1. El documento presenta el concepto fundamental de límite de una función y cómo se utiliza para encontrar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto. 2. Introduce la idea intuitiva de límite mediante una tabla de valores y define formalmente el límite. 3. Explica propiedades de los límites como la adición, multiplicación y división, así como límites trigonométricos.

1. Semana 6
CURSO : CÁLCULO I
Tema : Límite de una función
LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
El concepto de limite es la idea central que distingue el cálculo del algebra y trigonometría.
Es fundamental para encontrar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto.
Empezaremos con la idea intuitiva de límite, estudiando el comportamiento de una función
y = f (x) para valores próximos a un punto, no necesariamente en su dominio. Por
ejemplo, sea la función
2 x 2 − x − 1 (2 x + 1)( x − 1)
f ( x) = =
x −1 x −1
Es claro que Dom( f ) = R − {1} . Estudiaremos una función en valores de x que estén cerca
de 1. Para todo x ∈ Dom( f ) tenemos que f ( x) = 2 x + 1 . Vamos a construir una tabla de
valores de x cercanos a 1, por la izquierda y por la derecha y los valores correspondientes
de f (x) son:
x 0.8 0.9 0.99 0.999 1.0009 1.009 1.09 1.2
f (x) 2.6 2.8 2.98 2.998 3.0018 3.018 3.18 3.4
Observando la tabla, podemos verificar que: “a medida que x se aproxima a 1, los valores
de f (x ) se aproximan a 3”. Utilizando la notación de límite, se escribe
lim f ( x ) = 3
x →1
Definición formal de Límite.
Si f es una función definida sobre un intervalo abierto alrededor del punto x0 , entonces
expresamos que
lím f ( x) = L
x → x0
si para todo ε > 0 existe un número δ > 0 tal que f ( x) − L < ε siempre que
0 < x −x0 < δ
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2. Propiedades de los límites
El límite de f (x) cuando x tiende a x0 no depende del valor de f en x = x0 . Puede
ocurrir, no obstante, que este límite sea f ( x0 ) . En estos casos se puede evaluar el límite
por sustitución directa. Esto es,
lím f ( x) = f ( x0 ) .
x → x0
Teorema
Sean n, r enteros positivo, k una constante, f y g funciones que tengan límites en x0 .
Entonces
1. lím k = k
x → x0
2. lím k . f ( x) = k lím f ( x)
x → x0 x → x0
3. lím [ f ( x ) ± g ( x )] = lím f ( x ) ± lím g ( x)
x → x0 x → x0 x → x0
4. lím [ f ( x).g ( x)] =  lím f ( x). lím g ( x)
x → x0  x → x0
   x→ x0
 

lím f ( x)
f ( x) x→ x0
5. lím = , siempre que lím g ( x) ≠ 0
x → x0 g ( x ) lím g ( x) x → x0
x → x0
n/r
lím [ f ( x)] =  lím f ( x)
n/r
6.
x → x0  x → x0
 

