Equations différentielles, DUT MP, CM1

1 386 vues

Publié le

0 commentaire
0 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

  • Soyez le premier à aimer ceci

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
1 386
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
51
Actions
Partages
0
Téléchargements
52
Commentaires
0
J’aime
0
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Equations différentielles, DUT MP, CM1

  1. 1. Les équations différentielles Applications et mises en équations Christophe Palermo IUT de Montpellier Département Mesures Physiques & Institut d’Electronique du Sud Université Montpellier 2 Web : http://palermo.wordpress.com e-mail : cpalermo@um2.fr Cours du 16 novembre 2010 MONTPELLIER
  2. 2. Plan 1 Avant de commencer 2 Introduction 3 Économie 4 Physique nucléaire 5 Mécanique Chûte libre L’oscillateur harmonique 6 Electricité 7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant Dynamique des populations 8 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 2 / 40
  3. 3. Avant de commencer Plan 1 Avant de commencer 2 Introduction 3 Économie 4 Physique nucléaire 5 Mécanique Chûte libre L’oscillateur harmonique 6 Electricité 7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant Dynamique des populations 8 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 3 / 40
  4. 4. Avant de commencer Fonctions et nombres #1 Soit une fonction f , fonction de la variable x En toute rigueur : f est le nom de la fonction f (x) est la valeur de f en x Abus de langage : f est appelée f (x) pour monter qu’elle dépend de x Expression f (x) = 3 · x + 2 : remplacer le x pour obtenir la valeur f (x) On parlera de variation de f , de dérivée de f et de Df Exemple plus physique v(t) = 4,9 × t v est la fonction vitesse mais la vitesse est une grandeur physique v(t) est la valeur de la vitesse v à l’instant t IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 4 / 40
  5. 5. Avant de commencer Fonctions et nombres #2 En info : fonction addition float addition (float a, float b) { float r ; r=a+b ; return (r) ; } définie comme un nombre ! Conclusion On peut appeler la fonction f (x) au lieu de f mais il faut être conscient de la subtilité qui différencie ces deux notations ! IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 5 / 40
  6. 6. Avant de commencer Dérivation La dérivée de f notée f est une fonction f (x) est un nombre quand x a une valeur donnée calcul du nombre f (x) : définition f (x) = lim dx→0 f (x + dx) − f (x) dx = lim dx→0 df dx “Le nombre dérivé en x a pour valeur la différence de f entre x et x + dx divisée par la différence de x lorsque cette dernière est très petite” Comment déterminer f ? Voie possible : Pour une fonction totalement inconnue Calcul des df /dx ∀x Rapprochement d’une fonction IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 6 / 40
  7. 7. Avant de commencer Exemples Représentons : y = f (x + dx) − f (x) dx en fonction de x pour différents dx y = f (x), fonction connue -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 cos(x) dx=10 dx=1 dx=0,1 dx=0,01 f (x) = sin(x) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.5 1 1.5 2 1/x dx=10 dx=1 dx=0,1 dx=0,01 f (x) = ln(x) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 7 / 40
  8. 8. Avant de commencer Exemples 0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.5 1 1.5 2 exp(x) dx=1 dx=0,5 dx=0,1 dx=0,01 f (x) = exp(x) 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2x dx=1 dx=0,5 dx=0,1 dx=0,01 f (x) = x2 Plus dx diminue et plus le taux de variation df dx → nombre dérivé f (x), ∀x IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 8 / 40
  9. 9. Avant de commencer Dérivées usuelles Départ : calcul systématique ∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ sin(x+dx)−sin(x) dx → cos(x) ∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ ln(x+dx)−ln(x) dx → 1 x ∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ ex+dx −ex dx → ex ∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ (x+dx)2 −x2 dx → 2 · x Arrivée : opération pour passer d’une fonction à sa dérivée sin (x) = cos(x) ln (x) = 1/x exp (x) = exp(x) x2 = 2 · x Tableau des dérivées usuelles IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 9 / 40
  10. 10. Avant de commencer Quelques remarques Il ne faut retenir que les opérations, mais se souvenir qu’elles découlent d’un calcul de taux de variation Approche numérique mais aussi (et surtout) approches analytiques Par la suite : df dx ⇒ dx le plus petit possible ! infinitésimal élémentaire df dx ⇐⇒ d dx f ⇐⇒ f ⇐⇒ dérivée de f par rapport à x Si f est fonction du temps t : On aura df dt dérivée de f par rapport au temps rapport de variation df pendant dt Notations : df dt = f (t) = ˙f (t) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 10 / 40
