Equations différentielles, DUT MP, CM 5

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Equations différentielles, DUT MP, CM 5

  1. 1. Les équations différentiellesPetits détails techniques et autres remarques Christophe Palermo IUT de Montpellier Département Mesures Physiques & Institut d’Electronique du Sud Université Montpellier 2 Web : http://palermo.wordpress.com e-mail : cpalermo@um2.fr Cours du 14 décembre 2010 MONTPELLIER
  2. 2. Plan 1 Introduction 2 EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) La solution particulière 3 Terme perturbateur Le principe de superposition Application du principe de superposition Conclusion 4 Les équations linéaires incomplètes Problématique Changement de variable 5 Équation non-linéaire 6 RecommandationsIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 2
  3. 3. Introduction Plan 1 Introduction 2 EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) La solution particulière 3 Terme perturbateur Le principe de superposition Application du principe de superposition Conclusion 4 Les équations linéaires incomplètes Problématique Changement de variable 5 Équation non-linéaire 6 RecommandationsIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 3
  4. 4. Introduction Ce que nous avons vu Plusieurs types d’équations équations linéaires ou non-linéaires à variables séparables (ou séparées) homogènes ou inhomogènes complètes ou incomplètes 1er et 2nd ordres Equations différentielles linéaires un schéma de travail à retenir yI = yH + yP Méthode de Lagrange pour yP Pour les équations à coefficients constants Equation caractéristique au second ordreIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 4
  5. 5. Introduction Ce que nous avons vu... en image Variables Intégration séparées directe Non-linéaire Hors Cas général programme 1er ordre : Intégration variables directe séparées Equation différentielle Solution homogène Coefficients Equation constants caractéristique 2ème ordre Coefficients Hors Principe de variables programme Linéaire superposition Vérification dune donnée Solution Tableau particulière Principe de superposition Méthode de LagrangeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 5
  6. 6. Introduction Mais comment faire quand ... l’équation est linéaire mais : les coefficients ne sont pas constants et/ou il y a plusieurs termes perturbateurs et/ou elle est incomplète l’équation est non-linéaireIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 6
  7. 7. Introduction Mais comment faire quand ... l’équation est linéaire mais : 1. les coefficients ne sont pas constants 2. et/ou il y a plusieurs termes perturbateurs 3. et/ou elle est incomplète 4. l’équation est non-linéaireIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 6
  8. 8. EDL à coefficients variables Plan 1 Introduction 2 EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) La solution particulière 3 Terme perturbateur Le principe de superposition Application du principe de superposition Conclusion 4 Les équations linéaires incomplètes Problématique Changement de variable 5 Équation non-linéaire 6 RecommandationsIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 7
  9. 9. EDL à coefficients variables Schéma de résolution d’une équation linéaire Ce qui va changer 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 8
  10. 10. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Au premier ordre a(t) · y + b(t) · y = 0 ˙ où a(t) et b(t) sont des fonctionsIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  11. 11. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Au premier ordre a(t) · y + b(t) · y = 0 ˙ où a(t) et b(t) sont des fonctions dy ⇐⇒ a(t) · + b(t) · y = 0 dtIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  12. 12. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Au premier ordre a(t) · y + b(t) · y = 0 ˙ où a(t) et b(t) sont des fonctions dy ⇐⇒ a(t) · + b(t) · y = 0 dt se ré-écrit toujours comme dy b(t) =− · dt → séparation des variables y a(t) g(y ) f (t)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  13. 13. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Au premier ordre a(t) · y + b(t) · y = 0 ˙ où a(t) et b(t) sont des fonctions dy ⇐⇒ a(t) · + b(t) · y = 0 dt se ré-écrit toujours comme dy b(t) =− · dt → séparation des variables y a(t) g(y ) f (t) Même quand les coefficients sont variables Une équation différentielle linéaire du premier ordre est toujours à variables séparables. On intégrera directement.IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 9
