使其變藍的是鹼。」
雖然他的化學研究仍然帶有
鍊金術色彩，他的《懷疑派
的化學家》一書仍然被視作
化學史上的里程碑。
水
銀
空
氣
19
cm
X2
水
銀
空
氣
19
cm
X1
20.
1‐20 熱學與理想氣體
類題：如右圖所示，在一個均勻口徑的毛細管內有 10cm 的空氣
柱被 25cm 長的汞柱所封閉，此毛細管水平置於 75cmHg 壓力之
屋內。
(1)若毛細管之開口端向上而管成垂直方向，問此空氣柱之長度為
若干?
(2)若開口端向下而管成垂直方向，情形如何?
※(3)若開口端向上而管與垂直線成 53°，情形又如何?
答：(1)7.5 cm (2) 15 cm (3) 約 8.3 cm
例題8.：波以耳定律-U 型管
(1)在 25℃、1atm 下，一測氣管如圖，截面積為 1cm2
，需取出若
干 cm3
的水銀才可使左管氣體體積脹至 25cm3
?
(2)欲使兩管水銀面等高，需取出水銀若干 cm3
?
(3)須加入若干cm3
的水銀，才可使左管中氣體體積由20cm3
縮至
10cm3
?
解：
答：(1) 32 cm (2)51.8 cm3
(3)130 cm3
類題：一閉管壓力計，已知開口端水銀柱比閉口端水銀柱高19公
分，閉口端空氣柱高30公分。今如將開口端接於一待測壓力系統，
發現開口端水銀柱仍然較高，但兩端水銀高度差變為9公分大氣壓
力為1atm，則：(1)未接通時閉口端內空氣柱的壓力為何? (2)接待
測系統後閉口端內空氣壓力為何? (3)待測系統壓力為何? 答：
(1)95cm-Hg (2)1.5atm (3)1.38atm
水銀 空氣
25cm 10cm
21.
1‐21 1.5 理想氣體 Ideal Gas
1.有一水銀氣壓計，因水銀柱上的玻璃管內有微量的空氣，致使讀
數不正確，如今當大氣壓力為 76cmHg 時，氣壓計讀數為 74cm，
且其上空氣柱長為 8cm。 若某時氣壓計讀數為 72cm，則正確壓
力為何?
2.一正立的U型管盛有水銀，當右臂中注入13.6公分高的純水時，
左臂的水銀面從原來的液面上升若干?(水銀密度為13.6g/cm3
)
3.直立U形管內盛水銀，成為開管壓力計。當它未連接於任何待測
系統時，在1atm下，將其一端的開口封閉，此時閉口端空氣柱長
為50cm，今將其開口端與一氣體瓶連接後，閉口端空氣柱被壓縮
成40cm，則此氣體之計示壓力為多少公分汞柱？
4.在電梯內做托里切利實驗，當電梯不動時水銀柱高76cm，當電梯
加速度運動時水銀柱高74.48cm，則電梯之加速度為何？
5.U型管之截面積2.0平方公分，一端封閉
充滿氣體，如右圖所示，氣柱長10公分，
而右管水銀面高出25公分，設氣壓為
75cm-Hg，今使左管之水銀面上升2.0公
分，則上升後需加入多少cm3
體積之水銀？
6.一開口壓力計未連接任何待測系統時，在1atm時將一端封閉起來，
此時封閉端的空氣柱長20cm。今如將其另一端開口端與氣體瓶連
接，發現閉口端空氣柱長21cm，若氣體瓶瓶內氣體壓力為36cm-
Hg，則兩端水銀面高度相差約多少？
7.一開管壓力計在1atm下，左管與一待測氣體連接，則左管水銀面
比右管低19cm，則計示壓力為多少atm？
8.小明對某定量理想氣體做壓力P與體積V在恆温下的
實驗，温度為 1T 與 2T 時的P-V曲線如右圖所示。已知 1T
為27℃，下列有關此理想氣體的敍述何者正確？(A)此
理想氣體分子的方均根速率在 1T 與 2T 時相同 (B)此
理想氣體約為27莫耳 (C)此理想氣體約為2.4莫耳
(D) 2T 約為400℃ (E) 2T 約為127℃。 [97.指定科考]
課後 練習題
練習題答案
1. 73.6 cm-Hg 2. 0.5cm 3. 115 4.向上 0.2 m/s2
5. 58
6. 36 7. 0.25 8.CE
22.