  11. 11. Introduction Plan 1 Avant de commencer 2 Introduction 3 Économie 4 Physique nucléaire 5 Mécanique Chûte libre L’oscillateur harmonique 6 Electricité 7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant Dynamique des populations 8 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 11 / 40
  12. 12. Introduction Les équations différentielles Présentes dans de nombreux domaines Mathématiques Economie, biologie, physique, etc. Plusieurs types : Premier et second ordre de différents degrés d’une ou plusieurs variables (espace, temps) avec ou sans second membre/membre perturbateur Mise en équation les lois du domaine exemples : PFD, lois des noeuds et des mailles, lois de probabilités, etc. Résolution de ces équations : outil important IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 12 / 40
  13. 13. Introduction La mise en équation Simple à condition de trouver la loi adéquate On s’intéresse : aux variations de la variable recherchée au pas temporel qui régit ces variations La solution fonction dépendant du temps évolution temporelle d’une variable unité de temps = unité du pas temporel Exemple en économie : calculer ses intérêts IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 13 / 40
  14. 14. Économie Plan 1 Avant de commencer 2 Introduction 3 Économie 4 Physique nucléaire 5 Mécanique Chûte libre L’oscillateur harmonique 6 Electricité 7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant Dynamique des populations 8 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 14 / 40
  15. 15. Économie Exemple en économie : calcul d’intérêts Question : “Si je place 3000 euros au taux annuel de 3,6 % et que je ne touche plus au livret, combien aurai-je au bout d’un an ?” Problème pas si simple ! Réponse évidente, mais fausse : 3,6 % de 3000 euros ça fait 108 euros d’intérêts J’aurai donc 3108 euros Pourquoi la réponse est-elle fausse ? Parce que j’aurai en fait 3110 euros Parce qu’il faut résoudre une équation différentielle Parce que les intérêts sont calculés tous les 15 jours IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 15 / 40
  16. 16. Économie La mise en équation Calcul d’intérêts La variation dp sur une période du pécule est proportionnelle : au taux k au temps qui s’écoule dt à l’encours p IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 16 / 40
  17. 17. Économie La mise en équation Calcul d’intérêts La variation dp sur une période du pécule est proportionnelle : au taux k au temps qui s’écoule dt à l’encours p Equation : dp = k 100 · p · dt Attention : il faut choisir dt correctement (suffisamment petit) banques : dt = 1 quinzaine et donc k = 3,6 24 % (24 quinzaines par an) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 16 / 40
  18. 18. Économie Exemple d’économie : l’équation différentielle dp dt − k 100 · p = 0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17 / 40
  19. 19. Économie Exemple d’économie : l’équation différentielle dp dt − k 100 · p = 0 Deux approches de la même chose : Rapport ∆p/∆t quand ∆t devient très petit Dérivée de p par rapport à t IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17 / 40
  20. 20. Économie Exemple d’économie : l’équation différentielle dp dt − k 100 · p = 0 Présence de p et de dp/dt : premier ordre IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17 / 40
  21. 21. Économie Exemple d’économie : l’équation différentielle dp dt − k 100 · p = 0 “= 0” Pas de second membre Pas de perturbation (membre perturbateur) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17 / 40
  22. 22. Économie Exemple d’économie : l’équation différentielle dp dt − k 100 · p = 0 Deux approches de la même chose : Rapport ∆p/∆t quand ∆t devient très petit Dérivée de p par rapport à t Présence de p et de dp/dt : premier ordre “= 0” Pas de second membre Pas de perturbation (membre perturbateur) Equation différentielle du premier ordre sans second membre (⇔ membre perturbateur) : homogène unité de temps de la solution : la quinzaine IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17 / 40
  23. 23. Économie Solution du problème Nous verrons plus tard que p(t) = p0 · e k 100 t Condition initiale : à l’instant zéro j’ai 3000 euros Donc p(0) = p0 = 3000 Au bout d’un an : p(24 quinz.) = 3000 · e1,5·10−3×24 = 3110 euros Et au bout de 10 ans ? p(240 quinz.) = 3000 · e1,5·10−3×240 = 4300 euros soit +43 % Calcul faux : 10 × 3,6 = 36 % IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 18 / 40
  24. 24. Physique nucléaire Plan 1 Avant de commencer 2 Introduction 3 Économie 4 Physique nucléaire 5 Mécanique Chûte libre L’oscillateur harmonique 6 Electricité 7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant Dynamique des populations 8 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 19 / 40