Ejemplo:
1. Use las propiedades de límites para encontrar
a)
x →c
(
lím x 3 + 4 x 2 − 3 ) b) lím
x4 + x2 −1 c) lím 4 x 2 − 3
x → −2
x →c x2 + 5
Solución
a)
x →c
( )
lím x 3 + 4 x 2 − 3 = lím x 3 + lím 4 x 2 − lím 3 = c 3 + 4c 2 − 3
x →c x →c x →c
4 2
( 4 2
)
x 4 + x 2 − 1 lím x + x − 1 lím x + lím x − lím1 c 4 + c 2 − 1
= x →c = x →c x →c x →c
=
b) lím
x →c x +5
2
lím x + 5
2
x →c
(
lím x + lím 5
2
) c2 + 5
x →c x →c
lím 4 x 2 − 3 = lím (4 x 2 − 3) = lím 4 x 2 − lím 3 = 4(− 2 ) − 3 = 13
2
c)
x → −2 x → −2 x → −2 x → −2
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3. x2 − 4
2. Sea f ( x) = en x0 = 2
x−2
La función no está definida en el punto x = 2 .
En la figura se observa que cuando x se acerca
al punto 2 con valores más grandes, la función se
acerca al valor 4. Lo mismo ocurre, si nos
acercamos al punto con números menores a 2. En
este caso, existe el límite y decimos que
x2 − 4
lím =4
x →2 x − 2
1
3. Para f ( x) = en x0 = 0
x
La función no está definida en x0 = 0 . En la figura se observa que, cuando la variable x
toma valores positivos cada vez más cercanos a 0, la función crece sin medida. En el caso
en que x toma valores negativos y se acerca a cero, la función se hace negativa y con
magnitud cada vez más grande. En este caso no existe el límite.
Eliminación algebraica de denominadores iguales a cero
Si el denominador es cero, cancelamos factores comunes en el numerador y denominador
para reducir a una fracción en donde el denominador no sea cero en x0 . Luego se puede
encontrar el límite por sustitución en la fracción simplificada.
Ejemplo:
x2 + x − 2
4. Evaluar lím
x →1 x2 − x
Solución
Al evaluar x = 1 en el denominador se obtiene por resultado 0. Luego de factorizar se
reduce la fracción
x 2 + x − 2 ( x − 1)( x + 2) x + 2
= =
x2 − x x( x − 1) x
Usando la fracción simplificada
x2 + x − 2 x + 2 1+ 2
lím = lím = =3
x →1 x −x
2 x →1 x 1
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4. x 2 + 100 − 10
5. Evaluar lím
x →0 x2
Solución
Al reemplazar x = 0 en la función se obtiene la forma indeterminada 0/0 y no hay algún
factor común para simplificar. Se debe multiplicar al numerador y denominador por la
expresión x 2 + 100 + 10 (obtenido por cambiar el signo después de la raíz cuadrada).
x 2 + 100 − 10 x 2 + 100 − 10 x 2 + 100 + 10
= .
x2 x2 x 2 + 100 + 10
x 2 + 100 − 100
=
x2 ( x 2 + 100 + 10 )
2
x
=
x2 ( x 2 + 100 + 10 )
1
=
x 2 + 100 + 10
Por tanto
x 2 + 100 − 10 1 1 1
lím = lím = =
x 2 + 100 + 10 0 2 + 100 + 10 20
x →0 2 x →0
x
x2 − x − 6
6. Encuentre lím .
x →3 x−3
Solución
x2 − x − 6
Observe que no está definida en x = 3 , pero todo esta bien. Para tener una idea
x −3
de lo que esta sucediendo cuando x se aproxima a 3, podríamos emplear una calculadora
para evaluar la expresión dada; por ejemplo, en 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor
utilizar un poco de álgebra para simplificar el problema.
x2 − x − 6 ( x − 3)( x + 2)
lím = lím = lím( x + 2) = 3 + 2 = 5
x →3 x−3 x →3 x−3 x →3
La cancelación de x − 3 en el segundo paso es válida ya que la definición de límite ignora
x−3
el comportamiento en x = 3 . Recuerde, = 1 siempre que x no sea igual a 3.
x−3
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5. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
Antes de empezar a resolver límites trigonométricos mencionaremos algunas identidades
trigonométricas
Razones trigonométricas inversas Identidades trigonométricas
1
1. cot x =
tan x 1. sen 2 x + cos 2 x = 1
1
2. sec x = 2. 1 + tan 2 x = sec 2 x
cos x
1 3. 1 + ctg 2 x = csc 2 x
3. csc x =
senx
Límites de funciones trigonométricas
Para todo número real x0 en el dominio de la función,
1. lím sen( x) = sen( x0 ) 2. lím cos( x) = cos( x0 )
x → x0 x → x0
3. lím tan( x) = tan( x0 ) 4. lím cot( x) = cot( x0 )
x → x0 x → x0
5. lím sec( x) = sec( x0 ) 6. lím csc( x) = csc( x0 )
x → x0 x → x0
Dos límites que no pueden evaluarse por sustitución son:
sen( x) 1 − cos( x)
1. lím =1 2. lím =0
x →0 x x →0 x
Ejemplo:
x 2 cos( x)
1. Encuentre lím
x →0 x +1
Solución
lím
x →0
x 2 cos( x) 
x +1
=  lím

x2 
(
 x →0

)
 x →0 x + 1  lím cos( x) = 0.1 = 0
1 − cos(t )
2. Calcular lím
t →0 sen(t )
Solución
1 − cos(t ) 1 − cos(t )
lím
1 − cos(t ) t t →0 t 0
lím = lím = = =0
t →0 sen(t ) t →0 sen(t ) sen(t ) 1
lím
t t →0 t
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6. 3.  cos(t) 
lim 
π  π − 2t 

t→
2
Solución
π π π
Hacer el cambio de variable h = t – , entonces t = h + y si t → , h → 0.
2 2 2
Luego, el límite con la nueva variable será:
 π 
 cos(t)   cos(h + 2 ) 
lim   = h→0  −2h 
lim
t →  π − 2t 
π
2
 
