Losas1d

LOSAS EN UNA DIRECCIÓN ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 1
__________________________________________________________________________________________________________
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA.2003
4 DISEÑO DE VIGAS CONTINUAS Y LOSAS EN UNA DIRECCION
4.1 GENERALIDADES
La aplicación mas inmediata de la teoría del diseño a flexión del hormigón armado es
cuando se presentan problemas de vigas soportadas por varios apoyos y sistemas de losa
que trabajan en una dirección, figura 4.1. Estos tipos de estructuras son únicas en el
hormigón armado ya que a diferencia de otros materiales los ensambles son
monolíticos, es decir no requieren conectores entre elementos y la transferencia de
tensiones se realiza por continuidad estructural.
P1 P2 P3 P4 Pi Pn
L1 L2 Li Ln
Figura 4.1.a. Viga continua y modelo de análisis estructural
N!
L1
Li
LN
Figura 4.1.b. Losa en una dirección apoyada en vigas o muros cargueros.
N1 N2

__________________________________________________________________________________________________________
A diferencia del diseño de secciones, en donde solo se consideraba un determinado
momento, en estos casos se debe conocer la variación del momento flector que
producen las cargas externas en toda la longitud del elemento. El momento flector varia
considerablemente desde el centro de la luz hasta los apoyos donde cambia de signo, es
decir la tracción es en la parte superior de la sección. Igualmente cambia con la
presencia de las cargas vivas, situación que se debe considerar en el diseño para tener en
cuenta las combinaciones mas desfavorables que puedan actuar en la estructura. La
variación del momento en la longitud de los elementos se puede determinar usando el
método aproximado de los coeficientes del ACI para revisiones o diseños preliminares
de estructuras o mediante el uso de algoritmos matemáticos mas o menos complejos que
requieren por lo general la ayuda de una calculadora programable o un computador.
Todos estos procedimientos utilizan por lo general el análisis estructural elástico o de
primer orden. En la practica existen procedimientos disponibles de análisis plástico que
consideran la fisuracion de las secciones y la redistribución inelástica de tensiones pero
estos no se van a considerar en este texto.
4.2 PATRON DE COLOCACIÓN DE LAS CARGAS
El primer problema a resolver es la determinación y colocación de las cargas que se van
a considerar en el diseño. La carga muerta se estima con base en el peso propio de la
estructura y en los elementos que siempre permanecerán sobre ella, esta carga es
constante y no varia en posición. La carga viva por el contrario se estima con bases
estadísticas y su valor debe estar de acuerdo al uso y ocupación de la estructura, varia
continuamente de posición y el ingeniero debe considerar una disposición acertada de
esta variación en la estructura. Con el fin de obtener las envolventes de los momentos y
las cortantes se recomienda al lector estudiar el tema de las líneas de influencia tratadas
en los cursos básicos del análisis estructural. Un método simple es colocar la carga viva
de tal forma que se obtengan los valores mas desfavorables de momento flector en las
mitades de la luces y en los apoyos. Para las mitades de las luces la carga viva se debe
colocar en forma alternada, similar a un tablero de ajedrez, con esto se logran los
mayores momentos positivos, figura 4.2.a y b. Los mayores momentos negativos en
cada apoyo se logran colocando la carga viva en sus dos tramos adyacentes y
alternándola en el resto de la estructura, figura 4.2.c. El diseño se realiza para las
condiciones mas exigentes de los momentos negativos y positivos encontrados
anteriormente.
4.3 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI PARA CARGA VERTICAL
Cuando se requieran realizar comprobaciones rápidas y dimensionamientos preliminares
de los elementos estructurales antes de proceder a utilizar métodos complejos, es
practico y sencillo utilizar los coeficientes de momento recomendados por el ACI los
cuales fueron obtenidos por comprobaciones elásticas considerando entre otros aspectos
la aplicación alterna de cargas, indicada en el numeral anterior para lograr los máximos
momentos positivos y negativos en la estructura. La expresión general para hallar los
momentos tiene la forma de M = coef. q L
2
donde q es la carga uniformemente
distribuida y “ L ” la luz libre. El método permite hallar igualmente las fuerzas cortantes
en cada tramo de la estructura continua con la expresión V = coef. q L / 2.

__________________________________________________________________________________________________________
Para la aplicación adecuada de estos coeficientes se deben cumplir las siguientes
limitaciones geométricas y de carga en la estructura. Cuando no se cumple alguno de
estos requisitos se debe utilizar un método de análisis hiperestatico como el de rigidez,
matricial, solución de ecuaciones simultaneas.
• Se tengan mínimo dos luces
• Las luces sean aproximadamente iguales y la mayor de dos luces adyacentes no
debe exceder a la menor en mas del 20%.
• Las cargas sean uniformemente distribuidas
• La carga viva no exceda en mas de tres veces la carga muerta
• Las secciones sean prismáticas.
qm : Carga muerta
qv : Carga viva
A B C D E F
a) Patrón de carga viva con máximos momentos positivos en AB, CD y EF.
b) Patrón de carga viva con máximos momentos positivos en BC y DE.
c) Patrón de carga viva con el máximo momento negativo en B.
Figura 4.2 Patrón de colocación de las cargas muertas y vivas en vigas continuas
Comprobaciones realizadas con otros métodos de análisis indican que los valores de
momento hallados por los coeficientes del ACI son conservadores mientras se mantenga
el cumplimiento de las restricciones indicadas anteriormente. Es importante mencionar
que los coeficientes propuestos tienen en cuenta la redistribución de momentos por
efectos inelásticos y el ancho de los apoyos. Para el diseño cada coeficiente entrega dos
diagramas de momento para cada luz, uno para los máximos momentos negativos y otro
para los máximos positivos. Sin embargo el método no permite entregar para una

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determinada luz los máximos momentos negativos que se presentan simultáneamente
bajo la acción de las cargas.
Tabla 4.1 Coeficientes ACI para el diseño de vigas continuas y losas en una dirección
Momento positivo
Luces de borde
Si el borde es discontinuo sin restricción
11
2
nu lq ×
Si el borde es discontinuo e integral con el apoyo
14
2
nu lq ×
Luces interiores 16
2
nu lq ×
Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior
Cuando se tienen dos luces
9
2
nu lq ×
Para mas de dos luces 10
2
nu lq ×
Momento negativo en las otras caras de los apoyos interiores
11
2
nu lq ×
Momento negativo en la cara de todos los apoyos para a) losas con
luces que no excedan de 3.0 m y b) Vigas en donde la relación de
suma de las rigidezes de columnas a suma de rigidezes de vigas no
exceda de ocho en cada extremo de la luz.
11
2
nu lq ×
Momento negativo en la cara interior de los apoyos exteriores
para aquellos elementos vaciados monolíticamente con sus apoyos
Cuando el apoyo es una viga de borde o de respaldo
24
2
nu lq ×
Cuando el apoyo es una columna
16
2
nu lq ×
Cortante en al cara interna del primer apoyo interior
2
15.1 nu lq ×
×
Cortante en las otras caras de los apoyos
2
nu lq ×
ln para momento positivo es la luz libre entre apoyos y para momento negativo es el
promedio de las dos luces adyacentes. qu es la carga mayorada que actúa sobre la
estructura.
El valor de la fuerza cortante para luces continuas se toma igual al obtenido en luces
simplemente apoyadas a excepción de la cara exterior del primer apoyo interior en
donde el valor se incrementa en un 15% debido al efecto del balance de los momentos