1‐22 熱學與理想氣體
定壓-查爾斯-給呂薩克定律
1.1787 年，查爾斯(Jacques Alexander Cesar Charles)藉由研究氧、
氮、氫、二氧化碳以及空氣等在 0℃ 與 100℃ 間熱膨脹的情
形，發現每種氣體的膨脹率都相同。
2.定義：
攝氏溫標：壓力維持不變，密閉容器內定量的低密度氣體，
溫度每上升 1℃，其體積增加 0℃時體積的 1/273.15
0
273.15
t
V V (1+ )
絕對溫標：壓力維持不變，密閉容器內定量的低密度氣體，
其體積和絕對溫度成 正比
V
T
定值
圖 1‐17 定壓氣體溫度計與其體積‐溫度關係圖
定容-查理-給呂薩克定律：
1. 1802 年，給呂薩克基於查爾斯的研究，發現氣體壓力與溫度
2. 定義：
攝氏溫標：體積維持不變，密閉容器內定量的低密度氣體，
溫度每上升 1℃，其壓力增加 0℃時壓力的 1/273.15
0 (1 )
273.15
t
P P
絕對溫標：體積維持不變，密閉容器內定量的低密度氣體，
其壓力和絕對溫度成 正比
P
T
定值
圖 1‐18 定容氣體溫度計構造圖與壓力‐溫度關係圖
P
V
玻
璃
管
軟
橡
皮
管
水
銀
玻
璃管 尺
a
s
b
c
圖 1‐15 查爾斯肖像
以物理學家﹑化學家﹑數學家﹑發
明家留名科學史。當年他只是理出
一個特定的係數值而已，所以並沒
有把它正式發表出來，這個定律也
未引起世人注意。
圖 1‐16 給呂薩克肖像
法國化學家、物理學家。研究氣體的
先驅者。基於查爾斯的研究，於實驗
室中研究氣體的熱膨脹，證明所有氣
體在升高相同溫度時，體積膨脹係數
相同，同一年，發現氣體溫度與壓力
的關係，與查理定律非常相似。
除了對研究氣體的貢獻外，並發現了
硼元素及確定了氫氰酸及氫鹵酸，支
持氫酸論，推翻古老的氧氣論；在應
用化學的研究上則發展了製造硫酸的
給呂薩克塔及製造草酸的改良方法；
因為他也擔任法國造幣廠的首席化驗
師，發明了分析化學的容量分析法及
設計了多種現仍於實驗室使用的玻璃
儀器。
23.
1‐23 1.5 理想氣體 Ideal Gas
例題9.：定壓-查理-給呂薩克定律
一燒瓶內盛空氣，壓力為 1 atm，溫度為 27 C，今加熱而欲將燒
瓶內的空氣逐出 1⁄4，為了保持壓力仍為 1 atm，則瓶內溫度必須
為 C
解：
答：127 度 C
類題：定壓下，定量的理想氣體在溫度 t1℃與 t2℃時之密度比為
3:2，則絕對零度之攝氏溫度為多少？答：3t1–2t2
例題10.：定容-查裡-給呂薩克定律【84 大學推荐甄選試題】
某人乘車出遊，出發前的氣溫 27 C，測得胎壓為 2 atm，經過一
段行程後，再測得胎壓為 2.5 atm，若車胎的膨脹可忽略時，則此
時胎內的溫度為？
解：
答：102 度 C
類題：有一開口玻璃瓶由 27 C 徐徐地加熱到 77 C 後，將瓶口封
閉，再冷卻到 27 C；假設玻璃瓶在整個過程中，體積固定不變，
則冷卻後瓶內氣體的壓力和外界大氣壓力之比值為多少？ 答：
6/7
範例 演練
24.