  14. 14. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Un exemple du 1er ordre cos(t) · y + sin(t) · y = 0 ˙IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  15. 15. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Un exemple du 1er ordre cos(t) · y + sin(t) · y = 0 ˙ dy cos(t) · + sin(t) · y = 0 dtIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  16. 16. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Un exemple du 1er ordre cos(t) · y + sin(t) · y = 0 ˙ dy cos(t) · + sin(t) · y = 0 dt dy sin(t) =− · dt = − tan(t) · dt y cos(t)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  17. 17. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Un exemple du 1er ordre cos(t) · y + sin(t) · y = 0 ˙ dy cos(t) · + sin(t) · y = 0 dt dy sin(t) =− · dt = − tan(t) · dt y cos(t) dy sin(t) u = − · dt = dt avec u(t) = cos(t) y cos(t) uIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  18. 18. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Un exemple du 1er ordre cos(t) · y + sin(t) · y = 0 ˙ dy cos(t) · + sin(t) · y = 0 dt dy sin(t) =− · dt = − tan(t) · dt y cos(t) dy sin(t) u = − · dt = dt avec u(t) = cos(t) y cos(t) u ln |y | = ln | cos(t)| + C =⇒ y = K · cos(t), K ∈ CIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  19. 19. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Un exemple du 1er ordre cos(t) · y + sin(t) · y = 0 ˙ dy cos(t) · + sin(t) · y = 0 dt dy sin(t) =− · dt = − tan(t) · dt y cos(t) dy sin(t) u = − · dt = dt avec u(t) = cos(t) y cos(t) u ln |y | = ln | cos(t)| + C =⇒ y = K · cos(t), K ∈ C Seule difficulté : L’intégration est parfois fastidieuse (contrairement à cet exemple).IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 10
  20. 20. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Deuxième ordre Coefficients constants : équation caractéristique Coefficients variables (non-constants) Discriminant : uniquement des réels ou des complexes Impossible d’utiliser l’équation caractéristique Pas d’expression générale ⇒ Fonctions spéciales (Bessel, Airy) Mais ce qui est toujours vrai : “la solution générale d’une EDL2 est la combinaison linéaire de deux solutions particulières non-proportionnelles” Concrètement pour une EDL2 homogène à coefficients variables : Si nous avons deux solutions particulières non-proportionnelles : combinaison linéaire Sinon : sauf cas particulier (absence de y ), hors programme ˙IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 11
  21. 21. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Un exemple du 2ème ordre Montrer que t 2 y − 6y = 0 admet pour solutions particulières y1 = t 3 et ¨ y2 = 1/t 2 et en déduire sa solution générale.IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  22. 22. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Un exemple du 2ème ordre Montrer que t 2 y − 6y = 0 admet pour solutions particulières y1 = t 3 et ¨ y2 = 1/t 2 et en déduire sa solution générale. y1 = 3t 2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t 2 y1 = 6t 3 ⇒ t 2 yI − 6yI = 0 ˙ ¨ ¨ ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  23. 23. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Un exemple du 2ème ordre Montrer que t 2 y − 6y = 0 admet pour solutions particulières y1 = t 3 et ¨ y2 = 1/t 2 et en déduire sa solution générale. y1 = 3t 2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t 2 y1 = 6t 3 ⇒ t 2 yI − 6yI = 0 ˙ ¨ ¨ ¨ y2 = −2t −3 ⇒ y2 = 6t −4 ⇒ t 2 y2 = 6t −2 ⇒ t 2 y2 − 6y2 = 0 ˙ ¨ ¨ ¨IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  24. 24. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Un exemple du 2ème ordre Montrer que t 2 y − 6y = 0 admet pour solutions particulières y1 = t 3 et ¨ y2 = 1/t 2 et en déduire sa solution générale. y1 = 3t 2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t 2 y1 = 6t 3 ⇒ t 2 yI − 6yI = 0 ˙ ¨ ¨ ¨ y2 = −2t −3 ⇒ y2 = 6t −4 ⇒ t 2 y2 = 6t −2 ⇒ t 2 y2 − 6y2 = 0 ˙ ¨ ¨ ¨ y1 et y2 ne sont pas proportionnelles on peut en faire une combinaison linéaireIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  25. 25. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Un exemple du 2ème ordre Montrer que t 2 y − 6y = 0 admet pour solutions particulières y1 = t 3 et ¨ y2 = 1/t 2 et en déduire sa solution générale. y1 = 3t 2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t 2 y1 = 6t 3 ⇒ t 2 yI − 6yI = 0 ˙ ¨ ¨ ¨ y2 = −2t −3 ⇒ y2 = 6t −4 ⇒ t 2 y2 = 6t −2 ⇒ t 2 y2 − 6y2 = 0 ˙ ¨ ¨ ¨ y1 et y2 ne sont pas proportionnelles on peut en faire une combinaison linéaire B yH = At 3 + 2 , A,B ∈ C tIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