__________________________________________________________________________________________________________
Sin restricciónè 0
11
1
Viga de bordeè
24
1
14
1
10
1
11
1
16
1
11
1
11
1
Columnaè
16
1
14
1
a) Vigas con mas de dos luces
Sin restricciónè 0
11
1
11
1
0
Viga de bordeè
24
1
14
1
9
1
9
1
14
1
24
1
Columnaè
16
1
14
1
14
1
16
1
b) Vigas con dos luces
12
1
14
1
12
1
12
1
16
1
12
1
12
1
c) Losas con luces menores de 3.0 m
Columnaè
12
1
14
1
12
1
12
1
16
1
12
1
12
1
d) Vigas en donde S Rigidez de columnas > 8 x S Rigidez de vigas en el nudo
Figura 4.3 Coeficientes de momento en vigas continuas y losas en una dirección

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en vigas continuas (
2
15.1 nu lq ×
× ). La cortante en el apoyo exterior por lo general da
ligeramente inferior a la obtenida por análisis elástico pero el método
conservadoramente asume el valor indicado para luces simplemente apoyadas (
2
nu lq ×
).
4.4 LOSAS EN UNA DIRECCIÓN
En las estructuras de hormigón armado la losa es el típico sistema estructural horizontal
que permite recibir directamente las cargas verticales, debidas al peso de los elementos
y al uso y ocupación de la edificación y llevarlas al sistema vertical de soporte
estructural seleccionado para la edificación tal como el pórtico resistente a momentos,
los muros estructurales, la mampostería y los sistemas mixtos.
La losa puede estar o no apoyada perimetralmente, en el primer caso descansa
directamente sobre columnas generando la conocida placa plana y la losa plana las
cuales se estudiaran mas adelante como losas bidireccionales. En el segundo caso la losa
puede apoyarse en vigas o muros los cuales pueden estar en todo el perímetro o no.
Cuando la losa se apoya en dos lados únicamente se tiene la losa unidireccional y las
cargas van en sentido perpendicular a las vigas o muros de apoyo, figura 4.4.
Viga A Viga B Viga C
Dirección
Losa
Losa
Vigas
Figura 4.4 Losa en una dirección apoyada sobre vigas

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Cuando se tienen vigas o muros en todos los bordes de la losa la acción estructural es en
dos direcciones. Sin embargo en este caso la acción depende de la relación luz larga, lb,
a luz corta, la, la cual indica que para relaciones la / lb > 2 la losa bidireccional se puede
analizar como unidireccional porque mas del 90% de la carga se dirige a las vigas en la
dirección corta de la losa.
Las losas de hormigón armado pueden también ser macizas o aligeradas. El sistema de
losa maciza es muy utilizado en pavimentos y puentes pero muy poco en edificios por
las altas cargas debidas al peso propio y los altos costos en materiales. Las losas
aligeradas son bastante utilizadas en la construcción de edificios por las ventajas que
genera en ahorro de materiales, disminución del peso y mejora en aislamientos térmicos
y acústicos. Los sistemas aligerados en una y dos direcciones se encuentran patentados
por el instituto del acero para el hormigón armado de los Estados Unidos ( CRSI) y se
les conoce comercialmente como los sistemas nervados ( Joist System) en una y en dos
direcciones. Los documentos que respaldan su uso como el CRSI # 42 dan los criterios
de diseño para diferentes configuraciones de losa lo mismo que las características de los
aligerantes, recubrimientos y detallado del refuerzo. Un sistema típico aligerado en una
dirección se indica en la figura 4.5.
Nervios o viguetas
Viga A Viga B Viga C
Losa nervada
Vigas
Figura 4.5 Losa nervada en una dirección apoyada sobre vigas
Ya que las cargas en las losas unidireccionales van en la dirección corta del modulo o
panel de losa, esta se puede analizar estructuralmente como una viga continua de ancho

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unitario si es maciza o de ancho igual al ancho de aleta si es nervada. Se puede utilizar
el método de los coeficientes del ACI si se cumplen las hipótesis u otro método de
análisis elástico. El refuerzo esta constituido en general por dos capas de acero en forma
de malla que atienden las solicitaciones externas ( refuerzo principal) y los problemas
de retracción y cambios de temperatura (refuerzo secundario). El acero principal va en
dirección perpendicular a las vigas de apoyo y el secundario es normal al refuerzo
principal. En general las losas de edificios no requieren refuerzo por cortante por las
altas áreas de carga que se manejan pero en los sistemas nervados hay casos donde la
cortante es critica y se debe atender convenientemente. Los espesores de losa y vigas se
pueden seleccionar inicialmente de la tabla 3.4 y los anchos unitarios utilizados para los
diseños de losas macizas unidireccionales pueden ser 0.25, 0.50 y 1.00 m. En la practica
se prefiere el ancho de 1.0 m y los diseños se refieren por tanto a esta franja típica.
4.5 PROCEDIMIENTO GENERAL DE DISEÑO A FLEXIÓN
4.5.1 Dimensionamiento estructural
Con el fin de evitar grandes deflexiones y cumplir los requisitos exigidos para atender la
flexión y la cortante se define inicialmente el espesor de la losa y las vigas usando los
valores recomendados en la tabla 3.4. Si se trata de una losa maciza de define un ancho
de franja unitario b, si es losa aligerada la franja queda definida al seleccionar el ancho
del nervio, bw, y las dimensiones del aligerante ( largo, ancho y alto) y si es viga se
define un ancho mayor o igual a 250 mm.
Ejemplo 4.1 Para la losa unidireccional de la figura 4.6 definir cuales pueden ser las
dimensiones estructurales iniciales considerando solo los requisitos geométricos.
A A´ A” B B´ B” C C´ C” D D´ D” E
1
8m
2
8m 8.
3
8m
4
3 @ 4.0 m 3 @ 4.5 m 3 @ 4.5 m 3 @ 4.0m
Figura 4.6 Planta típica para el ejemplo 4.1

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Solución: La edificación esta compuesta de pórticos viga - columna que conforman el
sistema estructural resistente a momento y losas en una dirección que se apoyan en
vigas cargueras intermedias. Las vigas principales 1,2 ,3 y 4 reciben además de su
propio peso las cargas de las vigas intermedias A´, A”, B´, B”, C´, C”, D´, D” y las
vigas de amarre espacial A, B, C y D soportan su propio peso.
a) Dimensionamiento de la losa maciza. Utilizando la tabla 3.4 para losas macizas en
una dirección los espesores mínimos son:
Luz AB è mmh .167
24
400
=≥ Para el tramo de borde
mmh .143
28
400
=≥ Para el tramo central
Luz BC è mmh .161
28
450
=≥ en todos los tramos
Por simetría el espesor recomendado de la losa es h ≥167 mm. El valor se debe
redondear al múltiplo de 25 mm mas cercano è Sea h = 150 mm. Se asume una ancho
de franja para el análisis estructural y el diseño de b = 500 mm. La sección de franja se
muestra en la figura 4.7.
Franja típica
h =150 mm
b
Figura 4.7 Sección de losa maciza y franja típica del ejemplo 4.1
b) Dimensionamiento de la losa aligerada. Inicialmente se definen las características del
nervio y el tipo de aligerante de acuerdo al numeral 8.11 del código del ACI. En
resumen se debe cumplir que:
• el ancho del nervio debe ser mayor o igual a 100 mm y su altura menor o igual a
tres y medio veces el ancho.
• El espaciamiento libre entre nervios debe ser menor o igual a 0.75 m
• Cuando se utilicen ladrillos de arcilla o bloques de hormigón huecos como
aligerantes y su resistencia es mayor o igual a la del hormigón de los nervios, el
espesor de la losa sobre el aligerante debe ser mayor o igual a un doceavo de la
separación libre entre nervios o 40 mm.
• Si se utilizan otros aligerantes o formaletas removibles el espesor de la losa
sobre el aligerante debe ser igualmente mayor que la doceava parte de la
separación de los nervios o 50 mm.

