Equations différentielles, DUT MP, CM 4

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Equations différentielles, DUT MP, CM 4

  1. 1. Les équations différentiellesLes équations linéaires du second ordre Christophe Palermo IUT de Montpellier Département Mesures Physiques & Institut d’Electronique du Sud Université Montpellier 2 Web : http://palermo.wordpress.com e-mail : cpalermo@um2.fr Cours du 7 décembre 2010 MONTPELLIER
  2. 2. Plan 1 Méthode et définitions Schéma de résolution Définitions Linéarité et conséquences 2 Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Recherche d’une solution particulière 3 Exemples de problèmes 4 ConclusionIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 2
  3. 3. Méthode et définitions Plan 1 Méthode et définitions Schéma de résolution Définitions Linéarité et conséquences 2 Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Recherche d’une solution particulière 3 Exemples de problèmes 4 ConclusionIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 3
  4. 4. Méthode et définitions Schéma de résolution À retenir : schéma de résolution d’un problème physique 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.5 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 4
  5. 5. Méthode et définitions Schéma de résolution À retenir : schéma de résolution d’un problème physique 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 2.5 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 4
  6. 6. Méthode et définitions Schéma de résolution À retenir : schéma de résolution d’un problème physique 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.3.1 exprimer yP “à quelque chose près” : quelques inconnues 2.3.2 injecter yP dans l’équation inhomogène (I) 2.3.3 fixer les inconnues 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 2.5 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 4
  7. 7. Méthode et définitions Schéma de résolution Au premier et au second ordre ! Pourquoi retenir un tel schéma ? Parce qu’il est toujours vrai si l’équation est linéaire quel que soit l’ordre de l’équation Parce qu’il structure la recherche les bonnes choses au bon moment évite les erreurs ♥ Parce qu’il sera demandé de le reproduire en devoir ! Différences 1er et 2ème ordre ? Recherche de yH Recherche de yP Uniquement des techniquesIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 5
  8. 8. Méthode et définitions Définitions Équation différentielle du second ordre Equation différentielle... Une équation différentielle de y en t du second ordre est de la forme : dy d 2 y F t,y , , = F (t,y ,y ,¨ ) = 0 ˙ y dt dt 2 y et y présentes : équation complète ˙ Sinon : équation incomplète Solution générale La solution générale d’une équation différentielle du second ordre contient ... constante(s) d’intégrationIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 6
  9. 9. Méthode et définitions Définitions Équation différentielle du second ordre Equation différentielle... Une équation différentielle de y en t du second ordre est de la forme : dy d 2 y F t,y , , = F (t,y ,y ,¨ ) = 0 ˙ y dt dt 2 y et y présentes : équation complète ˙ Sinon : équation incomplète Solution générale La solution générale d’une équation différentielle du second ordre contient 2 constantes d’intégration Vrai même si elle est non-linéaireIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 6
  10. 10. Méthode et définitions Définitions Équation linéaire (EDL2) Équation Linéaire Une équation différentielle de y en t du second ordre est linéaire si elle peut s’écrire sous la forme : a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t) ¨ ˙ où a, b et c sont des fonctions de t et où p(t) est un terme perturbateur Même vocabulaire qu’au 1er ordre : ∀t, p(t) = 0 =⇒ équation homogène ; a, b et c constantes =⇒ équation à coefficients constants ; b = 0 ou c = 0 =⇒ équation incomplèteIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 7
  11. 11. Méthode et définitions Définitions Equation homogène associée Soit une EDL2 inhomogène a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t) ¨ ˙ (I) Équation homogène associée On associe à l’équation inhomogène (I) l’équation homogène suivante a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = 0 ¨ ˙ (H) appelée équation homogène associée à (I).IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 8
  12. 12. Méthode et définitions Définitions Equation homogène associée Soit une EDL2 inhomogène a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t) ¨ ˙ (I) Équation homogène associée On associe à l’équation inhomogène (I) l’équation homogène suivante a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = 0 ¨ ˙ (H) appelée équation homogène associée à (I). Comme au 1er ordre La seule raison d’être de (H) est la recherche d’une solution particulière de (I)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 8