  26. 26. EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) Schéma de résolution d’une équation linéaire Vu et à faire 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 13
  27. 27. EDL à coefficients variables La solution particulière Au premier ordre Pour une équation inhomogène a(t) · y + b(t) · y = p(t) ˙ (I) Coefficients constants : Tableau Méthode de Lagrange (variation de la constante) Coefficients variables : Difficile de faire un tableau pour toutes les possibilités On utilisera la méthode de Lagrange Rappel Pour trouver yP avec la méthode de Lagrange, il suffit de remplacer la constante de yH par une fonction avant de l’injecter dans (I)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 14
  28. 28. EDL à coefficients variables La solution particulière Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #1 t y + y = cos(t) (I) ˙IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 15
  29. 29. EDL à coefficients variables La solution particulière Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #1 t y + y = cos(t) (I) ˙ 2.1 Equation différentielle homogène associée t ·y +y =0 ˙ (H)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 15
  30. 30. EDL à coefficients variables La solution particulière Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #1 t y + y = cos(t) (I) ˙ 2.1 Equation différentielle homogène associée t ·y +y =0 ˙ (H) 2.2 Solution de (H) : dy dt K On écrit = − =⇒ ln |y | = − ln |t| +C =⇒ yH = , K ∈C y t t 1 ln |t|IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 15
  31. 31. EDL à coefficients variables La solution particulière Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #1 t y + y = cos(t) (I) ˙ 2.1 Equation différentielle homogène associée t ·y +y =0 ˙ (H) 2.2 Solution de (H) : dy dt K On écrit = − =⇒ ln |y | = − ln |t| +C =⇒ yH = , K ∈C y t t 1 ln |t| 2.3 Recherche de yP avec Lagrange K (t) 2.3.1 yP = t 2.3.2 Injection dans (I)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 15
  32. 32. EDL à coefficients variables La solution particulière Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #2 2.3.2 ˙ K (t) ˙ t yP = K (t) − ˙ =⇒ t yP + y = K (t) = cos(t) ˙ tIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  33. 33. EDL à coefficients variables La solution particulière Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #2 2.3.2 ˙ K (t) ˙ t yP = K (t) − ˙ =⇒ t yP + y = K (t) = cos(t) ˙ t avec constante d’intégration nulle (cf. cours 3) =⇒ K (t) = sin(t) K (t) sin(t) =⇒ yP (t) = = = yP (t) t tIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  34. 34. EDL à coefficients variables La solution particulière Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #2 2.3.2 ˙ K (t) ˙ t yP = K (t) − ˙ =⇒ t yP + y = K (t) = cos(t) ˙ t avec constante d’intégration nulle (cf. cours 3) =⇒ K (t) = sin(t) K (t) sin(t) =⇒ yP (t) = = = yP (t) t t 2.4 yI = yH + yP donc : K sin(t) yI (t) = + t t yH yPIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
  35. 35. EDL à coefficients variables La solution particulière Au second ordre Pour une équation différentielle linéaire inhomogène : a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t) ¨ ˙ (H) Avec des coefficients constants : Tableau de formes recommandées Méthode de Lagrange : difficile Parfois : vérification d’une donnée de l’énoncé Avec des coefficients non-constants : Pas de tableau de formes recommandées Méthode de Lagrange possible mais extrêmement difficile Seule possibilité cette année : vérification d’une donnée de l’énoncéIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
  36. 36. EDL à coefficients variables La solution particulière Solution particulière d’une EDL2 à coefficients variables Donner la solution générale de l’équation différentielle t 2 y − 6y = 6t 4 en ¨ vérifiant que yP = t 4 en est une solution particulière. B 2.1 - 2.2 On a déjà yH = At 3 + , A,B ∈ C (diapo 12) t2 2.3 yP = 4 · 3 · t 2 = 12t 2 ⇒ t 2 yP = 12t 4 ⇒ t 2 yP − 6yP = 6t 4 ¨ ¨ ¨ B 2.4 yI = At 3 + 2 + t 4 , A,B ∈ C tIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 18
  37. 37. EDL à coefficients variables La solution particulière À retenir Validité de la méthode de Lagrange La méthode de Lagrange fonctionne avec toutes les équations différentielles inhomogènes : du premier ordre du second ordre (hors programme car difficile) à coefficients constants à coefficients variables (non-constants) À condition qu’elles soient linéairesIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
