Probabilités et statistiques 2ème partie

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I. Notions générales (Vocabulaire probabiliste)
II. Notion de probabilités
III. Théorème des probabilités totales
IV. Probabilités composées et conditionnelles
V. Problèmes relatifs aux calculs des probabilités

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Probabilités et statistiques 2ème partie

  1. 1. Chapitre II: Théorie élémentaire de probabilités Otheman Nouisser Ecole Nationale de Commerce et Gestion Kénitra 3 octobre 2011 Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  2. 2. Plan I. Notions générales (Vocabulaire probabiliste) II. Notion de probabilités III. Théorème des probabilités totales IV. Probabilités composées et conditionnelles V. Problèmes relatifs aux calculs des probabilités Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  3. 3. Notions générales :(Vocabulaire probabiliste) 1- Epreuve aléatoire : C’est une expérience qu’on peut répéter dans les mêmes conditions et qui donne plusieurs résultas. Exemple Lancer un dé- le jeu de pile ou face. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  4. 4. Notions générales (Vocabulaire probabiliste) 2- L’univers des éventualités : C’est l’ensemble des résultats possibles d’une épreuve et on le note par ( On l’appelle aussi l’ensemble fondamental). Exemple Si on lance un dé, l’univers est l’ensemble = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  5. 5. Notions générales :(Vocabulaire probabiliste) 3- Evénement : C’est la réalisation d’une ou plusieures éventualités lors de l’examen des résultats d’une épreuve. Autrement dit, c’est un sous-ensemble ou partie de l’univers . Si un évenement contient un seul élément, on l’appelle événement élémentaire. Exemple Si on lance un dé, l’univers peut être décomposé en deux événements : chiffre pair : E1 = {2, 4, 6}. chiffre impair : E2 = {1, 3, 5}. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  6. 6. Notions générales :(Vocabulaire probabiliste) Remarque - Un événement impossible noté ;, n’est jamais réalisé. - L’événement est appelé événement certain (car il est toujours réalisé). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  7. 7. Relations logiques entre les événements 1- Evénement complémentaire : Définition Soit A une partie de . Le complémentaire de A, également partie de noté A, est l’ensemble des résultats qui conduit à la réalisation de l’événement contraire de A. c.à.d., A est réalisé si et seuleument si A n’est pas réalise. + A = CA = A. A est appelé aussi l’événement contraire. Exemple Soit l’épreuve qui consiste à lancer un dé. Désignons A l’événement hh obtenir un nombre pair ii. A = {2, 4, 6} ) A = {1, 3, 5}. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  8. 8. Relations logiques entre les événements 1- Evénement complémentaire : Définition Soit A une partie de . Le complémentaire de A, également partie de noté A, est l’ensemble des résultats qui conduit à la réalisation de l’événement contraire de A. c.à.d., A est réalisé si et seuleument si A n’est pas réalise. + A = CA = A. A est appelé aussi l’événement contraire. Exemple Soit l’épreuve qui consiste à lancer un dé. Désignons A l’événement hh obtenir un nombre pair ii. A = {2, 4, 6} ) A = {1, 3, 5}. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  9. 9. Relations logiques entre les événements 2- Intersection d’événements- Evénements incompatibles : Définition L’intersection de deux événements A et B d’un même univers , noté A B, est l’événement qui est réalisé si A et B sont réalisés. Exemple On lance un dé et on note la face visible. Soient les événements - A : hh Obtenir un nombre pair ii, i.e., A = {2, 4, 6}, - B : Obtenir un nombre 3 , i.e., B = {4, 5, 6}. Alors l’événement AB : Obtenir un nombre pair et 3 ={4, 6}. Définition Deux événements A et B d’un même univers , sont dits incompatibles (ou exhaustifs) si A B = ;. (c.à.d., leur réalisation simultannée est impossible). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  10. 10. Relations logiques entre les événements 2- Intersection d’événements- Evénements incompatibles : Définition L’intersection de deux événements A et B d’un même univers , noté A B, est l’événement qui est réalisé si A et B sont réalisés. Exemple On lance un dé et on note la face visible. Soient les événements - A : hh Obtenir un nombre pair ii, i.e., A = {2, 4, 6}, - B : Obtenir un nombre 3 , i.e., B = {4, 5, 6}. Alors l’événement AB : Obtenir un nombre pair et 3 ={4, 6}. Définition Deux événements A et B d’un même univers , sont dits incompatibles (ou exhaustifs) si A B = ;. (c.à.d., leur réalisation simultannée est impossible). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  11. 11. Relations logiques entre les événements 2- Intersection d’événements- Evénements incompatibles : Définition L’intersection de deux événements A et B d’un même univers , noté A B, est l’événement qui est réalisé si A et B sont réalisés. Exemple On lance un dé et on note la face visible. Soient les événements - A : hh Obtenir un nombre pair ii, i.e., A = {2, 4, 6}, - B : Obtenir un nombre 3 , i.e., B = {4, 5, 6}. Alors l’événement AB : Obtenir un nombre pair et 3 ={4, 6}. Définition Deux événements A et B d’un même univers , sont dits incompatibles (ou exhaustifs) si A B = ;. (c.à.d., leur réalisation simultannée est impossible). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  12. 12. Relations logiques entre les événements 3- Réunion des événements : Définition La réunion de deux événements A et B d’un même univers, notée A [ B, est l’événement qui est réalisé si A ou B sont réalisés. Exemple Un dé est lancé et on note le chiffre de la face invisible. - Soit l’événement A : obtenir un chiffre pair, i.e., A = {2, 4, 6}. - Soit l’événement B : obtenir un chiffre divisible par 3 i.e., B = {3, 6}. Alors l’événement A [ B = {2, 3, 4, 6} : obtenir un chiffre pair ou divisible par 3 . Considérons maintenant l’événemnt C : obtenir un chiffre inférieure ou égal à 2 = {1, 2}. Alors l’événement B [ C = {1, 2, 3, 6}. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  13. 13. Relations logiques entre les événements 3- Réunion des événements : Définition La réunion de deux événements A et B d’un même univers, notée A [ B, est l’événement qui est réalisé si A ou B sont réalisés. Exemple Un dé est lancé et on note le chiffre de la face invisible. - Soit l’événement A : obtenir un chiffre pair, i.e., A = {2, 4, 6}. - Soit l’événement B : obtenir un chiffre divisible par 3 i.e., B = {3, 6}. Alors l’événement A [ B = {2, 3, 4, 6} : obtenir un chiffre pair ou divisible par 3 . Considérons maintenant l’événemnt C : obtenir un chiffre inférieure ou égal à 2 = {1, 2}. Alors l’événement B [ C = {1, 2, 3, 6}. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  14. 14. Notion de probabilité Définition Un ensemble , non vide, d’événements de est une algèbre d’événements si : 8A 2 , A 2 8A 2 , 8B 2 , A [ B 2 Remarque Dans le cas où est fini, P( ) est une algèbre d’événements. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  15. 15. Notion de probabilité Définition Soit une algèbre d’événements de . On dit que est une tribu si : Pour toute suite infinie dénombrable A1,A2, · · · ,An, · · · d’éléments de 1[ alors i=1 Ai 2 . Conséquence : 1 i=1 Ai 2 On appelle espace probabilisable un couple ( , ) constitué d’un ensemble et d’une tribu d’événements de parties de Omega. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  16. 16. Notion de probabilité Définition Soit ( , ) un espace probabilisable. Une probabilité P est une application P : ! [0, 1] telle que : P( ) = 1 8A 2 , 8B 2 tels que A B = ; on a P(A [ B) = P(A) + P(B). Si A0,A1, · · · ,An, · · · est une suite dénombrable d’événements incompatibles deux à deux, alors : P 1[ i=1 Ai ! = 1X i=0 P(Ai ). On appelle espace probabilisé un triplet ( , ,P). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  17. 17. Notion de probabilité Remarque La probabilité de l’événement certain est égale à 1., c.à.d., P( ) = 1, et ce qui implique que pour tout événement A on a : 0 P(A) 1. Dans la suite on suppose que ( , ,P) est un espace probabilisé, c.à.d, P une probabilité sur . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  18. 18. Notion de probabilités Probabilité de l’événement contraire Soit un événement A et son contraire A. Alors P(A) = 1 − P(A) Preuve. On a A et A sont deux événements incompatibles et donc P(A [ A) = P(A) + P(A). Or A [ A = + P(A) + P(A) = 1 D’où le résultat. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  19. 19. Notion de probabilités Probabilité de l’événement contraire Soit un événement A et son contraire A. Alors P(A) = 1 − P(A) Preuve. On a A et A sont deux événements incompatibles et donc P(A [ A) = P(A) + P(A). Or A [ A = + P(A) + P(A) = 1 D’où le résultat. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  20. 20. Notion de probabilités Remarque la probabilitée de l’événement impossible est nulle, c.à.d., P(;) = 0. Preuve Soit l’événement impossible ;, et un événement quelconque A. Alors A et ; sont deux événements incompatibles puisque A ; = ;. Donc : P(A [ ;) = P(A) + P(;) Or A [ ; = A =) P(A [ ;) = P(A) = P(A) + P(;) D’où P(;) = 0. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  21. 21. Notion de probabilités Remarque la probabilitée de l’événement impossible est nulle, c.à.d., P(;) = 0. Preuve Soit l’événement impossible ;, et un événement quelconque A. Alors A et ; sont deux événements incompatibles puisque A ; = ;. Donc : P(A [ ;) = P(A) + P(;) Or A [ ; = A =) P(A [ ;) = P(A) = P(A) + P(;) D’où P(;) = 0. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  22. 22. Notion de probabilités Probabilité d’un événement La probabilité d’un événement A est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent cet événement. Autrement dit : Soit A = {w1,w2, · · · ,wp} comportant p événements élémentaires, alors P(A) = Xp i=1 P(wi ). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  23. 23. Notion de probabilités Exemple Un dé pipé (dé non équilibré) a été lancé un grand nombre de fois. Les probabilités des événements suivants ont été relevées : événement 1 2 4 5 chiffre pair Probabilité de l’événement 0, 1 0, 1 0, 2 0, 2 0, 6 Quelle est la probabilité de l’événement A : Obtenir un chiffre pair ou égal à 5 ? Solution Dans ce cas A = {2, 4, 5, 6} et donc P(A) = P(2) + P(4) + P(5) + P(6). Considérons l’événement B : Obtenir un chiffre pair , on a alors : P(B) = P(2) + P(4) + P(6) = 0, 6 ce qui donne que P(6) = 0, 3 et par conséquent P(A) = 0, 8. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  24. 24. Notion de probabilités Exemple Un dé pipé (dé non équilibré) a été lancé un grand nombre de fois. Les probabilités des événements suivants ont été relevées : événement 1 2 4 5 chiffre pair Probabilité de l’événement 0, 1 0, 1 0, 2 0, 2 0, 6 Quelle est la probabilité de l’événement A : Obtenir un chiffre pair ou égal à 5 ? Solution Dans ce cas A = {2, 4, 5, 6} et donc P(A) = P(2) + P(4) + P(5) + P(6). Considérons l’événement B : Obtenir un chiffre pair , on a alors : P(B) = P(2) + P(4) + P(6) = 0, 6 ce qui donne que P(6) = 0, 3 et par conséquent P(A) = 0, 8. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  25. 25. Théorème des probabilités totales L’objectif est de calculer P(A [ B) dans le cas où les deux événements A et B sont non incompatibles, puisque dans ce cas l’axiome des probabilités ne s’applique pas. Théorème Soient A et B deux événements quelconques d’un univers . Alors P(A [ B) = P(A) + P(B) − P(A B). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  26. 26. Théorème des probabilités totales L’objectif est de calculer P(A [ B) dans le cas où les deux événements A et B sont non incompatibles, puisque dans ce cas l’axiome des probabilités ne s’applique pas. Théorème Soient A et B deux événements quelconques d’un univers . Alors P(A [ B) = P(A) + P(B) − P(A B). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  27. 27. Théorème des probabilités totales Preuve. Soient deux événement A et B non incompatibles. Alors A [ B peut s’écrire A [ B = A [ (A B). Or A et (A B) sont incompatibles. Donc P(A [ B) = P(A) + P(A B), (1) Par ailleur, B = (A B) [ (A B), puisque les deux événements (A B) et (A B) sont incompatibles on a : P(B) = p(A B)) + P(A B), d’où P(A B) = P(B) − P(A B). (2) Ainsi, en reportant l’expression de P(A B) dans l’équation (1), on obtient le résulat. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  28. 28. Théorème des probabilités totales Exemple Considérons l’expérience de l’exemple précédent. Calculer la probabilités de l’événement : obtenir un chiffre pair ou supérieur ou égal à 5 . Solution Considérons les événements suivants : A l’événement : obtenir un chiffre pair ou 5 . B l’événement : obtenir un chiffre pair . D l’événement : obtenir un chiffre 5 . D’après le théorème des probabilités totales on a : P(A) = P(B [ D) = P(B) + P(D) − P(B D). Or P(B) = 0, 6, P(D) = P(5) + P(6) = 0, 5 et P(B D) = P(6) = 0, 3, ainsi on a P(A) = 0, 8. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  29. 29. Théorème des probabilités totales Exemple Considérons l’expérience de l’exemple précédent. Calculer la probabilités de l’événement : obtenir un chiffre pair ou supérieur ou égal à 5 . Solution Considérons les événements suivants : A l’événement : obtenir un chiffre pair ou 5 . B l’événement : obtenir un chiffre pair . D l’événement : obtenir un chiffre 5 . D’après le théorème des probabilités totales on a : P(A) = P(B [ D) = P(B) + P(D) − P(B D). Or P(B) = 0, 6, P(D) = P(5) + P(6) = 0, 5 et P(B D) = P(6) = 0, 3, ainsi on a P(A) = 0, 8. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  30. 30. Théorème des probabilités totales Exemple Soit C, l’événement obtenir un chiffre impair ou inférieur ou égal à 3 . Calculer la probabilité de C. Solution Soient B, l’événemnt obtenir un chiffre impair et E, l’événement obtenir un chiffre inférieur ou égal à 3 . Alors P(B) = 0, 4,P(E) = P({1, 2, 3}) = 0, 1 + 0, 1 + 0, 1 = 0, 3. P(B E) = P({1, 3}) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2. P(C) = P(B [ E) = P(B) + P(E) − P(B E) = 0, 4 + 0, 3 − 0, 2 = 0, 5. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  31. 31. Théorème des probabilités totales Exemple Soit C, l’événement obtenir un chiffre impair ou inférieur ou égal à 3 . Calculer la probabilité de C. Solution Soient B, l’événemnt obtenir un chiffre impair et E, l’événement obtenir un chiffre inférieur ou égal à 3 . Alors P(B) = 0, 4,P(E) = P({1, 2, 3}) = 0, 1 + 0, 1 + 0, 1 = 0, 3. P(B E) = P({1, 3}) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2. P(C) = P(B [ E) = P(B) + P(E) − P(B E) = 0, 4 + 0, 3 − 0, 2 = 0, 5. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  32. 32. Cas particulier : équiprobabilité des événements élémentaires Soit = {w1,w2, · · · ,wn} un ensemble fini. L’équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires de ont la même probabilité de se réaliser. Les événements élémentaires sont incompatibles, donc on a : P( ) = P(w1) + P(w2) + · · · + P(wn) = nP(wi ) = 1, 8i = 1, · · · , n. Ainsi P(w1) = P(w2) = · · · = P(wn) = 1 n = 1 card . En conséquence on a le résultat suivant Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  33. 33. Cas particulier : équiprobabilité des événements élémentaires Proposition Soit un ensemble fini et A 2 P( ), où les événements élémentaires sont équiprobables. Alors P(A) = nombre d’éléments de A nombre d’éléments de = cardA card = nombre de cas favorables à la réalisation de A nombre de cas possibles . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  34. 