1‐24 熱學與理想氣體
亞佛加厥學說：
1.1811 年，亞佛加厥(Amedeo Avogadro)提出「相同溫度和相同壓
力下，同體積的任意氣體都含有相同數目的分子」
1 1
2 2
V N
V N
定值
2.國際公定：一莫耳的任何氣體，在 0℃、一大氣壓下，均佔有
22.4 升 的體積。(化學：STP)
3.亞佛加厥數 A=6.02×1023
mol-1
理想氣體方程式 Eqution for Ideal Gases
1.結合上述所有關於氣體定律方程式，可用來描述氣體巨觀現象。
2.定義：當氣體處於低密度狀態時，其壓力 P，體積 V，溫度 T
和莫耳數 n (分子數 N)之間的關係 PV nRT NkT
氣體定律的模擬動畫 http://ch301.cm.utexas.edu/
調整氣體體積、分子數、溫度，觀察壓力
http://ch301.cm.utexas.edu/simulations/gas‐
laws/GasLawSimulator.swf
物理觀點：氣體微粒
1 mole=61023
個
化學觀點：S.T.P 下 1 mole 氣體
P=1atm V=22.4(l)
P=1.013105
(N/m2
)
V=22.410-3
(m3
) (MKS 制)
圖 1‐19 亞佛加厥 肖像圖
義大利化學家，1811 年發表了亞佛
加厥假說，也就是今日的亞佛加厥
定律，並提出分子概念及原子、分
子區別等重要化學問題。
亞佛加厥一生從不追求名譽地位，
只是默默地埋頭於科學研究工作
中，並從中獲得了極大的樂趣。
但遺憾的是，亞佛加厥的卓越見解
長期得不到化學界的承認，反而遭
到了不少科學家的反對，被冷落了
將近半個世紀。
25.
1‐25 1.5 理想氣體 Ideal Gas
例題11.：理想氣體方程式-基礎題
氣缸盛有氧氣，溫度為 20℃，壓力為 15atm，體積為 100L。活
塞降入氣缸中，使氣體體積減少為 80 升，溫度升高至 25℃。設
在此情況時，氧的行徑似理想氣體，則此時氣體壓力為何？
解：
答：19 atm
類題：新竹同步輻射加速器的真空度可達 1010
㎜汞柱，當溫度
為 300K 時，在此 “真空” 中每 cm3
尚有_____個氣體分子。答：
3.2106
例題12.：理想氣體-平衡問題
右圖為一長方體容器，以可以活動的活塞隔開兩室，若先固定活
塞，左室盛2 atm的氧氣，右室盛1 atm的氦氣，則
(1)若活塞可自由移動，則平衡時活塞距容器左端幾公分?
(2)平衡時左室壓力多少? (設溫度恆不變)
解：
答： (1)75 公分 (2)1.6 atm
類題：如右圖，一絕熱容器內裝理想氣體，以一能自由滑動之活
塞隔成 A、B 兩室，在 27℃時，A、B 兩室體積和壓力均為 V 和
P，今將 A 室緩慢加熱至 127℃，B 室保持 27℃，A 室體積增加
多少？答：V/7
範例 演練
He
1atm
20℃
O2
2atm
20℃
60 ㎝ 40 ㎝
活塞
A B
27.
1‐27 1.5 理想氣體 Ideal Gas
類題：右圖為某定量的理想氣體的 P-T 圖（壓力-溫度圖），原來
為狀態 A，其體積為 V1，經某過程後成為狀態 B，其體積為 V2，
注意圖中夾角的度數，則 V1 與 V2 的比值為多少？ 答：3/4
1. 如右圖，可自由滑動的
活 塞 兩 端 分 別 放 入 4
atm 之 He 及 1 atm 之
O2。若不計活塞與器壁
的摩擦，則在等溫下達
到平衡時，活塞將右移多少 cm？
2. 甲乙兩容器體積比1：2，內裝等溫的氦氣，甲氣體壓力1 atm，
乙氣體壓力2atm，若於恆溫下以細管接通兩容器，則最後氣體
壓力為何?甲容器的氣體分子數為原有的幾倍?
3. 把2 公升，0.5 atm，300K的甲氣體與5(公升)，0.8(atm)，400(K)
的乙氣體一起裝入10公升的容器內，無化學反應，最後壓力為
7/15 (atm)，則最後溫度為何?
4. 室溫時，甲容器體積 v，內有氦氣壓力為 2p，乙容器體積 v/3，
內有氦氣壓力 p，若將乙容器的氦氣全部加到甲容器中，設溫
度固定，則甲容器壓力為何?