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El espesor de la losa aligerada se obtiene de la tabla 3.4:
Luz AB è mmh .216
5.18
400
=≥ Para el tramo de borde
mmh .190
21
400
=≥ Para el tramo central
Luz BC è mmh .214
21
450
=≥ en todos los tramos
Por simetría el espesor recomendado de la losa es h ≥216 mm. El valor se debe
redondear al múltiplo de 25 mm mas cercano è Sea h = 200 mm.
La selección del aligerante depende de criterios económicos y constructivos disponibles
en el sitio de la construcción. El uso de cajas de madera, bloques de poron ( icopor ),
bloque prefabricados de hormigón, ladrillos de arcilla y formaletas recuperables en
metal, fibra o madera constituyen solo algunos ejemplos de las posibilidades en este
campo. En este ejemplo se puede usar como aligerante ladrillos de arcilla de seis huecos
con dimensiones 200 x 150 x 400 mm con resistencia a compresión menor que la del
hormigón del nervio. La sección de losa dimensionada se indica en la figura 4.8.
b = 500 mm
50 mm
h = 200 mm
100 mm 400 mm 100 mm
Ladrillos de arcilla
Figura 4.8 Sección típica de losa aligerada en una dirección del ejemplo 4.1
El ancho de franja queda definido como b = 400 + 100 = 500 mm.
c ) Dimensiones de las vigas principales. Las vigas 1, 2, 3 y 4 tienen luces de 12.0 m y
soportan las vigas intermedias que reciben la losa. Utilizando la tabla 3.4:
Para el tramo AB y DE è mmh .649
5.18
1200
=≥
Para el tramo BC y CD è mmh .643
21
1350
=≥

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La altura se puede asumir como h = 700 mm con el fin de tener alguna reserva de
sección para atender la flexión y la cortante. El ancho de la viga por lo general se define
con base en las dimensiones de las columnas o muros portantes. En general este ancho
debe ser al menos 100 mm menor que el de las columnas (por refuerzo del nudo) o igual
al de los muros. Si las columnas se asumen de b = h =500 mm se puede utilizar un
ancho de viga de b = 400 mm. Ver sección de vigas principales en figura 4.9.a.
d) Dimensiones de las vigas intermedias. Estas vigas tienen luces de 8.0 m y se apoyan
en las vigas principales. De la tabla 3.4:
Para los tramos 1-2 y 2-3 è mmh .432
5.18
800
=≥
Para el tramo 2-3 è mmh .381
21
800
=≥
Se puede asumir un espesor de h = 500 mm y un ancho de b = 300 mm. La sección de
las vigas intermedias se puede ver en la figura 4.9.b.
h=500 mm
h = 700 mm
b = 300 mm
b = 400 mm
a) Sección vigas principales b) Sección vigas intermedias
Figura 4.9 Secciones de vigas del ejemplo 4.1
4.5.2 Determinación de las cargas en losa y vigas
Las cargas que actúan en la losa se deben al peso propio mas las cargas vivas definidas
de acuerdo al tipo de uso y ocupación de la edificación. El peso propio para la losa se
determina conociendo sus dimensiones y los valores promedio sugeridos para las
divisiones interiores, acabados y las instalaciones. El peso propio de las vigas se
determina con las dimensiones iniciales. Las cargas vivas se asumen de acuerdo a los
valores establecidos localmente por estudios estadísticos y se presentan en un código o
norma de construcción ( NSR-98).

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Ejemplo 4.2 Determinar las cargas en losa y vigas para el ejemplo 4.1. Considerar
hormigón armado con una densidad de 2.4 Mg /m
3
. En la losa aligerada usar un peso de
ladrillos de 1.0 kN/ m
2
. En general usar un peso de divisiones de 1.5 kN/ m
2
y acabados
e instalaciones de 1.2 kN/ m
2
.
Solución: Se determinaran las cargas para el diseño de: a) losa maciza b) la losa
aligerada c) las vigas intermedias y d) las vigas principales.
a) Cargas de diseño de la losa maciza.
Peso de la losa:
2
, /.5.38.915.04.2 mkNq ppm =××=
Peso de divisiones, acabados e instalaciones:
2
., /7.22.15.1 mkNq adicm =+=
Carga muerta total en losa:
2
.,, /2.67.25.3 mkNqqq adicmppmm =+=+=
R / La carga muerta en la losa es de 6.2 kN/ m
2
.
R/ La carga viva es de acuerdo al NSR-98 para vivienda de 1.8 kN/ m
2
.
Para una franja de diseño de 0.50 m la carga muerta es de qm = 6.2 x 0.5 = 3.1 kN/m y la
carga viva es de qv = 1.8 x 0.5 = 0.9 kN/m.
qm = 3.1 kN/m qv = 0.9 kN/m
A A´ A” B B´ B” C
4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m
Figura 4.10 Cargas de diseño para la losa maciza del ejemplo 4.2
b) Cargas de diseño de la losa aligerada.
Peso losa de recubrimiento:
2
., /18.18.905.04.2 mkNq recm =××=
Peso nervio:
2
., /71.08.94.2
50.0
15.010.0
mkNq nervm =××




 ×
=

__________________________________________________________________________________________________________
Peso aligerante: =.,aligmq 1.0 kN/m
2
Peso divisiones, acabados e instalaciones:
2
., /7.22.15.1 mkNq adicm =+=
R/ Carga muerta total:
2
/6.57.20.171.018.1 mkNqm =+++= es decir una disminución
del 10% del peso de la losa maciza para las mismas condiciones geométricas.
Si se requiere disminuir el peso propio se puede utilizar otro aligerante o una formaleta
recuperable. Por ejemplo con cajas de madera común no recuperable de dimensiones
150 x 750 x 1000 mm se tiene:
qm,rec. = 1.18 kN/m2 qm,alig.= 0.15 kN/m2
2
., /7.2 mkNq adicm =
2
., /47.08.94.2
75.0
15.010.0
mkNq nervm =××




 ×
=
2
, /47.08.94.202.0 mkNq tortam =××=
R/ La carga muerta total es de qm = 4.97 kN/m
2
que equivale a una disminución del
peso propio en 20% respecto a la losa maciza equivalente.
Se puede reducir aun mas el peso propio considerando el caseton recuperable. En este
ultimo caso la carga por peso propio es de qm = 1.18 + 2.70 + 0.47 = 4.35 kN/m
2
con
una disminución del 30% del peso propio de la losa maciza.
En este ejemplo se va a trabajar con el caseton no recuperable para una carga por peso
propio de qm = 4.97 kN/m
2
.
R/ La carga viva es igual al caso de losa maciza: qv = 1.8 kN/m
2
Con franjas de ancho 0.75 m è qm = 4.97 x 0.75 = 3.7 kN/m
qv = 1.80 x 0.75 = 1.4 kN/m
qm = 3.7 kN/m qv = 1.4 kN/m
4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m
Figura 4.11 Cargas de diseño para la losa aligerada del ejemplo 4.2

