1. Universidade do Estado do Pará - UEPA
Centro de Ciências Sociais da Educação - CCSE
Núcleo Universitário Regional do Baixo Tocantins
Curso de Licenciatura Plena em Matemática
Instrumentação para o Ensino da Matemática II
Diego Moraes de Lima
Gilcinete Cristina S. dos Reis
Jaciane Freitas de Lima
Jailson Cuimar Paz
Jucicleidison Antunes Melo
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1ª Lista de Exercício
MOJU
2011
2. Diego Moraes de Lima
Gilcinete Cristina S. dos reis
Jaciane Freitas de Lima
Jailson Cuimar Paz
Jucicleidison Antunes Melo
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1ª Lista de Exercício
Trabalho apresentado como requisito parcial
para obtenção de nota da 1ª avaliação na
disciplina Instrumentação para o Ensino da
Matemática II, orientada pelo professor Mauro.
MOJU
2011
4. 3
1 INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objetivo mostrar as resoluções de questões dos
principais vestibulares do Brasil, inclusive o do Exame Nacional do Ensino Médio –
ENEM, da disciplina de Matemática em especial no conteúdo de Função
Exponencial, mostrando também algumas resoluções de equações exponenciais.
Este material é importante tanto para profissionais da área de Educação
Matemática, quanto para estudantes que estão tentando ingressar em uma
Instituição de Nível Superior, pois servirá de base para que os professores
construam questões semelhantes, facilitando o ensino aprendizado.
5. 4
2 QUESTÕES QUE ENVOLVAM FUNÇÃO EXPONENCIAL
1 - (PUC-RS) A soma das raízes da equação é:
(A) -4 (D) 2
(B) -2 (E) 4
(C) -1
Resolução:
2 - (UFRGS) Sabendo-se que , tem-se que vale:
(A) -4
(B) -2 (D)
(C) 0
(E) 2
Resolução:
6. 5
3 - (UFRGS) O valor de x que verifica a equação é:
a) -1 d)
b) e) 1
c) 0
Resolução:
4 - (UFRGS) A solução da equação é:
a) -2 d)
b) e) 2
c)
Resolução:
7. 6
5 - (Furg - RS) O valor da expressão A é:
a) c) e)
b) d)
Resolução:
6 - (UFPI) Sejam x1 e x2 as soluções da equação exponencial
. O valor da soma x1 + x2 é:
a) c) e)
b) d)
Resolução:
8. 7
Logo:
7 - (Vunesp – SP) Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente
a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa, é dada
por:
, onde p é massa da pessoa em quilogramas.
Considere uma criança de 8 kg. Determine:
a) A área da superfície corporal da criança;
b) A massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal
duplicar. (Use a aproximação )
Resolução:
a) b)
23
= 23
)3= (23)3
p2=29
.1,44 = 24.1,44
9. 8
8 - (UFAM) Seja o menor número que é solução da equação .
Então, é um número:
a) Par c) Não real e) irracional
b) Primo d) Divisível por 5
Resolução:
Se é o menor número . Logo não é um número real.
9 - (FGV – SP) A posição de um objeto A num eixo numerado é descrita pela lei
, em que t é o tempo em segundos. No mesmo eixo, move-se o
objeto B, de acordo com a lei . Os objetos A e B se encontrarão num certo
. O valor de , em segundos, é um divisor de:
a) 28 c) 24 e) 20
b) 26 d) 22
Resolução:
Pelo enunciado da questão, os objetos A e B se encontrarão se:
Fazendo , temos:
10. 9
Para Para , não existe
segundos, que é um divisor de 24.
10 - (Mackenzie-SP) O gráfico mostra , em função do tempo, a evolução do
número em bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas abaixo,
decorridos 30 minutos do inicio das observações, o valor mais próximo desse
número é:
f(t)
a) 18.000 d) 14.000 f(t)=a.bt
8.104
b) 20.000 e) 40.000
c) 32000 104
0 3 t(horas)
11. 10
Resolução: Portanto f(t)= 104.2t, onde t é, em
Do gráfico, temos: horas, o tempo decorrido.
f(0)=104 f(0,5)=104.20,5
a.b0=104 a=104 f(0,5)=104.
f(3)=8. 104 Com , temos f(0,5)
3 4
a.b =8. 10 10000.1,4
4 3 4
10 .b =8. 10 f(0,5) 14000
b3=8. => b= =>b= 2
11 - (FGV-SP) Uma certa mercadoria foi promovida por uma substancial
campanha de propaganda e, pouco antes de encerrar a promoção, a
quantidade de diárias de venda era 10.000 unidades. Imediatamente após, as
vendas de diárias decresceram a uma taxa proporcional às vendas de diárias,
tal que: V(t)=B.ek.t, sendo B o número de unidades vendidas em determinado
dia, V(t) a quantidade de vendas por dia, após t dias, e=2,72 e k um número
real.
Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume diário de vendas era
8.000 unidades.
a) Qual o volume diário de vendas 30 dias após o encerramento da
promoção?
b) Quando se espera que a venda diária seja reduzida a 6.400 unidades?
Considere que log 2 = , sendo log 2 o logaritmo de 2 na base 10.
Resolução:
Nas resoluções a seguir, admitamos que, no período de “pouco antes de
encerrar a promoção” até o último dia da promoção, a quantidade diária de
vendas tenha sido constantemente igual a 10.000 unidades.
De V(0) = B. ek.0 = B e V(0) = 10000, temos que B = 10000.
De V(10) = 8000, temos 10000.ek.10 = 8000 e, portanto, e10k=0,8.
a) V(30) = 10000.ek.30
V(30) = 10000.(e10k)3
V(30) = 10000.(0,8)3
V(30) = 10000.0,512
V(30) = 5120 unidades
12. 11
b) V(t) = 6400
10000.ek.t = 6400
ek.t = 0,64
ek.t = (0,8)2
ek.t = (e10k)2
ek.t = e20k
kt=20k
t=
t = 20 dias
resposta: a) 5120 unidades b) 20 dias
12 - (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma
–0,2t
que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 . 2 , em que v0
é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12
000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
13 - O número de bactérias em um meio de cultura cresce aproximadamente
segundo a função n(t)=2000.30,04t, sendo t o número de dias após o início do
experimento. Calcule:
a) O número n de bactérias no início do experimento;
b) Em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar.
13. 12
800
700
600
500
400
300
200
100
0
-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0
-100
Solução:
a) Sabemos que o início o t=0 logo temos que calcular n(0)
n(0) = 2000.30,04.0
n(0) = 2000.30
n(0) = 2000.1
n(0) = 2000
Logo, o número de bactérias no início do experimento era de 2000.
b) Temos agora que o número inicial era de 2000 quando ele triplicar o número será
de 6000. logo precisamos ter n(t)=6000, mas n(t)=2000.30,04t. Temos então que
2000.30,04t = 6000
2000.30,04t = 2000.3
30,04t=3
0,04t = 1
t=1/0,04
t=25
Então, para triplicar as bactérias do início do experimento serão necessários 25 dias.
14. 13
14 - (Vunesp) Uma substância se decompõe aproximadamente segundo a lei
Q(t) = k . 2-0,5t, em que k é uma constante, t indica o tempo (em minutos) e Q(t)
indica a quantidade de substância (em gramas) no instante t.
2048
8
512
0 a
Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico,
determine os valores de k e de a.
Solução:
Q(t) = k.2-0,5t
2048 = k,20
K = 2048
512 = 2048.2-0,5a
2-0,5a =
2-0,5a = 2-2
-0,5a = -2
a=4
15 – (UFPA) Uma das práticas mais prazerosas da relação humana – o beijo – pode
ser, paradoxalmente, um dos maiores meios de transmissão de bactérias. Supondo
que o número de bactérias (N) por beijo (b) é determinado pela expressão N(b) =
500 . 2b, para que o número de bactérias seja 32.000 você terá de dar:
15. 14
a) 6 beijos d) 7 beijos
c) 8 beijos e) 4 beijos
b) 5 beijos
Solução
N(b) = 500 . 2b
32.000=500 . 2b
= 2b
64 = 2b
26 = 2b
b=6
16 – (ENEM) A população mundial está ficando mais velha, os índices de
natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte,
são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das
Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou
mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas
percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos
ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população
total nos países desenvolvidos.
Fonte: “Perspectivas da população mundial”, ONU, 2009
Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao
ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a
população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa
população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento
16. 15
entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a
população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:
a) 490 e 510 milhões.
b) 550 e 620 milhões.
c) 780 e 800 milhões.
d) 810 e 860 milhões.
e) 870 e 910 milhões.
Solução:
Para x = 30, temos e0,03 x 30 = e0,3 x 3 , como e0,3 = 1,35 então por substituição temos
(1,35)3 . Basta então aplicar na fórmula dada, y = 363 x 2,460375 que resulta em y =
893,116125 milhões.
17 - (Vunesp) O acidente do reator nuclear de Chernobyl, em 1986, lançou na
atmosfera grande quantidade de radioativo, cuja meia-vida é de 28 anos.
Supondo ser este isótopo a única contaminação radioativa e sabendo que o
local poderá ser considerado seguro quando a quantidade de se reduzir,
por desintegração, a 1/16 da quantidade inicialmente presente, o local poderá
ser habitado novamente a partir do ano de:
a) 2014 b) 2098 c) 2266 d) 2986 e) 3000
A função que relaciona a quantidade de presente em função de tempo é
.
Resolução:
Segundo o enunciado, quando , o local poderá ser novamente habitado.
Então:
Ou seja, em 1986 + 112 = 2098 o local
poderá ser habitado.