5. 一汽缸中裝有 3 莫耳的理想氣體，設汽缸與活塞間的摩擦可忽
略，氣體的起始溫度為 300 K，體積為 0.45m3
。今再將 1 莫耳
的同種氣體緩緩灌入汽缸，並將溫度冷卻至 250 K，設汽缸外
的壓力不變，則最後平衡時，汽缸中氣體的體積為何?
6. 如右圖所示，閥門關上時，A、B 兩球
泡內分別封有 1 莫耳的理想氣體。已
知兩球泡容積的比為 1：2，溫度各為
300 K 與 400 K。今將閥門打開，則平
衡時 A 球泡內氣體分子數變為多少莫
耳?(A、B 兩球泡閥門打開後，溫度仍不變。)
7. 深 40 米的湖底溫度 7℃，一空氣泡體積 20cm3
，若氣泡上升至
溫度 27℃，大氣壓力 10 m-H2O 的水面處時，其體積為何?
8. 一燒瓶內盛空氣，壓力為一大氣壓，溫度為 27℃今於恆壓下，
將燒瓶內氣體逐出 1/4，則此時溫度變為若干?
9. 有一氦氣筒容積0.1 m3
，壓力1.0×107
N /m2
，有一汽球充氣後體
積1.0×10-2
m3
，壓力為1.0×105
N/m2
，用該氦氣筒最多約可吹出
課後 練習題
20cm 80cm
He O2
閥門
A
B
28.
1‐28 熱學與理想氣體
多少個這樣的汽球?(設溫度恆定)
10. 右圖為一簡易氣體溫度計的示意圖，若在操作過程
中，水銀柱液面A位置恆保持不變，若待測溫度為
0°C時，水銀柱的高度h＝h1，當待測溫度為100°C時，
水銀柱的高度h＝h2，則當溫度為20°C時，水銀柱高
度h為若干？
11. 小清清找到一根玻璃毛細管，其中空部分的截面積
為0.1公分2
，長為120公分。若要作成可以測量0°C至100°C間溫
度之氣體溫度計，應選擇下面哪一種容器最為適當？(A)250cc.
平底燒瓶 (B)200cc.味全奶瓶 (C)100cc.養樂多膠瓶 (D)50cc.藥
瓶 (E)25cc.試管。
12. 在絕熱容器的內部，有一個可自
由滑動的絕熱隔板。已知隔板平
衡時，其左側的氣體體積為V1、分
子數為N1，而右側氣體的體積為
V2、分子數為N2，如右圖所示，則
左、右兩氣室的絕對溫度比值為何？
21
12
VN
VN
13. 下圖為水平放置的圓柱形密
閉容器，中間以無摩擦之活
塞隔開。活塞右邊和圓柱形
容器的右邊以輕質彈簧相連
結如下圖所示，彈簧符合虎克
定律，自然長度為圓柱容器長
的一半。
左方為真空，右方理想氣體起
初的絕對溫度為To。若緩慢增
加活塞右方理想氣體的溫度 T ，且彈簧的力常數不隨溫度
變化，其對應的彈簧伸長量為x，則x-T的關係最接近圖14中的
哪一條線？（其中甲、乙、戊為直線，丙、丁為曲線）[99.指考]
(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 (E)戊
練習題答案
1. 30cm 2. 5/3 (atm)，5/3 倍 3. 350K 4. 7P/3 5. 0.50m3
6. 0.8 7. 107 cm3
8. 127℃ 9. 990 個 10.
1
5
(h2－h1)＋h1 11.E
12.
21
12
VN
VN
13.C
A
A
V1 V2
29.