 
Al aplicar identidad trigonométrica se tiene:
 π π 
 cos(t)  =  cos(h)cos( 2 ) − sen(h)sen( 2 )   −sen(h)  1
lim 
π  π − 2t 
lim   = h→0 
lim  = 2
t→  h→ 0
 −2h   −2h 
2
 
Por lo tanto,  cos(t)  = 1
lim  
t →  π − 2t 
π 2
2
 x 4 − x 4 sen2 (x) 
4. lim  
x →0  1 − cos(x) 
 
Solución
Factorice en el radicando y sacar raíz cuadrada al factor común.
 x 4 − x 4 sen2 (x)   x 4 [1 − sen2 (x)]   x 2 1 − sen 2 (x) 
lim   = lim   = lim  
x →0  1 − cos(x)  x →0  1 − cos(x)  x →0  1 − cos(x) 
     
Aplicar identidad trigonométrica, sacar raíz cuadrada y usar extremos y medios.
 
 x 4 − x 4 sen2 (x)   cos(x)  lim[cos(x)] 1
x →0
lim   = lim   = =
x →0  1 − cos(x)  x →0   1 − cos(x)    1 − cos(x)  1
  lim 

 x2 
 x →0  x2 
 2
Por lo tanto,
 x 4 − x 4 sen2 (x) 
lim   =2
x →0  1 − cos(x) 
 