__________________________________________________________________________________________________________
c) Cargas de diseño de las vigas intermedias. Estas vigas reciben como carga las
reacciones de la losa mas el peso propio de la viga. Utilizando el método aproximado de
los coeficientes del ACI se estimaran las cargas inicialmente para el caso de losa maciza
y luego la losa aligerada.
Vigas A y E : mkNqm /9.155.34.128.94.25.03.0
5.02
0.41.3
=+=×××+
×
×
=
mkNqv /6.3
5.02
0.49.0
=
×
×
=
Vigas A´ y D” : mkNqm /2.308.94.25.03.0
5.02
0.41.3
5.02
0.41.3
15.1 =×××+
×
×
+
×
×
×=
mkNqv /7.7
5.02
0.49.0
5.02
0.49.0
15.1 =
×
×
+
×
×
×=
Vigas A” y D´ : mkNqm /3.288.94.25.03.0
5.02
0.41.3
2 =×××+
×
×
×=
mkNqv /2.7
5.02
0.49.0
2 =
×
×
×=
Viga B : mkNqm /9.398.94.25.03.0
5.02
5.41.3
5.02
0.41.3
=×××+
×
×
+
×
×
=
mkNqv /7.7
5.02
5.49.0
5.02
0.49.0
=
×
×
+
×
×
=
Viga B´ y C” : mkNqm /4.318.94.25.03.0
5.02
5.41.3
2 =×××+
×
×
×=
mkNqv /1.8
5.02
5.49.0
2 =
×
×
×=
Por simetría ya se tienen las otras cargas de las vigas. La tabla 4.2 presenta el resumen.
Tabla 4.2 Cargas de diseño en vigas intermedias del ejemplo 4.2. Losa maciza método
coeficientes ACI
Carga
(kN/m)
qm 15.9 30.2 28.3 39.9 31.4 31.4 31.4
qv 3.6 7.7 7.2 7.7 8.1 8.1 8.1
qt 19.5 37.9 35.5 47.6 39.5 39.5 39.5

__________________________________________________________________________________________________________
qm = (15.9 => 39.9 ) kN/m qv = (3.6 => 8.1) kN/m
1 2 3 4
8.0 m 8.0 m 8.0 m
Figura 4.12 Cargas de diseño en vigas intermedias del ejemplo 4.2
Tabla 4.3 Cargas de diseño en vigas intermedias del ejemplo 4.2. Losa aligerada
VIGA
Carga
(kN/m)
qm 13.4 24.7 23.3 24.5 25.7 25.7 25.7
qv 3.7 8.0 7.5 7.9 8.4 8.4 8.4
qt 17.1 32.7 30.8 32.4 34.1 34.1 34.1
d) Cargas en las vigas principales. La carga de estas vigas esta conformada por el peso
propio mas las reacciones de las vigas intermedias. Las vigas principales llevan la carga
a las columnas o muros respectivos. Utilizando el método de los coeficientes del ACI:
Vigas 1 y 4: mkNqm /6.68.94.24.07.0 =×××=
kNp Am 8.120
2
0.82.30
´, =
×
= kNp Am 2.113
2
0.83.28
", =
×
=
kNp Av 8.30
2
0.87.7
´, =
×
= kNp Av 8.28
2
0.82.7
", =
×
=
kNp Bm 6.125
2
0.84.31
´, =
×
= kNp Bm 6.125
2
0.84.31
", =
×
=
kNp Bv 4.32
2
0.81.8
´, =
×
= kNp Bv 4.32
2
0.81.8
", =
×
=
Las otras cargas se obtienen por simetría:

__________________________________________________________________________________________________________
121 kN 113 kN 126 kN 126 kN 126 kN 126 kN 113 kN 121 kN
qm = 6.6 kN/ m
A B C D E
12 m 12 m 12 m 12 m
Figura 4.13 Cargas de diseño en viga principal # 1 del ejemplo 4.2
121 kN 113 kN 126 kN 126 kN 126 kN 126 kN
31 kN 29 kN 32 kN 32 kN 32 kN 32 kN
qm = 6.6 kN/ m
A B C D
12 m 12 m 12 m
Vigas 2 y 3: mkNqm /6.68.94.24.07.0 =×××=
kNp Am 260
2
0.82.30
15.2´, =
×
×= kNp Am 243
2
0.83.28
15.2", =
×
×=
kNp Av 66
2
0.87.7
15.2´, =
×
×= kNp Av 62
2
0.82.7
15.2", =
×
×=
kNp Bm 270
2
0.84.31
15.2´, =
×
×= kNp Bm 270
2
0.84.31
15.2", =
×
×=

__________________________________________________________________________________________________________
kNp Bv 70
2
0.81.8
15.2´, =
×
×= kNp Bv 70
2
0.81.8
15.2", =
×
×=
Las otras cargas se obtienen por simetría:
66 kN 62 kN 70 kN 70 kN 70 kN 70 kN 62kN 66 kN
qm = 6.6 kN/ m
A B C D E
12 m 12 m 12 m 12 m
66 kN 62 kN 70 kN 70 kN 70 kN 70 kN 29kN 31 kN
qm = 6.6 kN/ m
A B C D E
12 m 12 m 12 m 12 m
4.5.3 Momentos y cortantes en losa y vigas
La determinación de los momentos flectores que generan las cargas en las diferentes
secciones criticas de la estructura se realiza utilizando el análisis estructural elástico. Si
se cumplen las hipótesis, el método de los coeficientes del ACI es una excelente
herramienta para iniciar el proceso de calculo. Si se dispone de un procedimiento de
análisis estructural mas elaborado es conveniente utilizarlo en lugar del método

__________________________________________________________________________________________________________
aproximado. Es importante comparar algunos resultados obtenidos con ambos métodos
para juzgar la bondad del procedimiento aproximado.
a) Losa. La planta de la losa dispone de una serie de franjas típicas o nervios, con
geometría similar, los cuales se deben analizar combinando adecuadamente las cargas
muertas y vivas de tal forma que se obtengan los máximos momentos positivos y
negativos en las diferentes secciones de la estructura.
b) Vigas. Se utiliza igualmente el procedimiento de análisis disponible y combinando
adecuadamente las cargas se obtienen los máximos momentos y cortantes en la
estructura.
Ejemplo 4.3 Para la losa del ejemplo 4.1 determinar los momentos flectores y las
fuerzas cortantes para el diseño de la losa y las vigas.
Solución: La losa solo tiene una franja típica la cual se analizara por el método de
rigidez y por el método de los coeficientes del ACI. Aprovechando la simetría solo se
dan los resultados de momento para la mitad de la franja típica de losa.
a) Momentos y cortantes en la losa. Considerando las posibles combinaciones de carga
viva y muerta se obtienen para la mitad de la franja de losa ocho estados. Los dos
primeros para obtener los máximos momentos positivos en cada tramo de franja y los
seis restantes para lograr los máximos momentos negativos, figura 4.16.
En la tabla 4.4 se resumen los valores obtenidos para las combinaciones de carga
propuestas. Igualmente la tabla 4.5 presenta los momentos utilizando el método
aproximado de los coeficientes del ACI. Se puede notar como la diferencia entre ambos
procedimientos varia entre el 0.5% y 33% que en muchos casos prácticos es aceptable
dada la variabilidad en la estimación de las cargas y en el cumplimiento en obra de la
resistencia del hormigón y del acero.
Tabla 4.4 Momentos de diseño losa maciza del ejemplo 4.3. Método de rigidez
Momentos en kNx m / (ancho de franja)
Comb.
#
MA M1/2 MA´ M1/2 MA” M1/2 MB M1/2 MB´ M1/2 MB” M1/2 MC
1 0.00 6.89 7.53 0.00 5.37 4.37 6.53 2.28 7.75 5.47 7.42 1.95 7.52
2 0.00 4.11 7.58 3.94 5.19 1.25 7.19 5.68 7.57 1.90 7.47 5.57 7.52
3 0.00 6.26 9.12 3.39 4.78 1.40 7.29 5.64 7.55 1.91 7.47 5.57 7.51
4 0.00 4.29 7.12 3.25 7.01 3.76 6.11 2.43 7.86 5.43 7.39 1.96 7.52
5 0.00 6.83 7.68 1.21 4.78 3.56 8.75 5.11 7.16 2.05 7.58 5.53 7.49
6 0.00 4.13 7.54 3.88 5.35 1.47 6.59 4.92 9.68 4.77 6.91 2.14 7.65
7 0.00 6.89 7.54 1.01 5.32 4.31 6.69 2.48 7.19 4.71 9.52 4.82 6.97
8 0.00 4.11 7.57 3.93 5.20 1.27 7.15 5.63 7.72 2.10 6.91 4.80 9.61
Los valores en negrilla y sombreados son los máximos obtenidos en todas las
combinaciones de carga y son los que controlan el diseño.