1‐29 1.6 氣體動力論
2 2 2 2
ˆˆ ˆ
1
3
x y z
x y z
v v i v j v k
v v v v
1.6 氣體動力論
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道理想氣體的基本假設
2. 了解氣體壓力來自氣體分子不斷撞擊氣壁而產生
3. 了解方均根速率
4. 了解氣體壓力、體積、分子數、分子平均動能的關係
5. 知道氣體分子平均動能與方均跟速率有關
6. 應用氣體分子的平均動能與溫度的關係
理想氣體 Idea Gas
1. 定義：所謂的理想氣體是指氣體分子與分子間的距離遠比液體
及固體來得大，因為距離遠所以相互間的作用力就小得多了，
所以當氣體密度不大的時候，我們可以把它當成理想氣體。
2.理想氣體微觀模型
氣體由數量極多的分子組成
分子間距 遠大於 分子自身體積
分子的運動為 隨機運動
分子運動遵守 牛頓運動定律
分子可視為微小的 完全彈性剛體
除碰撞之外，分子間沒有任何相互作用力
3.真實氣體在 低壓 、 高溫 情形下才趨近於理想氣體
氣體動力論 Kinetic Theory of Gases
1. 以 機率 、 統計 說明多數氣體分子的行為表現
2. 分子的運動造成氣體的 壓力 、 體積 、 溫度
3. 氣體的通性(巨觀行為) 氣體模型的假設
易於擴散、充滿任意形狀
的容器
高速流動
分子的運動無規則的，因
此在任一段時間內向各方
向運動的機率均相同。
低密度、可混合、可壓縮
無限制膨脹
分子與分子間的距離比分
子直徑大得多
分子之間無交互作用，位
能為零
氣體對器壁產生壓力 氣體分子可視為彈性質點
彈性碰撞並遵守牛頓運動
定律。碰撞時間極短，除
碰撞外分子間無相互作用
力，故在兩次碰撞間分子
做等速直線運動
圖 1‐20 理想氣體模型
30.
1‐30 熱學與理想氣體
粒子撞擊氣壁因而產生壓強(壓力)
1.1678 年，虎克首次利用氣體粒子不斷撞擊器壁來解釋氣體壓力
2.設粒子質量為 m，速度為 v，被撞物體面積 A， Δt 內有 N 個
粒子撞擊物體表面，亦即每秒有
N
t
個粒子撞擊物體表面
撞
擊
狀
況
速度 動量變化 衝力 壓力
黏住 v Nmv Nmv
t
Nmv
t A
正向
碰撞
2v 2Nmv 2Nmv
t
2Nmv
t A
入射
角
2vcos 2Nmvcos 2 cosNmv
t
2 cosNmv
t A
氣體動力論的推論
1.一邊為 L 的正方體密閉容器（體積為 V），有 N 個質量為 m 的
氣體分子，分子的運動無規則，各自速度分別為 1 Nv v
氣體壓力：
2
1
3
Nmv
P
V
微觀
說明：
考慮某一個氣體分子撞擊 Ax 面時，在 x 方向上，每次撞擊所產
生的衝量： ( ) 2ix ix ixp mv mv mv
因分子之間沒有吸引力且分子間的碰撞時間極短，故分子在任
一方向的速度分量上均維持等速度運動
氣體分子來回一次的時間為：
2
ix
L
t
v
則單位時間(1 秒)內碰撞 Ax 面的次數為：
2
ixv
L
Ax 受到的平均力為：
22
2
1
ix
ix
i ix
i
v
mv
p mvLF
t L
全部分子在 Ax 面造成的衝力為
2 2 2 2
2 1 2
2
( )ix x x Nx
i ix
x
mv v v vm Nm
F F v
L L L N
Nm
v
L
圖 1-21 一邊為 L 的正方體密閉容
器（體積為 V），有 1 個質量為 m
速度 v 的分子正要與器壁相撞
圖 1-22 僅考慮 x-方向的示意圖
31.
1‐31 1.6 氣體動力論
全部分子在 Ax 面產生的氣體壓力為
2
2 2
2 3
x
x x
Nm
v
Nmv NmvF LP
Ax L L V
任一段時間內氣體分子向各方向運動的機率均相同：
2 2 2 21
3
x y zv v v v
氣體壓力：
2
1
3
Nmv
P
V
氣體分子平均動能
1.對氣體分子而言，氣體分子不斷在運動，氣體分子具有動能
一個分子的平均移動動能
21 3
2 2
kcE mv kT 23
0
1.38 10 J / mole K
R
k
N
k:波茲曼常數(Boltzmann’s Constant)
說明：
2. 性質
理想氣體中，每一氣體分子平均動能與絕對溫度成 正比
溫度的本質可看成是分子平均移動動能的度量(指標)
氣體分子平均動能僅於 溫度 有關，與其他性質-氣體種
類、壓力、體積等無關
理想氣體分子間無位能，故氣體內能即為總動能
分均根速率 vrms (Root-mean-square speed)
1.定義：氣體分子速率平方和的平均值，再取其根號。
2 3 3 3
( )
rms
kT RT P
v v
m M
分子量
方均根速率並不等平均速率，但與平均速率接近，分子的平
均速率不容易計算
說明：
氣體實際狀況
整個容器中的氣體而言，氣體分子
所具有的動能為氣體內部的動能，
氣體分子間的位能即為氣體內部的
位能，這種物質內部動能及位能都
稱為內能。
32.