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7. EJERCICIOS PROPUESTOS
Encuentre los siguientes límites:
3x 2 − 11  6 
1. lím 15. lím x 2 − 
x →2 3 x →6
 x+3
3x − 1 x3 − 4 − 2
2. lím 16. lím
x →0 x − 2
x →2 x−2
x −1
3. lím 3− 5+ x
x →1 3 x + 11x 2 + x − 5
3 17. lím
x →4 1 − 5 − x
x 2 + 7 x + 10
4. lím
x → −2 x 2 − 3 x − 10
x 4 − 3x 2 + 2
18. lím
x →1 x 4 + 2x 2 − 3
5. lím 2 x − x 3
x →8  1 3 
19. lím − 
x →1 1 − x 1 − x3 
x −1 
6. lím
x →1 x −1 x 2 − 2x + 6 − x 2 + 2x − 6
20. lím
− 2x − 4 x →3 x 2 − 4x + 3
7. lím
x → −2 x 3 + 2 x 2
3x − 6
21. lím
x −1 x →2 1 − 4x − 7
8. lím
x →1 x+3 −2
x 2 − 4x + 4
22. lím
2x − 2 x →2 x 2 − 2x
9. lím
x →2 x−2 x − 2x − 1
23. lím
x −1 x →1 5x − 1 − 2 x + 2
10. lím
x →1
x2 + 3 − 2 24. Hallar los valores de m de tal manera
x − 10 x + 9
2
x 2 − mx + 3 x − 3m
11. lím que lím = m 2 − 27
x →1 4x + 5 − 4 x→m x−m
5x 3 + 8x 2 sen(7 x ) − sen(2 x)
12. lím 25. lím
x → 0 3 x 4 − 16 x 2 x →0 sen( x )
2x + 1 − 3 cos x − senx
13. lím 26. lím
x →4 x − 3x − 4
2
x →π / 4 cos 2 x
x 3 + x 2 − 5x + 3 tan( x) − sen( x)
14. lím 27. lím
x →1 x3 + 2x 2 − 7 x + 4 x →0 sen 2 ( x )
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8. 4 senx − 2 x 3 + 5 x 1 + senx − 1 − senx
28. lím 32. lím
x →0 4x x →0 x
3x 3 cos x − cos 2 x
29. lím 33. lím
x→ 0 sen 3 (3 x ) x →0 1 − cos x
sen3 x.sen5 x cos x − senx
30. lím 34. lím
x →π / 4 cos(2 x)
x →0 ( x − x 3 ) 2
− sen(3 x) + 9 x
cos x − cos 2 x 35. lím
31. lím
x →0
x →0 3sen(2 x) + 2 x
xsenx
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9. LIMITES LATERALES
Ahora extenderemos el concepto de límite a límites laterales, que son límites cuando x se
aproxima al número x0 por la izquierda (cuando x < x0 ) o por la derecha (cuando x > x0 ).
Tener un límite L cuando x se aproxima a x0 , la función f debe ser definida en ambos
lados de x0 y los valores de f (x) se aproximan a L cuando x tiende a x0 por ambos lados.
Si f no tiene un límite en x0 , puede tener limite si el enfoque es solo desde un lado. Si el
enfoque es desde la derecha, el límite es un límite por la derecha y desde la izquierda, es un
límite por la izquierda.
La función f ( x) = x / x tiene límite 1 cuando x se aproxima a 0 por la derecha, y tiene
límite -1 cuando x se aproxima a 0 por la izquierda. Puesto que estos valores límites
laterales no son lo mismo, no hay un número único al que f (x) se aproxima cuando x
tiende a 0. Por lo tanto f (x) no tiene límite en 0.
Intuitivamente, si f (x) es definida en un intervalo (c, b ) donde c < b , y se aproxima
arbitrariamente a L cuando x tiende a c desde el interior del intervalo, entonces f tiene
límite por la derecha L en c. Escribimos
lím f ( x) = L
x →c +
El símbolo “ x → c + ” significa que se consideran sólo los valores de x mayores que c.
Similarmente, si f (x) es definida en un intervalo (a, c ) donde a < c , y se aproxima
arbitrariamente a M cuando x tiende a c en el interior del intervalo, entonces f tiene límite
por la izquierda M en c. Escribimos
lím f ( x) = M
x →c −
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10. El símbolo “ x → c − ” significa que se consideran sólo los valores de x menores que c.
a. Limite por la derecha cuando x b. Limite por la izquierda cuando x
tiende a c tiende a c
Para la función f ( x) = x / x se tiene
lím f ( x) = 1 y lím f ( x ) = −1
x →0 + x →0−
Definición
Se dice que f (x) tiene límite por la derecha L en x0 , y se escribe
lím f ( x) = L
x → x0 +
si para cada número ε > 0 existe un correspondiente número δ > 0 tal que para todo x
x0 < x < x0 + δ ⇒ f ( x) − L < ε .
Se dice que f (x) tiene límite por la izquierda L en x0 , y se escribe
lím f ( x) = L
x → x0 −
si para cada número ε > 0 existe un correspondiente número δ > 0 tal que para todo x
x0 − δ < x < x0 ⇒ f ( x) − L < ε .
TEOREMA
El lím f ( x) existe y es igual a L si y solo si lím− f ( x) = L y lím+ f ( x) = L existen
x→ x0 x → x0 x → x0
y son iguales a L .
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11. Ejemplo
2 x ,0 ≤ x ≤ 10
1. Sea f ( x) =  , calcular lím f ( x) .
1.8 x ,10 < x x→10
Solución
Al calcular estos límites debe distinguirse entre el límite por la izquierda en 10 y el límite
por la derecha en 10. Así,
lím f ( x) = lím− 2 x = 20 lím f ( x) = lím+ 1.8 x = 18
x →10− x →10 x →10+ x →10
Puesto que lím− f ( x) ≠ lím+ f ( x) , por el teorema anterior se concluye que lím f ( x) no
x →10 x →10 x→10
existe.
2. El dominio de f ( x) = 4 − x 2 es [−2,2] su grafica es el semicírculo que se muestra en la
figura. Tenemos
lím 4 − x2 = 0
x → −2 +
y
lím− 4 − x 2 = 0
x→2
La función no tiene límite por la izquierda en
x = -2 ó por la derecha en x = 2
3. Límites de la gráfica de la función
En x = 0: lím f ( x ) = 1
x →0+
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12. lím f ( x ) y lím f ( x ) no existen. La función no está definida a la izquierda
x →0− x→ 0
de x = 0.
En x = 1: lím f ( x) = 0 aunque f (1) = 1 .
x →1−
lím f ( x) = 1 ,
x →1+
lím f ( x) no existe. Los límites laterales no son iguales.
x→1
En x = 2: lím f ( x) = 1 , lím f ( x) = 1
x→2− x→2+
lím f ( x) = 1 aunque f (2) = 2
x →2
En x = 3: lím f ( x) = lím+ f ( x) = lím f ( x) = f (3) = 2
x → 3− x →3 x →3
EJERCICIOS PROPUESTOS
− 2 x + 3 si x ≥ 1
1. Calcular si existe lím f ( x) donde f ( x) = 
x→1
 3x − 5 si x < 1
 x + 1 si x ≠ 2
2. Calcular si existe lím f ( x) donde f ( x) = 
x→ 2
 0 si x = 2
 2x 2 + 1
 4 si x < −1
 x +3
3. Calcular lím f ( x) , donde f ( x) = 
x →−1
 x3 + 1
si - 1 < x
 x 2 + 6x + 5