__________________________________________________________________________________________________________
1.2 qm + 1.6 qv = 5.16 kN / m 1.2 qm = 3.72 kN/m
4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m
a) Combinación # 1 : Máximos momentos positivos en luces 1,3 y 5.
5.16 kN/m 3.72 kN/m
4.0 m 4.0m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m
b) Combinación # 2 : Máximos momentos positivos en luces 2,4 y 6.
5.16 kN / m 3.72 kN/m
4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m
c) Combinación # 3 : Máximo momento negativo en A´
5.16 kN / m 3.72 kN/m
4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m
d) Combinación # 4 : Máximo momento negativo en A”
Figura 4.16 Combinaciones de carga para la losa del ejemplo 4.3

__________________________________________________________________________________________________________
5.16 kN / m 3.72 kN/m
4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m
e) Combinación # 5 : Máximo momento negativo en B
5.16 kN / m 3.72 kN/m
4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m
f) Combinación # 6 : Máximo momento negativo en B´
5.16 kN / m 3.72 kN/m
4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m
g) Combinación # 7 : Máximo momento negativo en B”
5.16 kN / m 3.72 kN/m
4.0 m 4.0 m 4.0 m 4.5 m 4.5 m 4.5 m
h) Combinación # 8 : Máximo momento negativo en C
Figura 4.16 Combinaciones de carga para la losa del ejemplo 4.3. Continuación

__________________________________________________________________________________________________________
Tabla 4.5 Momentos de diseño losa maciza del ejemplo 4.3. Método coeficientes ACI
Momentos en kNx m / ( ancho de franja)
Comb. MA M1/2 MA´ MA´ M1/2 MA” MA” M1/2 MB MB M1/2 MB´
Unica 3.44 5.90 8.25 7.51 5.16 7.51 7.51 5.16 7.51 9.50 6.53 9.50
Momentos en kNx m / (ancho de franja)
Comb. MB´ M1/2 MB” MB” M1/2 MC
Unica 9.50 6.53 9.50 9.50 6.53 9.50
Tabla 4.6 Comparación de los momentos de diseño enlosa maciza del ejemplo 4.3
Momentos en kNx m / ( ancho de nervio)
Metodo MA M1/2 MA´ M1/2 MA” M1/2 MB M1/2 MB´ M1/2 MB” M1/2 MC
Rigidez 0.00 6.89 9.12 3.94 7.01 4.37 8.75 5.68 9.68 5.47 9.52 5.57 9.61
Aprox. 3.44 5.90 7.88 5.16 7.51 5.16 8.51 6.53 9.50 6.53 9.50 6.53 9.50
Dif. % --- 14 13 31 7 18 3 15 2 19 0.2 17 1.0
Por simetría no se colocan los valores para las otras luces. El momento MA no se puede
comparar por la diferencia de hipótesis en cada método.
b) Momentos y cortantes en vigas intermedias. En la tabla 4.2 y la figura 4.12 se
indicaron las cargas muertas y vivas que soportan las vigas intermedias utilizando los
coeficientes del ACI (si se dispone de métodos mas elaborados se pueden precisar mas
estos valores, utilizando por ejemplo el método de rigidez). Para este ejemplo se
continuara utilizando los coeficientes del ACI indicado en la figura 4.3 caso a) cuando
existe viga de borde. La tabla 4.6 entrega los valores obtenidos de los momentos de
diseño para las vigas intermedias.
1.2 qm + 1.6 qv
1 2 3 4
8.0 m 8.0 m 8.0 m
Figura 4.17 Caso único carga de diseño en vigas intermedias, ejemplo 4.3

__________________________________________________________________________________________________________
Tabla 4.7 Momentos Mayorados en vigas intermedias. Método coeficientes del ACI
Momentos en kN x m
Viga M1 M1-2 M2 M2 M2-3 M3 M3 M3-4 M4
A 66 114 159 145 99 145 159 114 66
A´ 129 222 311 283 194 283 311 222 129
A” 121 208 291 265 182 265 291 208 121
B 161 275 385 350 241 350 385 275 161
B´, B”, C, C´, C” 135 231 324 295 203 295 324 231 135
D 161 275 385 350 241 350 206 147 86
D´ 121 208 323 323 208 121 ---- ---- ----
D” 129 222 345 345 222 129 ---- ---- ----
E 66 114 177 177 114 66 ---- ---- ----
Tabla 4.8 Cortantes Mayoradas en vigas intermedias. Método coeficientes del ACI
Cortantes en kN
Viga V1-2 V2-1 V2-3 V3-2 V3-4 V4-3
A 99 114 99 99 114 99
A´ 194 223 194 194 223 194
A” 182 209 182 182 209 182
B 241 277 241 241 277 241
B´, B” , C, C´, C” 203 233 203 203 233 203
D 241 277 241 241 148 129
D´ 182 209 209 182 ----- -----
D” 194 223 223 194 ----- -----
E 99 114 114 99 ----- -----
c) Momentos y cortantes en vigas principales. Estas vigas soportan, además de su peso,
las cargas que le transmiten las vigas intermedias representadas por las cortantes de la
tabla 4.8. Los momentos y cortantes se deben obtener con un método hiperestatico de
análisis estructural. En este ejemplo ya no se puede utilizar el método de los
coeficientes del ACI por la presencia de cargas concentradas en las luces.
99 kN 182 kN 203 kN 203 kN 203 kN 182 kN 99 kN
194 kN 241 kN 203 kN 203 kN 241 kN 194 kN
qm = 7.9 kN/ m
A B C D E
12 m 12 m 12 m 12 m
Figura 4.18 Cargas Mayoradas en viga principal # 1 del ejemplo 4.2

__________________________________________________________________________________________________________
Para resolver el ejemplo se considera una estructura de un solo piso con altura de 3.5 m
y columnas de b = h = 500 mm. Las vigas son de 400 x 700 mm.
El análisis estructural se realiza solo para carga vertical utilizando el método matricial
de rigidez y los resultados de los momentos y cortantes de diseño se muestran en las
tablas 4.9 y 4.10 para todos los pórticos de la edificación. Además el ejemplo se
resuelve para las cargas indicadas en la figura 4.19 sin realizar ninguna combinación ya
que el efecto de las vigas intermedias es fijo en las posiciones indicadas y solo varia la
magnitud por efectos de la presencia o no de la carga viva.
Como la relación qv / qm es baja ( < 0.30) se puede indicar que el efecto de la carga viva,
en este caso, es leve en la alteración de los esfuerzos internos de vigas y columnas.
Port.1 99 194 182 241 203 203 203 203 203 241 182 194 99
Port.2 213 417 391 518 436 436 436 436 436 518 418 446 228
Port.3 213 417 391 518 436 436 436 436 436 369 182 194 99
Port.4 99 194 182 241 203 203 203 203 203 129 ----- ----- ----
A B C D E
3.5 m qm = 7.9 kN / m
12 m 12 m 12 m 12 m
Figura 4.19 Cargas en Pórticos del ejemplo 4.3. Método de rigidez
Tabla 4.9 Momentos en los pórticos del ejemplo 4.3. Método matricial de rigidez
Momentos en kN x m
Pórtico MA MAB MB MB MBC MC MC MCD MD MD MDE ME
1 358 400 696 655 313 627 628 313 655 696 400 358
2 704 792 1369 1294 621 1236 1233 615 1315 1436 849 754
3 693 797 1375 1273 611 1276 1303 693 1111 858 364 311
4 363 409 688 643 301 662 729 433 386 ---- ---- ----