1‐32 熱學與理想氣體
氣體混合的探討
1.求解理想氣體混合的問題時，往往我們會利用到兩個概念
總粒子數守恒
說明：
由 PVnRT 得粒子數 n
PV
RT
兩種氣體混合，則 1 1 2 2
1 2
PV PV PV
RT RT RT
（n1n2n 總粒子數）
→ 1 1 2 2
1 2
PV PV PV
T T T
（其中 P混合後之壓力 V混合後之體積）
總內能守恒-若系統為絕熱(無任何能量散失)，混合前後能量
守恆，最後每種氣體分子平均動能均相同。
說明：單原子理想氣體之總內能為其總移動動能 K
Ek
2
3
PV， Ek
2
3
nRT， EkN
2
3
KT， EkN
2
1
m 2
rmsV
P1
、V1
、T1
P2
、V2
、T2
PN
、VN
、TN
絕熱 能量守恆
無化學反應 物質不滅
P、V、T
人生集
勿主觀的判斷任何人，
因為你永遠不知道他們
的生活如何，並且發生
了什麼事
34.
1‐34 熱學與理想氣體
例題16.：基礎題
壓力為105
N/m2
，體積為10公升，0.4莫耳的氦氣，則： (1)容器
內全部氣體分子的動能 (2)一個氣體分子平均動能 (3)一個氣體
分子的平均動量值 (4)容器內氣體分子全部動量和 (5)氣體分子
方均根速率 各為何?
答：
類題：一氣球內裝氦氣，體積為 2.0m3
，壓力為 1.2atm，則此氣球
內氦氣分子的總動能為何？若室溫 20.0℃時，氫氣分子的方均根
速率為何？答：
例題17.：氣體方均根速率
一容積為 10 的容器，內裝某種氣體，已知氣體總質量為 15g，容
器內之氣體壓力為 1.0×105
N/m2
，則此氣體分子之方均根速率為何？
解：
類題：1997 年諾貝爾物理獎得獎者主要的貢獻是發展出以雷射冷
卻原子的方法。某實驗室以此方法將鈉原子(23
Na)冷卻後，測得
這些氣態鈉原子的方均根速率為 0.2 m/s，若由鈉原子組成系統視
為理想氣體，則這些鈉原子的絕對溫度為何? 答：3.7×10-5
K
類題：一容器內氫氣密度為 9.0×10-5
g/cm3
，方均根速率為 1800m/s，
則容器內氫氣壓力為何？
35.
1‐35 1.6 氣體動力論
例題18.：氣體分子動能
5 公升的容器內裝有 27℃、3atm 的 N2 氣，求此氣體的全體分子
總移動動能及分子質心平均移動動能
解：
答：(1)2.28103
J (2)6.211021
J
類題：當溫度為 300K 時，在靜止的一容器內有 2 莫耳氦氣。其
分子運動之總動能為_____。答：7.48103
(J)
類題：一莫耳之某氣體，其體積 V1.23102
公尺 3
，壓力為 2 大
氣壓，試求此氣體每一分子的平均動能。答：6.251021
J
例題19.：氣體混合
某種單原子氣體，溫度為 T1 K 及 T2K，其分子方均根速率分別為
v1 及 v2，則溫度為
2
1
(T1＋T2)K 時，其速率：(A) 2 2
1 2v v＋ (B)
2 2
1 22( )v v＋ (C)
2 2
1 2
2
v v＋
(D)
2
1 2 2
1 2v v＋ (E)以上皆非。
類題：絕對溫度各為 T1 、T2 和 T3 的同種單原子理想氣體，其分
子平均速率分別為 v1、v2 和 v３，今從此三種溫度的氣體各取相同
質量的氣體加以混合。當溫度達到平衡時，其分子平均速率等
於：
2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 3 1 2 3
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( )
2 3
( ) ( )
2 3
v v v v v v
A v v v B C
v v v v v v
D E
＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋
36.