17. 16
18 - São necessários 5 anos para que o cobalto-60 perca metade de sua
radioatividade. Qual é a porcentagem de sua atividade original que
permanecerá no fim de 20 anos?
A função que relaciona a quantidade de cobalto-60 presente em função do tempo é
Resolução:
Segundo o enunciado, temos t = 20 anos. Então:
19 - Datação arqueológica com carbono-14
O carbono-14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os seres vivos.
Com a morte, o nível de C-14 no corpo começa a decair. Como é um isótopo
radioativo de meia-vida de 5 730 anos, e como é relativamente fácil saber o
nível original de C-14 no corpo dos seres vivos, a medição da atividade de C-14
num fóssil é uma técnica muito utilizada para datações arqueológicas. A
atividade radioativa do C-14 decai com o tempo pós-morte segundo a função
exponencial , em que A0 é a atividade natural do C-14 no
organismo vivo e t é o tempo decorrido em anos após a morte.
Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi levado ao laboratório
para ter sua idade estimada. Verificou-se que emitia 7 radiações de C-14 por
grama/hora. Sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por grama/hora,
qual é a idade aproximada do fóssil?
18. 17
Resolução:
A função que relaciona a quantidade de C-14 no fóssil em função do tempo é
. Segundo o enunciado, A(t) = 7 e A0 = 896. Então:
20 - (UEPA) No final do mês de abril de 2003, a população de Belém viveu um
dia de pânico em decorrência de boatos que espalhavam-se rapidamente pela
cidade. Tudo começou logo cedo, pela manhã, com um assalto a um carro-
forte em frente a um banco, localizado em uma movimentada avenida
belenense. A polícia perseguiu os bandidos e estes fizeram reféns. As
testemunhas do ocorrido incumbiram-se de iniciar o zunzunzun, espalhando,
sem muita clareza, o que acontecera. A quantidade de pessoas que recebia
informações distorcidas sobre o fato duplicava a cada 10 minutos e, depois de
uma hora, 1.024 cidadãos paraenses já se encontravam aterrorizados, achando
que a cidade estava sendo tomada por bandidos. Ao final da manhã, bancos,
comércio, escolas e repartições públicas já estavam com o expediente
encerrado. Com base nos números citados, quantas pessoas testemunharam
ao assalto?
a) 4 pessoas d) 32 pessoas
b) 8 pessoas e) 64 pessoas
c) 16 pessoas
19. 18
Solução
Quando Q(t) for nos primeiros 10 minutos do assalto 2t.x pessoas testemunharam,
ou seja, Q(1)= 21.x
Quando Q(t) for nos primeiros 20 minutos do assalto 2t.x pessoas receberam
informações, ou seja, Q(2)= 22.x
Quando Q(t) for nos primeiros 30 minutos do assalto 2t.x pessoas receberam
informações, ou seja, Q(3)= 23.x
Quando Q(t) for nos primeiros 40 minutos do assalto 2t.x pessoas receberam
informações, ou seja, Q(4)= 24.x
Quando Q(t) for nos primeiros 50 minutos do assalto 2t.x pessoas receberam
informações, ou seja, Q(5)= 25.x
Seja t o tempo em minutos, Quando Q(t) for uma hora, 60 minutos, temos que
Q(6)=1024, ou seja, Q(6)=2t.x
Logo
Q(t)=2t.x
1024=26.x
1024= 64x
x=
x = 16
20. 19
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho foram abordadas questões resolvidas dos principais
vestibulares do Brasil, ENEM, UEPA, UFPA, Vunesp, Unit-SE, FGV–SP, PUC-RS,
UFRGS, Furg–RS, UFPI, UFAM, Mackenzie-SP, da disciplina Matemática em
relação ao conteúdo Função Exponencial, tornando-se um poderoso material de
apoio para o vestibular.
21. 20
4 REFERÊNCIAS
APOSTILA DIGITAL. Enem – 2009 (oficial) – Conceito de função exponencial e
gráfico. Disponível em: <http://apostiladigital.orgfree.com/wordpress/enem-2009-
oficial-conceito-de-funcao-exponencial-e-grafico>. Acesso em 12 maio 2011.
FTD. Resolução das Atividades Complementares: matemática m7 – função
exponencial. Disponível em:
<http://www.ftdsistemadeensino.com.br/index.aspx?DID=116&&ano=13&ensino=113
>. Acesso em: 10 maio 2011.
SENA. MATEMÁTICA: função exponencial. Disponível em:
<http://pt.scribd.com/doc/6080160/FUNCAO-EXPONENCIAL-INTENSIVO>. Acesso
em: 12 maio 2011
TUTORBRASIL. Exponenciais: resolução de equações tipo I – exercícios.
Disponíve em:
<http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/exponenciais/equacoes_e
xponenciais_01.php>. Acesso em: 10 maio 2011.
