Ejercicios resueltos de ecuaciones lineales

1. Ecuaciones Lineales
1
Ejercicio 002
MATEMÁTICAS
Ecuaciones Lineales
Ejercicio 002
Escribe cada ecuación lineal en la
forma ,
y determina, de ser posible,
tres soluciones para cada una
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2. Ecuaciones Lineales
2
Ejercicio 002
a)
Solución:
• condiciona a que los valores de deben ser Enteros.
• Convertimos a la forma
Ecuación de la forma donde
• Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que:
y además no son ambos cero.
• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y enteros de , hasta encontrar tres
pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
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3. Ecuaciones Lineales
3
Ejercicio 002
Respuesta:
• Convertimos la ecuación a la forma y observamos que se trata de una
ecuación lineal:
Donde
• Tres soluciones para esta ecuación lineal que cumplen con la condición son:
, ,
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4. Ecuaciones Lineales
4
Ejercicio 002
b)
Solución:
• condiciona a que los valores de deben ser Reales y menores que cero.
• Convertimos a la forma
Ecuación de la forma donde
• Como puedes ver, hemos convertido correctamente la ecuación a la forma ,
sin embargo notamos que el coeficiente B es Racional, tenemos dos opciones: resolver el
ejercicio con estos valores A,B,C o convertirlos todos a números enteros, de modo que la
solución podría ser menos laboriosa, para cualquier decisión que tomes el resultado será el
mismo. En este caso vamos a convertir los coeficientes a números enteros.
• Para convertir los coeficientes a números enteros, multiplicaremos por ambos miembros
de la igualdad (con el fin de eliminar el denominador 7 del coeficiente B) y así obtenemos una
ecuación equivalente a la anterior:
Ecuación de la forma donde
• Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que y además no son ambas cero.
• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios, reales y menores que cero de , hasta
encontrar tres pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
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5. Ecuaciones Lineales
5
Ejercicio 002
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
Respuesta:
• Convertimos la ecuación a la forma y observamos que se trata de una
ecuación lineal:
Donde
• Tres soluciones para esta ecuación lineal que cumplen con la condición son:
, ,
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6. Ecuaciones Lineales
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Ejercicio 002
c)
Solución:
• condiciona a que los valores de deben pertenecer al conjunto de los números Enteros.
• Convertimos a la forma :
Ecuación de la forma donde
• Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que:
y además no son ambos cero.
• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y enteros de , hasta encontrar tres
pares ordenados que sean solución de la ecuación:
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
Para no se cumple que
Para no se cumple que
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7. Ecuaciones Lineales
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Ejercicio 002
Para no se cumple que
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
¡ … Y aquí viene lo interesante !
• A partir de las pruebas que hemos hecho con diferentes valores enteros de , notamos que no todos
los valores enteros de tienen apareados valores enteros válidos de . Observamos lo siguiente:
El primer par ordenado válido es
El segundo par ordenado válido es
pasa del valor entero 1 al valor entero 5
pasa del valor entero -1 al valor entero -4
• Es decir, para que se cumplan las condiciones, podemos asumir una regularidad muy importante:
varía su valor en +4 es decir (Sumando 4)
Esto se representa en lenguaje matemático así:
y se lee: “el nuevo valor de x equivale al valor actual de x sumado de 4.
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8. Ecuaciones Lineales
8
Ejercicio 002
varía su valor en -3 es decir (Restando 3)
Esto se representa en lenguaje matemático así:
y se lee: “el nuevo valor de y equivale al valor actual de y disminuido de 3.
• La razón de la deducción que acabamos de hacer es ésta:
Este valor debe ser para que La división sea exacta y el
múltiplo de 4 resultado sea un número entero
• Por tanto, es de esperarse que el siguiente valor entero de que haga que también sea entero es:
→
• Ahora vamos a predecir el valor de :
→
• Para asegurarnos que esta regularidad se cumple, vamos a sustituir el nuevo valor encontrado
en la ecuación lineal y despejamos . El resultado debe coincidir.
→ → →
¡ Nuestra regularidad funciona ¡…
(Por lo menos para un primer valor)
• Por tanto se cumple que
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9. Ecuaciones Lineales
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Ejercicio 002
• Comprobemos sustituyendo los valores en la ecuación:
→ 0
• La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
Respuesta:
• Convertimos la ecuación a la forma y observamos que se trata de
una ecuación lineal:
Donde
• Tres soluciones para esta ecuación lineal que cumplen con la condición son:
Con lo que has aprendido en este ejercicio, estoy segura que serás capaz de
encontrar más pares ordenados que cumplan las condiciones.
Puedes recorrer ambos sentidos de la recta numérica, es decir trabajar con valores
enteros negativos y positivos de x.
Así que es tu turno de encontrar más pares ordenados.
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10. Ecuaciones Lineales
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Ejercicio 002
d)
Solución:
• condiciona a que los valores de deben ser Naturales.
• Existe cierta polémica sobre si el cero está incluido o no en el conjunto de los naturales. Algunos
matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número
natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la
postura opuesta.
• Para nosotros, el cero sí pertenece al conjunto de los números Naturales.
• Convertimos a la forma
Ecuación de la forma donde
• Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que:
y además no son ambos cero.
• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y naturales de , hasta encontrar tres
pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :
Para no se cumple que
Para no se cumple que
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11. Ecuaciones Lineales
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Ejercicio 002
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
Para no se cumple que
Para no se cumple que
• Analizando los resultados obtenidos, observamos:
Que sólo es posible obtener un par ordenado que cumple las condiciones de la ecuación lineal:
Conforme incrementamos el valor de , obtendremos valores de negativos y tendiendo a , por
tanto no será posible encontrar ningún par ordenado adicional que satisfaga la ecuación lineal y sus
condiciones.
Respuesta:
• Convertimos la ecuación la forma y observamos que se trata de una
ecuación lineal:
Donde
• La única solución para esta ecuación lineal que cumple con la condición es: .
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12. Ecuaciones Lineales
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Ejercicio 002
d)
Solución:
• condiciona a que los valores de deben ser números Racionales.
• Recuerda que los números Racionales son aquéllos que pueden ser expresados como una fracción o
razón (de ahí el término racional). Tanto el numerador como el denominador son números enteros.
Cuando se efectúa la división, el resultado es un número con una parte entera y una parte decimal que
puede tener final o puede ser una fracción que se repite periódicamente hasta el infinito.
Cuando el denominador es el número 1, el número racional se expresa como un número entero. Es
decir:
• Convertimos a la forma
Ecuación de la forma donde
• Confirmamos que es una ecuación lineal puesto que:
y además no son ambos cero.
• Probamos la ecuación asumiendo diversos valores arbitrarios y racionales de , hasta encontrar tres
pares ordenados que sean solución de la ecuación lineal :
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
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13. Ecuaciones Lineales
13
Ejercicio 002
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
Para se cumple que
Comprobamos sustituyendo los valores en la ecuación:
→
La ecuación lineal se cumple para el par ordenado
Respuesta:
• Convertimos la ecuación a la forma y observamos que se
trata de una ecuación lineal:
Donde
• Tres soluciones para esta ecuación lineal que cumplen con la condición son:
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14. Ecuaciones Lineales
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Ejercicio 002
quot;EL ÉXITO CONSISTE EN
OBTENER LO QUE SE DESEA,
LA FELICIDAD, EN DISFRUTAR LO
QUE SE OBTIENEquot;
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