34. Cas d’équiprobabilité Exemple On lance un dé équilibré et on note le chiffre de la face visible. Calculer la probabilité d’obtenir le chiffre 6, un chiffre 6, le chiffre 2 ou 6. Solution L’univers = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et les événements sont équiprobables. Soient A l’événement : obtenir le chiffre 6 , B l’événement : obtenir le chiffre 6 et C l’événement : obtenir le chiffre 2 ou 6 . Alors on a : P(A) = cardA card = 1 6, P(B) = cardB card = 1 − P(6) = 5 6, P(C) = cardC card = P(2) + P(6) = P({2, 6}) = 2 6. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  35. 35. Cas d’équiprobabilité Exemple On lance un dé équilibré et on note le chiffre de la face visible. Calculer la probabilité d’obtenir le chiffre 6, un chiffre 6, le chiffre 2 ou 6. Solution L’univers = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et les événements sont équiprobables. Soient A l’événement : obtenir le chiffre 6 , B l’événement : obtenir le chiffre 6 et C l’événement : obtenir le chiffre 2 ou 6 . Alors on a : P(A) = cardA card = 1 6, P(B) = cardB card = 1 − P(6) = 5 6, P(C) = cardC card = P(2) + P(6) = P({2, 6}) = 2 6. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  36. 36. Probabilités composées et conditionnelles Soient ( , ,P) un espace probabilisé, A 2 et B 2 tels que P(A)6= 0 et P(B)6= 0. 1- Probabilités conditionnelles : Définition La probabilité de réalisation d’un événement A sachant qu’un événement B est réalisé est appelée probabilité conditionnelle de A sachant B et notée P(A/B) ou PB(A) et a pour expression : P(A/B) = PB(A) = P(A B) P(B) . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  37. 37. Probabilités composées et conditionnelles Soient ( , ,P) un espace probabilisé, A 2 et B 2 tels que P(A)6= 0 et P(B)6= 0. 1- Probabilités conditionnelles : Définition La probabilité de réalisation d’un événement A sachant qu’un événement B est réalisé est appelée probabilité conditionnelle de A sachant B et notée P(A/B) ou PB(A) et a pour expression : P(A/B) = PB(A) = P(A B) P(B) . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  38. 38. Probabilités composées et conditionnelles Exemple 1- Une carte est tirée au hasard dans un jeu qui comporte 52 cartes. Quelle est la probabilité que cette carte soit une dame sachant qu’il s’agit d’un trèfle ? Solution Considérons les évenements D : Tirer une dame et T : tirer un trèfle , alors P(D/T) = P(D T) P(T) = 1/52 13/52 = 1 13. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  39. 39. Probabilités composées et conditionnelles Exemple 1- Une carte est tirée au hasard dans un jeu qui comporte 52 cartes. Quelle est la probabilité que cette carte soit une dame sachant qu’il s’agit d’un trèfle ? Solution Considérons les évenements D : Tirer une dame et T : tirer un trèfle , alors P(D/T) = P(D T) P(T) = 1/52 13/52 = 1 13. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  40. 40. Exemple 2- Une personne lance un dé équilibré sans voir le résultat. Un témoin l’informe qu’il s’agit d’un résultat différent de 5. Quelle est la probabilité que le résultat soit un chiffre impair ? Solution Notons A l’événement : Obtenir un chiffre impair et B l’événement : obtenir un chiffre différent de 5 . Alors, P(A) = P({1, 3, 5}) = 3 6 = 1 2 et P(B) = P({1, 2, 3, 4, 6}) = 5 6. L’événement A B := obtenir un chiffre impair différent de 5 , d’où P(A B) = P({1, 3}) = 2 6 . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  41. 41. Exemple 2- Une personne lance un dé équilibré sans voir le résultat. Un témoin l’informe qu’il s’agit d’un résultat différent de 5. Quelle est la probabilité que le résultat soit un chiffre impair ? Solution Notons A l’événement : Obtenir un chiffre impair et B l’événement : obtenir un chiffre différent de 5 . Alors, P(A) = P({1, 3, 5}) = 3 6 = 1 2 et P(B) = P({1, 2, 3, 4, 6}) = 5 6. L’événement A B := obtenir un chiffre impair différent de 5 , d’où P(A B) = P({1, 3}) = 2 6 . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  42. 