  38. 38. Terme perturbateur Plan 1 Introduction 2 EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) La solution particulière 3 Terme perturbateur Le principe de superposition Application du principe de superposition Conclusion 4 Les équations linéaires incomplètes Problématique Changement de variable 5 Équation non-linéaire 6 RecommandationsIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 20
  39. 39. Terme perturbateur Mise en situation On veut résoudre une équation Linéaire et inhomogène Avec n termes perturbateurs · · · ou si l’on préfère un terme sous forme d’une somme Exemple à l’ordre 1 : a(t) · y + by = p1 (t) + p2 (t) + · · · + pn (t) ˙ (I) Pour l’instant : on sait faire avec un terme ⇒ polynôme, sinus, cosinus, exponentielle et leurs produits Qu’est-ce qui va changer ?IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
  40. 40. Terme perturbateur Schéma de résolution d’une équation linéaire =⇒ Etape 2 : ce qui change et ce qui ne change pas 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 22
  41. 41. Terme perturbateur Le principe de superposition Principe de superposition Théorème Soit une EDL inhomogène d’ordre m contenant n termes perturbateurs G(t,y ,y ,¨ ,...,y (m) ) = p1 (t) + p2 (t) + · · · pn (t) ˙ y (I) et soient les n EDL inhomogènes d’ordre m G(t,y ,y ,¨ ,...,y (m) ) = pi (t) ˙ y (Ii ) admettant respectivement yPi pour solution particulière, alors n yP = yP1 + yP2 + · · · + yPn = yPi i=1 est une solution particulière de (I)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 23
  42. 42. Terme perturbateur Le principe de superposition À propos du principe de superposition Déjà utilisé dans ce cours 1er et 2nd ordres : “yI = yH + yP ” 2nd ordre : combinaison des solutions issues de l’équation caractéristique 2nd ordre : “la solution générale est la combinaison de deux solutions non-proportionnelles” Un principe que l’on retrouve partout en physique Lorsque le système est linéaire en électricité (éteindre puis rallumer les générateurs) résistance des matériaux (sollicitations élémentaires) mécanique quantique (superposition d’états) optique ondulatoire...IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 24
  43. 43. Terme perturbateur Le principe de superposition Principe de superposition avec deux termes Pour essayer de comprendre : Premier ordre (m = 1) 2 termes de perturbation (n = 2) Exemple possibles : RC série avec e(t) = E0 + E cos(ωt + ϕ) Vitesse d’un pendule pesant élastique forcé par un sinus Littéralement : a(t) · y + b(t) · y = p1 (t) + p2 (t) ˙ (I) on cherche une solution particulière yP Principe de superposition : on crée deux équations a(t) · y + b(t) · y = p1 (t) ˙ (I1 ) et a(t) · y + b(t) · y = p2 (t) ˙ (I2 )IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 25
  44. 44. Terme perturbateur Application du principe de superposition Application du principe On trouve une solution particulière yP1 de (I1 ) On trouve une solution particulière yP2 de (I2 ) Pour chacune d’entre elles : Méthode du tableau Méthode de Lagrange Vérification d’une donnée de l’énoncé On somme les deux : yP = yP1 + yP2 est solution de (I) ! Fonctionne toujours pour une équation linéaire : 1er et 2ème ordres Quel que soit le nombre de termes Avec des coefficients variables ou constants Conséquence de la linéarité de l’équationIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
  45. 45. Terme perturbateur Application du principe de superposition Exemple au premier ordre y + 2y = 1 + e t ˙ (I) y + 2y = 1 ˙ (I1 ) y + 2y = e t ˙ (I2 ) tableau : posons yP1 = K tableau : k = −b/a 0 + 2K = 1 =⇒ K = 1/2 ⇒ yP2 = Ke t 1 yP1 = Ke t + 2Ke t = e t 2 1 1 ⇒ K= ⇒ yP2 = e t 3 3 1 1 t yP = yP1 + yP2 = + e 2 3IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
  46. 46. Terme perturbateur Application du principe de superposition Vérifications 1 1 t 1 1 t 1. En injectant : yP = 3 e t → ˙ e +2 · + e = 1 + et 3 2 3 yP ˙ yPIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 28
  47. 47. Terme perturbateur Application du principe de superposition Vérifications 1 1 t 1 1 t 1. En injectant : yP = 3 e t → ˙ e +2 · + e = 1 + et 3 2 3 yP ˙ yP 2. Résolution directe avec Lagrange y + 2y = 1 + e t ˙ (I) =⇒ y + 2y = 0 (H) ˙ =⇒ yH = Ke −2tIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 28