  13. 13. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction raut de (H) ns io solut infinité de fonctions ⊂ chaque bulle !IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  14. 14. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction raut a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0 ¨ ˙ de (H) a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0 ¨ ˙ ns io a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0 ¨ ˙ solut . . . . . . . . . . . . a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0 ¨ ˙ infinité de fonctions ⊂ chaque bulle ! avec yH solution générale de (H)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  15. 15. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction raut a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0 ¨ ˙ de (H) a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0 ¨ ˙ ns io a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0 ¨ ˙ solut . . . . . . . . . . . . a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0 ¨ ˙ infinité de fonctions ⊂ chaque bulle ! avec yH solution générale de (H) a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) = y ¨ ˙ ˙IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  16. 16. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction raut a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0 ¨ ˙ de (H) a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0 ¨ ˙ ns io a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0 ¨ ˙ solut . . . . . . . . . . . . a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0 ¨ ˙ infinité de fonctions ⊂ chaque bulle ! avec yH solution générale de (H) a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) = y ¨ ˙ ˙ a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 + a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = ¨ ˙ ¨ ˙IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  17. 17. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction raut a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0 ¨ ˙ de (H) a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0 ¨ ˙ ns io a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0 ¨ ˙ solut . . . . . . . . . . . . a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0 ¨ ˙ infinité de fonctions ⊂ chaque bulle ! avec yH solution générale de (H) a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) = y ¨ ˙ ˙ a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 + a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = p(t) ¨ ˙ ¨ ˙ p(t) 0IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  18. 18. Méthode et définitions Linéarité et conséquences 2ème ordre : mêmes conséquences pour la linéarité a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 = p(t) ¨ ˙ ons de (I) uti a(t) · yI + b(t) · yI + c(t) · yI = p(t) ¨ ˙ ol s avec yI solution générale de (I) ctions linéaire fon es autre fonction raut a(t) · y1 + b(t) · y1 + c(t) · y1 = 0 ¨ ˙ de (H) a(t) · y2 + b(t) · y2 + c(t) · y2 = 0 ¨ ˙ ns io a(t) · y8 + b(t) · y8 + c(t) · y8 = 0 ¨ ˙ solut . . . . . . . . . . . . a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = 0 ¨ ˙ infinité de fonctions ⊂ chaque bulle ! avec yH solution générale de (H) a(t) · (¨3 + yH ) + b(t) · (y3 + yH ) + c(t) · (y3 + yH ) = y ¨ ˙ ˙ a(t) · y3 + b(t) · y3 + c(t) · y3 + a(t) · yH + b(t) · yH + c(t) · yH = p(t) ¨ ˙ ¨ ˙ p(t) 0 yI = yH + yPIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  19. 19. Méthode et définitions Linéarité et conséquences Retour au schéma de résolution d’un problème physique Surlignons ce qui va changer techniquement 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  20. 20. Méthode et définitions Linéarité et conséquences Retour au schéma de résolution d’un problème physique Surlignons ce qui va changer techniquement 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  21. 21. Méthode et définitions Linéarité et conséquences Retour au schéma de résolution d’un problème physique Surlignons ce qui va changer techniquement 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  22. 22. Outils de résolution au second ordre Plan 1 Méthode et définitions Schéma de résolution Définitions Linéarité et conséquences 2 Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Recherche d’une solution particulière 3 Exemples de problèmes 4 ConclusionIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 11
  23. 23. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy + 2y = 0 dt Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy 2 + +y =0 dt dtIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  24. 24. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y dt dt Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy 2 + +y =0 dt dtIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  25. 25. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy 2 + +y =0 dt dtIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  26. 26. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy 2 + +y =0 dt dtIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  27. 27. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy d 2y dy 2 + +y =0⇒ 2 + = −y dt dt dt dtIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  28. 28. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy d 2y dy d dy dy 2 + +y =0⇒ 2 + = −y ⇒ + = −dt dt dt dt dt y dt yIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  29. 29. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy d 2y dy d dy dy 2 + +y =0⇒ 2 + = −y ⇒ + = −dt dt dt dt dt y dt yIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  30. 30. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale d’une EDL2 homogène Au 1er ordre : EDL1 homogènes à variables séparées Il suffit de déterminer une primitive exemple : dy dy dy + 2y = 0 ⇒ = −2y ⇒ = −2 · dt ⇒ y (t) = Ke −2t , K ∈ R dt dt y Au 2ème ordre : plus compliqué exemple d’une équation complète simple : d 2y dy d 2y dy d dy dy 2 + +y =0⇒ 2 + = −y ⇒ + = −dt dt dt dt dt y dt y Il existe un outil de résolution simpleIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  31. 31. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Recherche d’une solution exponentielle Technique qui fonctionne avec : les équations du second ordre linéaires à coefficients constants a¨ + b y + cy = 0 y ˙ (H) Principe Nous allons chercher la solution de (H) sous la forme d’une exponentielle y (t) = e rt Nous allons regarder à quelles conditions cette fonction est solution de (H)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 13