1‐36 熱學與理想氣體
1. 在絕熱系統內使 40℃、 4 莫耳的氦氣與溫度 70℃之氖氣 1 莫
耳相混合，當其達熱平衡時溫度為何？
2. 甲、乙兩容器各儲有 N1 及 N2 個單原子理想氣體分子，體積均
為 V，壓力均為 P 將此二氣體混合，其總體積不變，則：(1)全
部氣體總質心動能為何？ (2)混合後的溫度為何？
3. 一圓形氦氣球，直徑為 1 公尺，溫度為 27℃，壓力為 1 大氣
壓。若有一氦氣分子，以方均根速率橫過此球直徑，所需時間
約為多少秒？
4. 氫分子在標準狀況下方均根速率為v，則氧分子在3atm，546℃
時之方均根速率為何?
5. 有 A、B 兩容器內裝有 A、B 兩種單原子理想氣體，其壓力、
體積、與絕對溫度分別為 P1、V1、T1 及 P2、V2、T2，今用一細
管連通此 A、B 兩容器，則平衡時(1)壓力為何? (2)溫度為何?
6. 有兩種單原子分子理想氣體，其分子質量，平均速率及分子總
數分別為 m1、m2；v1、v2；N1、N2。在絕熱的情況下將兩種氣
體混合，則：(1)平衡後的溫度為何? (2)第一種分子的平均速率
為何？
7. 方均根速率分別為 1 m/s，2 m/s ，3 m/s 的同種單原子氣體混
合，若：(1)以質量 3：2：1 的比例混合，其混合後的方均根速
率為何？ (2)以等質量混合，其混合後的方均根速率為何？
8. 兩絕熱容器各裝理想氣體1莫耳與3莫耳，壓力各為2 atm與3 atm，
體積各為20升與50升，兩者相通求熱平衡後溫度?
9. 靜止容器內盛定量氣體，若為溫度變為原來的 3 倍，而體積為
原有之 2 倍，則：(A)氣體壓力變為 6 倍 (B)分子質心平均動
能為原來的 3 倍 (C)每一分子的動量為原來的 3 倍 (D)分
子總動量仍為零。
10. 已知氫分子（H2）之方均根速率在室溫 300 K 時約為 2000 公
尺/秒，則氧分子（O2）之方均根速率在 1200 K 時約為多少？
11. 兩種理想氣體A與B，A分子量2，莫耳數1，方均根速率4 m/s；
B分子量4，莫耳數3，方均根速率 14 。則A，B兩氣體達熱平
衡時，A，B兩氣體分子的方均根速率各為何?
12.在溫度不變的情況下，當氦氣壓力由1大氣壓增為10大氣壓時，
氦分子的平均動能增為原來的幾倍？
13. 將分子的平均質心動能 Ek 對攝氏溫度 t 作圖，令波茲曼常數為
課後 練習題
37.
1‐37 1.6 氣體動力論
k，則此圖形在 Ek 軸上的截距為 (A)
3
2
k (B)
2
3
k (C)
3
2k
(D)
819
2
k (E)
3
546
k。
14. 下面有關巨觀量與微觀量的敘述，何者不正確？ (A)巨觀的性
質是微觀性質在某段時間內的平均表現 (B)微觀性質係利用分
子、原子的尺度來描述 (C)巨觀性質可用日常生活的尺度來描
述 (D)巨觀的時間比微觀的時間長許多 (E)系統的微觀性質與
巨觀的性質必定完全相同。
15. 絕對溫度為T 的某理想氣體密封於一個立方盒內，如右圖所示。
依氣體動力論，下列數學式中何者錯誤？註： xv 代表分子速度
v 在x 軸方向之分量，分子速率
v v ，分子的方均根速率以
rmsv 表示， xv 代表所有分子 xv 的平均值，餘類推。 Bk 為波茲
曼 常 數 ， m 為 分 子 質 量 。 (A) 0xv (B) 0v (C)
2 21
3
xv v (D) 2 2
rmsv v (E)
3
2
B
rms
k T
v
m
。 [93.指定科考]
16. 甲、乙兩鋼瓶分別裝有3莫耳的氦氣及1莫耳的氬氣，兩鋼瓶維
持固定溫度，甲鋼瓶內氦氣的温度為300 K，乙鋼瓶內氬氣的温
度為450 K，且甲鋼瓶容積為乙鋼瓶容積的2倍。下列有關兩鋼
瓶內理想氣體的敍述中何者正確？(氦的原子量為4，氬的原子
量為40) (A)氦氣與氬氣的壓力不相等 (B)氦原子與氬原子的
平均動能相等 (C)氦原子的平均動能小於氬原子的平均動能
(D)氦原子與氬原子的方均根速率相等 (E)氦原子的方均根速
率小於氬原子的方均根速率。 [96.指定科考]
練習題答案
1. 46℃ 2. (1)3PV (2)
)(
2
21 NNk
PV
3. 7.4×10-4
s 4.