  48. 48. Terme perturbateur Application du principe de superposition Vérifications 1 1 t 1 1 t 1. En injectant : yP = 3 e t → ˙ e +2 · + e = 1 + et 3 2 3 yP ˙ yP 2. Résolution directe avec Lagrange y + 2y = 1 + e t ˙ (I) =⇒ y + 2y = 0 (H) ˙ =⇒ yH = Ke −2t yP = K (t) · e −2t → K (t) · e −2t = 1 + e t =⇒ K (t) = e 2t + e 3t ˙ ˙IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 28
  49. 49. Terme perturbateur Application du principe de superposition Vérifications 1 1 t 1 1 t 1. En injectant : yP = 3 e t → ˙ e +2 · + e = 1 + et 3 2 3 yP ˙ yP 2. Résolution directe avec Lagrange y + 2y = 1 + e t ˙ (I) =⇒ y + 2y = 0 (H) ˙ =⇒ yH = Ke −2t yP = K (t) · e −2t → K (t) · e −2t = 1 + e t =⇒ K (t) = e 2t + e 3t ˙ ˙ Intégration avec constante nulle : 1 1 1 1 t K (t) = e 2t + e 3t =⇒ yP (t) = K (t)e −2t = + e = yP (t) 2 3 2 3IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 28
  50. 50. Terme perturbateur Conclusion Conclusion sur le terme perturbateur Souvent : Utiliser le principe de superposition Utiliser la méthode de Lagrange Choisir ce que l’on préfère Toutes mènent au même endroit Dire que yI = yH + yP : c’est dire que p(t) = 0 + p(t) yH correspond à p(t) = 0 yP correspond à p(t) c’est le principe de superposition !IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 29
  51. 51. Les équations linéaires incomplètes Plan 1 Introduction 2 EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) La solution particulière 3 Terme perturbateur Le principe de superposition Application du principe de superposition Conclusion 4 Les équations linéaires incomplètes Problématique Changement de variable 5 Équation non-linéaire 6 RecommandationsIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 30
  52. 52. Les équations linéaires incomplètes Problématique Des équations que l’on sait déjà résoudre Les EDL incomplètes rentrent dans le schéma suivant ... Variables Intégration séparées directe Non-linéaire Hors Cas général programme 1er ordre : Intégration variables directe séparées Equation différentielle Solution homogène Coefficients Equation constants caractéristique 2ème ordre Coefficients Hors Principe de variables programme Linéaire superposition Vérification dune donnée Solution Tableau particulière Principe de superposition Méthode de Lagrange ...avec les méthodes adéquatesIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 31
  53. 53. Les équations linéaires incomplètes Problématique Un ensemble de cas particuliers Inutile d’utiliser une méthode du type : Recherche de yH puis recherche de yI = yH + yP avec une équation incomplète du style : y =2 ¨ (I)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  54. 54. Les équations linéaires incomplètes Problématique Un ensemble de cas particuliers Inutile d’utiliser une méthode du type : Recherche de yH puis recherche de yI = yH + yP avec une équation incomplète du style : y =2 ¨ (I) Beaucoup de travail pour rien parce que : y= 2 · dt 2 = t 2 + rt + s r , s ∈ C donc on a la solution générale de (I)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  55. 55. Les équations linéaires incomplètes Problématique Un ensemble de cas particuliers Inutile d’utiliser une méthode du type : Recherche de yH puis recherche de yI = yH + yP avec une équation incomplète du style : y =2 ¨ (I) Beaucoup de travail pour rien parce que : y= 2 · dt 2 = t 2 + rt + s r , s ∈ C donc on a la solution générale de (I) Méthode par changement de variableIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
  56. 56. Les équations linéaires incomplètes Problématique Equations du type y n = p(t) Méthode de résolution directe Les équations du type y (n) = p(t) c’est à dire y = p(t) ˙ ou y = p(t) ¨ se résolvent par n intégrations successives (resp. 1 ou 2) solutions générales : n constantes d’intégration difficulté : savoir intégrer NB : peuvent aussi se résoudre par la méthode des EDLIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 33
  57. 57. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable EDL2 privées de y On souhaite résoudre l’équation incomplète a(t) · y + b(t) · y = p(t) ¨ ˙ (I) On peut : Equation caractéristique (yH ) puis yI = yH + yP Changer la fonction (changement de variable)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 34
  58. 58. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable EDL2 privées de y On souhaite résoudre l’équation incomplète a(t) · y + b(t) · y = p(t) ¨ ˙ (I) On peut : Equation caractéristique (yH ) puis yI = yH + yP Changer la fonction (changement de variable) =⇒ Système à résoudre : z =y ˙ a(t) · z + b(t) · z = p(t) ˙IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 34