__________________________________________________________________________________________________________
Tabla 4.10 Cortantes en los pórticos del ejemplo 4.3. Método matricial de rigidez
Cortantes en kN
Pórtico VA-B VB-A VB-C VC-B VC-D VD-C VD-E VE-D
1 209 262 253 248 248 253 262 209
2 400 502 488 479 476 490 531 427
3 399 504 483 484 499 467 279 192
4 210 260 249 252 279 221 ---- ----
4.5.4 Determinación y selección del refuerzo a flexión en losa y vigas
La determinación del refuerzo a flexión tanto en la losa como en las vigas se inicia
colocando en cada elemento el refuerzo mínimo necesario para cada sección y
comprobando si con este refuerzo se cumple la exigencia de momento solicitada por las
cargas externas. En caso afirmativo se coloca este refuerzo mínimo en caso negativo se
debe determinar una cantidad de refuerzo mayor por alguno de los procedimientos
explicados en la teoría del diseño a flexión del hormigón armado. En todos los casos se
debe comprobar con el acero colocado el cumplimiento de F.Mn = Mu .
a) Refuerzo en la losa. El refuerzo mínimo a flexión en losas se define como el
equivalente al de retracción y temperatura el cual depende de la resistencia a fluencia
del acero utilizado.
Si fy = 280 MPa o 350 MPa è ?min = 0.0020
Si fy = 420 MPa o malla electrosoldada è ?min = 0.0018
Si fy > 420 MPa è ?min = (0.0018 x 420 ) / fy
En ningún caso la cantidad de refuerzo en losas debe ser menor que 0.0014 ( b x h ).
Este refuerzo no debe separarse mas de tres veces el espesor de la losa ni 450 mm. En
general el refuerzo practico de losas lo constituyen las barras # 3 , 4 y # 5.
Ejemplo 4.4 Determinar el refuerzo de la losa maciza del ejemplo 4.1 considerando un
hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Usar un d´= 25 mm
Solución: El refuerzo mínimo para esta losa es:
2
min, 1351505000018.0 mmAs =××=
Es decir se deben colocar 135 mm
2
de acero en cada franja de b = 500 mm. Si se asume
acero # 4 ( As = 129 mm2) la separación de barras es de 129 / 135 x 500 = 478 mm. Sin
embargo como la separación máxima es de 450 mm la cantidad de acero # 4 que se
podría colocar como refuerzo mínimo en la losa es: barras # 4 cada 450 mm que
equivalen a 129 / 0.45 = 287 mm
2
/ m ( 287 x 0.5 = 143.5 mm2 / franja). La cuantía de
refuerzo ? = 287 / ( 1000 x 125) =0.0023 (? = 143.5 / ( 500 x 125) = 0.0023 ).
Para esta cuantía ( ? = 0.0023 ) la capacidad en flexión de la losa es:

__________________________________________________________________________________________________________
mmNM n .102.13
21
4200023.0
59.0112510004200023.090.0
62
×=




 ×
×−×××××=φ
El resultado indica que con barras # 4 cada 0.45 m la capacidad supera a la requerida
por las cargas externas ( tabla 4.5 ). Si se usan barras de menor diámetro por ejemplo la
# 3 (As = 71 mm
2
) è la separación de barras es (71 / 135) x 500 = 263 mm è Si se
colocan # 3 @ 0.30 m la cuantía es ? = (71 / 0.30) / ( 1000 x 125) = 0.0019 y el valor
del momento es: Φ Mn = 11.0 kN.m que aun es alto en esta losa.
Los códigos ACI y NSR recomiendan colocar en cualquier caso una cantidad de
refuerzo siempre mayor que 0.0014 x b x h = 210 mm
2
/ m ( ó # 3 @ 0.35 ). La tabla
4.11 resume las cantidades de refuerzo por flexión que se deben colocar en la losa.
Tabla 4.11 Momentos y refuerzo en la losa maciza del ejemplo 4.4
Nudo A Centro A´ Centro A” Centro B
Mu (kN.m) 3.44 5.90 7.88 5.16 7.51 5.16 8.51
As # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35
Φ.Mn (kN.m) 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4
Nudo B Centro B´ Centro B” Centro C
Mu (kN.m) 8.51 6.53 9.50 6.53 9.50 6.53 9.50
As # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.30 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.30 # 3 @ 0.35 # 3 @ 0.30
Φ.Mn (kN.m) 9.4 9.4 10.93 9.4 10.93 9.4 10.93
Perpendicular al refuerzo de flexión se debe colocar el acero de retracción y temperatura
que equivale a # 3 @ 0.40 m. La figura 4.20 ilustra la disposición en planta y en corte
de la colocación del refuerzo en la losa.
Un valor importante para comparar la economía en el diseño estructural de una losa es
la cantidad de refuerzo por metro cuadrado. Este índice o factor por lo general varia
entre 5 kg y 10 kg en losas típicas de edificios comerciales y de vivienda. Para este
ejemplo el valor se obtiene así:
2
/4.6/560.0/).
35.0
0.1
2
35.0
0.1
35.0
0.1
( mkgmkgmbarrasFr =××++=
R/ La cantidad de refuerzo por metro cuadrado de losa es de 6.4 kg.

__________________________________________________________________________________________________________
A A´ A” B
1
2
# 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.30 m
# 3 @ 0.35 m
# 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m # 3 @ 0.35 m
Figura 4.20 Detalle del refuerzo en el panel de losa AB12 del ejemplo 4.4
Ejemplo 4.5 Determinar el refuerzo de la losa aligerada del ejemplo 4.1 considerando
un hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa. Usar un d´= 250 mm
Solución: En la figura 4.11 se indicaron las cargas de diseño para analizar los nervios
de la losa aligerada, falta por determinar los momentos y el refuerzo. En la tabla 4.12 se
muestran los momentos (método de los coeficientes) y el refuerzo requerido en cada
nervio utilizando la metodología del diseño de secciones no rectangulares. La figura
4.22 muestra así mismo el detallado del refuerzo en la losa.
La sección de cada nervio y los datos requeridos para determinar la capacidad a flexión
de la sección se indican en la figura 4.21. El refuerzo mínimo para cada nervio es
0.0018 x 500 x 200 = 180 mm
2
que se puede cubrir con una barra # 5 ( As = 200 mm
2
).
Con este refuerzo la capacidad en flexión en la mitad de la luz es de φ Mn (+) = 12.9
kN.m y en el apoyo es de φ Mn (-) = 11.4 kN.m. Con otras barras la capacidad es:
• As = 2 # 4 (As = 258 mm
2
) è φ Mn (+) = 16.5 kN.m è φ Mn (-) = 14.1 kN.m
• As = 1 # 6 (As = 284 mm
2
) è φ Mn (+) = 18.1 kN.m è φ Mn (-) = 15.2 kN.m
• As = 2 # 5 (As = 400 mm
2
) è φ Mn (+) = 25.0 kN.m è φ Mn (-) = 19.3 kN.m
As flexión
# 3 @ 0.35 m Arriba
# 3 @ 0.35 m Abajo
As retracc.
y Temp.
# 3 @ 0.35 m