  32. 32. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Mise en équation (caractéristique) a¨ + b y + cy = 0 y ˙ (H) y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt ˙ ¨ (H) se ré-écrit comme : a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 14
  33. 33. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Mise en équation (caractéristique) a¨ + b y + cy = 0 y ˙ (H) y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt ˙ ¨ (H) se ré-écrit comme : a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0 a · r 2 + b · r + c · e rt = 0 (H )IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 14
  34. 34. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Mise en équation (caractéristique) a¨ + b y + cy = 0 y ˙ (H) y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt ˙ ¨ (H) se ré-écrit comme : a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0 a · r 2 + b · r + c · e rt = 0 (H ) Remarque : e rt = 0 ∀t Condition pour que y (t) soit solution ?IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 14
  35. 35. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Mise en équation (caractéristique) a¨ + b y + cy = 0 y ˙ (H) y = e rt ⇒ y = re rt ⇒ y = r 2 e rt ˙ ¨ (H) se ré-écrit comme : a · r 2 · e rt + b · r · e rt + c · e rt = 0 a · r 2 + b · r + c · e rt = 0 (H ) Remarque : e rt = 0 ∀t Condition pour que y (t) soit solution ? Il faut que a · r 2 + b · r + c = 0IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 14
  36. 36. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène L’équation caractéristique Définition On associe à l’équation homogène a¨ + b y + cy = 0 (H) l’équation y ˙ polynôme du second degré a · r2 + b · r + c = 0 (C ) (C ) est appelée équation caractéristique de (H). C (r ) = ar 2 + br + c est le polynôme caractéristique de (H). Recherche de la solution générale de (H) ⇔ trinôme du second degré Pour (H) → (C ), on remplace : les y par des r les ordres par des degrés ⇒ y → r 0 = 1, y → r 1 = r , y → r 2 ˙ ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 15
  37. 37. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 y ˙ y + 2y = y + cos(t) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  38. 38. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 y ˙ y + 2y = y + cos(t) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  39. 39. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  40. 40. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  41. 41. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire ! ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  42. 42. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire ! ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables ! ¨ ˙ y + 5y = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  43. 43. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire ! ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables ! ¨ ˙ y + 5y = 0 → r 2 + 5r = 0 ¨ ˙ y +y =0 ¨ y =2 ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  44. 44. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire ! ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables ! ¨ ˙ y + 5y = 0 → r 2 + 5r = 0 ¨ ˙ y + y = 0 → r2 + 1 = 0 ¨ y =2 ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  45. 45. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemples y + 5y = y → r 2 + 5r − 1 = 0 ¨ ˙ 3¨ + 2y + 5y = 7 → 3r 2 + 2r + 5 = 0 puisque (H) → (C ) y ˙ y + 2y = y + cos(t) → r 2 + 2r − 1 = 0 puisque (H) → (C ) ¨ ˙ y 2 + 2y + y = 0 ne s’applique pas car non-linéaire ! ¨ ˙ y + 2y + y cos(t) = 0 ne s’applique pas car coefficients variables ! ¨ ˙ y + 5y = 0 → r 2 + 5r = 0 ¨ ˙ y + y = 0 → r2 + 1 = 0 ¨ y = 2 → r 2 = 0 mais pas très utile ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  46. 46. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2aIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  47. 47. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deuxIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  48. 48. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deux Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors : y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ˙ y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ¨ 2 2 2 2 =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0 y ˙ 0(r1 solution de (C)) 0(r2 solution de (C))IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  49. 49. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deux Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors : y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ˙ y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ¨ 2 2 2 2 =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0 y ˙ 0(r1 solution de (C)) 0(r2 solution de (C))IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  50. 50. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deux Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors : y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ˙ y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ¨ 2 2 2 2 =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0 y ˙ 0(r1 solution de (C)) 0(r2 solution de (C))IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  51. 51. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deux Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors : y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ˙ y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ¨ 2 2 2 2 =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0 y ˙ 0(r1 solution de (C)) 0(r2 solution de (C))IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  52. 52. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions réelles de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac > 0 √ √ −b − ∆ −b + ∆ 2 solutions réelles pour (C ) : r1 = et r2 = 2a 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e r1 t y (t) = e r2 t ou toute combinaison des deux Preuve : pour deux nombres K1 et K2 / y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t alors : y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ˙ y (t) = K1 · r1 · e r1 t + K2 · r2 · e r2 t ¨ 2 2 2 2 =⇒ a¨ + b y + cy = K1 · (ar1 + br1 + c) +K2 · (ar2 + br2 + c) ·e r2 t = 0 y ˙ 0(r1 solution de (C)) 0(r2 solution de (C)) y (t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  53. 53. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale quand ∆ > 0 Solution générale Si ∆ > 0 alors la solution générale de (H) est y (t) = K1 e r1 t + K2 e r2 t avec K1 et K2 ∈ C r1 et r2 sont les solutions réelles de (C ) Remarque : 2ème ordre, deux paramètres libres (constantes d’intégration)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 18
  54. 54. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions complexes de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0 r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) : √ √ −b − j −∆ −b + j −∆ r1 = et r2 = 2a 2a √ b −∆ ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω = 2a )IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
  55. 55. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions complexes de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0 r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) : √ √ −b − j −∆ −b + j −∆ r1 = et r2 = 2a 2a √ b −∆ ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω = 2a ) y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e α+jω y (t) = e α−jω ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
  56. 56. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions complexes de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0 r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) : √ √ −b − j −∆ −b + j −∆ r1 = et r2 = 2a 2a √ b −∆ ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω = 2a ) y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e α+jω y (t) = e α−jω ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent) Finalement : y (t) = K1 e α+jω + K2 e α−jωIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
  57. 57. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solutions complexes de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac < 0 r racines complexes d’un polynôme de degré 2 à coefficients réels ⇒ 2 solutions complexes conjuguées pour (C ) : √ √ −b − j −∆ −b + j −∆ r1 = et r2 = 2a 2a √ b −∆ ou bien r1 = α + jω et r2 = α − jω (avec α = − 2a et ω = 2a ) y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e α+jω y (t) = e α−jω ou toute combinaison des deux (comme pour le cas précédent) Finalement : y (t) = K1 e α+jω + K2 e α−jω y (t) est solution de (H) et contient deux paramètres ( !)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
  58. 58. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale quand ∆ < 0 On peut factoriser par e α Solution générale Si ∆ < 0 alors la solution générale de (H) est y (t) = e αt · K1 · e jωt + K2 · e −jωt avec K1 et K2 ∈ C Remarques : α > 0 =⇒ amplification de y dans le temps (cas le plus rare) α < 0 =⇒ amortissement de y dans le temps (cas le plus courant) e αt : terme d’amortissment K1 e jωt + K2 e −jωr2 t est un terme d’oscillation (conditions aux limites) si K1 = K2 =⇒ cos(ωt) si K1 = −K2 =⇒ sin(ωt) Physiquement : solutions les plus intéressantesIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 20
  59. 59. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2aIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  60. 60. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une !IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  61. 61. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une ! r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt ˙ y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  62. 62. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une ! r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt ˙ y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt ¨ Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy y ˙ a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct] y ˙IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  63. 63. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une ! r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt ˙ y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt ¨ Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy y ˙ a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct] y ˙ = e rt [t · (ar 2 + br + c) + (2ar + b)]IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  64. 64. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une ! r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt ˙ y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt ¨ Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy y ˙ a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct] y ˙ = e rt [t · (ar 2 + br + c ) + (2ar + b) ]= 0 r racine r racine doubleIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  65. 65. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution double de l’équation caractéristique Si le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 −b 1 racine double pour C (r ) : r = r1 = r2 = 2a y (t) peut alors prendre la forme : y (t) = e rt mais il en manque une ! r est aussi racine de C (r ) = 2ar + b : on va essayer y = te rt y = rte rt + e rt = (rt + 1)e rt ˙ y = re rt + r (rt + 1)e rt = (r 2 + 2r )e rt ¨ Injection dans l’application y → a¨ + b y + cy y ˙ a¨ + b y + cy = e rt [a(r 2 t + 2r ) + b(rt + 1) + ct] y ˙ = e rt [t · (ar 2 + br + c ) + (2ar + b) ]= 0 r racine r racine double y (t) peut aussi prendre la forme y (t) = t · e rtIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  66. 66. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Solution générale pour ∆ = 0 Les combinaisons de ces deux solutions sont aussi solutions (linéarité) Solution générale Si ∆ = 0 alors la solution générale de (H) est y (t) = (K1 · t + K2 ) · e rt avec K1 et K2 ∈ C Second ordre : deux paramètresIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 22
  67. 67. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène À retenir : Récapitulatif Pour le polynôme caractéristique C (r ) = ar 2 + br + c de l’équation homogène a¨ + b y + cy = 0 (H) y ˙ Discriminant Racines Solution générale ∆ = b 2 − 4ac de C de (H) >0 réelles simples √ yH (t) = K1 · e r1 t + K2 · e r2 t b ∆ r = − 2a ± 2a <0 complexes conjuguées yH (t) = simples r = α ±√ jω e αt · K1 · e −jωt + K2 · e jωt b −∆ α = − 2a et ω = 2a =0 réelle double yH (t) = (K1 · t + K2 ) · e rt b r = − 2aIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 23
  68. 68. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène À retenir : schéma de résolution d’un problème physique Surlignons ce que nous savons faire 1 Faire la mise en équation → depuis le premier cours 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) → depuis le troisième cours 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 24
  69. 69. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (homogène) m k Wanted : Solution générale de (H) x 0 1 : Pendule élastique sans frottements k x + x = 0 (H) ¨ mIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 25
  70. 70. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (homogène) m k Wanted : Solution générale de (H) Équation homogène ! x 0 k C (r ) : r 2 + = 0 (C ) m 1 : Pendule élastique sans frottements k x + x = 0 (H) ¨ mIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 25
  71. 71. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (homogène) m k Wanted : Solution générale de (H) Équation homogène ! x 0 k C (r ) : r 2 + = 0 (C ) m 1 : Pendule élastique sans k ∆ = −4 m < 0 ou bien frottements k k k x −j m x +j m =0 x + x = 0 (H) ¨ m k k racines : r1 = j m ou r2 = −j m ∈CIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 25
  72. 72. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (homogène) m k Wanted : Solution générale de (H) Équation homogène ! x 0 k C (r ) : r 2 + = 0 (C ) m 1 : Pendule élastique sans k ∆ = −4 m < 0 ou bien frottements k k k x −j m x +j m =0 x + x = 0 (H) ¨ m k k racines : r1 = j m ou r2 = −j m ∈C Solution générale : k k x (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t Deux constantes K1 ∈ C et K2 ∈ C ⇒ 2 :IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 25
  73. 73. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène) x Wanted : Solution générale de (I) 1 : Pendule élastique sans k frottements k x + x = −g (I) ¨0 m mx0IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
  74. 74. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène) x Wanted : Solution générale de (I) 1 : Pendule élastique sans k 2: Équation inhomogène ! frottements k x + x = −g (I) ¨0 m mx0IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
  75. 75. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène) x Wanted : Solution générale de (I) 1 : Pendule élastique sans k 2: Équation inhomogène ! frottements k k x + x = −g (I) ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨0 m m mx0IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
  76. 76. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène) x Wanted : Solution générale de (I) 1 : Pendule élastique sans k 2: Équation inhomogène ! frottements k k x + x = −g (I) ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨0 m m mx0 2.2 : xH déjà fait précédemment Solution générale de (H) : k k xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t Que faut-il faire maintenant ?IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
  77. 77. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène) x Wanted : Solution générale de (I) 1 : Pendule élastique sans k 2: Équation inhomogène ! frottements k k x + x = −g (I) ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨0 m m mx0 2.2 : xH déjà fait précédemment Solution générale de (H) : k k xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t Que faut-il faire maintenant ? → Rechercher une solution particulière xP ... → ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