  59. 59. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable EDL2 privées de y On souhaite résoudre l’équation incomplète a(t) · y + b(t) · y = p(t) ¨ ˙ (I) On peut : Equation caractéristique (yH ) puis yI = yH + yP Changer la fonction (changement de variable) =⇒ Système à résoudre : z =y ˙ a(t) · z + b(t) · z = p(t) ˙ Méthode de résolution directe Les EDL2 privées de y se ramènent en posant z = y à une EDL1. La ˙ solution générale y est ensuite obtenue par une seule intégration de z.IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 34
  60. 60. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable Exemple d’une EDL2 privée de y y −y =2 ¨ ˙ (I)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable : y −y =0 ¨ ˙ (H)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 35
  61. 61. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable Exemple d’une EDL2 privée de y y −y =2 ¨ ˙ (I)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable : y −y =0 ¨ ˙ (H) r 2 − r = r (r − 1) = 0 ⇒ r = 0 ou r = 1 yH = A + B · e tIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 35
  62. 62. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable Exemple d’une EDL2 privée de y y −y =2 ¨ ˙ (I)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable : y −y =0 ¨ ˙ (H) r 2 − r = r (r − 1) = 0 ⇒ r = 0 ou r = 1 yH = A + B · e t yP = αt + β (tableau) Injection dans (I) ⇒ α = −2 et β ∈ C on choisit donc β = 0 yP (t) = −2tIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 35
  63. 63. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable Exemple d’une EDL2 privée de y y −y =2 ¨ ˙ (I)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable : y −y =0 ¨ ˙ (H) r 2 − r = r (r − 1) = 0 ⇒ r = 0 ou r = 1 yH = A + B · e t yP = αt + β (tableau) Injection dans (I) ⇒ α = −2 et β ∈ C on choisit donc β = 0 yP (t) = −2t yI (t) = −2t + A + Be tIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 35
  64. 64. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable Exemple d’une EDL2 privée de y y −y =2 ¨ ˙ (I)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable : y −y =0 ¨ ˙ (H) r 2 − r = r (r − 1) = 0 z =y ˙ ⇒ r = 0 ou r = 1 z − z = 2 (Iz ) → z − z = 0 (Hz ) ˙ ˙ yH = A + B · e t yP = αt + β (tableau) Injection dans (I) ⇒ α = −2 et β ∈ C on choisit donc β = 0 yP (t) = −2t yI (t) = −2t + A + Be tIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 35
  65. 65. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable Exemple d’une EDL2 privée de y y −y =2 ¨ ˙ (I)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable : y −y =0 ¨ ˙ (H) r 2 − r = r (r − 1) = 0 z =y ˙ ⇒ r = 0 ou r = 1 z − z = 2 (Iz ) → z − z = 0 (Hz ) ˙ ˙ yH = A + B · e t yP = αt + β (tableau) Facilement : zH = B · e t Injection dans (I) ⇒ α = −2 et β ∈ C Tableau : zP = α ⇒ zP = −2 on choisit donc β = 0 yP (t) = −2t zI = −2 + B · e t yI (t) = −2t + A + Be t ⇒ yI (t) = −2t + A + B · e tIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 35
  66. 66. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable Exemple d’une EDL2 privée de y y −y =2 ¨ ˙ (I)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable : y −y =0 ¨ ˙ (H) r 2 − r = r (r − 1) = 0 z =y ˙ ⇒ r = 0 ou r = 1 z − z = 2 (Iz ) → z − z = 0 (Hz ) ˙ ˙ yH = A + B · e t yP = αt + β (tableau) Facilement : zH = B · e t Injection dans (I) ⇒ α = −2 et β ∈ C Tableau : zP = α ⇒ zP = −2 on choisit donc β = 0 yP (t) = −2t zI = −2 + B · e t yI (t) = −2t + A + Be t ⇒ yI (t) = −2t + A + B · e t Gain de tempsIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 35
  67. 67. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable EDL2 privée de y à coefficients variables cos(t) · y + sin(t) · y = 0 ¨ ˙ (H)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable :IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 36
  68. 68. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable EDL2 privée de y à coefficients variables cos(t) · y + sin(t) · y = 0 ¨ ˙ (H)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable : homogène mais à coefficients variables pas de discriminant possible impossible de continuer !IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 36
  69. 69. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable EDL2 privée de y à coefficients variables cos(t) · y + sin(t) · y = 0 ¨ ˙ (H)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable : homogène z =y ˙ mais à coefficients variables cos(t) · z + sin(t) · z = 0 (Hz ) ˙ pas de discriminant possible impossible de continuer !IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 36