4
3v
5. (1)
VV
VPVP
21
2211
(2) TT
TVPTVP
VPVP
21
122211
2211
6. (1)
)(3 21
2
2
221
2
11
NNk
vmNvmN
(2)
mNN
vmNvmN
121
2
22
2
11
)(
21
7. (1)1.8 m/s
(2)2.16 m/s 8. 579K 9. CD 10. 1000 m/s 11. 5m/s ；
2
25
m/s 12. 1 倍 13.D 14.(E)
38.
1‐38 熱學與理想氣體
科學故事：JAMES WATT 故事
1736 年 1 月 19 日，瓦特生於蘇格蘭的港口小鎮格裡諾克
(Greenock)。一生下來就體弱多病，他又小又瘦，備受病痛的折
磨，因此沒有像其他同齡人一樣按時上學。母親除了悉心照顧他
的身體外，也是他的啟蒙老師，父親則是教他數學。瓦特從小就
表現出了精巧的動手能力以及數學上的天分，他也很有機械頭
腦，常用工具自製出各種模型。
後來在父親的工廠裡，他學到許多機械製造知識，並學會了如何
維修及製造一些海事輔助儀器，如四分儀、指南針、望遠鏡等。
15 歲時，他立下志願要作一位科學儀器的製造人。
1753 年,父親的生意也由於經營不善而瀕臨破產。家庭經濟陷入
困境，為了減輕父親的負擔，選擇當學徒以學得更高深的技術，
只是學徒的學習時間只有一年，且必須無償的工作一年，另外還
要支付一筆訓練費用。原本要花幾年時間學習的技藝，在一年中
就要學成，瓦特晚睡早起，竭盡心力的學習和工作，每天工作十
小時以上。他刻苦學習、鑽研技術，很快的就後來居上，超越了
在摩根公司待了兩年以上的正式學徒。但繁重的工作使得從小體
弱多病的他，病又復發了，憑著堅強的意志，他在倫敦堅持的待
了下來，直到學徒期滿。一年後回到格裡諾克老家時，瓦特已成
了手藝高明的輪盤、指南針、量重機製造人。
1763 年底，瓦特接受格拉斯哥大學的委託，修理一台紐考門式蒸
氣機的模型，從此開啟瓦特改良蒸氣機的研究之路。
最後，伯明罕一間鑄造廠老闆馬修‧博爾頓（Matthew Boulton）
接手。瓦特與博爾頓從此開始了他們之間長達 25 年的成功合
作。與博爾頓的合作，瓦特得到了更好的設備、資金以及技術上
的支持。1776 年，第一批新型蒸汽機終於製造成功並應用於實
際生產。
瓦特其實並不是第一個發明蒸汽機的人，他是在原有的紐科門蒸
汽機基礎上改良成新式蒸汽機結構。但瓦特蒸汽機被廣泛地應用
在工廠，幾乎成為所有機器的動力，大大地改變了人們的工作生
產方式，不再依靠肌力及自然力，自此拉開了工業革命的序幕。
後來，人們在他的發明基礎上，經過不斷的努力，引入更高氣壓
的蒸汽，蒸汽火車、蒸汽輪船很快地相繼問世
參考資料
1. Wiki, https://en.wikipedia.org/wiki/James_Watt
圖 1‐23