  25. 25. Physique nucléaire Physique nucléaire : décroissance radioactive Processus de Poisson Probabilité d’occurrence indépendante du passé Particule plus agée =⇒ même chance de se désintégrer Variation du nombre de particules pendant l’instant dt négative proportionnelle au nombre en cours dN(t) = −λ · N(t) · dt équation différentielle : dN dt + λ · N = 0 S. D. Poisson 1781-1860 λ : constante de décroissance ; homogène à l’inverse d’un temps ; reliée à τ (demi-vie) ⇒ calcul plus loin IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 20 / 40
  26. 26. Mécanique Plan 1 Avant de commencer 2 Introduction 3 Économie 4 Physique nucléaire 5 Mécanique Chûte libre L’oscillateur harmonique 6 Electricité 7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant Dynamique des populations 8 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 21 / 40
  27. 27. Mécanique Chûte libre Mécanique : chûte d’un corps Chute d’un corps sans forces de frottement : Satellite (naturel ou artificiel) La loi à appliquer : le PFD (2nde loi de Newton) Forces appliquées au mobile : Poids mg de haut en bas et rien d’autre F(= mg) = ma Projection sur les ordonnées : ma = −mg h h0 0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 22 / 40
  28. 28. Mécanique Chûte libre Equation du premier ordre Remarques : la masse n’intervient pas ! il ne se passe rien en abscisse Accélération : variation de vitesse dv pendant l’instant dt dérivée de v par rapport à t Equation différentielle de la vitesse : dv dt = −g 1er ordre, 1er degré et avec membre perturbateur un terme en dv/dt mais pas de membre en v(t) équation incomplète IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 23 / 40
  29. 29. Mécanique Chûte libre Equation du second ordre Vitesse : variation de position dh pendant l’instant dt dérivée de h par rapport à t Accélération : d dh dt dt = d dt dh dt = d2h dt2 = ¨h Equation différentielle de la position : d2h dt2 = −g 2ème ordre, 1er degré et avec membre perturbateur un terme en d2 h/dt2 mais pas de membre en h(t) ni en dh/dt équation incomplète IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 24 / 40
  30. 30. Mécanique Chûte libre Chute amortie On rajoute des frottements Frottements visqueux : intensité proportionnelle à la vitesse, coef. f opposés au déplacement : −f dh dt Nouvelle équation : ¨h + f m ˙h = −g Remarques : influence de la masse pas de terme en h : équation incomplète Comment faire une équation complète ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 25 / 40
  31. 31. Mécanique L’oscillateur harmonique Mécanique : pendule élastique x m k 0 On considère un mobile de masse m un ressort de raideur k des frottements visqueux Forces en jeu : le poids P la réaction du sol −P la force de rappel du ressort R = −kx les frottements F = −f dx dt et rien d’autre IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 26 / 40
  32. 32. Mécanique L’oscillateur harmonique Mécanique : pendule élastique x m k 0 PFD, projection sur x (il ne se passe rien en y) ma = md2 x dt2 = −kx − f dx dt Equation du mouvement : ¨x + f m ˙x + k m x = 0 Equation différentielle 2ème ordre, 1er degré, sans second membre (perturbateur) présence de x, ˙x et ¨x : equation complète Oscillateur harmonique La solution est une fonction sinus Fréquence propre, amortissement. Masse-ressort, pendule pesant, circuit électrique, etc. IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 27 / 40
  33. 33. Mécanique L’oscillateur harmonique Introduction d’une perturbation Système vertical Projection sur x Mise en équation : On rajoute le poids P = −mg F = m¨x = −kx − f ˙x − mg Equation : ¨x + f m ˙x + k m x = −g Equation différentielle : 2ème ordre et 1er degré terme perturbateur constant complète conséquence : point d’équilibre x0 < 0 (calculable) x m k 0 x0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 28 / 40
  34. 34. Mécanique L’oscillateur harmonique Oscillations forcées Ajoutons une force sinusoïdale : S(t) = A cos(ωt + ϕ) L’équation devient : ¨x + f m ˙x + k m x = A m cos(ωt + ϕ) [ +g ] Equation différentielle du second ordre, premier degré, avec membre perturbateur Membre perturbateur : fonction périodique Grandeurs (calculables) : Fréquence propre, amortissement, Régimes transitoire et permanent x m k 0 x0 IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 29 / 40
  35. 35. Electricité Plan 1 Avant de commencer 2 Introduction 3 Économie 4 Physique nucléaire 5 Mécanique Chûte libre L’oscillateur harmonique 6 Electricité 7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant Dynamique des populations 8 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 30 / 40