 1− x2 si 0 ≤ x < 1


4. Calcular si existen lím f ( x) y lím f ( x) , donde f ( x) =  1 si 1 ≤ x < 2
x→1 x→ 2
 2 si x = 2


 x−5
1 − x − 4 si x ≥ 5

5. Calcular si existen lím f ( x) , donde f ( x) = 
 x − 12 x + 35 si x < 5
x→5 2

 x-5
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13. 6. Sea h la función definida por
4 − x 2 , x ≤ 1

h( x ) = 
2 + x 2 ,1 < x

Determinar si existen los siguientes límites. lím h( x) , lím h( x ) , lím h( x )
− +
x →1 x →1 x→1
7. Calcular si existen los siguientes limites laterales:
x+2 x+2
1. lím − 4. lím+ ( x + 3)
x → −0.5 x +1 x → −2 x+2
 x  2 x + 5 
5. lím− (x − x )
2. lím+   2 
x → −2  x + 1  x + x 
x →4
x + 4x + 5 − 5
2
6. lím+ (x − x )
3. lím+ x →4
x →0 x
 x -15 ; x < 4
2

8. Si f ( x) =  x − 3 ; 4 ≤ x < 12 , hallar a
 ax-1 ; x ≥ 12

x + x−4 −2
9. Calcular lím+
x→4
x 2 − 16
10. De acuerdo a la figura
Calcular
a. lím+ f ( x)
x → −1
b. lím f ( x)
x→ 2
c. lím f ( x)
+
x →1
d. lím− f ( x)
x → −1
e. lím+ f ( x)
x →3
11. Sea R el rectángulo que une los puntos medios de los lados del cuadrilátero Q , el
cual tiene vértices (± x,0) y (0,±1) . Calcule
perímetro de R
lím
x →0 + perímetro d eQ
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14. LIMITES AL INFINITO
Sea f (x) una función. Supongamos que (a,+∞ ) ⊂ D f . Diremos que el límite de f (x)
cuando x tiende a + ∞ es α si los valores de f (x) están tan próximos a α como
queramos con tal de tomar x > a suficientemente grande.
Sea f (x) una función. Supongamos que (− ∞, b ) ⊂ D f . Diremos que el límite de f (x)
cuando x tiende a − ∞ es α si los valores de f ( x) están tan próximos a α como
queramos con tal de tomar x < b negativo de suficiente gran valor absoluto.
En este contexto tenemos los siguientes comportamientos:
lím x n = +∞ con n ∈ N  + ∞ , si n es par c
lím n = 0 con n ∈ Q +
x → +∞ lím x n = 
 - ∞ , si n es impar
x → −∞ x → ±∞ x
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15.  c 
Esto lo sintetizan algunos autores escribiendo  =0
±∞
 a a a 
Si f ( x) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n −1 x + a n = x n  a 0 + 1 + L + n −1 + n  , entonces:
n −1
 x x xn 
 + ∞ , si a 0 > 0
lím f ( x) = 
x → +∞
 - ∞ , si a 0 < 0
 + ∞ , si a 0 > 0 y n es par  − ∞ , si a 0 < 0 y n es par
lím f ( x) =  lím f ( x) = 
x → −∞
 - ∞ , si a 0 > 0 y n es impar x → −∞
 + ∞ , si a 0 < 0 y n es impar
Ejemplo:
1. Dada la función polinomial f ( x) = −4 x 3 + 5 x 2 − 6 x + 7 , calcular lím f (x) y
x → −∞
lím f (x )
x → +∞
Solución:
 5 6 7 
Ya que f ( x) = −4 x 3 + 5 x 2 − 6 x + 7 = x 3  − 4 + − 2 + 3  , entonces
 x x x 
 5 6 7 
lím f ( x) = lím x 3  − 4 + − 2 + 3  = (−∞)(−4) = +∞
x → −∞ x → −∞
 x x x 
 5 6 7 
lím f ( x) = lím x 3  − 4 + − 2 + 3  = (+∞)(−4) = −∞
x → +∞ x → +∞
 x x x 
P( x)
Si f ( x) = es una función racional con
Q ( x)
P( x) = a 0 x m + a1 x m −1 + L + a m −1 x + a m y Q( x) = b0 x n + b1 x n −1 + L + bn −1 x + bn , entonces
 0 , si m < n