  78. 78. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène, forcé) 1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I) x frottements k k x+ x= ¨ m 0 m A −g + cos(ωt + ϕ) (I) x0 mIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
  79. 79. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène, forcé) 1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I) x frottements 2: Équation inhomogène ! k k x+ x= ¨ m 0 m A −g + cos(ωt + ϕ) (I) x0 mIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
  80. 80. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène, forcé) 1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I) x frottements 2: Équation inhomogène ! k k k x+ x= ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ m m 0 m A −g + cos(ωt + ϕ) (I) x0 mIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
  81. 81. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène, forcé) 1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I) x frottements 2: Équation inhomogène ! k k k x+ x= ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ m m 0 m A −g + cos(ωt + ϕ) (I) 2.2 : xH déjà fait x0 m précédemment Solution générale de (H) : k k xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t Que faut-il faire maintenant ?IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
  82. 82. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Exemple de physique (inhomogène, forcé) 1 : Pendule élastique sans Wanted : Solution générale de (I) x frottements 2: Équation inhomogène ! k k k x+ x= ¨ 2.1 : x + x = 0 (H) ¨ m m 0 m A −g + cos(ωt + ϕ) (I) 2.2 : xH déjà fait x0 m précédemment Solution générale de (H) : k k xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t Que faut-il faire maintenant ? → Rechercher une solution particulière xP ... → ...pour arriver à la solution générale xI de (I) !IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
  83. 83. Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Retour au schéma de résolution d’un problème physique Surlignons en jaune ce qu’il reste à faire et en vert ce que l’on a traité 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 28
  84. 84. Outils de résolution au second ordre Recherche d’une solution particulière Recherche d’une solution particulière de (I) Au premier ordre : Méthode du tableau Méthode de Lagrange (variation de la constante) Au deuxième ordre Théoriquement : les mêmes méthodes Méthode de Lagrange : difficile à résoudre (outils mathématiques) Nous utiliserons le tableau Tableau : assez simple mais solutions dépendent des constantes a, b et c mais solutions dépendent des racines de C r1 , et r2IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 29
  85. 85. Outils de résolution au second ordre Recherche d’une solution particulière Le tableau Forme de p(t) Forme yP Remarques recommandée k∈R K ∈R polynôme P(t) polynôme Q(t) • deg(Q) = deg(P) si c = 0 • deg(Q) = 1+deg(P) si c = 0 et b = 0 • deg(Q) = 2+deg(P) si c = b = 0 e kt · P(t) e kt · Q(t) • deg(Q) = deg(P) si k = r1 et k = r2 • deg(Q) = 1+deg(P) si k = r1 et k = r2 • deg(Q) = 2+deg(P) si k = r1 = r2 k1 cos(mt) t n · [K1 cos(mt) • n = 0, 1, 2 selon relations +k2 sin(mt) +K2 sin(mt)] entre m, r1 et r2IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 30
  86. 86. Exemples de problèmes Plan 1 Méthode et définitions Schéma de résolution Définitions Linéarité et conséquences 2 Outils de résolution au second ordre Solution générale d’une EDL2 homogène Recherche d’une solution particulière 3 Exemples de problèmes 4 ConclusionIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 31
  87. 87. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 1 x Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème k frottements k 1 : x + x = −g (I) ¨ m0 m x (0) = 0 et x (0) = 0 ˙x0IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  88. 88. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 1 x Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème k frottements k 2 : ! Équation inhomogène ! 1 : x + x = −g (I) ¨ m0 m x (0) = 0 et x (0) = 0 ˙x0IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  89. 89. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 1 x Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème k frottements k 2 : ! Équation inhomogène ! 1 : x + x = −g (I) ¨ k m 2.1 : x + x = 0 (H) ¨0 m x (0) = 0 et x (0) = 0 ˙ mx0IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  90. 90. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 1 x Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème k frottements k 2 : ! Équation inhomogène ! 1 : x + x = −g (I) ¨ k m 2.1 : x + x = 0 (H) ¨0 m x (0) = 0 et x (0) = 0 ˙ mx0 k k2.2 : xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t déjà fait précédemmentIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  91. 91. Exemples de problèmes Exemple du pendule élastique pesant # 1 x Pendule élastique sans Wanted : Solution du problème k frottements k 2 : ! Équation inhomogène ! 1 : x + x = −g (I) ¨ k m 2.1 : x + x = 0 (H) ¨0 m x (0) = 0 et x (0) = 0 ˙ mx0 k k2.2 : xH (t) = K1 · e −j m t + K2 · e j m t déjà fait précédemment2.3 : xP (t) = K avec K ∈ C d’après le tableau On injecte dans (I) : k mK = −g =⇒ K = − gm k xP = − gm kIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32

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