__________________________________________________________________________________________________________
b = 500 mm
c εc
hf = 50 mm
h = 200 mm
As d = 175 mm
εs = εt
bw = 100 mm
Figura 4.21 Sección típica de los nervios de la losa aligerada
Tabla 4.12 Momentos y refuerzo en losa aligerada del ejemplo 4.5.
Nudo A Centro A´ Centro A” Centro B
Mu (kN.m) 4.45 7.63 10.20 6.68 9.72 6.68 11.01
As 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5 1 # 5
Φ.Mn (kN.m) 11.4 12.9 11.4 12.9 11.4 12.9 11.4
Nudo B Centro B´ Centro B” Centro C
Mu (kN.m) 11.01 8.45 12.30 8.45 12.30 8.45 12.30
As 1 # 5 1 # 5 2 # 4 1 # 5 2 # 4 1 # 5 2 # 4
Φ.Mn (kN.m) 11.4 12.9 14.1 12.9 14.1 12.9 14.1
El refuerzo por retracción y temperatura, que va perpenticular al de flexión, y esta
localizado a 25 mm del borde superior de la losa, tiene una cuantía de 0.0018 x 1000 x
50 = 90 mm
2
que equivalen a una barra # 3 @ 71 / 90 = 0.79 m. Como el espaciamiento
de este refuerzo debe ser menor o igual a 5 x hf = 5 x 50 = 250 mm => se debe colocar
una barra # 3 @ 0.25 m para un Asrt = 71 / 0.25 = 284 mm2 y cuantía ? = 0.0057.
b) Refuerzo en vigas . Ya que las vigas son vaciadas monolíticamente con la losa ellas
deben analizarse como secciones T y L para momento positivo y como sección
rectangular para momento negativo ( si se analizan para cualquier momento como
rectangulares es porque no hay transferencia de tensiones entre la losa y la viga efecto
que produce una disminución en la capacidad en flexión de la sección ).

__________________________________________________________________________________________________________
A A´ A” B
1
Fr = 6.3 kg
2
# 3 @ 0.25 m 1 # 5
1 # 5 Aligerante
Figura 4.22 Detalle del refuerzo en el panel de losa AB12 del ejemplo 4.5
Ejemplo 4.6 Diseñar a flexión las vigas intermedias del ejemplo 4.1. è Con una capa
de refuerzo a tracción la cuantía de refuerzo mínimo es 0.0033 x 300 x 435 = 431 mm
2
la cual se puede cubrir con 2 barras # 6 ( As = 2 x 284 = 568 mm
2
). Con este refuerzo la
cuantía es de ρ = 0.0043 y la sección se analiza así:
Ancho efectivo de aleta. Para vigas T paralelas se tiene:
mmbb
luz
b .2000
4
8000
4
≤⇒≤⇒≤
( ) mmbbh
bb
f
w
.110030050168
2
≤⇒+×≤⇒×≤
−
( ) mmbbblb
lbb
wn
nw
.40003003700
22
≤∴+≤⇒+≤⇒≤
−
El valor de diseño es b = 1100 mm. Considerando la viga B que es la mas solicitada =>
Sea c = hf = 50 mm => c / dt =0.115 < 0.300 y a = 42.5 mm

__________________________________________________________________________________________________________
2
6
.1758
2
5.42
43542090.0
..10275
mm
mmN
As =






−××
×
= ó 2 # 8 + 2 # 7 = 1794 mm
2
( )
0037.0
4351100
1794
=
×
=ρ
mma .38
2185.0
4354200037.0
=
×
××
= è mmc .45
85.0
38
==
Se comprueba que la hipótesis inicial es correcta y que el eje neutro esta en la aleta por
lo tanto la sección es rectangular. Se pueden perfeccionar mas los cálculos y asumir una
relación ( c / dt ) = 45 / 435 = 0.103 =>
c = 0.103 x 435 = 45 mm y a =38 mm
2
.1777
420
3811002185.0
mmAs =
×××
= ó As = 2 # 8 + 2 # 7 = 1794 mm
2
mma .38
11002185.0
4201794
=
××
×
= mmc .45
85.0
38
==
!005.00260.0
45
45435
003.0 Cumplet ⇒>=




 −
×=ε
mkNmmNMn ..279.10279
2
38
4353811002185.090.0.
6
=×=





−×××××=φ
El requerimiento es Mu = 275 kN.m el cual se cumple satisfactoriamente.
Para momento negativo la sección es rectangular y el mayor momento se encuentra en
la viga B apoyo # 2 con un valor de ( 385 + 350) / 2 = 368 kN.m. Sea c / dt = 0.300 => c
= 0.300 x 435 = 130.5 mm y a = 130.5 x 0.85 = 111 mm.
22
.14077#18#2.1415
420
1113002185.0
mmAmmA ss =+=⇔=
×××
=
mma .110
3002185.0
4201407
=
××
×
= mmc .129
85.0
110
==
!005.00071.0
129
129435
003.0 cumplet ⇒>=
−
×=ε

__________________________________________________________________________________________________________
mkNmmNMn ..201..10201
2
110
4351103002185.090.0.
6
=×=





−×××××=φ
Se concluye que la capacidad mecánica de la viga es un 55% de la exigida por las
cargas externas, y se debe modificar la sección. Una primera alternativa es considerar el
refuerzo a compresión y aumentar al máximo admisible la relación c / dt =>
Sea c / dt = 0.375 => c = 163 mm y a = 139 mm
2
1 .1772
420
1393002185.0
mmAs =
×××
=
mmNMn ..10272
2
139
4354201772
6
1 ×=





−××=
El Mu = 368 kN.m > 0.90 x 272 = 245 kN.m => sección con A´s: Sea d´= 65 mm
mkNM ..123245368. 2 =−=φ
yss ff =⇒>=




 −
×=
´´
0020.00045.0
65
65163
003.0ε
( )
2
6
´
.879
6543542090.0
10123
mmAs =
−××
×
= ó Usar 2 # 8 = 1020 mm
2
2
.26518791772 mmAs =+= ó Usar 2 # 11 + 1 # 9 = 2685 mm
2
Sin embargo en el apoyo la viga recibe parte del refuerzo positivo de la mitad de la luz
constituido por 2 # 8 + 2 # 7 que se puede utilizar como refuerzo a compresión en la
zona de momento negativo. En este caso las dos barras # 8 se deben llevar hasta el
apoyo para garantizar el trabajo del doble refuerzo.
Revisando la sección doblemente reforzada se tiene: 0033.0.min =ρ
0206.0
435300
2685
=
×
=ρ 0078.0
435300
1020´
=
×
=ρ
( ) ( ) 0128.00078.00206.0´
=−=− ρρ
( )
0172.0
420612
612
435420
652185.085.0
=
−
×
×
×××
Se cumple que ( ) ys ff <⇒<− ´´
0172.0ρρ
MPaMPafs 420.354
4354200128.0
652185.085.0
1612
´
<=





××
×××
−×=

__________________________________________________________________________________________________________
mma .143
3002185.0
35410204202685
=
××
×−×
= mmc .168
85.0
143
==
( ) 0050.00048.0
168
168435
003.0 ≅=
−
×=tε
( ) ( ) mmNMn .10412654353541020
2
143
43535410204202685
6
×=−××+





−××−×=
La capacidad de la sección es 0.90 x 412 = 371 kN.m > 368 kN.m => Se acepta.
Revisando los momentos producidos por las cargas externas mayoradas , tabla 4.6, se
puede concluir que las dimensiones de 300 x 500 son adecuadas para las vigas
intermedias ya que las cantidades de refuerzo permiten obtener un comportamiento
dúctil de la estructura. Procediendo de igual manera a la anterior en la tabla 4.13 se
presentan las cantidades de acero requeridas en todas las vigas intermedias indicadas.
Tabla 4.13 Refuerzo a flexión en vigas intermedias. f´c = 21 MPa
Viga Apoyo1 Centro
1-2
Apoyo2 Centro
2-3
Apoyo3 Centro
3-4
Apoyo4
A 2 # 6
3 # 6
4 # 6
2 # 6
4 # 6
3 # 6
2 # 6
A´ y A” 2 # 8
3 # 8
4 # 8
2 # 8 3 # 8
4 # 8
2 # 8 3 # 8
2 # 8
B
2 # 8 +
1 # 6
4 # 8
2 # 10 +
1 # 11
3 # 8 3 # 8
2 # 10 +
1 # 11
3 # 8 4 # 8
2 # 8 +
1 # 6
B´, B”, C, C´, C” 2 # 8
3 # 8
3 # 10
3 # 8 3 # 8
3 # 10
3 # 8 3 # 8
2 # 8
D 2 # 8
4 # 8
3 # 10
3 # 8 4 # 8
3 # 8
4 # 6
2 # 6
D´ 2 # 8
3 # 8
3 # 10
3 # 8 3 # 8
2 # 6 ---- ----
D” 2 # 8
3 # 8
3 # 10
3 # 8 3 # 8
2 # 6 ---- ----
E 2 # 6
3 # 6
4 # 8
3 # 6 3 # 6
2 # 6 ---- ----