42. Probabilités composées et conditionnelles suite Le fait de disposer de l’information supplémentaire relative à la réalisation de l’événement B, réduit la possibilité aux chiffres {1, 2, 3, 4, 6}, parmi lesquels seuls 1 et 3 sont impairs. Il y a donc deux chances sur cinq d’avoir un chiffre impair sachant que le résultat est différent de 5. En utilisant la formule on peut aussi le vérifie : P(A/B) = P(A B) P(B) = P({1, 3}) P({1, 2, 3, 4, 6}) = 2/6 5/6 = 2 5. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  43. 43. Probabilités composées et conditionnelles 2-Probabilités composées Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité composée de deux événements. Définition La probabilité composée est la probabilité de réaliser simultanément deux événements A et B, et on la note P(A B), et on a P(A B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  44. 44. Probabilités composées et conditionnelles 2-Probabilités composées Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité composée de deux événements. Définition La probabilité composée est la probabilité de réaliser simultanément deux événements A et B, et on la note P(A B), et on a P(A B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  45. 45. Probabilités composées et conditionnelles Exemple Un sac contient 10 boules indescernables au toucher : 4 boules sont blanches, 6 boules sont noires. Une personne tire l’une après l’autre, sans remise 3 boules. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre : une blanche, une noire, une blanche ? Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  46. 46. Probabilités composées et conditionnelles Solution Considérons les événements suivants : A, l’événement tirer une boule blanche au premier tirage . B, l’événement tirer une boule noire au deuxième tirage . C, l’événement Tirer une boule blanche au troisième tirage . Le problème c’est de calculer P(A B C). Le fait d’effectuer des tirages sans remise réduit le nombre de possibilités de choix et rend les tirage successifs dépendants. 1er tirage, il y a 4 blanches parmi 10, donc P(A) = 4 10 . 2ème tirage, il reste 3 blanches et 6 noires, donc P(B/A) = 6 9 . 3ème tirage, il reste 3 blanches et 5 noires, donc P(C/(A B) = 3 8 . Ainsi P(ABC) = P(A)×P(B/A)×P(C/(AB)) = 4 10 6 9 3 8 = 0, 1 = 10%. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  47. 47. Probabilités composées et conditionnelles 3- Indépendance de deux événements Les probabilités conditionnelles permettent de déduire la définition d’indépendance de deux événements. Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’influe pas la réalisation de l’autre, ce qui peut se traduire par P(A) = P(A/B), ou par P(B) = P(B/A) D’autre part, on a : P(A/B) = P(A B) P(B) ; P(B/A) = P(A B) P(A) , D’où Proposition Deux événements A et B sont indépendants si et seuleument si P(A B) = P(A)P(B). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  48. 48. Probabilités composées et conditionnelles Remarque 1- Il est important de ne pas confondre incompatibilité (A B = ;) de deux événements et indépendance de deux événements, notion qui se réfère à la probabilité des événements et qui permet de calculer la probabilité de la réalisation simultanée de deux événements indépendants, c.à.d., le calcul de P(A B). 2- Il est possible de généraliser la définition de l’indépendance. Les événements E1,E2, · · · ,En sont indépendants deux à deux si P(E1 E2 · · · En) = P(E1) × P(E2) × · · · × P(En). Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  49. 49. Probabilités composées et conditionnelles Exemple Une carte est tirée d’un jeu de 52 cartes. Calculer - La probabilitée de tirer un roi. - La probabilité de tirer un roi sachant que la carte tirée est un coeur. - La probabilitée de tirer le roi de coeur. Commenter. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  50. 