  36. 36. Electricité Analogie électrique : circuit RLC u uL i E uR Lois du domaine : loi des mailles E = uR + uL + u loi des nœuds : conservation du courant Mise en équation Solution : tension aux bornes de C Capacité : Q = C · u ⇒ i = C ˙u inductance : uL = L di dt = LC¨u Résistance : uR = Ri = RC ˙u Equation E = RC ˙u + LC¨u + u IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 31 / 40
  37. 37. Electricité Oscillateur harmonique électrique Oscillateur harmonique : ¨u + R L ˙u + 1 LC u = E LC à rapprocher de ¨x + f m ˙x + k m x = −g Equation différentielle 2ème ordre et 1er degré Terme perturbateur constant =⇒ déplacement du point d’équilibre Terme perturbateur périodique : bande passante IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 32 / 40
  38. 38. Electricité Oscillateur harmonique électrique Oscillateur harmonique : ¨u + R L ˙u + 1 LC u = E LC à rapprocher de ¨x + f m ˙x + k m x = −g Equation différentielle 2ème ordre et 1er degré Terme perturbateur constant =⇒ déplacement du point d’équilibre Terme perturbateur périodique : bande passante R joue le rôle d’amortisseur (pertes Joule) IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 32 / 40
  39. 39. Problèmes (presque) insolubles analytiquement Plan 1 Avant de commencer 2 Introduction 3 Économie 4 Physique nucléaire 5 Mécanique Chûte libre L’oscillateur harmonique 6 Electricité 7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant Dynamique des populations 8 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 33 / 40
  40. 40. Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant Le pendule pesant Equation en θ Mise en équation : ¨θ + k ˙θ + g l sin θ = 0 Equation différentielle : Non linéaire ! Résolution analytique compliquée Solutions possibles : Si θ petit alors sin θ θ : oscillateur harmonique ¨θ + k ˙θ + g l θ = 0 Résolution numérique IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 34 / 40
  41. 41. Problèmes (presque) insolubles analytiquement Dynamique des populations Approche simplifiée Etude d’une population n Taux d’accroissement dn Proportionnel à dt et à n lui-même Equation simple : dn = K · n · dt et donc dn dt − K · n = 0 Remarques : Approche très simplifiée Ne prend pas en compte les interactions Influence des prédateurs, catastrophes, vivres ? IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 35 / 40
  42. 42. Problèmes (presque) insolubles analytiquement Dynamique des populations L’approche de Lotka et Volterra (proies-prédateurs) Une population ne dépend pas que d’elle-même Evolution conjointe de deux populations des prédateurs (renards) p des proies (lapins) n Taux de variation ? On suppose que : les proies se nourrissent sans problème : croissance α les prédateurs meurent naturellement ( !) : décroissance −δ les prédateurs ne se nourrissent que des proies : croissance des prédateurs γn seuls les prédateurs mangent ces proies : disparition des proies −βp Approche simplifiée IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 36 / 40
  43. 43. Problèmes (presque) insolubles analytiquement Dynamique des populations Les équations proies-prédateurs Deux équations à résoudre simultanément : dn dt = (α − βp) · n pour les proies dp dt = (γn − δ) · p pour les prédateurs Résolution uniquement numérique (pas à pas) ni+1 = ni + ∆t · [(α − βpi ) · ni ] pi+1 = pi + ∆t · [(γni − δ) · pi ] Pas de solution analytique ! On ne peut pas écrire n et p sous la forme de fonctions du temps Sauf avec de grandes simplifications IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 37 / 40
  44. 44. Problèmes (presque) insolubles analytiquement Dynamique des populations Une idée de la solution Proies Prédateurs Population Temps 1 Plus de proies =⇒ plus de prédateurs 2 Plus de prédateurs =⇒ moins de proies 3 Moins de proies =⇒ moins de prédateurs 4 Moins de prédateurs =⇒ plus de proies IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 38 / 40
  45. 45. Conclusion Plan 1 Avant de commencer 2 Introduction 3 Économie 4 Physique nucléaire 5 Mécanique Chûte libre L’oscillateur harmonique 6 Electricité 7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant Dynamique des populations 8 Conclusion IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 39 / 40
  46. 46. Conclusion Les équations différentielles Omniprésentes Plusieurs sortes : 1er et 2nd ordre Linéaires et non-linéaires (degré > 1 par exemple) Avec et sans membre perturbateur Complètes et incomplètes Pour chaque sorte : une méthode différente de résolution Cette année : 1er et 2ème ordre, linéaires Bac+3 : approche numérique Prochain cours : définition rigoureuse des notions 1er ordre importance des conditions initiales IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 40 / 40

×