a
lím f ( x) =  0 , si m = n
x → ±∞
 b0
 ± ∞ , si m > n

4 x 2 − 5x + 6
2. Dada f ( x) = , calcular lím f (x) y lím f (x)
2 x 2 − 3x + 4 x → −∞ x → +∞
Solución
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16.  5 6  5 6
x2  4 − +  4− +
4x − 5x + 6
2
x2 x2 = 4 − 0 + 0 = 2
= lím   = lím
x x
lím f ( x) = lím
x → −∞ x → −∞ 2 x 2 − 3 x + 4 x → −∞  3 4  x → −∞ 3 4 2−0+0
x2  2 − +  2− + 2
 x x2  x x
De igual manera se obtiene lím f ( x) = 2
x → +∞
3x − 4
3. Calcular lím
x → +∞ 5 x − 6 x + 7
2
Solución
 4 4
x 3 −  3−
3x − 4  x x 3
lím = lím = lím = =0
x → +∞ 5 x 2 − 6 x + 7 x → +∞
2 6 7  x → +∞  6 7  +∞
x 5 − + 2  x 5 − + 2 
 x x   x x 
2 x 3 − 3x + 4
4. Calcular lím
x → −∞ 5x − 6
Solución
 3 4   3 4 
x3  2 − 2 + 3  x2  2 − 2 + 3 
2 x − 3x + 4
3
x  +∞
= lím 
x 
= lím 
x x
lím = = +∞
x → −∞ 5x − 6 x → −∞  6 x → −∞ 6 5
x 5 −  5−
 x x
4x − 5
5. Calcular lím
x → +∞
x2 +1
Solución
 5  5  5
x 4 −  x 4 −  x 4 − 
4x − 5  x  x  x
lím = lím = lím = lím
x → +∞
x2 +1 x → +∞
2 1  x →+∞  1  x→ +∞ 1
x 1 + 2  x 1 + 2 
2
x 1+ 2
 x   x  x
 5 5
x 4 −  4−
= lím 
x x = 4=4
= lím
x → +∞ 1 x → +∞ 1 1
x 1+ 2 1+ 2
x x
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17. EJERCICIOS PROPUESTOS
Calcule los siguientes límites
1. lím
x x2 t2
x →∞ x − 5
2. lím 3. lím
x →∞ 5 − x 3 t → −∞ 7 − t 2
x2 x2 x3
4. lím 5. lím 2 6. lím 3
x → ∞ ( x − 5)(3 − x ) x → ∞ x − 8 x + 15 x → ∞ 2 x − 500 x 2
5x3 + 6x − 7 3x 3 − x 2 x2 +1
7. lím 8. lím 9. lím
x → −∞ 3 x 5 − 2 x + 1 x → ∞ πx 3 − 5 x 2 x →∞ x
2x 2 + 7x + 5  x3 x2   3x 2 − 2 x 2 − 4x 
10. lím 11. lím  2 −  12. lím  ÷ 
x →∞ x 3 + 2 x + 1 x →∞ x + 2 x+2 x →∞ 2 x + 1 x−3 
   
13. lím
x 9 + 4x 2 3x 2 + x + 1
14. lím 15. lím
x → −∞
x2 +1 x → −∞ 3+ x x →∞ 2x 2 − 1
2 x 2 − 3x x2 + x + 3 2x + 1
16. lím 17. lím 18. lím
x → −∞ 5x 2 + 1 x →∞ ( x − 1)( x + 1)
x →∞
3x 2 + 1
1 + 8x 2 9x 3 + 1 x2 +1
19. lím 3 20. lím 21. lím
x → −∞ x 2 − 2 x + 2
x →∞ x2 + 4 x →∞ 3
x3 −1
22. lím
x →∞
( x 2 + 2x − x ) 23.
 x3
lím  2 −
x2 
 24. lím
x + 5 x2 +1
x → +∞ 2 x − 1 2x + 1 
  x → +∞
2x 2 + 1
25. lím
x 4 − 3x 2 − 1 26. lím
x → +∞
( x 2 − 2x + 5 − x ) 27.
x → +∞
(
lím 2 x − 4 x 2 + 5 x − 3 )
x → +∞ x2 −1
28. lím 3
πx 3 + 3 x 29. lím
x → −∞
( 2x 2
+ 3x − 2 x 2 − 5 ) 30. lím
x → −∞
( x 2 + 2x + 6 + x )
x →∞ 2x + 7x
3
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