50. Solution Soient A l’événement tirer un roi et B l’événement tirer un coeur . Alors on a : P(A) = 4 52 = 1 13, P(B) = 13 52, P(A B) = 1 52, avec A B, l’événement tirer un roi de coeur . On constate que P(A B) = P(A) × P(B) = 1 13 × 13 52 = 1 52 , ce qui signifie que les événements A et B sont indépendants. On a aussi, P(A/B) = P(A B) P(B) = 1 52 13 52 = 1 13 = P(A), Le fait de savoir que la carte est un coeur ne réduit pas les possibilités. Les deux événement sont indépendants mais ils ne sont pas incompatibles puisque A B6= ;. Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  51. 51. Probabilités composées et conditionnelles 4- Théorème de Bayes Soient A et B deux événements de tels qu’on sait calculer P(B);P(B);P(A/B);P(A/B) Problème inverse : Calculer P(B/A) ? Théorème (Formule de Bayes) P(B/A) = P(B)P(A/B) P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B) . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  52. 52. Probabilités composées et conditionnelles 4- Théorème de Bayes Soient A et B deux événements de tels qu’on sait calculer P(B);P(B);P(A/B);P(A/B) Problème inverse : Calculer P(B/A) ? Théorème (Formule de Bayes) P(B/A) = P(B)P(A/B) P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B) . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  53. 53. Probabilités composées et conditionnelles Preuve. P(B/A) = P(A B) P(A) = P(B)P(A/B) P(A (B [ B)) = P(B)P(A/B) P(A B) + P(A B) = P(B)P(A/B) P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B) Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  54. 54. Probabilités composées et conditionnelles D’une manière général, soient A1,A2, · · · ,An des événements incompatibles deux à deux (Ai Aj = ;8i6= j), et tel que A1 [ A2 [ · · · [ An = . Soit B un événement de probabilité non nulle. Les informations connues sont : • La probabilité de chacune des événements : P(A1),P(A2), · · · ,P(An). • La probabilité de réalisations de B sachant chacune des événements Ai sont réalisés : P(B/A1),P(B/A2), · · · ,P(B/An). Le théorème de Bayes permet de calculer la probabilité de l’événement Ai sachant que l’événement B soit réalisé. : P(Ai/B). Théorème P(Ai/B) = P(Ai ) × P(B/Ai ) Xn j=1 P(Aj )P(B/Aj ) . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  55. 55. Probabilités composées et conditionnelles Exemple Le personnel d’une entreprise est composée de 80% de femmes. On sait que 8% de ces femmes ont une formation supérieure et que 24% des hommes ont une formation supérieure. Quelle est la proportion de personnel ayant une formation supérieure ? Sachant qu’il a une formation supérieure, quelle est la probabilité qu’un employé soit une femme? Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  56. 56. Probabilités composées et conditionnelles Solution Considérons les évévenements suivants : A : Etre un employé femme . B : Etre un employé de formation supérieure . Alors, on a : P(A) = 0, 8;P(B/A) = 0, 08;P(A) = 0, 2;P(B/A) = 0, 24, et on a aussi P(B) = P(B (A [ A)) = P(B A) + P(B A), = P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A), = 0, 8.0, 08 + 0, 2.0, 24 = 0, 112. Ainsi on aura P(A/B) = P(A)P(B/A) P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A) . Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  57. 57. Probabilités composées et conditionnelles Exemple Trois machines M1,M2,M3 produisent respectivement 50%, 30% et 20% de la production d’un produit. 2% des produits fabriqués par M1, 3% des produits fabriqués par M2 et 5% des produits fabriqués par M3 sont défectueux. Un produit est prélevé au hasard. Quelle est la probabilité qu’il ait été fabriqué par la machine M2, sachant qu’il est défectueux ? Otheman Nouisser ENCG-Kénitra, 2010
  58. 58. Probabilités composées et conditionnelles Solution Considérons les événements suivants : M1 : Produit fabriqué par M1 , M2 : Produit fabriqué par M2 , M3 : Produit fabriqué par M3 , D : Produit fabriqué est défectueux . Alors on a : P(M1) = 0, 5;P(M2) = 0, 3;P(M3) = 0, 2, P(D/M1) = 0, 02;P(D/M2) = 0, 03;P(D/M3) = 0, 05. D’après le théorème de Bayes, on obtient : P(M2/D) = P(M2)P(D/M2) P(M2)P(D/M2) + P(M2)P

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