  70. 70. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable EDL2 privée de y à coefficients variables cos(t) · y + sin(t) · y = 0 ¨ ˙ (H)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable : homogène z =y ˙ mais à coefficients variables cos(t) · z + sin(t) · z = 0 (Hz ) ˙ pas de discriminant possible impossible de continuer ! Diapo 10 : z(t) = K · cos(t) ⇒ yI (t) = K sin(t) + C , K ,C ∈ CIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 36
  71. 71. Les équations linéaires incomplètes Changement de variable EDL2 privée de y à coefficients variables cos(t) · y + sin(t) · y = 0 ¨ ˙ (H)1. Méthode des EDL2 2. Changement de variable : homogène z =y ˙ mais à coefficients variables cos(t) · z + sin(t) · z = 0 (Hz ) ˙ pas de discriminant possible impossible de continuer ! Diapo 10 : z(t) = K · cos(t) ⇒ yI (t) = K sin(t) + C , K ,C ∈ C Changement de variable Encore plus utile quand on a des coefficients variables !IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 36
  72. 72. Équation non-linéaire Plan 1 Introduction 2 EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) La solution particulière 3 Terme perturbateur Le principe de superposition Application du principe de superposition Conclusion 4 Les équations linéaires incomplètes Problématique Changement de variable 5 Équation non-linéaire 6 RecommandationsIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 37
  73. 73. Équation non-linéaire Cas des équations non-linéaires Pas de propriétés de linéarité : yI = yH + yP Pas de principe de superposition du tout (même pas pour p(t)) Pas de facilités (équation caractéristique, méthode de Lagrange) Uniquement deux possibilités : Si variables séparées → intégration directe Sinon : Changement de variable si possible (équations incomplètes) Méthodes numériques (niveau L3) Cette année : variables séparées uniquementIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 38
  74. 74. Recommandations Plan 1 Introduction 2 EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée) La solution particulière 3 Terme perturbateur Le principe de superposition Application du principe de superposition Conclusion 4 Les équations linéaires incomplètes Problématique Changement de variable 5 Équation non-linéaire 6 RecommandationsIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 39
  75. 75. Recommandations A connaître : le schéma de résolution linéaire 1 Faire la mise en équation 2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielle Si elle est inhomogène (I) : 2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H) 2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H) 2.3 Trouver une solution particulière yP de (I) 2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP 3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale : solution du problèmeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 40
  76. 76. Recommandations Avoir compris : le schéma général des équations Variables Intégration séparées directe Non-linéaire Hors Cas général programme 1er ordre : Intégration variables directe séparées Equation différentielle Solution homogène Coefficients Equation constants caractéristique 2ème ordre Coefficients Hors Principe de variables programme Linéaire superposition Vérification dune donnée Solution Tableau particulière Principe de superposition Méthode de LagrangeIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 41
  77. 77. Recommandations Savoir maîtriser La reconnaissance de la nature d’une équation ⇒ ordre ? degré ? homogène ? complète ? linéaire ? La séparation des variables ⇒ indispensable pour les EDL1 La notion de linéarité et ses conséquences yI = yH + yP pour les EDL principe de superposition Le schéma de résolution générale des équations linéaires Quand chercher yP ? Quand faire intervenir les conditions initiales ? La recherche d’une solution particulière d’une EDL Tableau Lagrange La résolution des équations caractéristiques (EDL2 coef. constants)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 42
  78. 78. Recommandations Suite de ce cours Ce cours d’amphi est terminé Amenez impérativement votre cours en TD ! Pensez à reprendre les exemples donnés dans ce cours Attention : devoir sur le cours d’équations différentielles !IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 43

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