__________________________________________________________________________________________________________
1.9 m 5.0 m
A
2 # 6 4 # 6 4 # 6 2 # 6
3 # 6 2 # 6 3 # 6
1 8.0 m 2 A´ 3 8.0 m 4
4 # 6
450 mm Losa
3 3 # 6
Sección A-A´
300 mm
Figura 4.23.a Refuerzo para la viga intermedia A
A
2 # 8 4 # 8 4 # 8 2 # 8
3 # 8 3 # 8 3 # 8
1 2 A´ 3 4
4 # 8
450 mm Losa
3 3 # 8
Sección A-A´
300 mm
Figura 4.23.b Refuerzo para las vigas intermedias A´, A”

__________________________________________________________________________________________________________
A
2 # 8 + 1 # 6 2 # 10 + 1 # 11 2 # 10 + 1 # 11 2 # 8 + 1 # 6
4 # 8 3 # 8 4 # 8
1 3 # 8 2 A´ 3 4
3 # 8
Losa 2 # 10 + 1 # 11
450 mm
3 4 # 8
Sección A-A´
300 mm
Figura 4.23.c Refuerzo para la viga intermedia B
A
2 # 8 3 # 10 3# 10 2 # 8
4 # 8 3 # 8 4 # 8
1 3 # 8 2 A´ 3 4
3 # 8
3 # 10
450 mm Losa
3 3 # 8
Sección A-A´
300 mm
Figura 4.23.d Refuerzo para las vigas intermedias B´, B”, C, C´ y C”.

__________________________________________________________________________________________________________
Ejemplo 4.7 Diseñar a flexión las vigas principales del ejemplo 4.1. Utilizar un
hormigón de f´c = 21 MPa y un acero de fy = 420 MPa.
Solución: La sección de estas vigas es de b = 400 mm y h = 700 mm con una altura
efectiva d = 635 mm para refuerzo en una capa y d´ = 65 mm para el refuerzo a
compresión. Las cantidades de refuerzo limite son:
• As min. = 0.0033 x 400 x 635 = 838 mm
2
ó 2 # 8 => ΦMn = 233 kN.m
Para una relación c / dt = 0.300 => As = 2752 mm
2
ó 4 # 10 => ΦMn = 667 kN.m
Se puede apreciar en la tabla 4.9 que las vigas 1 y 4 quedan cubiertas por las estas
cantidades de acero pero las vigas 2 y 3 requieren cantidades muy superiores. Si se
utiliza el doble refuerzo solo se logra aumentar hasta un 30% la capacidad en flexión
por lo que es necesario aumentar las dimensiones de la sección.
Sea b = 500 mm y h = 800 mm =>
• As min. = 0.0033 x 500 x 735 = 1213 mm
2
ó3 # 8 => ΦMn = 404 kN.m
Para una relación c / dt = 0.300 => As = 3983 mm
2
ó 8 # 8 => ΦMn = 985 kN.m
En el limite admisible cuando c / dt = 0.370 y et = 0.0051 ΦMn = 1150 kN.m para
sección simplemente reforzada. Se concluye que la sección 500 x 800 mm para las vigas
2 y 3 es adecuada para absorber los momentos producidos por las cargas externas.
A pesar de que al modificar las dimensiones de la sección varia la carga muerta por el
aumento del peso propio, es necesario revisar los cálculos anteriores para hacer las
modificaciones respectivas. En este ejercicio se continuara el diseño sin esta revisión
con el fin de mostrar como es el procedimiento general hasta lograr el diseño adecuado.
La tabla 4.14 ilustra el refuerzo de las vigas principales y la figura 4.24 muestra la
posición y el detallado para cada una.
Tabla 4.14 Refuerzo en las vigas principales del ejemplo 4.1
Viga A A-B B B-C C C-D D D-E E
1
( 400 x 700 )
4 # 8
4 # 8
4 # 10
3 # 8
6 # 8
3 # 8
4 # 10
4 # 8
4 # 8
2
( 500 x 800 )
3# 11
4 # 11
5 # 10 +
3 # 11
4 # 10
5 # 10 +
3 # 11
4 # 10
5 # 10 +
3 # 11
4 # 11
3 # 11
3
( 500 x 800 )
3 # 11
4 # 11
5 # 10 +
3 # 11
4 # 10
5 # 10 +
3 # 11
4 # 10
6 # 11
2 # 11
2 # 11
4
( 400 x 700 )
4 # 8
4 # 8
4 # 10
3 # 8
6 # 8
4 # 8
4 # 8
---- ----

__________________________________________________________________________________________________________
3 m 8 m 8 m 8 m 3m
4 # 8 4 # 10 6 # 8 4 # 10 4 # 8
4 # 8 3 # 8 3 # 8 4 # 8
12 m 12 m 12 m 12 m
A B C D E
4 # 10 ( 4 # 8 )
700 mm
Amarres transversales # 3
( Cortante + Torsión )
4 # 8 ( 3 # 8 )
400 mm
Figura 4.24 Refuerzo requerido en las vigas 1 y 4 del ejemplo 4.1
3 m 8 m 8 m 8 m 3 m
3 # 11 6 # 11 5 # 11 6# 11 3 # 11
4 # 10 3 # 10 3 # 10 4 # 10
12 m 12 m 12 m 12 m
A B C D E

__________________________________________________________________________________________________________
6 # 11 ( 3 # 11)
800 mm
Amarres transversales # 3
( Cortante + Torsión )
4 # 10
500 mm
Figura 4.25 Refuerzo requerido en las vigas 2 y 3 del ejemplo 4.1
4.5.5 Planos y detalles del sistema estructural diseñado
Los esquemas del detallado del refuerzo, colocación, recubrimientos, ganchos, anclajes
y conexiones de los diferentes elementos del sistema estructural se deben presentar en
formatos adecuados a las oficinas de planeación locales para su legalización y
oficialización ante las autoridades competentes. Los esquemas junto con las memorias
de calculo deben estar firmadas por el ingeniero estructural quien es el responsable de la
estabilidad y confiabilidad de la estructura. Igualmente deben estar convenientemente
revisadas por un perito antes de someter a la aprobación de la oficina estatal.
Los dibujos, planos e instructivos de campo deben realizarse en hojas de papel
Albanene de tamaño 700 x 500 mm ( media hoja de plano) o de 1000 x 1400 ( hoja
completa). En general en una hoja se acomodan la planta y sección típica de losa, los
nervios o viguetas y las vigas. En otra hoja se pueden acomodar las columnas, muros,
escaleras y detalles especiales de nudos y por lo general la fundación, vigas de amarre y
muros de contención van en una hoja aparte.
Como ilustración se presenta en la figura 4.26 los planos de una edificación en donde se
puede apreciar la forma general como estos se pueden distribuir en cada una de la hojas.
Es importante anotar que cada plano debe contener recomendaciones generales sobre
materiales, procesos constructivos, cargas y características de obra.

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